Исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта
Рассмотрена задача численного моделирования и оптимизации волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта на основе параболического волнового уравнения типа Шредингера. Сформулирован критерий оптимальности, исследованы дифференциальные свойства оптимизационной задачи. Пре...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131414 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта / А.В. Гладкий // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 81-92. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-131414 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Гладкий, А.В. 2018-03-22T17:06:28Z 2018-03-22T17:06:28Z 2016 Исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта / А.В. Гладкий // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 81-92. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131414 517.9:519.6 Рассмотрена задача численного моделирования и оптимизации волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта на основе параболического волнового уравнения типа Шредингера. Сформулирован критерий оптимальности, исследованы дифференциальные свойства оптимизационной задачи. Предложен численный метод для моделирования и оптимизации акустических полей в неоднородных средах. Розглянуто задачу чисельного моделювання та оптимізації хвильових процесів у неоднорідних середовищах з умовами неідеального контакту на основі параболічного хвильового рівняння типу Шредінгера. Сформульовано критерій оптимальності, досліджено диференціальні властивості оптимізаційної задачі, запропоновано чисельний метод для моделювання та оптимізації акустичних полів у неоднорідних середовищах. The problem of numerical modeling and optimization of wave processes in inhomogeneous domains with conditions of non-ideal contact on the basis of parabolic wave equation of Schrodinger type is considered. The optimality criterion is formulated. The differential properties of the optimization problem are investigated. A numerical method for modelling and optimization of acoustic fields in inhomogeneous domains is proposed. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта Дослідження хвильових процесів у неоднорідних середовищах з умовами неідеального контакту Investigation of wave processes in inhomogeneous domains with non-ideal contact Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта |
| spellingShingle |
Исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта Гладкий, А.В. Системный анализ |
| title_short |
Исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта |
| title_full |
Исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта |
| title_fullStr |
Исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта |
| title_full_unstemmed |
Исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта |
| title_sort |
исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта |
| author |
Гладкий, А.В. |
| author_facet |
Гладкий, А.В. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2016 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Дослідження хвильових процесів у неоднорідних середовищах з умовами неідеального контакту Investigation of wave processes in inhomogeneous domains with non-ideal contact |
| description |
Рассмотрена задача численного моделирования и оптимизации волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта на основе параболического волнового уравнения типа Шредингера. Сформулирован критерий оптимальности, исследованы дифференциальные свойства оптимизационной задачи. Предложен численный метод для моделирования и оптимизации акустических полей в неоднородных средах.
Розглянуто задачу чисельного моделювання та оптимізації хвильових процесів у неоднорідних середовищах з умовами неідеального контакту на основі параболічного хвильового рівняння типу Шредінгера. Сформульовано критерій оптимальності, досліджено диференціальні властивості оптимізаційної задачі, запропоновано чисельний метод для моделювання та оптимізації акустичних полів у неоднорідних середовищах.
The problem of numerical modeling and optimization of wave processes in inhomogeneous domains with conditions of non-ideal contact on the basis of parabolic wave equation of Schrodinger type is considered. The optimality criterion is formulated. The differential properties of the optimization problem are investigated. A numerical method for modelling and optimization of acoustic fields in inhomogeneous domains is proposed.
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131414 |
| citation_txt |
Исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта / А.В. Гладкий // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 81-92. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT gladkiiav issledovanievolnovyhprocessovvneodnorodnyhsredahsusloviâmineidealʹnogokontakta AT gladkiiav doslídžennâhvilʹovihprocesívuneodnorídnihseredoviŝahzumovamineídealʹnogokontaktu AT gladkiiav investigationofwaveprocessesininhomogeneousdomainswithnonidealcontact |
| first_indexed |
2025-11-26T11:46:57Z |
| last_indexed |
2025-11-26T11:46:57Z |
| _version_ |
1850619992321556480 |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.9:519.6
À.Â. ÃËÀÄÊÈÉ
ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÂÎËÍÎÂÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ Â ÍÅÎÄÍÎÐÎÄÍÛÕ
ÑÐÅÄÀÕ Ñ ÓÑËÎÂÈßÌÈ ÍÅÈÄÅÀËÜÍÎÃÎ ÊÎÍÒÀÊÒÀ
Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíà çàäà÷à ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ è îïòèìèçàöèè âîëíîâûõ
ïðîöåññîâ â íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ ñ óñëîâèÿìè íåèäåàëüíîãî êîíòàêòà íà îñíîâå ïàðàáî-
ëè÷åñêîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ òèïà Øðåäèíãåðà. Ñôîðìóëèðîâàí êðèòåðèé îïòèìàëü-
íîñòè, èññëåäîâàíû äèôôåðåíöèàëüíûå ñâîéñòâà îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è. Ïðåäëîæåí
÷èñëåííûé ìåòîä äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ è îïòèìèçàöèè àêóñòè÷åñêèõ ïîëåé â íåîäíîðîäíûõ
ñðåäàõ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: àêóñòè÷åñêîå ïîëå, óðàâíåíèå òèïà Øðåäèíãåðà, ýêñòðåìàëüíàÿ çàäà÷à,
ðàçíîñòíàÿ ñõåìà, óñòîé÷èâîñòü.
 ïîñëåäíèå äåñÿòèëåòèÿ â àêóñòèêå îêåàíà äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ äèñòàíöèîííî-
ãî çîíäèðîâàíèÿ è àêóñòè÷åñêîãî ìîíèòîðèíãà ïîëó÷èëè ðàçâèòèå ÷èñëåííûå
è ÷èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ðàñïðî-
ñòðàíåíèÿ çâóêîâûõ âîëí [1–15]. Çíà÷èòåëüíûé èíòåðåñ, ïðåæäå âñåãî äëÿ
ìíîãèõ ðàçäåëîâ ãåîôèçèêè è àêóñòèêè îêåàíà, ïðåäñòàâëÿþò âîïðîñû ôîðìè-
ðîâàíèÿ àêóñòè÷åñêèõ ïîëåé ñ çàäàííûìè ñâîéñòâàìè, à òàêæå èññëåäîâàíèå
îñîáåííîñòåé ðàñïðîñòðàíåíèÿ çâóêîâûõ âîëí â íåîäíîðîäíûõ âîëíîâîäàõ
ñ ó÷åòîì òîíêèõ âêëþ÷åíèé. Ìàòåìàòè÷åñêèå òðóäíîñòè, âîçíèêàþùèå ïðè ðå-
øåíèè òàêèõ çàäà÷, ìîæíî ïðåîäîëåòü, èñïîëüçóÿ ìåòîäèêó àïïðîêñèìàöèè
âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà ïàðàáîëè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè [3–7], ÷òî ïðè-
âîäèò ê íåîáõîäèìîñòè ðàçðàáîòêè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ ïðÿìûõ è
ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèé òèïà Øðåäèíãåðà ñ êîìïëåêñíîçíà÷íûì
íåñàìîñîïðÿæåííûì îïåðàòîðîì.
 ñòàòüå ðàññìàòðèâàþòñÿ âîïðîñû ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ è îïòèìèçà-
öèè àêóñòè÷åñêèõ ïîëåé íà áàçå ïàðàáîëè÷åñêîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ â îñåñèì-
ìåòðè÷íîì íåîäíîðîäíîì äâóõñëîéíîì âîëíîâîäå ñ êóñî÷íî-íåïðåðûâíûìè (êó-
ñî÷íî-ïîñòîÿííûìè) àêóñòè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè è óñëîâèÿìè íåèäåàëüíîãî
êîíòàêòà, ÷òî ïîçâîëÿåò ó÷åñòü íàëè÷èå òîíêèõ âêëþ÷åíèé â âîëíîâîäå. Ïðåäëî-
æåí ÷èñëåííûé ìåòîä ðåøåíèÿ ïðÿìîé è îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷, èçó÷åíû äèô-
ôåðåíöèàëüíûå ñâîéñòâà ôóíêöèîíàëà êà÷åñòâà, èññëåäîâàíà óñòîé÷èâîñòü
ðàçíîñòíîé ñõåìû äëÿ ïðÿìîé è ñîïðÿæåííîé êðàåâûõ çàäà÷ ñ êîìïëåêñíîçíà÷-
íûì íåñàìîñîïðÿæåííûì îïåðàòîðîì.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
 öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ( , )r z , ãäå îñü z íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî âíèç,
ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ çâóêîâîãî ïîëÿ â ïîäâîäíîì ñëîèñòî-íåîäíî-
ðîäíîì îñåñèììåòðè÷íîì âîëíîâîäå GH , ïîëàãàÿ äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ÷òî
âîëíîâîä äâóõñëîéíûé ñ ãîðèçîíòàëüíîé ãðàíèöåé ðàçäåëà ñðåä �:
G G G r z r z H r z r zH � � � � � � � � � � � �1 2 0� � � � �{ 0 , } { 0 , }( , ), , ( , ), ,
G r z r z1 0� � � � � �{ 0 , }( , ), � , G r z r z H2 � � � � � �{ 0 , }( , ), � .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåðõíèé ñëîé G1 ñ àáñîëþòíî ìÿãêîé âåðõíåé ãðàíèöåé
z � 0 çàïîëíåí ñðåäîé ñ ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòüþ �1, ñêîðîñòüþ çâóêà c r z1 ( , ) è êî-
ýôôèöèåíòîì ïîãëîùåíèÿ �1 0( , )r z � . Íèæíèé ñëîé G2 õàðàêòåðèçóåòñÿ ìÿãêîé
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 81
� À.Â. Ãëàäêèé, 2016
ãðàíèöåé z H� , ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòüþ � 2 , ñêîðîñòüþ çâóêà c r z2 ( , ), êîýôôèöè-
åíòîì ïîãëîùåíèÿ � 2 0( , )r z � .
Òàêèì îáðàçîì, àêóñòè÷åñêèå ïàðàìåòðû ìîæíî îïèñàòü ñîîòíîøåíèÿìè
c r z
c r z z
c r z z H
r z
r
( , )
( , ), ,
( , ), ;
( , )
( ,
�
� �
� �
�
�
�1
2
10 �
�
�
� z z
r z z H
), ,
( , ), ;
0
2
� �
� �
�
�
�
� �
�
� �
� �
( )
, ,
, .
z
z
z H
�
� �
� �
�
�
1
2
0
Êîìïëåêñíîçíà÷íîå àêóñòè÷åñêîå äàâëåíèå P r z( , ), ñîçäàâàåìîå ãàðìîíè÷åñ-
êèì èñòî÷íèêîì â äâóõñëîéíîì íåîäíîðîäíîì îñåñèììåòðè÷íîì âîëíîâîäå
ñ òîíêîé ïðîñëîéêîé, âíå èñòî÷íèêà óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ãåëüìãîëüöà [1, 5]
1 1
0
2 0
r r
r
P
r
z
z z
P
z
k
c
c r
�
�
�
�
��
�
�
�
�
����
�
( )
( ) ( , )
( ( , ))
z
i r z P
�
�
�
�
�� � �
2
1 0� ,
z H�( , ) ( , )0 � �� , 0� � �r , (1)
óñëîâèþ íåèäåàëüíîãî êîíòàêòà
1
�
� �
( )
[ ]|
z
P
z
P z
�
�
�
�
�
�
�
� ,
1
�
� �
( )
[ ]|
z
P
z
P z
�
�
�
�
�
�
�
� , (2)
ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì
P Pz z H| , |� �� �0 0 0, (3)
à òàêæå óñëîâèÿì èçëó÷åíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè. Çäåñü P r z( , ) — êîìïëåêñíî-
çíà÷íîå ðåøåíèå, i � �1 — ìíèìàÿ åäèíèöà, k c0 0� � / — âîëíîâîå ÷èñëî,
c0 — íåêîòîðîå çíà÷åíèå ñêîðîñòè çâóêà c r z( , ), � — ÷àñòîòà, n r z2 ( , ) �
� �( / ( , )) ( ( , ))c c r z i r z0
2 1 � — êîìïëåêñíîçíà÷íûé êîýôôèöèåíò ïðåëîìëåíèÿ,
[ ( , )]| ( , ) ( , )f r z f r f rz� � � � �� � �0 0 , { }f f r f r� �� � �( , ) ( , )� �0 , � � 0 — êîýô-
ôèöèåíò, îïðåäåëÿåìûé ïàðàìåòðàìè òîíêîãî âêëþ÷åíèÿ è ó÷èòûâàþùèé âëè-
ÿíèå òîíêîé ïðîñëîéêè ñ ïëîòíîñòüþ � 0 è òîëùèíîé d ïóòåì çàìåíû åå ëè-
íèåé ðàçäåëà �, �( , )r z � 0 — êîýôôèöèåíò ïîãëîùåíèÿ.
Èç óñëîâèé (2) ñëåäóåò ðàçðûâíîñòü àêóñòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ, à òàêæå íåïðå-
ðûâíîñòü íîðìàëüíîé êîìïîíåíòû ñêîðîñòè ÷àñòèö íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä.
Ñëåäóÿ [16], ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî óñëîâèÿ íåèäåàëüíîãî êîíòàêòà íà ëèíèè ðàç-
äåëà � îïèñûâàþò âëèÿíèå òîíêîé ïðîñëîéêè ñ ïëîòíîñòüþ � 0 è òîëùèíîé d íà
ðàñïðîcòðàíåíèå àêóñòè÷åñêîé ýíåðãèè. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî îáû÷íûå óñëîâèÿ
èäåàëüíîãî êîíòàêòà [5], âûðàæàþùèå íåïðåðûâíîñòü äàâëåíèÿ è íîðìàëüíîé
êîìïîíåíòû ñêîðîñòè ÷àñòèö íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä, ìîæíî ïîëó÷èòü èç
óñëîâèé (2) ïðè � ��.
Ïðåäñòàâëÿÿ àêóñòè÷åñêîå äàâëåíèå ïðè k r0 1�� â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ôóíê-
öèè Õàíêåëÿ ïåðâîãî ðîäà íóëåâîãî ïîðÿäêà H
0
1( ) ( )� è ïëàâíîé àìïëèòóäû
p r z( , ), ïîäñòàâëÿåì âûðàæåíèå P r z H k r p r z( , ) ( ) ( , )( )�
0
1
0 â óðàâíåíèå (1). Ó÷èòû-
âàÿ, ÷òî ôóíêöèÿ Õàíêåëÿ y H k r�
0
1
0
( ) ( ) óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó
óðàâíåíèþ �� � � � �y
r
y k y
1
0
0
2 , à òàêæå åå àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ïðè
82 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2
k r0 1�� , H k r e k r
ik r
0
1
0 0
0( ) ( ) /� , äëÿ êîìïëåêñíîçíà÷íîé àìïëèòóäû p r z( , )
ïîëó÷àåì ýëëèïòè÷åñêîå âîëíîâîå óðàâíåíèå
2
1
0
2
2 0
2 2ik
p
r
p
r
z
z z
p
z
k n r
�
�
�
�
�
�
����
�
( )
( )
( ( , z p) )� �1 0.
Ïðåíåáðåãàÿ â ýòîì óðàâíåíèè ÷ëåíîì
2 2p r/ , ïðèõîäèì ê ðåøåíèþ ïàðà-
áîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ òèïà Øðåäèíãåðà ñ êîìïëåêñíîçíà÷íûì íåñàìîñîïðÿ-
æåííûì îïåðàòîðîì [3]
2
1
10 0
2 2ik
p
r
z
z z
p
z
k n r z p
�
�
�
�
�
��� � ��
�
( )
( )
( ( , ) ) 0 ,
z H�( , ) ( , )0 � �� , r r0 � � �, (4)
óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèÿì íåèäåàëüíîãî êîíòàêòà íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä �
1
�
� �
( )
[ ]|
z
p
z
p z
�
�
�
�
�
�
�
� ,
1
�
� �
( )
[ ]|
z
p
z
p z
�
�
�
�
�
�
�
� , (5)
ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì
p z| � �0 0, p z H| � � 0 (6)
è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ
p u zr r| ( )� �
0
. (7)
Îòìåòèì, ÷òî óçêîóãîëüíîå ïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå (4) îïèñûâàåò ðàñ-
ïðîñòðàíåíèå àêóñòè÷åñêèõ âîëí â íàïðàâëåíèÿõ, áëèçêèõ ê ãîðèçîíòàëüíîìó.
Èç (2), (3) ñ ó÷åòîì P r z H k r p r z( , ) ( ) ( , )( )�
0
1
0 âûòåêàþò ñîîòâåòñòâóþùèå
óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ è êðàåâûå óñëîâèÿ (5), (6) äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî âîëíîâîãî
óðàâíåíèÿ (4).
Ìàòåìàòè÷åñêóþ ïîñòàíîâêó îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è ñôîðìóëèðóåì êàê
ðåøåíèå âàðèàöèîííîé çàäà÷è ìèíèìèçàöèè íåêîòîðîãî ôóíêöèîíàëà â öåëÿõ
îáåñïå÷åíèÿ ìèíèìàëüíîãî îòêëîíåíèÿ õàðàêòåðèñòèê àêóñòè÷åñêîãî ïîëÿ îò çà-
äàííûõ â íåêîòîðîé îáëàñòè âîëíîâîäà. Ïðè ýòîì â êà÷åñòâå óïðàâëåíèÿ ïðèíè-
ìàåòñÿ íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è. Òîãäà îäíó èç
ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Òðåáóåòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü ôóíêöèîíàë
J u
z
z p R z p z dz
z
u z
H
�
�
� �
( )
( )
( ) | ( , ) ( )|
( )
| ( )|� � ��
1 1 1
0
2
0
2
2
0
dz
H
� (8)
ïðè óñëîâèè, ÷òî p r z u( , ; ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (4)–(7). Çäåñü
p R z p R z u( , ) ( , ; )� — ðåøåíèå çàäà÷è (4)–(7) ïðè r R� , r R0 � � �, ñîîòâåòñòâó-
þùåå óïðàâëåíèþ u z( ); ( )z � 0 — çàäàííàÿ íåïðåðûâíàÿ âåùåñòâåííàÿ
âåñîâàÿ ôóíêöèÿ; p z0 ( ) — çàäàííàÿ êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ; u z( ) —
êîìïëåêñíîçíà÷íîå óïðàâëåíèå èç íåêîòîðîãî âûïóêëîãî çàìêíóòîãî ìíî-
æåñòâà U u z L H� � �{ }( ) ( ), ( , ) ( , ), /2 1 0� � �� � � , ãäå L2 1, / ( )� � — ïðîñòðàíñòâî
êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ôóíêöèé, èíòåãðèðóåìûõ ñ êâàäðàòîì è âåñîì 1/ � â îáëàñòè �.
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìà â L2 1, / ( )� � îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 83
( , )
( )
( ) ( )u
z
u z z dz
�
� �
1
�
, | | | | ( , )
( )
| ( )|/
/
u u u
z
u z dz� �
�
�
�
�
�
��
1 2 2
1 2
1
�
�
,
ãäå ÷åðòà îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå.
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ âûäåëåíèÿ îãðàíè÷åííîãî ðåøåíèÿ â ôóíêöèîíàë êà-
÷åñòâà (8) äîáàâëåí ñòàáèëèçèðóþùèé ôóíêöèîíàë
1
2
2
�
| | | |u ïðè íåêîòîðîì çà-
äàííîì �� 0.
Òàêèì îáðàçîì, îïòèìèçàöèîííàÿ çàäà÷à ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè êîì-
ïëåêñíîçíà÷íîãî óïðàâëåíèÿ u U� , ïðè êîòîðîì ôóíêöèîíàë (8) äîñòèãàåò
ñâîåé íèæíåé ãðàíè
J w J u
u L
� �
�
( ) ( )
, / ( )
�
�
inf
2 1 �
. (9)
ÐÀÇÍÎÑÒÍÀß ÑÕÅÌÀ
Äëÿ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ çâóêîâûõ ïîëåé íà îñíîâå íà÷àëüíî-êðàåâîé
çàäà÷è (4)–(7) ñ êîìïëåêñíîçíà÷íûì íåñàìîñîïðÿæåííûì îïåðàòîðîì íàèáî-
ëåå óäîáíûì ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ñåòîê. Èçâåñòíî, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ýòîãî ìåòîäà
òðåáóåò èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè, ñõîäèìîñòè è îöåíêè ñêîðîñòè ñõîäèìîñ-
òè ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé ñõåìû [5, 17]. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè ðàññìîòðå-
íèè ðàçíîñòíûõ ñõåì íàèáîëåå âàæíûì ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ óñòîé÷èâîñòè ïî
íà÷àëüíûì äàííûì, ïîñêîëüêó ñâîéñòâî óñòîé÷èâîñòè ãàðàíòèðóåò íåâîçìîæ-
íîñòü íàêîïëåíèÿ îøèáîê, äîïóùåííûõ íà íåêîòîðîì øàãå âû÷èñëåíèé.
Ðàññìîòðèì áîëååå ïîäðîáíî íåêîòîðûå èç ýòèõ âîïðîñîâ.
 îáëàñòè GH äëÿ ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîé çàäà÷è
(4)–(7) ââåäåì ðàâíîìåðíóþ ñåòêó, ïðåäïîëàãàÿ ñîèçìåðèìîñòü îòðåçêîâ ( , )0 � ,
( , )� H è ó÷èòûâàÿ ðàçðûâíûé õàðàêòåð ðåøåíèÿ p r z( , ) ïðè z � �:
� � � � �� � �h h hr z r z� � � � �{ }( , ), , ,
� �� � � � � �{ }r r r m mm 0 0 1 2, , , , ... , � �� �� � � �{ }r r mm , 1 ,
� � � �h z h n h n h H h n H� � � � � �� �{ 0 1 11 1 1, , ..., ( ) , , , ( ) , ..., , / / N },
� �h hz z z H� � { }, ,0 .
 ñèëó ðàçðûâíîñòè ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿ y y r z� ( , ), àïïðîêñèìèðóþùàÿ p r z( , ),
èìååò â óçëàõ ( , )r �� äâà çíà÷åíèÿ, êîòîðûå îáîçíà÷èì y y rm
� � � �( , )� 0
� ��
�y r ym( , )�
�
.
Èñïîëüçóÿ èíòåãðî-èíòåðïîëÿöèîííûé ìåòîä [17], óðàâíåíèþ (4) ïîñòàâèì
â ñîîòâåòñòâèå â óçëàõ ( , )r z , r rm� ��� , z �� , äâóõñëîéíîå ðàçíîñòíîå
óðàâíåíèå
4 00ik b z y ay ay d r z y yr z z z z( ) ( � ) ( ) ( , )( � )� � � � � , (10)
ãäå ââåäåíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
y y r z y r z y y y y y y y y hm k k
m m
k k
m
r� � � � � � � ��( , ) ( , ) , � , ( � ) /1 ,
y y y h y y y hz k k z k k� � � �� �( ) / , ( ) /1 1 ,
( ) ( ( ) ) , (,ay
h
a y a a y a y a az z k k k
m
k k k
m
k k
m
k� � � � �� � � �
1
2 1 1 1 1
zk ).
84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2
Êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (10) îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè
a z
z h
h z
z H
b z( )
( , )
, ,
, ,
( )�
�
�
! !
� !
�
�
""
"
"
�
�
�
1
0 5
1
1
1
2
�
�
�
�
�
a z z
a z h z
( ), ,
( ), ,
� �
�
�
"
"
�
�
�
�
d r z
k r z
z
r z r z r z n( , )
~ ( , )
( )
, ~ ( , ) ( / , ), ( , )� � � �0
2
22
�
�
� � � � ( , ) –r z 1.
Óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ (5) àïïðîêñèìèðóåì ðàçíîñòíûìè óðàâíåíèÿìè
4
2
0ik ba z y
h
y y y y a z y y d rr z z( ) [ ( � � ) ( )( � )] ( ,� � � � � � �� � � �� z y y z)( � ) ,� � � �0 � ,
4
2
0ik a z h y
h
y y y y a z h y yr z z( ) [ ( � � ) ( )( � )]� � � � � � � � � �� � � ��
� � � � �d r z y y z( , )( � ) ,0 � . (11)
Ïîëüçóÿñü ðàçëîæåíèåì â ðÿä Òåéëîðà â òî÷êå ( , ), , ,r z r r zm h� � �0 5� � ,
ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèÿ (10), (11) àïïðîêñèìèðóþò äèôôåðåíöèàëüíîå
óðàâíåíèå (4) è óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ (5) ñ ïîãðåøíîñòüþ O h( )�2 2� .
Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíîé çàäà÷å (4)–(7) ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ðàç-
íîñòíóþ çàäà÷ó
4 00ik b z y ay ay d r z y yr z z z z( ) ( � ) ( ) ( , )( � )� � � � � , ( , ), , ,r z r r zm� � �� �� (12)
4
2
0ik b z y
h
y y y y a z y yr z z( ) [ ( � � ) ( )( � )]� � � � � � �� � � ��
� � � � �d r z y y z( , )( � ) ,0 � , (13)
4
2
0ik b z y
h
y y y y a z h y yr z z( ) [ ( � � ) ( )( � )]� � � � � � � � �� � � ��
� � � � �d r z y y z( , )( � ) ,0 � , (14)
y r y r H r( , ) ( , ) ,0 0� � ��� , (15)
ñ çàäàííûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì y r z( , )0 .
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ ðàçíîñòíîé ñõåìû (12)–(15) ââåäåì ãèëüáåðòîâî
ïðîñòðàíñòâî H Lh h� 2 ( )� êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ôóíêöèé, çàäàííûõ íà ñåòêå �h ,
îáðàùàþùèõñÿ â íóëü â ãðàíè÷íûõ óçëàõ è óäîâëåòâîðÿþùèõ ðàçíîñòíûì óñëî-
âèÿì ñîïðÿæåíèÿ. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìó â H h îïðåäåëèì ïî
ôîðìóëàì
( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ), | | |�
�
�
� �
� � �
� �� � � �� � � �
1 2
2 2
h h
| ( , ) /� � � 1 2 ,
ãäå ( , )�
�
1
1
11
�
�
�
# h k k
k
n
, ( , )�
�
2
1
1
1
�
� �
�
# h k k
k n
N
, à ÷åðòà îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå
ñîïðÿæåíèå.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 85
Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèÿ (12)–(15), çàäà÷å (4)–(7) ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîò-
âåòñòâèå äâóõñëîéíóþ íåÿâíóþ ðàçíîñòíóþ ñõåìó â îïåðàòîðíîé ôîðìå
4 00ik By A y y C y y rr � � � � � �( � ) ( � ) , �� , (16)
y0 çàäàíî. (17)
Çäåñü y0 , y H h� , y u z z h
0 � �{ }( ), � , y y r y r z z h� � �( ) ( , ),{ }� , B b z E� ( ) ,
C d r z E� ( , ) , ãäå E — òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð, à ëèíåéíûé êîìïëåêñíîçíà÷-
íûé îïåðàòîð A äåéñòâóåò â ïðîñòðàíñòâå H h è îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè
Ay
ay z z
h
y y a z y z
h
z z h
z�
�
� � �
�
�
� � �
( ) , , ,
[ ( ) ( ) ], ,
[
� �
� �
�
2
2
( ) ( ) ], .y y a z h y zz
� � �� � � �
�
�
"
""
"
"
"
�
Óñòîé÷èâîñòü ïî íà÷àëüíûì äàííûì áóäåì èññëåäîâàòü â ýíåðãåòè÷åñêîì
ïðîñòðàíñòâå H D , îïðåäåëÿåìîì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ( , ) ( , )y DyD� �� è
íîðìîé | | | | ( , ) /y Dy yD � 1 2 , ãäå D — íåêîòîðûé ( âîçìîæíî, çàâèñÿùèé îò r) ñàìî-
ñîïðÿæåííûé ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûé îïåðàòîð. Ïðèìåíèòåëüíî ê äâóõ-
ñëîéíîé ñõåìå (16), (17) ðàâíîìåðíàÿ óñòîé÷èâîñòü ïî íà÷àëüíûì äàííûì â H D
îçíà÷àåò âûïîëíåíèå ýíåðãåòè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà [18]
( , ) ( , ) , , , , .../ /Dy y Dy y mm m m m� � ! �1 1 1 2 1 2 0 1 2
Èìååò ìåñòî óòâåðæäåíèå.
Ëåììà 1. Ïóñòü y H h, �� . Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:
Im( , ( � )) (( �, � ) ( , ))iBy y y By y By yr � � �
1
�
,
(18)
( , ) ( , )Ay y A� �� . (19)
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (18) ó÷òåì, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ ìíè-
ìîé ÷àñòè èìååì
Im ( ( ) ( � )) [ ( )( ( � ) ( � ))]ib z y y y b z y y y y y yr r r� � � � �
1
2
.
Ó÷èòûâàÿ äàëåå âûðàæåíèå äëÿ îïåðàòîðà ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé, ïîñëå íå-
ñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé íàõîäèì
Im ( ( ) ( � )) ( )(| � | | | )ib z y y y b z y yr � � �
1 2 2
�
.
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ìíèìîé ÷àñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( , ( � ))iBy y yr � ïî-
ëó÷àåì
Im ( , � ) (( �, � ) ( , ))iBy y y By y By yr � � �
1
�
.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâà (19) âîñïîëüçóåìñÿ âòîðîé ðàçíîñòíîé ôîðìó-
ëîé Ãðèíà [18] äëÿ êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ôóíêöèé, çàäàííûõ íà ðàâíîìåðíîé ñåò-
êå �h ix ih i N� � �{ }, ,0 :
86 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2
( , ( ) ) (( ) , ) (( ) , ] [y a ay a a y ya ayz z z z z z z zh h
� �� � � � � � ]N �
� � �
�
�
#[ ], ( , ), ,y a a y y hyz z k k
k
N
h0 1 0 0 1 0
1
1
� . (20)
Íà îñíîâàíèè ôîðìóëû Ãðèíà (20) ñíà÷àëà ïðåîáðàçóåì ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäå-
íèÿ ( , ) , ( , )Ay Ay� �1 2 , ó÷èòûâàÿ, ÷òî a a� � 0, �0 0 0� �y . Òîãäà èìååì
( , ) ( , ) ( )Ay y A y yz z� �
�
� �
�1 1
1
1
� � � � , ( , ) ( , ) ( )Ay y A y yz z� �
�
� �
�2 2
2
1
� � � � .
Îòñþäà ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ñëåäóåò
( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )Ay Ay Ay
h
Ay
h
Ay� � � � �
� � � �
� � � � �� � � �1 2
2 2
� � � � � �
$
%
&
'
(
) ��
�
�
� �( , ) ( ) ( )y A y y y y yz z z�
�
� � �
�
�
�
�
�1
1 1
1 1
� � � � � � �
$
%
&
'
(
)�
�
�
� �( , ) ( ) ( )y A y y y y yz z z�
�
� � �
�
�
�
�
�2
2 2
1 1
�
� � � � � � �� � � � � � � �( , ) ( , ) ( )( )y A y A y y y yz z� � � � �
�
�
�
�1 2
1 2
1 1
�
� � � � �� � � �( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , )y A y A
h
y A
h
y A y A� � � � �
� � � �1 2
2 2
.
Òàêèì îáðàçîì, ñâîéñòâî (19) ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà A óñòàíîâëåíî.
Ïåðåéäåì ê àíàëèçó óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû (16), (17) ïî íà÷àëü-
íûì äàííûì. Ïðåäâàðèòåëüíî äîêàæåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó.
Òåîðåìà 1. Äëÿ ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé ñõåìû (16), (17) ñïðàâåäëèâî ýíåðãåòè-
÷åñêîå òîæäåñòâî
( �, � ) ( ( )( � ), � ) ( , )by y
k
d y y y y by y� � � �
�
4 0
Im . (21)
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óìíîæèì â ñìûñëå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( , )� � óðàâ-
íåíèå (16) íà âåëè÷èíó w y y� �� . Òîãäà, îòäåëÿÿ ìíèìóþ ÷àñòü ïîëó÷åííîãî
òîæäåñòâà, èìååì
Im { }4 00k iBy w Aw w Cw wr( , ) ( , ) ( , )� � � . (22)
Ñ ó÷åòîì Im { }( , ) ( , ) ( , )Aw w
i
Aw w w Aw� �
1
2
è ñâîéñòâà ñàìîñîïðÿæåííîñòè (19)
òîæäåñòâî (22) ïðèíèìàåò âèä
Im { }4 00k iBy w Cw wr( , ) ( , )� � . (23)
Âîñïîëüçîâàâøèñü äàëåå ëåììîé 1, òîæäåñòâî (23) ñ ó÷åòîì
Im Im ( ) = (Im ( ) = | | (Im( , ) , ) , ) ( ) | |/Cw w d w w d w w d y y� �1 2 2�
,
Im n r z c c r z r z2
0
2 0( , ) ( / ( , )) ( , )� ��
ïðåîáðàçóåì ê âèäó
4
00 1 2k
By y By y d y y
�
(( �, � ) ( , )) | | ( ) ( )| |/� � � �Im
�
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 87
Îòñþäà ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû.
Íà îñíîâàíèè òîæäåñòâà (21) ìîæíî óñòàíîâèòü åäèíñòâåííîñòü è ðàâíîìåð-
íóþ óñòîé÷èâîñòü ðàçíîñòíîé ñõåìû (16), (17) ïî íà÷àëüíûì äàííûì â íîðìå
ýíåðãåòè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ôóíêöèé H B .
Òåîðåìà 2. Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (16), (17) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
Òåîðåìà 3. Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (16), (17) ðàâíîìåðíî óñòîé÷èâà ïî íà÷àëüíûì
äàííûì â íîðìå H B , è äëÿ åå ðåøåíèÿ èìååò ìåñòî àïðèîðíàÿ îöåíêà
| | | | | | | |y ym
B
m
B
� !1 , m � 0 1 2, , ,�
Ïðÿìûì ñëåäñòâèåì ýòîãî íåðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ îöåíêà
| | | | | | | |y ym
B B! 0 , m � 0 1 2, , , ... ,
âûðàæàþùàÿ óñòîé÷èâîñòü ðàçíîñòíîé ñõåìû (16), (17) ïî íà÷àëüíûì äàííûì.
ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÝÊÑÒÐÅÌÀËÜÍÎÉ ÇÀÄÀ×È
 öåëÿõ èñïîëüçîâàíèÿ ãðàäèåíòíûõ ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè èññëåäóåì äèôôå-
ðåíöèàëüíûå ñâîéñòâà êðèòåðèÿ êà÷åñòâà (8). Ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèîíàë (8)
äèôôåðåíöèðóåìûé â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå u z U( )� â êîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâå
ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì
� � �u u, ( , )
Re . (24)
Äëÿ ýòîãî îöåíèì ãëàâíóþ ëèíåéíóþ ÷àñòü ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà
*J u J u h J u� � �( ) ( ) ( )� � � â çàâèñèìîñòè îò ïðèðàùåíèÿ óïðàâëåíèÿ h.
Ó÷èòûâàÿ êîìïëåêñíîçíà÷íîñòü óïðàâëåíèÿ u U� , ðàññìîòðèì ñëó÷àé àìïëè-
òóäíî-ôàçîâîãî óïðàâëåíèÿ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðèðàùåíèå ðåøåíèÿ � �p p r z� �( , )
� � �p r z u h p r z u( , ; ) ( , ; ) óäîâëåòâîðÿåò êðàåâîé çàäà÷å
2
1
10 0
2 2ik
p
r
z
z z
p
z
k n r z
�
�
�
�
�
��� �
�
�
�
�
( )
( )
( ( , ) )�p � 0,
z H�( , ) ( , )0 � �� , r r0 � � �, (25)
1
�
�
� � �
( )
[ ] |
z
p
z
p z
�
�
�
�
�
�
�
� ,
1
�
�
� � �
( )
[ ]|
z
p
z
p z
�
�
�
�
�
�
�
� , (26)
�p z| � �0 0, �p z H| � � 0, (27)
ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì
�p h zr r| ( ).� �
0
(28)
Ðàññìàòðèâàÿ òåïåðü âûðàæåíèå äëÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà (8), èìååì
*J u
z
z p u h p p u p
H
�
�
�
( )
( )
( )(| ( ) | | ( ) | ) (� � � � � ��
1 1
0
0
2
0
2
2
{ | | | | )}u h u dz� �2 2 ,
ãäå p u h p R z u h p u p R z u( ) ( , ; ), ( ) ( , ; )� � � � .
Ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðèðàùåíèå ôóíêöèîíàëà ìîæíî çàïè-
ñàòü â âèäå
88 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2
*J u
z
z p p u p dz
z
H H
�
�
�
� �
( )
( )
( ) ( ( ) )
( )
� � �� �2
1
2
1 1
0
0 2
0
Re Re hu dz �
� �
�
�
�
�
���
1 1
0
2
2
2
�
�
�( )
( )| | | |
z
z p h dz
H
. (29)
×òîáû îêîí÷àòåëüíî îïðåäåëèòü âûðàæåíèå äëÿ ãëàâíîé ëèíåéíîé ÷àñòè,
ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñîïðÿæåííóþ ôóíêöèþ
( , ) ( , ; )r z r z u� êàê ðåøåíèå
â îáëàñòè G r r R z HR � � � � �{ }0 0, êðàåâîé çàäà÷è
�
�
�
�
�
�
��� �2
1
10 0
2 2ik
r
z
z z z
k n r z
�
�
( )
( )
( ( , ) ) � 0,
z H�( , ) ( , )0 � �� , r r R0 � � , (30)
1
�
�
�
( )
[ ] |
z z
z
�
�
�
�
�
�
�
� ,
1
�
�
�
( )
[ ] |
z z
z
�
�
�
�
�
�
�
� , (31)
| z� �0 0,
| z H� � 0, (32)
| ( )( ( ) )r R z p u p� � � 0 . (33)
Ñôîðìóëèðîâàííóþ ñîïðÿæåííóþ çàäà÷ó (30)–(33) ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäó-
þùèì îáðàçîì. Óìíîæèì óðàâíåíèå (25) íà íåêîòîðóþ êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííóþ
ôóíêöèþ
( , )r z è ðåçóëüòàò ïðîèíòåãðèðóåì ñ âåñîì 1/ ( )� z ïî îáëàñòè GR ,
ó÷èòûâàÿ ðàçðûâíîñòü ôóíêöèè �( )z . Òîãäà ïîëó÷èì
dr
z
ik
p
r
z
z z
p
z
r
R
0
1
2
1
0� �
�
�
�
�
�
����
�
�
�
�
( )
( )
( )
�
k n r z p dz
0
2 2 1 0( ( , ) )�
�
�
�
�
�
� �� . (34)
Èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ, èìååì
dr ik
z
p
r
dz ik
z
R z p R z dz
r
R
2
1
2
1
0 0
0
�
�
�
�
( ) ( )
( , ) ( , )
���
�
��
�
� �
� �2
1
2
1
0 0 0 0ik
z
r z p r z dz dr ik
z
p
r
r
�
�
�
�
( )
( , ) ( , )
( )
� �0
R
dz� ,
dr
z z
p
z
dz dr
z
p
r
R
r
R
0 0
1 1
1
� � �
�
�
�
�
�� �
�
�
�
�
( )
�
z
dz dr
z
p
z
dz
r
R H�
�
�
�
�� �
�
�
�
�
�� �� � �
0 2
0
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �� �
�
� �
r
R
z
z
r
R
p
z
p
z
dr
0 0
1 1 1
1 1 0
0
�
�
�
�
�
�
2 2 0
1
�
�
�
�
�
�� �
� �
�
�
�
�
�
p
z
p
z
dr
z
z H
�
�
�
�
�
��� �dr p
z z z
dz
r
R
0
1
�
�
( )
�
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 89
Cîîòíîøåíèå (34) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
dr
z
p ik
r
z
z z z
k n
1
2
1
0 0
2 2
�
�
�
�
( )
( )
( )
(�
�
�
�
�
�
��� ( , ) )r z dz
r
R
�
�
�
�
�
�
� ��� 1
0
�
� ��2
1
2
1
0 0 0 0ik
z
R z p R z dz ik
z
r z p r
�
�
�
�
( )
( , ) ( , )
( )
( , ) ( ,
�
z dz) ��
�
(35)
�
�
�
�
�
�
�� �� �
�
� �
r
R
z
z
r
R
p
z
p
z
dr
0 0
1 1 1
1 1 0
0
�
�
�
�
�
�
2 2 0
1
0
�
�
�
�
�
�� �
� �
�
�
�
�
�
p
z
p
z
dr
z
z H
.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè ââåñòè â ðàññìîòðåíèå ñîïðÿæåííóþ ôóíêöèþ êàê
ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è (30)–(33), òî â ðåçóëüòàòå (35) ïðèìåò âèä
1 1
00 0
�
�
�
�
( )
( , ) ( , )
( )
( , ) ( , )
z
r z p r z dz
z
R z p R z dz� �� �
� �
.
Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Ëåììà 2. Ïóñòü �
p, — ðåøåíèÿ çàäà÷è (25)–(28) è (30)–(33) ñîîòâåòñòâåí-
íî. Òîãäà èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå
1 1
0 0
0�
�
�
�
( )
|
( )
|
z
p dz
z
p dz
H
r r
H
r R� �� �� . (36)
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå óñòàíîâëåííóþ ëåììó è íà÷àëüíîå óñëîâèå (28), ëåã-
êî âèäåòü, ÷òî åñëè äëÿ óðàâíåíèÿ (30) â êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ
|r R�
âûáðàòü óñëîâèå (33), òî âûðàæåíèå (29) äëÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà *J u� ( )
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
*J u
z
hdz
z
hu dz
H
r r
H
�
�
� �
( )
( )
|
( )
� � �� ��2
1 2 1
0
2
0
0
Re Re
� �
�
�
�
�
���
1 1
0
2
2
2
�
�
�( )
( )| | | |
z
z p h dz
H
. (37)
Äëÿ îöåíêè â (37) èíòåãðàëüíîãî ÷ëåíà, ñîäåðæàùåãî ïðèðàùåíèå ðåøåíèÿ �p,
âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùåé ëåììîé.
Ëåììà 3. Äëÿ êîìïëåêñíîçíà÷íîãî ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (4)–(7) ñïðàâåä-
ëèâà îöåíêà
| | ( , )| | | | ( )| |p R z u z! , r R0 � � �. (38)
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâà (38) óðàâíåíèå (4) óìíîæèì íà êîì-
ïëåêñíî-ñîïðÿæåííóþ ôóíêöèþ p r z u( , ; ) è ïðîèíòåãðèðóåì ñ âåñîì 1/ ( )� z ïî
îáëàñòè z H�( , )0 . Çàòåì, îòäåëèâ â ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè ìíèìóþ ÷àñòü, ïðè-
õîäèì ê ñîîòíîøåíèþ
k
z
p
r
p
p
r
p dz
i z z
p
z
0
1 1
2
1
� �( ) ( )
� �
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�� �
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��pdz
z z
p
z
pdz
�
1
�( )
� ��k
z
n r z p dz
0
2 2 21
0
�( )
( ( , ))| |
�
Im . (39)
90 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2
Ó÷èòûâàÿ óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ (5) è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (6), äëÿ âòîðîãî ñëà-
ãàåìîãî â (39) íàõîäèì
�
�
�
�
�� �
�
�
�
�
���z z
p
z
pdz
z z
p
z
pdz
1 1
� �( ) ( )
��
� � � � �� � � �� �� � � �[ ]| [ ]| [ ]| [ ]|p p p pz z z z 0.
Ïîýòîìó ñîîòíîøåíèå (39) ïðèíèìàåò âèä
1 1
0
2
� �( ) ( )
Im ( ( , ))| |
z
p
r
p
p
r
p dz k
z
n r z p
� �
� �
�
�
�
�
�
� � 2 0dz � . (40)
Èíòåãðèðóÿ (40) ïî r r R�( , )0 , ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ñ ó÷åòîì íà÷àëüíîãî
óñëîâèÿ (7) è íåðàâåíñòâà Im n r z c c r z r z2
0
2 0( , ) ( / ( , )) ( , )� �� â ðåçóëüòàòå ïîëó-
÷èì îöåíêó (38).
Îöåíêà (38) îçíà÷àåò åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è (4)–(7) è åãî íåïðå-
ðûâíóþ çàâèñèìîñòü îò íà÷àëüíûõ äàííûõ.
Ïîñêîëüêó ïðèðàùåíèå ðåøåíèÿ �p óäîâëåòâîðÿåò êðàåâîé çàäà÷å (25)–(28),
íà îñíîâàíèè îöåíêè (38) ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî
1 1
0
2
0
2 2
�
�
�( )
( )| | |
( )
| | | | | |
z
z p dz M
z
h dz M h
H
r R
H
� �� ! � , (41)
ãäå M — íåêîòîðàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.
Ó÷èòûâàÿ îöåíêó (41) â (37), ìîæíî îêîí÷àòåëüíî ïðåäñòàâèòü âûðàæåíèå
äëÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà * J u� ( ) â âèäå
*J u
z
hdz
z
hu dz o
H
r r
H
�
�
� �
( )
( )
|
( )
(| |� � �� ��2
1 2 1
0
2
0
0
Re Re h | | ).
Îòñþäà ñëåäóåò äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèîíàëà J u� ( ) ïî u z( ) â ïðîñòðàíñòâå
L
2
2 1( , / )� � äåéñòâèòåëüíûõ ïàð {Re Im }u u, .
Òàêèì îáðàçîì, óñòàíîâëåíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 4. Ôóíêöèîíàë (8) äèôôåðåíöèðóåìûé ïî Ôðåøå â ïðîñòðàíñòâå
L
2
2 1( , / )� � äåéñòâèòåëüíûõ ïàð {Re Im }u u, . Ãðàäèåíò ôóíêöèîíàëà îïðåäåëÿåòñÿ
âûðàæåíèåì
� � � �
�
�
�
�
�
J u r z u u r z u u�
�
�
( ) ( , ; ) , ( , ; )2
1 1
1 0 2 1 2 0 2 2 ,
ãäå
� �1 2i — ðåøåíèå ñîïðÿæåííîé çàäà÷è (30)–(33), u u z iu z� �1 2( ) ( ).
Èç èçëîæåííîãî ñëåäóåò, ÷òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ ãðàäèåíòà íåîáõîäèìî ïðè
ôèêñèðîâàííîì u z( ) ïîëó÷èòü ðåøåíèå äâóõ êðàåâûõ çàäà÷. Âíà÷àëå ñ ïîìîùüþ
ïðÿìîé çàäà÷è (4)–(7) íóæíî îïðåäåëèòü ôóíêöèþ p r z u( , ; ), çàòåì èç (30)–(33)
íàéòè çíà÷åíèå ñîïðÿæåííîé ôóíêöèè.
Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ (4)–(9) ìîæíî ïî-
ëó÷èòü, èñïîëüçóÿ ãðàäèåíòíûå ìåòîäû [17, 19], à òàêæå ïðåäëîæåííóþ äëÿ ÷èñ-
ëåííîãî ðåøåíèÿ ïðÿìîé çàäà÷è (4)–(7) ðàçíîñòíóþ ñõåìó (16), (17). Îòìåòèì,
÷òî äâóõñëîéíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (16), (17) ìîæåò áûòü íåïîñðåäñòâåííî ïðèìå-
íèìà è äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñîïðÿæåííîé çàäà÷è (30)–(33).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 91
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Á ð å õ î â ñ ê è õ Ë . Ì . , Ë û ñ à í î â Þ . Ï . Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû àêóñòèêè îêåàíà. — Ë.:
Ãèäðîìåòåîèçäàò, 1982. — 264 ñ.
2. Ð à ñ ï ð î ñ ò ð à í å í è å âîëí è ïîäâîäíàÿ àêóñòèêà / Ïîä ðåä. Äæ.Á. Êåëëåðà è Äæ. Ïàïàäàêè-
ñà. — Ì.: Ìèð, 1980. — 230 ñ.
3. Ò à ï ï å ð ò Ô . Ä . Ìåòîä ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ // Ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí â ïîäâîäíîé
àêóñòèêå. — Ì.: Ìèð, 1980. — Ñ. 180–226.
4. Ç à â à ä ñ ê è é Â . Þ . Ìîäåëèðîâàíèå âîëíîâûõ ïðîöåññîâ. — Ì.: Íàóêà, 1991. — 368 ñ.
5. à ë à ä ê è é À .  . , Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ñ ê î ï å ö ê è é  .  . ×èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèå
ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ âîëíîâûõ ïðîöåññîâ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2001. — 452 ñ.
6. L e e D . , M c D a n i e l S . T . Ocean acoustic propagation by finite difference method // Comput.
Math. Appl. — 1987. — 14. — P. 305–423.
7. L e e D . , P i e r s e A . D . , S h a n g E . C . Parabolic equation development in the twentieth
Century // J. Comput. Acoust. — 2000. — 1, N 4. — P. 527–637.
8. A t h a n a s o u l i s G . A . , B e l i b a s a k i s K . A . , M i t s o u d i s D . A . , K a m p a n i s N . A . ,
D o u g a l i s V . A . Coupled mode and finite element approximations of underwater sound
propagation problems in general stratified environments // J. Comput. Acoust. — 2008. — 6, N 1. —
P. 83–116.
9. M i t s o u d i s D . A . , M a k r i d a k i s C h . , P l e x o u s a k i s M . Helmholtz equation with
artificial boundary conditions in a two-dimensional waveguide // SIAM Journal on Mathematical
Analysis. — 2012. — 44. — P. 4320–4344.
10. M i t s o u d i s D . A . , K a m p a n i s N . A . , D o u g a l i s V . A . Finite element discretization of
the Helmholtz equation in an underwater acoustic waveguide // Effective Computational Methods in
Wave Propagation / N.A. Campanis, V.A. Dougalis and J.A. Ekaterinaris (eds.). — Boca Raton;
London; New York: CRC Press / Taylor & Francis, 2008. — P. 113–134.
11. À ë å ê ñ å å â à .  . , Ê î ì à ð î â Å . à . ×èñëåííîå èññëåäîâàíèå ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ òåîðèè
èçëó÷åíèÿ çâóêà â ïëîñêîì âîëíîâîäå // Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. — 1991. — 3, ¹ 12.
— Ñ. 52–64.
12. Ä à í è ë î â  . ß . , Ê ð à â ö î â Þ . À . , Í à ê î í å ÷ í û é À . à . Ìàòåìàòè÷åñêèå àñïåêòû
óïðàâëåíèÿ ãèäðîàêóñòè÷åñêèìè ïîëÿìè // Ôîðìèðîâàíèå àêóñòè÷åñêèõ ïîëåé â îêåàíè÷åñêèõ
âîëíîâîäàõ. — Í. Íîâãîðîä: ÈÏÔ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1991. — Ñ. 32–55.
13. B e r m u� d e z A . , G a m a l l o P . , R o d r i g u e z R . Finite element methods in local active
control of sound // SIAM J. Control and Optim. — 2004. — 43, N 2. — P. 437–465.
14. Ã ë à ä ê è é À . Â . Èññëåäîâàíèå è îïòèìèçàöèÿ âîëíîâûõ ïðîöåññîâ â íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ
ñ èìïåäàíñíîé ãðàíèöåé // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2013. — 49, ¹ 2. — C. 94–105.
15. M e y e r M . , H e r m a n d J . - P . Optimal nonlocal boundary control of the wide-angle parabolic
equation for inversion of a waveguide acoustic field // J. Acoust. Soc. Amer. — 2005. — 117, N 5.
— P. 2937–2948.
16. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ñ ê î ï å ö ê è é  .  . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëè-
ðîâàíèå è èññëåäîâàíèå ïðîöåññîâ â íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1991. — 432 ñ.
17. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . ,  à á è ù å â è ÷ Ï . Í . Âû÷èñëèòåëüíàÿ òåïëîïåðåäà÷à. — Ì.: Åäèòî-
ðèàë ÓÐÑÑ, 2003. — 784 ñ.
18. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . , à ó ë è í À .  . Óñòîé÷èâîñòü ðàçíîñòíûõ ñõåì. — Ì.: Íàóêà, 1973. —
416 ñ.
19. Â à ñ è ë ü å â Ï . Ô . Ìåòîäû îïòèìèçàöèè. — Ì.: Ôàêòîðèàë Ïðåññ, 2002. — 824 ñ.
Ïîñòóïèëà 27.10.2015
92 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2
|