Применение энтропийного коэффициента для оптимизации числа интервалов при интервальных оценках
Показано, что в качестве критерия выбора числа интервалов группирования опытных данных при интервальных оценках может использоваться энтропийный коэффициент. В соответствии с описанной процедурой быстрого определения числа интервалов на массиве данных исследована точность имеющихся в литературе и пр...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Технология и конструирование в электронной аппаратуре |
|---|---|
| Дата: | 2017 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут фізики напівпровідників імені В.Є. Лашкарьова НАН України
2017
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/130090 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Применение энтропийного коэффициента для оптимизации числа интервалов при интервальных оценках / А.Н. Тыныныка // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. — 2017. — № 3. — С. 49-54. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-130090 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Тыныныка, А.Н. 2018-02-05T16:29:37Z 2018-02-05T16:29:37Z 2017 Применение энтропийного коэффициента для оптимизации числа интервалов при интервальных оценках / А.Н. Тыныныка // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. — 2017. — № 3. — С. 49-54. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 2225-5818 DOI: 10.15222/TKEA2017.3.49 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/130090 621.9 Показано, что в качестве критерия выбора числа интервалов группирования опытных данных при интервальных оценках может использоваться энтропийный коэффициент. В соответствии с описанной процедурой быстрого определения числа интервалов на массиве данных исследована точность имеющихся в литературе и предложенных новых формул. Проведен анализ в сравнении с ранее опубликованными результатами применения для этих целей критерия согласия Пирсона. Сделаны расчеты с целью сравнения эффективности применения одних и тех же формул при распределении выборочных данных по нормальному закону и по закону Рэлея. Показано, що як критерій вибору числа інтервалів групування досліджених даних при інтервальних оцінках можна використовувати ентропійний коефіцієнт. Відповідно до описаної процедури швидкого визначення числа інтервалів на масиві даних досліджено точність наявних в літературі і запропонованих нових формул. Проведено аналіз в порівнянні з раніше опублікованими результатами застосування для цих цілей критерію згоди Пірсона. Зроблено розрахунки з метою порівняння ефективності застосування одних і тих самих формул при розподілі вибіркових даних за нормальним законом і за законом Релея. In solving many statistical problems, the most precise choice of the distribution law of a random variable is required, the sample of which the authors observe. This choice requires the construction of an interval series. Therefore, the problem arises of assigning an optimal number of intervals, and this study proposes a number of formulas for solving it. Which of these formulas solves the problem more accurately? In [9], this question is investigated using the Pearson criterion. This article describes the procedure and on its basis gives formulas available in literature and proposed new formulas using the entropy coefficient. A comparison is made with the previously published results of applying Pearson's concord criterion for these purposes. Differences in the estimates of the accuracy of the formulas are found. The proposed new formulas for calculating the number of intervals showed the best results. Calculations have been made to compare the work of the same formulas for the distribution of sample data according to the normal law and the Rayleigh law. ru Інститут фізики напівпровідників імені В.Є. Лашкарьова НАН України Технология и конструирование в электронной аппаратуре Метрология. Стандартизация Применение энтропийного коэффициента для оптимизации числа интервалов при интервальных оценках Застосування ентропійного коефіцієнта для оптимізації числа інтервалів при інтервальних оцінках Application of the entropic coefficient for interval number optimization during interval assessment Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Применение энтропийного коэффициента для оптимизации числа интервалов при интервальных оценках |
| spellingShingle |
Применение энтропийного коэффициента для оптимизации числа интервалов при интервальных оценках Тыныныка, А.Н. Метрология. Стандартизация |
| title_short |
Применение энтропийного коэффициента для оптимизации числа интервалов при интервальных оценках |
| title_full |
Применение энтропийного коэффициента для оптимизации числа интервалов при интервальных оценках |
| title_fullStr |
Применение энтропийного коэффициента для оптимизации числа интервалов при интервальных оценках |
| title_full_unstemmed |
Применение энтропийного коэффициента для оптимизации числа интервалов при интервальных оценках |
| title_sort |
применение энтропийного коэффициента для оптимизации числа интервалов при интервальных оценках |
| author |
Тыныныка, А.Н. |
| author_facet |
Тыныныка, А.Н. |
| topic |
Метрология. Стандартизация |
| topic_facet |
Метрология. Стандартизация |
| publishDate |
2017 |
| language |
Russian |
| container_title |
Технология и конструирование в электронной аппаратуре |
| publisher |
Інститут фізики напівпровідників імені В.Є. Лашкарьова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Застосування ентропійного коефіцієнта для оптимізації числа інтервалів при інтервальних оцінках Application of the entropic coefficient for interval number optimization during interval assessment |
| description |
Показано, что в качестве критерия выбора числа интервалов группирования опытных данных при интервальных оценках может использоваться энтропийный коэффициент. В соответствии с описанной процедурой быстрого определения числа интервалов на массиве данных исследована точность имеющихся в литературе и предложенных новых формул. Проведен анализ в сравнении с ранее опубликованными результатами применения для этих целей критерия согласия Пирсона. Сделаны расчеты с целью сравнения эффективности применения одних и тех же формул при распределении выборочных данных по нормальному закону и по закону Рэлея.
Показано, що як критерій вибору числа інтервалів групування досліджених даних при інтервальних оцінках можна використовувати ентропійний коефіцієнт. Відповідно до описаної процедури швидкого визначення числа інтервалів на масиві даних досліджено точність наявних в літературі і запропонованих нових формул. Проведено аналіз в порівнянні з раніше опублікованими результатами застосування для цих цілей критерію згоди Пірсона. Зроблено розрахунки з метою порівняння ефективності застосування одних і тих самих формул при розподілі вибіркових даних за нормальним законом і за законом Релея.
In solving many statistical problems, the most precise choice of the distribution law of a random variable is required, the sample of which the authors observe. This choice requires the construction of an interval series. Therefore, the problem arises of assigning an optimal number of intervals, and this study proposes a number of formulas for solving it. Which of these formulas solves the problem more accurately? In [9], this question is investigated using the Pearson criterion. This article describes the procedure and on its basis gives formulas available in literature and proposed new formulas using the entropy coefficient. A comparison is made with the previously published results of applying Pearson's concord criterion for these purposes. Differences in the estimates of the accuracy of the formulas are found. The proposed new formulas for calculating the number of intervals showed the best results. Calculations have been made to compare the work of the same formulas for the distribution of sample data according to the normal law and the Rayleigh law.
|
| issn |
2225-5818 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/130090 |
| citation_txt |
Применение энтропийного коэффициента для оптимизации числа интервалов при интервальных оценках / А.Н. Тыныныка // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. — 2017. — № 3. — С. 49-54. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT tynynykaan primenenieéntropiinogokoéfficientadlâoptimizaciičislaintervalovpriintervalʹnyhocenkah AT tynynykaan zastosuvannâentropíinogokoefícíêntadlâoptimízacííčislaíntervalívpriíntervalʹnihocínkah AT tynynykaan applicationoftheentropiccoefficientforintervalnumberoptimizationduringintervalassessment |
| first_indexed |
2025-11-27T00:38:14Z |
| last_indexed |
2025-11-27T00:38:14Z |
| _version_ |
1850781728305577984 |
| fulltext |
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 2017, ¹ 3
49
ÌÅÒÐÎËÎÃÈЯ. ÑÒÀÍÄÀÐÒÈÇÀÖÈЯ
ISSN 2225-5818
ÓÄÊ 621.9
К. т. н. А. Н. ТЫНЫНЫКА
Óêðàèíà, Одåññêèé íàцèîíàëьíыé ïîëèòåõíèчåñêèé óíèâåðñèòåò
E-mail: nikal1091@gmail.com
ПРИМЕНЕНИЕ ЭНÒРОПИЙНОГО ÊОЭФФИЦИЕНÒА
ÄЛЯ ОПÒИМИЗАЦИИ ЧИСЛА ИНÒЕРВАЛОВ
ПРИ ИНÒЕРВАЛЬНЫХ ОЦЕНÊАХ
В ïðîцåññ óïðàâëåíèÿ êàчåñòâîм ïðîдóêцèè
ïðîмышëåííîãî ïðåдïðèÿòèÿ âõîдèò ñбîð ýêñ-
ïåðèмåíòàëьíыõ дàííыõ ñ ïîñëåдóющåé èõ îб-
ðàбîòêîé. В ïðîцåдóðó ïåðâèчíîé îбðàбîòêè
ðåзóëьòàòîâ ýêñïåðèмåíòà чàщå âñåãî âêëючà-
юò ñîïîñòàâëåíèå ãèïîòåз î зàêîíå ðàñïðåдåëå-
íèÿ дàííыõ, îïèñыâàющåм ñ íàèмåíьшåé ïî-
ãðåшíîñòью ñëóчàéíóю âåëèчèíó ïî íàбëюдà-
åмîé âыбîðêå. В ýòîм ñëóчàå âыбîðêà ïðåд-
ñòàâëÿåòñÿ â âèдå ãèñòîãðàммы, ñîñòîÿщåé èз k
ñòîëбцîâ, ïîñòðîåííыõ íà èíòåðâàëàõ ïðîòÿжåí-
íîñòью d. Идåíòèфèêàцèè фîðмы ðàñïðåдåëå-
íèÿ ðåзóëьòàòîâ (èëè ïîãðåшíîñòåé) èзмåðåíèé
òðåбóåò òàêжå ðÿд зàдàч, ýффåêòèâíîñòь ðåшå-
íèÿ êîòîðыõ ðàзëèчíà дëÿ ðàзëèчíыõ ðàñïðå-
дåëåíèé (íàïðèмåð, èñïîëьзîâàíèå мåòîдà íàè-
мåíьшèõ êâàдðàòîâ èëè âычèñëåíèå îцåíîê ýí-
òðîïèè). Идåíòèфèêàцèÿ ðàñïðåдåëåíèé íóжíà
åщå è ïîòîмó, чòî ðàññåÿíèå âñåõ îцåíîê (ñðåд-
íåãî êâàдðàòèчåñêîãî îòêëîíåíèÿ, ýêñцåññà, êîí-
òðýêñцåññà è дð.) îïÿòь-òàêè зàâèñèò îò фîðмы
зàêîíà ðàñïðåдåëåíèÿ, êàê ïîêàзàíî â èññëåдî-
âàíèÿõ, íà êîòîðыå ïðèíÿòî ññыëàòьñÿ êàê íà
êëàññèчåñêèå [1—4].
Оò îбъåмà âыбîðêè зàâèñèò óñïåшíîñòь èдåí-
òèфèêàцèè фîðмы ðàñïðåдåëåíèÿ ýêñïåðèмåí-
òàëьíыõ дàííыõ, è åñëè îí мàë, îñîбåííîñòè
ðàñïðåдåëåíèÿ îêàзыâàюòñÿ зàмàñêèðîâàííы-
мè ñëóчàéíîñòью ñàмîé âыбîðêè. В òàêîé ñèòó-
àцèè âàжíî íàèëóчшèм îбðàзîм ðàñïðåдåëèòь
âыбîðîчíыå дàííыå ïî èíòåðâàëàм, êîãдà дëÿ
дàëьíåéшåãî àíàëèзà è ðàñчåòîâ èíòåðâàëьíыé
Показано, что в качестве критерия выбора числа интервалов группирования опытных данных при
интервальных оценках может использоваться энтропийный коэффициент. В соответствии с опи-
санной процедурой быстрого определения числа интервалов на массиве данных исследована точ-
ность имеющихся в литературе и предложенных новых формул. Проведен анализ в сравнении с
ранее опубликованными результатами применения для этих целей критерия согласия Пирсона.
Сделаны расчеты с целью сравнения эффективности применения одних и тех же формул при рас-
пределении выборочных данных по нормальному закону и по закону Рэлея.
Ключевые слова: энтропийный коэффициент, число интервалов группирования, интервальные оцен-
ки, распределение Рэлея, нормальное распределение.
ðÿд íåîбõîдèм. И òóò ñðàзó жå âîзíèêàåò âî-
ïðîñ î íàзíàчåíèè чèñëà èíòåðâàëîâ k, ïîòîмó
чòî îò ýòîãî зàâèñèò óñïåшíîñòь èдåíòèфèêàцèè.
А. Хàëьд â êíèãå [1] ïðîñòðàííî óбåждàåò, чòî
ñóщåñòâóåò îïòèмàëьíîå чèñëî èíòåðâàëîâ ãðóï-
ïèðîâàíèÿ, êîãдà ñòóïåíчàòàÿ îãèбàющàÿ ãèñòî-
ãðàммы, ïîñòðîåííîé íà ýòèõ èíòåðâàëàõ, íàè-
бîëåå бëèзêà ê ïëàâíîé êðèâîé ðàñïðåдåëåíèÿ
ãåíåðàëьíîé ñîâîêóïíîñòè. Одíèм èз ïðàêòèчå-
ñêèõ ïðèзíàêîâ ïðèбëèжåíèÿ ê îïòèмóмó мîжåò
ñëóжèòь èñчåзíîâåíèå â ãèñòîãðàммå ïðîâàëîâ,
è òîãдà бëèзêèм ê îïòèмóмó ñчèòàåòñÿ íàèбîëь-
шåå k, ïðè êîòîðîм ãèñòîãðàммà åщå ñîõðàíÿåò
ïëàâíыé õàðàêòåð.
Очåâèдíî, чòî âèд ãèñòîãðàммы зàâèñèò îò
ïîñòðîåíèÿ èíòåðâàëîâ ïðèíàдëåжíîñòè ñëó-
чàéíîé âåëèчèíы. Одíàêî дàжå â ñëóчàå ðàâíî-
мåðíîãî ðàзбèåíèÿ дî ñèõ ïîð íåò óдîâëåòâîðè-
òåëьíîãî ñïîñîбà òàêîãî ïîñòðîåíèÿ. Рàзбèåíèå,
êîòîðîå мîжíî быëî бы ñчèòàòь ïðàâèëьíым,
ïðèâîдèò ê òîмó, чòî îшèбêà àïïðîêñèмàцèè
êóñîчíî-ïîñòîÿííîé фóíêцèåé ïðåдïîëîжèòåëь-
íî íåïðåðыâíîé ïëîòíîñòè ðàñïðåдåëåíèÿ (ãè-
ñòîãðàммîé) бóдåò мèíèмàëьíîé. Зàòðóдíåíèÿ
òóò âызâàíы òåм, чòî îцåíèâàåмàÿ ïëîòíîñòь íå-
èзâåñòíà, ïîýòîмó чèñëî èíòåðâàëîâ ñèëьíî ñêà-
зыâàåòñÿ íà âèдå ðàñïðåдåëåíèÿ чàñòîò êîíåчíîé
âыбîðêè. Пðè фèêñèðîâàííîé åå дëèíå óêðóï-
íåíèå èíòåðâàëîâ ðàзбèåíèÿ âåдåò íå òîëьêî ê
óòîчíåíèю ýмïèðèчåñêîé âåðîÿòíîñòè ïîïàдàíèÿ
â íèõ, íî è ê íåèзбåжíîé ïîòåðå èíфîðмàцèè
(êàê â îбщåм шèðîêîм ñмыñëå, òàê è â ñмыñ-
DOI: 10.15222/TKEA2017.3.49
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 2017, ¹ 3
50
ÌÅÒÐÎËÎÃÈЯ. ÑÒÀÍÄÀÐÒÈÇÀÖÈЯ
ISSN 2225-5818
ëå êðèâîé ðàñïðåдåëåíèÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíî-
ñòè), ïîýòîмó ïðè дàëьíåéшåм íåîбîñíîâàííîм
óêðóïíåíèè ñëèшêîм ñèëьíî ñãëàжèâàåòñÿ èзó-
чàåмîå ðàñïðåдåëåíèå.
Одíàжды âîзíèêíóâ, зàдàчà îïòèмàëьíîãî
ðàзбèåíèÿ ðàзмàõà ïîд ãèñòîãðàммó íå èñчåзà-
åò èз ïîëÿ зðåíèÿ ñïåцèàëèñòîâ, è ïîêà íå ïî-
ÿâèòñÿ åдèíñòâåííîå óñòîÿâшååñÿ мíåíèå îòíî-
ñèòåëьíî åå ðåшåíèÿ, зàдàчà бóдåò îñòàâàòьñÿ
àêòóàëьíîé. Рåшåíèÿ âðåмÿ îò âðåмåíè ïðåдëà-
ãàюòñÿ — ëèбî ýмïèðèчåñêèå (îòêðîâåííî èëè
зàâóàëèðîâàííî), ëèбî àâòîðы ñèëьíî óïðîщà-
юò зàдàчó, ñчèòàÿ àïðèîðè èзâåñòíым зàêîí ðàñ-
ïðåдåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé. Иíîãдà ðåêîмåíдàцèè
èмåюò ïðîèзâîëьíî-дèðåêòèâíыé õàðàêòåð òèïà
«чèñëî èíòåðâàëîâ íå дîëжíî âыõîдèòь зà ïðåдå-
ëы 6…20», ïðè ýòîм èãíîðèðóåòñÿ дàжå òî îчå-
âèдíîå îбñòîÿòåëьñòâî, чòî íàзâàííыé дèàïàзîí
ñëèшêîм шèðîê è дåëàòь âыбîð íóжíî â íåм.
Пåðâым, âåðîÿòíî, быë Сòàðджåñ, êîòîðыé
åщå â 1926 ãîдó â [2] ðàññмîòðåë èдåàëèзèðîâàí-
íóю ãèñòîãðàммó èз k èíòåðâàëîâ, ãдå i-å зíàчå-
íèå быëî ðàâíî бèíîмèàëьíîмó êîýффèцèåíòó:
1
1
i
i kk C
. Еñëè ñчèòàòь ýòî ïðàâîмåðíым, òî
дàëьшå íà îñíîâàíèè фîðмàëьíыõ ïðåîбðàзî-
âàíèé мîжíî зàïèñàòь дëÿ ñóммы êîýффèцèåí-
òîâ (ãðóïïîâыõ чàñòîò) ñëåдóющåå:
1 1
1
1 1
2 ,
k k
i k
k iC k n
îòêóдà
k = 1 + 3,3lgn, (1)
ãдå n — îбъåм âыбîðêè.
В òàêîм âèдå фîðмóëà ïîïàëà ïðàêòèчåñêè âî
âñå óчåбíèêè ïî ñòàòèñòèêå. Пðè ýòîм îíà ñòà-
òèñòèчåñêè íå îбîñíîâàíà, íî åå, ïîжàëóé, âñå
жå мîжíî ñчèòàòь ïîëóýмïèðèчåñêîé, à íå ïîë-
íîñòью ïîдîбðàííîé.
В 1942 ã. Мàíí è Вàëьд óшëè îò ëîãàðèфмè-
чåñêîé зàâèñèмîñòè è дàëè îцåíêó îïòèмàëьíîãî
чèñëà èíòåðâàëîâ â âèдå ñòåïåííîé фóíêцèè [3]
k = 4⋅[0,75(n – 1)2]1/5. (2)
В 1950 ã. Н. В. Смèðíîâ ïîêàзàë, чòî îò-
êëîíåíèå ãèñòîãðàммы îò íåèзâåñòíîãî ãðàфè-
êà ïëîòíîñòè óбыâàåò ñ óâåëèчåíèåм âыбîðêè
ïî зàêîíó 1/n1/3 [4].
В [5] Ä. Сêîòò дëÿ îцåíêè дëèíы èíòåðâàëà
ãèñòîãðàммы мèíèмèзèðîâàë ñðåдíåêâàдðàòèчå-
ñêóю îшèбêó è ïîëóчèë дëÿ ñëóчàÿ дèффåðåí-
цèðóåмîé ïëîòíîñòè àñèмïòîòèчåñêóю îцåíêó
îïòèмàëьíîé дëèíы èíòåðâàëà
23
6 ,d
n f x dx
ò. å. здåñь чèñëî èíòåðâàëîâ ïðîïîðцèîíàëь-
íî n1/3.
Äëÿ íîðмàëьíîãî ðàñïðåдåëåíèÿ
3
3,5 ,d
n
ãдå s — ñðåдíåêâàдðàòèчåñêîå îòêëîíåíèå.
Сëåдóåò îòмåòèòь, чòî чàñòî ýòó фîðмóëó ïðè-
мåíÿюò дëÿ ïåðâîíàчàëьíîé îцåíêè дëèíы èí-
òåðâàëîâ ïðè íåèзâåñòíîм зàêîíå ðàñïðåдåëåíèÿ.
В ñëóчàå ïðîñòîãî ëèíåéíîãî ðàñïðåдåëåíèÿ
f(x) = 2x îïòèмàëьíàÿ дëèíà èíòåðâàëà
3 3 ,
2
d
n
è åñëè фóíêцèÿ f(x) зàдàíà íà îòðåзêå [0; 1],
ïîëóчèм
3 2 .
3
nk
(3)
В [6, ñ. 51] быëà ïðèâåдåíà îцåíêà чèñëà èí-
òåðâàëîâ îïòèмàëьíîãî ðàзбèåíèÿ дëÿ àïïðîê-
ñèмàцèè дâàжды дèффåðåíцèðóåмîé ïëîòíî-
ñòè f(x):
max5
max
( )
.
4 ( )
n f x
k
f x
(4)
Фîðмóëы (3) è (4) íåëьзÿ ïðèмåíÿòь ê ðàâ-
íîмåðíîмó ðàñïðåдåëåíèю è ê ïëîñêèм òðàïå-
цèåâèдíым ðàñïðåдåëåíèÿм.
Ещå îдíà фîðмóëà бåз êàêèõ-ëèбî ïîÿñíåíèé
è дîêàзàòåëьñòâ ïðèâîдèòñÿ â [7, ñ. 178; 8, ñ. 81]
(â [7] — ñî ññыëêîé íà àâòîðåфåðàò êàíдèдàò-
ñêîé дèññåðòàцèè И. Ó. Аëåêñååâîé, 1975 ã.):
5 21 1 ,
6
k n
(5)
ãдå c — ýêñцåññ ðàñïðåдåëåíèÿ.
В [7] ñîбðàíî íåñêîëьêî ýâðèñòèчåñêèõ фîð-
мóë íàõîждåíèÿ чèñëà èíòåðâàëîâ â зàâèñèмîñòè
îò âыбîðêè, ïðåдëîжåííыõ ðàзíымè àâòîðàмè.
Нî ïîñêîëьêó ïðè зíàчèòåëьíыõ îбъåмàõ âыбî-
ðîê ðàзбðîñ зíàчåíèé èíòåðâàëîâ, зàдàâàåмыõ
ðàзëèчíымè фîðмóëàмè, дîâîëьíî âåëèê, â [9]
быëà ïîñòàâëåíà зàдàчà âыÿñíèòь, êàêàÿ èз èмå-
ющèõñÿ фîðмóë íàèëóчшàÿ. Пðåдïîëàãàëîñь,
чòî ãåíåðàëьíàÿ ñîâîêóïíîñòь ýêñïåðèмåíòàëь-
íыõ дàííыõ, èз êîòîðîé âзÿòà èññëåдóåмàÿ âы-
бîðêà, èмååò ãëàдêóю êðèâóю ðàñïðåдåëåíèÿ,
чòîбы мîжíî быëî ñчèòàòь, чòî ïîÿâëÿющèå-
ñÿ ïðè ãðóïïèðîâàíèè ïðîâàëы è âñïëåñêè íà
îòдåëьíыõ èíòåðâàëàõ ïîðîждàюòñÿ ñëóчàéíî-
ñòью ïîïàдàíèÿ èзмåðåííыõ зíàчåíèé â мàëóю
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 2017, ¹ 3
51
ÌÅÒÐÎËÎÃÈЯ. ÑÒÀÍÄÀÐÒÈÇÀÖÈЯ
ISSN 2225-5818
âыбîðêó. Нà зàâîдå èз 500 зàãîòîâîê, ê êîòîðым
ïðè èзãîòîâëåíèè ïðåдъÿâëÿëîñь òðåбîâàíèå ïî
мàññå 06
0417m êã, быëî îòîбðàíî 80 è èзмåðå-
íà èõ мàññà. Чèñëî èíòåðâàëîâ îïðåдåëÿëîñь ïî
шåñòè фîðмóëàм, ñòðîèëèñь ðàâíîèíòåðâàëьíыå
ðÿды, íà èõ îñíîâå — ãèñòîãðàммы è дåëàëîñь
зàêëючåíèå î íàèбîëåå òîчíîé фîðмóëå. В êà-
чåñòâå êðèòåðèÿ èñïîëьзîâàëñÿ êðèòåðèé ñîãëà-
ñèÿ Пèðñîíà.
Êðèòåðèé Пèðñîíà, êàê èзâåñòíî, òðåбóåò ðàз-
бèåíèÿ âыбîðêè íà èíòåðâàëы — èмåííî â íèõ
ïðîèзâîдèòñÿ îцåíêà îòëèчèÿ мåждó ïðèíÿòîé
мîдåëью è ñðàâíèâàåмîé âыбîðêîé. Одíàêî ïðè-
мåíåíèå ýòîãî êðèòåðèÿ â ñëóчàå èíòåðâàëîâ ïî-
ñòîÿííîé дëèíы, èñïîëьзóåмыõ îбычíî дëÿ ïî-
ñòðîåíèÿ ãèñòîãðàмм, íåýффåêòèâíî. Пîýòîмó
â ðàбîòàõ ïî ýффåêòèâíîñòè êðèòåðèÿ Пèðñîíà
ðàññмàòðèâàюòñÿ èíòåðâàëы íå ñ ðàâíîé дëè-
íîé, à ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòью â ñîîòâåòñòâèè ñ
ïðèíèмàåмîé мîдåëью. Пðè ýòîм, îдíàêî, чèñ-
ëî èíòåðâàëîâ ðàâíîé дëèíы è чèñëî èíòåðâà-
ëîâ ðàâíîé âåðîÿòíîñòè ðàзëèчàюòñÿ â ðàзы (зà
èñêëючåíèåм ðàâíîâåðîÿòíîãî ðàñïðåдåëåíèÿ),
чòî ïîзâîëÿåò ñîмíåâàòьñÿ â дîñòîâåðíîñòè ïî-
ëóчåííыõ â [9] ðåзóëьòàòîâ.
В íàñòîÿщåé ðàбîòå ñ èñïîëьзîâàíèåм ýíòðî-
ïèéíîãî êîýффèцèåíòà â êàчåñòâå êðèòåðèÿ бëè-
зîñòè èññëåдîâàíà ïðàâîмîчíîñòь ïðèмåíåíèÿ
èмåющèõñÿ â ëèòåðàòóðå è ïðåдëîжåííыõ àâòî-
ðîм фîðмóë, ïðåдíàзíàчåííыõ дëÿ îïðåдåëåíèÿ
îïòèмàëьíîãî чèñëà èíòåðâàëîâ ãðóïïèðîâàíèÿ
ýêñïåðèмåíòàëьíыõ дàííыõ, à òàêжå èõ ýффåê-
òèâíîñòь ïðè ðàñïðåдåëåíèè ïëîòíîñòè âåðîÿò-
íîñòè, îòëèчíîм îò íîðмàëьíîãî.
Èсследуемые формулы и методика
проведения их оценки
Оцåíèм îдèííàдцàòь âыðàжåíèé — шåñòь,
êîòîðыå быëè ðàññмîòðåíы â [9], è ïÿòь, ïðåдëî-
жåííыõ â íàñòîÿщåé ðàбîòå. Êðîмå ïðèâåдåííîé
âышå фîðмóëы Сòàðджåñà (1), ýòî ñëåдóющèå:
— Бðóêñà è Êàððóзåðà
k = 5lgn; (6)
— И. Хàéíõîëьдà è Ê. Гàåдå
k = n1/2; (7)
— З. Òàóшàíîâà
k = 4lgn; (8)
— Е. Òîíåâîé
k = 5lg(0,1n); (9)
— Ê. Óèëьÿмñà
k = 2[0,85(n – 1)]0,4 – 1; (10)
— k = 5lgn – 1; (11)
— k = 10(lgn – 1) (12)
— k = 2n1/3; (13)
— k = 6lg(0,1n) + 6; (14)
— k = 2(2n)1/3. (15)
Äëÿ âыбîðà íàèбîëåå òîчíîé фîðмóëы âîñ-
ïîëьзóåмñÿ ýíòðîïèéíым êîýффèцèåíòîм ký,
ïðåдëîжåííым â êàчåñòâå чèñëîâîé õàðàêòåðè-
ñòèêè фîðмы ðàñïðåдåëåíèÿ â [10]. Пî ãèñòî-
ãðàммå îí âычèñëÿåòñÿ êàê
10 ,
2э
dnk
(16)
1
1
lg ,
k
j j
j
n n
n
ãдå nj — чèñëî íàбëюдåíèé â j-м èíòåðâàëå,
j = 0, ..., k.
Пðîцåдóðà, ïî êîòîðîé бóдåм ïðîâîдèòь îцåí-
êó òîчíîñòè фîðмóë, ñëåдóющàÿ.
1) Из èñõîдíîé, бîëьшîé, âыбîðêè ïóòåм óдà-
ëåíèÿ âñåõ íåчåòíыõ чëåíîâ ñфîðмèðóåм мåíь-
шóю âыбîðêó.
2) Нàéдåм зíàчåíèÿ чèñëà èíòåðâàëîâ ïî
мåíьшåé âыбîðêå â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèâåдåííы-
мè фîðмóëàмè дëÿ ðàñчåòà k.
3) Оïðåдåëèм дèàïàзîí зíàчåíèé k, â êîòî-
ðîм бóдóò ïðîâîдèòьñÿ ðàñчåòы ýíòðîïèéíîãî
êîýффèцèåíòà ký.
4) Вычèñëèм ýíòðîïèéíыé êîýффèцèåíò ïî
бîëьшîé âыбîðêå дëÿ мàêñèмàëьíîãî зíàчåíèÿ
k è ïðèмåм åãî зà ýòàëîííыé (kýý).
5) Вычèñëèм ýíòðîïèéíыé êîýффèцèåíò ïî
мåíьшåé âыбîðêå дëÿ âñåõ, êðîмå мàêñèмàëь-
íîãî, зíàчåíèé k (kýk).
6) Пóòåм ñðàâíåíèÿ ïîëóчåííыõ дàííыõ óñòà-
íîâèм, ïðè êàêîм чèñëå èíòåðâàëîâ зíàчåíèå kýk
бóдåò íàèбîëåå бëèзêèм ê ýòàëîííîмó, à зàòåм, êà-
êèå фîðмóëы дàëè òàêîå жå чèñëî èíòåðâàëîâ —
èмåííî îíè бóдóò ñчèòàòьñÿ ñàмымè òîчíымè.
Проверка формул на массиве данных,
распределенных по закону Ãаусса
Äëÿ êîððåêòíîãî ñðàâíåíèÿ ðåзóëьòàòîâ íà-
шèõ èññëåдîâàíèé ñ ïîëóчåííымè â [9] бóдåм
ðàññмàòðèâàòь ýêñïåðèмåíòàëьíóю âыбîðêó ñ
òàêèмè жå, êàê è â [9], ïàðàмåòðàмè — îбъåм
n = 80, ðàзмàõ R = 0,98 êã, ñðåдíåêâàдðàòèчå-
ñêîå îòêëîíåíèå s = 0,238 êã. Òîãдà, â ñîîòâåò-
ñòâèè ñ îïèñàííîé âышå ïðîцåдóðîé, ñфîðмè-
ðóåм мåíьшóю âыбîðêó îбъåмîм 40 è ðàññчè-
òàåм ïî èññëåдóåмым фîðмóëàм зíàчåíèÿ чèñ-
ëà èíòåðâàëîâ k.
Êàê âèдíî èз табл. 1, зíàчåíèÿ k ëåжàò â дè-
àïàзîíå 3—10. Пîñêîëьêó зàдàâàòь k = 3 íåðà-
цèîíàëьíî, дëÿ дàëьíåéшèõ ðàñчåòîâ бóдåм ðàñ-
ñмàòðèâàòь зíàчåíèÿ k â дèàïàзîíå îò 4 дî 12.
Пðè ðàзбèåíèè èñõîдíîé âыбîðêè íà 12 ðàâ-
íыõ чàñòåé (k = 12) ïîëóчàåм ïî фîðмóëå (16)
ýòàëîííыé ýíòðîïèéíыé êîýффèцèåíò kýý = 1,89.
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 2017, ¹ 3
52
ÌÅÒÐÎËÎÃÈЯ. ÑÒÀÍÄÀÐÒÈÇÀÖÈЯ
ISSN 2225-5818
Нîмåð
фîðмóëы
Чèñëî èíòåðâàëîâ k
ïðè ðàñïðåдåëåíèè
Гàóññà Рýëåÿ
(1) 6 7
(6) 8 8
(7) 6 7
(8) 6 7
(9) 3 4
(10) 7 8
(11) 7 8
(12) 6 7
(13) 7 7
(14) 10 10
(15) 9 9
Рåзóëьòàòы ðàñчåòà kýk ïðè чèñëå èíòåðâàëîâ
îò 4 дî 11 ïðèâåдåíы â табл. 2. Сðàâíåíèå ýòèõ
зíàчåíèé ñ ýòàëîííым ïîêàзыâàåò, чòî íàèëóч-
шàÿ ãèñòîãðàммà бóдåò ïîñòðîåíà íà ñåмè èíòåð-
âàëàõ. Пðè ýòîм, êàê âèдíî èз òàбë. 1, зíàчåíèå
k = 7 дàюò фîðмóëà Óèëьÿмñà (10) è ïðåдëî-
жåííыå â дàííîé ðàбîòå фîðмóëы (11) è (13).
Одèíàêîâî óõóдшàåòñÿ ðåзóëьòàò ïðè ðàзбèåíèè
íà 6 è 8 èíòåðâàëîâ, ïðè ýòîм k = 6 ïîëóчàåòñÿ
ïî фîðмóëàм (1), (7), (8), (12), à k = 8 — ïî
фîðмóëå (6). Ещå õóжå бóдåò ãèñòîãðàммà íà
10 èíòåðâàëàõ (фîðмóëà (14)) è íà 9 (фîðмó-
ëà (15)).
Òàêèм îбðàзîм, ïðè èñïîëьзîâàíèè ýíòðî-
ïèéíîãî êîýффèцèåíòà фîðмóëы, ðàññмîòðåí-
íыå â [9], ïî óбыâàíèю òîчíîñòè ðàñïîëàãàюò-
ñÿ ñëåдóющèм îбðàзîм: (10), (1), (6), (7), (8),
(9). Пîñëåдîâàòåëьíîñòь жå, ïîëóчåííàÿ â [9],
дðóãàÿ, à èмåííî: (7), (1), (10), (8), (6), (9).
Проверка формул на массиве данных,
распределенных по закону Ðэлея
Пðîâåðèм, èзмåíèòñÿ ëè ïîëóчåííыé ðåé-
òèíã фîðмóë дëÿ ðàñïðåдåëåíèÿ, îòëèчíîãî îò
íîðмàëьíîãî. Äëÿ îцåíêè âыбåðåм зàêîí Рýëåÿ
f(x) = x⋅exp(–x2/(2s2))/s2.
Чòîбы ïîëóчèòь èññëåдóåмóю âыбîðêó îбъ-
åмîм 100, ñ ïîмîщью ïðîãðàммы Mathworks
Matlab быëè ñãåíåðèðîâàíы 100 чèñåë, ðàñïðå-
дåëåííыõ ïî ýòîмó зàêîíó â дèàïàзîíå îò 0 дî
100 (ñ òîчíîñòью ïÿòè зíàêîâ ïîñëå зàïÿòîé),
è îêðóãëåíы дî цåëыõ дëÿ âíåñåíèÿ ïîмåõè.
Рàзмàõ ïîëóчåííîãî âàðèàцèîííîãî ðÿдà ñîñòà-
âèë 98. Сîîòâåòñòâåííî, îбъåм мåíьшåé âыбîðêè
ñîñòàâëÿåò 50. Рàññчèòàííыå ïðè n = 50 зíàчåíèÿ
чèñëà èíòåðâàëîâ k òàêжå ïðèâåдåíы â òàбë. 1.
В дàííîм ñëóчàå ðàзîбъåм бîëьшóю âыбîðêó
íà 14 ðàâíыõ èíòåðâàëîâ è ïîëóчèм kýý = 2,23.
Оïðåдåëèм зíàчåíèÿ ký ïî мàëîé âыбîðêå дëÿ
чèñëà èíòåðâàëîâ 4—10. Из ðåзóëьòàòîâ, ïðåд-
ñòàâëåííыõ â òàбë. 2, âèдíî, чòî ñàмыé бëèз-
êèé ê kýý ýíòðîïèéíыé êîýффèцèåíò — ký9, à íå
ký7, êàê â ïðåдыдóщåм ñëóчàå. Пðèчèíîé ñдâè-
ãà îïòèмàëьíîãî чèñëà èíòåðâàëîâ â бîëьшóю
ñòîðîíó, îчåâèдíî, ÿâëÿåòñÿ óâåëèчåíèå íà 25%
îбъåмà âыбîðêè, à òàêжå èзмåíåíèå зàêîíà ðàñ-
ïðåдåëåíèÿ âыбîðîчíыõ дàííыõ.
Êàê мîжíî âèдåòь èз òàбë. 2, ïî óбыâàíèю
òîчíîñòè фîðмóëы òåïåðь ðàñïîëîжèëèñь â òà-
êîé ïîñëåдîâàòåëьíîñòè: (15), (6), (10), (11),
(1), (7), (8), (12), (13), (14), (9).
Òàêèм îбðàзîм, фîðмóëы, êîòîðыå быëè ëóч-
шèмè ïðè èññëåдîâàíèè íîðмàëьíîé âыбîðêè, â
Òàбëèцà 2
Результаты расчета по малой выборке для двух видов распределения при различных заданных
значениях k
Òàбëèцà 1
Результаты расчета k по малой выборке для
двух видов распределения
k
Рàñïðåдåëåíèå Гàóññà Рàñïðåдåëåíèå Рýëåÿ
kýk Фîðмóëà* kýk Фîðмóëà*
4 ký4 = 1,51 ký4 = 1,66 (9)
5 ký5 = 1,81 ký5 = 1,72
6 ký6 = 1,82 (1); (7); (8); (12) ký6 = 1,73
7 ký7 = 1,85 (10); (11); (13) ký7 = 1,74 (1); (7); (8); (12); (13)
8 ký8 = 1,82 (6) ký8 = 1,75 (6); (10); (11)
9 ký9 = 1,77 (15) ký9 = 1,95 (15)
10 kэ10 = 1,8 (14) ký10 = 1,71 (14)
11 kэ11 = 1,78
*Нîмåðà фîðмóë, ïðè ðàñчåòå ïî êîòîðым ïî мåíьшåé âыбîðêå ïîëóчàåòñÿ
чèñëî èíòåðâàëîâ, óêàзàííîå â ãðàфå «k»
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 2017, ¹ 3
53
ÌÅÒÐÎËÎÃÈЯ. ÑÒÀÍÄÀÐÒÈÇÀÖÈЯ
ISSN 2225-5818
ñëóчàå ðàñïðåдåëåíèÿ âыбîðîчíыõ дàííыõ ïî зà-
êîíó Рýëåÿ ïîêàзàëè õîðîшèå, íî âñå жå íå ëóч-
шèå ðåзóëьòàòы, чòî ïîдòâåðждàåò зàâèñèмîñòь
îïòèмàëьíîãî чèñëà èíòåðâàëîâ îò âèдà зàêî-
íà ðàñïðåдåëåíèÿ ýêñïåðèмåíòàëьíыõ дàííыõ.
Çаключение
В ðåзóëьòàòå ïðîâåдåííыõ ðàñчåòîâ быëè îб-
íàðóжåíы ðàзëèчèÿ â òîчíîñòè ðàññмîòðåííыõ
фîðмóë ïðè îïðåдåëåíèè чèñëà èíòåðâàëîâ дëÿ
ïîñòðîåíèÿ íàèëóчшåé ãèñòîãðàммы ïðè èíòåð-
âàëьíыõ îцåíêàõ ïî êðèòåðèÿм Пèðñîíà è ïðè
èñïîëьзîâàíèè ýíòðîïèéíîãî êîýффèцèåíòà ký.
Вî âòîðîм ñëóчàå ëóчшåé èз шåñòè èññëåдîâàí-
íыõ â [9] быëà îïðåдåëåíà фîðмóëà Бðóêñà è
Êàððóзåðà (6) — è дëÿ ðàñïðåдåëåíèÿ Гàóññà,
è дëÿ ðàñïðåдåëåíèÿ Рýëåÿ, òîãдà êàê â [9] îíà
быëà ïðåдïîñëåдíåé â ðåéòèíãå.
Òàêèм îбðàзîм, âычèñëåíèÿ, ïðîâåдåííыå â
дèàïàзîíå ðàñïðîñòðàíåííыõ íà ïðîèзâîдñòâå
мàëыõ âыбîðîê, ïîдòâåðдèëè ýффåêòèâíîñòь èñ-
ïîëьзîâàíèÿ ýíòðîïèéíîãî êîýффèцèåíòà âмå-
ñòî êðèòåðèÿ Пèðñîíà дëÿ âыбîðà чèñëà èíòåð-
âàëîâ â ñëóчàå ïîñòðîåíèÿ ðàâíîèíòåðâàëьíîé
ãèñòîãðàммы ïî ýêñïåðèмåíòàëьíым дàííым.
Äàëåå èíòåðåñíым ïðåдñòàâëÿåòñÿ ïðîâåðèòь
âîзмîжíîñòь èñïîëьзîâàíèÿ дðóãèõ õàðàêòåðè-
ñòèê ðàñïðåдåëåíèÿ ñëóчàéíыõ âåëèчèí, íàïðè-
мåð ýêñцåññà è êîíòðýêñцåññà, è ñðàâíèòь òîч-
íîñòь è óдîбñòâî ðàñчåòîâ ñ ïðèмåíåíèåм ýíòðî-
ïèéíîãî êîýффèцèåíòà.
ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ИСÒОЧНИÊИ
1. Хàëьд А. Мàòåмàòèчåñêàÿ ñòàòèñòèêà ñ òåõíèчåñêè-
мè ïðèëîжåíèÿмè. — Мîñêâà: Изд-âî èíîñòð. ëèò., 1956.
2. Sturges H. A. The choice of a class interval // JASA.—
1926.— V. 21.— С. 65—66.
3. Mann H. B., Wald A. On the choice of the number of
intervals in the application of the chi-square test // Ann.
Math. Statist.— 1942.— Vol. 13.— С. 478—479.
4. Смèðíîâ Н. В. О ïîñòðîåíèè дîâåðèòåëьíîé îбëà-
ñòè дëÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåдåëåíèÿ ñëóчàéíîé âåëèчèíы //
Äîêëàды АН СССР.— 1950.— Ò. 74, ¹ 2.— С. 189—192.
5. Scott D. W. On optimal and data-based histograms //
Biometrika.— 1979.— Vol. 66.— С. 605—610.
6. Лèâшèц М. Е., Иâàíîâ-Мóðîмñêèé Ê. А., Зàñëàâñêèé
С. Я. è дð. Чèñëåííыå мåòîды àíàëèзà ñëóчàéíыõ ïðîцåñ-
ñîâ.— Мîñêâà: Нàóêà, 1976.
7. Нîâèцêèé П. В., Зîãðàф И. А. Оцåíêà ïîãðåшíîñòåé
ðåзóëьòàòîâ èзмåðåíèé.— Лåíèíãðàд: Эíåðãîàòîмèздàò,
1991.
8. Бóëàшåâ С. В. Сòàòèñòèêà дëÿ òðåéдåðîâ.— Мîñêâà:
Êîмïàíèÿ Сïóòíèê+, 2003.
9. Êàëмыêîâ В. В., Аíòîíюê Ф. И., Зåíêèí Н. В.
Оïðåдåëåíèå îïòèмàëьíîãî êîëèчåñòâà êëàññîâ ãðóïïèðîâà-
íèÿ ýêñïåðèмåíòàëьíыõ дàííыõ ïðè èíòåðâàëьíыõ îцåíêàõ
// Южíîñèбèðñêèé íàóчíыé âåñòíèê.— 2014.— ¹3.—
С. 56—58.
10. Нîâèцêèé П. В. Пîíÿòèå ýíòðîïèéíîãî зíàчåíèÿ
ïîãðåшíîñòè // Измåðèòåëьíàÿ òåõíèêà.—1966.— ¹ 7.—
С. 11—14.
Äата поступления рукописи
в редакцию 03.05 2017 г.
О. М. ТИНИНИКА
Óêðàїíà, Одåñьêèé íàціîíàëьíèé ïîëіòåõíічíèé óíіâåðñèòåò
E-mail: nikal1091@gmail.com
ЗАСÒОСÓВАННЯ ЕНÒРОПІЙНОГО ÊОЕФІЦІЄНÒА ÄЛЯ ОПÒИМІЗАЦІЇ
ЧИСЛА ІНÒЕРВАЛІВ ПРИ ІНÒЕРВАЛЬНИХ ОЦІНÊАХ
Показано, що як критерій вибору числа інтервалів групування досліджених даних при інтервальних
оцінках можна використовувати ентропійний коефіцієнт. Відповідно до описаної процедури швидкого
визначення числа інтервалів на масиві даних досліджено точність наявних в літературі і запропонова-
них нових формул. Проведено аналіз в порівнянні з раніше опублікованими результатами застосуван-
ня для цих цілей критерію згоди Пірсона. Зроблено розрахунки з метою порівняння ефективності за-
стосування одних і тих самих формул при розподілі вибіркових даних за нормальним законом і за зако-
ном Релея.
Ключові слова: ентропійний коефіцієнт, число інтервалів групування, інтервальні оцінки, розподіл
Релея.
A. N. TYNYNYKA
Ukraine, Odessa National Polytechnic University
E-mail: nikal1091@gmail.com
APPLICATION OF THE ENTROPIC COEFFICIENT FOR INTERVAL NUMBER
OPTIMIZATION DURING INTERVAL ASSESSMENT
In solving many statistical problems, the most precise choice of the distribution law of a random variable is
required, the sample of which the authors observe. This choice requires the construction of an interval series.
DOI: 10.15222/TKEA2017.3.49
UDC 621.9
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 2017, ¹ 3
54
ÌÅÒÐÎËÎÃÈЯ. ÑÒÀÍÄÀÐÒÈÇÀÖÈЯ
ISSN 2225-5818
Therefore, the problem arises of assigning an optimal number of intervals, and this study proposes a number
of formulas for solving it. Which of these formulas solves the problem more accurately?
In [9], this question is investigated using the Pearson criterion. This article describes the procedure and on
its basis gives formulas available in literature and proposed new formulas using the entropy coefficient. A
comparison is made with the previously published results of applying Pearson's concord criterion for these
purposes. Differences in the estimates of the accuracy of the formulas are found. The proposed new formulas
for calculating the number of intervals showed the best results.
Calculations have been made to compare the work of the same formulas for the distribution of sample data
according to the normal law and the Rayleigh law.
Keywords: entropy coefficient, grouping intervals number, interval estimates, Rayleigh distribution.
REFERENCES
1. Hald A. Matematicheskaya statistika s tekhniches-
kimi prilozheniyami [Mathematical statistics with technical
applications]. Moskow, Izd-vo inostr. lit, 1956.
2. Sturges H. A. The choice of a class interval. JASA,
1926, vol. 21, ðð. 65-66.
3. Mann H. B., Wald A. On the choice of the number of
intervals in the application of the chi-square test. Ann. Math.
Statist, 1942, vol. 13, ðð. 478-479.
4. Smirnov N. V. [On the construction of a confidence
domain for the distribution density of a random variable].
Doklady Akademii Nauk SSSR, 1950, vol. 74, no 2, pp.
189-192 (Rus)
5. Scott D. W. On optimal and data-based histograms.
Biometrika, 1979, vol. 66, pp. 605-610.
6. Livshits M. E., Ivanov-Muromsky K. A., Zaslavsky S. Ya.,
Voitinsky E. Ya., Lerner V. F, Romm B. I. Chislovye metody
analiza sluchainyh protsesov [Numerical methods of analysis
of random processes]. Moscow, Nauka, 1976. (Rus)
7. Novitsky P. V., Zograf I. A. Otcenka pogreshnostei
resultatov ismerenii [Estimation of errors in measurement
results]. Leningrad, Energoatomizdat, 1991. (Rus)
8. Bulashev S. V. Statistika dlya treiderov [Statistics for
traders]. Moscow, Sputnik company+, 2003. (Rus)
9. Kalmykov V. V., Antonyuk F. I., Zenkin N. V.
[Determination of the optimal number of classes of grouping
of experimental data for interval estimates]. Yuzhnosibirskii
nauchnyi vestneyk, 2014, no 3, pp. 56-58. (Rus)
10. Novitsky, P. V. [The concept of the entropy value of
error]. Izmeritel`naya tekhnika, 1966, no 7, pp. 11-14. (Rus)
Ð Å Ö Å Í Ç Å Í Ò Û Í Î Ì Å Ð À
Большакова Инесса Антоновна, дîêò. òåõí. íàóê, ïðîфåññîð, Нàцèîíàëьíыé óíèâåð-
ñèòåò «Льâîâñêàÿ ïîëèòåõíèêà»
Глушеченко Эдуард Николаевич, êàíд. òåõí. íàóê, íàчàëьíèê îòдåëà, НПП «Сàòóðí»,
ã. Êèåâ
Äолгов Юрий Александрович, дîêò. òåõí. òàóê, Пðèдíåñòðîâñêèé ãîñóдàðñòâåííыé óíè-
âåðñèòåò èм. Ò. Г. Шåâчåíêî, ã. Òèðàñïîëь
Захарченко Александр Алексеевич, êàíд. фèз.-мàò. íàóê, ñòàðшèé íàóчíыé ñîòðóдíèê,
ННЦ «Хàðьêîâñêèé фèзèêî-òåõíèчåñêèé èíñòèòóò»
Карушкин Николай Ôедорович, êàíд. òåõí. íàóê, íàчàëьíèê îòдåëà НИИ «Оðèîí»,
ã. Êèåâ
Николаенко Юрий Åгорович, дîêò. òåõí. íàóê, âåдóщèé íàóчíыé ñî òðóдíèê, НÒÓÓ
«Êèåâñêèé ïîëèòåõíèчåñêèé èíñòèòóò èмåíè Иãîðÿ Сèêîðñêîãî»
Рябуха Вячеслав Петрович, êàíд. òåõí. íàóê, зàмåñòèòåëь íàчàëьíèêà îòдåëåíèÿ, НИИ
ðàдèîëîêàцèîííыõ ñèñòåм «Êâàíò-Рàдèîëîêàцèÿ», ã. Êèåâ
Сугак Äмитрий Юрьевич, êàíд. фèз.-мàò. íàóê, ñòàðшèé íàóчíыé ñîòðóдíèê,
Нàцèîíàëьíыé óíèâåðñèòåò «Льâîâñêàÿ ïîëèòåõíèêà»
Трофимов Владимиро Åвгеньевич, êàíд. òåõí. íàóê, дîцåíò, Одåññêèé íàцèîíàëьíыé
ïîëèòåõíèчåñêèé óíèâåðñèòåò
Шинкаренко Владимир Викторович, êàíд. фèз.-мàò. íàóê, ñòàðшèé íàóчíыé ñîòðóд-
íèê, Иíñòèòóò фèзèêè ïîëóïðîâîдíèêîâ èм. В. Е. Лàшêàð¸âà НАНÓ, ã. Êèåâ
Шишкин Михаил Анатольевич, êàíд. òåõí. íàóê, дîцåíò, Нàцèîíàëьíыé òåõíèчåñêèé
óíèâåðñèòåò «Хàðьêîâñêèé ïîëèòåõíèчåñêèé èíñòèòóò»
|