Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев жестко защемленных вязкоупругих пластин с актуаторами при учете геометрической нелинейности и деформаций поперечного сдвига
Представлена модель вынужденных резонансных колебаний и диссипативного разогрева прямоугольных жестко защемленных вязкоупругих пластин с пьезоактуаторами с учетом геометрической нелинейности и деформаций поперечного сдвига. Методом Бубнова—Галеркина получено приближенное аналитическое решение это...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2017
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129623 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев жестко защемленных вязкоупругих пластин с актуаторами при учете геометрической нелинейности и деформаций поперечного сдвига / В.Г. Карнаухов, В.И. Козлов, Т.В. Карнаухова // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 12. — С. 14-22. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-129623 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1296232025-02-09T11:33:29Z Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев жестко защемленных вязкоупругих пластин с актуаторами при учете геометрической нелинейности и деформаций поперечного сдвига Вимушені резонансні коливання і дисипативний розігрів жорстко защемлених в'язкопружних пластин з актуаторами при врахуванні геометричної нелінійності й деформацій поперечного зсуву Forced resonant vibrations and dissipative heating of rigidly fixed viscoelastic plates with actuators with regard for a geometrical nonlinearity and transverse shear strains Карнаухов, В.Г. Козлов, В.И. Карнаухова, Т.В. Механіка Представлена модель вынужденных резонансных колебаний и диссипативного разогрева прямоугольных жестко защемленных вязкоупругих пластин с пьезоактуаторами с учетом геометрической нелинейности и деформаций поперечного сдвига. Методом Бубнова—Галеркина получено приближенное аналитическое решение этой задачи. Дан анализ влияния геометрической нелинейности, сдвиговых деформаций и температуры диссипативного разогрева на эффективность активного демпфирования колебаний пластины при помощи пьезоактуаторов. Представлено модель вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву прямокутних жорстко защемлених в’язкопружних пластин з п’єзоактуаторами з врахуванням геометричної нелінійності й деформацій поперечного зсуву. Методом Бубнова—Гальоркіна одержано аналітичний розв’язок цієї задачі. Проведено аналіз впливу геометричної нелінійності, деформацій поперечного зсуву й температури дисипативного розігріву на ефективність активного демпфування коливань за допомогою п’єзоактуаторів. A model of forced resonant vibrations and the dissipative heating of rigidly fixed viscoelastic plates with piezoactuators with regard for a geometrical nonlinearity and transverse shear strains is considered. By the Bubnov— Galerkin method, the approximate analytic solution of this problem is given. The influence of these factors on the effectiveness of the active damping of vibrations by piezoactuators is analyzed. 2017 Article Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев жестко защемленных вязкоупругих пластин с актуаторами при учете геометрической нелинейности и деформаций поперечного сдвига / В.Г. Карнаухов, В.И. Козлов, Т.В. Карнаухова // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 12. — С. 14-22. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2017.12.014 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129623 539.3 ru Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Карнаухов, В.Г. Козлов, В.И. Карнаухова, Т.В. Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев жестко защемленных вязкоупругих пластин с актуаторами при учете геометрической нелинейности и деформаций поперечного сдвига Доповіді НАН України |
| description |
Представлена модель вынужденных резонансных колебаний и диссипативного разогрева прямоугольных
жестко защемленных вязкоупругих пластин с пьезоактуаторами с учетом геометрической нелинейности
и деформаций поперечного сдвига. Методом Бубнова—Галеркина получено приближенное аналитическое
решение этой задачи. Дан анализ влияния геометрической нелинейности, сдвиговых деформаций и температуры диссипативного разогрева на эффективность активного демпфирования колебаний пластины
при помощи пьезоактуаторов. |
| format |
Article |
| author |
Карнаухов, В.Г. Козлов, В.И. Карнаухова, Т.В. |
| author_facet |
Карнаухов, В.Г. Козлов, В.И. Карнаухова, Т.В. |
| author_sort |
Карнаухов, В.Г. |
| title |
Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев жестко защемленных вязкоупругих пластин с актуаторами при учете геометрической нелинейности и деформаций поперечного сдвига |
| title_short |
Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев жестко защемленных вязкоупругих пластин с актуаторами при учете геометрической нелинейности и деформаций поперечного сдвига |
| title_full |
Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев жестко защемленных вязкоупругих пластин с актуаторами при учете геометрической нелинейности и деформаций поперечного сдвига |
| title_fullStr |
Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев жестко защемленных вязкоупругих пластин с актуаторами при учете геометрической нелинейности и деформаций поперечного сдвига |
| title_full_unstemmed |
Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев жестко защемленных вязкоупругих пластин с актуаторами при учете геометрической нелинейности и деформаций поперечного сдвига |
| title_sort |
вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев жестко защемленных вязкоупругих пластин с актуаторами при учете геометрической нелинейности и деформаций поперечного сдвига |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129623 |
| citation_txt |
Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев жестко защемленных вязкоупругих пластин с актуаторами при учете геометрической нелинейности и деформаций поперечного сдвига / В.Г. Карнаухов, В.И. Козлов, Т.В. Карнаухова // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 12. — С. 14-22. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT karnauhovvg vynuždennyerezonansnyekolebaniâidissipativnyjrazogrevžestkozaŝemlennyhvâzkouprugihplastinsaktuatoramipriučetegeometričeskojnelinejnostiideformacijpoperečnogosdviga AT kozlovvi vynuždennyerezonansnyekolebaniâidissipativnyjrazogrevžestkozaŝemlennyhvâzkouprugihplastinsaktuatoramipriučetegeometričeskojnelinejnostiideformacijpoperečnogosdviga AT karnauhovatv vynuždennyerezonansnyekolebaniâidissipativnyjrazogrevžestkozaŝemlennyhvâzkouprugihplastinsaktuatoramipriučetegeometričeskojnelinejnostiideformacijpoperečnogosdviga AT karnauhovvg vimušenírezonansníkolivannâídisipativnijrozígrívžorstkozaŝemlenihvâzkopružnihplastinzaktuatoramiprivrahuvannígeometričnoínelíníjnostíjdeformacíjpoperečnogozsuvu AT kozlovvi vimušenírezonansníkolivannâídisipativnijrozígrívžorstkozaŝemlenihvâzkopružnihplastinzaktuatoramiprivrahuvannígeometričnoínelíníjnostíjdeformacíjpoperečnogozsuvu AT karnauhovatv vimušenírezonansníkolivannâídisipativnijrozígrívžorstkozaŝemlenihvâzkopružnihplastinzaktuatoramiprivrahuvannígeometričnoínelíníjnostíjdeformacíjpoperečnogozsuvu AT karnauhovvg forcedresonantvibrationsanddissipativeheatingofrigidlyfixedviscoelasticplateswithactuatorswithregardforageometricalnonlinearityandtransverseshearstrains AT kozlovvi forcedresonantvibrationsanddissipativeheatingofrigidlyfixedviscoelasticplateswithactuatorswithregardforageometricalnonlinearityandtransverseshearstrains AT karnauhovatv forcedresonantvibrationsanddissipativeheatingofrigidlyfixedviscoelasticplateswithactuatorswithregardforageometricalnonlinearityandtransverseshearstrains |
| first_indexed |
2025-11-25T21:49:30Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:49:30Z |
| _version_ |
1849800655821078528 |
| fulltext |
14 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2017. № 12
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
© В.Г. Карнаухов, В.И. Козлов, Т.В. Карнаухова, 2017
В последние годы для демпфирования колебаний тонкостенных элементов эффективно ис-
пользуются активные методы, базирующиеся на включении пьезоактивных компонент в
структуру пассивного тонкостенного элемента из металлического, полимерного или ком-
позитного материала. В большинстве случаев в качестве активных элементов выступают
пьезоэлектрические компоненты. Одним из основных методов активного демпфирования
колебаний пластин и оболочек является метод, основанный на использовании пьезоактуа-
торов, к которым подводится разность потенциалов, компенсирующая действие механиче-
ской нагрузки, в результате чего амплитуда колебаний существенно уменьшается. Главной
задачей при этом является расчет указанной разности потенциалов, размеров актуатора, его
размещения и др. Особенно заметное влияние на эффективность работы актуаторов оказы-
вает температура, в том числе и температура диссипативного разогрева (ТДР), возникаю-
щая в результате гистерезисных потерь в материале. По достижении ТДР точки Кюри пье-
зоматериала актуатор перестает выполнять свое функциональное назначение из-за потери
МЕХАНІКА
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2017.12.014
УДК 539.3
В.Г. Карнаухов 1, В.И. Козлов 1, Т.В. Карнаухова 2
1 Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев
2 НТУ Украины “Киевский политехнический институт им. Игоря Сикорского”
E-mail: karn@inmech.kiev.ua
Вынужденные резонансные колебания и диссипативный
разогрев жестко защемленных вязкоупругих
пластин с актуаторами при учете геометрической
нелинейности и деформаций поперечного сдвига
Представлено академиком НАН Украины В.Д. Кубенко
Представлена модель вынужденных резонансных колебаний и диссипативного разогрева прямоугольных
жестко защемленных вязкоупругих пластин с пьезоактуаторами с учетом геометрической нелинейности
и деформаций поперечного сдвига. Методом Бубнова—Галеркина получено приближенное аналитическое
решение этой задачи. Дан анализ влияния геометрической нелинейности, сдвиговых деформаций и тем-
пературы диссипативного разогрева на эффективность активного демпфирования колебаний пластины
при помощи пьезоактуаторов.
Ключевые слова: резонасные колебания, геометрическая нелинейность, деформации сдвига, пьезоактуа-
тор, разогрев, активное демпфирование.
15ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 12
Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев жестко защемленных вязкоупругих пластин...
активным материалом пьезоэффекта. Для анизотропных материалов и высоких уровней
гармонического нагружения, а также для недостаточно тонких пластин необходимо учи-
тывать деформации сдвига и геометрическую нелинейность.
В данной работе представлена постановка задачи о вынужденных колебаниях и дис-
сипативном разогреве вязкоупругих прямоугольных пластин с актуаторами при учете гео-
метрической нелинейности и деформаций сдвига. Методом Бубнова—Галеркига получено
приближенное аналитическое решение для случая жестко защемленных торцов пластины.
Определена диссипативная функция. Получено аналитическое решение уравнения энер-
гии. Дан анализ влияние геометрической нелинейности, деформаций сдвига и ТДР на эф-
фективность работы актуаторов.
Постановка задачи. Постановка задачи о колебаниях и диссипативном разогреве шар-
нирно опертой вязкоупругой пластины с сенсорами при учете геометрической нелинейно-
сти и деформаций сдвига приведена в [1], где представлены уравнения движения через пе-
ремещения и углы поворота. Для пластин с актуаторами они имеют вид
= = ϕ ϕ + =
⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ϕ ϕ − = ϕ ϕ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠∂ ∂⎝ ⎠
1 2 3 0 0
0 0
4 5
( , , ) 0; ( , , ) 0; ( , , , , ) ;
( , , , , ) 0; ( , , , , ) 0.
x y
x y x y
L u v w L u v w L u v w q I w
M M
L u v w L u v w
x y
(1)
Выражения для операторов ( 1 5)iL i = − даны в [1]. В них следует все упругие харак те-
ристики согласно принципу соответствия заменить на интегральные операторы Вольтера с
использованием алгебры операторов [2].
Аналитическое решение задачи. Операторы 4 5,L L являются линейными относитель-
но , ,x y wϕ ϕ . Рассмотрим резонансные колебания пластины в окрестности некоторой (на-
пример, первой) резонансной частоты колебаний прямоугольной пластины с размерами
; 0� � � �a x a y b . Представим поперечный прогиб пластины в виде:
(1 cos2 )(1 cos2 )mn m nw W k x p y= − − . (2)
Это выражение удовлетворяет условиям жесткого защемления для прогиба
0
w
w
x
∂= =
∂
при 0,x a= и 0
w
w
y
∂= =
∂
при 0,y b= .
Подставляя выражение (2) в операторы 4 5,L L , решим полученные уравнения относительно
,x yϕ ϕ После громоздких выкладок получим
11 13 22 24sin 2 sin 2 cos2 , sin 2 cos2 sin 2x m m n y n m nk x k x p y p y k x p yϕ = ϕ +ϕ ϕ = ϕ +ϕ . (3)
Формулы для 11 13 22 24, , ,ϕ ϕ ϕ ϕ не приводим из-за их громоздкости.
Выражения (3) удовлетворяют граничным условиям 0, 0y
x x
∂ϕ
ϕ = =
∂
при 0,x a= ;
0, 0x
y y
∂ϕ
ϕ = =
∂
при 0,y b= .
16 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2017. № 12
В.Г. Карнаухов, В.И. Козлов, Т.В. Карнаухова
Подставляя выражение (3) в представленные в [1] операторы 1 2,L L , приходим к сис-
теме интегро-дифференциальных уравнений относительно u и v :
2 2 2
3 2
11 12 66 66 112 2
2 2 2 2
3 2
22 12 66 222 2
( ) 2 sin 4 (3 4cos2 cos4 ) ,
( ) 2 sin 4 (3 4cos2 4 ) .
u v u
A A A A k A kx py py W
x yx y
v u u v
A A A p A py kx os kx W
x y x yx y
∂ ∂ ∂+ + + = − − +
∂ ∂∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − − +
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
(4)
Решение этой системы, удовлетворяющее граничным условиям 0, 0
v
u
x
∂= =
∂
при 0,x a=
0, 0
u
v
y
∂= =
∂
при 0,y b= имеет вид
= + + + +
+ +
= + + + +
+ +
11 12 13 14
2
15 16
11 12 13 14
2
15 16
( sin 2 sin 4 sin 2 cos2 sin 2 cos4
sin 4 cos2 sin 4 cos4 ) ,
( sin 2 sin 4 sin 2 cos2 sin 2 cos4
sin 4 cos2 sin 4 cos4 ) .
u u kx u kx u kx py u kx py
u kx py u kx py W
v v py v py v py kx v py kx
v py kx v py kx W
(5)
Выражения для ,ij iju v не приводим из-за их громоздкости.
Для вывода уравнения относительно w используем третье уравнение системы (1)
⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ϕ∂ϕ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎛ ⎞+ + + + + +⎢ ⎥⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩
⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + + + + +⎢ ⎥⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎭ ⎩ ⎭
22 2
55 44 112 2
2 2 22 2
12 22 122 2
1
2
1 1 1
2 2 2
yx
S S
w w u w
K A K A A
x y x xx y
v w w v w u w w
A A A
y y y y x xx y
+
⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪+ + + + =⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
2 2
66 0 2
2 .
u v w w w w
A q I
y x x y x y t
(6)
Для определения разности потенциалов, которую необходимо подвести к электродам для
компенсации механической нагрузки, можно ограничиться линейной системой относитель-
но , ,x yw ϕ ϕ :
∂ ϕ∂ ϕ ∂ ϕ ∂∂⎛ ⎞+ + + − +ϕ − =⎜ ⎟⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
∂ ϕ ∂ ϕ∂ ϕ ⎛ ⎞ ∂∂+ + + − +ϕ − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∂ ∂
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ϕ∂ϕ∂ ∂ ∂+ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
22 2
0
11 12 66 66 552 2
2 22
0
22 12 66 66 442 2
2 2 2
55 44 02 2 2
( ) 0,
( ) 0,
.
yx x
S x
y yx
S y
yx
S S
Mw
D D D D K A
x y x xx y
Mw
D D D D K A
x y y yy x
w w w
K A K A q I
x yx y t
(7)
17ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 12
Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев жестко защемленных вязкоупругих пластин...
Сведем систему (7) к уравнению относительно w . Для этого используем символичес кий
метод, формально заменяя производные ,
x y
∂ ∂
∂ ∂
на ,k p соответственно. В результате по-
лучим систему алгебраических уравнений
2 2
11 66 55 12 66 0 55
2 2
22 66 44 12 66 0 44
2
2 2
55 44 0 2
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
( ) ( ) .
S x y S
S y x S
S x S x
D k D p K A D D kp kM K A kw
D p D k K A D D kp pM K A pw
w
K A k w k K A p w p q I
t
+ − ϕ + + ϕ = +
+ − ϕ + + ϕ = +
∂+ ϕ + + ϕ + =
∂
(8)
Решая первые два уравнения системы (8) относительно ,x yϕ ϕ и подставляя получен-
ный результат в третье уравнений (8), получим символическое уравнение относительно w:
2 2 2 2 2 2 2
55 55 2 44 44 1 44 55 2 1
2 2
55 2 44 1 55 1 44 2 0 0
[( ) ( ) ( )]
[( ) ( ) ] .
S S S S S
S
K A K A b k K A K A a p pqK A A a b w
K A k b A p b A b A a kp M q I w
Δ + + Δ + − + +
+ + − + + Δ = (9)
Здесь
2 2
1 2 2 1 1 11 66 55 2 12 66
2 2
2 22 66 44 1 2
, , ( ) ,
, .
S
S
a b a b a D k D p K A a D D kp
b D p D k K A b a
Δ = − = + − = +
= + − =
(10)
Из (9), (10) путем указанной выше замены получим интегро-дифференциальное уравнение
относительно .w Из (9) видно, что для компенсации механической нагрузки необ ходимо
подвести к актуатору разность потенциалов, которая определяется из уравнения
2 2
55 2 44 1 55 1 44 2 0[( ) ( ) ] 0SK A k b A p b A b A a kp M q+ − + +Δ = . (11)
При помощи указанных выше замен из (11) для равномерной механической нагрузки по-
лучим уравнение
4 4 2
0 0 0
55 22 12 66 66 442 2 4 2
4 4 2
20 0 0
44 11 12 66 66 55 44 552 2 4 2
( )
( ) 0.
S S
S S S
M M M
K A D D D D K A
x y x x
M M M
K A D D D D K A K A A q
x y y y
⎡ ⎤∂ ∂ ∂
− − + − +⎢ ⎥
∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤∂ ∂ ∂
+ − − + − + =⎢ ⎥
∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
(12)
Для исследования оптимальных размеров расположенного в центре пластины актуатора счи-
таем, что координаты его вершин равны: , ; , ; , ; ,
2 2 2 2 2 2 2 2
a c b d a c b d a c b d a c b d− − − + + + + −
.
Таким образом,
0 0( , )
2 2 2 2
a c a c b d b d
M x y M H x H x H y H y
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
. (13)
Здесь 0M — константа, а H(x) — функция Хевисайда.
При решении нелинейной задачи методом Бубнова—Галеркина для определения оп-
тимальных размеров актуатора необходимо (12) умножить на (1 cos2 )(1 cos2 )kx py− − и
18 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2017. № 12
В.Г. Карнаухов, В.И. Козлов, Т.В. Карнаухова
проинтегрировать по необходимой области. При этом имеем
2
0
02
2
0
02
4
(3)0
04
( , )
,
2 2 2 2
( , )
,
2 2 2 2
( , )
2
M x y a c a c b d b d
M x x H y H y
x
M x y a c a c b d b d
M H x H x y y
y
M x y a c
M x
x
∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= δ − − δ − − − −′ ′⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − δ − − δ −′ ′⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∂ −⎛ ⎞= δ − −⎜ ⎟⎝ ⎠∂
(3)
4
(3) (3)0
04
4
(3) (3)0
02 2
,
2 2 2
( , )
,
2 2 2 2
( , )
2 2
a c b d b d
x H y H y
M x y a c a c b d b d
M H x H x y y
y
M x y a c a c
M x x
x y
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞δ − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − δ − − δ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∂ ⎡ ⎤− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= δ − − δ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ∂ ⎣ ⎦
(3) (3) ,
2 2
b d b d
y y
⎡ ⎤− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞δ − − δ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
(14)
где ( )( )r xδ — производная r -го порядка от дельта-функции ( )xδ .
При вычислении интегралов следует учитывать формулу
( ) ( ) ( )1
( ) ( ) ( 1) [ ( 0) ( 0)] ( ).
2
b
r r r r
a
f X d f X f X a X bξ δ ξ− ξ = − − + +∫ ≺ ≺
Используя (14), получим, например:
2 2
0
02 2
2
2
0
( , )
(1 cos2 )(1 cos2 ) 16 sin sin
16 sin , .
b b
a a
M x y c d
kx py dxdy M
ab a bx y
l
M
ab L
∂ π ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − = π π =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ∂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
π= ψ ψ = π
∫ ∫
(15)
Здесь ,l L — соответственно диагональ актуатора и диагональ пластины.
Аналогично вычисляются и остальные интегралы.
В результате получим следующую формулу для определения оптимального размеще-
ния актуатора:
2 2
2 2
0 1 1 44 55 55 44 662 2 4 4
2
55 22 12 66 44 11 12 662 2
1 1
/ , 4 16 (sin )
1
(sin ) [ ( ) ( )}sin .
S S
a b
M q K A A K A A D
a b a b
A D D D A D D D
a b
⎧+ ⎛ ⎞= Δ Δ = + π + ψ ×⎨⎜ ⎟⎝ ⎠⎩
⎫× ψ +ψ − − − + − − ψ⎬
⎭
(16)
Как видно из (16), при 0l → и l L→ величина 0M →∞ , так что при малых размерах актуа-
тора и при полном покрытии поверхности пластины актуатором управлять колебаниями
пластины невозможно. Построив график зависимости 0M от ψ , получим оптимальные
размеры актуатора.
19ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 12
Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев жестко защемленных вязкоупругих пластин...
Подставляя выражения для , , ,x yu v ϕ ϕ в уравнение (6) и применяя к полученному ре-
зультату метод Бубнова—Галеркина, после громоздких выкладок приходим к интегро-диф-
ференциальному уравнению относительно функции времени ( )W t :
(1) (2) 3
1 0 0L W L W q M I W+ +Δ +Δ = Δ . (17)
При использовании асимптотических методов [3] интегро-дифференциальное уравнение (17)
сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению с кубической нелинейностью
2 3
1 0 1 12W W W K W q+ μ +ω + = , (18)
где
1 0 0( ) /q q QM I= − . (19)
Если пьезослои считать упругими, то Q является константой и пропорционально под-
водимой к актуатору разности потенциалов 0:V Q q V= .
Детальное обсуждение уравнения (18) представлено в монографии [4]. Там же мето-
дом Бубнова—Галеркина получено и его решение, которое при гармоническом нагружении
имеет вид
cos sinW W t W t′ ′′= ω − ω .
В [4] получено алгебраическое кубическое уравнение для квадрата амплитуды коле баний
2 2 2( ) ( )X W W W′ ′′= = + :
3 2
3 2 1 0 0b X b X b X b+ + − = . (20)
Коэффициенты ( 0,1, 2, 3)=ib i приведены в [4 ]. Там же представлен и график для ам п ли-
тудно-частотной характеристики, который имеет стандартный для нелинейной системы
вид. Приведено также выражение для максимальной амплитуды колебаний
max
w . После
определения W из (3) находятся xϕ и yϕ . Затем из (5) определяются u и v.
Зная , , , ,x yw u vϕ ϕ , найдем деформации, а из определяющих уравнений — усилия и
моменты.
Определение температуры диссипативного разогрева. Диссипативная функция D оп-
ределяется формулой
⎧ ∂ϕω ⎪= ε + ε ε + ε + ε + +′′ ′′ ′′ ′′ ′′⎨ ∂⎪⎩
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ∂ϕ ∂ϕ
+ + + + +′′ ′′ ′′
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
⎫∂ ∂ ⎪+ +ϕ + +ϕ′′ ′′ ⎬∂ ∂ ⎪⎭
2
2 2 22
11 12 22 66 11
2 2 2
12 22 66
2 2
44 55
2 2
2
2 2
.
x
xx xx yy yy xy
y y yx x
s y s x
D A A A A D
x
D D D
x y y y x
w w
K A K A
y x (21)
Здесь введено обозначение 2ab a b a b′ ′ ′′ ′′= + .
20 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2017. № 12
В.Г. Карнаухов, В.И. Козлов, Т.В. Карнаухова
Считая геометрическую нелинейность и вязкость величинами одного порядка, можно в (21)
не учитывать нелинейные члены в кинематических соотношениях для
2 22
, , ,xx yy xyε ε ε
2
xx yyε ε . Тогда диссипативная функция определяется выражением
0 1 2 3 4 5
6 7 8
cos2 cos2 cos4 cos4 cos2 cos2
cos2 cos4 cos4 cos2 cos4 cos4 .
D D D kx D py D kx D py D kx py
D kx py D kx py D kx py
= + + + + + +
+ + + (22)
Константы ( 0 8)iD i = ÷ не выписываются из-за их громоздкости.
По аналогии с изложенным в [4], для случая теплоизолированных торцов пластины
стационарное решение уравнения энергии находится в виде
0 1 2 3 4 5
6 7 8
cos2 cos2 cos4 cos4 cos2 cos2
cos2 cos4 cos4 cos2 cos4 cos4 .
kx py kx py kx py
kx py kx py kx py
θ = θ +θ +θ +θ +θ +θ +
+ θ +θ +θ (23)
Выражения для констант ( 0 3)i iθ = ÷ из-за их громоздкости не приводятся.
Анализ полученного решения. Как видно из (18) и (19), если к актуатору подвести раз-
ность потенциалов, определяемую из соотношения 0 /M q Q= , нагрузка на пластину ис-
чезает и амплитуда вынужденных поперечных колебаний равна нулю. При этом геометри-
ческая нелинейность не влияет на ту разность потенциалов, которую необходимо подвести
к электродам для компенсации механической нагрузки. Поэтому для расчета указанной
разности потенциалов можно использовать более простую линейную теорию, детально из-
ложенную, например, в [5]. Для трансверсально-изотропного активного материала эта раз-
ность потенциалов определяется по формуле:
2 2
2 22
1
1
yt kl
a a
G h a
V V m n
G a b
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠− ν ′ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
. (24)
Для основной моды 1m n= = из формулы (24) следует
2 22
1 1
1
yt kl
a a
G h a
V V
G a b
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠− ν ′ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
. (25)
При этом поправка к классическому результату, полученному на основе гипотез Кирх-
гоффа—Лява, зависит от отношения модулей сдвигов
G
G
⎛ ⎞
⎜ ⎟′⎝ ⎠
и отношения толщины плас-
тины к размеру a . В зависимости от их значений величина поправки может быть доста-
точно большой.
Из выражения (23) и из физических соображений следует, что при колебаниях по
первой моде максимальная температура достигается в центре пластины, когда / 2,x a=
/ 2y b= , и равна
8
max
0
k
k=
θ = θ∑ . (26)
21ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 12
Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев жестко защемленных вязкоупругих пластин...
Приравнивая максимальную температуру точке деградации материала kθ , найдем кри-
тическую механическую нагрузку, при превышении которой пластина перестает выполнять
свое функциональное назначение. Например, если в качестве точки деградации выбирается
точка Кюри пьезоматериала, при подводе к электродам гармонической разности потенциа-
лов колебания пластины не будут возбуждаться из-за деполяризации материала.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Карнаухов В.Г., Козлов В.І., Карнаухова Т.В. Вимушені коливання і дисипативний розігрів шарнірно
опертої в’язкопружної пластини з п’єзосенсорами з врахуванням геометричної нелінійності та дефор-
мацій поперечного зсуву. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 11. С. 37—43.
2. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. Москва: Наука, 1977. 384 с.
3. Митропольский Ю.А. Нелинейная механика. Одночастотные колебания. Киев: Ин-т математики НАН
Украины, 1997. 344 с.
4. Булат А.Ф., Дырда В.И., Карнаухов В.Г., Звягильский Е.Л., Кобец А.С. Вынужденные колебания и дис-
сипативный разогрев неупругих тел. Киев: Наук. думка, 2014. 520 с.
5. Карнаухов В.Г., Козлов В.И., Карнаухова Т.В. Вплив деформацій зсуву на ефективність роботи п’єзо-
електричних сенсорів та актуаторів при активному демпфуванні резонансних коливань непружних
пластин і оболонок. Опір матеріалів і теорія споруд. 2015. № 95. С. 75—95.
Поступило в редакцию 09.06.2017
REFERENCES
1. Karnaykhov, V. G., Кozlov, V. І. & Karnaykhova, T. V. (2017). Dopov. Nac. acad. nauk Ukr., No. 11, pp. 37-43
(in Ukrainian).
2. Rabotnov, Yu. N. (1977). Elements of hereditary solid mechanics. Moscow: Nauka (in Russian).
3. Мitropolskiy, U. A. (1997). Nonlinear mechanics. Singlyfrequance vibrations. Кiev: Institute of Mathematics
of the NAS of Ukraine (in Russian).
4. Bulat, А. F., Dyrda, V. I., Каrnaukhov, V. G., Zviagil’sky, Е. L. & Коbеts, А. S. (2014). Forced vibrations and
dissipative heating of nonelastic bodies. Кiev: Naukova Dumka (in Russian).
5. Каrnaukhov, V. G., Kozlov, V. I. & Каrnaukhova, T. V. (2015). Strength of materials and theory of structures.
No. 95, pp. 75-95 (in Russian).
Received 09.06.2017
В.Г. Карнаухов 1, В.І. Козлов 1, Т.В. Карнаухова 2
1 Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
2 НТУ України “Київський політехнічний інститут ім. Ігоря Сікорського”
E-mail: karn@inmech.kiev.ua
ВИМУШЕНІ РЕЗОНАНСНІ КОЛИВАННЯ І ДИСИПАТИВНИЙ
РОЗІГРІВ ЖОРСТКО ЗАЩЕМЛЕНИХ В’ЯЗКОПРУЖНИХ ПЛАСТИН
З АКТУАТОРАМИ ПРИ ВРАХУВАННІ ГЕОМЕТРИЧНОЇ
НЕЛІНІЙНОСТІ Й ДЕФОРМАЦІЙ ПОПЕРЕЧНОГО ЗСУВУ
Представлено модель вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву прямокутних жорстко
защемлених в’язкопружних пластин з п’єзоактуаторами з врахуванням геометричної нелінійності й
деформацій поперечного зсуву. Методом Бубнова—Гальоркіна одержано аналітичний розв’язок цієї задачі.
Проведено аналіз впливу геометричної нелінійності, деформацій поперечного зсуву й температури диси-
пативного розігріву на ефективність активного демпфування коливань за допомогою п’єзоактуаторів.
Ключові слова: резонансні коливанняя, геометрична нелінійність, деформації поперечного зсуву, п’єзо ак-
ту атор, розігрів, активне демпфування.
22 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2017. № 12
В.Г. Карнаухов, В.И. Козлов, Т.В. Карнаухова
V.G. Karnaukhov 1, V.І. Кozlov 1, T.V. Karnaukhova 2
1 S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev
2 NTU of Ukraine “Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute”
E-mail: karn@inmech.kiev.ua
FORCED RESONANT VIBRATIONS AND DISSIPATIVE
HEATING OF RIGIDLY FIXED VISCOELASTIC PLATES
WITH ACTUATORS WITH REGARD FOR A GEOMETRICAL
NONLINEARITY AND TRANSVERSE SHEAR STRAINS
A model of forced resonant vibrations and the dissipative heating of rigidly fixed viscoelastic plates with piezo-
actuators with regard for a geometrical nonlinearity and transverse shear strains is considered. By the Bubnov—
Galerkin method, the approximate analytic solution of this problem is given. The influence of these factors on
the effectiveness of the active damping of vibrations by piezoactuators is analyzed.
Keywords: resonant vibrations, geometrical nonlinearity, shear strains, temperature, piezoactuators, heating, active
damping.
|