Методы построения квадратной разностной разметки

Предложен конструктивный метод построения квадратных разностных деревьев, основанный на методе Δ-построения грациозных деревьев и методы построения таких деревьев больших размеров, имеющих три подхода....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2017
1. Verfasser:	Шерман, З.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України 2017
Schriftenreihe:	Управляющие системы и машины
Schlagworte:	Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131343
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Методы построения квадратной разностной разметки / З.А. Шерман // Управляющие системы и машины. — 2017. — № 3. — С. 20-25. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-131343
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1313432025-02-09T09:36:10Z Методы построения квадратной разностной разметки Methods of Constructing Square Difference Labeling Шерман, З.А. Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science Предложен конструктивный метод построения квадратных разностных деревьев, основанный на методе Δ-построения грациозных деревьев и методы построения таких деревьев больших размеров, имеющих три подхода. Запропоновано конструктивний метод побудови квадратних різницевих дерев, заснований на методі Δ-побудови граціозних дерев та методи побудови таких дерев великих розмірів, які мають три підходи. Introduction. The urgency of the graceful labeling of graphs, namely, the problem of Kotzig-Ringel Rosa brought a wave of different methods of labeling graphs. In particular, one of the constructive approach of finding graceful trees of large size from the known graceful trees was offered by R. Stanton, C. Zarnke, K. Koh, D. Rogers, T. Tan. K. Koch, D. Rogers and T. Tan have completed the construction of a new graph, adding to the disjunctive union of isomorphic copies of a given graceful graph T an additional vertex connected by its edges to isomorphic images of some fixed vertex of T. This method is used to study gracefulness of the symmetrical trees. The same authors generalized this method by identifying isomorphic images of a fixed vertex of T, with the additional vertex. The construction of a graceful tree is implemented for a given pair of graceful trees and named Δ-constructing. Using it, K. Koh and others proved gracefulness of full m-arch tree. Methods and results. The methods of construction of square difference trees are applied. A new square difference tree is built from one square difference tree by identifying vertices with the greatest label of the isomorphic copies of the tree and using a new vertex and edges connecting the isomorphic copies of the square difference of a tree with the vertex. A method of Δ-constructing a square difference tree from two square difference trees is used. Conclusion. The class of square differential trees is expanded. Methods used to build square difference tree can be applied in further theoretical studies. 2017 Article Методы построения квадратной разностной разметки / З.А. Шерман // Управляющие системы и машины. — 2017. — № 3. — С. 20-25. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0130-5395 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131343 519.17 ru Управляющие системы и машины application/pdf Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science
spellingShingle	Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science Шерман, З.А. Методы построения квадратной разностной разметки Управляющие системы и машины
description	Предложен конструктивный метод построения квадратных разностных деревьев, основанный на методе Δ-построения грациозных деревьев и методы построения таких деревьев больших размеров, имеющих три подхода.
format	Article
author	Шерман, З.А.
author_facet	Шерман, З.А.
author_sort	Шерман, З.А.
title	Методы построения квадратной разностной разметки
title_short	Методы построения квадратной разностной разметки
title_full	Методы построения квадратной разностной разметки
title_fullStr	Методы построения квадратной разностной разметки
title_full_unstemmed	Методы построения квадратной разностной разметки
title_sort	методы построения квадратной разностной разметки
publisher	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
publishDate	2017
topic_facet	Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131343
citation_txt	Методы построения квадратной разностной разметки / З.А. Шерман // Управляющие системы и машины. — 2017. — № 3. — С. 20-25. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Управляющие системы и машины
work_keys_str_mv	AT šermanza metodypostroeniâkvadratnojraznostnojrazmetki AT šermanza methodsofconstructingsquaredifferencelabeling
first_indexed	2025-11-25T06:57:50Z
last_indexed	2025-11-25T06:57:50Z
_version_	1849744558798143488
fulltext	20 УСиМ, 2017, № 3 УДК 519.17 З.А. Шерман Методы построения квадратной разностной разметки Предложен конструктивный метод построения квадратных разностных деревьев, основанный на методе Δ-построения граци- озных деревьев и методы построения таких деревьев больших размеров, имеющих три подхода. Ключевые слова: квадратная разностная разметка, квадратный разностный граф, метод Δ-построения. Запропоновано конструктивний метод побудови квадратних різницевих дерев, заснований на методі Δ-побудови граціозних дерев та методи побудови таких дерев великих розмірів, які мають три підходи. Ключові слова: квадратна різницева розмітка, квадратний різницевий граф, метод Δ-побудови. Введение. Математическими моделями мно- гих задач служат графы. В основе методов ре- шения некоторых из них в таких областях, как рентгеновская кристаллография, теория кодиро- вания, радиолокация, астрономия, проектиро- вание схем и сетей, управление базами данных, лежит теория разметок графов. Зарождение тео- рии началось в 1963 г. с гипотезы Г. Рингеля, предположившего, что граф К2n+1 можно раз- ложить на 2n + 1 подграфа, каждый из которых изоморфен заданному дереву с n ребрами [1]. При решении этой гипотезы А. Роса в 1967 г. ввел понятие β-оценки графа, а также ряд дру- гих оценок как инструмент для разложения гра- фа на изоморфные подграфы [2]. В 1972 г. Го- ломб [3] назвал β-оценку грациозной разметкой. Актуальность проблемы грациозной размет- ки графов, а именно, проблема Котцига–Рин- геля–Роса принесла волну различных методов разметок графов. В частности, один из кон- структивных подходов нахождения грациоз- ных деревьев больших размеров из известных грациозных деревьев был предложен Р. Стен- тоном, С. Занке [4], К. Кохом, Д. Роджерсом и Т. Таном [5–7], выполнившими построение но- вого графа, добавив к дизъюнктивному объе- динению изоморфных копий данного грациоз- ного графа T, дополнительную вершину, соеди- ненную ребрами с изоморфными образами не- которой фиксированной вершины T. Данный ме- тод использован при исследовании на грациоз- ность симметричных деревьев. Эти же авторы обобщили указанный метод, отождествив изо- морфные образы фиксированной вершины гра- фа T, с дополнительной вершиной. Построение грациозного дерева реализовано по заданной паре грациозных деревьев и названо Δ-постро- ением [7]. Используя его, К. Кох и другие до- казали грациозность полного m-арного дерева. В данной работе применены методы по- строения грациозных разметок для нахожде- ния квадратной разностной разметки опреде- ленных видов графов, что позволило решить задачу построения квадратного разностного дерева из деревьев меньших порядков. Предварительные сведения Рассмотрим конечные неориентированные графы без петель и кратных ребер. Пусть G = (V, E) – граф с множеством вершин V(G) и множеством ребер E(G). Будем считать, что \|V(G)\| = p, \|E(G)\| = q. Определение 1 [8]. Функцию f называют квадратной разностной разметкой графа G с p вершинами, если f – биекция из V(G) на мно- жество {0, 1, 2, …, p – 1}, и индуцируемая ею реберная разметка f(u,v) = \|[f(u)]2 – [f(v)]2\| яв- ляется инъекцией из E(G) в множество нату- ральных чисел. Граф, допускающий квадратную разност- ную разметку, называется квадратным разно- стным графом, или SD-графом. Теорема 1 [9]. Дизъюнктивное объединение звезд 1, inK , где i = 1, 2, …, m допускает квад- ратную разностную разметку для любых нату- ральных m и ni . Построение нового квадратного разност- ного дерева из данного дерева Построение квадратного разностного дерева большего размера из данного разностного де- рева выполним методом построения грациоз- ных деревьев, предложенным в [7]. УСиМ, 2017, № 3 21 Пусть дерево Т порядка n имеет квадратную разностную разметку f с наибольшей меткой n – 1 в вершине w, т.е. f(w) = n – 1 и Т1, Т2, …, Тp – изоморфные копии дерева Т, а вершины w1, w2, …, wp являются изоморфными образами вер- шины w. Пусть вершины w1, w2, …, wp отожде- ствляются в вершину w0. Выполним построе- ние и получим дерево p wT (рис. 1). w0 = w1 = w2 = …= wp Т1 Т2 … Тp Рис. 1 Теорема 2. Если звезда K1,n = T имеет квад- ратную разностную разметку f с наибольшей меткой n в вершине w, т.е. f(w) = n, то дерево p wT допускает квадратную разностную разметку. Доказательство. Пусть V(Т) = {w, u1, u2, …, un} – множество вершин дерева Т. Выполним построение дерева p wT . Обозначим V(Тi) ={wi, ui,1, ui,2, …, ui,n} – множество вершин копии Тi, изоморфной дереву Т, wi – изоморфные образы вершины w, где i = 1, 2, …, p. Пусть вершины w1, w2, …, wp отождествляются в вершину w0 и ui,1 – изоморфные образы центральной верши- ны звезды K1,n = T (рис. 2). u1,1 u2,1 … up,1 w0 Рис. 2 Зададим вершинную разметку f графа p wT с множеством вершин pn + 1 так: f(w0) = pn, f(ui,1) = i – 1, f(u1,j) = f(uj) + p – 1, f(ui + 1,j) = f(ui,j) + n – 1, где i = 1, 2, …, p, j = 2, …, n – 1. Для каждой изоморфной копии Ti дерева T, где i = 1, 2, ..., p, функция f* является биектив- ным отображением множества вершин V(Тi) на множество чисел Ki , которое для каждого i имеет следующий вид: K1 = {p, p + 1, p + 2, …, p + n – 2}, K2 = {p + n–1, p + n, p + n +1 , …, p + 2n – 3}, K3 = {p + 2n – 2, p + 2n – 1, p + 2n, …, p + 3n – 4}, … Kp = {pn – n + 1, pn – n + 2, pn – n + 3, …, pn –1}. Таким образом, f: V( p wT ) 1 p i i K   – биекция. Метки ребер в соответствии с определением 1 для Ti, где i = 1, 2, ..., p, образуют множества: 1K ={p2, (p+1)2, (p+2)2, …, (p+n–2)2, (pn)2}, * 2K ={(p+n–1)2 – 1, (p+n)2 – 1, (p+n+1)2 – 1, … , (p+2n–3)2 – 1, (pn)2 – 1}, * 3K ={(p+2n–2)2 – 4, (p+2n–1)2 – 4, (p+2n)2 – 4, … …, (p+3n–4)2 – 4, (pn)2 – 4}, … * pK ={(pn–n+1)2 – (p–1)2, (pn–n+2)2 – (p–1)2, (pn–n+3)2 – (p–1)2, …, (pn–1)2 – (p–1)2, (pn)2 – (p–1)2}. В результате выполненных действий, обра- зуется множество K = * 1K  …  * pK  N. Ана- логичными рассуждениями, изложенными при доказательстве теоремы 1 в [9], приходим к выводу, что множество K состоит из различ- ных чисел. Значит, f** – инъекция на множе- ство чисел K. Поэтому разметка f* – квадратная разностная разметка графа SΔT, который явля- ется SD-графом. Теорема доказана. Применим алгоритм построения квадратно- го разностного дерева, изложенный в теореме 2. На рис. 3 представлена квадратная разностная разметка звезды K1,5. Для p = 3 получим квад- ратное разностное дерево 3 wT (рис. 4). Пусть дерево Т порядка n имеет квадратную разностную разметку f с наибольшей меткой n–1 в вершине v1, т.е. f(v1) = n –1 и Т1, Т2, …, Тp – изоморфные копии дерева Т. Выполним по- строение дерева * p wT с применением новой вер- 22 УСиМ, 2017, № 3 шины w0 и ребер w0wi, где wi  V(Тi) – изо- морфные образы вершины v1, i = 1, 2, …, p, p ≥ 1. Получим дерево * p wT (рис. 5). 3 4 9 16 2 4 0 25 5 1 w0 1 Рис. 3 225 224 221 9 16 25 36 48 63 80 99 117 140 165 192 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 1 2 15 Рис. 4 w1 w2 … wp Т1 Т2 … Тp w0 Рис. 5 Теорема 3. Если звезда K1,n = T имеет квад- ратную разностную разметку f с наибольшей меткой n – 1 в вершине v1, то дерево * p wT до- пускает квадратную разностную разметку. Доказательство. Пусть V(Т) = {u1, u2, …, un+1} – множество вершин дерева K1,n = T. Вы- полним построение дерева * p wT . Обозначим V(Тi) = {wi, ui,1, ui,2, …, ui,n} – множество вер- шин копии Тi, изоморфной дереву Т, где i = 1, 2, …, p. Пусть w0 – новая вершина и w0wi – ребра, полученные при построении дерева * p wT , где p ≥ 1 и wi  V(Тi) – изоморфные образы вершины v1 и ui,1 – изоморфные образы цен- тральной вершины звезды K1,n = T (рис. 6). w1 w2 … wp u1,1 u2,1 … up,1 w0 Рис. 6 Зададим вершинную разметку f* графа * p wT c множеством вершин p(n+1) + 1 следующим образом: f(w0) = p(n+1), f(ui,1) = i–1, f(u1,j) = f(uj) + p–1, f(ui+1,j) = f(ui,j) + n, где i = 1, 2, …, p, j = 2, …, n. Вершинные метки образуют множество S = {0, 1, 2, …, p(n+1)}. Таким образом, f* – биективное отображение множества вершин графа * p wT на множество чисел S. Покажем, что метки ребер, смежных c вер- шиной w0, разные. Пусть wi, wj – вершины изо- морфных копий Тi и Тj, смежные c вершиной w0 графа * p wT с метками f(wi) = k, f(wj) = l, где k, l {0, …, p(n+1))}, k ≠ l. Не нарушая общно- сти, примем k > l. Получим: f*(w0,ui,1) = \|[f(w0)]2 – [f(ui,1)]2\| = = \|p2(n+1)2 –k2\| = p2(n+1)2 – k2, f(w0,uj,1) = \|[f(w0)]2 – [f(uj,1)]2\| = = \|p2(n+1)2 –l2\| = p2(n+1)2 – l2, где i, j = 1, 2, …, n–1, i ≠ j. Тогда p2(n+1)2 – k2 < p2(n+1)2 – l2 и f(w0,ui,1) < < f(w0,uj,1). Так, метки ребер, смежных c вер- шиной w0 графа p wT , различны и образуют множество S1 = {p2(n+1)2 – (p+n–1)2, p2(n+1)2 – – (p+2n–1)2, p2(n+1)2 – (pn+p–2)2}. Для каждой изоморфной копии Ti дерева T, где i = 1, 2, ..., p, функция f* – биективное ото- бражение множества вершин V(Тi) на множе- ство чисел Ki, которое для каждого i имеет сле- дующий вид: K1 ={p, p+1, p+2, …, p+n–1}, K2 ={p+n, p+n+1, p+n+2, …, p+2n–1}, УСиМ, 2017, № 3 23 K3 ={p+2n, p+2n+1, p+2n+2, …, p+3n–1}, … Kp ={p+(p–1)n, p+(p–1)n+1, p+(p–1)n+2, …, pn+p–1}. Метки ребер в соответствии с определением 1 для Ti, где i = 1, 2, ..., p, образуют множества: * 1K ={p2, (p+1)2, (p+2)2, …, (p+n–2)2, (p+n–1)2}, * 2K ={(p+n)2–1, (p+n+1)2–1, (p+n+2)2–1, … …, (p+2n–2)2–1, (p+2n–1)2–1}, * 3K ={(p+2n)2–4, (p+2n+1)2–4, (p+2n+2)2–4, … …, (p+3n–2)2–4, (p+3n–1)2–4}, … * pK ={(p+(p–1)n)2 – (p–1)2, (p+(p–1)n+1)2 – (p–1)2, (p+(p–1)n+2)2 – (p–1)2, …, (pn+p–1)2 – (p–1)2}. В результате выполненных действий, обра- зуется множество K = * 1 1S K  … * pK  N. Рассуждения, аналогичные изложенным при доказательстве теоремы 1 в [9], приводят к вы- воду, что множество K состоит из различных чисел. Значит, f** – инъекция на множество на- туральных чисел. Поэтому разметка f* – квад- ратная разностная разметка графа * p wT , кото- рый является SD-графом. Теорема доказана. Применим к квадратной разностной звезде K1,5 (см. рис. 3) метод построения дерева * p wT для p = 3, предложенный в теореме 3. Получим квадратную разностную разметку дерева 3 wT (рис. 7). 275 180 35 7 12 17 49 143 221 9 16 25 36 63 80 99 120 117 140 165 192 3 4 5 6 8 9 10 11 13 14 15 16 0 1 2 18 Рис. 7 Теорема 4. Если дерево S порядка m имеет квадратную разностную разметку fm, а звезда K1,n = T, где n ≡ 0(mod 2) имеет квадратную разностную разметку fn с наибольшей меткой n в вершине v1, т.е. fn(v1) = n и Т1, Т2, …, Тm – изоморфные копии звезды K1,n , то дерево SΔK1,n , полученное путем отождествления каждой вер- шины wi , графа S с образом вершины v1 звезды K1,n = T в каждой изоморфной копии Ti , где i = 1, 2, ..., m, является SD-графом. Доказательство. Пусть V(S) = {w1, w2, … wm}, V(T) = {v1, v2, …, vn+1} – множества вершин де- ревьев S и Т, соответственно. Согласно усло- вию теоремы, fm и fn – квадратные разностные разметки деревьев S и Т соответственно. Пусть вершина v1 имеет наибольшую метку n, т.е. f(v1) = n. Для построения дерева SΔK1,n за осно- ву принимаем дерево S. Выполним отожде- ствление каждой вершины wi графа S с обра- зом вершины v1 в каждой изоморфной копии Ti дерева T, где i = 1, 2, ..., m. Обозначим V(Тi) = = {ui,1, ui,2, …, ui,n} – множество вершин изо- морфной копии Тi дерева Т, где i = 1, 2, …, m, т.е. V(Тi) = V(SΔK1,n). Зададим вершинную раз- метку f* дерева SΔT с множеством вершин m(n+1) так: f(ui,j) = (n+1)fm(wi) + fn(vj), где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n. Для изоморфной копии Ti дерева T, где i = 1, 2, ..., m, функция f – биективное отображение множества вершин V(Тi) на множество чисел Ki , которое для каждого i имеет следующий вид: K1 ={0, 1, 2, …, n}, K2 ={n+1, n+2, …, 2n, 2n+1}, K3 ={2n+2, 2n+3, …, 3n, 3n+1, 3n+2}, K4 ={3n+3, 3n+4, …, 4n+2, 4n+3}, … Km ={(m–1)n + (m–1), (m–1)n + m, …, m(n+1) – 2, m(n+1) – 1}. Метки ребер, в соответствии с определени- ем 1, для Ti, где i = 1, 2, ..., m, образуют множе- ства: * 1K ={1, 4, …, n2}, * 2K ={(2n+3), 2(2n+4), 3(2n+5), …, (n–1)(3n+1), n(3n+2)}, * 3K ={(4n+5), 2(4n+6), 3(4n+7), …, (n–2)(5n+2), (n–1)(5n+3), n(5n+4)}, 24 УСиМ, 2017, № 3 * 4K ={(6n+7), 2(6n+8), 3(6n+9), …, (n–2)(7n+4), (n–1)(7n+5), n(7n+6)}, … * mK ={(2m–2)n + (2m–1), 2(2m–2)n + 2m, …, (n–1)(2m–1)n + 2m–3, n(2m–1)n + 2m–2}. Рассмотрим изоморфные копии Тl и Тl+1 де- рева T. Пусть f** – реберная разметка дерева SΔK1,n , порождаемая функцией f* согласно оп- ределению 1. Тогда для изоморфной копии Тl имеем следующие метки ребер:       22** * * , , ,l i lj l i l jf u u f u f u        = ((n+1)fm(wl) + fn(vi))2 – ((n+1)fm(wl) + fn(vj))2 = = [fn(vi)]2 – [f(vj)]2 + 2(n+1)fm(wl)(fn(vi) – f(vj)), где i, j = 1, 2, …, n–1, i ≠ j. Найдем реберную разметку f*, индуциро- ванную функцией f, для изоморфной копии Тl+1, согласно определению 1:       22** * 1, 1, 1, 1,l i l j l i l jf u u f u f u             =((n+1)fm(wl+1) + fn(vi))2 – ((n+1)fm(wl+1) +fn(vj))2 = = [fn(vi)]2 – [f(vj)]2 + 2(n+1)fm(wl+1)(fn(vi) – f(vj)), где i, j = 1, 2, …, n–1, i ≠ j. Получим, что элементы множеств f(E(Тl)) и f(E(Тl+1)), где l = 1, 2, …, m, отличаются на число 2(n+1)(fn(vi) – fn(vj))(fm(wl) – fm(wl+1)). Функция f* так же индуцирует метки ребер дерева основы S, образующие множество чисел S* ={(n+1)(3n+1), (n+1)(5n+3), (n+1)(7n+5), … …, (n+1)((2m–3)n + 2m–5)}. В результате проведенных действий, обра- зуется множество K = * * 1S K  … * mK  N, состоящее из разных чисел. Значит, f** пред- ставляет собой инъекцию на множество нату- ральних чисел. Поэтому разметка f* – квадрат- ная разностная разметка графа SΔT, который является SD-графом. Теорема доказана. Для иллюстрации теоремы 4 рассмотрим дерево S порядка 5 и дерево T порядка 5 (рис. 8, 9). Выполним Δ-построение графа SΔT, как показано в доказательстве теоремы 4 (рис. 10). За основу примем дерево S, тогда множество меток его вершин образует множе- ство последовательных натуральных чисел, а множество меток ребер – множество различ- ных натуральных чисел. Значит, SΔT – квад- ратный разностный граф. w4 2 w2 1 w5 4 w1 0 w3 3 Рис. 8 3 v1 4 0 1 2 Рис. 9 Рис. 10 Заключение. Использованные в статье ме- тоды построения квадратного разностного де- рева могут быть применены в дальнейших теоретических исследованиях. 1. Ringel G. Problem 25 / Theory of Graphs and Its Ap- plications. // Proc. Symp., Smolenice, 1963. – Czech. Acad. Sci. 162 p. 2. Rosa A. On certain valuations of the vertices of a graph / Theory of Graphs. Int. Symp., Rome, July. УСиМ, 2017, № 3 25 1966. – Gordon and Breach, New York and Dunod Paris. – P. 349–355. 3. Bermond J. Graceful graphs, radio antennae and French windmills / Graph Theory and Combinatorics, 1979. – P. 18–37. 4. Stanton R., Zarnke C. Labeling of balanced trees. // Proc. 4th Southeast Conf. Combin. Graph Theory, Computing., 1973. – P. 479–495. 5. Koh K.M., Rogers D.G., Tan T. On graceful trees. // Nanta Mathematics, 1977. – 10(2). – P. 207–211. 6. Koh K.M., Rogers D.G., Tan T. Two theorems on grace- ful trees // Discrete Mathematics. – 1979. – 25. – P. 41– 148. 7. Koh K.M., Rogers D.G., Tan T. Products of graceful trees // Discrete Mathematics. – 1980 – 31, – P. 279–292. 8. On square difference Graphs / V. Ajitha, K.L. Princy, V. Lokesha et al. / Int. J. of Mathematical Combina- torics. – 2012. – 1, N 1. – P. 31–40. 9. Шерман З.А. Квадратная разностная разметка со- единений циклов и цепей // Научн.-техн. конф. «Ин- форматика, математика, автоматика». – Сумы, 18– 22 апр. 2016. – С. 251. Поступила 07.03.2017 E-mail: sherman.zoya@gmail.com © З.А. Шерман, 2017 UDC 519.17 Z.O. Sherman1 Methods of Constructing Square Difference Labeling 1 Post-graduate student at V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of National Academy of Sciences of Ukraine, Mikhailovskaya str. 1, apt. 4, Kropivnitsky, Ukraine 25015 Keywords: square difference labeling, square difference graph, Δ-construction. Introduction. The urgency of the graceful labeling of graphs, namely, the problem of Kotzig-Ringel Rosa brought a wave of different methods of labeling graphs. In particular, one of the constructive approach of finding graceful trees of large size from the known graceful trees was offered by R. Stanton, C. Zarnke, K. Koh, D. Rogers, T. Tan. K. Koch, D. Rogers and T. Tan have completed the construction of a new graph, adding to the disjunctive union of isomorphic copies of a given graceful graph T an additional vertex connected by its edges to isomorphic images of some fixed vertex of T. This method is used to study gracefulness of the symmetrical trees. The same authors generalized this method by identifying isomorphic im- ages of a fixed vertex of T, with the additional vertex. The construction of a graceful tree is implemented for a given pair of graceful trees and named Δ-constructing. Using it, K. Koh and others proved gracefulness of full m-arch tree. Methods and results. The methods of construction of square difference trees are applied. A new square difference tree is built from one square difference tree by identifying vertices with the greatest label of the isomorphic copies of the tree and using a new vertex and edges connecting the isomorphic copies of the square difference of a tree with the vertex. A method of Δ-constructing a square difference tree from two square difference trees is used. Conclusion. The class of square differential trees is expanded. Methods used to build square difference tree can be ap- plied in further theoretical studies.  << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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a stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <FEFF005500740069006c0069007a006500200065007300730061007300200063006f006e00660069006700750072006100e700f50065007300200064006500200066006f0072006d00610020006100200063007200690061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000410064006f0062006500200050004400460020006d00610069007300200061006400650071007500610064006f00730020007000610072006100200070007200e9002d0069006d0070007200650073007300f50065007300200064006500200061006c007400610020007100750061006c00690064006100640065002e0020004f007300200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006900610064006f007300200070006f00640065006d0020007300650072002000610062006500720074006f007300200063006f006d0020006f0020004100630072006f006200610074002000650020006f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650020007600650072007300f50065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e> /RUM <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> /RUS <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Методы построения квадратной разностной разметки

Institution

Ähnliche Einträge