Расчетная оценка составляющих импеданса цилиндрического проводника при их измерении на переменном токе
В системе, содержащей прямой и обратный проводники с переменным током, численно исследуются электромагнитные процессы при измерении импеданса участка цилиндрического проводника. Для двух вариантов конфигураций измерительных выводов показана связь дифференциальных параметров электромагнитного поля с...
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут електродинаміки НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/13136 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Расчетная оценка составляющих импеданса цилиндрического проводника при их измерении на переменном токе / А.И. Глухенький, А.А. Михаль // Техн. електродинаміка. — 2010. — № 1. — С. 15-22. — Бібліогр.: 9 назв. — pос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859484302448787456 |
|---|---|
| author | Глухенький, А.И. Михаль, А.А. |
| author_facet | Глухенький, А.И. Михаль, А.А. |
| citation_txt | Расчетная оценка составляющих импеданса цилиндрического проводника при их измерении на переменном токе / А.И. Глухенький, А.А. Михаль // Техн. електродинаміка. — 2010. — № 1. — С. 15-22. — Бібліогр.: 9 назв. — pос. |
| collection | DSpace DC |
| description | В системе, содержащей прямой и обратный проводники с переменным током, численно исследуются электромагнитные процессы при измерении импеданса участка цилиндрического проводника. Для двух вариантов конфигураций измерительных выводов показана связь дифференциальных параметров электромагнитного поля с напряжением на зажимах для подключения вольтметра, а также получены выражения для расчета измеренных значений импеданса. Проведен анализ тангенса фазового угла и погрешности измерения сопротивления, возникающей при переходе от постоянного тока к переменному.
В системі, що містить прямий і зворотний провідники зі змінним струмом, чисельно досліджуються електромагнітні процеси при вимірюванні імпедансу ділянки циліндричного провідника. Для двох варіантів конфігурацій вимірювальних відводів показано зв'язок диференціальних параметрів електромагнітного поля з напругою на затискачах для підключення вольтметра, а також отримано вирази для розрахунку обмірюваних значень імпедансу. Проведено аналіз тангенса фазового кута й похибки вимірювання опору, що виникає при переході від постійного струму до змінного.
The article is dedicated to research of electromagnetic processes within impedance measurement of the circuit conductor part in direct and reverse AC conductors system. For two possible configurations of measuring terminals the connection of electromagnetic field differential parameters with voltage at the terminals for voltmeter connection is shown. The forms for calculation of impedance measured values are given in the article. Analysis of phase angle tangent and resistance measurement error that can occur by switching from alternating to direct current is performed.
|
| first_indexed | 2025-11-24T15:15:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0204-3599. Техн. електродинаміка. 2010. № 1 15
УДК 621.3.015.11 : 621.317
А.И.Глухенький, канд.техн.наук, А.А.Михаль, канд.техн.наук (Ин-т электродинамики НАН Ук-
раины, Киев)
РАСЧЕТНАЯ ОЦЕНКА СОСТАВЛЯЮЩИХ ИМПЕДАНСА ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО
ПРОВОДНИКА ПРИ ИХ ИЗМЕРЕНИИ НА ПЕРЕМЕННОМ ТОКЕ
В системе, содержащей прямой и обратный проводники с переменным током, численно исследуются элек-
тромагнитные процессы при измерении импеданса участка цилиндрического проводника. Для двух вариантов
конфигураций измерительных выводов показана связь дифференциальных параметров электромагнитного по-
ля с напряжением на зажимах для подключения вольтметра, а также получены выражения для расчета изме-
ренных значений импеданса. Проведен анализ тангенса фазового угла и погрешности измерения сопротивле-
ния, возникающей при переходе от постоянного тока к переменному.
В системі, що містить прямий і зворотний провідники зі змінним струмом, чисельно досліджуються електро-
магнітні процеси при вимірюванні імпедансу ділянки циліндричного провідника. Для двох варіантів конфігура-
цій вимірювальних відводів показано зв'язок диференціальних параметрів електромагнітного поля з напругою
на затискачах для підключення вольтметра, а також отримано вирази для розрахунку обмірюваних значень
імпедансу. Проведено аналіз тангенса фазового кута й похибки вимірювання опору, що виникає при переході від
постійного струму до змінного.
Введение. Высокая точность измерения электрических пассивных величин, таких как сопротивле-
ние, удельная электрическая проводимость, диэлектрическая и магнитная проницаемость, или активных
величин, таких как ток, напряжение, мощность, угол фазового сдвига, во многих случаях не может быть
реализована без учета погрешностей, вносимых первичными измерительными преобразователями (ПИП).
В зависимости от целевого назначения конструкция ПИП может быть различной. В общем слу-
чае она включает в себя чувствительный элемент и систему подводящих проводов и зажимов для под-
ключения измерительного прибора. В ряде случаев в качестве чувствительного элемента ПИП исполь-
зуется цилиндрический прямолинейный проводник. Так, например, простейшей конструкцией шунта
является прямой стержень кругового сечения [1]. В основе конструкции первичного преобразователя
государственного эталона электролитической проводимости [2,6] лежит столб электролита (водного
раствора хлористого калия), заключенный внутри трубки из кварцевого стекла.
Требования к метрологическим характеристикам ПИП на современном этапе резко возросли.
Это обстоятельство предопределяет необходимость разработки и создания шунтов переменного тока
класса точности 0,001 и выше. Воспроизведение электролитической проводимости с минимальной не-
определенностью в кондуктометрическом эталоне требует определения сопротивления столба электро-
лита (проводника второго рода) с относительной погрешностью, которая не должна превышать 5×10-6.
Как правило, высокоточные измерения сопротивления первичных преобразователей осущест-
вляются с применением переменного тока. Обусловлено это отсутствием влияния термо-ЭДС, мень-
шим уровнем спектральной мощности шума, использованием принципиально более точных мосто-
вых уравновешенных цепей на основе делителей с тесной индуктивной связью. В некоторых средах,
например, растворах электролитов, из-за опасности выпадения осадка измерения осуществляются
только на переменном токе или постоянном токе очень малых величин.
Хорошо известно, что переменный электрический ток создает переменное магнитное поле,
которое в соответствии с явлением электромагнитной индукции во всем окружающем пространстве
наводит электродвижущие силы (ЭДС). При этом ЭДС возникают как в самих проводниках с током (за
счет само- и взаимоиндукции), так и в элементах измерительной системы (за счет взаимоиндукции). В
массивных проводах за счет вихревых токов дополнительно проявляются поверхностный эффект и эф-
фект близости, которые тем сильнее, чем больше поперечное сечение проводника, выше частота и удель-
ная электропроводность проводника, и чем ближе проводники расположены друг к другу.
Целью настоящей работы является расчетное исследование этих эффектов в процессе изме-
рения импеданса цилиндрического проводника. Причем удельная проводимость проводника может
изменяться в широких пределах от металлов с электронной проводимостью (σ = 105−107 См/м) до
© Глухенький А.И., Михаль А.А., 2010
16 ISSN 0204-3599. Техн. електродинаміка. 2010. № 1
растворов электролитов с ионным типом проводимости (σ = 10-4−102 См/м). Эта задача актуальна по
двум соображениям. Во-первых, погрешность, обусловленная учетом этих эффектов, даже в звуковом
диапазоне частот (10–105 Гц) может быть существенной и соизмеримой с требуемой погрешностью
определения сопротивления некоторых объектов. Во-вторых, оценка соотношения между активной и
реактивной составляющими импеданса проводника крайне важна для формирования технических
требований на разработку вторичного измерительного прибора.
Физическая модель. Идеализированную физическую
модель для расчета измеренного значения импеданса участка
цилиндрического проводника (рис. 1) представим в виде сис-
темы из прямого проводника 1 (круглого сечения диаметром
D) и линейного (бесконечно тонкого) обратного проводника 2,
по которым в противоположных направлениях протекает сину-
соидальный ток. Обратный проводник расположен параллель-
но прямому проводнику на расстоянии h от изоляции 3. Для
снятия разности потенциалов выбраны две точки a и b, кото-
рые расположены на расстоянии l вдоль образующей прямого
проводника. Обе точки могут согласованно скользить по по-
верхности массивного проводника в азимутальном направле-
нии, при этом их местоположение будет определяться углом
сдвига α относительно положения обратного токового прово-
да. Выбор такой электромагнитной системы в качестве объекта
исследования обусловлен тем, что она является близким анало-
гом кондуктометрического ПИП в составе государственного
эталона электролитической проводимости жидкости [2].
В рамках данной работы рассмотрим два варианта подключения потенциальных зажимов из-
мерительного прибора. Первый вариант заключается в том, что зажимы для подключения вольтметра
c′ и d′ подключены к точкам на поверхности проводника a′ и b′ с помощью параллельных проводов 4,
расположенных перпендикулярно оси проводника. Во втором варианте потенциальные провода 4 выхо-
дят перпендикулярно оси с точек a″ и b″ до края изоляции. Затем один из потенциальных проводов про-
кладывается параллельно оси проводника с током до соединения со вторым потенциальным проводом,
после чего свивается с ним. В свитом виде провода подключаются к измерительным зажимам c″ и d″.
Электромагнитные процессы в представленной системе будем рассматривать при следующих до-
пущениях: при постановке задачи используем квазистационарное приближение, что позволяет прене-
бречь токами смещения, как в самом проводнике, так и в окружающем пространстве; проводники с
током принимаются бесконечно длинными; потенциальные провода рассматриваются как идеальные, без
учета диаметра и толщины изоляции; эквивалентное входное сопротивление измерителя напряжения
принимается настолько большим, что делает ток в потенциальных проводах пренебрежимо малым.
Формулировка задачи численного расчета электромагнитного поля. Для исследования
электромагнитных процессов в последнее время все большее распространение находит практика чис-
ленного расчета электромагнитного поля на основе таких его дифференциальных характеристик как
векторный магнитный потенциал A
r
и скалярный электростатический потенциал ϕ .
Известно, что потенциалы изначально входили в “итоговую систему основополагающих урав-
нений электродинамики”, которая была представлена Дж.К.Максвеллом в «Трактате об электричест-
ве и магнетизме» [5]. С их помощью он выразил физические явления, которые вызывают возникно-
вение напряженности электрического поля E
r
в неподвижной среде
tAE ∂∂−−= /grad
rr
ϕ . (1)
Так, через “ gradϕ− ” в дифференциальном виде представлена разность электростатических потенциалов, вызы-
вающая движение зарядов в проводниках, через “ /A t−∂ ∂
r
” сформулировано явление электромагнитной индукции.
В современной теории электромагнитного поля [7,8] уравнение (1) представлено как решение
второго уравнения Максвелла rot /E B t= −∂ ∂
r r
, и потенциалы рассматриваются как сугубо расчетные
вспомогательные функции. При этом, по сути, два различных по своей физической природе фактора
объединены под одним общим идентификатором напряженности электрического поля E
r
. Прямым
Рис. 1
ISSN 0204-3599. Техн. електродинаміка. 2010. № 1 17
следствием такого подхода, к примеру, явилась невозможность в рамках этой теории сформулировать
связь между дифференциальными характеристиками поля и электрическим напряжением [3].
В данной работе потенциалы будут рассматриваться не как математические абстракции,
удобные для решения того или иного уравнения, а как реальные физические величины. Это позволит
нам не только рассчитать распределение электромагнитного поля в системе, но и даст возможность
увязать дифференциальные характеристики поля с электрическим напряжением. А в дальнейшем,
при известном значении тока, рассчитать измеренное значение импеданса участка цилиндрического
проводника с учетом геометрии потенциальных измерительных выводов.
Как известно, векторный магнитный потенциал связан с индукцией магнитного поля B
r
соотно-
шением rotB A=
rr
, а плотность тока J в проводящей среде в соответствии с уравнением материальной
связи определяется выражением J Eσ=
r
, где σ – удельная электропроводность проводящей среды.
Выразив в первом уравнении Максвелла rotH J=
r r
(ток смещения / 0D t∂ ∂ = ), напряженность
магнитного поля H
r
и плотность тока проводимости J
r
через потенциалы A
r
и ϕ , с учетом соотно-
шения 1
0( )H μ μ B−=
r r
, где 7
0 4 10μ π −= Гн/м, μ – относительная магнитная проницаемость среды, по-
лучим относительно A
r
следующее уравнение для квазистационарного электромагнитного поля в од-
нородной проводящей неподвижной среде
0
1rot( rot ) gradAA tσ σ ϕμ μ
∂
+ ⋅ = − ⋅∂
r
r
. (2)
Из условия непрерывности токов проводимости ( 0)rot(divdiv ≡= HJ
r
) для однородной изо-
тропной среды можно записать 2div( / grad ) div 0A t A
t
ϕ ϕ∂
∂ ∂ + = + ∇ =
∂
r r
. Тем самым, распределение
скалярного электрического потенциала в квазистационарном электромагнитном поле в общем случае
подчиняется уравнению Пуассона
2 div /A tϕ∇ = −∂ ∂
r
. (3)
В соответствии с [5] векторный магнитный потенциал является соленоидальной величиной
( 0div =A
r
). В декартовых координатах (x,y,z) имеем div 0yx zAA AA
x y z
∂∂ ∂
≡ + + =
∂ ∂ ∂
r
, при том, что состав-
ляющие дивергенции по отдельным координатам в общем случае являются ненулевыми.
При двухмерном (плоскопараллельном) представлении прямолинейных проводников с током,
когда ток направлен перпендикулярно рассматриваемой плоскости x0y (по оси z) и имеется единст-
венная z-составляющая плотности тока J
r
, векторный магнитный потенциал A
r
и градиент скалярно-
го электрического потенциала ϕgrad в уравнении (2) также имеют единственные z-составляющие.
При этом, исходя из уравнения (3), с учетом div / 0zA A z= ∂ ∂ =
r
, распределение электрического
скалярного потенциала определяется выражением 2 2/ 0zϕ∂ ∂ = . Отсюда можно сделать вывод, что
потенциал ϕ вдоль проводника изменяется линейно, ϕgrad является постоянной величиной в каж-
дой точке поперечного сечения проводника и связан с разностью потенциалов aϕ и bϕ (рис. 1), вы-
звавшей протекание электрического тока в нем, соотношением
lUl abba //)(grad =−=− ϕϕϕ , (4)
где abU – напряжение, приложенное к участку проводника длиной l.
Для этого же плоского случая уравнение (2) может быть приведено к виду, когда источником
электромагнитного поля в проводнике является проходящий по нему электрический ток. Проинтег-
рируем по поперечному сечению S проводника выражение для плотности тока
dstAdsEdsJi
SSS
∫∫∫ +∂∂−=== )grad/( ϕσσ
rrr
. (5)
Т.к. по сечению проводника выполняется условие constgrad =ϕ , то можно преобразовать (5):
18 ISSN 0204-3599. Техн. електродинаміка. 2010. № 1
∫ ∂
∂
+=⋅−
S
ds
t
A
SS
i
r
σϕσ grad . (6)
После его подстановки в (2), переходя к комплексному изображению гармонических величин,
0
1rot( rot ) /
S
jA j A Ads I S
S
ωσωσ
μ μ
+ − =∫& & & & , (7)
где A& – гармоническая (изменяющаяся во времени по гармоническому закону) z-компонента вектора A
r& .
В результате получено интегро-дифференциальное уравнение, описывающее двумерное ква-
зистационарное электромагнитное поле в проводнике при пропускании по нему электрического тока
I& , который считается известной (заданной) величиной.
Таким образом, при плоскопараллельном рассмотрении расчет квазистационарного электромагнит-
ного поля в массивном проводнике возможен при двух постановках: при заданном напряжении (уравнения
(2, 4)) и заданном токе (уравнение (7)). Отметим, что в правых частях уравнений (2) и (7) отсутствуют вы-
ражения типа стJ& либо стEσ & (“ст” – сторонние), которыми в современной теории [7], на наш взгляд, не-
обоснованно, принято представлять источники электромагнитного поля в проводящей среде.
Численный расчет электромагнитного поля в рассматриваемой системе выполнялся в двумер-
ной постановке методом конечных элементов с использованием пакета программ Comsol [9]. Допус-
тимость двумерного представления определяется принятым приближением бесконечной длины пря-
мого и обратного проводников с током. Расчетная область электромагнитной задачи рассматривается
в декартовых координатах в плоскости x0y. Она содержит подобласть прямого проводника Ω1 с удельной
электропроводностью σ , подобласть изоляции Ω2, а также подобласть окружающей воздушной среды
Ω3. Точкой Θ1 на рисунке обозначена проекция обратного токового провода. Внешняя граница Ω2 являет-
ся проекцией на плоскость x0y возможных положений потенциальных выводов. На внешней границе рас-
четной области (на рис. 1 не показано) задается однородное граничное условие 0A =& .
Задача расчета электромагнитного поля решалась при заданных токах в прямом и обратном
проводниках. Тогда уравнения, описывающие электромагнитное поле в системе через векторный маг-
нитный потенциал { }0; 0;A A=
r& & , имеют следующий вид:
1
1
0
Ω
( ) /jA j A Ads I S
S
ωσμ ωσ− ∇ × ∇ × + − =∫& & & &
– в области Ω1; 1
0 ( ) 0Aμ − ∇ × ∇ × =& – в областях Ω2 и Ω3; сторI I= − & , – в точке Θ1.
Расчетные выражения для определения электрических параметров. Как известно, изме-
рение напряжения (разности электрических потенциалов) на переменном токе имеет свои особеннос-
ти. При наличии тока в силовой цепи показания вольтметра могут существенным образом зависеть от
расположения измерительных выводов, что затрудняет трактовку полученных результатов. Это обу-
словлено наведением ЭДС в элементах измерительной системы (соединительных проводах вольтметра).
Значение электростатического потенциала, формируемого в произвольной i-той точке, в об-
щем случае может быть определено в соответствии с выражением 0
0
grad
i
i dlϕ ϕ ϕ= + ∫
r
& & & , где 0ϕ& – значе-
ние электростатического потенциала в исходной точке. Поскольку поперечные сечения прямолиней-
ного массивного проводника являются эквипотенциальными поверхностями, то вне зависимости от
угла α точек подключения потенциальных выводов к боковой поверхности проводника будет спра-
ведливым ' "
a a aϕ ϕ ϕ= =& & & и ' "
b b bϕ ϕ ϕ= =& & & . Из уравнения (1) также следует, что в измерительных проводах
в отсутствие тока ( / 0E J σ= =
r r& & ) распределение скалярного потенциала определяется только явлени-
ем взаимоиндукции: Aj &r& ωϕ −=grad . Таким образом, напряжение на зажимах вольтметра VU& при
произвольном положении потенциальных проводов будет равно
)()( ∫∫ −−−=−=
d
b
b
c
a
adcV ldAjldAjU
r&r&
r&r&&&& ωϕωϕϕϕ , (8)
ISSN 0204-3599. Техн. електродинаміка. 2010. № 1 19
где cϕ& , dϕ& и aϕ& , bϕ& – соответственно электрические потенциалы на зажимах вольтметра и точек a и
b на поверхности цилиндрического проводника, j Adlω− ∫
rr& – индуцированная в измерительных про-
водах ЭДС взаимоиндукции.
Заметим, что индуцированная ЭДС должна определяться в соответствии с правилами скаляр-
ного произведения векторов cos( )Adl Adl A dl
∧
=
r rr r& && . В рассматриваемой электромагнитной системе век-
торный магнитный потенциал направлен вдоль проводников с током. Соответственно, на участках
измерительных проводов, расположенных перпендикулярно им, ЭДС индукции будут равны нулю.
На продольных участках значение А&
r
остается постоянным вдоль измерительного вывода и при оп-
ределении ЭДС может выноситься из-под знака интеграла.
Таким образом, в первом варианте измерения напряжения при достаточном удалении вольт-
метра от проводников с током, так что можно принять для продольных участков измерительных вы-
водов 0А ≅
r& , его показания будут соответствовать разности потенциалов в точках a и b
badcVU ϕϕϕϕ &&&&& −=−= ''' . (9)
Во втором варианте показания вольтметра определяются в соответствии с выражением
lAjU badcV
&&&&&& ωϕϕϕϕ −−=−= """ , (10)
где A& – локальное значение векторного магнитного потенциала в месте расположения продольного
участка потенциального измерительного вывода длиной l . Бифилярный участок измерительных вы-
водов может прокладываться произвольным образом. Электродвижущие силы, наводимые в них
электромагнитным полем, взаимно вычитаются и на показания вольтметра влияния не оказывают. На
перпендикулярных участках выводов, как и ранее, ЭДС электромагнитной индукции не наводятся.
В случае прокладки потенциального вывода непосредственно вдоль образующей цилиндри-
ческого проводника с током, когда значения векторного магнитного потенциала на продольном уча-
стке измерительного вывода и на поверхности проводника практически совпадают, показания вольт-
метра будут равны
lElAjlAjElAjlgradlAjU baV
&&&&&&&&&& =−+=−⋅−=−−= ωωωϕωϕϕ )(" . (11)
Т.е. в этом случае, по сути, вольтметром обеспечивается измерение поверхностной напряжен-
ности электрического поля E& (умноженной на величину l ), что позволяет в соответствии с выраже-
нием J Eσ=& & определить и поверхностную плотность тока. При погружении потенциальных прово-
дов с изолированной боковой поверхностью в жидкую проводящую среду такой объект может высту-
пать в качестве ПИП для измерения локальных величин E& и J& внутри жидких проводников с током [4].
Таким образом, в соответствии с первым вариантом вольтметром измеряется разность элек-
трических потенциалов участка массивного проводника, которая обеспечивает протекание по нему
электрического тока. Во втором варианте показания вольтметра, помимо разности потенциалов в точ-
ках подсоединения измерительных проводов, определяются также локальными значениями векторно-
го магнитного потенциала и потому существенным образом зависят от местоположения измеритель-
ных выводов. Выражение для измеряемого в соответствии с первым вариантом напряжения abU& с
учетом (4) и (6) может быть преобразовано к виду
'
DСV ab
S
lU U IR j Ads
S
ω= = + ∫ && & , (12)
где DС /( )R l Sσ= – сопротивление участка цилиндрического проводника постоянному току.
Разделив обе части уравнения (12) на ток I& , получим выражение для полного сопротивления
участка проводника в этом случае
'
DC
V
S
U j lZ R Ads
I IS
ω′ = = + ∫
&
&
& &
, (13)
откуда выражения для активного и индуктивного сопротивления будут иметь следующий вид:
' '
DCRe( ) ReAC
S
j lR Z R Ads
IS
ω⎛ ⎞
= = + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ &&
, Im( ) Im
S
j lX Z Ads
IS
ω⎛ ⎞
′ ′= = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ &&
(14,15)
Взяв за основу уравнения (4), (6) и (10), несложно получить аналогичные выражения для вто-
20 ISSN 0204-3599. Техн. електродинаміка. 2010. № 1
рого варианта измерения напряжения:
" "
DCRe( ) ReAC
S
j lR Z R Ads j Al
IS
ω ω
⎛ ⎞
= = + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ & &
&
, " "Im( ) Im
S
j lX Z Ads j Al
IS
ω ω
⎛ ⎞
= = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ & &
&
. (16,17)
Результаты расчетов и их анализ. При изменении удельной электрической проводимости
σ проводника и частоты питающего тока / 2f ω π= в широких пределах вклад индуцированной со-
ставляющей в значение активного сопротивления ACR может так же существенно изменяться. Поэто-
му результаты расчета составляющих импеданса согласно уравнениям (14−17) целесообразно пред-
ставлять в виде относительных параметров, например, тангенса фазового угла Re( ) Im( )tg Z Zϕ = и
отклонения или погрешности ( )AC DC DCR R Rδ = − , возникающей при переходе от постоянного тока к
переменному. Ниже приведены результаты расчетов этих параметров применительно к реальной кон-
струкции ПИП эталона электролитической проводимости со следующими геометрическими размера-
ми: 10 ммD = , 2,5ммh = .
На рис. 2 показаны зависимости модуля погрешности δ от
удельной электрической проводимости для двух вариантов
подключения потенциальных зажимов измерительного прибо-
ра (рис. 1) и двух частот – промышленной частоты 50 Гц и
измерительной частоты 1 кГц, которая, как правило, применя-
ется в метрологии. Необходимо отметить, что погрешность
для первого варианта подключения имеет положительное зна-
чение, а для второго варианта при 180α = ° – отрицательное.
Из приведенных ранее уравнений следует, что в составе изме-
ренного напряжения и, соответственно, импеданса присутст-
вуют индуцированные составляющие. Причем для первого
варианта включения (согласно уравнениям 9 и 12) это единст-
венная составляющая, описывающая вклад векторного маг-
нитного потенциала внутри массивного проводника, которая собственно и приводит к возникнове-
нию положительной погрешности. Для второго варианта включения, согласно уравнениям 10 и 12,
индуцированная часть импеданса представлена двумя составляющими. Кроме существующей в пре-
дыдущем варианте составляющей присутствует составляющая, описывающая вклад векторного маг-
нитного потенциала пространства вне массивного проводника. Поскольку обе составляющие вычи-
таются, то этим и объясняется изменение знака погрешности на рис. 2. Условно выбрав предельно
малую учитываемую величину погрешности, например 10-6, можем сделать вывод, что на измери-
тельной частоте 1 кГц для удельной электропроводности σ ≤ 104 погрешностями, вносимыми за счет
явления электромагнитной индукции, можно пренебречь для обоих вариантов включения. Поскольку
модуль погрешности (рис. 2) в большей степени зависит от
частоты, нежели от схемы включения, то целесообразно рас-
смотреть частотную зависимость составляющих импеданса.
Результаты этих исследований для жидкого проводника с ион-
ным типом проводимости и II вариантом подключения при
угле 180α = ° показаны на рис. 3. В качестве такого провод-
ника нами выбран водный раствор электролита с электроли-
тической проводимостью 60σ = См/м. Это значение электро-
литической проводимости соответствует максимально воз-
можной границе, в пределах которой эталон воспроизводит
данную физическую величину [2].
Из монотонного характера зависимостей следует, что электрическую модель растворов элек-
тролитов (σ ≤102) можна представить двухэлементной схемой замещения. Характер реактивности
требует уточнения. Однако он настолько мал, что для всех частот измерительного сигнала вплоть до
нескольких МГц тангенс, так же как и погрешность, можно не учитывать. Соответственно это озна-
чает, что при исследовании электромагнитных процессов в средах с ионным типом проводимости
явлением электромагнитной индукции можно пренебречь.
Рис. 2
Рис. 3
ISSN 0204-3599. Техн. електродинаміка. 2010. № 1 21
Рассмотрим эти же зависимости для проводников с высокой удельной электропроводностью.
Для наиболее типичного представителя, которым является медь ( 76 10σ = ⋅ См/м), они показаны на
рис. 4 и 5. Зависимости имеют ярко выраженный экстремум, который устремляется к нулю. Но по
абсолютной величине значения погрешности и тангенса отрицательны влево от экстремума и поло-
жительны вправо. Т.о., если для электролитов погрешность и тангенс являются отрицательными ве-
личинами во всем частотном диапазоне, то для металлов знак этих характеристик изменяется с отри-
цательного на положительный. Причем это изменение происходит для погрешности в частотном ин-
тервале (1−10) кГц, а для тангенса фазового угла (рис. 5) – в частотном интервале (0,1−1) кГц. Нали-
чие перегибов и изменение знака в характеристиках, показанных на рис. 4 и 5, свидетельствует о том,
что двухэлементной схемой замещения импеданс участка массивного металлического проводника
представить нельзя. Это обстоятельство необходимо учитывать при выборе частоты сигнала и струк-
туры измерительного канала вторичного преобразователя. Тангенс фазового угла для металлических
проводников становится большим единицы, начиная с частот выше 1 кГц. Поэтому требования к
метрологическим характеристикам вспомогательного квадратурного канала измерительного устрой-
ства должны быть такими же высокими, как и для основного синфазного измерительного канала.
На примере приведенных графиков показано, что частотные характеристики tgϕ и δ для ме-
таллов со вторым вариантом подключения при угле 180α = ° меняют знак. Как показывают дальней-
шие исследования, эти характеристики являются функциями угла α (рис. 1), который задает положе-
ние точек подключения потенциальных выводов относительно обратного токового провода. Соответст-
вующие зависимости при двух значениях частот: 1 50f = Гц и 2 1f = кГц показаны на рис. 6 и 7.
При прибли-
жении точек подклю-
чения потенциальных
выводов к обратному
проводу ( 0α → °) ре-
активная составляю-
щая импеданса (рис.
6) на частоте измери-
тельного сигнала 1 кГц
на порядок превыша-
ет активную состав-
ляющую. Поэтому ес-
ли в измерительном
устройстве не предус-
мотреть цепь компенсации квадратурной составляющей, то можно потерять чувствительность при
измерении основного параметра – активной составляющей импеданса. Кроме того, на этой частоте,
даже на диаметрально противоположной стороне ( 180α = °) тангенс фазового угла близок к единице.
Следовательно, метрологические характеристики цепей компенсации должны быть достаточно высо-
кими. А это в, свою очередь, усложняет аппаратуру для измерения импеданса. Из аналогичной зависи-
мости погрешности (рис. 7) следует несколько выводов. Во-первых, для представленных частот измери-
тельного сигнала характер зависимости одинаков, но при частоте 1 кГц погрешность на два порядка боль-
ше, чем при частоте 50 Гц. Во-вторых, значение погрешности меняет свой знак, проходя через нулевую от-
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6 Рис. 7
22 ISSN 0204-3599. Техн. електродинаміка. 2010. № 1
метку. Причем с ростом частоты положение точки перехода погрешности через ноль смещается в диамет-
ральном направлении относительно положения обратного проводника с током. Переход значения погреш-
ности через ноль при перемещении точек подключения a и b по поверхности проводника является
крайне важным фактом. Он свидетельствует о том, что величиной погрешности можно управлять,
сводя ее к нулю путем выбора соответствующего угла подключения потенциальных проводов к чув-
ствительному элементу ПИП.
На рис. 8 в качестве примера показаны
зависимости от частоты угла 0α , при котором
погрешность δ будет равна нулю. Из рисунка
следует, что для медного проводника диаметром
10 мм при рабочей частоте 1 кГц искомый угол
составляет 118°, а для проводника диаметром 5
мм – 110°.
Заключение. 1. В работе выполнен чис-
ленный расчет электромагнитного поля системы
прямолинейных проводников с переменным током.
В качестве полевой функции использован вектор-
ный магнитный потенциал. Показано, что при пло-
скопараллельном рассмотрении расчет электромаг-
нитного поля в массивном проводнике возможен при двух постановках. В первом случае в качестве ис-
точника поля выступает электрическое напряжение, которое в дифференциальном виде представлено че-
рез градиент электростатического потенциала. Особенностью второй постановки является то, что элек-
тромагнитное поле задается средней по сечению проводника плотностью тока и описывается относитель-
но векторного магнитного потенциала интегро-дифференциальным уравнением.
2. Представлена методика численного расчета таких доступных для измерения интегральных
параметров, как напряжение на зажимах для подключения измерителя и импеданс участка цилиндри-
ческого проводника при различных конфигурациях измерительной цепи.
3. В общем случае выбор варианта подключения потенциальных выводов должен определяться целе-
вым назначением проводимых измерений. При необходимости определения сопротивления на переменном
токе с минимальной погрешностью относительно сопротивления постоянному току предпочтение следует от-
дать второму варианту, который позволяет минимизировать значение погрешности.
4. Применительно к чувствительному элементу ПИП государственного эталона электролити-
ческой проводимости относительная погрешность измерения сопротивления на частотах вплоть до
нескольких МГц для обоих вариантов подключений составляет менее 10-6. Соответственно это озна-
чает, что при исследовании электромагнитных процессов в средах с ионным типом проводимости
явлением электромагнитной индукции можно пренебречь.
1. Векслер М.С., Теплинский А.М. Шунты переменного тока. − Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1987. – 120 с.
2. Гаврилкін В.Г та ін. Державний первинний еталон одиниці електричної провідності рідин. Ук-
раїнський метрологічний журнал. − 2006. − №3. − С. 47−51.
3. Глухенький О.І. Теорія та розрахункова практика в квазістаціонарному електромагнітному полі (Назад до
Максвела) // Праці Інституту електродинаміки НАН України. Зб. наук. праць. – 2008. – №20. – С. 89−90.
4. Глухенький А.И., Гориславец Ю.М. Магнитное поле в канале электромагнитного дозатора жидкого
металла//Праці Інституту електродинаміки НАН України. Енергоефективність: Зб. наук. праць. – 2001. – С. 3−5.
5. Максвелл Дж. К. Трактат об электричестве и магнетизме. В двух томах. Т.II.М.: Наука, 1989. – 431 с.
6. Михаль А.А., Сурду М.Н., Швец Т.В. Метрологическое обеспечение измерений УЭП растворов в океаноло-
гических и промышленных измерениях. Украинский метрологический журнал. − 1998. − №3. − С. 21−25.
7. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. – М.: Наука, 1978. – 544 с.
8. Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М.: Наука, 1976. – 616 с.
9. 4. FEMLAB Uzer’s Guide and Introduction. – FEMLAB 2.3. – COMSOL, Inc., 1994−2002. – 436 p.
Надійшла 26.03.2009
Рис. 8
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-13136 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3599 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T15:15:08Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут електродинаміки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Глухенький, А.И. Михаль, А.А. 2010-10-29T12:41:01Z 2010-10-29T12:41:01Z 2010 Расчетная оценка составляющих импеданса цилиндрического проводника при их измерении на переменном токе / А.И. Глухенький, А.А. Михаль // Техн. електродинаміка. — 2010. — № 1. — С. 15-22. — Бібліогр.: 9 назв. — pос. 0204-3599 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/13136 621.3.015.11 : 621.317 В системе, содержащей прямой и обратный проводники с переменным током, численно исследуются электромагнитные процессы при измерении импеданса участка цилиндрического проводника. Для двух вариантов конфигураций измерительных выводов показана связь дифференциальных параметров электромагнитного поля с напряжением на зажимах для подключения вольтметра, а также получены выражения для расчета измеренных значений импеданса. Проведен анализ тангенса фазового угла и погрешности измерения сопротивления, возникающей при переходе от постоянного тока к переменному. В системі, що містить прямий і зворотний провідники зі змінним струмом, чисельно досліджуються електромагнітні процеси при вимірюванні імпедансу ділянки циліндричного провідника. Для двох варіантів конфігурацій вимірювальних відводів показано зв'язок диференціальних параметрів електромагнітного поля з напругою на затискачах для підключення вольтметра, а також отримано вирази для розрахунку обмірюваних значень імпедансу. Проведено аналіз тангенса фазового кута й похибки вимірювання опору, що виникає при переході від постійного струму до змінного. The article is dedicated to research of electromagnetic processes within impedance measurement of the circuit conductor part in direct and reverse AC conductors system. For two possible configurations of measuring terminals the connection of electromagnetic field differential parameters with voltage at the terminals for voltmeter connection is shown. The forms for calculation of impedance measured values are given in the article. Analysis of phase angle tangent and resistance measurement error that can occur by switching from alternating to direct current is performed. ru Інститут електродинаміки НАН України Теоретична електротехніка та електрофізика Расчетная оценка составляющих импеданса цилиндрического проводника при их измерении на переменном токе Analysis of circular conductor impedance components within AC measurement Article published earlier |
| spellingShingle | Расчетная оценка составляющих импеданса цилиндрического проводника при их измерении на переменном токе Глухенький, А.И. Михаль, А.А. Теоретична електротехніка та електрофізика |
| title | Расчетная оценка составляющих импеданса цилиндрического проводника при их измерении на переменном токе |
| title_alt | Analysis of circular conductor impedance components within AC measurement |
| title_full | Расчетная оценка составляющих импеданса цилиндрического проводника при их измерении на переменном токе |
| title_fullStr | Расчетная оценка составляющих импеданса цилиндрического проводника при их измерении на переменном токе |
| title_full_unstemmed | Расчетная оценка составляющих импеданса цилиндрического проводника при их измерении на переменном токе |
| title_short | Расчетная оценка составляющих импеданса цилиндрического проводника при их измерении на переменном токе |
| title_sort | расчетная оценка составляющих импеданса цилиндрического проводника при их измерении на переменном токе |
| topic | Теоретична електротехніка та електрофізика |
| topic_facet | Теоретична електротехніка та електрофізика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/13136 |
| work_keys_str_mv | AT gluhenʹkiiai rasčetnaâocenkasostavlâûŝihimpedansacilindričeskogoprovodnikapriihizmereniinaperemennomtoke AT mihalʹaa rasčetnaâocenkasostavlâûŝihimpedansacilindričeskogoprovodnikapriihizmereniinaperemennomtoke AT gluhenʹkiiai analysisofcircularconductorimpedancecomponentswithinacmeasurement AT mihalʹaa analysisofcircularconductorimpedancecomponentswithinacmeasurement |