Исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта

Рассмотрена задача численного моделирования и оптимизации волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта на основе параболического волнового уравнения типа Шредингера. Сформулирован критерий оптимальности, исследованы дифференциальные свойства оптимизационной задачи. Пре...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2016
Main Author:	Гладкий, А.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Series:	Кибернетика и системный анализ
Subjects:	Системный анализ
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131414
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта / А.В. Гладкий // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 81-92. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-131414
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1314142025-02-09T13:48:19Z Исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта Дослідження хвильових процесів у неоднорідних середовищах з умовами неідеального контакту Investigation of wave processes in inhomogeneous domains with non-ideal contact Гладкий, А.В. Системный анализ Рассмотрена задача численного моделирования и оптимизации волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта на основе параболического волнового уравнения типа Шредингера. Сформулирован критерий оптимальности, исследованы дифференциальные свойства оптимизационной задачи. Предложен численный метод для моделирования и оптимизации акустических полей в неоднородных средах. Розглянуто задачу чисельного моделювання та оптимізації хвильових процесів у неоднорідних середовищах з умовами неідеального контакту на основі параболічного хвильового рівняння типу Шредінгера. Сформульовано критерій оптимальності, досліджено диференціальні властивості оптимізаційної задачі, запропоновано чисельний метод для моделювання та оптимізації акустичних полів у неоднорідних середовищах. The problem of numerical modeling and optimization of wave processes in inhomogeneous domains with conditions of non-ideal contact on the basis of parabolic wave equation of Schrodinger type is considered. The optimality criterion is formulated. The differential properties of the optimization problem are investigated. A numerical method for modelling and optimization of acoustic fields in inhomogeneous domains is proposed. 2016 Article Исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта / А.В. Гладкий // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 81-92. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131414 517.9:519.6 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Гладкий, А.В. Исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта Кибернетика и системный анализ
description	Рассмотрена задача численного моделирования и оптимизации волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта на основе параболического волнового уравнения типа Шредингера. Сформулирован критерий оптимальности, исследованы дифференциальные свойства оптимизационной задачи. Предложен численный метод для моделирования и оптимизации акустических полей в неоднородных средах.
format	Article
author	Гладкий, А.В.
author_facet	Гладкий, А.В.
author_sort	Гладкий, А.В.
title	Исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта
title_short	Исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта
title_full	Исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта
title_fullStr	Исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта
title_full_unstemmed	Исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта
title_sort	исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Системный анализ
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131414
citation_txt	Исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта / А.В. Гладкий // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 81-92. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT gladkijav issledovanievolnovyhprocessovvneodnorodnyhsredahsusloviâmineidealʹnogokontakta AT gladkijav doslídžennâhvilʹovihprocesívuneodnorídnihseredoviŝahzumovamineídealʹnogokontaktu AT gladkijav investigationofwaveprocessesininhomogeneousdomainswithnonidealcontact
first_indexed	2025-11-26T11:46:57Z
last_indexed	2025-11-26T11:46:57Z
_version_	1849853340418048000
fulltext	ÓÄÊ 517.9:519.6 À.Â. ÃËÀÄÊÈÉ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÂÎËÍÎÂÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ Â ÍÅÎÄÍÎÐÎÄÍÛÕ ÑÐÅÄÀÕ Ñ ÓÑËÎÂÈßÌÈ ÍÅÈÄÅÀËÜÍÎÃÎ ÊÎÍÒÀÊÒÀ Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíà çàäà÷à ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ è îïòèìèçàöèè âîëíîâûõ ïðîöåññîâ â íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ ñ óñëîâèÿìè íåèäåàëüíîãî êîíòàêòà íà îñíîâå ïàðàáî- ëè÷åñêîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ òèïà Øðåäèíãåðà. Ñôîðìóëèðîâàí êðèòåðèé îïòèìàëü- íîñòè, èññëåäîâàíû äèôôåðåíöèàëüíûå ñâîéñòâà îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è. Ïðåäëîæåí ÷èñëåííûé ìåòîä äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ è îïòèìèçàöèè àêóñòè÷åñêèõ ïîëåé â íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ. Êëþ÷åâûå ñëîâà: àêóñòè÷åñêîå ïîëå, óðàâíåíèå òèïà Øðåäèíãåðà, ýêñòðåìàëüíàÿ çàäà÷à, ðàçíîñòíàÿ ñõåìà, óñòîé÷èâîñòü. Â ïîñëåäíèå äåñÿòèëåòèÿ â àêóñòèêå îêåàíà äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ äèñòàíöèîííî- ãî çîíäèðîâàíèÿ è àêóñòè÷åñêîãî ìîíèòîðèíãà ïîëó÷èëè ðàçâèòèå ÷èñëåííûå è ÷èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ðàñïðî- ñòðàíåíèÿ çâóêîâûõ âîëí [1–15]. Çíà÷èòåëüíûé èíòåðåñ, ïðåæäå âñåãî äëÿ ìíîãèõ ðàçäåëîâ ãåîôèçèêè è àêóñòèêè îêåàíà, ïðåäñòàâëÿþò âîïðîñû ôîðìè- ðîâàíèÿ àêóñòè÷åñêèõ ïîëåé ñ çàäàííûìè ñâîéñòâàìè, à òàêæå èññëåäîâàíèå îñîáåííîñòåé ðàñïðîñòðàíåíèÿ çâóêîâûõ âîëí â íåîäíîðîäíûõ âîëíîâîäàõ ñ ó÷åòîì òîíêèõ âêëþ÷åíèé. Ìàòåìàòè÷åñêèå òðóäíîñòè, âîçíèêàþùèå ïðè ðå- øåíèè òàêèõ çàäà÷, ìîæíî ïðåîäîëåòü, èñïîëüçóÿ ìåòîäèêó àïïðîêñèìàöèè âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà ïàðàáîëè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè [3–7], ÷òî ïðè- âîäèò ê íåîáõîäèìîñòè ðàçðàáîòêè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ ïðÿìûõ è ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèé òèïà Øðåäèíãåðà ñ êîìïëåêñíîçíà÷íûì íåñàìîñîïðÿæåííûì îïåðàòîðîì. Â ñòàòüå ðàññìàòðèâàþòñÿ âîïðîñû ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ è îïòèìèçà- öèè àêóñòè÷åñêèõ ïîëåé íà áàçå ïàðàáîëè÷åñêîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ â îñåñèì- ìåòðè÷íîì íåîäíîðîäíîì äâóõñëîéíîì âîëíîâîäå ñ êóñî÷íî-íåïðåðûâíûìè (êó- ñî÷íî-ïîñòîÿííûìè) àêóñòè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè è óñëîâèÿìè íåèäåàëüíîãî êîíòàêòà, ÷òî ïîçâîëÿåò ó÷åñòü íàëè÷èå òîíêèõ âêëþ÷åíèé â âîëíîâîäå. Ïðåäëî- æåí ÷èñëåííûé ìåòîä ðåøåíèÿ ïðÿìîé è îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷, èçó÷åíû äèô- ôåðåíöèàëüíûå ñâîéñòâà ôóíêöèîíàëà êà÷åñòâà, èññëåäîâàíà óñòîé÷èâîñòü ðàçíîñòíîé ñõåìû äëÿ ïðÿìîé è ñîïðÿæåííîé êðàåâûõ çàäà÷ ñ êîìïëåêñíîçíà÷- íûì íåñàìîñîïðÿæåííûì îïåðàòîðîì. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È Â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ( , )r z , ãäå îñü z íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî âíèç, ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ çâóêîâîãî ïîëÿ â ïîäâîäíîì ñëîèñòî-íåîäíî- ðîäíîì îñåñèììåòðè÷íîì âîëíîâîäå GH , ïîëàãàÿ äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ÷òî âîëíîâîä äâóõñëîéíûé ñ ãîðèçîíòàëüíîé ãðàíèöåé ðàçäåëà ñðåä �: G G G r z r z H r z r zH � � � � � � � � � � � �1 2 0� � � � �{ 0 , } { 0 , }( , ), , ( , ), , G r z r z1 0� � � � � �{ 0 , }( , ), � , G r z r z H2 � � � � � �{ 0 , }( , ), � . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåðõíèé ñëîé G1 ñ àáñîëþòíî ìÿãêîé âåðõíåé ãðàíèöåé z � 0 çàïîëíåí ñðåäîé ñ ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòüþ �1, ñêîðîñòüþ çâóêà c r z1 ( , ) è êî- ýôôèöèåíòîì ïîãëîùåíèÿ �1 0( , )r z � . Íèæíèé ñëîé G2 õàðàêòåðèçóåòñÿ ìÿãêîé ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 81 � À.Â. Ãëàäêèé, 2016 ãðàíèöåé z H� , ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòüþ � 2 , ñêîðîñòüþ çâóêà c r z2 ( , ), êîýôôèöè- åíòîì ïîãëîùåíèÿ � 2 0( , )r z � . Òàêèì îáðàçîì, àêóñòè÷åñêèå ïàðàìåòðû ìîæíî îïèñàòü ñîîòíîøåíèÿìè c r z c r z z c r z z H r z r ( , ) ( , ), , ( , ), ; ( , ) ( , � � � � � � � �1 2 10 � � � � z z r z z H ), , ( , ), ; 0 2 � � � � � � � � � � � � � � ( ) , , , . z z z H � � � � � � � 1 2 0 Êîìïëåêñíîçíà÷íîå àêóñòè÷åñêîå äàâëåíèå P r z( , ), ñîçäàâàåìîå ãàðìîíè÷åñ- êèì èñòî÷íèêîì â äâóõñëîéíîì íåîäíîðîäíîì îñåñèììåòðè÷íîì âîëíîâîäå ñ òîíêîé ïðîñëîéêîé, âíå èñòî÷íèêà óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ãåëüìãîëüöà [1, 5] 1 1 0 2 0 r r r P r z z z P z k c c r � � � � �� ( ) ( ) ( , ) ( ( , )) z i r z P � � � � �� 2 1 0� , z H�( , ) ( , )0 � �� , 0� � �r , (1) óñëîâèþ íåèäåàëüíîãî êîíòàêòà 1 � � � ( ) [ ]\| z P z P z � � � � � � � � , 1 � � � ( ) [ ]\| z P z P z � � � � � � � � , (2) ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì P Pz z H\| , \|� �� 0 0 0, (3) à òàêæå óñëîâèÿì èçëó÷åíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè. Çäåñü P r z( , ) — êîìïëåêñíî- çíà÷íîå ðåøåíèå, i � �1 — ìíèìàÿ åäèíèöà, k c0 0� � / — âîëíîâîå ÷èñëî, c0 — íåêîòîðîå çíà÷åíèå ñêîðîñòè çâóêà c r z( , ), � — ÷àñòîòà, n r z2 ( , ) � � �( / ( , )) ( ( , ))c c r z i r z0 2 1 � — êîìïëåêñíîçíà÷íûé êîýôôèöèåíò ïðåëîìëåíèÿ, [ ( , )]\| ( , ) ( , )f r z f r f rz� � � � �� 0 0 , { }f f r f r� �� ( , ) ( , )� �0 , � � 0 — êîýô- ôèöèåíò, îïðåäåëÿåìûé ïàðàìåòðàìè òîíêîãî âêëþ÷åíèÿ è ó÷èòûâàþùèé âëè- ÿíèå òîíêîé ïðîñëîéêè ñ ïëîòíîñòüþ � 0 è òîëùèíîé d ïóòåì çàìåíû åå ëè- íèåé ðàçäåëà �, �( , )r z � 0 — êîýôôèöèåíò ïîãëîùåíèÿ. Èç óñëîâèé (2) ñëåäóåò ðàçðûâíîñòü àêóñòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ, à òàêæå íåïðå- ðûâíîñòü íîðìàëüíîé êîìïîíåíòû ñêîðîñòè ÷àñòèö íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä. Ñëåäóÿ [16], ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî óñëîâèÿ íåèäåàëüíîãî êîíòàêòà íà ëèíèè ðàç- äåëà � îïèñûâàþò âëèÿíèå òîíêîé ïðîñëîéêè ñ ïëîòíîñòüþ � 0 è òîëùèíîé d íà ðàñïðîcòðàíåíèå àêóñòè÷åñêîé ýíåðãèè. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî îáû÷íûå óñëîâèÿ èäåàëüíîãî êîíòàêòà [5], âûðàæàþùèå íåïðåðûâíîñòü äàâëåíèÿ è íîðìàëüíîé êîìïîíåíòû ñêîðîñòè ÷àñòèö íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä, ìîæíî ïîëó÷èòü èç óñëîâèé (2) ïðè � ��. Ïðåäñòàâëÿÿ àêóñòè÷åñêîå äàâëåíèå ïðè k r0 1�� â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ôóíê- öèè Õàíêåëÿ ïåðâîãî ðîäà íóëåâîãî ïîðÿäêà H 0 1( ) ( )� è ïëàâíîé àìïëèòóäû p r z( , ), ïîäñòàâëÿåì âûðàæåíèå P r z H k r p r z( , ) ( ) ( , )( )� 0 1 0 â óðàâíåíèå (1). Ó÷èòû- âàÿ, ÷òî ôóíêöèÿ Õàíêåëÿ y H k r� 0 1 0 ( ) ( ) óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ �� y r y k y 1 0 0 2 , à òàêæå åå àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ïðè 82 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 k r0 1�� , H k r e k r ik r 0 1 0 0 0( ) ( ) /� , äëÿ êîìïëåêñíîçíà÷íîé àìïëèòóäû p r z( , ) ïîëó÷àåì ýëëèïòè÷åñêîå âîëíîâîå óðàâíåíèå 2 1 0 2 2 0 2 2ik p r p r z z z p z k n r � � � � � � �� ( ) ( ) ( ( , z p) )� �1 0. Ïðåíåáðåãàÿ â ýòîì óðàâíåíèè ÷ëåíîì 2 2p r/ , ïðèõîäèì ê ðåøåíèþ ïàðà- áîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ òèïà Øðåäèíãåðà ñ êîìïëåêñíîçíà÷íûì íåñàìîñîïðÿ- æåííûì îïåðàòîðîì [3] 2 1 10 0 2 2ik p r z z z p z k n r z p � � � � � �� ( ) ( ) ( ( , ) ) 0 , z H�( , ) ( , )0 � �� , r r0 � � �, (4) óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèÿì íåèäåàëüíîãî êîíòàêòà íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä � 1 � � � ( ) [ ]\| z p z p z � � � � � � � � , 1 � � � ( ) [ ]\| z p z p z � � � � � � � � , (5) ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì p z\| � �0 0, p z H\| � � 0 (6) è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ p u zr r\| ( )� � 0 . (7) Îòìåòèì, ÷òî óçêîóãîëüíîå ïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå (4) îïèñûâàåò ðàñ- ïðîñòðàíåíèå àêóñòè÷åñêèõ âîëí â íàïðàâëåíèÿõ, áëèçêèõ ê ãîðèçîíòàëüíîìó. Èç (2), (3) ñ ó÷åòîì P r z H k r p r z( , ) ( ) ( , )( )� 0 1 0 âûòåêàþò ñîîòâåòñòâóþùèå óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ è êðàåâûå óñëîâèÿ (5), (6) äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (4). Ìàòåìàòè÷åñêóþ ïîñòàíîâêó îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è ñôîðìóëèðóåì êàê ðåøåíèå âàðèàöèîííîé çàäà÷è ìèíèìèçàöèè íåêîòîðîãî ôóíêöèîíàëà â öåëÿõ îáåñïå÷åíèÿ ìèíèìàëüíîãî îòêëîíåíèÿ õàðàêòåðèñòèê àêóñòè÷åñêîãî ïîëÿ îò çà- äàííûõ â íåêîòîðîé îáëàñòè âîëíîâîäà. Ïðè ýòîì â êà÷åñòâå óïðàâëåíèÿ ïðèíè- ìàåòñÿ íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è. Òîãäà îäíó èç ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Òðåáóåòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü ôóíêöèîíàë J u z z p R z p z dz z u z H � � � � ( ) ( ) ( ) \| ( , ) ( )\| ( ) \| ( )\|� � �� 1 1 1 0 2 0 2 2 0 dz H � (8) ïðè óñëîâèè, ÷òî p r z u( , ; ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (4)–(7). Çäåñü p R z p R z u( , ) ( , ; )� — ðåøåíèå çàäà÷è (4)–(7) ïðè r R� , r R0 � � �, ñîîòâåòñòâó- þùåå óïðàâëåíèþ u z( ); ( )z � 0 — çàäàííàÿ íåïðåðûâíàÿ âåùåñòâåííàÿ âåñîâàÿ ôóíêöèÿ; p z0 ( ) — çàäàííàÿ êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ; u z( ) — êîìïëåêñíîçíà÷íîå óïðàâëåíèå èç íåêîòîðîãî âûïóêëîãî çàìêíóòîãî ìíî- æåñòâà U u z L H� � �{ }( ) ( ), ( , ) ( , ), /2 1 0� � �� , ãäå L2 1, / ( )� � — ïðîñòðàíñòâî êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ôóíêöèé, èíòåãðèðóåìûõ ñ êâàäðàòîì è âåñîì 1/ � â îáëàñòè �. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìà â L2 1, / ( )� � îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 83 ( , ) ( ) ( ) ( )u z u z z dz � � � 1 � , \| \| \| \| ( , ) ( ) \| ( )\|/ / u u u z u z dz� � � � � � � �� 1 2 2 1 2 1 � � , ãäå ÷åðòà îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ âûäåëåíèÿ îãðàíè÷åííîãî ðåøåíèÿ â ôóíêöèîíàë êà- ÷åñòâà (8) äîáàâëåí ñòàáèëèçèðóþùèé ôóíêöèîíàë 1 2 2 � \| \| \| \|u ïðè íåêîòîðîì çà- äàííîì �� 0. Òàêèì îáðàçîì, îïòèìèçàöèîííàÿ çàäà÷à ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè êîì- ïëåêñíîçíà÷íîãî óïðàâëåíèÿ u U� , ïðè êîòîðîì ôóíêöèîíàë (8) äîñòèãàåò ñâîåé íèæíåé ãðàíè J w J u u L � � � ( ) ( ) , / ( ) � � inf 2 1 � . (9) ÐÀÇÍÎÑÒÍÀß ÑÕÅÌÀ Äëÿ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ çâóêîâûõ ïîëåé íà îñíîâå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (4)–(7) ñ êîìïëåêñíîçíà÷íûì íåñàìîñîïðÿæåííûì îïåðàòîðîì íàèáî- ëåå óäîáíûì ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ñåòîê. Èçâåñòíî, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ýòîãî ìåòîäà òðåáóåò èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè, ñõîäèìîñòè è îöåíêè ñêîðîñòè ñõîäèìîñ- òè ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé ñõåìû [5, 17]. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè ðàññìîòðå- íèè ðàçíîñòíûõ ñõåì íàèáîëåå âàæíûì ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ óñòîé÷èâîñòè ïî íà÷àëüíûì äàííûì, ïîñêîëüêó ñâîéñòâî óñòîé÷èâîñòè ãàðàíòèðóåò íåâîçìîæ- íîñòü íàêîïëåíèÿ îøèáîê, äîïóùåííûõ íà íåêîòîðîì øàãå âû÷èñëåíèé. Ðàññìîòðèì áîëååå ïîäðîáíî íåêîòîðûå èç ýòèõ âîïðîñîâ. Â îáëàñòè GH äëÿ ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîé çàäà÷è (4)–(7) ââåäåì ðàâíîìåðíóþ ñåòêó, ïðåäïîëàãàÿ ñîèçìåðèìîñòü îòðåçêîâ ( , )0 � , ( , )� H è ó÷èòûâàÿ ðàçðûâíûé õàðàêòåð ðåøåíèÿ p r z( , ) ïðè z � �: � � � � �� h h hr z r z� � � � �{ }( , ), , , � �� { }r r r m mm 0 0 1 2, , , , ... , � �� { }r r mm , 1 , � � � �h z h n h n h H h n H� � � � � �� { 0 1 11 1 1, , ..., ( ) , , , ( ) , ..., , / / N }, � �h hz z z H� � { }, ,0 . Â ñèëó ðàçðûâíîñòè ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿ y y r z� ( , ), àïïðîêñèìèðóþùàÿ p r z( , ), èìååò â óçëàõ ( , )r �� äâà çíà÷åíèÿ, êîòîðûå îáîçíà÷èì y y rm � � � �( , )� 0 � �� y r ym( , )� � . Èñïîëüçóÿ èíòåãðî-èíòåðïîëÿöèîííûé ìåòîä [17], óðàâíåíèþ (4) ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå â óçëàõ ( , )r z , r rm� �� , z �� , äâóõñëîéíîå ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå 4 00ik b z y ay ay d r z y yr z z z z( ) ( � ) ( ) ( , )( � )� � � � � , (10) ãäå ââåäåíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: y y r z y r z y y y y y y y y hm k k m m k k m r� � � � � � � ��( , ) ( , ) , � , ( � ) /1 , y y y h y y y hz k k z k k� � � �� ( ) / , ( ) /1 1 , ( ) ( ( ) ) , (,ay h a y a a y a y a az z k k k m k k k m k k m k� � � � �� 1 2 1 1 1 1 zk ). 84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 Êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (10) îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè a z z h h z z H b z( ) ( , ) , , , , ( )� � � ! ! � ! � � "" " " � � � 1 0 5 1 1 1 2 � � � � � a z z a z h z ( ), , ( ), , � � � � " " � � � � d r z k r z z r z r z r z n( , ) ~ ( , ) ( ) , ~ ( , ) ( / , ), ( , )� � � �0 2 22 � � � � � � ( , ) –r z 1. Óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ (5) àïïðîêñèìèðóåì ðàçíîñòíûìè óðàâíåíèÿìè 4 2 0ik ba z y h y y y y a z y y d rr z z( ) [ ( � � ) ( )( � )] ( ,� � � � � � �� z y y z)( � ) ,� � � �0 � , 4 2 0ik a z h y h y y y y a z h y yr z z( ) [ ( � � ) ( )( � )]� � � � � � � � � �� d r z y y z( , )( � ) ,0 � . (11) Ïîëüçóÿñü ðàçëîæåíèåì â ðÿä Òåéëîðà â òî÷êå ( , ), , ,r z r r zm h� � �0 5� � , ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèÿ (10), (11) àïïðîêñèìèðóþò äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (4) è óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ (5) ñ ïîãðåøíîñòüþ O h( )�2 2� . Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíîé çàäà÷å (4)–(7) ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ðàç- íîñòíóþ çàäà÷ó 4 00ik b z y ay ay d r z y yr z z z z( ) ( � ) ( ) ( , )( � )� � � � � , ( , ), , ,r z r r zm� � �� (12) 4 2 0ik b z y h y y y y a z y yr z z( ) [ ( � � ) ( )( � )]� � � � � � �� d r z y y z( , )( � ) ,0 � , (13) 4 2 0ik b z y h y y y y a z h y yr z z( ) [ ( � � ) ( )( � )]� � � � � � � � �� d r z y y z( , )( � ) ,0 � , (14) y r y r H r( , ) ( , ) ,0 0� � �� , (15) ñ çàäàííûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì y r z( , )0 . Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ ðàçíîñòíîé ñõåìû (12)–(15) ââåäåì ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî H Lh h� 2 ( )� êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ôóíêöèé, çàäàííûõ íà ñåòêå �h , îáðàùàþùèõñÿ â íóëü â ãðàíè÷íûõ óçëàõ è óäîâëåòâîðÿþùèõ ðàçíîñòíûì óñëî- âèÿì ñîïðÿæåíèÿ. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìó â H h îïðåäåëèì ïî ôîðìóëàì ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ), \| \| \|� � � � � � � � � �� 1 2 2 2 h h \| ( , ) /� � � 1 2 , ãäå ( , )� � 1 1 11 � � � # h k k k n , ( , )� � 2 1 1 1 � � � � # h k k k n N , à ÷åðòà îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 85 Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèÿ (12)–(15), çàäà÷å (4)–(7) ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîò- âåòñòâèå äâóõñëîéíóþ íåÿâíóþ ðàçíîñòíóþ ñõåìó â îïåðàòîðíîé ôîðìå 4 00ik By A y y C y y rr � � � � � �( � ) ( � ) , �� , (16) y0 çàäàíî. (17) Çäåñü y0 , y H h� , y u z z h 0 � �{ }( ), � , y y r y r z z h� � �( ) ( , ),{ }� , B b z E� ( ) , C d r z E� ( , ) , ãäå E — òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð, à ëèíåéíûé êîìïëåêñíîçíà÷- íûé îïåðàòîð A äåéñòâóåò â ïðîñòðàíñòâå H h è îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè Ay ay z z h y y a z y z h z z h z� � � � � � � � � � ( ) , , , [ ( ) ( ) ], , [ � � � � � 2 2 ( ) ( ) ], .y y a z h y zz � � �� " "" " " " � Óñòîé÷èâîñòü ïî íà÷àëüíûì äàííûì áóäåì èññëåäîâàòü â ýíåðãåòè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå H D , îïðåäåëÿåìîì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ( , ) ( , )y DyD� �� è íîðìîé \| \| \| \| ( , ) /y Dy yD � 1 2 , ãäå D — íåêîòîðûé ( âîçìîæíî, çàâèñÿùèé îò r) ñàìî- ñîïðÿæåííûé ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûé îïåðàòîð. Ïðèìåíèòåëüíî ê äâóõ- ñëîéíîé ñõåìå (16), (17) ðàâíîìåðíàÿ óñòîé÷èâîñòü ïî íà÷àëüíûì äàííûì â H D îçíà÷àåò âûïîëíåíèå ýíåðãåòè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà [18] ( , ) ( , ) , , , , .../ /Dy y Dy y mm m m m� � ! �1 1 1 2 1 2 0 1 2 Èìååò ìåñòî óòâåðæäåíèå. Ëåììà 1. Ïóñòü y H h, �� . Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ: Im( , ( � )) (( �, � ) ( , ))iBy y y By y By yr � � � 1 � , (18) ( , ) ( , )Ay y A� �� . (19) Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (18) ó÷òåì, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ ìíè- ìîé ÷àñòè èìååì Im ( ( ) ( � )) [ ( )( ( � ) ( � ))]ib z y y y b z y y y y y yr r r� � � � � 1 2 . Ó÷èòûâàÿ äàëåå âûðàæåíèå äëÿ îïåðàòîðà ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé, ïîñëå íå- ñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé íàõîäèì Im ( ( ) ( � )) ( )(\| � \| \| \| )ib z y y y b z y yr � � � 1 2 2 � . Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ìíèìîé ÷àñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( , ( � ))iBy y yr � ïî- ëó÷àåì Im ( , � ) (( �, � ) ( , ))iBy y y By y By yr � � � 1 � . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâà (19) âîñïîëüçóåìñÿ âòîðîé ðàçíîñòíîé ôîðìó- ëîé Ãðèíà [18] äëÿ êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ôóíêöèé, çàäàííûõ íà ðàâíîìåðíîé ñåò- êå �h ix ih i N� � �{ }, ,0 : 86 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 ( , ( ) ) (( ) , ) (( ) , ] [y a ay a a y ya ayz z z z z z z zh h � �� ]N � � � � � � #[ ], ( , ), ,y a a y y hyz z k k k N h0 1 0 0 1 0 1 1 � . (20) Íà îñíîâàíèè ôîðìóëû Ãðèíà (20) ñíà÷àëà ïðåîáðàçóåì ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäå- íèÿ ( , ) , ( , )Ay Ay� �1 2 , ó÷èòûâàÿ, ÷òî a a� � 0, �0 0 0� �y . Òîãäà èìååì ( , ) ( , ) ( )Ay y A y yz z� � � � � �1 1 1 1 � � � � , ( , ) ( , ) ( )Ay y A y yz z� � � � � �2 2 2 1 � � � � . Îòñþäà ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ñëåäóåò ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )Ay Ay Ay h Ay h Ay� � � � � � � � � � � � � �� 1 2 2 2 � � � � � � $ % & ' ( ) �� ( , ) ( ) ( )y A y y y y yz z z� � � � � � � � � �1 1 1 1 1 � � � � � � � $ % & ' ( )� � � � �( , ) ( ) ( )y A y y y y yz z z� � � � � � � � � �2 2 2 1 1 � � � � � � � �� ( , ) ( , ) ( )( )y A y A y y y yz z� � � � � � � � �1 2 1 2 1 1 � � � � � �� ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , )y A y A h y A h y A y A� � � � � � � � �1 2 2 2 . Òàêèì îáðàçîì, ñâîéñòâî (19) ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà A óñòàíîâëåíî. Ïåðåéäåì ê àíàëèçó óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû (16), (17) ïî íà÷àëü- íûì äàííûì. Ïðåäâàðèòåëüíî äîêàæåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó. Òåîðåìà 1. Äëÿ ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé ñõåìû (16), (17) ñïðàâåäëèâî ýíåðãåòè- ÷åñêîå òîæäåñòâî ( �, � ) ( ( )( � ), � ) ( , )by y k d y y y y by y� � � � � 4 0 Im . (21) Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óìíîæèì â ñìûñëå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( , )� � óðàâ- íåíèå (16) íà âåëè÷èíó w y y� �� . Òîãäà, îòäåëÿÿ ìíèìóþ ÷àñòü ïîëó÷åííîãî òîæäåñòâà, èìååì Im { }4 00k iBy w Aw w Cw wr( , ) ( , ) ( , )� � � . (22) Ñ ó÷åòîì Im { }( , ) ( , ) ( , )Aw w i Aw w w Aw� � 1 2 è ñâîéñòâà ñàìîñîïðÿæåííîñòè (19) òîæäåñòâî (22) ïðèíèìàåò âèä Im { }4 00k iBy w Cw wr( , ) ( , )� � . (23) Âîñïîëüçîâàâøèñü äàëåå ëåììîé 1, òîæäåñòâî (23) ñ ó÷åòîì Im Im ( ) = (Im ( ) = \| \| (Im( , ) , ) , ) ( ) \| \|/Cw w d w w d w w d y y� �1 2 2� , Im n r z c c r z r z2 0 2 0( , ) ( / ( , )) ( , )� �� ïðåîáðàçóåì ê âèäó 4 00 1 2k By y By y d y y � (( �, � ) ( , )) \| \| ( ) ( )\| \|/� � � �Im � . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 87 Îòñþäà ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû. Íà îñíîâàíèè òîæäåñòâà (21) ìîæíî óñòàíîâèòü åäèíñòâåííîñòü è ðàâíîìåð- íóþ óñòîé÷èâîñòü ðàçíîñòíîé ñõåìû (16), (17) ïî íà÷àëüíûì äàííûì â íîðìå ýíåðãåòè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ôóíêöèé H B . Òåîðåìà 2. Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (16), (17) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Òåîðåìà 3. Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (16), (17) ðàâíîìåðíî óñòîé÷èâà ïî íà÷àëüíûì äàííûì â íîðìå H B , è äëÿ åå ðåøåíèÿ èìååò ìåñòî àïðèîðíàÿ îöåíêà \| \| \| \| \| \| \| \|y ym B m B � !1 , m � 0 1 2, , ,� Ïðÿìûì ñëåäñòâèåì ýòîãî íåðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ îöåíêà \| \| \| \| \| \| \| \|y ym B B! 0 , m � 0 1 2, , , ... , âûðàæàþùàÿ óñòîé÷èâîñòü ðàçíîñòíîé ñõåìû (16), (17) ïî íà÷àëüíûì äàííûì. ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÝÊÑÒÐÅÌÀËÜÍÎÉ ÇÀÄÀ×È Â öåëÿõ èñïîëüçîâàíèÿ ãðàäèåíòíûõ ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè èññëåäóåì äèôôå- ðåíöèàëüíûå ñâîéñòâà êðèòåðèÿ êà÷åñòâà (8). Ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèîíàë (8) äèôôåðåíöèðóåìûé â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå u z U( )� â êîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâå ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì � � �u u, ( , ) Re . (24) Äëÿ ýòîãî îöåíèì ãëàâíóþ ëèíåéíóþ ÷àñòü ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà J u J u h J u� � �( ) ( ) ( )� � � â çàâèñèìîñòè îò ïðèðàùåíèÿ óïðàâëåíèÿ h. Ó÷èòûâàÿ êîìïëåêñíîçíà÷íîñòü óïðàâëåíèÿ u U� , ðàññìîòðèì ñëó÷àé àìïëè- òóäíî-ôàçîâîãî óïðàâëåíèÿ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðèðàùåíèå ðåøåíèÿ � �p p r z� �( , ) � � �p r z u h p r z u( , ; ) ( , ; ) óäîâëåòâîðÿåò êðàåâîé çàäà÷å 2 1 10 0 2 2ik p r z z z p z k n r z � � � � � �� ( ) ( ) ( ( , ) )�p � 0, z H�( , ) ( , )0 � �� , r r0 � � �, (25) 1 � � � � � ( ) [ ] \| z p z p z � � � � � � � � , 1 � � � � � ( ) [ ]\| z p z p z � � � � � � � � , (26) �p z\| � �0 0, �p z H\| � � 0, (27) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì �p h zr r\| ( ).� � 0 (28) Ðàññìàòðèâàÿ òåïåðü âûðàæåíèå äëÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà (8), èìååì J u z z p u h p p u p H � � � ( ) ( ) ( )(\| ( ) \| \| ( ) \| ) (� � � � � �� 1 1 0 0 2 0 2 2 { \| \| \| \| )}u h u dz� �2 2 , ãäå p u h p R z u h p u p R z u( ) ( , ; ), ( ) ( , ; )� � � � . Ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðèðàùåíèå ôóíêöèîíàëà ìîæíî çàïè- ñàòü â âèäå 88 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 J u z z p p u p dz z H H � � � � � ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) � � �� 2 1 2 1 1 0 0 2 0 Re Re hu dz � � � � � � � �� 1 1 0 2 2 2 � � �( ) ( )\| \| \| \| z z p h dz H . (29) ×òîáû îêîí÷àòåëüíî îïðåäåëèòü âûðàæåíèå äëÿ ãëàâíîé ëèíåéíîé ÷àñòè, ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñîïðÿæåííóþ ôóíêöèþ ( , ) ( , ; )r z r z u� êàê ðåøåíèå â îáëàñòè G r r R z HR � � � � �{ }0 0, êðàåâîé çàäà÷è � � � � � � �� 2 1 10 0 2 2ik r z z z z k n r z � � ( ) ( ) ( ( , ) ) � 0, z H�( , ) ( , )0 � �� , r r R0 � � , (30) 1 � � � ( ) [ ] \| z z z � � � � � � � � , 1 � � � ( ) [ ] \| z z z � � � � � � � � , (31) \| z� �0 0, \| z H� � 0, (32) \| ( )( ( ) )r R z p u p� � � 0 . (33) Ñôîðìóëèðîâàííóþ ñîïðÿæåííóþ çàäà÷ó (30)–(33) ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäó- þùèì îáðàçîì. Óìíîæèì óðàâíåíèå (25) íà íåêîòîðóþ êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííóþ ôóíêöèþ ( , )r z è ðåçóëüòàò ïðîèíòåãðèðóåì ñ âåñîì 1/ ( )� z ïî îáëàñòè GR , ó÷èòûâàÿ ðàçðûâíîñòü ôóíêöèè �( )z . Òîãäà ïîëó÷èì dr z ik p r z z z p z r R 0 1 2 1 0� � � � � � � �� ( ) ( ) ( ) � k n r z p dz 0 2 2 1 0( ( , ) )� � � � � � � �� . (34) Èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ, èìååì dr ik z p r dz ik z R z p R z dz r R 2 1 2 1 0 0 0 � � � � ( ) ( ) ( , ) ( , ) �� 2 1 2 1 0 0 0 0ik z r z p r z dz dr ik z p r r � � � � ( ) ( , ) ( , ) ( ) � �0 R dz� , dr z z p z dz dr z p r R r R 0 0 1 1 1 � � � � � � � �� ( ) � z dz dr z p z dz r R H� � � � �� 0 2 0 1 � � � � � � � � � � �� r R z z r R p z p z dr 0 0 1 1 1 1 1 0 0 � � � � � � 2 2 0 1 � � � � � �� p z p z dr z z H � � � � � �� dr p z z z dz r R 0 1 � � ( ) � . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 89 Cîîòíîøåíèå (34) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå dr z p ik r z z z z k n 1 2 1 0 0 2 2 � � � � ( ) ( ) ( ) (� � � � � � �� ( , ) )r z dz r R � � � � � � � �� 1 0 � � ��2 1 2 1 0 0 0 0ik z R z p R z dz ik z r z p r � � � � ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , � z dz) �� (35) � � � � � � �� r R z z r R p z p z dr 0 0 1 1 1 1 1 0 0 � � � � � � 2 2 0 1 0 � � � � � �� p z p z dr z z H . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè ââåñòè â ðàññìîòðåíèå ñîïðÿæåííóþ ôóíêöèþ êàê ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è (30)–(33), òî â ðåçóëüòàòå (35) ïðèìåò âèä 1 1 00 0 � � � � ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) z r z p r z dz z R z p R z dz� �� . Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Ëåììà 2. Ïóñòü � p, — ðåøåíèÿ çàäà÷è (25)–(28) è (30)–(33) ñîîòâåòñòâåí- íî. Òîãäà èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå 1 1 0 0 0� � � � ( ) \| ( ) \| z p dz z p dz H r r H r R� �� . (36) Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå óñòàíîâëåííóþ ëåììó è íà÷àëüíîå óñëîâèå (28), ëåã- êî âèäåòü, ÷òî åñëè äëÿ óðàâíåíèÿ (30) â êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ \|r R� âûáðàòü óñëîâèå (33), òî âûðàæåíèå (29) äëÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà J u� ( ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå J u z hdz z hu dz H r r H � � � � ( ) ( ) \| ( ) � � �� 2 1 2 1 0 2 0 0 Re Re � � � � � � �� 1 1 0 2 2 2 � � �( ) ( )\| \| \| \| z z p h dz H . (37) Äëÿ îöåíêè â (37) èíòåãðàëüíîãî ÷ëåíà, ñîäåðæàùåãî ïðèðàùåíèå ðåøåíèÿ �p, âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùåé ëåììîé. Ëåììà 3. Äëÿ êîìïëåêñíîçíà÷íîãî ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (4)–(7) ñïðàâåä- ëèâà îöåíêà \| \| ( , )\| \| \| \| ( )\| \|p R z u z! , r R0 � � �. (38) Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâà (38) óðàâíåíèå (4) óìíîæèì íà êîì- ïëåêñíî-ñîïðÿæåííóþ ôóíêöèþ p r z u( , ; ) è ïðîèíòåãðèðóåì ñ âåñîì 1/ ( )� z ïî îáëàñòè z H�( , )0 . Çàòåì, îòäåëèâ â ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè ìíèìóþ ÷àñòü, ïðè- õîäèì ê ñîîòíîøåíèþ k z p r p p r p dz i z z p z 0 1 1 2 1 � �( ) ( ) � � � � � � � � � � � � � � � �� pdz z z p z pdz � 1 �( ) � ��k z n r z p dz 0 2 2 21 0 �( ) ( ( , ))\| \| � Im . (39) 90 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 Ó÷èòûâàÿ óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ (5) è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (6), äëÿ âòîðîãî ñëà- ãàåìîãî â (39) íàõîäèì � � � � �� z z p z pdz z z p z pdz 1 1 � �( ) ( ) �� [ ]\| [ ]\| [ ]\| [ ]\|p p p pz z z z 0. Ïîýòîìó ñîîòíîøåíèå (39) ïðèíèìàåò âèä 1 1 0 2 � �( ) ( ) Im ( ( , ))\| \| z p r p p r p dz k z n r z p � � � � � � � � � � � 2 0dz � . (40) Èíòåãðèðóÿ (40) ïî r r R�( , )0 , ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ñ ó÷åòîì íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (7) è íåðàâåíñòâà Im n r z c c r z r z2 0 2 0( , ) ( / ( , )) ( , )� �� â ðåçóëüòàòå ïîëó- ÷èì îöåíêó (38). Îöåíêà (38) îçíà÷àåò åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è (4)–(7) è åãî íåïðå- ðûâíóþ çàâèñèìîñòü îò íà÷àëüíûõ äàííûõ. Ïîñêîëüêó ïðèðàùåíèå ðåøåíèÿ �p óäîâëåòâîðÿåò êðàåâîé çàäà÷å (25)–(28), íà îñíîâàíèè îöåíêè (38) ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî 1 1 0 2 0 2 2 � � �( ) ( )\| \| \| ( ) \| \| \| \| \| \| z z p dz M z h dz M h H r R H � �� ! � , (41) ãäå M — íåêîòîðàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ó÷èòûâàÿ îöåíêó (41) â (37), ìîæíî îêîí÷àòåëüíî ïðåäñòàâèòü âûðàæåíèå äëÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà J u� ( ) â âèäå *J u z hdz z hu dz o H r r H � � � � ( ) ( ) \| ( ) (\| \|� � �� 2 1 2 1 0 2 0 0 Re Re h \| \| ). Îòñþäà ñëåäóåò äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèîíàëà J u� ( ) ïî u z( ) â ïðîñòðàíñòâå L 2 2 1( , / )� � äåéñòâèòåëüíûõ ïàð {Re Im }u u, . Òàêèì îáðàçîì, óñòàíîâëåíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 4. Ôóíêöèîíàë (8) äèôôåðåíöèðóåìûé ïî Ôðåøå â ïðîñòðàíñòâå L 2 2 1( , / )� � äåéñòâèòåëüíûõ ïàð {Re Im }u u, . Ãðàäèåíò ôóíêöèîíàëà îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì � � � � � � � � � J u r z u u r z u u� � � ( ) ( , ; ) , ( , ; )2 1 1 1 0 2 1 2 0 2 2 , ãäå � �1 2i — ðåøåíèå ñîïðÿæåííîé çàäà÷è (30)–(33), u u z iu z� �1 2( ) ( ). Èç èçëîæåííîãî ñëåäóåò, ÷òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ ãðàäèåíòà íåîáõîäèìî ïðè ôèêñèðîâàííîì u z( ) ïîëó÷èòü ðåøåíèå äâóõ êðàåâûõ çàäà÷. Âíà÷àëå ñ ïîìîùüþ ïðÿìîé çàäà÷è (4)–(7) íóæíî îïðåäåëèòü ôóíêöèþ p r z u( , ; ), çàòåì èç (30)–(33) íàéòè çíà÷åíèå ñîïðÿæåííîé ôóíêöèè. Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ (4)–(9) ìîæíî ïî- ëó÷èòü, èñïîëüçóÿ ãðàäèåíòíûå ìåòîäû [17, 19], à òàêæå ïðåäëîæåííóþ äëÿ ÷èñ- ëåííîãî ðåøåíèÿ ïðÿìîé çàäà÷è (4)–(7) ðàçíîñòíóþ ñõåìó (16), (17). Îòìåòèì, ÷òî äâóõñëîéíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (16), (17) ìîæåò áûòü íåïîñðåäñòâåííî ïðèìå- íèìà è äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñîïðÿæåííîé çàäà÷è (30)–(33). ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 91 ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Á ð å õ î â ñ ê è õ Ë . Ì . , Ë û ñ à í î â Þ . Ï . Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû àêóñòèêè îêåàíà. — Ë.: Ãèäðîìåòåîèçäàò, 1982. — 264 ñ. 2. Ð à ñ ï ð î ñ ò ð à í å í è å âîëí è ïîäâîäíàÿ àêóñòèêà / Ïîä ðåä. Äæ.Á. Êåëëåðà è Äæ. Ïàïàäàêè- ñà. — Ì.: Ìèð, 1980. — 230 ñ. 3. Ò à ï ï å ð ò Ô . Ä . Ìåòîä ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ // Ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí â ïîäâîäíîé àêóñòèêå. — Ì.: Ìèð, 1980. — Ñ. 180–226. 4. Ç à â à ä ñ ê è é Â . Þ . Ìîäåëèðîâàíèå âîëíîâûõ ïðîöåññîâ. — Ì.: Íàóêà, 1991. — 368 ñ. 5. Ã ë à ä ê è é À . Â . , Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ñ ê î ï å ö ê è é Â . Â . ×èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ âîëíîâûõ ïðîöåññîâ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2001. — 452 ñ. 6. L e e D . , M c D a n i e l S . T . Ocean acoustic propagation by finite difference method // Comput. Math. Appl. — 1987. — 14. — P. 305–423. 7. L e e D . , P i e r s e A . D . , S h a n g E . C . Parabolic equation development in the twentieth Century // J. Comput. Acoust. — 2000. — 1, N 4. — P. 527–637. 8. A t h a n a s o u l i s G . A . , B e l i b a s a k i s K . A . , M i t s o u d i s D . A . , K a m p a n i s N . A . , D o u g a l i s V . A . Coupled mode and finite element approximations of underwater sound propagation problems in general stratified environments // J. Comput. Acoust. — 2008. — 6, N 1. — P. 83–116. 9. M i t s o u d i s D . A . , M a k r i d a k i s C h . , P l e x o u s a k i s M . Helmholtz equation with artificial boundary conditions in a two-dimensional waveguide // SIAM Journal on Mathematical Analysis. — 2012. — 44. — P. 4320–4344. 10. M i t s o u d i s D . A . , K a m p a n i s N . A . , D o u g a l i s V . A . Finite element discretization of the Helmholtz equation in an underwater acoustic waveguide // Effective Computational Methods in Wave Propagation / N.A. Campanis, V.A. Dougalis and J.A. Ekaterinaris (eds.). — Boca Raton; London; New York: CRC Press / Taylor & Francis, 2008. — P. 113–134. 11. À ë å ê ñ å å â Ã . Â . , Ê î ì à ð î â Å . Ã . ×èñëåííîå èññëåäîâàíèå ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ òåîðèè èçëó÷åíèÿ çâóêà â ïëîñêîì âîëíîâîäå // Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. — 1991. — 3, ¹ 12. — Ñ. 52–64. 12. Ä à í è ë î â Â . ß . , Ê ð à â ö î â Þ . À . , Í à ê î í å ÷ í û é À . Ã . Ìàòåìàòè÷åñêèå àñïåêòû óïðàâëåíèÿ ãèäðîàêóñòè÷åñêèìè ïîëÿìè // Ôîðìèðîâàíèå àêóñòè÷åñêèõ ïîëåé â îêåàíè÷åñêèõ âîëíîâîäàõ. — Í. Íîâãîðîä: ÈÏÔ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1991. — Ñ. 32–55. 13. B e r m u� d e z A . , G a m a l l o P . , R o d r i g u e z R . Finite element methods in local active control of sound // SIAM J. Control and Optim. — 2004. — 43, N 2. — P. 437–465. 14. Ã ë à ä ê è é À . Â . Èññëåäîâàíèå è îïòèìèçàöèÿ âîëíîâûõ ïðîöåññîâ â íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ ñ èìïåäàíñíîé ãðàíèöåé // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2013. — 49, ¹ 2. — C. 94–105. 15. M e y e r M . , H e r m a n d J . - P . Optimal nonlocal boundary control of the wide-angle parabolic equation for inversion of a waveguide acoustic field // J. Acoust. Soc. Amer. — 2005. — 117, N 5. — P. 2937–2948. 16. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ñ ê î ï å ö ê è é Â . Â . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëè- ðîâàíèå è èññëåäîâàíèå ïðîöåññîâ â íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1991. — 432 ñ. 17. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . , Â à á è ù å â è ÷ Ï . Í . Âû÷èñëèòåëüíàÿ òåïëîïåðåäà÷à. — Ì.: Åäèòî- ðèàë ÓÐÑÑ, 2003. — 784 ñ. 18. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . , Ã ó ë è í À . Â . Óñòîé÷èâîñòü ðàçíîñòíûõ ñõåì. — Ì.: Íàóêà, 1973. — 416 ñ. 19. Â à ñ è ë ü å â Ï . Ô . Ìåòîäû îïòèìèçàöèè. — Ì.: Ôàêòîðèàë Ïðåññ, 2002. — 824 ñ. Ïîñòóïèëà 27.10.2015 92 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2

Исследование волновых процессов в неоднородных средах с условиями неидеального контакта

Institution

Similar Items