Идентификация непараметрического сигнала при наличии случайного шума с сильной зависимостью

Идентификация непараметрического сигнала при наличии случайного шума с сильной зависимостью

Исследована стохастическая модель передачи информации типа «сигнал плюс шум» в случае неизвестной функции сигнала из некоторого компактного множества почти периодических функций K, которая наблюдается на фоне случайного шума, заданного функционалом от гауссовского случайного процесса с сильной зави...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Кибернетика и системный анализ
Date:2016
Main Author: Била, Г.Д.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Subjects:
Новые средства кибернетики, информатики, вычислительной техники и системного анализа
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131403
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Идентификация непараметрического сигнала при наличии случайного шума с сильной зависимостью / Г.Д. Била // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 173-186. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-131403
record_format dspace
spelling Била, Г.Д.
2018-03-21T20:53:50Z
2018-03-21T20:53:50Z
2016
Идентификация непараметрического сигнала при наличии случайного шума с сильной зависимостью / Г.Д. Била // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 173-186. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.
0023-1274
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131403
519.21
Исследована стохастическая модель передачи информации типа «сигнал плюс шум» в случае неизвестной функции сигнала из некоторого компактного множества почти периодических функций K, которая наблюдается на фоне случайного шума, заданного функционалом от гауссовского случайного процесса с сильной зависимостью. Изучена задача идентификации сигнала по наблюдениям x(t) на интервале [0, T], доказана с вероятностью единица состоятельность и асимптотическая нормальность оценки сигнала.
Досліджено стохастичну модель передачі інформації типу «сигнал плюс шум» у випадку невідомої функції сигналу із деякої компактної множини майже періодичних функцій K, що спостерігається на фоні випадкового шуму, заданого функціоналом від гауссівського випадкового процесу із сильною залежністю. Вивчено задачу ідентифікації сигналу за спостереженнями x(t) на інтервалі [0, T], доведено з імовірністю одиниця конзистентність та асимптотичну нормальність оцінки сигналу.
A stochastic model of information transmission of type “signal plus noise” is investigated. The case of unknown signal function from some compact set of almost periodic functions K, which is observed with random noise specified by the functional of Gaussian random process with strong dependence is considered. The problem of signal identification by the observation x(t) on the interval [0, T], is studied; strong consistency and asymptotic normality of the signal estimate are proved.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Новые средства кибернетики, информатики, вычислительной техники и системного анализа
Идентификация непараметрического сигнала при наличии случайного шума с сильной зависимостью
Ідентифікація непараметричного сигналу за наявності випадкового шуму з сильною залежністю
Identification of nonparametric signal with strongly dependent random noise
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Идентификация непараметрического сигнала при наличии случайного шума с сильной зависимостью
spellingShingle Идентификация непараметрического сигнала при наличии случайного шума с сильной зависимостью
Била, Г.Д.
Новые средства кибернетики, информатики, вычислительной техники и системного анализа
title_short Идентификация непараметрического сигнала при наличии случайного шума с сильной зависимостью
title_full Идентификация непараметрического сигнала при наличии случайного шума с сильной зависимостью
title_fullStr Идентификация непараметрического сигнала при наличии случайного шума с сильной зависимостью
title_full_unstemmed Идентификация непараметрического сигнала при наличии случайного шума с сильной зависимостью
title_sort идентификация непараметрического сигнала при наличии случайного шума с сильной зависимостью
author Била, Г.Д.
author_facet Била, Г.Д.
topic Новые средства кибернетики, информатики, вычислительной техники и системного анализа
topic_facet Новые средства кибернетики, информатики, вычислительной техники и системного анализа
publishDate 2016
language Russian
container_title Кибернетика и системный анализ
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
title_alt Ідентифікація непараметричного сигналу за наявності випадкового шуму з сильною залежністю
Identification of nonparametric signal with strongly dependent random noise
description Исследована стохастическая модель передачи информации типа «сигнал плюс шум» в случае неизвестной функции сигнала из некоторого компактного множества почти периодических функций K, которая наблюдается на фоне случайного шума, заданного функционалом от гауссовского случайного процесса с сильной зависимостью. Изучена задача идентификации сигнала по наблюдениям x(t) на интервале [0, T], доказана с вероятностью единица состоятельность и асимптотическая нормальность оценки сигнала. Досліджено стохастичну модель передачі інформації типу «сигнал плюс шум» у випадку невідомої функції сигналу із деякої компактної множини майже періодичних функцій K, що спостерігається на фоні випадкового шуму, заданого функціоналом від гауссівського випадкового процесу із сильною залежністю. Вивчено задачу ідентифікації сигналу за спостереженнями x(t) на інтервалі [0, T], доведено з імовірністю одиниця конзистентність та асимптотичну нормальність оцінки сигналу. A stochastic model of information transmission of type “signal plus noise” is investigated. The case of unknown signal function from some compact set of almost periodic functions K, which is observed with random noise specified by the functional of Gaussian random process with strong dependence is considered. The problem of signal identification by the observation x(t) on the interval [0, T], is studied; strong consistency and asymptotic normality of the signal estimate are proved.
issn 0023-1274
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131403
citation_txt Идентификация непараметрического сигнала при наличии случайного шума с сильной зависимостью / Г.Д. Била // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 173-186. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT bilagd identifikaciâneparametričeskogosignalaprinaličiislučainogošumassilʹnoizavisimostʹû
AT bilagd ídentifíkacíâneparametričnogosignaluzanaâvnostívipadkovogošumuzsilʹnoûzaležnístû
AT bilagd identificationofnonparametricsignalwithstronglydependentrandomnoise
first_indexed 2025-11-25T20:54:28Z
last_indexed 2025-11-25T20:54:28Z
_version_ 1850543383954587648
fulltext ÓÄÊ 519.21 Ã.Ä. ÁÈËÀ ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÍÅÏÀÐÀÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÑÈÃÍÀËÀ ÏÐÈ ÍÀËÈ×ÈÈ ÑËÓ×ÀÉÍÎÃÎ ØÓÌÀ Ñ ÑÈËÜÍÎÉ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÜÞ Àííîòàöèÿ. Èññëåäîâàíà ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè òèïà «ñèãíàë ïëþñ øóì» â ñëó÷àå íåèçâåñòíîé ôóíêöèè ñèãíàëà èç íåêîòîðîãî êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé K , êîòîðàÿ íàáëþäàåòñÿ íà ôîíå ñëó÷àéíîãî øóìà, çàäàííîãî ôóíêöèîíàëîì îò ãàóññîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ñ ñèëüíîé çàâèñèìîñòüþ. Èçó÷åíà çà- äà÷à èäåíòèôèêàöèè ñèãíàëà ïî íàáëþäåíèÿì x t( ) íà èíòåðâàëå [ , ]0 T , äîêàçàíà ñ âåðîÿò- íîñòüþ åäèíèöà ñîñòîÿòåëüíîñòü è àñèìïòîòè÷åñêàÿ íîðìàëüíîñòü îöåíêè ñèãíàëà. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñòîõàñòè÷åñêàÿ ñèñòåìà, èäåíòèôèêàöèÿ ñèãíàëà, ñèëüíàÿ çàâèñèìîñòü ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà, ñèëüíàÿ ñîñòîÿòåëüíîñòü îöåíêè, àñèìïòîòè÷åñêàÿ íîðìàëüíîñòü. Ðàçðàáîòêà è èññëåäîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, îïèñûâàþùèõ ðàçëè÷íûå ÿâëåíèÿ, — îäíà èç ñàìûõ âàæíûõ ïðîáëåì òåîðèè óïðàâëåíèÿ. Íàïðèìåð, äâè- æåíèå ðàêåòû, ðàáîòó ïðîìûøëåííîãî ïðåäïðèÿòèÿ, ïðîöåññ ðàçìíîæåíèÿ êëåòîê ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñòîõàñòè÷åñêèìè ñèñòåìàìè. Äëÿ óïðàâëåíèÿ ýòèìè ðàçëè÷- íûìè ïî ñóòè ÿâëåíèÿìè òðåáóþòñÿ îäíè è òå æå ìåòîäû îáðàáîòêè èíôîðìà- öèè, ïîçâîëÿþùèå íàèáîëåå ïîëíî è àäåêâàòíî îïèñûâàòü ðåàëüíûå ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû. Èíôîðìàöèîííàÿ ìîäåëü ïðîöåññîâ óïðàâëåíèÿ ïðåäóñìàòðèâàåò îñíî- âàííóþ íà âåðîÿòíîñòíîì ïîäõîäå ñõåìó ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè, õàðàêòåðíóþ äëÿ îáðàáîòêè äàííûõ â òåîðèè ñâÿçè, ìåòåîðîëîãèè, ãèäðîàêóñòèêå, ñòàòèñòè÷åñêîé ðàäèîôèçèêå, ýêîíîìèêå è äðóãèõ îáëàñòÿõ åñòåñòâåííûõ è ñîöèàëüíûõ íàóê. Íàïðèìåð, ñõåìà ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè â òåîðèè ñâÿçè íà÷èíàåòñÿ ñ èñòî÷íè- êà èíôîðìàöèè, ñîçäàþùåãî ñîîáùåíèÿ èëè èõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëÿ ïåðåäà÷è ïî ëèíèè ñâÿçè íà ïåðåäàò÷èê, êîòîðûé ïåðåðàáàòûâàåò èõ â ñèãíàëû â ñîîòâå- òñòâèè ñ äàííûì êàíàëîì ñâÿçè.  ïîñëåäíåì, êàê ïðàâèëî, íà ñèãíàë äåéñòâóþò èñêàæàþùèå åãî ïîìåõè, ïîýòîìó ïðèåì–âîññòàíîâëåíèå èíôîðìàöèè îñóùå- ñòâëÿåòñÿ â óñëîâèÿõ ñëó÷àéíûõ øóìîâ. Îñíîâíûì ýòàïîì èññëåäîâàíèÿ ìàòåìà- òè÷åñêîé ìîäåëè òàêîé ñèñòåìû ñâÿçè ÿâëÿåòñÿ âîññòàíîâëåíèå èíôîðìàöèîííîãî ñîîáùåíèÿ, ò.å. èäåíòèôèêàöèÿ ïîëåçíîãî ñèãíàëà ïðè íàëè÷èè øóìà.  çàâèñèìîñòè îò ðàññìàòðèâàåìîãî ñèãíàëà ñîîáùåíèÿ îïèñûâàþòñÿ ðàç- ëè÷íûìè ôóíêöèÿìè. Íàïðèìåð, ÷åëîâå÷åñêàÿ ðå÷ü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîòî- ðóþ ôóíêöèþ âðåìåíè a t( ) , t ��1, òåëåâèäåíèå — ôóíêöèþ ìíîãèõ ïåðåìåí- íûõ a s t( , ) , t ��1, s n�� , êîòîðàÿ â ìîìåíò âðåìåíè t îïèñûâàåò èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â òî÷êå s n�� ïåðåäàâàåìîãî ñîîáùåíèÿ è ò.ä.  îáùåì ñëó÷àå òàêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè íàçû- âàåòñÿ «ñèãíàë ïëþñ øóì» è çàïèñûâàåòñÿ â âèäå x t a t t( ) ( ) ( )� � � , t n�� , (1) ãäå x t( ) — ïðèíÿòûé ñèãíàë, a t( ) — ïåðåäàííûé (ïîëåçíûé) ñèãíàë è �( )t — ñëó÷àéíûé øóì, èñêàæàþùèé ïîëåçíûé ñèãíàë. Èññëåäîâàíèå òàêîãî òèïà ìîäåëåé òàêæå àêòóàëüíî äëÿ çàäà÷ ïðîãíîçèðîâà- íèÿ ñèòóàöèé, êîòîðûå ìîãóò ñòàòü ïðè÷èíîé òåõíîëîãè÷åñêèõ àâàðèé èëè ïðè- ðîäíûõ êàòàêëèçìîâ ñ êàòàñòðîôè÷åñêèìè ÷åëîâå÷åñêèìè è ìàòåðèàëüíûìè ïî- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1 173 © Ã.Ä. Áèëà, 2016 òåðÿìè.  ðàáîòå [1] îáîñíîâûâàíà ìîäåëü ïàâîäêà, îïèñàííàÿ ãàðìîíè÷åñêèì ñèãíàëîì, íàáëþäåíèÿ êîòîðîãî çàøóìëåíû íåêîòîðûì ñòàöèîíàðíûì ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå îäíîìåðíîãî àðãóìåíòà ìîäåëü ïàâîäêà èìååò âèä a t A tk k k k n ( ) sin ( )� � � � � � 1 , ãäå Ak è � k — ñîîòâåòñòâåííî àìïëèòóäû è ÷àñòîòû ïåðèîäè÷åñêèõ ñîñòàâëÿþùèõ, � k — ôàçà, ÿâëÿþùàÿñÿ íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âå- ëè÷èíîé. Êàê ïðàâèëî, âåëè÷èíû a t( ) íàáëþäàþòñÿ íà ôîíå ñëó÷àéíîãî øóìà �( )t , ò.å. ìîäåëü íàáëþäåíèé èìååò âèä (1). Çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â èäåíòèôèêàöèè ïîëåçíîãî ñèãíàëà ïî íàáëþäåíèÿì x t( ) íà âðåìåííîì èíòåðâàëå [ , ]0 T , ò.å. â äàí- íîì ñëó÷àå â îöåíêå íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ Ak è � k , k n�1, .., .  çàâèñèìîñòè îò ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ñëó÷àéíîãî øóìà ðàçëè÷àþò ìî- äåëè ñ äëèííîé è êîðîòêîé ïàìÿòüþ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà. Îïèñàííàÿ ìîäåëü îöåíêè íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ àìïëèòóä è ÷àñòîò ñèãíàëà ïðè óñëîâèè, ÷òî ñëó÷àéíûé øóì óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâó êîðîòêîé ïàìÿòè, ðàññìàòðèâàëàñü â [2–5], ãäå èçó÷åíû òàê íàçûâàåìûå ïåðèîäîãðàììíûå îöåíêè è îöåíêè íàèìåíü- øèõ êâàäðàòîâ íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ è äîêàçàíû óòâåðæäåíèÿ îá èõ ñòðîãîé ñî- ñòîÿòåëüíîñòè è àñèìïòîòè÷åñêîé íîðìàëüíîñòè. Àíàëîãè÷íûå ñòîõàñòè÷åñêèå ìî- äåëè ãàðìîíè÷åñêèõ ñèãíàëîâ â ñëó÷àå øóìà ñ äëèííîé ïàìÿòüþ èçó÷àëèñü â ðàáî- òàõ [6–8], à ïðè íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ øóìàõ — â [9, 10] è ò.ä. Áîëåå ñëîæíîé ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à, êîãäà ïîëåçíûé ñèãíàë a t( ) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå áåñêîíå÷íîãî ðÿäà íåèçâåñòíûõ ãàðìîíèê.  ýòîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî îöå- íèòü ôóíêöèþ a t( ) â îïðåäåëåííîì ôóíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå. Èññëåäîâà- íèÿ ïðîâîäèëèñü äëÿ ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé [11, 12] è äëÿ äâóìåðíîé ôóíê- öèè [13].  îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîëåçíûé ñèãíàë íàáëþäàåòñÿ íà ôîíå ñëó÷àéíîãî øóìà, îïèñûâàåìîãî ïðîöåññîì è ïîëåì ñ êîðîòêîé ïàìÿòüþ.  äàííîé ñòàòüå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïåðåäà÷è èíôîðìà- öèè òèïà «ñèãíàë ïëþñ øóì» â ñëó÷àå íåèçâåñòíîé ôóíêöèè ñèãíàëà èç íåêîòî- ðîãî êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà ïî÷òè-ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé K, êîòîðàÿ íàáëþ- äàåòñÿ íà ôîíå ñëó÷àéíîãî øóìà, çàäàííîãî ôóíêöèîíàëîì îò ãàóññîâñêîãî ñëó- ÷àéíîãî ïðîöåññà ñ ñèëüíîé çàâèñèìîñòüþ, è èññëåäóåòñÿ çàäà÷à èäåíòèôèêàöèè ñèãíàëà ïî íàáëþäåíèÿì x t( ) íà èíòåðâàëå [ , ]0 T . Ïóñòü ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìîäåëü íàáëþäåíèé èìååò âèä x t a t t( ) ( ) ( )� �0 � , 0 � �t T , ïðè ñëåäóþùèõ óñëîâèÿõ. Óñëîâèå 1. Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ �( ) ( ( ))t G n t� , t ��1, — ôóíêöèîíàë îò ãà- óññîâñêîãî ñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà { }n t t( ), ��1 , ïðè÷åì E EG n�( ) ( ( ))0 0 0� � , E EG n�2 20 0( ) ( ( ))� � � . Óñëîâèå 2. Ïðîöåññ { }n t t( ), ��1 — äåéñòâèòåëüíûé íåïðåðûâíûé â ñðåä- íåì êâàäðàòè÷åñêîì ñòàöèîíàðíûé ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ ñèëüíîé çàâèñèìîñòüþ En t( ) � 0 , B t t ( ) ( ) � � 1 1 2 � � � , t 0 , 0 1� �� . Óñëîâèå 3. Ôóíêöèÿ G:� � 1 1 — íåëèíåéíàÿ áîðåëåâñêàÿ, äëÿ êîòîðîé G u u du2 ( ) ( )� � � �� � � , ãäå � � ( ) /u e u� �1 2 2 2 , u��1. Ôóíêöèþ G u( ) , u��1, ìîæíî ðàçëîæèòü [14] â ðÿä G u C k H uk k k( ) ! ( )� � � � 0 , C G u H u u duk k� �� � � ( ) ( ) ( )� , k � 0 1, ,� , 174 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1 ïî îðòîãîíàëüíûì ïîëèíîìàì ×åáûøåâà–Ýðìèòà H u e d du ek k u k k u( ) ( ) / /� � �1 2 22 2 , k � 0 1, ,� , â ïðîñòðàíñòâå L u du2 1( , ( ) )� � . Óñëîâèå 4. Ñóùåñòâóåò öåëîå ÷èñëî m 1 òàêîå, ÷òî C Cm1 1 0� � ��� , Cm 0 — êîýôôèöèåíòû â ðàçëîæåíèè ôóíêöèè G u( ) , u��1, ïî ïîëèíîìàì ×å- áûøåâà–Ýðìèòà. Ñôîðìóëèðóåì îäíî îáîáùåíèå çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ñ ñèëüíîé çàâèñèìîñòüþ. Ëåììà 1 [6, 8, 15]. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ 1–4. Òîãäà ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ïðè T � sup [ ( ) � � � � � � 1 1 0 0 T e t dti t T . Óñëîâèå 5. Ïóñòü K — ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé âèäà a t c a ek i t k k( ) ( )� ��� � � , t ��1, ñ ôèêñèðîâàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ïîêàçàòåëåé Ôóðüå { } k k��� � , ïðè÷åì 0 0� , � �k k , 0 1� � � k k , k k� ��1 0� ïðè k 1 ñ íåêîòîðûì ôèê- ñèðîâàííûì � � 0 , à êîýôôèöèåíòû Ôóðüå { }c ak k( ) ��� � ñ íåêîòîðûìè ÷èñëàìè L � 0 , � 0 óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì c a c ak k� �( ) ( ) , k 0 , a K� , | ( )|c a L0 � , | ( )|c a k Lk 1� � , k 1 .  êà÷åñòâå îöåíêè ôóíêöèè a0 íà îñíîâàíèè íàáëþäåíèé ñëó÷àéíîãî ïðî- öåññà { }x t t T( ),0 � � ðàññìîòðèì îöåíêó aT ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî T �. Îöåíêà aT îïðåäåëÿåòñÿ êàê ýëåìåíò ìíîæåñòâà K, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå [ ( ) ( )] min [ ( ) ( )]a x d a x dT T a K T � � � � � �� � �� �� 2 0 2 0 . Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî K êîìïàêòíî îòíîñèòåëüíî ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè íà îñè, à òðàåêòîðèè ïðîöåññà { }n t t( ), ( ) ��1 íåïðåðûâíû, ôóíêöèÿ aT , äëÿ êîòî- ðîé äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì, ñóùåñòâóåò è ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé, åñëè òîëüêî ìíîæåñòâî K íå ñîäåðæèò ôóíêöèé, ñîâïàäàþùèõ íà îòðåçêàõ âèäà [ , ]0 T è íå ñîâïàäàþùèõ íà îñè. Ñâîéñòâà ïî÷òè-ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé a èç ìíîæåñòâà K , êîòîðûå èñ- ïîëüçóþòñÿ ïðè äîêàçàòåëüñòâå ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé, äåòàëüíî èçó÷åíû â ðà- áîòàõ [12, 16]. Äîêàçàòåëüñòâî ñõîäèìîñòè îöåíêè aT ôóíêöèè a K� ê åå èñòèí- íîìó çíà÷åíèþ a0 îñíîâàíî íà ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåçóëüòàòàõ [12], ãäå ïðåäëî- æåí óíèâåðñàëüíûé ïîäõîä ê äîêàçàòåëüñòâó ñîñòîÿòåëüíîñòè îöåíîê. Òåîðåìà 1 [12, 17]. Ïóñòü ( , , )� U P — âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî è K — êîìïàêòíîå ïîäìíîæåñòâî íåêîòîðîãî áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà ñ íîðìîé || ||� . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî { }U TT , � �� 1 — ïîòîê �-àëãåáð òàêèõ, ÷òî U UT � ,U UT S� , T S� (êàæäûé ýëåìåíò âåêòîðà T ìåíüøå ñîîòâåòñòâóþùåãî ýëåìåíòà âåêòîðà S), ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1 175 è { }Q s Q s s K TT T( ) ( , ) :( , ) ,� � � � �� � � � 1 ÿâëÿåòñÿ ñåìåéñòâîì äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèì ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: à) äëÿ ôèêñèðîâàííûõ T è � ôóíêöèÿ Q sT ( , )� , s K� , íåïðåðûâíà; á) äëÿ ôèêñèðîâàííîãî T è äëÿ êàæäîãî s K� ôóíêöèÿ Q sT ( , )� U T -èçìåðèìà; â) äëÿ íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî ýëåìåíòà s K0 � ïðè êàæäîì s K� P{ }lim ( , ) ( ; ) T TQ s s s � � �� � 0 1 , ãäå �( ; )s s0 , s K� , — äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ íà K è òàêàÿ, ÷òî � �( ; ) ( ; )s s s s0 0 0� , s s 0 ; ã) äëÿ ëþáîãî � 0 ñóùåñòâóåò � 0 0� è ôóíêöèÿ c( )� , � � 0 , c( )� 0 , � 0, òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà s K�� ïðè ëþáîì � � �:0 0� � âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå P lim | ( ) ( )| ( || || , || ||T s s s s T TQ s Q s c � � � � � � � �sup { }� 0 � ) � � � �� � � � �� �1 . Äëÿ êàæäîãî T � �� 1 è � �� ýëåìåíò s sT T� ( )� îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì Q s Q sT T s K T( ) min ( )� � . Äëÿ ôóíêöèè QT âñåãäà ñóùåñòâóåò òî÷êà ìèíèìóìà, âîçìîæíî äàæå áîëüøå ÷åì îäíà, òîãäà òî÷êà sT — ëþáàÿ èç íèõ.  ñèëó òåîðåìû 6 ðàáîòû [17] sT ìîæíî âûáðàòü U T -èçìåðèìîé êàê ôóíêöèþ îò � . Òîãäà P{ }|| || ,s s TT � � �0 0 1. Åñëè ñîîòíîøåíèå â óñëîâèè ã) çàìåíèòü íà P lim | ( ) ( )| ( ) || ||T s s T TQ s Q s c � � � � � � � � � � � � � �sup � � 1 , òî P{ }Q s s s TT T( ) ( ; ), � �� 0 0 1 . Òåîðåìà 2 [18]. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ 1–5 è K — êîì- ïàêòíîå îòíîñèòåëüíî ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè íà îñè ìíîæåñòâî ïî÷òè-ïåðèî- äè÷åñêèõ ôóíêöèé. Òîãäà ïðè T � P lim || || T Ta a � � �� � � � � � �0 0 1, ãäå || || ( ) lim ( )a E a u a d u u 2 2 2 0 1 � � � � � � ïî îïðåäåëåíèþ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì äëÿ T � 0 , a K� Q a T a t x t dt T t dtT T T ( ) [ ( ) ( )] ( )� � �� � 1 12 0 2 0 � , ïðè ýòîì î÷åâèäíî, ÷òî ìèíèìèçàöèÿ ïî a K� ôóíêöèîíàëà Q aT ( ) ïðèâîäèò ê îöåíêå aT . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 2 äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ â âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû 1.  ñèëó âûáîðà ôóíêöèîíàëà Q aT ( ) , î÷åâèäíî, èìåþò ìåñòî óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè à) è èçìåðèìîñòè á) òåîðåìû 1. Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëî- âèÿ â). Ïóñòü ýëåìåíò a K� ôèêñèðîâàííûé, òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ �( , ) lim [ ( ) ( )] || ||a a T a t a t dt a a T T 0 0 2 0 0 21 � � � � � � . 176 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1 Äëÿ ëþáûõ a K� è a a 0 ðàññìîòðèì EQ a E T a t x t dt T t dtT T T ( ) [ ( ) ( )] ( )� � � � � � � ! " " �� � 1 12 0 2 0 � � � � � � � � � � �E T a t a t dt T t a t a t dt T T 1 2 0 2 0 0 0 [ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( )]� ! " " . Îáîçíà÷èì � �T T a T t a t a t dt( ) ( )[ ( ) ( )]� �� 1 0 0 . Òîãäà, ó÷èòûâàÿ âèä ôóíêöèé a , a0 è íåðàâåíñòâî || ||a c� 0 , ïîëó÷àåì � � T k i t k k i t k a T t c a e c a ek k( ) ( ) ( ) ( )� � # $ % & ��� � ��� � � �1 0 ' ( �� dt T 0 � � � ��� � �� 1 2 0 0 0 T t c a c a e dt c T t ek k i t k T ik k� � ( ) [ ( ) ( )] ( ) t T dt 0 � . Îòêóäà ïî ëåììå 1 �T a( ) � ïðè T � ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Òàêèì îá- ðàçîì, ïðè T � ôóíêöèîíàë Q a T a t a t dt a a aT T T( ) [ ( ) ( )] ( ) || ||� � � �� 1 20 2 0 0 2� ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Íà îñíîâàíèè ñâîéñòâ ôóíêöèé èç K âåëè÷èíà || ||a a� �0 0, åñëè a è a0 èç K îòëè÷àþòñÿ õîòÿ áû â îäíîé òî÷êå. Îòñþäà ñëå- äóåò, ÷òî óñëîâèå â) òåîðåìû 1 âûïîëíÿåòñÿ ñ ôóíêöèåé � ( , )a a0 � || ||a a� 0 2 . Äëÿ ïðîâåðêè óñëîâèÿ ã) òåîðåìû 1 äëÿ � � 0 è ôóíêöèè a K� ðàññìîòðèì âåëè÷èíó ) � � � � � T a a a T Ta Q a Q a( , ) | (~ ) ( )| (~: || ~ || ) � � sup 0 � � � � � �sup (~: |||| ~ || ) [~ ( ) ( )] [ ( ) a a a T T a t x t dt T a t 0 1 12 0� � �� x t dt T ( )]2 0 � � � � � � �sup (~: || ~ || ) [~ ( ) ( )][ ~ ( ) ( ) a a a T T a t a t a t a t 0 1 2 0� a t t dt c0 2( ) ( )] ( )� �� � . Îòêóäà ) � � �T T a c T t dt( , ) [ | ( )| ]� � �2 2 1 0 0 , ïðè÷åì â ñèëó çàäàííûõ óñëîâèé òåîðåìû, ëåììû 1 è ëåììû 5.4 èç ðàáî- òû [19] ïðè T � 1 0 0 T t dt T | ( )|�� ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Ïîýòîìó äëÿ âåëè÷èíû c c( )� �� 5 0 ïîëó÷àåì lim ( , ) ( ) T T a c � ) � �P{ }� � 1 . Î÷åâèäíî, ÷òî c( )� 0 , � 0 , ïîýòîìó èìååò ìåñòî óñëîâèå ã) òåîðåìû 1. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïðè T � èìååì || ||a aT � 0 0 ñ âåðî- ÿòíîñòüþ åäèíèöà. � ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1 177 Óñëîâèå 6. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî m� �1 , m 2 , ãäå m G� rank , 0 1� �� — ïàðàìåòð êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè B t( ) ñëó÷àéíîãî ïðî- öåññà { }n t t( ), ( ) ��1 . Ïóñòü äëÿ k m ôóíêöèÿ f f f d dk k i i k k k *( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � *� � 2 2 2 1 � � � åñòü k-ÿ ñâåðòêà ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè f ( ) , ��1, ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà { }n t t( ), ( ) ��1 . Îòìåòèì, ÷òî B Lk ( ) ( )� � 1 1 � , k m , ïîýòîìó âñå f k*( ) ( ) , k m , — íåïðåðûâíûå îãðàíè÷åííûå ôóíêöèè. Óñëîâèå 7. Ôóíêöèÿ f k k *( ) ( ) � 0 , k m , m G� rank , k ��1, k � + +0 1 2, , ,� Ðàññìîòðèì ãðàíè÷íîå ïîâåäåíèå îöåíêè aT äëÿ çàäàííîé ñòîõàñòè÷åñêîé ìîäåëè è óñëîâèé çàäà÷è. Äëÿ ýòîãî ââåäåì íåêîòîðûå îáîçíà÷åíèÿ è äîêàæåì ðÿä äîïîëíèòåëüíûõ óòâåðæäåíèé. Äëÿ ôèêñèðîâàííîãî öåëîãî n� 0 ðàññìîòðèì ôóíêöèþ �n T âèäà s ek i t k n k | |� � , êî- òîðàÿ ìèíèìèçèðóåò âåëè÷èíó | ( ) | | | � � � �� � �� s e dk i k n T k 2 0 ïî íàáîðó äåéñòâèòåëüíûõ ÷è- ñåë { }s k nk , | | � . Èçâåñòíî [20], ÷òî ôóíêöèÿ �n T îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: � � � n T k i k n b e k( ) | | � � � , ãäå b b n Tk k n kj jT j n � � � �( , ) | | � � , � � jT i t T T e t dtj� � � 1 0 ( ) , j � +0 1, ,� , à ìàòðèöà ( ) | | , | |�n kj k n j n� � — îáðàòíàÿ ê ìàòðèöå Ãðàììà ( ) | | , | | | | , | � � � � kj k n j n i i T k n j T e dk j � � � � � � � � � ! " "� 1 0 |�n . Ôóíêöèÿ �n T îïðåäåëåíà ñ âåðîÿò- íîñòüþ åäèíèöà. Ëåììà 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ �( )t , t ��1, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 1– 4, 6, 7. Äëÿ ôèêñèðîâàííûõ öåëîãî n� 0 è äåéñòâèòåëüíîãî t ñëó÷àé- íàÿ âåëè÷èíà T tn T� ( ) ïðè T � àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíà ñî ñðåäíèì 0 è äèñ- ïåðñèåé � � n k k m k k k n C k f2 2 2� � � � � � ! ( )*( ) | | . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè çàäàííûõ óñëîâèÿõ äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2 çàêëþ÷à- åòñÿ â ïðèìåíåíèè öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû [15, 21] ê âåëè÷èíå T tn T� ( ) , ïðåäñòàâëåííîé â âèäå T t T W dn T T T � � � � �( ) ( ) ( )� � 1 0 , ñ ôóíêöèåé W eT i i n kj k n j n k j( ) | | , | | � � � � � � � � � . Ïîêàæåì, ÷òî óñëîâèÿ öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû âûïîëíÿþòñÿ. Î÷å- âèäíî, ÷òî 1 2 0 T W d e T T i t i t n kj n k n j n n k( ) | | , | | | | , | � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � |� � �� � � � � � ! " " � n i i T i t i t n kj j n T e d ej k 1 0 � � | | , | | | | , | | k n j n n n � � � � � 178 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1 ñ ó÷åòîì âèäà ôóíêöèè �n kj , lim T n kj kj � �� , òîãäà lim ( ) T T T T W d n � � � � 1 2 12 0 � � . Ëåãêî ïðîâåðÿþòñÿ è ñëåäóþùèå óñëîâèÿ. Ïðè , �h � 1 ïîëó÷àåì lim ( ) ( | | ) ( ) T T T T T n W h W d � � � �� 1 2 1 0 � � � � � � � � � � lim | | | , | | | | T i t i t i h n kj n k n j nn e k j1 2 1 � � � � � �� � � � � � ! " " � n n i i T T e dj , | |� � �� � 1 0 1 2 1n e i h k n k � � � | | . Ýòà ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà ïî h íà îñè è îïðåäåëÿåò òàê íàçûâàåìóþ ñïåêòðàëü- íóþ ìåðó ôóíêöèè WT , êîòîðàÿ ñîñðåäîòî÷åíà â òî÷êàõ k , | |k n� . Òàêèì îá- ðàçîì, ñîãëàñíî öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå âåëè÷èíà T tn T� ( ) àñèìïòî- òè÷åñêè íîðìàëüíà ñî ñðåäíèì 0 è äèñïåðñèåé � � n k k m k k k n C k f2 2 2� � � � � � ! ( )*( ) | | äëÿ ïðåäåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ëåììà 2 äîêàçàíà. � Ëåììà 3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ �( )t , t ��1, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 1–4, 6, 7 è K — ìíîæåñòâî ïî÷òè-ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé èç óñëî- âèÿ 5. Òîãäà ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì n� 0 lim T n T K � � �P{ }� 1 . Äîêàçàòåëüñòâî. Íà îñíîâàíèè ñâîéñòâ ïî÷òè-ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé, óñëîâèÿ ëåììû è íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå îöåíêè: P P{ } { }max| | | | | | | |k n k k k n b k b k k � � � � � � � ��1 1 2 2 2 � � � E bk k n | | | | 2 � � � � � � � � �� � � � � � �2 2 2 2 1 k T E u e en jk i u j n n kl ij l( ( ), ( )) | | |l n TT k n dud || | �� ���� � 00 � � � � � � ! " " # $ % % % & ' ( ( ( � � � �� � 2 2 1 2 2 2 1 k T C m n jk j n m( ) | | | | ! B u dudm TT mk n ( ) | | ����� � � � � � 001 . Èç óñëîâèé ëåììû 3, îòíîñÿùèõñÿ ê ïðîöåññó { }n t t( ), ( ) ��1 , ôóíêöèè G u( ) , u��1, è âèäó êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè B t( ) , t ��1, èìååì E u C m B u E G n B um m m ( ( ), ( )) ! ( ) ( ( ( ))) ( )� � � � �� � � � � � � 2 1 2 0 , ãäå G n2 0( ( )) � � �const , � � 1 m — ïàðàìåòð êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè B t( ) , m G� rank — ýðìèòîâ ðàíã ôóíêöèè G u( ) , u��1. ×òîáû çàâåðøèòü äîêàçàò- åëüñòâî ëåììû 3, ïîêàæåì, ÷òî ïðè T � è � � 1 m ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà 1 0 2 00T B u dud TT ( )� �� � � . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1 179 Èçâåñòíî [22], ÷òî êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ B t( ) , t ��1, ãàóññîâñêîãî ñèëüíî- çàâèñèìîãî ïðîöåññà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå B t L t t( ) (| | ) | |� � �� , � �( , )0 1 , ãäå L t( ) , t � 0 , — ìåäëåííî ìåíÿþùàÿñÿ íà áåñêîíå÷íîñòè ôóíêöèÿ. Çàìåíèì ïå- ðåìåííûå u u T� * è � �� *T , òîãäà 1 2 00 0 1 0 1 T B u dud B T u du d TT ( ) ( ( ))* * * *� � � ��� ��� � � � � � � � � �� L T u T u du d L T T L T u( | | ) | | ( ) ( |* * * * * * * *� � � � � � � 0 1 0 1 | ) ( ) | | ~ * * * *L T du d u � � �� 0 1 0 1 � � � ~ ( ) | | ( )( ) ( ) * * * *L T T u du d B T � �� � � � 1 2 1 2 0 1 0 1 � � � ��� , ãäå f T h T( ) ~ ( ) îçíà÷àåò, ÷òî lim ( ) / ( ) T f T h T � �1 .  ïðåäûäóùèõ ïðåîáðàçîâà- íèÿõ èñïîëüçóåòñÿ ëåììà èç ðàáîòû [23] äëÿ ôóíêöèè | |* *t s� �� .  êà÷åñòâå � � 0 âûáåðåì òàêîå ÷èñëî, ÷òî � �� � 1 , òîãäà äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè T nn � �1/� � , � � 0 , � �( , )0 1 , ñïðàâåäëèâî L T T n nn ( ) � � � � � � 1 , îòêóäà ïðè T � �n T K� ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. � Ëåììà 4. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ �( )t , t ��1, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 1–4, 6, 7 è K — ìíîæåñòâî ïî÷òè-ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé èç óñëî- âèÿ 5. Òîãäà ñ íåêîòîðîé êîíñòàíòîé c , íå çàâèñèìîé îò a è T , ïðè âñåõ T 1 TE a a cT( || || )� �0 2 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì âíà÷àëå, ÷òî ïðè çàäàííûõ óñëîâèÿõ äëÿ ëþáîé ôóíêöèè a K� èëè a a a� �( ) ( )1 2 , ãäå a a K( ) ( ),1 2 � , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî 1 2 0 2 1 T a d a c T T ( ) || ||� �� � � (2) ñ íåêîòîðîé êîíñòàíòîé c1 , íå çàâèñèìîé îò a è T � 0 . Äåéñòâèòåëüíî, íà îñíîâàíèè ðàâåíñòâà Ïàðñåâàëÿ äëÿ || ||a 2 èìååì 1 12 0 2 T a d a T c a c a e T j k i i j k j k( ) || || ( ) ( ) , � � � � � �� � � ��� � d c a T k k � 0 2� �� � ��� � | ( ) | � � � � � � �1 1 2 T c a c a e i T c a cj k i T j kj k j k j k ( ) ( ) ( ) | ( ) ( ) � ( )|a c Tj k � � � 1 , ãäå c L k k 1 1 22 � � � ��� � � � ( | | )( ) , � � 0 , L � 0 , � 0 , k 1, èç óñëîâèÿ 5 î êîýôôè- öèåíòàõ Ôóðüå ôóíêöèè a t K( ) � . Èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè aT : [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]a x d a x dT T T � � � � � �� � �� �2 0 0 2 0 , 180 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1 îòêóäà ñ ó÷åòîì âèäà x t( ) , t ��1, ñëåäóåò, ÷òî [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( )a a d a a dT T T T � � � � � � � �� � �� �0 2 0 0 0 2 . (3) Ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî (2) ê ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (3), ïîëó÷àåì T a a c a a dT T T || || [ ( ) ( )] ( )� � � ��0 2 1 0 0 2 � � � � � . Äàëåå, èç íåðàâåíñòâà Ïàðñåâàëÿ T a a c c a c a e dT k T k k i T k|| || [ ( ) ( )] ( )� � � � ��� � �0 2 1 0 0 2 � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� ��� � 2 0 2 0 2 1 2 || || ( ) / a a e dT i T k k � � � � . (4) Îòìåòèì, ÷òî ñîãëàñíî óñëîâèþ 5, ëåììå 1 è ëåììå 5.4 èç ðàáîòû [19] ìàòåìà- òè÷åñêîå îæèäàíèå 1 0 2 2 T E e d c i T k k � � � �( )�� ��� �� � � � � � � � � � � , ãäå c2 êîíå÷íî. Òàêèì îáðàçîì, èç (4) äëÿ âñåõ T 1 ñëåäóåò íåðàâåíñòâî TE a a c TE a a cT T( || || ) [ ( || || )]/ /� � � �0 2 2 1 2 0 2 1 2 12 { } . Ñëåäîâàòåëüíî, TE a a c c c cT( || || ) ( )/ /� � � � �0 2 2 1 2 2 1 1 2{ } ïðè T 1 . � Òåîðåìà 3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ �( )t , t ��1 , óäîâëåòâîðÿ- åò óñëîâèÿì 1–4, 6, 7, K — ìíîæåñòâî ïî÷òè-ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé èç óñëî- âèÿ 5 è ôóíêöèÿ a0 — âíóòðåííÿÿ òî÷êà ìíîæåñòâà K . Ïóñòü aT — îöåíêà ìåòî- äà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ôóíêöèè a0 â ìíîæåñòâå K ïî íàáëþäåíèÿì x t a t t( ) ( ) ( )� �0 � , 0 � �t T . Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì t ��1 ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû T a t a t[ ( ) ( )]� 0 ñëàáî ñõîäèòñÿ ïðè T � ê íîðìàëüíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ìàòåìàòè÷åñêèì ñðåäíèì 0 è äèñïåðñèåé � � 2 2 2� � � ��� � � � C k fk k m k k k! ( )*( ) . Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 3 áóäåì èñïîëüçîâàòü èäåþ À.ß. Äîðîãîâöåâà äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 8 â ðàáîòå [12] è äîïîëíèòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ [19, 21], îòíîñÿùèåñÿ ê ïðîöåññàì ñ ñèëüíîé çàâèñèìîñòüþ. Âíà÷àëå îòìåòèì, ÷òî ðÿä � 2 ñõîäèòñÿ. Ýòî ñëåäóåò èç èíòåãðèðóåìîñòè êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè B tm ( ) , t ��1, ïðè m� �1 , m G� rank , è óñëîâèÿ 7. Ïóñòü �( ; )x u2 , x ��1, — ôóíêöèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ìàòåìàòè- ÷åñêèì ñðåäíèì 0 è äèñïåðñèåé u2 , è � �nT T nTt a t a t t( ) ( ) ( ) ( )� � �0 , t ��1. Äëÿ ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèé t x, ��1, ëþáîãî � 0 è öåëîãî n� 0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1 181 P P{ } {T a t a t x T a t a t xT T[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]� � � � �0 0 , T t T a t a t x T tnT T nT| ( )| [ ( ) ( )] , | ( )|� � � � � � �} { }P 0 � � � � � �P P{ } { }T t T t x T tnT nT nT| ( )| ( ) , | ( )|� � � � � � �P P{ } { }T t T t xnT nT| ( )| ( )� � . Äîêàæåì, ÷òî lim | ( )| ( ) T nT nT t � �P{ }� � (5) ñ ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ { }� n n( ), 1 , äëÿ êîòîðîé ïðè êàæäîì � 0 èìååò ìåñòî lim ( ) n n � �� 0 . Èç óñëîâèÿ òåîðåìû 3 èçâåñòíî, ÷òî a0 ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé òî÷êîé ìíî- æåñòâà K, à ïî ëåììå 3 èìååì lim T n T K � � �P{ }� 1 . Òîãäà lim | ( )| lim | ( )| ; T nT T nT nTT t T t a K � � � � �P P{ } { }� � �0 � (6) � � �� � � � � � � � � lim | ( ) | ; lim | ( T nT nT T nTT p t a K T q tP P � 2 0 ) | ; � �� � � � � � � 2 0a KnT , ãäå p t c a c a e tnT k T k k n i t nT k( ) [ ( ) ( )] ( ) | | � � � � � 0 � , q t c a c a enT k T k k n i tk( ) [ ( ) ( )] | | � � � � 0 . Îáîçíà÷èì a t c a enT k T i t k n k( ) ( ) | | � � � , a t c a en k i t k n k 0 0( ) ( ) | | � � � . Èç ðàâåíñòâà 2 20 2 0 2 0 [ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( )]a a d dnT n T nT T � � � � � � � � � �� � � � �� � � � � � �� �p d a a d nT T nT n nT T 2 0 0 2 0 2( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]� � � � � � � � � ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ [ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( )]a a dnT n nT T nT� � � � � � � � � � �� � � �� 0 2 0 22 4 d T � 0 � , êîòîðîå ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè � �nT ( ) , èìååì p d a a d nT T nT n T 2 0 0 2 0 2( ) [ ( ) ( ) ( )]� � � � � � �� �� � � �2 2 0 [ ( ) ( )]� � � � �nT T d�� . (7) Ïîñêîëüêó èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè aT ïðè óñëîâèè a KnT0 � �� ñïðàâåäëè- âî íåðàâåíñòâî [ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( )]a a d dT T nT T � � � � � � � � � �� � � � �� �0 2 0 2 0 � � � � � �� �[ ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )]a x d a x dT T nT T � � � � � � � � 0 0 2 0 0 , 182 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1 èç (7) ñëåäóåò ñîîòíîøåíèå p d a a d nT T nT n T 2 0 0 2 0 2( ) [ ( ) ( ) ( )]� � � � � � �� �� � � �2 0 2 0 [ ( ) ( ) ( )]a a dT T � � � � �� �� . (8) Àíàëîãè÷íî íàõîäèì 2 20 2 0 0 2[ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )]a a d a a dT T nT n� � � � � � � � � �� � � � �� 0 0 0 2 0 22 T T nT n T nT a a a a d q � � � � � � � � �[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] (� � � � � � � � � � � � � � � � ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) , d a a d q d T T T nT T 0 0 2 0 2 0 4 � � � � � � îòêóäà q d a a d a a nT T nT n T T 2 0 0 2 0 2 2( ) [ ( ) ( ) ( )] [ ( )� � � � � � � �� �� � � � � 0 2 0 2 02 2 ( ) ( )] [ ( )] ( ) [ ( ) ( � � � � � � � � � � � � � � d q q a a T nT nT nT n{ � � � �) ( )] .�� }d T 0 Ïîýòîìó 3 42 0 0 0 q d q a a d nT T nT nT n T ( ) ( )[ ( ) ( ) ( )] .� � � � � � � �� �� � � (9) Îöåíèì òåïåðü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (9). Èç âûðàæåíèÿ äëÿ qnT èìååì E q a a dnT nT n T ( )[ ( ) ( ) ( )]� � � � � �� � �� 0 0 � � � �� �E q d E q a a dnT T nT nT n T ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]� � � � � � � � 0 0 0 � � � � � �E c a c a e dk T k k n i T k[ ( ) ( )] ( ) | | 0 0 � � � � � � � � � �� �E c a c a c a c a ek T k k n j T j j n i k[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] | | | | ( 0 0 � �j d T ) 0 � . (10) Èç ëåììû 1, ëåììû 4 è ëåììû 5.4 èç ðàáîòû [19] ñïðàâåäëèâî, ÷òî E c a c a e d ck T k k n i T k[ ( ) ( )] ( ) . | | � � � � �0 0 � � � � (11)  ñèëó óñëîâèÿ 5 èìååì E c a c a c a c a e k T k j T j j n k n i k [ ( ) ( )][ ( ) ( )] | | , | | ( � � � � � � 0 0 j T k j ) ( ) � � � 1 � � � ��� � � � � �2 2 1L k ka k a k n � | | | | | | . (12) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1 183 Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ôóíêöèé èç ìíîæåñòâà K âèäà a c a ek i k n k( ) ( ) | | � �� � � , � ��1, ïðè ôèêñèðîâàííîì n ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî T a a u du L k T a k n || || ( ) | | | | 2 2 0 2 1 2 2� � � � � � ! " "� �� � � � . (13) Ýòî íåðàâåíñòâî äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî íåðàâåíñòâó (2) èç äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 4. Ñîãëàñíî ñâîéñòâàì ôóíêöèé èç ìíîæåñòâà K äëÿ êàæäîãî �� 0 ñóùåñòâó- åò [12] �1 0� òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè a K� èç íåðàâåíñòâà | ( )|a t T� � � 1 2 ïðè íåêîòîðîì t �� ñëåäóåò íåðàâåíñòâî || ||a T2 1 1� �� , � � �1 1� ( ) . Ïóñòü òåïåðü ÷èñëî n òàêîå, ÷òî � n a k n L k� � � � � ! "� � � �2 2 2 1 1� | | | | . Òîãäà íà îñíîâàíèè (13) ïîëó÷àåì P PT q t a K T qnT nT nT| ( )| , || || � �� � � � � � � � � � ! " � � 2 2 0 2 1 , a KnT0 � � � � � � � � �� � � � � � ! " � � � � � �� � � � �� �P q d a K nT T n nT 2 0 1 0 2 ( ) ,� � � � , îòêóäà ñ ó÷åòîì (9) è íåðàâåíñòâà Ìàðêîâà èìååì P T q t a KnT nT| ( )| , � �� � � � � � � � 2 0 � � � � � � ! "� � �P 4 3 2 0 0 1q a a dnT T nT n n( )[ ( ) ( ) ( )]� � � � � � � � � �� � � � �� � � � � � ! "� # $ % & ' ( � � � � 4 3 2 1 1 0 0� � � � �n nT T nT nE q a a( )[ ( ) ( ) ( )]� �d .  ñèëó (10)–(12) ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî: P T q t a KnT nT n| ( ) | , ( )( ) � �� � � � � � � � � 2 0 1 , T �1 , (14) ñ âåëè÷èíîé � � n n a k c L k( ) ( ) | |1 1 1 2 14 3 2 2� � � � ! "� # $ % & ' ( � � � � ��� � � � � � � # $ % % & ' ( ( | | | | k a k n . Äëÿ îöåíêè âåëè÷èíû pnT èç ñîîòíîøåíèÿ (8) èìååì p d q d q a nT T nT T nT T nT 2 0 2 0 0 2 4� � �� � � �( ) ( ) ( )[ ( ) ( )� � � � � � � � � a dn0 ( )]� � , îòêóäà àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó (14) ïîëó÷àåì P T p t a KnT nT n| ( )| , ( )( ) � �� � � � � � � � � 2 30 1 , T �1 . (15) 184 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1 Î÷åâèäíî, ÷òî òåïåðü ñîîòíîøåíèå (5) ñëåäóåò èç (6), (14) è (15) ïðè � � n n( ) ( )( )� 4 1 äëÿ ëþáîãî n n 0 . Âåðíåìñÿ ê ðàññìîòðåíèþ âåëè÷èíû P{ }T a t a t xT[ ( ) ( )] .� �0 Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ lim ( ) ( ; ) T nT nT t x x � � � � �P{ }� �� 2 , êîòîðîå ñëåäóåò èç ëåììû 2 è äîêàçàííîãî íåðàâåíñòâà (5), èìååì lim [ ( ) ( )] ( ) ( ; ) T T n nT a t a t x x � � � � � �P{ }0 2� �� , n n 0 , ëåâàÿ ÷àñòü îò n íå çàâèñèò, à � �n 2 2 0 � , n �, òîãäà lim [ ( ) ( )] ( ; ) T TT a t a t x x � � � � �P{ }0 2� � , è, ó÷èòûâàÿ, ÷òî � 0 ïðîèçâîëüíî, ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî lim [ ( ) ( )] ( ; ) T TT a t a t x x � � � �P{ }0 2� � . (16) Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâî lim [ ( ) ( )] ( ; ) T TT a t a t x x � � � P{ }0 2� � . (17) Òåïåðü óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà (16) è (17). � Òàêèì îáðàçîì, â ñòàòüå ðàññìîòðåíà ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïåðåäà÷è èí- ôîðìàöèè òèïà «ñèãíàë ïëþñ øóì» â ñëó÷àå íåèçâåñòíîé ôóíêöèè ñèãíàëà èç íå- êîòîðîãî êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà ïî÷òè-ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé K, êîòîðàÿ íà- áëþäàåòñÿ íà ôîíå ñëó÷àéíîãî øóìà, çàäàííîãî ôóíêöèîíàëîì îò ãàóññîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ñ ñèëüíîé çàâèñèìîñòüþ. Èññëåäîâàíà çàäà÷à èäåíòèôèêà- öèè ñèãíàëà ïî íàáëþäåíèÿì x t( ) íà èíòåðâàëå [ , ]0 T , äîêàçàíà ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ñîñòîÿòåëüíîñòü è àñèìïòîòè÷åñêàÿ íîðìàëüíîñòü îöåíêè ñèãíàëà. Ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå òàêèõ ìîäåëåé èçó÷åíî â ðàáîòàõ [1, 10, 24, 25]. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ñ â à í è ä ç å à . à . Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ãèäðîëîãè÷åñêèõ ðÿäîâ. — Ë.: Ãèäðîìå- òåîèçäàò, 1977. — 296 ñ. 2. à ð å ÷ ê à à . Ï . , Ä î ð î ã î â ö å â À . ß . Îá àñèìïòîòè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ïåðèîäîãðàììíîé îöåíêè ÷àñòîòû è àìïëèòóäû ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ // Âû÷èñë. è ïðèêë. ìàòåìàòèêà. — 1976. — ¹ 28. — Ñ. 18–31. 3. È â à í î â À .  . Îäíî ðåøåíèå çàäà÷è î âûÿâëåíèè ñêðûòûõ ïåðèîäè÷íîñòåé // Òåîðèÿ âåðî- ÿòíîñòåé è ìàò. ñòàòèñòèêà. — 1979. — Âûï. 20. — Ñ. 44–59. 4. Ê í î ï î â Ï . Ñ . Îïòèìàëüíûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåì. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1981. — 152 ñ. 5. Ê í î ï î â Ï . Ñ . Îöåíèâàíèå íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè ïðè íà- ëè÷èè øóìà. ² // Êèáåðíåòèêà — 1984. — ¹. 6. — Ñ. 83–87, 98. 6. Æ ó ð à ê î â ñ ü ê è é Á . Ì . , ² â à í î â Î .  . Êîíçèñòåíòí³ñòü îö³íêè íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ïàðà- ìåòð³â ñóìè ãàðìîí³÷íèõ êîëèâàíü ó ìîäåëÿõ ³ç ñèëüíî çàëåæíèì øóìîì // Íàóêîâ³ â³ñò³ ÍÒÓÓ «Êϲ». Òåîðåòè÷í³ òà ïðèêëàäí³ ïðîáëåìè ìàòåìàòèêè. — 2010. — Âèï. 4. — Ñ. 60–66. 7. Æ ó ð à ê î â ñ ü ê è é Á . Ì . , ² â à í î â Î .  . Âëàñòèâîñò³ ïåð³îäîãðàìíèõ îö³íîê ïàðàìåòð³â ãàð- ìîí³÷íîãî êîëèâàííÿ ó ìîäåëÿõ ðåãðåñ³¿ ç ñèëüíî çàëåæíèì øóìîì // Íàóêîâ³ â³ñò³ ÍÒÓÓ «Êϲ». Òåîðåòè÷í³ òà ïðèêëàäí³ ïðîáëåìè ìàòåìàòèêè. — 2012. — ¹ 4 (84). — Ñ. 59–65. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1 185 8. Ê í î ï î â Ï . Ñ . , Á è ë à à . Ä . Ïåðèîäîãðàììíûå îöåíêè â ìîäåëÿõ íåëèíåéíîé ðåãðåññèè ñ ñèëüíîçàâèñèìûì øóìîì // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2013. — ¹ 4. — Ñ. 163–172. 9. H a n n a n E . J . The estimation of frequency // Journal of Applied Probability. — 1973. — 10, N 3. — P. 510–519. 10. L e' v y - L e d u c C . Efficient frequency estimation from a particular almost periodic function with application to laser vibrometry // Journal of Time Series Analysis. — 2006. — 27, N 5. — P. 637–669. 11. Ä î ð î ã î â ö å â À . ß . Îá îöåíêå ïî÷òè-ïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà ïî íàáëþäåíèþ â ñòàöèîíàð- íîì øóìå // Âîïðîñû ñòàòèñòèêè è óïðàâëåíèÿ ñëó÷àéíûìè ïðîöåññàìè (òåìàòè÷åñêèé ñáîð- íèê). — 1973. — Ñ.74–105. 12. Ä î ð î ã î â ö å â À . ß . Òåîðèÿ îöåíîê ïàðàìåòðîâ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Ê.: Âèùà øê., 1982. — 192 ñ. 13. Ê í î ï î â Ï . Ñ . , Ï å ï å ë ÿ å â  . À . Î íåïàðàìåòðè÷åñêîé îöåíêå ïî÷òè-ïåðèîäè÷åñêîãî ñèã- íàëà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. — ¹ 3. — Ñ. 57–63. 14. Ë å î í å í ê î Í . Í . , È â à í î â À .  . Ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç ñëó÷àéíûõ ïîëåé. — Ê.: Âèùà øê., 1986. — 216 ñ. 15. I v a n o v O . V . , L e o n e n k o N . N . , R u i z – M e d i n a M . D . , Z h u r a k o v s k y B . M . Estimation of harmonic component in regression with cyclically dependent errors // Statistics: A Journal of Theoretical and Applied Statistics. — 2015. — 49, N 1. — P. 156–186. 16. B o h r H . Almost periodic functions. — New York: Chelsea Publishing Company, 1947. — 114 p. 17. K n o p o v P . S . , K a s i t s k a y a E . J . Empirical estimates in stochastic optimization and identification. — New York: Kluwer Academic Publishers, 2002. — 250 p. 18. Á ³ ë à à . Ä . Îïòèìàëüíå îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â íåë³í³éíèõ ñòîõàñòè÷íèõ ñèñòåì : Äèñ. … êàíä. ô³ç.-ìàò. íàóê: ²Ê ÍÀÍÓ. — Ê., 2014. — 121 ñ. 19. T a q q u M . S . Convergence of integrated processes of arbitrary Hermite rank // Z. Wahrscheinlichkeitstheofie verw. Gebiete. Springer–Verlag. — 1979. — 50, N 1. — P. 53–83. 20. À õ è å ç å ð Í . È . , à ë à ç ì à í È . Ì . Òåîðèÿ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàí- ñòâå. — Ì.: Íàóêà, 1966. — 544 ñ. 21. Á ³ ë à à . Ä . Îö³íêà äâîâèì³ðíîãî ñèãíàëó çà ñïîñòåðåæåííÿìè ç ñèëüíîçàëåæíèì âèïàäêîâèì øóìîì // Ïðèêëàäíà ñòàòèñòèêà. Àêòóàðíà òà ô³íàíñîâà ìàòåìàòèêà: Íàóê. æóðíàë. Äîíåöü- êèé íàö. óí-ò. — 2013. — ¹ 1–2. — Ñ. 116–134. 22. B e r a n J . Statistics for Long–Memory Processes. — New York: Chapman and Hall, 1994. — 315 p. 23. I v a n o v A . V . , O r l o v s k y I . V . Lp-estimates in nonlinear regression with long-range dependence // Theory of Stochastic Processes. — 2002. — 7(23), N 3 — 4. — P. 38–49. 24. Ê í î ï î â Ï . Ñ . Î íåêîòîðûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïîëåé // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2010. — ¹ 1. — Ñ. 70–81. 25. Ï ð è ê ë à ä í î é àíàëèç ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ / À.Â. Ãðàôêèí è äð.; ïîä ðåä. Ïðîõîðîâà Ñ.À. — Ñàìàðà: ÑÍÖ ÐÀÍ, 2007. — 582 ñ. Ïîñòóïèëà 23.07.2015 186 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1

Similar Items