Метод автоматической классификации на базе нечеткого отношения сходства
Для решения задачи автоматической классификации предлагается IFC-метод нечеткой кластеризации, в котором используются новые нечеткие логические операторы — пороговые треугольные нормы и конормы. Данный метод отличается от методов кластеризации на основе нечеткого отношения эквивалентности тем, что п...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2016 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131388 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Метод автоматической классификации на базе нечеткого отношения сходства / Л.Ф. Гуляницкий, И.И. Рясная // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 34-41. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-131388 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Гуляницкий, Л.Ф. Рясная, И.И. 2018-03-21T20:22:26Z 2018-03-21T20:22:26Z 2016 Метод автоматической классификации на базе нечеткого отношения сходства / Л.Ф. Гуляницкий, И.И. Рясная // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 34-41. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131388 519.8 Для решения задачи автоматической классификации предлагается IFC-метод нечеткой кластеризации, в котором используются новые нечеткие логические операторы — пороговые треугольные нормы и конормы. Данный метод отличается от методов кластеризации на основе нечеткого отношения эквивалентности тем, что позволяет разрабатывать более быстрые алгоритмы построения кластеров. При этом не искажаются данные о связях между элементами исследуемого множества, что обеспечивает прозрачность интерпретации результатов исследований. Приведены примеры применения метода к некоторым известным задачам. Для розв’язування задачі автоматичної класифікації запропоновано IFC-метод нечіткої кластеризації, у якому використовуються нові нечіткі логічні оператори — порогові трикутні норми і конорми. Цей метод відрізняється від методів кластеризації на основі нечіткого відношення еквівалентності тим,що дозволяє розробляти більш швидкі алгоритми побудови кластерів. При цьому не (спотворюються) змінюються дані про зв’язки між елементами множини, що досліджується. Це забезпечує прозорість інтерпретування результатів досліджень. Наведено приклади застосування методу до деяких відомих задач. The IFC-method of fuzzy clustering is proposed to solve the problem of automatic classification/ The method is based on new fuzzy logical operators: threshold triangular norms and conorms. This method differs from clustering methods based on fuzzy equivalence relation since it allows developing faster algorithms to generate clusters without distorting data on connections between elements of the studied set. This provides transparent interpretation of the results of research. The results of application of the method to some well-known problems are given ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Кибернетика Метод автоматической классификации на базе нечеткого отношения сходства Метод автоматичної класифікації на базі нечіткого відношення Method of automatic classification on the basis of fuzzy similarity relation Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Метод автоматической классификации на базе нечеткого отношения сходства |
| spellingShingle |
Метод автоматической классификации на базе нечеткого отношения сходства Гуляницкий, Л.Ф. Рясная, И.И. Кибернетика |
| title_short |
Метод автоматической классификации на базе нечеткого отношения сходства |
| title_full |
Метод автоматической классификации на базе нечеткого отношения сходства |
| title_fullStr |
Метод автоматической классификации на базе нечеткого отношения сходства |
| title_full_unstemmed |
Метод автоматической классификации на базе нечеткого отношения сходства |
| title_sort |
метод автоматической классификации на базе нечеткого отношения сходства |
| author |
Гуляницкий, Л.Ф. Рясная, И.И. |
| author_facet |
Гуляницкий, Л.Ф. Рясная, И.И. |
| topic |
Кибернетика |
| topic_facet |
Кибернетика |
| publishDate |
2016 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Метод автоматичної класифікації на базі нечіткого відношення Method of automatic classification on the basis of fuzzy similarity relation |
| description |
Для решения задачи автоматической классификации предлагается IFC-метод нечеткой кластеризации, в котором используются новые нечеткие логические операторы — пороговые треугольные нормы и конормы. Данный метод отличается от методов кластеризации на основе нечеткого отношения эквивалентности тем, что позволяет разрабатывать более быстрые алгоритмы построения кластеров. При этом не искажаются данные о связях между элементами исследуемого множества, что обеспечивает прозрачность интерпретации результатов исследований. Приведены примеры применения метода к некоторым известным задачам.
Для розв’язування задачі автоматичної класифікації запропоновано IFC-метод нечіткої кластеризації, у якому використовуються нові нечіткі логічні оператори — порогові трикутні норми і конорми. Цей метод відрізняється від методів кластеризації на основі нечіткого відношення еквівалентності тим,що дозволяє розробляти більш швидкі алгоритми побудови кластерів. При цьому не (спотворюються) змінюються дані про зв’язки між елементами множини, що досліджується. Це забезпечує прозорість інтерпретування результатів досліджень. Наведено приклади застосування методу до деяких відомих задач.
The IFC-method of fuzzy clustering is proposed to solve the problem of automatic classification/ The method is based on new fuzzy logical operators: threshold triangular norms and conorms. This method differs from clustering methods based on fuzzy equivalence relation since it allows developing faster algorithms to generate clusters without distorting data on connections between elements of the studied set. This provides transparent interpretation of the results of research. The results of application of the method to some well-known problems are given
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131388 |
| citation_txt |
Метод автоматической классификации на базе нечеткого отношения сходства / Л.Ф. Гуляницкий, И.И. Рясная // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 34-41. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT gulânickiilf metodavtomatičeskoiklassifikaciinabazenečetkogootnošeniâshodstva AT râsnaâii metodavtomatičeskoiklassifikaciinabazenečetkogootnošeniâshodstva AT gulânickiilf metodavtomatičnoíklasifíkacíínabazínečítkogovídnošennâ AT râsnaâii metodavtomatičnoíklasifíkacíínabazínečítkogovídnošennâ AT gulânickiilf methodofautomaticclassificationonthebasisoffuzzysimilarityrelation AT râsnaâii methodofautomaticclassificationonthebasisoffuzzysimilarityrelation |
| first_indexed |
2025-11-24T15:49:04Z |
| last_indexed |
2025-11-24T15:49:04Z |
| _version_ |
1850848784374824960 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.8
Ë.Ô. ÃÓËßÍÈÖÊÈÉ, È.È. ÐßÑÍÀß
ÌÅÒÎÄ ÀÂÒÎÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÊËÀÑÑÈÔÈÊÀÖÈÈ
ÍÀ ÁÀÇÅ ÍÅ×ÅÒÊÎÃÎ ÎÒÍÎØÅÍÈß ÑÕÎÄÑÒÂÀ
Àííîòàöèÿ. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è àâòîìàòè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè ïðåäëàãàåòñÿ IFC-ìåòîä
íå÷åòêîé êëàñòåðèçàöèè, â êîòîðîì èñïîëüçóþòñÿ íîâûå íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå îïåðàòî-
ðû — ïîðîãîâûå òðåóãîëüíûå íîðìû è êîíîðìû. Äàííûé ìåòîä îòëè÷àåòñÿ îò ìåòîäîâ
êëàñòåðèçàöèè íà îñíîâå íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè òåì, ÷òî ïîçâîëÿåò ðàçðà-
áàòûâàòü áîëåå áûñòðûå àëãîðèòìû ïîñòðîåíèÿ êëàñòåðîâ. Ïðè ýòîì íå èñêàæàþòñÿ äàí-
íûå î ñâÿçÿõ ìåæäó ýëåìåíòàìè èññëåäóåìîãî ìíîæåñòâà, ÷òî îáåñïå÷èâàåò ïðîçðà÷íîñòü
èíòåðïðåòàöèè ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèé. Ïðèâåäåíû ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà ê íå-
êîòîðûì èçâåñòíûì çàäà÷àì.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: íå÷åòêèé êëàñòåð, êëàññèôèêàöèÿ, êëàñòåðíûé àíàëèç.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ïîñëå ïóáëèêàöèè ôóíäàìåíòàëüíûõ ðàáîò Ë. Çàäå [1], Ñ. Òàìóðû è äð. [2] ïðè
ðåøåíèè çàäà÷ àâòîìàòè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû íå÷åò-
êîé êëàñòåðèçàöèè, ñîñòàâíîé ÷àñòüþ êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ îïåðàöèÿ òðàíçèòèâíîãî çà-
ìûêàíèÿ ìàòðèöû ñõîäñòâà ðàññìàòðèâàåìîãî ìíîæåñòâà îáúåêòîâ. Ðåçóëüòàò ýòîé
îïåðàöèè — íå÷åòêîå îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. Äîñòîèíñòâî òàêîãî ïîäõîäà ñî-
ñòîèò â òîì, ÷òî ëþáîå çàäàâàåìîå ïîðîãîì ìíîæåñòâî ýòîãî îòíîøåíèÿ ïðåäñòàâ-
ëÿåò ñîáîé ñîâîêóïíîñòü íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâ èëè êëàññîâ ýêâèâà-
ëåíòíîñòè. Óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî ïîðîãîâ ïîçâîëÿåò îïðåäåëÿòü, êàê âëèÿåò âå-
ëè÷èíà ïîðîãà íà êîëè÷åñòâî è ñîñòàâ îáðàçóåìûõ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè. Òàêîé
ïîäõîä èëè åãî ìîäèôèêàöèè èñïîëüçóþòñÿ êàê â ñëó÷àÿõ ïðÿìîé ýêñïåðòíîé îöåí-
êè ñõîäñòâà, êîãäà äâîéñòâåííîå îòíîøåíèå íåñõîäñòâà íå ÿâëÿåòñÿ ìåòðèêîé (íà-
ïðèìåð, â çàäà÷å ðàñïîçíàâàíèÿ ïîðòðåòîâ [2, 3]), òàê è â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà èñ-
õîäíûå äàííûå ïðåäñòàâëåíû â âèäå ìàòðèöû ðàññòîÿíèé ìåæäó îáúåêòàìè [4].
Îäíàêî äîïîëíåíèå íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè ÿâëÿåòñÿ óëüòðà-
ìåòðèêîé, ñâîéñòâà êîòîðîé íåâîçìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü â íåêîòîðûõ ïðè-
êëàäíûõ çàäà÷àõ [5]. Äðóãàÿ ïðîáëåìà, âîçíèêàþùàÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè â íå÷åò-
êîì êëàñòåðíîì àíàëèçå îïåðàöèè òðàíçèòèâíîãî çàìûêàíèÿ ìàòðèöû ñõîäñòâà
äëÿ çàäàííûõ N îáúåêòîâ, ñâÿçàíà ñ áîëüøèìè âû÷èñëèòåëüíûìè çàòðàòàìè (ïî-
ðÿäêà O N( ))4 äëÿ âû÷èñëåíèÿ íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è àâòîìàòè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè èñ-
ïîëüçóåòñÿ IFC-ìåòîä (Interpretable Fuzzy Clusterization) íå÷åòêîãî êëàñòåðíîãî
àíàëèçà, â êîòîðîì íå èñïîëüçóåòñÿ îïåðàöèÿ òðàíçèòèâíîãî çàìûêàíèÿ. Ïðè ýòîì
ðåçóëüòàòû àíàëèçà èìåþò íàãëÿäíóþ èíòåðïðåòàöèþ, à â àëãîðèòìå àíàëèçà èñ-
ïîëüçóåòñÿ ñóùåñòâåííî ìåíüøåå êîëè÷åñòâî îïåðàöèé.  ðàçä. 1 ïðèâîäèòñÿ îáîñ-
íîâàíèå ïðåäëàãàåìîãî IFC-ìåòîäà. Â ðàçä. 2 íà îñíîâå äàííûõ èç [2, 4] ïðèâåäåíû
ðåçóëüòàòû ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ IFC-ìåòîäà. Äëÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ ñèìâî-
ëû � è � ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ íå÷åòêèõ îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ (max) è ïåðåñå÷åíèÿ
(min) ýòèõ ìíîæåñòâ. Ñèìâîë � îçíà÷àåò êîíåö äîêàçàòåëüñòâà ëåììû èëè òåîðåìû.
1. IFC-ÌÅÒÎÄ ÍÅ×ÅÒÊÎÃÎ ÊËÀÑÒÅÐÍÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀ
Çàäà÷à ðàçáèåíèÿ ìíîæåñòâà íà êëàññû, èëè çàäà÷à àâòîìàòè÷åñêîé êëàññèôè-
êàöèè, íåôîðìàëüíî ôîðìóëèðóåòñÿ êàê çàäà÷à êëàñòåðèçàöèè ñëåäóþùèì îá-
ðàçîì [6]: ñãðóïïèðîâàòü òî÷êè çàäàííîãî ìíîæåñòâà â ïîäìíîæåñòâà (íàçûâà-
34 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1
© Ë.Ô. Ãóëÿíèöêèé, È.È. Ðÿñíàÿ, 2016
åìûå êëàñòåðàìè) òàê, ÷òîáû ïîäîáíûå (ñõîäíûå) òî÷êè îòíîñèëèñü ê îäíîìó
è òîìó æå ïîäìíîæåñòâó, à íå ïîäîáíûå — ê ðàçëè÷íûì ïîäìíîæåñòâàì. Ïî-
äîáèå (ñõîäñòâî) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðåôëåêñèâíîå è ñèììåòðè÷íîå áèíàðíîå îò-
íîøåíèå íà X .  äàëüíåéøåì äëÿ îäíîçíà÷íîñòè òàêîå áèíàðíîå îòíîøåíèå
áóäåì íàçûâàòü îòíîøåíèåì ñõîäñòâà. Ý. Ðóñïèíè ïîêàçàë, ÷òî ïðè òàêîì
ïîäõîäå äåëàåòñÿ ïîïûòêà óñòàíîâëåíèÿ èçîìîðôèçìà íåèçîìîðôíûõ ñòðóêòóð,
è ïðåäëîæèë íîâûé ïîäõîä ê ðåøåíèþ çàäà÷è êëàñòåðèçàöèè [6], ñóùíîñòü êî-
òîðîãî ñîñòîèò â àêñèîìàòè÷åñêîì îïðåäåëåíèè èñõîäíîãî ïîíÿòèÿ «íå÷åòêèé
êëàñòåð» íà îñíîâå íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ñõîäñòâà, à òàêæå ðàçäåëåíèè ïðîöå-
äóð êëàñòåðèçàöèè è ïðîöåäóð ôîðìèðîâàíèÿ èñõîäíûõ íå÷åòêèõ êëàñòåðîâ.
Êðîìå òîãî, â [6] íà îòíîøåíèå íå÷åòêîãî ñõîäñòâà íàëàãàþòñÿ îãðàíè÷åíèÿ,
ýêâèâàëåíòíûå ñëó÷àþ, êîãäà äâîéñòâåííîå îòíîøåíèå íåñõîäñòâà ÿâëÿåòñÿ ìåò-
ðèêîé ëèáî ïñåâäîìåòðèêîé. Çàäà÷à êëàñòåðèçàöèè ðåøàåòñÿ íà îñíîâå òàêîãî
îïðåäåëåíèÿ íå÷åòêîãî êëàñòåðà, à òàêæå ïðèìåíåíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ êðèòåðè-
åâ ê ðåçóëüòèðóþùåé ñèñòåìå íå÷åòêèõ ïîäìíîæåñòâ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé
ðåçóëüòàò êëàñòåðèçàöèè.  äàííîé ðàáîòå â êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíîãî êðèòå-
ðèÿ èñïîëüçóåòñÿ ñâÿçíîñòü èñõîäíûõ íå÷åòêèõ êëàñòåðîâ.
Ïóñòü � �� ( , )x y — íå÷åòêîå îòíîøåíèå ñõîäñòâà íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå X ,
ò.å. ðåôëåêñèâíîå è ñèììåòðè÷íîå íå÷åòêîå áèíàðíîå îòíîøåíèå. Ïóñòü òàêæå �� —
ìàòðèöà, çàäàþùàÿ íå÷åòêîå îòíîøåíèå �. Äîïîëíåíèå íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ
ñõîäñòâà � �( , ) ( , )x y x y� �1 ; x y X, � , íàçûâàåòñÿ íå÷åòêèì îòíîøåíèåì íåñõîä-
ñòâà. Ýòî îòíîøåíèå ñèììåòðè÷íî è àíòèðåôëåêñèâíî.
Îïðåäåëåíèå 1. Cx-êëàñòåðîì íàçîâåì íå÷åòêîå ïîäìíîæåñòâî Cx ìíîæå-
ñòâà X , x X� , ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îá-
ðàçîì: c y x yx ( ) ( , )� � , y X� .
 ìàòðè÷íîì ïðåäñòàâëåíèè îòíîøåíèÿ ñõîäñòâà çíà÷åíèÿ c yx ( ) — ñòðîêà ìàò-
ðèöû ñõîäñòâà, îòðàæàþùàÿ ñõîäñòâî ýëåìåíòà x X� ñî âñåìè ýëåìåíòàìè y X� .
Îïðåäåëåíèå 2. Íå÷åòêèì îòíîøåíèåì ñõîäñòâà óðîâíÿ � , � �( , ]0 1 , íàçî-
âåì íå÷åòêîå îòíîøåíèå ñõîäñòâà � �( ) , ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè êîòîðîãî
� �x y X, óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
�
� � �
� �
�( ) ( , )
( , ), ( , ) ,
, ( , ) .
x y
x y x y
x y
�
�
�
�
åñëè
åñëè0
(1)
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî � ��( ) ( , ) ( , )x y x y� , ò.å. � ��( ) � .
Îïðåäåëåíèå 3. Cx
( )� -êëàñòåðîì íàçîâåì íå÷åòêîå ïîäìíîæåñòâî Cx
( )� ìíî-
æåñòâà X , x X� , � �( , ]0 1 , ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ ñëå-
äóþùèì îáðàçîì: c y x yx
( ) ( )( ) ( , )� ��� , y X� .
Îïðåäåëåíèå 4. Íå÷åòêèì îòíîøåíèåì íåñõîäñòâà óðîâíÿ �, � �[ , )0 1 , íàçî-
âåì íå÷åòêîå îòíîøåíèå íåñõîäñòâà � �( ) , ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè êîòîðîãî
� �x y X, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
�
� � �
� �
�( ) ( , )
( , ), ( , ) ,
, ( , ) .
x y
x y x y
x y
�
�
� åñëè
åñëè1
(2)
Î÷åâèäíî, ÷òî � ��( ) ( , ) ( , )x y x y� , ò.å. � ��( ) � . Åñëè � �� �1 , òî ñîãëàñíî
(1), (2) ñëåäóåò, ÷òî � �� �( ) ( )( , ) ( , )x y x y� �1.
Òðåóãîëüíîé íîðìîé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ T :[ , ] [ , ] [ , ]0 1 0 1 0 1� � , óäîâëåòâî-
ðÿþùàÿ óñëîâèÿì ìîíîòîííîñòè, àññîöèàòèâíîñòè è êîììóòàòèâíîñòè, à òàêæå
ðàâåíñòâàì T ( , )0 0 0� , T u u( , )1 � [7]. Òðåóãîëüíîé êîíîðìîé íàçûâàåòñÿ ôóíê-
öèÿ S :[ , ] [ , ] [ , ]0 1 0 1 0 1� � , óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì ìîíîòîííîñòè, àññîöèà-
òèâíîñòè è êîììóòàòèâíîñòè, à òàêæå ðàâåíñòâàì S ( , )1 1 1� , S u u( , )0 � [7].
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1 35
Äëÿ äâîéñòâåííûõ òðåóãîëüíûõ íîðì è êîíîðì èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî [7]
T u S u( , ) ( , )� �� � � �1 1 1. (3)
Îïðåäåëåíèå 5. Ïîðîãîâîé òðåóãîëüíîé íîðìîé èëè òðåóãîëüíîé íîðìîé
ñ ïîðîãîì � , � �( , ]0 1 , íàçîâåì ôóíêöèþ
T u
T u T u
T u
( ) ( , )
( , ), ( , ) ,
, ( , ) ,
� �
� � �
� �
�
�
�
� åñëè
åñëè0
(4)
ãäå T u( , )� — òðåóãîëüíàÿ íîðìà.
Ôóíêöèÿ T ( )� óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ìîíîòîííîñòè, àññîöèàòèâíîñòè è êîììóòà-
òèâíîñòè, à òàêæå ðàâåíñòâó T ( ) ( , )� 0 0 0� ; åñëè u � � , òî T u u( ) ( , )� 1 � , èíà÷å
T u( ) ( , )� 1 0� . Êðîìå òîãî, T u T u( ) ( , ) ( , )� � �� ; åñëè � �1 2
, òî T u T u
( ) ( )
( , ) ( , )
� �� �1 2� .
Îïðåäåëåíèå 6. Ïîðîãîâîé òðåóãîëüíîé êîíîðìîé èëè òðåóãîëüíîé êîíîð-
ìîé ñ ïîðîãîì �, � �[ , )0 1 , íàçîâåì ôóíêöèþ
S u
S u S u
S u
( ) ( , )
( , ), ( , ) ,
, ( , ) ,
� �
� � �
� �
�
�
�
åñëè
åñëè1
(5)
ãäå S u( , )� — òðåóãîëüíàÿ êîíîðìà.
Ôóíêöèÿ S ( )� óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ìîíîòîííîñòè, àññîöèàòèâíîñòè è êîììó-
òàòèâíîñòè, ïðè÷åì S ( ) ( , )� 1 1 1� ; åñëè u � �, òî S u u( ) ( , )� 0 � , èíà÷å S u( ) ( , )� 0 1� .
Î÷åâèäíî, ÷òî S u S u( , ) ( , )( )� ��� . Åñëè � �1 2
, òî S u S u
( ) ( )
( , ) ( , )
� �� �1 2� .
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè T è S — äâîéñòâåííûå òðåóãîëüíûå íîðìà è
êîíîðìà ñîîòâåòñòâåííî è � �� �1 , òî ïîðîãîâûå òðåóãîëüíûå íîðìà (4) è êîíîð-
ìà (5) òàêæå äâîéñòâåííûå: T u S u( ) ( )( , ) ( , )� �� �� � � �1 1 1.
 äàëüíåéøåì ïîëàãàåì, ÷òî � �� �1 .
Äëÿ êîíîðìû Ëóêàñåâè÷à [7] S u uL ( , ) min ( , )� �� �1 ïîðîãîâàÿ òðåóãîëüíàÿ
êîíîðìà (5) âû÷èñëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
S u
u u
uL
( ) ( , )
,
, .
� �
� � �
� �
�
� � �
�
�
åñëè
åñëè1
(6)
Îïðåäåëåíèå 7. Ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè
� � �( , ) min ( ( , ), ( , ))x y S x z z y
z
L� , x y z X, , � ,
íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ íåñõîäñòâà áóäåì íàçûâàòü S L-ìåòðèêîé íà X .
Èíà÷å ãîâîðÿ,
S x z z y S x y y y x yL L( ( , ), ( , )) ( ( , ), ( , )) ( , )� � � � �� � . (7)
Ñèììåòðè÷íîñòü è àíòèðåôëåêñèâíîñòü ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè ñëåäóåò
èç îïðåäåëåíèÿ îòíîøåíèÿ íåñõîäñòâà �( , )x y . Îáîçíà÷èì ôóíêöèþ S uL ( , )� êàê
u � � , òîãäà èç (7) ïîëó÷èì àíàëîã íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà
� � �( , ) ( , ) ( , )x z z y x y� � . (8)
Òåîðåìà 1. Ïóñòü �( , )x y — S L-ìåòðèêà, òîãäà � �( ) ( , )x y — ìåòðèêà ïî ïî-
ðîãîâîé òðåóãîëüíîé êîíîðìå S
L
( )� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñëåäóåò äîêàçàòü, ÷òî åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (8), òî
S x z z y S x y y
L L
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( , ), ( , )) ( ( , ), ( ,� � � � � �� � � �� y x y)) ( , )( )� � � . (9)
Ðàññìîòðèì âîçìîæíûå ñëó÷àè.
36 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1
1. Åñëè � � �( , ) ( , )x z z y�
, òî ïîñêîëüêó � � �( , ) ( , )( )x y x y� , ñîãëàñíî (6)
S x z z y
L
( ) ( ) ( )( ( , ), ( , ))� � �� � �1. Åñëè � �( , )x y � , òî � ��( ) ( , ) ( , )x y x y� è óñëî-
âèå (9) âûïîëíÿåòñÿ. Åñëè � �( , )x y
, òî � �( ) ( , )x y �1 è óñëîâèå (9) òàêæå âûïîëíÿåòñÿ.
2. Åñëè � � �( , ) ( , )x z z y� � , òî � �( , )x z � è � �( , )z y � ; ñîãëàñíî (8) èìååì
� �( , )x y � . Èç (2) ñëåäóåò, ÷òî � ��( ) ( , ) ( , )x z x z� , � ��( ) ( , ) ( , )z y z y� ,
� ��( ) ( , ) ( , )x y x y� , òîãäà S x z z y S x z z y
L L
( ) ( ) ( )( ( , ) , ( , )) ( ( , ), ( , ))� � �� � � �� �
� �� � �( , ) ( , )( )x y x y . �
Ìåòðèêó, îïðåäåëÿåìóþ ïî ïîðîãîâîé òðåóãîëüíîé êîíîðìå S
L
( )� , íàçîâåì
S
L
( )� -ìåòðèêîé.
Äàëåå ïîëàãàåì, ÷òî �( , )x y — S L-ìåòðèêà. Òîãäà ñîãëàñíî òåîðåìå 1 ñëåäó-
åò, ÷òî � �( ) ( , )x y ÿâëÿåòñÿ S
L
( )� -ìåòðèêîé.
Îïðåäåëåíèå 8. Ðàññòîÿíèåì íà ìíîæåñòâå íå÷åòêèõ êëàñòåðîâ
C � �{ }C x Xx | íàçîâåì ôóíêöèþ d : [ , ]C C� � 0 1 òàêóþ, ÷òî
d C C S c z c zx y
z
L x y( , ) min ( ( ), ( ))� � �1 1 , x y z X, , � , (10)
ãäå S uL ( , )� — êîíîðìà Ëóêàñåâè÷à.
Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ d — cèììåòðè÷ía è àíòèðåôëåêñèâíà. Èç (10) ïî-
ëó÷àåì
S c z c z S c y c y c yL x y L x y x( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ) (1 1 1 1 1� � � � � � � � � x y, ),
ò.å. àíàëîã íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà. Òàêèì îáðàçîì, ðàññòîÿíèå ìåæäó êëàñ-
òåðàìè îïðåäåëåíî êàê ðàññòîÿíèå ìåæäó ÿäðàìè ýòèõ êëàñòåðîâ:
d C C x yx y( , ) ( , )� � .
Ïóñòü �( )x Cx� , �� �1 ( )C xx , x X Cx� �, C. Î÷åâèäíî, ÷òî áèåêöèÿ � ìåæäó
ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì ( , )X � è ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì ( , )C d ÿâëÿåòñÿ
èçîìåòðèåé. Îáîçíà÷èì C( ) ( ) |� �� �{ }C x Xx . Îïðåäåëèì áèåêòèâíîå îòîáðàæå-
íèå ��
�: ( )X � C ñëåäóþùèì îáðàçîì: ��
�( ) ( )x Cx� � �x X è îáðàòíîå îòîáðà-
æåíèå ��
�� �1 ( )( )C xx � �Cx
( ) ( )� �C .
Ïîëîæèì d C C x yx y( , ) ( , )( ) ( ) ( )� � ��� , C Cx y
( ) ( ) ( ),� � ��C , ãäå � �( ) ( , )x y —
S
L
( )� -ìåòðèêà. Òîãäà áèåêöèÿ �� ìåæäó ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì ( , )( )X � �
è ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì ( , )( )C � d ÿâëÿåòñÿ èçîìåòðèåé. Òàêèì îáðàçîì, íà
îñíîâå ââåäåíèÿ íîâûõ íå÷åòêèõ ëîãè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ — ïîðîãîâûõ òðåóãîëü-
íûõ íîðì è êîíîðì — íà ìíîæåñòâå C( )� îïðåäåëåíà ìåòðèêà, ò.å. ðàññòîÿíèå
ìåæäó äâóìÿ ïðîèçâîëüíûìè êëàñòåðàìè C Cx y
( ) ( ),� � �C( )� ðàâíî ðàññòîÿíèþ
� �( ) ( , )x y ìåæäó ÿäðàìè ýòèõ êëàñòåðîâ. Çàäàíèå ìåòðèêè íà ìíîæåñòâå êëàñòå-
ðîâ C( )� äàåò íîâûå âîçìîæíîñòè äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñòðóêòóðû ìíîæåñòâà X .
Îïðåäåëåíèå 9. Êëàñòåðû C Cx y
( ) ( ) ( ),� � ��C , x y X, � , íàçîâåì ñîñåäíèìè,
åñëè y Cx�supp ( )� , x C y�supp ( )� .
Äëÿ ñîñåäíèõ êëàñòåðîâ ñîãëàñíî (1), (2) � � ��( ) ( , ) ( , )x y x y� � è � �( ) ( , )x y �
� �� �( , )x y . Ñëåäîâàòåëüíî, d C C x yx y( , ) ( , )( ) ( ) ( )� � �� �� � . Åñëè êëàñòåðû Cx
( )� ,
C y
( )� íå ÿâëÿþòñÿ ñîñåäíèìè, òî � �( ) ( , )x y � 0, � �( ) ( , )x y �1, d C Cx y( , )( ) ( )� � �1.
Îïðåäåëåíèå 10. �-îêðåñòíîñòüþ êëàñòåðà Cx
( )� íàçîâåì ìíîæåñòâî êëàñòå-
ðîâ Ox y xC y C y x� � �{ supp }( ) ( )| ,� � .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1 37
Åñëè Ox � �, òî � �C y x
( )� O èìååì � ��( ) ( , )x y � . Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáîé èç
ýòèõ êëàñòåðîâ ÿâëÿåòñÿ ñîñåäíèì ñ êëàñòåðîì Cx
( )� .
Îïðåäåëåíèå 11. Êëàñòåðû C Cx y
( ) ( ) ( ),� � ��C , x y X, � , íàçîâåì ñìåæíûìè,
åñëè � ( , )( ) ( )C Cx y
� � � �, à � �( ) ( , )x y �1.
Äëÿ ñìåæíûõ êëàñòåðîâ ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí îáùèé ñîñåäíèé êëàñòåð
C z
( )� òàêîé, ÷òî z C Cx y�� ( , )( ) ( )supp supp� � . Åñëè � ( , )( ) ( )C Cx y
� � � �, òî ýòè
êëàñòåðû ëèáî ñîñåäíèå, ëèáî ñìåæíûå.
Îïðåäåëåíèå 12. Êëàñòåðû C Cx y
( ) ( ) ( ),� � ��C íàçîâåì ñâÿçàííûìè, åñëè ñóùåñò-
âóåò òàêàÿ ñîâîêóïíîñòü êëàñòåðîâ C Cx z
( ) ( )� ��
0
, C
z1
( )� , C
z2
( )� , …, C
zn�1
( )� , C C
z y
n
( ) ( )� �� ,
÷òî � ( , )( ) ( )C C
z z0 1
� � � �, � �( , ) , , ( , )( ) ( ) ( ) ( )C C C C
z z z zn n1 2 1
� � � �� � � � �
�
; C
zi
( ) ( )� ��C ,
i n�{ }0, ,� .
Î÷åâèäíî, ÷òî ñîñåäíèå è ñìåæíûå êëàñòåðû ÿâëÿþòñÿ ñâÿçàííûìè. Îäíàêî
ñâÿçàííûå êëàñòåðû íå ÿâëÿþòñÿ â îáùåì ñëó÷àå ñîñåäíèìè èëè ñìåæíûìè.
Òåîðåìà 2. Ìåæäó ñâÿçàííûìè êëàñòåðàìè C Cx y
( ) ( ) ( ),� � ��C ñóùåñòâóåò
ïóòü, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç ñîñåäíèå êëàñòåðû.
Ïîñêîëüêó äëÿ ëþáûõ ñîñåäíèõ êëàñòåðîâ C Cx y
( ) ( ) ( ),� � ��C èìååò ìåñòî
d C C x yx y( , ) ( , )( ) ( ) ( )� � �� �� � , òî íàçîâåì òàêîé ïóòü �-ñâÿçíûì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü n �1 (ñì. îïðåäåëåíèå 12), òîãäà � ( , )( ) ( )C Cx y
� � � �.
Êëàñòåðû Cx
( )� , C y
( )� ìîãóò áûòü ñîñåäíèìè èëè ñìåæíûìè.  ïåðâîì ñëó÷àå
� ��( ) ( , )x y � . Âî âòîðîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò îáùèé ñîñåäíèé êëàñòåð C z
( )� òàêîé,
÷òî C z x
( )� �O è C z y
( )� �O , z Cx�supp ( )� , z C y�supp ( )� . Èíà÷å ãîâîðÿ,
� ��( ) ( , )x z � , � ��( ) ( , )z y � è ïóòü ìåæäó êëàñòåðàìè C Cx y
( ) ( ),� � — �-ñâÿçíûé.
Ïóñòü êëàñòåðû C Cx z
( ) ( )� ��
0
è C
zk�1
( )� ñâÿçàíû, C C
z y
k
( ) ( )� �� , k n� , òîãäà àíàëî-
ãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå �-ñâÿçíîãî ïóòè ìåæäó êëàñòåðàìè C
zk�1
( )� è
C
zk
( )� , ò.å. êëàñòåðû C Cx y
( ) ( ),� � ñâÿçàíû. Ïî èíäóêöèè ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå
�-ñâÿçíîãî ïóòè äëÿ k n� . �
Åñëè ìåæäó äâóìÿ êëàñòåðàìè íå ñóùåñòâóåò �-ñâÿçíîãî ïóòè, òî ýòè êëàñòå-
ðû íàçîâåì íåñâÿçàííûìè.
Îïðåäåëåíèå 13. Ñâÿçíûì ïðåäêëàññîì íàçîâåì ìíîæåñòâî êëàñòåðîâ { }Cx
( )� ,
â êîòîðîì ëþáûå äâà êëàñòåðà ñâÿçàíû.
Äðóãèìè ñëîâàìè, ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ýëåìåíòàìè ñâÿçíîãî ïðåäêëàññà
ñóùåñòâóåò �-ñâÿçíûé ïóòü. Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî êëàñòåðîâ Ox ïðåäñòàâëÿ-
åò ñâÿçíûé ïðåäêëàññ.
Îïðåäåëåíèå 14. Ñâÿçíûì êëàññîì èëè �-êëàñòåðîì íàçîâåì ìàêñèìàëüíûé
ïðåäêëàññ.
Îáîçíà÷èì ìîùíîñòü | |X N� .
Òåîðåìà 3. Ìíîæåñòâî �-êëàñòåðîâ � ��
�
{ }j j
m
1
, 2 � �m N , ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà C( )� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî �-êëàñòåðû ïåðåñåêàþòñÿ, ò.å.
� ( , ) ,� �i j i j� � � , i j m, , ,�{ }1 � . Òîãäà ñóùåñòâóåò êëàñòåð C z i j
( ) ( , )� � � ��
è êëàñòåðû � �i j, îêàçûâàþòñÿ ñâÿçàííûìè, ò.å. íå ÿâëÿþòñÿ ìàêñèìàëüíûìè
ïðåäêëàññàìè, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ 14. Îáîçíà÷èì | |� j jk� , j m�1, .
38 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1
Åñëè k j �1, òî êëàñòåð � j ñîäåðæèò òîëüêî îäèí ýëåìåíò. Òàê êàê � �Cx
( ) ( )� �C
� �� �j è � � � �� �j xC ( ) ( )� �C , òî � j
j
m
�
�
1
� C( )� è k Nj
j
m
�
�
�
1
. �
Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì ïîðîãå � �� �1 ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâà
�-êëàñòåðîâ � ��
�
{ }i i
m
1
, 2 � �m N , ïðåäñòàâëÿåò ðåøåíèå çàäà÷è àâòîìàòè÷åñêîé
êëàññèôèêàöèè ìíîæåñòâà îáúåêòîâ X . Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî �-êëàñòåðîâ ñî-
ñòîèò â íàëè÷èè �-ñâÿçíîãî ïóòè ìåæäó ëþáûìè ýëåìåíòàìè îäíîãî è òîãî æå êëàñ-
òåðà è îòñóòñòâèè òàêîãî ïóòè ìåæäó ýëåìåíòàìè ðàçëè÷íûõ êëàñòåðîâ.
Îïèøåì îäèí èç âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ àëãîðèòìà IFC-ìåòîäà íå÷åòêîé êëàñ-
òåðèçàöèè ïðè ôèêñèðîâàííîé ñèñòåìå ïîðîãîâ. Ïóñòü òåïåðü X xi i
N�
�
{ }
1
— ìíî-
æåñòâî îáúåêòîâ è çàäàíî íå÷åòêîå îòíîøåíèå �, ïðåäñòàâëåííîå ìàòðèöåé ñõîä-
ñòâà � ( ( , ))
,
,� ��
� �
x xi j i j
N N
1 1
. Íàõîäèì ïàðó îáúåêòîâ ñ ìèíèìàëüíûì çíà÷åíèåì ñõîä-
ñòâà � min
0 è âû÷èñëÿåì çíà÷åíèÿ ïîðîãîâ � � � � ��
�
{ }k k
p
k p1 1; � � ;
� � �k k p� � �min min( ) /1 , k p�1 2, , ,� . Ïðåäñòàâèì àëãîðèòì àíàëèçà êëàñòåðíîé
ñòðóêòóðû ìíîæåñòâà X xi i
N�
�
{ }
1
äëÿ ôèêñèðîâàííîãî çíà÷åíèÿ � �� k è ìàòðè-
öû ñõîäñòâà ��.
1. Äëÿ çíà÷åíèÿ ïîðîãà � k ñòðîèòñÿ ìíîæåñòâî êëàñòåðîâ { }C
x i
N
i
k( )�
�1
.
2. Âû÷èñëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòü ìîùíîñòåé íîñèòåëåé êàæäîãî êëàñòåðà.
3. Îïðåäåëÿåòñÿ êëàñòåð ñ ìàêñèìàëüíîé ìîùíîñòüþ íîñèòåëÿ. Åñëè òàêèõ
êëàñòåðîâ íåñêîëüêî, òî áåðåòñÿ ëþáîé èç íèõ. Äàëåå íà îñíîâå îáúåäèíåíèÿ íî-
ñèòåëåé ñâÿçàííûõ êëàñòåðîâ ñòðîèòñÿ ìíîæåñòâî �-êëàñòåðîâ.
Îòìåòèì, ÷òî íà ýòàïàõ 2 è 3 ìîæíî âû÷èñëÿòü ìîùíîñòü êëàñòåðîâ { }C
x i
N
i
k( )�
�1
,
�-êëàñòåðîâ è èõ íîñèòåëåé. Ýòà èíôîðìàöèÿ ìîæåò áûòü ïîëåçíîé ïðè ñîäåðæàòåëü-
íîé èíòåðïðåòàöèè ðåçóëüòàòîâ, à òàêæå äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è àâòîìà-
òè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè ïðè áîëüøîì îáúåìå èñõîäíûõ äàííûõ â êîíêðåòíûõ ïðè-
ëîæåíèÿõ. Âû÷èñëèòåëüíàÿ ñëîæíîñòü àëãîðèòìà íå ïðåâûøàåò O N( )2 .
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÐÈÌÅÍÅÍÈß
Íà ðèñ. 1 ïðèâåäåíû êëàñòåðû, ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ IFC-ìå-
òîäà äëÿ íàáîðà òî÷åê íà ïëîñêîñòè (ñì. [4, òàáë. 7.3]) ïðè âûáîðå � � 0 6, .
Ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ñõîäñòâà � äëÿ òî÷åê x xi j,
âû÷èñëÿåòñÿ íà îñíîâå íîðìèðîâêè åâêëèäîâîãî ðàññòîÿíèÿ d x xi j( , ) äåëåíèåì
íà ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ðàññòîÿíèÿ
�( , ) ( , ) / max ( , )
, ,
x x d x x d x xi j i j
i j N
i j� �
�
1
1
. (11)
Ýòîò íàáîð äàííûõ àïïðîêñèìèðóåòñÿ êëàñòåðàìè ýëëèïñîâèäíîé ôîðìû, êî-
òîðûå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû êàê èçâåñòíûì ìåòîäîì Fuzzy C-Means, òàê è ìå-
òîäîì, ñîäåðæàùèì îïåðàöèþ òðàíçèòèâíîãî çàìûêàíèÿ [4].
Íà ðèñ. 2 ïðèâåäåí íàáîð äàííûõ, ñîñòîÿùèé èç 40 òî÷åê, ðàçìåùåííûõ íà äâóõ
êîíöåíòðè÷åñêèõ îêðóæíîñòÿõ [4, òàáë. 7.12]. Ìåòîä Fuzzy C-Means íå äîñòèãàåò ðå-
çóëüòàòà äëÿ òàêîãî íàáîðà äàííûõ, ïîýòîìó â [4] äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðàçáèåíèÿ, ñîñòîÿ-
ùåãî èç òî÷åê, ëåæàùèõ íà îäíîé è òîé æå îêðóæíîñòè, ïðèìåíÿåòñÿ îïåðàöèÿ òðàí-
çèòèâíîãî çàìûêàíèÿ. Èñïîëüçóåì ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ
ñõîäñòâà (11) íà áàçå IFC-ìåòîäà è ïîëó÷àåì òàêîå ðàçáèåíèå äëÿ çíà÷åíèÿ � � 0 8, .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1 39
Ïðåäñòàâèì ðåçóëüòàòû èñïîëüçîâàíèÿ IFC-ìåòîäà â çàäà÷å ðàñïîçíàâàíèÿ
ïîðòðåòîâ, ïðèíàäëåæàùèõ îäíîé è òîé æå ñåìüå. Îòìåòèì, ÷òî ýòà çàäà÷à ñó-
ùåñòâåííûì îáðàçîì îòëè÷àåòñÿ îò ñôîðìóëèðîâàííîé âûøå íåôîðìàëüíîé ïî-
ñòàíîâêè çàäà÷è êëàñòåðèçàöèè. Ñîãëàñíî íåôîðìàëüíîìó îïðåäåëåíèþ êëàñòå-
ðû äîëæíû ñîäåðæàòü òîëüêî ñõîäíûå ýëåìåíòû, â òî âðåìÿ êàê êëàññû ýêâè-
âàëåíòíîñòè â çàäà÷å ðàñïîçíàâàíèÿ ïîðòðåòîâ êðîìå ñõîäíûõ ñîäåðæàò è íåñõîä-
íûå ýëåìåíòû (ïîðòðåòû), ïîñêîëüêó ÷ëåíû ñåìüè ìîãóò íå èìåòü ñõîäñòâà ìåæ-
äó ñîáîé. Äàííûå ïî ñõîäñòâó 16 ïîðòðåòîâ, ïðèâåäåííûå â òàáë. 1, âçÿòû èç ðà-
áîòû [2]. Ñåìüÿ À ñîñòîèò èç äâóõ ðîäèòåëåé (Parent) è òðåõ äåòåé (Child): P1_A,
P2_A, Ch1_A, Ch2_A, Ch3_A; ñåìüÿ Â èìååò ñëåäóþùèõ ïðåäñòàâèòåëåé: P1_B,
P2_B, Ch1_B, Ch2_B, Ch3_B; â ñåìüþ Ñ âõîäèò åùå è áàáóøêà (Grandmother):
P1_C, P2_C, Ch1_C, Ch2_C, Ch3_C, Gm_C.
 òàáë. 2 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû îáðàáîòêè äàííûõ äëÿ � � 0 6, . Ïðÿìîóãîëü-
íèêîì âûäåëåíû ïîëó÷åííûå äàííûå äëÿ êàæäîé îòäåëüíîé ñåìüè. Ñîãëàñíî
òàáë. 2 ñåìüè À è  ðàñïîçíàþòñÿ áåçîøèáî÷íî, îäíàêî â ñåìüþ Ñ íå âêëþ÷åí
îäèí ðåáåíîê (Ch1_C), ïîñêîëüêó äëÿ äàííîãî ïîðîãà ýòîò ýëåìåíò ìàòðèöû îêà-
çûâàåòñÿ èçîëèðîâàííûì, ò.å. íå ñõîäíûì ñ äðóãèìè ýëåìåíòàìè ìàòðèöû. Òàêîé
ðåçóëüòàò êëàññèôèêàöèè ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ ðåçóëüòàòàìè â [2], îäíàêî ïðè
ýòîì íå èñïîëüçóåòñÿ îïåðàöèÿ òðàíçèòèâíîãî çàìûêàíèÿ.
Ïîñêîëüêó IFC-ìåòîä ñâÿçè ìåæäó ýëåìåíòàìè íå èçìåíÿåò, òî ìîæíî ïðî-
âîäèòü äàëüíåéøèå èññëåäîâàíèÿ.  ÷àñòíîñòè, ïðè ñíèæåíèè ïîðîãà íå÷åòêèé
40 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1
0 1 2 3 4
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
Ðèñ. 1
�1,5 �0,5 0,5 1 1,5
�1,5
�1
0,5
1
1,5
�1 0
�0,5
Ðèñ. 2
Ò à á ë è ö à 1
Ñh1_A Ñh1_B Ñh1_C Gm_C P1_B P1_A Ch2_B Ch2_A Ch2_C P1_C P2_B Ch3_C P2_A Ch3_B P2_C Ch3_A
Ñh1_A 1
Ñh1_B 0 1
Ñh1_C 0 0 1
Gm_C 0 0 0,4 1
P1_B 0 0,8 0 0 1
P1_A 0,5 0 0,2 0,2 0 1
Ch2_B 0 0,8 0 0 0,4 0 1
Ch2_A 0,4 0,2 0,2 0,5 0 0,8 0 1
Ch2_C 0 0,4 0 0,8 0,4 0,2 0,4 0 1
P1_C 0 0 0,2 0,2 0 0 0,2 0 0,2 1
P2_B 0 0,5 0,2 0,2 0 0 0,8 0 0,4 0,2 1
Ch3_C 0 0 0,2 0,8 0 0 0 0 0,4 0,8 0 1
P2_A 0,8 0 0,2 0,4 0 0,4 0 0,4 0 0 0 0 1
Ch3_B 0 0,8 0 0,2 0,4 0 0,8 0 0,2 0,2 0,6 0 0 1
P2_C 0 0 0,4 0,8 0 0,2 0 0 0,2 0 0 0,2 0,2 0 1
Ch3_A 0,6 0 0 0,2 0,4 0,8 0 0,4 0 0 0 0 0,4 0,2 0 1
êëàñòåð C
Ch C1
0 4
_
( , ) îêàçûâàåòñÿ ñâÿçàííûì ñ ñåìüåé Ñ (êóðñèâíûå öèôðû â òàáë. 2).
Çíà÷èò, ñîñòàâ âñåõ ñåìåé îïðåäåëÿåòñÿ ïðàâèëüíî. Òàêóþ äîïîëíèòåëüíóþ ïðî-
öåäóðó ïîèñêà «áëèæàéøåãî» êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ
êëàññèôèêàöèè èçîëèðîâàííûõ ýëåìåíòîâ. Ðåçóëüòàò êëàññèôèêàöèè îêàçûâàåò-
ñÿ áîëåå àäåêâàòíûì, ÷åì ïðè èñïîëüçîâàíèè îïåðàöèè max min� òðàíçèòèâíîãî
çàìûêàíèÿ [2], à ïîëó÷åííàÿ êëàññèôèêàöèÿ ëåãêî èíòåðïðåòèðóåòñÿ.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ðåøåíèå è èíòåðïðåòàöèÿ ðåçóëüòàòîâ ïðåäëîæåííîãî ïîäõîäà ê àâòîìàòè÷åñêîé
êëàññèôèêàöèè íà îñíîâå IFC-ìåòîäà áàçèðóåòñÿ íà ââåäåíèè íå÷åòêèõ ëîãè÷åñ-
êèõ îïåðàòîðîâ — ïîðîãîâûõ òðåóãîëüíûõ íîðì è êîíîðì. Äàííûé ìåòîä îòëè-
÷àåòñÿ îò ìåòîäîâ, îñíîâàííûõ íà íå÷åòêîì îòíîøåíèè ýêâèâàëåíòíîñòè, ïî-
ñêîëüêó ïîçâîëÿåò ðàçðàáàòûâàòü áîëåå áûñòðûå àëãîðèòìû ïîñòðîåíèÿ êëàññîâ,
òàê êàê íå èñïîëüçóåòñÿ îïåðàöèÿ òðàíçèòèâíîãî çàìûêàíèÿ. Êðîìå òîãî, íå èñêà-
æàþòñÿ äàííûå î ñâÿçÿõ ìåæäó ýëåìåíòàìè èñõîäíîãî ìíîæåñòâà, ÷òî îáåñïå÷è-
âàåò ïðîçðà÷íîñòü èíòåðïðåòàöèè ïîëó÷àåìûõ ðåçóëüòàòîâ è ïîçâîëÿåò óòî÷íÿòü
èõ ïðè äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèÿõ ñòðóêòóðû êëàññîâ.
Âîçìîæíîå íàïðàâëåíèå äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé: âîïðîñû àäåêâàòíîñòè
ðåçóëüòàòîâ àâòîìàòè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà íå÷åòêîå îòíî-
øåíèå ñõîäñòâà çàäàåòñÿ íà îñíîâå õàðàêòåðèñòèê êëàññèôèöèðóåìûõ îáúåêòîâ,
èçìåðåííûõ â ðàçëè÷íûõ êîëè÷åñòâåííûõ è êà÷åñòâåííûõ øêàëàõ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Z a d e h L . A. Similarity relations and fuzzy ordering // Information Sciences. — 1971. — 3. —
P. 177–200.
2. T a m u r a S . , H i g u c h i S . , T a n a k a K . Pattern classification based on fuzzy relations // IEEE
Trans. Systems, Man and Cybernetics. — 1971. — SMC-1. — P. 61–66.
3. Y a n g M . - S . , S h i h H . - M . Cluster analysis based on fuzzy relations // Fuzzy Sets and Systems.
— 2001. — 120. — P. 197–212.
4. Á à ð ñ å ã ÿ í À . À . , Ê ó ï ð è ÿ í î â Ì . Ñ . , Ñ ò å ï à í å í ê î Â . Â . è ä ð . Ìåòîäû è ìîäåëè
àíàëèçà äàííûõ: OLAP è Data Mining. — ÑÏá.: ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã, 2004. — 336 ñ.
5. Ê î ô ì à í À . Ââåäåíèå â òåîðèþ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ. — Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1982. — 432 ñ.
6. Ð ó ñ ï è í è Ý . à . Ïîñëåäíèå äîñòèæåíèÿ â íå÷åòêîì êëàñòåð-àíàëèçå / Íå÷åòêèå ìíîæåñòâà
è òåîðèÿ âîçìîæíîñòåé. Ïîñëåäíèå äîñòèæåíèÿ. — Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1986. — Ñ. 114–132.
7. Í å ÷ å ò ê è å ìíîæåñòâà â ìîäåëÿõ óïðàâëåíèÿ è èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà / Ïîä ðåä.
Ä.À. Ïîñïåëîâà. — Ì.: Íàóêà, 1986. — 312 ñ.
Ïîñòóïèëà 06.05.2015
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1 41
Ò à á ë è ö à 2
P1_A P2_A Ñh_1A Ch2_A Ch3_A P1_B P2_B Ch1_B Ch2_B Ch3_B Gm_C P1_C P2_C Ch1_C Ch2_C Ch3_C
P1_A 1 0 0 0,8 0,8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P2_A 0 1 0,8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Ñh1_A 0 0,8 1 0 0,6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Ch2_A 0,8 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Ch3_A 0,8 0 0,6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P1_B 0 0 0 0 0 1 0 0,8 0 0 0 0 0 0 0 0
P2_B 0 0 0 0 0 0 1 0 0,8 0,6 0 0 0 0 0 0
Ch1_B 0 0 0 0 0 0,8 0 1 0,8 0,8 0 0 0 0 0 0
Ch2_B 0 0 0 0 0 0 0,8 0,8 1 0,8 0 0 0 0 0 0
Ch3_B 0 0 0 0 0 0 0,6 0,8 0,8 1 0 0 0 0 0 0
Gm_C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0,8 0 (0,4) 0,8 0,8
P1_C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0,8
P2_C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,8 0 1 0 (0,4) 0 0
Ch1_C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (0,4) 0 0 (0,4) 1 0 0
Ch2_C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,8 0 0 0 1 0
Ch3_C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,8 0 0 0 0 1
|