Нормальная и аномальная дисперсия слабонелинейных локализованных мод в пластине слоистого сверхпроводника

Теоретически исследуются слабонелинейные локализованные электромагнитные моды в пластине слоистого сверхпроводника. Предполагается, что пластина находится в однородном диэлектрическом окружении, сверхпроводящие слои перпендикулярны поверхности пластины, а моды распространяются поперек слоев. Благода...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Радіофізика та електроніка
Date:	2017
Main Authors:	Апостолов, С.С., Кадыгроб, Д.В., Майзелис, З.А., Николаенко, А.А., Шматько, А.А., Ямпольский, В.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2017
Subjects:	Радиофизика твердого тела и плазмы
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/130257
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Нормальная и аномальная дисперсия слабонелинейных локализованных мод в пластине слоистого сверхпроводника / C.C. Апостолов, Д.В. Кадыгроб, З.А. Майзелис, А.А. Николаенко, А.А. Шматько, В.А. Ямпольский // Радіофізика та електроніка. — 2017. — Т. 22, № 4. — С. 31-38. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-130257
record_format	dspace
spelling	Апостолов, С.С. Кадыгроб, Д.В. Майзелис, З.А. Николаенко, А.А. Шматько, А.А. Ямпольский, В.А. 2018-02-09T15:29:34Z 2018-02-09T15:29:34Z 2017 Нормальная и аномальная дисперсия слабонелинейных локализованных мод в пластине слоистого сверхпроводника / C.C. Апостолов, Д.В. Кадыгроб, З.А. Майзелис, А.А. Николаенко, А.А. Шматько, В.А. Ямпольский // Радіофізика та електроніка. — 2017. — Т. 22, № 4. — С. 31-38. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 1028-821X PACS: 52.35.Mw, 73.20.Mf, 74.72.-h DOI: doi.org/10.15407/rej2017.04.031 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/130257 535.42, 537.8 Теоретически исследуются слабонелинейные локализованные электромагнитные моды в пластине слоистого сверхпроводника. Предполагается, что пластина находится в однородном диэлектрическом окружении, сверхпроводящие слои перпендикулярны поверхности пластины, а моды распространяются поперек слоев. Благодаря сильной анизотропии джозефсоновской плазмы в слоис-тых сверхпроводниках, локализованные моды могут обладать необычными дисперсионными свойствами. Теоретично досліджуються слабонелінійні локалізовані електромагнітні моди у пластині шаруватого надпровідника. Передбачається, що пластина знаходиться в однорідному діелектричному оточенні, надпровідні шари перпендикулярні поверхні пластини, а моди поширюються поперек шарів. Завдяки сильній анізотропії джозефсонівської плазми в шаруватих надпровідниках, локалізовані моди можуть володіти незвичайними дисперсійними властивостями. Weakly nonlinear localized electromagnetic modes in a plate of layered superconductor are theoretically studied. It is assumed that the plate is embedded in the uniform dielectric environment, the superconducting layers are perpendicular to the surface of the plate, and the modes propagate across the layers. Due to the strong anisotropy of the Josephson plasma in layered superconductors, localized modes can possess unusual dispersion properties. ru Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України Радіофізика та електроніка Радиофизика твердого тела и плазмы Нормальная и аномальная дисперсия слабонелинейных локализованных мод в пластине слоистого сверхпроводника Нормальна та аномальна дисперсія слабонелінійних локалізованих мод у пластині шаруватого надпровідника Normal and anomalous dispersion of weakly nonlinear localized modes in a plate of a layered superconductor Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Нормальная и аномальная дисперсия слабонелинейных локализованных мод в пластине слоистого сверхпроводника
spellingShingle	Нормальная и аномальная дисперсия слабонелинейных локализованных мод в пластине слоистого сверхпроводника Апостолов, С.С. Кадыгроб, Д.В. Майзелис, З.А. Николаенко, А.А. Шматько, А.А. Ямпольский, В.А. Радиофизика твердого тела и плазмы
title_short	Нормальная и аномальная дисперсия слабонелинейных локализованных мод в пластине слоистого сверхпроводника
title_full	Нормальная и аномальная дисперсия слабонелинейных локализованных мод в пластине слоистого сверхпроводника
title_fullStr	Нормальная и аномальная дисперсия слабонелинейных локализованных мод в пластине слоистого сверхпроводника
title_full_unstemmed	Нормальная и аномальная дисперсия слабонелинейных локализованных мод в пластине слоистого сверхпроводника
title_sort	нормальная и аномальная дисперсия слабонелинейных локализованных мод в пластине слоистого сверхпроводника
author	Апостолов, С.С. Кадыгроб, Д.В. Майзелис, З.А. Николаенко, А.А. Шматько, А.А. Ямпольский, В.А.
author_facet	Апостолов, С.С. Кадыгроб, Д.В. Майзелис, З.А. Николаенко, А.А. Шматько, А.А. Ямпольский, В.А.
topic	Радиофизика твердого тела и плазмы
topic_facet	Радиофизика твердого тела и плазмы
publishDate	2017
language	Russian
container_title	Радіофізика та електроніка
publisher	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
format	Article
title_alt	Нормальна та аномальна дисперсія слабонелінійних локалізованих мод у пластині шаруватого надпровідника Normal and anomalous dispersion of weakly nonlinear localized modes in a plate of a layered superconductor
description	Теоретически исследуются слабонелинейные локализованные электромагнитные моды в пластине слоистого сверхпроводника. Предполагается, что пластина находится в однородном диэлектрическом окружении, сверхпроводящие слои перпендикулярны поверхности пластины, а моды распространяются поперек слоев. Благодаря сильной анизотропии джозефсоновской плазмы в слоис-тых сверхпроводниках, локализованные моды могут обладать необычными дисперсионными свойствами. Теоретично досліджуються слабонелінійні локалізовані електромагнітні моди у пластині шаруватого надпровідника. Передбачається, що пластина знаходиться в однорідному діелектричному оточенні, надпровідні шари перпендикулярні поверхні пластини, а моди поширюються поперек шарів. Завдяки сильній анізотропії джозефсонівської плазми в шаруватих надпровідниках, локалізовані моди можуть володіти незвичайними дисперсійними властивостями. Weakly nonlinear localized electromagnetic modes in a plate of layered superconductor are theoretically studied. It is assumed that the plate is embedded in the uniform dielectric environment, the superconducting layers are perpendicular to the surface of the plate, and the modes propagate across the layers. Due to the strong anisotropy of the Josephson plasma in layered superconductors, localized modes can possess unusual dispersion properties.
issn	1028-821X
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/130257
citation_txt	Нормальная и аномальная дисперсия слабонелинейных локализованных мод в пластине слоистого сверхпроводника / C.C. Апостолов, Д.В. Кадыгроб, З.А. Майзелис, А.А. Николаенко, А.А. Шматько, В.А. Ямпольский // Радіофізика та електроніка. — 2017. — Т. 22, № 4. — С. 31-38. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT apostolovss normalʹnaâianomalʹnaâdispersiâslabonelineinyhlokalizovannyhmodvplastinesloistogosverhprovodnika AT kadygrobdv normalʹnaâianomalʹnaâdispersiâslabonelineinyhlokalizovannyhmodvplastinesloistogosverhprovodnika AT maizelisza normalʹnaâianomalʹnaâdispersiâslabonelineinyhlokalizovannyhmodvplastinesloistogosverhprovodnika AT nikolaenkoaa normalʹnaâianomalʹnaâdispersiâslabonelineinyhlokalizovannyhmodvplastinesloistogosverhprovodnika AT šmatʹkoaa normalʹnaâianomalʹnaâdispersiâslabonelineinyhlokalizovannyhmodvplastinesloistogosverhprovodnika AT âmpolʹskiiva normalʹnaâianomalʹnaâdispersiâslabonelineinyhlokalizovannyhmodvplastinesloistogosverhprovodnika AT apostolovss normalʹnataanomalʹnadispersíâslabonelíníinihlokalízovanihmoduplastiníšaruvatogonadprovídnika AT kadygrobdv normalʹnataanomalʹnadispersíâslabonelíníinihlokalízovanihmoduplastiníšaruvatogonadprovídnika AT maizelisza normalʹnataanomalʹnadispersíâslabonelíníinihlokalízovanihmoduplastiníšaruvatogonadprovídnika AT nikolaenkoaa normalʹnataanomalʹnadispersíâslabonelíníinihlokalízovanihmoduplastiníšaruvatogonadprovídnika AT šmatʹkoaa normalʹnataanomalʹnadispersíâslabonelíníinihlokalízovanihmoduplastiníšaruvatogonadprovídnika AT âmpolʹskiiva normalʹnataanomalʹnadispersíâslabonelíníinihlokalízovanihmoduplastiníšaruvatogonadprovídnika AT apostolovss normalandanomalousdispersionofweaklynonlinearlocalizedmodesinaplateofalayeredsuperconductor AT kadygrobdv normalandanomalousdispersionofweaklynonlinearlocalizedmodesinaplateofalayeredsuperconductor AT maizelisza normalandanomalousdispersionofweaklynonlinearlocalizedmodesinaplateofalayeredsuperconductor AT nikolaenkoaa normalandanomalousdispersionofweaklynonlinearlocalizedmodesinaplateofalayeredsuperconductor AT šmatʹkoaa normalandanomalousdispersionofweaklynonlinearlocalizedmodesinaplateofalayeredsuperconductor AT âmpolʹskiiva normalandanomalousdispersionofweaklynonlinearlocalizedmodesinaplateofalayeredsuperconductor
first_indexed	2025-11-25T22:46:37Z
last_indexed	2025-11-25T22:46:37Z
_version_	1850575981068156928
fulltext	РРААДДІІООФФІІЗЗИИККАА ТТВВЕЕРРДДООГГОО ТТІІЛЛАА ТТАА ППЛЛААЗЗММИИ _________________________________________________________________________________________________________________ __________ ISSN 1028821X. Радіофізика та електроніка. 2017. Т. 22. № 4 © С. C. Апостолов, Д. В. Кадигроб, O. А. Ніколаєнко, З. O. Майзеліс, О. О. Шматько, В. O. Ямпольський УДК 535.42, 537.8 PACS 52.35.Mw, 73.20.Mf, 74.72.-h C. C. Апостолов 1, 2 , Д. В. Кадыгроб 1, 2 , З. A. Майзелис 1, 2 , А. A. Николаенко 1 , А. А. Шматько 1 , В. А. Ямпольский 1, 2, 1 Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины 12, ул. Акад. Проскуры, Харьков, 61085, Украина 2 Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина 4, пл. Свободы, Харьков, 61022, Украина E-mail: yam@ire.kharkov.ua НОРМАЛЬНАЯ И АНОМАЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ СЛАБОНЕЛИНЕЙНЫХ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ МОД В ПЛАСТИНЕ СЛОИСТОГО СВЕРХПРОВОДНИКА Теоретически исследуются слабонелинейные локализованные электромагнитные моды в пластине слоистого сверхпроводника. Предполагается, что пластина находится в однородном диэлектрическом окружении, сверхпроводящие слои перпендикулярны поверхности пластины, а моды распространяются поперек слоев. Благодаря сильной анизотропии джозефсоновской плазмы в слоис- тых сверхпроводниках, локализованные моды могут обладать необычными дисперсионными свойствами. Электромагнитное поле в слоистом сверхпроводнике определяется распределением калибровочно-инвариантной разности фаз параметра порядка, которая удовлетворяет системе связанных синусоидальных уравнений Гордона. На основании решения этих уравнений, а также уравнений Максвелла в диэлектрическом окружении, могут быть получены дисперсионные соотношения для локализованных электромагнитных мод. Установлено, что в определенном диапазоне параметров дисперсия локализованных мод оказывается аномальной. На диспер- сионных кривых обнаружены точки, в которых групповая скорость мод может обращаться в нуль. Кроме того, нелинейность при- водит к тому, что дисперсионные соотношения содержат амплитуду локализованной моды. Благодаря тому, что в нелинейном случае дисперсионные соотношения содержат амплитуду локализованной моды, открывает- ся возможность для наблюдения явления остановки света локализованных мод в пластине слоистого сверхпроводника. Ил. 4. Биб- лиогр.: 25 назв. Ключевые слова: слоистый сверхпроводник, локализованные моды, аномальная дисперсия. Все известные в настоящее время высокотем- пературные сверхпроводники характеризуются очень большой анизотропией, которая проявляет- ся в их слоистой структуре. Например, сильно анизотропный высокотемпературный сверхпро- водник Bi2Sr2CaCu2O8+ состоит из очень тон- ких (2 Å) сверхпроводящих слоев CuO2, чере- дующихся с более толстыми диэлектрическими слоями (15 Å), причем между сверхпроводящи- ми слоями существует слабая джозефсоновская связь [1, 2]. Взаимодействие джозефсоновского туннелирующего тока, текущего поперек слоев, с электромагнитным полем приводит к существо- ванию особого вида элементарных возбуждений, так называемых джозефсоновских плазменных волн (ДПВ) [3]. Характерные частоты этих волн соответствует терагерцевому диапазону, который очень важен с точки зрения различных приложе- ний [4, 5], что определяет не только научный, но и практический интерес к джозефсоновским плазменным колебаниям [6, 7]. Обратим внимание на то, что благодаря нели- нейной зависимости плотности джозефсоновско- го тока от разности фаз параметра порядка между сверхпроводящими слоями, слоистый сверхпро- водник представляет собой плазменную среду, проявляющую нелинейные свойства. Поэтому можно ожидать, что в таких материалах можно наблюдать эффекты, характерные для нелиней- ной оптики, такие как самофокусировка электро- магнитных волн, стимулированная прозрачность, эффект остановки света и другие [8, 9]. Некото- рые из нелинейных эффектов в слоистых сверх- проводниках были теоретически предсказаны и исследованы в работах [10–13]. В частности, в работе [13] изучены нелинейные электромагнит- ные моды, локализованные на пластине слоисто- го сверхпроводника, сверхпроводящие слои кото- рого параллельны поверхности пластины. Пока- зано, что такие моды в нелинейном режиме могут обладать аномальной дисперсией, зависящей от амплитуды моды. Отметим, что в системе, содержащей среду с аномальной дисперсией, может возникать эффект отрицательного преломления света. Материалы с отрицательным показателем преломления в по- следнее время очень активно изучаются после теоретического предсказания возможности так называемой идеальной фокусировки света [14–16]. В определенном частотном диапазоне компонен- ты эффективного тензора диэлектрической про- ницаемости слоистого сверхпроводника вдоль и поперек слоев имеют разные знаки. Благодаря такой специфической особенности в слоистом сверхпроводнике может наблюдаться отрицатель- ное преломление электромагнитных волн [17, 18]. В недавней работе [19] были рассмотрены ли- нейные электромагнитные моды, локализованные в пластине слоистого сверхпроводника, сверх- проводящие слои которого перпендикулярны по- mailto:yam@ire.kharkov.ua С. С. Апостолов и др. / Нормальная и аномальная дисперсия… _________________________________________________________________________________________________________________ 32 ISSN 1028821X. Радіофізика та електроніка. 2017. Т. 22. № 4 верхности пластины. За счет указанной выше сильной анизотропии слоистых сверхпроводни- ков оказывается, что в такой геометрии локализо- ванные моды могут обладать аномальной диспер- сией. Это позволяет ожидать, что и в нелинейном режиме локализованные моды должны обладать аномальной дисперсией и иметь свойства, зави- сящие от их амплитуды. В данной работе теоретически изучены слабо- нелинейные электромагнитные моды, локализо- ванные в пластине слоистого сверхпроводника, сверхпроводящие слои которого перпендикуляр- ны поверхности пластины. Пластина окружена однородным диэлектриком, а моды распростра- няются поперек сверхпроводящих слоев. Получе- ны дисперсионные соотношения для локализо- ванных мод, содержащие амплитуду моды и представляющие аномальную дисперсию в опре- деленном диапазоне параметров. Показано, что с помощью изменения амплитуды можно управ- лять аномальными свойствами волны. В результа- те открывается возможность наблюдать эффекты отрицательного преломления и остановки света. Статья построена следующим образом. В пер- вом разделе представлена постановка задачи, описана геометрия системы и определены элек- тромагнитные поля в диэлектрике и слоистом сверхпроводнике. Второй раздел посвящен выво- ду дисперсионных соотношений для симметрич- ных и антисимметричных по магнитному полю мод в слабо нелинейном режиме. В третьем раз- деле представлен анализ полученных дисперси- онных соотношений, а также результаты числен- ной симуляции. 1. Постановка задачи. Пусть пластина слоис- того сверхпроводника толщиной L находится в диэлектрическом окружении с проницаемостью d (рис. 1). Система координат выбрана таким образом, что оси x и y лежат в плоскости слоев ab, а ось z совпадает c кристаллографической осью c. Пластина граничит с диэлектриком при /2Lx  . Рис. 1. Геометрия задачи. Волна с продольной компонентой волнового вектора q распространяется вдоль пластины слоис- того сверхпроводника толщины L, помещенной в диэлектрик с проницаемостью d Рассмотрим собственные локализованные электромагнитные моды TM-поляризации c часто- той  и продольной компонентой волнового вектора q, распространяющиеся в пластине слоис- того сверхпроводника поперек сверхпроводящих плоскостей. Магнитное и электрическое поля в такой волне представляются в виде: ).(exp)}(),0,({),,,( ),(exp),0}({0,),,,( tiiqzxExEtzyxE tiiqzxHtzyxH zx y       (1) Электромагнитное поле мод, локализованных в пластине слоистого сверхпроводника, в диэлек- трике, согласно уравнениям Максвелла, должно экспоненциально ослабляться при удалении от границы пластины аналогично полю поверх- ностных мод на границе раздела «диэлектрик – полубесконечный слоистый сверхпроводник» [20]. В рассматриваемой здесь геометрии наличие второй границы приводит к тому, что электро- магнитное поле в слоистом сверхпроводнике может как экспоненциально затухать, так и ос- циллировать поперек пластины. В первом случае мы будем называть моды поверхностными, а во втором случае – волноводными. Благодаря сим- метрии задачи относительно плоскости 0x , мы можем искать решение в виде симметричных и антисимметричных по магнитному полю мод. 1.1. Поля в диэлектрике. Как уже упомина- лось выше, электромагнитное поле искомой вол- ны экспоненциально затухает в диэлектрике при удалении от поверхности пластины, поэтому вы- ражение для y-компоненты магнитного поля можно записать в следующем виде: ),(sin/2)]([exp tqzLxkhH dy    (2) где h – амплитуда волны; верхние индексы «  » и «  » соответствуют полупространствам /2> Lx и /2< Lx  . Из уравнений Максвелла находим z-компо- ненту электрического поля в диэлектрике )(cos/2)]([exp tqzLxkh kc E d d d z      (3) и выражение для декремента затухания dk элект- ромагнитных волн в диэлектрическом полупро- странстве ./ 222 cqk dd  (4) 1.2. Поля в слоистом сверхпроводнике. Электромагнитное поле в слоистом сверхпровод- нике определяется распределением калибровочно- инвариантной разности фаз ),,( tzx параметра порядка между сверхпроводящими плоскостями, которая удовлетворяет системе связанных сину- соидальных уравнений Гордона [21]. В конти- диэлектрик диэлектрик слоистый сверхпроводник L D y x q z С. С. Апостолов и др. / Нормальная и аномальная дисперсия… _________________________________________________________________________________________________________________ ISSN 1028821X. Радіофізика та електроніка. 2017. Т. 22. № 4 33 нуальном пределе для монохроматических волн )(exp),,( titzx   эта система сводится к урав- нению ,0sin 1 1 2 2 2 2 2 22 2 2                           xtz c J ab     (5) где ab и )/( sJc c   – лондоновские глу- бины проникновения магнитного поля вдоль и поперек слоев, соответственно. Джозефсоновская плазменная частота scJ eDJ  /8 опреде- ляется максимальной плотностью джозефсонов- ского тока cJ , пространственным периодом сверхпроводящей структуры D и межслойной диэлектрической проницаемостью s . Заметим, что в уравнении (5) учтен ток смещения вдоль сверхпроводящих плоскостей, приводящий к модификации лондоновской глубины ab про- никновения вдоль слоев. В случае монохромати- ческой волны с нормированной частотой J / она принимает вид: )./(1/ 2222   abab (6) При достаточно низких частотах из-за большого значения параметра анизотропии 1/  abc  членом 22/ в знаменателе можно пренебречь, и тогда abab  . Тем не менее, если нормиро- ванная частота  окажется сравнима по величине с  , то этот вклад необходимо учитывать. Для висмутового сверхпроводника Bi2Sr2CaCu2O8+ параметр анизотропии  достигает значений по- рядка 100, однако в соединениях YBa2Cu3O7– – не более 10. Отметим, что компонента электрического по- ля поперек слоев может вызывать нарушение электронейтральности сверхпроводящих плоскос- тей, что приводит к дополнительной, так называ- емой емкостной, связи между ними. Этой связью можно пренебречь в тех случаях, когда мал пара- метр емкостной связи ,/2 sdR sD  где DR – де- баевский радиус экранировки, а s и d – толщи- ны сверхпроводящего и диэлектрического слоев, соответственно, Dds  (см. работу [22], в ко- торой получено дисперсионное уравнение для джозефсоновских плазменных волн с учетом ем- костной связи). Например, согласно теоретиче- ским оценкам, для кристаллов Bi2Sr2CaCu2O8+ величина 1,0...05,0 . Связь градиентно-инвариантной разности фаз ),,( tzx с компонентами электромагнитного поля можно получить из уравнений Максвелла: , 2 ,1 2 0 2 2 2 0 tcD EH z D x s z s yab                      (7) где ec /0  – квант магнитного потока. Пер- вое из уравнений (7) описывает изменение фазы  в системе джозефсоновских контактов в зависи- мости от приложенного магнитного поля – ана- лог уравнения Феррелла–Прейнджа для одиноч- ного контакта, а второе из уравнений (7) – следст- вие известного соотношения Джозефсона, teV  /2  [23]. Дополнительное слагаемое с 222 / zab  в слоистом сверхпроводнике отвечает за так называемую индуктивную связь между слоями. Отметим, что в уравнениях (5) и (7) мы опустили релаксационные члены, обусловленные диссипативной проводимостью квазичастиц вдоль и поперек слоев. В нашей задаче предполагается, что амплиту- да магнитного поля волны существенно меньше критического значения ,2/00 cD при котором начинается проникновение джозефсо- новских вихрей в слоистый сверхпроводник. По- скольку калибровочно-инвариантная разность фаз ),,( tzx связана с компонентами электромагнит- ных полей посредством уравнений (7), а ампли- туды полей предполагаются малыми, то можно считать, что амплитуда фазы также мала, .1\|\|  Тогда слагаемое sin в уравнении (5) можно приближенно аппроксимировать кубической за- висимостью /63  . Как было показано в рабо- те [10], при частотах, близких к J , нелинейный член 3 , возникающий в уравнении (5) при раз- ложении sin , может иметь тот же порядок ма- лости, что и сумма линейных членов. Таким об- разом, оказывается, что даже слабая нелиней- ность может существенно повлиять на распро- странение ДПВ, если частота волны близка к плазменной. Будем искать решение уравнения (5) в виде: ).(sin)(),,( tqzxatzx   (8) Как показано в работе [10], потерями, связанны- ми с генерацией кратных гармоник с частотами ,7,5,3  , при малых )(xa можно прене- бречь. Это позволяет заменить нелинейный член )(sin 333 tqza   на ,)(sin(3/4) 33 tqza   отбрасывая слагаемые, содержащие более высо- кие частоты. В итоге получаем уравнение для амплитуды )(xa : ,032 0  aaa  (9) где штрих обозначает производную по x, . 8 1 , )1(1)( 2 22 2 222 2 0 c ab c ab qq         (10) Величина 2 0 при 1< и 1> имеет разные знаки, поэтому характер решений в этих двух С. С. Апостолов и др. / Нормальная и аномальная дисперсия… _________________________________________________________________________________________________________________ 34 ISSN 1028821X. Радіофізика та електроніка. 2017. Т. 22. № 4 случаях оказывается разным. Они будут рас- смотрены отдельно в следующем разделе. Компоненты электромагнитного поля могут быть выражены через амплитуду )(xa c помо- щью уравнений (7). Подставляя ),,( tzx в ви- де (8) и предполагая, что ,)(sin tqzH s y  нахо- дим: ).(cos)(),,( ),(sin )1( )( ),,( 0 220 tqzxatzxE tqz q xa tzxH s s z ab cs y              (11) Как было отмечено выше, в симметричной геометрии локализованные моды обязательно обладают симметрией, они могут быть симмет- ричными или антисимметричными по магнитному полю. Поскольку магнитное поле ,)()( xaxH s y  то решения уравнения (9) также обладают сим- метрией. При этом нужно использовать два гра- ничных условия в середине образца: 00)(  xa – (12) для симметричных, или 00)( xa – (13) для антисимметричных по магнитному полю мод. 2. Дисперсионные соотношения. Для нахож- дения дисперсионных соотношений для локали- зованных мод необходимо приравнять танген- циальные компоненты полей на границе «слоис- тый сверхпроводник – диэлектрик» и исключить из уравнений неизвестную амплитуду h в ди- электрике. Тот же результат получим, если при- равнять поверхностные импедансы диэлектрика и сверхпроводника. Поскольку геометрия задачи обладает симметрией относительно середины образца (плоскости 0x ), то достаточно записать это соотношение только на одной из границ (например, на верхней) при /2= Lx : . /2/2 Lx s y s z Lx s y z H E H E    (14) Подставляя соответствующие выражения для по- лей (2), (3) и (11) в уравнение (14), находим сле- дующее соотношение: ).(1\| )( )( 2 2 0 /2       d d s Lx k xa xa (15) Соотношение (15) совместно с дифферен- циальным уравнением (9) и одним из граничных условий, (12) или (13), определяет дисперсию нелинейных локализованных мод. Уравнение (9) представляет собой уравнение ангармонического осциллятора с кубической нелинейностью – ос- циллятор Дюффинга [24]. Для дальнейшего ана- лиза мы воспользуемся приближенными метода- ми, применимыми в режиме слабой нелинейности. Как известно, метод нахождения слабо- нелинейных решений осциллятора Дюффинга в виде прямого разложения для амплитуды дает так называемые секулярные (вековые) члены, расхо- дящиеся в каждом порядке теории возмущения. Поэтому следует использовать схему решения, описанную в [25], таким образом, чтобы учиты- вать неизохорность: ., ,, 1010 1010      aaaaa (16) Первые члены разложения (с нулевым индексом) представляют собой амплитуду и частоту линей- ных колебаний. Последующие поправки учиты- вают эффекты неизохорности. 2.1. Слабонелинейные моды при 1> . В этом случае решение уравнения (9) в линейном при- ближении имеет вид тригонометрических функ- ций:   )(sin)( ,)(cos)( 00 00 xAxa xAxa   для антисимметричного и симметричного по маг- нитному полю решений, соответственно. Вычис- ляя поправки следующего порядка, находим:           x A xAa x A xAa         3sin 32 sin ,3cos 32 cos 2 0 3 2 0 3 (17) для антисимметричного и симметричного реше- ний. Здесь . 8 3 1 2 0 2 0             A Подставляя полученные выражения в уравне- ние (15), получаем дисперсионные соотношения                       )(1= 2 tg 2 cos 4 1),(= 2 ctg 2 cos 4 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0             d d kLLA kLLA (18) для антисимметричных и симметричных локали- зованных мод, соответственно. Здесь ./ ds   Обратим внимание на то, что в линейном режиме 0A и выражения в квадратных скобках обра- щаются в 1. В этом случае дисперсионные соот- ношения совпадают с полученными в рабо- те [19]. 2.1. Слабонелинейные моды при 1 . В этом случае уравнение (9) перепишем в следующем виде: 0,32 0  aaa  С. С. Апостолов и др. / Нормальная и аномальная дисперсия… _________________________________________________________________________________________________________________ ISSN 1028821X. Радіофізика та електроніка. 2017. Т. 22. № 4 35 где 0 – вещественный параметр, . )1()(1 2 222 2 0 2 0 c abq     Действуя аналогично предыдущему под- разделу, получаем дисперсионные соотношения, содержащие гиперболические функции:                      2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 8 3 1 1),( 2 cth 2 cos 4         A kLLA d (19) для антисимметричных и                      2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 8 3 1 1),( 2 th 2 cos 4         A kLLA d (20) для симметричных локализованных мод, соответст- венно. 3. Анализ дисперсионных кривых. Посколь- ку дисперсия локализованных мод зависит от их амплитуды, удобно построить график дисперси- онных кривых, зафиксировав нормированную энергию моды  в поперечном сечении, , 4 1 02 0 dxBHDE L t L      (21) где t  обозначает усреднение по времени, вектор магнитной индукции B  совпадает с век- тором напряженности H  , а вектор электрической индукции зависит от среды, в которой мы его вычисляем. Для диэлектрика ED d   , а для слоистого сверхпроводника связь между D  и E  анизотропна: ,, s zzz s z s xxx s x EDED   где xx и zz – компоненты тензора эффектив- ной диэлектрической проницаемости слоистого сверхпроводника [20], .)(,)( 22 2 22 2     c szz ab sxx cc  Подставляя в уравнение (21) выражения для полей в диэлектрике (2)–(3) и в слоистом сверх- проводнике (7), а также исключая амплитуду h магнитного поля в диэлектрике с помощью усло- вия непрерывности магнитного поля на границе, можно связать нормированную энергию  c квадратом амплитуды моды: .2A Здесь в ре- жиме слабой нелинейности коэффициент про- порциональности зависит только от параметров задачи, но не от амплитуд полей. На рис. 2 представлены дисперсионные кри- вые для линейного случая (сплошные линии) и для слабонелинейного случая (штриховые линии) при следующих значениях параметров, которые соответствуют кристаллам YBa2Cu3O7– : ,4d ,16s ,5 ,5 cL  .02,0 Видно, что все кривые, кроме самой нижней для ,0n имеют область возрастания, где наблюдается нормаль- ная дисперсия, ,0>/ dqd и область убывания, где дисперсия аномальна, .0</ dqd Эти кри- вые имеют точку максимума, в которой группо- вая скорость волн dqdvg / становится рав- ной нулю. Рис. 2. Дисперсионные кривые, описываемые уравнениями (18)–(20) Самая нижняя кривая для 0n расположена полностью в области 1< и монотонно возрас- тает в линейном случае. Отметим также, что не- большая область на кривой для 1n вблизи 1 вырезана вследствие того, что режим сла- бой нелинейности нарушается вблизи 1 в том случае, если энергия моды относительно ве- лика. Другими словами, чем ближе мы прибли- жаемся к 1 , тем меньшая энергия волны удо- влетворяет режиму слабой нелинейности. Изу- чим более подробно две нижние кривые. При определенных значениях толщины образца, ко- гда ,/2 abdcsL  обе кривые располагаются в области 1< . На рис. 3 изображены дисперси- онные кривые для 0n и 1n при значении нормированной энергии 510 и ,24 cL  остальные параметры такие же, как и на рис. 2. При этом кривая для 1n имеет как точку мак- симума, так и точку минимума. В нелинейном случае кривые модифицируются так, что на кри- вой для 0n появляется точка максимума, но 1 2 3 4 5 6 7 Q  qc 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9    /  J С. С. Апостолов и др. / Нормальная и аномальная дисперсия… _________________________________________________________________________________________________________________ 36 ISSN 1028821X. Радіофізика та електроніка. 2017. Т. 22. № 4 при этом уменьшается глубина минимума на кривой для 1n . Рис. 3. Дисперсионные кривые для n = 0 и n = 1 в увеличен- ном масштабе Обратим внимание на то, что возмож- ность управления минимумами и максимумами на дисперсионных кривых позволяет настроить систему для наблюдения явления остановки света. Рассмотрим локализованную моду, которая рас- пространяется вдоль пластины, и предположим, что нормированная энергия этой волны изменяет- ся при распространении (например, убывает вследствие диссипации или возрастает при внеш- ней накачке). В этом случае волновой вектор волны меняется при изменении нормированной энергии. На рис. 4 изображена зависимость волно- вого числа cqQ  для дисперсионной кривой для 1n от нормированной энергии  при фик- сированном значении частоты .1037,11 3 Рис. 4. График зависимости волнового числа Q  qc для дисперсионной кривой для n  1 от нормированной энергии локализованной моды при фиксированном значении частоты Предположим, что ,10 5 а волновой век- тор равен примерно .1,13Q Пусть энергия вол- ны уменьшается, тогда при достижении энергией величины 6102,4  дальнейшее непрерывное изменение Q невозможно и волна дальше рас- пространяться не может. Аналогичная ситуация будет наблюдаться, если энергия возрастает при распространении: при достижении энергией ве- личины 61023  дальнейшее изменение Q невозможно. Таким образом, нелинейность при- водит к явлению остановки света. Выводы. В данной работе теоретически ис- следованы нелинейные локализованные электро- магнитные моды в пластине слоистого сверхпро- водника. Рассмотрена геометрия, в которой плас- тина находится в однородном диэлектрическом окружении, сверхпроводящие слои перпендику- лярны поверхности пластины, а моды распро- страняются поперек слоев. Получены дисперси- онные соотношения для мод в режиме слабой нелинейности, и установлено, что в определенном диапазоне параметров дисперсия таких локализо- ванных мод оказывается аномальной. Кроме того, показано, что в определенных точках дисперси- онных кривых групповая скорость мод может обращаться в нуль. Благодаря тому, что в нели- нейном случае дисперсионные соотношения со- держат амплитуду локализованной моды, откры- вается возможность для наблюдения явления остановки света локализованных мод в пластине слоистого сверхпроводника, которым можно управлять, меняя амплитуду волны. Работа содержит результаты, полученные в рамках проекта фундаментальных и прикладных исследований и научно-технических (экспери- ментальных) разработок высших учебных заведе- ний, которые относятся к сфере управления МОН Украины, а также при грантовой поддержке Госу- дарственного фонда фундаментальных исследо- ваний по конкурсному проекту Ф76/33683. Библиографический список 1. Kleiner R., Steinmeyer F., Kunkel G., Muller P. Intrinsic Josephson effects in Bi2Sr2CaCu2O8+ single crystals. Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 68, Iss. 15. P. 2394–2397. DOI:10.1103/PhysRevLett.68.2394 2. Brandt E. H. The flux-line lattice in superconductors. Rep. Prog. Phys. 1995. Vol. 58, N 11. P. 1465–1594. DOI:10.1088/0034-4885/58/11/003 3. Savel'ev S., Yampol'skii V. A., Rakhmanov A. L., Nori F. Terahertz Josephson plasma waves in layered superconduc- tors: spectrum, generation, nonlinear and quantum phenome- na. Rep. Prog. Phys. 2010. Vol. 73. P. 026501(49 p.). DOI:10.1088/0034-4885/73/2/026501 4. Tonouchi M. Cutting-edge terahertz technology. Nat. Photonics. 2007. Vol. 1, Iss. 2. P. 97–105. DOI:10.1038/nphoton.2007.3 5. Capasso F., Gmachl C., Sivco D. L., Cho A. Y. Quantum Cascade Lasers. Phys. Today. 2002. Vol. 55, Iss. 5. P. 34–40. DOI:10.1063/1.1485582 6. Koshelets V. P., Shitov S. V. Integrated superconducting receivers. Supercond. Sci. Technol. 2000. Vol. 13, Iss. 5. P. R53–R69. DOI:10.1088/0953-2048/13/5/201 5 10 15 20 25 30 35 40 Q  qc –1,1 –1,2 –1,3 –1,4 –1,5 ( – 1 )  1 0 3 5 10 15 20   106 25 20 15 10 5 Q  q  c С. С. Апостолов и др. / Нормальная и аномальная дисперсия… _________________________________________________________________________________________________________________ ISSN 1028821X. Радіофізика та електроніка. 2017. Т. 22. № 4 37 7. Kleiner R. Filling the Terahertz Gap. Science. 2007. Vol. 318, Iss. 5854. P. 1254–1255. DOI:10.1126/science.1151373 8. Mills D. L. Nonlinear optics: basic concepts. Berlin: Springer, 1998. 263 p. 9. Rajaraman, R. Solitons and Instantons: An Introduction to Solitons and Instantons in Quantum Field Theory. Amster- dam: North-Holland, 1987. 418 p. 10. Savel'ev S., Rakhmanov A. L., Yampol'skii V. A., Nori F. Analogs of nonlinear optics using Tera-Hertz Josephson plasma waves in layered superconductors. Nat. Phys. 2006. Vol. 2, Iss. 8. P. 521–525. DOI:10.1038/nphys358 11. Yampol'skii V. A., Savel'ev S., Slipchenko T. M., Rakh- manov A. L., Nori F. Nonlinear Josephson plasma waves in slabs of layered superconductors. Physica C. 2008. Vol. 468, Iss. 7. P. 499–502. DOI:10.1016/j.physc.2007.11.017 12. Yampol'skii V. A., Slipchenko T. M., Mayzelis Z. A., Kady- grob D. V., Apostolov S. S., Savel'ev S. E., Nori F. Hysteretic jumps in the response of layered superconductors to electro- magnetic fields. Phys. Rev. B. 2008. Vol. 78, Iss. 18. P. 184504 (6 p.). DOI:10.1103/PhysRevB.78.184504 13. Savel'ev S. E., Yampol'skii V. A., Nori F. Layered supercon- ductors as nonlinear waveguides for terahertz waves. Phys. Rev. B. 2007. Vol. 75, Iss. 18. P. 184503 (8 p.). DOI:10.1103/PhysRevB.75.184503 14. Pendry J. B. Negative Refraction Makes a Perfect Lens. Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85, Iss. 18. P. 3966–3969. DOI:10.1103/PhysRevLett.85.3966 15. Shelby R. A., Smith D. R., Schultz S. Experimental Verifica- tion of a Negative Index of Refraction. Science. 2001. Vol. 292. P. 77–79. DOI:10.1126/science.1058847 16. Веселаго В. Г. Электродинамика материалов с отрица- тельным коэффициентом преломления. Успехи физиче- ских наук. 2003. T. 173, № 7. C. 790–794. 17. Rakhmanov A. L., Yampol'skii V. A., Fan J. A., Capasso F., Nori F. Layered superconductors as negative-refractive-index metamaterials. Phys. Rev. B. 2010. Vol. 81, Iss. 17, P. 075101 (6 p.). DOI:10.1103/PhysRevB.81.075101 18. Golick V.A., Kadygrob D. V., Yampol'skii V. A., Rakh- manov A. L., Ivanov B. A., Nori F. Surface Josephson Plas- ma Waves in Layered Superconductors above the Plasma Frequency: Evidence for a Negative Index of Refraction. Phys. Rev. Lett. 2010. Vol. 104, Iss. 18. P. 187003 (4 p.). DOI:10.1103/PhysRevLett.104.187003 19. Apostolov S. S., Maizelis Z. A., Yampol'skii V. A., Havrilen- ko V. I. Anomalous dispersion of surface and waveguide modes in layered superconductor slabs. Low Temp. Phys. 2017. Vol. 43, Iss. 2. P. 296–302. DOI:10.1063/1.4977740 20. Averkov Yu. O., Yakovenko V. M., Yampol’skii V. A., Nori F. Oblique surface Josephson plasma waves in layered super- conductors. Phys. Rev. B. 2013. Vol. 87, Iss. 5. P. 054505 (8 p.). DOI:10.1103/PhysRevB.87.054505 21. Artemenko S. N., Remizov S. V. Stability, collective modes and radiation from sliding Josephson vortex lattice in layered superconductors. Physica C. 2001. Vol. 362, Iss. 1–4. P. 200– 204. DOI:10.1016/S0921-4534(01)00670-0 22. Helm Ch., Bulaevskii L. N. Optical properties of layered superconductors near the Josephson plasma resonance. Phys. Rev. B. 2002. Vol. 66, Iss. 9. P. 094514 (23 p.). DOI:10.1103/PhysRevB.66.094514 23. Шмидт В. В. Введение в физику сверхпроводников. Изд. 2-е испр. и доп. Москва: МЦНМО, 2000. 402 с. 24. Косевич А. М., Ковалев А. С. Введение в нелинейную физическую механику. Киев: Наук. думка, 1989. 304 с. 25. Ландау Л. Д., Лифшиц E. М. Теоретическая физика. Т. 1. Механика. 5-е изд. Москва: Физматлит, 2004. 224 с. REFERENCES 1. Kleiner, R., Steinmeyer, F., Kunkel, G., Muller, P., 1992. Intrinsic Josephson effects in Bi2Sr2CaCu2O8+ single crystals. Phys. Rev. Lett., 68(15), pp. 2394–2397. DOI:10.1103/PhysRevLett.68.2394 2. Brandt, E. H., 1995. The flux-line lattice in superconductors. Rep. Prog. Phys., 58(11), pp. 1465–1594. DOI:10.1088/0034- 4885/58/11/003 3. Savel'ev, S., Yampol'skii, V. A., Rakhmanov, A. L., Nori, F., 2010. Terahertz Josephson plasma waves in layered super- conductors: spectrum, generation, nonlinear and quantum phenomena. Rep. Prog. Phys., 73, pp. 026501 (49 p.). DOI:10.1088/0034-4885/73/2/026501 4. Tonouchi, M., 2007. Cutting-edge terahertz technology. Nat. Photonics, 1(2), pp. 97–105. DOI:10.1038/nphoton.2007.3 5. Capasso, F., Gmachl, C., Sivco, D. L., Cho, A. Y., 2002. Quantum Cascade Lasers. Phys. Today, 55(5), pp. 34–40. DOI:10.1063/1.1485582 6. Koshelets, V. P., Shitov, S.V., 2000. Integrated superconduct- ing receivers. Supercond. Sci. Technol. 13(5), pp. R53–R69. DOI:10.1088/0953-2048/13/5/201 7. Kleiner, R., 2007. Filling the Terahertz Gap. Science. 318(5854), pp. 1254–1255. DOI:10.1126/science.1151373 8. Mills, D. L., 1998. Nonlinear optics: basic concepts. Berlin: Springer. 9. Rajaraman, R., 1987. Solitons and Instantons: An Introduc- tion to Solitons and Instantons in Quantum Field Theory. Amsterdam: North-Holland. 10. Savel'ev, S., Rakhmanov, A. L., Yampol'skii, V. A., Nori, F., 2006. Analogs of nonlinear optics using Tera-Hertz Joseph- son plasma waves in layered superconductors. Nat. Physics, 2(8), pp. 521–525. DOI:10.1038/nphys358 11. Yampol'skii, V. A., Savel'ev, S., Slipchenko, T. M., Rakh- manov, A. L., Nori, F., 2008. Nonlinear Josephson plasma waves in slabs of layered superconductors. Physica C, 468(7), pp. 499–502. DOI:10.1016/j.physc.2007.11.017 12. Yampol'skii, V. A., Slipchenko, T. M., Mayzelis, Z. A., Kadygrob, D. V., Apostolov, S. S., Savel'ev, S. E., Nori, F., 2008. Hysteretic jumps in the response of layered supercon- ductors to electromagnetic fields. Phys. Rev. B, 78(18), pp. 184504(1)–184504(6). DOI:10.1103/PhysRevB.78.184504 13. Savel'ev, S. E., Yampol'skii, V. A., Nori, F., 2007. Layered superconductors as nonlinear waveguides for terahertz waves. Phys. Rev. B, 75(18), pp. 184503 (8 p.). DOI:10.1103/PhysRevB.75.184503 14. Pendry, J. B., 2000. Negative Refraction Makes a Perfect Lens. Phys. Rev. Lett., 85(18), pp. 3966–3969. DOI:10.1103/PhysRevLett.85.3966 15. Shelby, R. A., Smith, D. R., Schultz, S., 2001. Experimental Verification of a Negative Index of Refraction. Science, 292(5514), pp. 77–79. DOI:10.1126/science.1058847 16. Veselago, V. G., 2003. Electrodynamics of materials with negative refractive index. Usp. fiz. nauk, 173(7), pp. 790–794 (in Russian). 17. Rakhmanov, A. L., Yampol'skii, V. A., Fan, J. A., Capasso, F., Nori, F., 2010. Layered superconductors as negative- refractive-index metamaterials. Phys. Rev. B, 81(17), pp. 075101 (6 p.). DOI:10.1103/PhysRevB.81.075101 18. Golick, V.A., Kadygrob, D. V., Yampol'skii, V. A., Rakh- manov, A. L., Ivanov, B. A., Nori, F., 2010. Surface Joseph- son Plasma Waves in Layered Superconductors above the Plasma Frequency: Evidence for a Negative Index of Refrac- tion. Phys. Rev. Lett., 104(18), pp. 187003 (4 p.). DOI:10.1103/PhysRevLett.104.187003 19. Apostolov, S. S., Maizelis, Z. A., Yampol'skii, V. A., Hav- rilenko, V. I., 2017. Anomalous dispersion of surface and waveguide modes in layered superconductor slabs. Low Temp. Phys., 43(2), pp. 296–302. DOI:10.1063/1.4977740 20. Averkov, Yu. O., Yakovenko, V. M., Yampol’skii, V. A., Nori, F., 2013. Oblique surface Josephson plasma waves in layered superconductors. Phys. Rev. B, 87(5), pp. 054505 (8 p.). DOI:10.1103/PhysRevB.87.054505 21. Artemenko, S. N., Remizov, S. V., 2001. Stability, collective modes and radiation from sliding Josephson vortex lattice in layered superconductors. Physica C. 362(1–4), pp. 200–204. DOI:10.1016/S0921-4534(01)00670-0 22. Helm, Ch., Bulaevskii, L. N., 2002. Optical properties of layered superconductors near the Josephson plasma reso- С. С. Апостолов и др. / Нормальная и аномальная дисперсия… _________________________________________________________________________________________________________________ 38 ISSN 1028821X. Радіофізика та електроніка. 2017. Т. 22. № 4 nance. Phys. Rev. B. 66(9), pp. 094514 (23 p.). DOI:10.1103/PhysRevB.66.094514 23. Schmidt, V. V., 2000. Introduction to physics of supercon- ductors. 2nd ed. Moscow: MCNMO (in Russian). 24. Kosevich, А. М., Kovalev, А. S., 1989. Introduction to non- linear physical mechanics. Kyev: Nauk. dumka Publ. (in Russian). 25. Landau, L. D., Lifshits, E. M., 2004. Theoretical physics. V. 1, Mechanics. 5th ed. Moscow: Fizmatlit Publ. (in Rus- sian). Рукопись поступила 18.10.2017. S. S. Apostolov, D. V. Kadygrob, Z. A. Маizelis, A. А. Nikolaenko, A. A. Shmat'ko, V. A. Yampol’skii NORMAL AND ANOMALOUS DISPERSION OF WEAKLY NONLINEAR LOCALIZED MODES IN PLATE OF LAYERED SUPERCONDUCTOR Weakly nonlinear localized electromagnetic modes in a plate of layered superconductor are theoretically studied. It is assumed that the plate is embedded in the uniform dielectric environment, the superconducting layers are perpendicular to the surface of the plate, and the modes propagate across the layers. Due to the strong anisotropy of the Josephson plasma in layered supercon- ductors, localized modes can possess unusual dispersion proper- ties. The electromagnetic field in a layered superconductor is de- termined by the distribution of the gauge-invariant phase differ- ence of the order parameter, which satisfies the system of coupled sin-Gordon equations. Based on the solution of these equations, as well as the Maxwell equations in the dielectric environment, dispersion relations can be obtained for localized electromagnetic modes. It is established that the dispersion of such localized modes turns out to be anomalous in a certain range of parameters. In addition, the points on the dispersion curves are found, at which the group velocity of the modes can vanish. In addition, the non- linearity leads to the fact that the dispersion relations contain the amplitude of the localized mode. Due to the fact that in the nonlinear case the dispersion rela- tions contain the amplitude of the localized mode, it is possible to observe the stop-light phenomenon for the localized modes in the layered superconductor plate. Key words: layered superconductor, localized modes, anoma- lous dispersion. С. C. Апостолов, Д. В. Кадигроб, O. А. Ніколаєнко, З. O. Майзеліс, О. О. Шматько, В. O. Ямпольський НОРМАЛЬНА ТА АНОМАЛЬНА ДИСПЕРСІЯ СЛАБОНЕЛІНІЙНИХ ЛОКАЛІЗОВАНИХ МОД У ПЛАСТИНІ ШАРУВАТОГО НАДПРОВІДНИКА Теоретично досліджуються слабонелінійні локалізовані електромагнітні моди у пластині шаруватого надпровідника. Передбачається, що пластина знаходиться в однорідному діелектричному оточенні, надпровідні шари перпендикулярні поверхні пластини, а моди поширюються поперек шарів. Завдяки сильній анізотропії джозефсонівської плазми в шару- ватих надпровідниках, локалізовані моди можуть володіти незвичайними дисперсійними властивостями. Електромагнітне поле в шаруватому надпровіднику ви- значається розподілом калібрувально-інваріантної різниці фаз параметра порядку, яка задовольняє системі зв’язаних сину- соїдальних рівнянь Гордона. На підставі рішення цих рівнянь, а також рівнянь Максвелла в діелектричному оточенні, мо- жуть бути отримані дисперсійні співвідношення для локалі- зованих електромагнітних мод. Встановлено, що у певному діапазоні параметрів диспер- сія таких локалізованих мод виявляється аномальною. На дисперсійних кривих виявлено точки, де групова швидкість мод може обертатися в нуль. Крім того, нелінійність призво- дить до того, що дисперсійні співвідношення містять амплі- туду локалізованої моди. Завдяки тому, що в нелінійному випадку дисперсійні співвідношення містять амплітуду локалізованої моди, відк- ривається можливість для спостереження явища зупинки світла локалізованих мод у пластині шаруватого надпровід- ника. Ключові слова: шаруватий надпровідник, локалізовані моди, аномальна дисперсія.

Нормальная и аномальная дисперсия слабонелинейных локализованных мод в пластине слоистого сверхпроводника

Institution

Similar Items