К аксиоматическому определению обобщенного принципа максимина
Рассмотрена проблема аксиоматического определения класса критериев принятия решений в условиях неопределенности, которые оценивают решение по его минимальной ожидаемой полезности на замкнутом семействе конечно-аддитивных вероятностных мер на множестве значений неизвестного параметра. Предложено акси...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131421 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | К аксиоматическому определению обобщенного принципа максимина / И.А. Пасичниченко // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 154-162. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-131421 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1314212025-02-09T20:19:43Z К аксиоматическому определению обобщенного принципа максимина До аксіоматичного визначення узагальненого принципу максиміну On the axiomatic definition of the generalized maximin principle Пасичниченко, И.А. Системный анализ Рассмотрена проблема аксиоматического определения класса критериев принятия решений в условиях неопределенности, которые оценивают решение по его минимальной ожидаемой полезности на замкнутом семействе конечно-аддитивных вероятностных мер на множестве значений неизвестного параметра. Предложено аксиоматическое описание соответствующего отношения предпочтения, основанное на специфической форме принципа гарантированного результата. Розглянуто проблему аксіоматичного визначення класу критеріїв прийняття рішень в умовах невизначеності, які оцінюють рішення за його мінімальною очікуваною корисністю на замкнутому сімействі скінченно-адитивних ймовірнісних мір на множині значень невідомого параметра. Запропоновано аксіоматичний опис відповідного відношення переваги, який ґрунтується на специфічній формі принципу гарантованого результату. The paper develops the solution to the problem of axiomatic definition of the maxmin expected utility decision criteria under uncertainty. The axiomatic description of the corresponding preference elation is proposed. It is based on the specific form of the principle of guaranteed result. Автор благодарен В.И. Иваненко за полезные обсуждения и предложения. 2016 Article К аксиоматическому определению обобщенного принципа максимина / И.А. Пасичниченко // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 154-162. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131421 519.81 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системный анализ Системный анализ |
| spellingShingle |
Системный анализ Системный анализ Пасичниченко, И.А. К аксиоматическому определению обобщенного принципа максимина Кибернетика и системный анализ |
| description |
Рассмотрена проблема аксиоматического определения класса критериев принятия решений в условиях неопределенности, которые оценивают решение по его минимальной ожидаемой полезности на замкнутом семействе конечно-аддитивных вероятностных мер на множестве значений неизвестного параметра. Предложено аксиоматическое описание соответствующего отношения предпочтения, основанное на специфической форме принципа гарантированного результата. |
| format |
Article |
| author |
Пасичниченко, И.А. |
| author_facet |
Пасичниченко, И.А. |
| author_sort |
Пасичниченко, И.А. |
| title |
К аксиоматическому определению обобщенного принципа максимина |
| title_short |
К аксиоматическому определению обобщенного принципа максимина |
| title_full |
К аксиоматическому определению обобщенного принципа максимина |
| title_fullStr |
К аксиоматическому определению обобщенного принципа максимина |
| title_full_unstemmed |
К аксиоматическому определению обобщенного принципа максимина |
| title_sort |
к аксиоматическому определению обобщенного принципа максимина |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Системный анализ |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131421 |
| citation_txt |
К аксиоматическому определению обобщенного принципа максимина / И.А. Пасичниченко // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 154-162. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT pasičničenkoia kaksiomatičeskomuopredeleniûobobŝennogoprincipamaksimina AT pasičničenkoia doaksíomatičnogoviznačennâuzagalʹnenogoprincipumaksimínu AT pasičničenkoia ontheaxiomaticdefinitionofthegeneralizedmaximinprinciple |
| first_indexed |
2025-11-30T10:38:45Z |
| last_indexed |
2025-11-30T10:38:45Z |
| _version_ |
1850211436923453440 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.81
È.À. ÏÀÑÈ×ÍÈ×ÅÍÊÎ
Ê ÀÊÑÈÎÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌÓ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÞ ÎÁÎÁÙÅÍÍÎÃÎ
ÏÐÈÍÖÈÏÀ ÌÀÊÑÈÌÈÍÀ
Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíà ïðîáëåìà àêñèîìàòè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ êëàññà êðèòåðèåâ ïðè-
íÿòèÿ ðåøåíèé â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè, êîòîðûå îöåíèâàþò ðåøåíèå ïî åãî ìèíè-
ìàëüíîé îæèäàåìîé ïîëåçíîñòè íà çàìêíóòîì ñåìåéñòâå êîíå÷íî-àääèòèâíûõ âåðîÿòíî-
ñòíûõ ìåð íà ìíîæåñòâå çíà÷åíèé íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà. Ïðåäëîæåíî àêñèîìàòè÷åñêîå
îïèñàíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî îòíîøåíèÿ ïðåäïî÷òåíèÿ, îñíîâàííîå íà ñïåöèôè÷åñêîé ôîð-
ìå ïðèíöèïà ãàðàíòèðîâàííîãî ðåçóëüòàòà.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïðèíöèï îïòèìàëüíîñòè, îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ, àêñèîìû ðàöèî-
íàëüíîãî âûáîðà, ãàðàíòèðîâàííûé ðåçóëüòàò.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïóñòü èìååòñÿ íåêîòîðûé íàáîð A îòîáðàæåíèé ìíîæåñòâà � çíà÷åíèé íåèç-
âåñòíîãî ïàðàìåòðà (ñîñòîÿíèé ïðèðîäû) âî ìíîæåñòâî X ïîñëåäñòâèé. Âûáîð
èç äàííîãî íàáîðà — íåêàÿ çàäà÷à ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé, ïðè ýòîì íàáîð íàçûâà-
åòñÿ ìíîæåñòâîì äîïóñòèìûõ àëüòåðíàòèâ (èëè ðåøåíèé). Ðàññìîòðèì êëàññ
äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé U íà A, èìåþùèõ âèä
U a u a dp
p P
( ) min [ ( )] ( )�
� � � �
�
, a A� , (1)
ãäå P — ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàêîíîìåðíîñòü íà �, u — äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ
ïîñëåäñòâèé. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëîæåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ìåæäó
ìíîæåñòâîì ðåøåíèé A, óïîðÿäî÷åííûì îòíîøåíèåì ïðåäïî÷òåíèÿ, è ïîä-
ìíîæåñòâîì äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé ñóùåñòâóåò èçîìîðôèçì, çàäàííûé íåêî-
òîðûì îòîáðàæåíèåì èç êëàññà (1). Ýòèì óñëîâèÿì äàíà èíòåðïðåòàöèÿ â òåð-
ìèíàõ ñèòóàöèè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. Òàêèì îáðàçîì, ïðåäñòàâëåíî àêñèîìàòè-
÷åñêîå îïðåäåëåíèå êëàññà êðèòåðèåâ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé âèäà (1), êîòîðûé
çäåñü íàçûâàåì îáîáùåííûì ïðèíöèïîì ìàêñèìèíà.
Êëàññ êðèòåðèåâ (1) îáîáùàåò áàéåñîâñêèé è ìàêñèìèííûé ïðèíöèïû îïòè-
ìàëüíîñòè [1] è èñïîëüçóåòñÿ â ðåøåíèè ïðèêëàäíûõ çàäà÷, â ÷àñòíîñòè ïðè ïî-
ñòðîåíèè ìåð ðèñêà è ïîèñêå îïòèìàëüíûõ ïîðòôåëüíûõ ðåøåíèé [2]. Ïåðâîå àê-
ñèîìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ýòîãî êëàññà äàíî â ðàáîòå [3]: ïîëó÷åíû íåîáõîäè-
ìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ â òåðìèíàõ äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé íà ìíîæåñòâàõ
ðåøåíèé è ïîñëåäñòâèé íà îñíîâå ïðèíöèïà ãàðàíòèðîâàííîãî ðåçóëüòàòà. Ïîçæå
àíàëîãè÷íûå ïî ôîðìå óñëîâèÿ, íî ñôîðìóëèðîâàííûå â òåðìèíàõ îòíîøåíèé
ïðåäïî÷òåíèÿ è ñ îòëè÷àþùåéñÿ èíòåðïðåòàöèåé, áûëè èñïîëüçîâàíû â [4] äëÿ
àêñèîìàòèçàöèè êðèòåðèÿ (1) â ìîäåëè Àíñêîìáà–Àóìàííà è ðàçðåøåíèÿ ïàðà-
äîêñà Ýëëñáåðãà. Îáñóæäåíèå ïðèíöèïà ãàðàíòèðîâàííîãî ðåçóëüòàòà è ïîñòðî-
åííûå íà åãî îñíîâàíèè ìîäåëè ìíîãîøàãîâûõ ïðåäïî÷òåíèé ïðèâåäåíû â [5].
 [6] ðàññìîòðåíî ïðîáëåìó àêñèîìàòè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ êðèòåðèÿ (1) äëÿ
ñëó÷àÿ, êîãäà ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàêîíîìåðíîñòü P çàäàíà èçâíå, à u — ôóíêöèÿ
ïîëåçíîñòè ôîí Íåéìàíà–Ìîðãåíøòåðíà.
Äàííàÿ ñòàòüÿ ðàçâèâàåò ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â [3], ïî íåñêîëüêèì íà-
ïðàâëåíèÿì. Ïðåæäå âñåãî, â îòëè÷èå îò óêàçàííîé ðàáîòû ïðåäëîæåííàÿ çäåñü
àêñèîìàòèçàöèÿ ïðîâåäåíà â òåðìèíàõ îòíîøåíèé ïðåäïî÷òåíèÿ. Âìåñòå ñ òåì
îäíî èç óñëîâèé áûëî îñëàáëåíî, ÷òî ïîçâîëèëî äàòü åìó åñòåñòâåííóþ èíòåð-
154 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2
� È.À. Ïàñè÷íè÷åíêî, 2016
ïðåòàöèþ. Êðîìå òîãî, ñóùåñòâåííî îñëàáëåíî äîïóùåíèå «áîãàòñòâà» ìíîæåñòâ
ïîñëåäñòâèé è ðåøåíèé.
ÏÐÈÍßÒÈÅ ÐÅØÅÍÈÉ Â ÓÑËÎÂÈßÕ ÍÅÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÎÑÒÈ
Ïóñòü X , � — ïðîèçâîëüíûå íåïóñòûå ìíîæåñòâà, A — íåêîòîðîå ìíîæåñòâî
ôóíêöèé a X:�� , êîòîðîå ñîäåðæèò, â ÷àñòíîñòè, âñå ôóíêöèè ñ êîíå÷íûìè
ìíîæåñòâàìè çíà÷åíèé (ïðîñòûå ôóíêöèè). Ïóñòü �~
— áèíàðíîå îòíîøåíèå
íà ìíîæåñòâå
A a a n N a A i nn i
� � � � �{ }( , , ) | , , ,1 1�
âñåõ êîíå÷íûõ óïîðÿäî÷åííûõ íàáîðîâ ýëåìåíòîâ A. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî x X�
ýëåìåíò x A* � îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì x x* ( )� � äëÿ âñåõ ���. Ïóñòü �
~�
—
áèíàðíîå îòíîøåíèå íà X � , ñîãëàñîâàííîå ñ �~
ñëåäóþùèì îáðàçîì: äëÿ ëþ-
áûõ äâóõ ýëåìåíòîâ ( , , )x xn1 � è ( , , )y ym1 � ìíîæåñòâà X � èìååì
( , , ) � ( , , ) ( , , ) ( , , )
~
* *
~
* *x x y y x x y yn m n m1 1 1 1� � � � � � .
Ïóñòü äëÿ ëþáîãî a A� ñóùåñòâóþò òàêèå x y X, � , ÷òî x a y� ( ) �
~ ~� �� äëÿ âñåõ
���. Áóäåì îòîæäåñòâëÿòü ýëåìåíòû a A� è ( )a A� � ; àíàëîãè÷íî äëÿ îñòàëü-
íûõ ìíîæåñòâ. Îòíîøåíèÿ � è ~ ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî àñèììåòðè÷íîé è ñèì-
ìåòðè÷íîé ÷àñòÿìè �~
; àíàëîãè÷íî îáîçíà÷àþòñÿ ÷àñòè îñòàëüíûõ îòíîøåíèé.
Íàçîâåì X ìíîæåñòâîì ïîñëåäñòâèé, � — ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé íåèçâåñòíîãî
ïàðàìåòðà, A — ìíîæåñòâîì ðåøåíèé, �~
è �
~�
— îòíîøåíèÿìè ïðåäïî÷òåíèÿ.
C÷èòàåì, ÷òî â ðåçóëüòàòå ðåàëèçàöèè çíà÷åíèé ( , , )� �1 � n � �� íåèçâåñòíîãî
ïàðàìåòðà è âûáîðà íàáîðà ðåøåíèé ( , , )a a An1 � � � ïîëó÷àåì íàáîð ïîñëåäñòâèé
( ( ), , ( ))a a Xn n1 1� �� � � .  âîçìîæíûõ ïðèëîæåíèÿõ ýòîé ìîäåëè äëÿ îïèñà-
íèÿ äîñòóïíûõ â ñèòóàöèè àëüòåðíàòèâ äîñòàòî÷íî ìíîæåñòâà A. Ýëåìåíòû A�
ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê âñïîìîãàòåëüíûå àëüòåðíàòèâû, ââåäåííûå äëÿ îïðå-
äåëåíèÿ «èíòåíñèâíîñòè» ïðåäïî÷òåíèé ìåæäó ýëåìåíòàìè A. Äåéñòâèòåëüíàÿ
äîñòóïíîñòü íàáîðîâ èç A� , à òàêæå âñåãî ìíîæåñòâà A (ââèäó òðåáîâàíèé áî-
ãàòñòâà ýòîãî ìíîæåñòâà) íå îáÿçàòåëüíà. Äîïóñêàåòñÿ ëèøü, ÷òî ïðèíèìàþùèé
ðåøåíèÿ ñïîñîáåí ïðåäñòàâèòü ñåáå òàêóþ èäåàëüíóþ ñèòóàöèþ è èìååò ïðåä-
ïî÷òåíèÿ îòíîñèòåëüíî àëüòåðíàòèâ â íåé. Ïðè ýòîì ðåàëèçàöèè �� ïðåäñòàâëÿ-
þòñÿ èì êàê ïåðåñòàíîâî÷íûå: äëÿ ëþáîé ïåðåñòàíîâêè � ýëåìåíòîâ { }1, ,� n
ó íåãî íåò îñíîâàíèé ñ÷èòàòü ðåàëèçàöèþ ( , , )( ) ( )� �� �1 � n áîëåå èëè ìåíåå âåðî-
ÿòíîé (â îáûäåííîì ñìûñëå), ÷åì ( , , )� �1 � n .
Ïóñòü PF — ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íî-àääèòèâíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ìåð íà �, ò.å.
PF p p p A B p A p B A A B� � �
� � �
{ }: [ ; ] | ( ) , ( ) ( ) ( \ ) ,2 0 1 1� � � .
Ïóñòü M — áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî îãðàíè÷åííûõ äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé
íà �, M * — ñîïðÿæåííîå ïðîñòðàíñòâî. Ñ÷èòàåì PF ïîäìíîæåñòâîì M * , îòîæäå-
ñòâëÿÿ p PF� ñ ñîîòâåòñòâóþùèì èíòåãðàëîì ïî êîíå÷íî-àääèòèâíîé ìåðå.
Ìíîæåñòâî PF âìåñòå ñ îòíîñèòåëüíîé òîïîëîãèåé �, ïîðîæäåííîé *-ñëàáîé òî-
ïîëîãèåé ïðîñòðàíñòâà M * , îáðàçóþò êîìïàêò [7, òåîðåìà 1.11.4]. Ïðèâåäåì äâà
îïðåäåëåíèÿ, ïðåäëîæåííûå â [8].
Îïðåäåëåíèå 1. Ñòàòèñòè÷åñêîé çàêîíîìåðíîñòüþ íà � íàçûâàþò íåïóñòîå
çàìêíóòîå â � ïîäìíîæåñòâî PF .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 155
Îïðåäåëåíèå 2. Ïóñòü S — ïðîèçâîëüíîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî. Äëÿ
x y S, � � , x x xn� ( , , )1 � , y y ym� ( , , )1 � , îáîçíà÷èì ( , )x y ýëåìåíò ( , , ,x xn1 �
y y Sm1, , )� � � . Áèíàðíîå îòíîøåíèå ( , )~� 0
S � íàçûâàþò ñòàòèñòè÷åñêèìè
ïðåäïî÷òåíèÿìè íà S , åñëè:
� îíî òðàíçèòèâíî è ïîëíî;
� èç òîãî, ÷òî ( , , )a a Sn1 � � � è � — íåêîòîðàÿ ïåðåñòàíîâêà { }1, ,� n , ñëå-
äóåò ( , , ) ~ ( , , )( ) ( )a a a an n1 0 1� �� � ;
� ( , , , : ~ )� � �a b x y S x y0 a b a x b y� �0 0~ ~
( , ) ( , ) ;
� � � �a b x y S, , , : x y� 0 � �n N : ( , , , ) ( , , , )a x x b y y
n n
�
���
� �
���0 .
ÎÑÍÎÂÍÎÉ ÐÅÇÓËÜÒÀÒ
Ýëåìåíòû X îáîçíà÷àþòñÿ x, y, z; ýëåìåíòû A — a, b, c; äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ
ôóíêöèé íà � èñïîëüçîâàíû ñèìâîëû f , g, h. Íàáîð ( , , )� �� èç n îäèíàêî-
âûõ ýëåìåíòîâ X èëè A äëÿ êðàòêîñòè îáîçíà÷åí � n .
Ðàññìîòðèì íàáîð óñëîâèé íà îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ ( , )~� A� .
À0. Îòíîøåíèå ( � , )~� X � «äîñòàòî÷íî áîãàòî» â ñëåäóþùåì ñìûñëå:
à) � �x y X, : x y�� ;
á) � �e X : � �x X ( , ) �~x e x;
â) � �x X � �y X : ( , ) �~x y e, ãäå e — íåêîòîðûé ýëåìåíò ñî ñâîéñòâîì á);
ã) � �x X , n m N n m, :� � � �y z X, : x yn
�~ è y zm
�~ .
Óñëîâèå À0 êàñàåòñÿ ñòðóêòóðû ìíîæåñòâà ïîñëåäñòâèé è îòíîøåíèÿ ïðåä-
ïî÷òåíèÿ íà íåì. Îíî äîïóñêàåò íåòðèâèàëüíîñòü îòíîøåíèÿ ïðåäïî÷òåíèÿ, ñó-
ùåñòâîâàíèå «íåéòðàëüíîãî» è «ïðîòèâîïîëîæíîãî» ïîñëåäñòâèé, à òàêæå ïðåä-
ñòàâëåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîñëåäñòâèÿ êàê íàáîðà ôèêñèðîâàííîé äëèíû.
À1. ( , )~� A� — ñòàòèñòè÷åñêèå ïðåäïî÷òåíèÿ íà A.
À2. Äëÿ ëþáûõ a b A, � , åñëè a b( ) � ( )~� �� äëÿ âñåõ ���, òî a b�~
.
À3. Äëÿ ëþáûõ a b A, � è n m N, � , åñëè [ ( )] �~ [ ( )]a bn m� � äëÿ âñåõ ���, òî
a bn m~ .
À4. Äëÿ ëþáûõ a b A, � è x X� , åñëè a b x( ) �~ ( ( ), )� � äëÿ âñåõ ���, òî
a b x~ ( , )* .
À5. Äëÿ ëþáûõ a b c A, , � , åñëè [ ( ), ( )] �~ [ ( )]a b c� � � 2 äëÿ âñåõ ���, òî
( , ) ~a b c�
2 .
Óñëîâèå À1 åñòåñòâåííî â êîíòåêñòå ñêàçàííîãî îá èíòåðïðåòàöèè ìíîæåñò-
âà íàáîðîâ ðåøåíèé A� . Óñëîâèÿ À2–À5 êàñàþòñÿ ñâÿçè ìåæäó îòíîøåíèÿìè
ïðåäïî÷òåíèÿ íà ïîñëåäñòâèÿõ è ðåøåíèÿõ. Ñìûñë À2 ïîíÿòåí: åñëè ïîñëåäñòâèå
ðåøåíèÿ b ïðè ëþáûõ îáñòîÿòåëüñòâàõ íå õóæå ïîñëåäñòâèÿ ðåøåíèÿ a, òî b íå
õóæå a.  óñëîâèè À3 ïðè ëþáîì ��� ïîñëåäñòâèÿ ðåøåíèé a è b, ïîâòîðåííûå
n è m ðàç ñîîòâåòñòâåííî, ðàâíîöåííû, ñëåäîâàòåëüíî, òàêèìè ÿâëÿþòñÿ è ñàìè
ðåøåíèÿ, ïîâòîðåííûå ñòîëüêî æå ðàç. Â À4 ïîñëåäñòâèÿ ðåøåíèÿ a è íàáîðà
( , )*b x ðàâíîöåííû ïðè ëþáîì ���.
Îñòàíîâèìñÿ äåòàëüíåå íà óñëîâèè À5, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ñïåöèôè÷åñêîé
ôîðìîé ïðèíöèïà ãàðàíòèðîâàííîãî ðåçóëüòàòà. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûå s t, ��.
156 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2
Ñîãëàñíî À1 îòíîøåíèå ( � , )~� X � — ñòàòèñòè÷åñêèå ïðåäïî÷òåíèÿ íà X . Ïîýòî-
ìó èç [ ( ), ( )] �~ [ ( )]a b c� � � 2 , ��{ }s t, , ñëåäóåò
[ ( ), ( ), ( ), ( )] �~ [ ( ), ( ), ( ), ( )]a s b t a t b s c s c t c t c s . (2)
Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî åñëè [ ( ), ( )] � [ ( ), ( )]a s b t c s c t� , òî [ ( ), ( )] � [ ( ), ( )]ñ t c s a t b s� ,
ïîñêîëüêó â ïðîòèâíîì ñëó÷àå áûëî áû ïðîòèâîðå÷èå ñ (2). Ðåçóëüòàò âûáîðà c2
íå çàâèñèò îò ïîðÿäêà ïîÿâëåíèé çíà÷åíèé ïàðàìåòðà s è t, òàê êàê
[ ( ), ( )] �~ [ ( ), ( )]ñ s c t c t c s . Äëÿ ( , )a b âåðíî ïðîòèâîïîëîæíîå: åñëè, íàïðèìåð,
ïðè ðåàëèçàöèè ( , )s t áóäåò [ ( ), ( )] � [ ( ), ( )]a s b t c s c t� , òî ïðè ( , )t s ïîëó÷èì
[ ( ), ( )] � [ ( ), ( )]ñ t c s a t b s� . Áîëåå òîãî, âûðàæåíèå (2) ïîêàçûâàåò, ÷òî «âûèãðûø»
îò âûáîðà ( , )a b âìåñòî c2 â ïåðâîì ñëó÷àå ðàâåí «ïðîèãðûøó» âî âòîðîì. Ïî-
ñêîëüêó íåò îñíîâàíèé íàäåÿòüñÿ íà êàêóþ-ëèáî èç ðåàëèçàöèé ( , )s t èëè ( , )t s
áîëüøå, ÷åì íà äðóãóþ, åñòåñòâåííî âûáðàòü c2 , ãàðàíòèðîâàâ ïðè ýòîì ïî êðàé-
íåé ìåðå íåçàâèñèìîñòü ðåçóëüòàòà îò ïîðÿäêà ïîÿâëåíèé çíà÷åíèé ïàðàìåòðà.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå À0. Îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ ( , )~� A�
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì À1–À5 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåòU A R: �
ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1) äëÿ ëþáûõ ( , , ), ( , , )a a b b An m1 1� � � �
( , , ) ( , , ) ( ) ( )~a a b b U a U bn m i
i
n
j
j
m
1 1
1 1
� � � �
� �
� � ;
2) ñóùåñòâóþò òàêèå ôóíêöèÿ u X R: � è ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàêîíîìåðíîñòü P
íà �, ÷òî
U a u a dp
p P
( ) min [ ( )]�
� � �
�
, a A� .
Ñëåäñòâèå. Åñëè ( , )~� A� óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì À0–À5, òî ñóùåñòâóþò
òàêèå ôóíêöèÿ u X R: � è ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàêîíîìåðíîñòü P íà �, ÷òî äëÿ ëþáûõ
a b A, �
a b u a dp u b dp
p P p P
�~ min [ ( )] min [ ( )] �
� �� �� �
� �
.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèé À1–À5 óñòàíàâëèâàåòñÿ íå-
ïîñðåäñòâåííî. Ïðîâåðèì, íàïðèìåð, íåîáõîäèìîñòü À5. Åñëè a b c A, , � ,
[ ( ), ( )] �~ [ ( )]a b c� � � 2 � �� �, òî u a u b u c � � 2 , îòêóäà
U a U b u a dp u b dp u a u
p P p P p P
( ) ( ) min min min (� � � � �
� � �� �
� �
b dp)
�
� �
� �
� �2 2min ( )
p P
u cdp U c
�
,
ñëåäîâàòåëüíî ( , ) ~a b c�
2 .
Äîêàæåì äîñòàòî÷íîñòü óñëîâèé À1–À5. Ïîñêîëüêó îòíîøåíèå ( , )~� A� ñîãëàñíî
À1 ÿâëÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèìè ïðåäïî÷òåíèÿìè, ñóùåñòâóåò [8, òåîðåìà Ï.1.1] òàêîå
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 157
îòîáðàæåíèå U A R: � , ÷òî äëÿ ëþáûõ ( , , ), ( , , )a a b b An m1 1� � � �
( , , ) ( , , ) ( ) ( )~a a b b U a U bn m i
i
n
j
j
m
1 1
1 1
� � � �
� �
� � .
 îñòàâøåéñÿ ÷àñòè äîêàçàòåëüñòâà ïîêàæåì, ÷òî U òàêæå îáëàäàåò ñâîéñòâîì 2.
Îïðåäåëèì u X R: � , ïîëîæèâ u x U x( ) ( )*� � �x X . Èç îïðåäåëåíèÿ
( � , )~� X � âûòåêàåò, ÷òî äëÿ ëþáûõ ( , , ), ( , , )x x y y Xn m1 1� � � �
( , , ) � ( , , ) ( ) ( )~x x y y u x u yn m i
i
n
j
j
m
1 1
1 1
� � � �
� �
� � .
Ïî óñëîâèþ À0, á) ñóùåñòâóåò òàêîå e X� , ÷òî u e( ) � 0. Ñîãëàñíî À0, à) è
À0, â) íàéäóòñÿ òàêèå x x X
, � , äëÿ êîòîðûõ
u x u x( ) ( )
� � � 0.
Áåç ïîòåðè îáùíîñòè ìîæíî âûáðàòü U òàê, ÷òîáû u x( ) �1. Ïî óñëîâèþ
À0, ã) äëÿ ïðîèçâîëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë n m� íàéäóòñÿ òàêèå y z X, � , ÷òî
x yn
�~ è y zm
�~ . Èç ýòîãî íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò, ÷òî nu y( ) �1 è mu y( ) �
� u z( ), ñëåäîâàòåëüíî, u z
m
n
( ) � . Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî u X( ) ñîäåðæèò âñå
ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà èç [ ; ]0 1 . Íà îñíîâàíèè àíàëîãè÷íîé àðãóìåíòàöèè îíî òàêæå
ñîäåðæèò âñå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà èç [ ; ]�1 0 .
Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå �F ìíîæåñòâà F u a a A M� �
{ } | â äåéñòâè-
òåëüíóþ ïðÿìóþ, ïîëîæèâ �F u a U a( ) ( ) � . Òàêîå îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, ïî-
ñêîëüêó èç u a u b � ñîãëàñíî À2 âûòåêàåò a b~ . Ñëåäóþùàÿ ëåììà óñòàíàâëè-
âàåò ñâîéñòâà �F , êîòîðûå ïîíàäîáÿòñÿ â äàëüíåéøåì.
Ëåììà 1. Îòîáðàæåíèå �F èìååò òàêèå ñâîéñòâà:
1) åñëè f g F, � è f g� , òî � �F Ff g( ) ( )� ;
2) åñëè f g F, � è f rg� , ãäå r � 0 — ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, òî
� �F Ff r g( ) ( )� ;
3) åñëè f g F, � è f g l� � * , ãäå l — ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî èç [ ; ]�1 1 , òî
� �F Ff g l( ) ( )� � ;
4) åñëè f g h F, , � è f g h� � 2 , òî � � �F F Ff g h( ) ( ) ( )� � 2 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî f F� íàéäåòñÿ òàêîå a A� , ÷òî
u a f � . Âûáåðåì íåêîòîðîå èç òàêèõ ðåøåíèé a è îáîçíà÷èì åãî a f . Äîêàæåì
ñâîéñòâà 1–4 ëåììû.
1. Èç u a u af g � âûòåêàåò a af g( ) ( )~� �� � �� �, òîãäà ñîãëàñíî À2 èìå-
åì a af g�~
è, ñëåäîâàòåëüíî, � �F Ff g( ) ( )� .
2. Äëÿ n m N, � : r
m
n
� èìååì n u a m u af g( ) ( ) � , ÷òî âëå÷åò [ ( )] �~a f
n�
�~ [ ( )]ag
m� � �� �. Òîãäà ïðèìåíåíèå À3 äàåò a a
f
n
g
m~ , îòêóäà
nU a mU af g( ) ( )� è � �F Ff r g( ) ( )� .
3. Èç òîãî, ÷òî a a xf g( ) �~ ( ( ), )� � � �� �, ãäå x — íåêîòîðûé ýëåìåíò X ,
äëÿ êîòîðîãî u x l( ) � , ïðèìåíåíèåì À4 ïîëó÷èì a a xf g~ ( , )* , îòêóäà
U a U a U xf g( ) ( ) ( )*� � è, ñëåäîâàòåëüíî, � �F Ff g l( ) ( )� � .
158 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2
4. Íóæíîå îòíîøåíèå ( , ) ~a a af g h
�
2 âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî [ ( ), ( )] �~a af g� �
�~ [ ( )]ah � 2 � �� �, è ñâîéñòâà À5.
Ëåììà äîêàçàíà.
Ðàñïðîñòðàíèì �F íà âñå M ñ ñîõðàíåíèåì ñâîéñòâ, óñòàíîâëåííûõ ëåì-
ìîé 1. Âûïîëíèì ýòî â íåñêîëüêî ýòàïîâ, êîòîðûå çàâåðøàòñÿ äàëåå ëåììîé 4.
Ïóñòü M 0 — ìíîæåñòâî âñåõ ïðîñòûõ ôóíêöèé íà � ñ ðàöèîíàëüíûìè çíà-
÷åíèÿìè. Ìíîæåñòâî F ñîäåðæèò, â ÷àñòíîñòè, âñå ôóíêöèè èç M 0 ñî çíà÷åíèÿ-
ìè íà îòðåçêå [ ; ]�1 1 ; îáîçíà÷èì M 0
1 1[ ; ]� ìíîæåñòâî òàêèõ ôóíêöèé. Ñíà÷àëà ïî-
ñòðîèì �: M R0 � , èñïîëüçóÿ ïðè ýòîì ëèøü çíà÷åíèÿ �F íà M 0
1 1[ ; ]� . Î÷åâèäíî,
÷òî äëÿ ëþáîãî f M� 0 ñïðàâåäëèâî 1
0
1 1
B
f M� �[ ; ] , ãäå B — ïðîèçâîëüíàÿ ðà-
öèîíàëüíàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü ôóíêöèè | |f . Ïîëîæèì � �( ) ( )f B
B
fF� 1 . Îòîáðà-
æåíèå � îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íî, ïîñêîëüêó, åñëè B1 è B2 — äâå ðàöèîíàëüíûå
âåðõíèå ãðàíè | |f , èìååì
B
B
f B
B
B B
f B
B
fF F F1
1
1
2
1 2
2
2
1 1 1
� � �
�
�
��
�
�
�� �
�
�
��
�
�
�� �
�
�
��
�
�
�� .
Î÷åâèäíî, ÷òî � �� F íà M 0
1 1[ ; ]� . Îòîáðàæåíèå � èìååò ñâîéñòâà 1–4 ñ M 0
âìåñòî F . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè f g M, � 0
è f rg� , ãäå r — ïîëîæèòåëüíîå ðàöè-
îíàëüíîå ÷èñëî, òî 1 1
0
1 1
B
f
B
g M, [ ; ]� � è 1 1
B
f r
B
g� ( ), ãäå B — ïðîèçâîëü-
íàÿ ðàöèîíàëüíàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü ôóíêöèé | |f è | |g . Òîãäà � �� �( )f B
B
f� �1
� �Br
B
g r g� �( ) ( )1 , ñëåäîâàòåëüíî, � èìååò ñâîéñòâî 2 íà M 0 . Àíàëîãè÷íî
äîêàçûâàþòñÿ ñâîéñòâà 1, 3 è 4. Áîëåå òîãî, î÷åâèäíî, ÷òî ñâîéñòâî 3 ìîæíî
óñèëèòü, ñíÿâ îãðàíè÷åíèå � � �1 1l .
Ïîêàæåì, ÷òî � ê òîìó æå ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíî íà M 0 ïî íîðìå ïðî-
ñòðàíñòâà M . Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî � 0 âîçüìåì ðàöèîíàëüíîå 0� �
. Äëÿ ëþáûõ
f g M, � 0 èç | | | |f g� �
ñëåäóåò g f g( ) ( ) ( )�
� �
� � � � � �� �. Òîãäà
�
� �
( ) ( ) ( )* *g f g� � � � , îòêóäà ïîëó÷àåì | ( ) ( )|� �
f g� � � .
Ïðîäîëæèì � ñ M 0 íà M ñ ñîõðàíåíèåì åãî ñâîéñòâ. Ïðåæäå âñåãî, ìíîæåñ-
òâî M 0 ïëîòíî â M . Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ïðîèçâîëüíûõ f M� è � 0 çàôèêñèðó-
åì ðàöèîíàëüíóþ íèæíþþ � è âåðõíþþ � ãðàíè ôóíêöèè f è âûáåðåì n N�
äîñòàòî÷íî áîëüøèì, ÷òîáû ( ) /� � � �n . Ïîëîæèì
f i
n
0 ( )� �
� �
� �
�
ïðè � � �
� �
� �
� �
� �� �
�
� � � � �
��
�
�
!
"
�| ( ) ( )i
n
f i
n
1 , i n� 0, .
Î÷åâèäíî, ÷òî f M0 0� è | | | |f f� �0 .
 ñëåäóþùåé ëåììå, èñïîëüçîâàâ ïëîòíîñòü M 0 â M , ïðîäîëæèì � íà M ïî
íåïðåðûâíîñòè.
Ëåììà 2. Îòîáðàæåíèå �: M R0 � èìååò åäèíñòâåííîå íåïðåðûâíîå ïðî-
äîëæåíèå íà M . Áîëåå òîãî, ýòî ïðîäîëæåíèå ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî f M� âûáåðåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{ }f n ýëåìåíòîâ M 0 , ñõîäÿùóþñÿ ê f ïî íîðìå. Ïî ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè
� íà M 0 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }�( )f n ôóíäàìåíòàëüíà. Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 159
lim ( )
n
nf
��
� íå çàâèñèò îò âûáîðà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè { }f n . Ïîëîæèì
� �( ) lim ( )f f
n
n�
��
.
Ïîêàæåì, ÷òî ïîñòðîåííûé ôóíêöèîíàë ðàâíîìåðíî íåïðåðûâåí íà M . Äëÿ
ïðîèçâîëüíîãî � 0 íàéäåòñÿ òàêîå
, ÷òî äëÿ ëþáûõ f g M0 0 0, � | | | |f g0 0� �
âëå÷åò | ( ) ( )| /� � f g0 0 3� � . Ïóñòü f g M, � è | | | |f g� �
3. Âîçüìåì òàêèå
f g M0 0 0, � , ÷òî | | | | /f f� �0 3
è | ( ) ( )| /� � f f� �0 3, | | | | /g g� �0 3
è
| ( ) ( )| /� � g g� �0 3. Òîãäà | | | |f g0 0� �
, îòêóäà ñîãëàñíî âûáîðó
èìååì
| ( ) ( )| /� � f g0 0 3� � . Ñëåäîâàòåëüíî, | ( ) ( )|� � f g� � . Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî åäèíñòâåí-
íîå íåïðåðûâíîå ïðîäîëæåíèå � íà M .
Ëåììà äîêàçàíà.
Ñëåäóþùàÿ ëåììà ïðîâåðÿåò ñîõðàíåíèå ñâîéñòâ � ïðè ïðîäîëæåíèè íà M .
Ëåììà 3. Ôóíêöèîíàë �: M R� èìååò òàêèå ñâîéñòâà: äëÿ ëþáûõ f g M, � :
1) åñëè f g� , òî � �( ) ( )f g� ;
2) � �( ) ( )*rf l r f l� � � äëÿ ëþáûõ r l R, � : r � 0;
3) � � �( ) ( ) ( )f g f g� � � .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîä ñõîäèìîñòüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ýëåìåíòîâ M ïî-
íèìàåòñÿ ñõîäèìîñòü ïî íîðìå. Äëÿ f g� âîçüìåì òàêèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
{ }f n è { }gn ýëåìåíòîâ M 0 , ÷òî f fn � , g gn� � �n N , f fn � è g gn � ïðè
n � �. Òîãäà � �( ) ( )f gn n� � �n N , ïîýòîìó � �( ) ( )f g� .
Äëÿ ëþáûõ ðàöèîíàëüíûõ r � 0 è l, åñëè lim
n
nf f
��
� äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
{ }f n ýëåìåíòîâ M 0 , òî lim ( )* *
n
nrf l rf l
��
� � � . Ïîýòîìó
� � � �( ) lim ( ) lim ( ( ) ) ( )* *rf l rf l r f l r f l
n
n
n
n� � � � � � �
�� ��
.
Ïóñòü r è l — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, r � 0. Âûáåðåì òàêèå ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë { }rn è { }ln , ÷òî rn � 0 � �n N , r rn � è l ln � ïðè
n � �. Òîãäà äëÿ � 0 è n n� 0 èìååì | |r rn � � è | |l ln � � , îòêóäà
sup sup
� �
� � �
� �
� � � � � � �
� �
| ( ) ( ) | (| ( ) ( )| |r f l rf l r r f ln n n n l f| ) | | | |� � ,
ò.å. r f l rf ln n� � �* * ïðè n � �. Èç íåïðåðûâíîñòè � íà M ñëåäóåò
� � � �( ) lim ( ) lim ( ( ) ) ( )* *rf l r f l r f l r f
n
n n
n
n n� � � � � � �
�� ��
l.
Åñëè { }f n è { }gn — ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòîâ M 0 è f fn � , g gn �
ïðè n � �, òî f g f gn n� � � ïðè n � �, ïîýòîìó
� � � � �( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( )f g f g f g f
n
n n
n
n
n
n� � � � � �
�� �� ��
��( )g .
Ëåììà äîêàçàíà.
Èòàê, ôóíêöèîíàë � îïðåäåëåí íà âñåì M , èìååò íóæíûå ñâîéñòâà è ñîâïà-
äàåò ñ îòîáðàæåíèåì �F ïî êðàéíåé ìåðå íà M 0
1 1[ ; ]� . Îñòàëîñü ïðîâåðèòü, ÷òî �
ñîâïàäàåò ñ �F íà âñåé åãî îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ.
Ëåììà 4. Èìååì � �� F íà F .
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû ïðîâåäåì â òðè øàãà.
160 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2
1. Ïóñòü ñíà÷àëà f F� — ïðîñòàÿ ôóíêöèÿ ñî çíà÷åíèÿìè ñòðîãî ìåæäó
�1è 1. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî � 0 âûáåðåì ðàöèîíàëüíîå
� 0 ìåíüøèì âåëè÷èíû
min , ( max | ( )| )
�
�2
1
2
1�
�
�
�
!
"��
f .
Äàëåå âîçüìåì òàêîå f M0 0� , ÷òîáû | | | |f f� �0
è
| ( ) ( )|� �
f f� �0
2
. (3)
Ñîãëàñíî âûáîðó
èìååì f M0 0
1 1� �[ ; ] , ñëåäîâàòåëüíî,
� �( ) ( )f fF0 0� . (4)
 òî æå âðåìÿ èç ñîîòíîøåíèé f f f0 0� � � �
* * , f f0 0� � �
* *,
�
�
M F0
1 1[ ; ] , è ñâîéñòâà 1 ëåììû 1 âûòåêàåò
| ( ) ( )|� �
F Ff f� � �0
2
. (5)
Ñðàâíèâàÿ (3), (4) è (5), ïîëó÷àåì | ( ) ( )|� � f fF� � , îòêóäà ñëåäóåò
� �( ) ( )f fF� ÷åðåç ïðîèçâîëüíîñòü .
2. Ïóñòü f F� — ïðîñòàÿ ôóíêöèÿ ñ ïðîèçâîëüíûìè çíà÷åíèÿìè. Òîãäà
1
n
f F� � �n N ñîãëàñíî óñëîâèþ À0, ã) è, áîëåå òîãî, � � �1 1 1
0n
f ( )� � �� �
ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì n N0 � . Ñëåäîâàòåëüíî,
� � � �F Ff n
n
f n
n
f f( ) ( )�
�
�
��
�
�
�� �
�
�
��
�
�
�� �0
0
0
0
1 1
,
ãäå âòîðîå ðàâåíñòâî âûòåêàåò èç äîêàçàííîãî â ï. 1 äàííîé ëåììû.
3. Ïóñòü f — ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ èç F . Òîãäà èìååì | ( )| ( )f u x� � äëÿ íå-
êîòîðîãî x X� è âñåõ ���; ïîëîæèì B u x� ( ). Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî � 0 âûáåðåì
n N� äîñòàòî÷íî áîëüøèì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü B n/ /� 2.
Ïîëîæèì
f
B
n
i0 ( )� � ïðè � � �� � � � � � �
�
�
�
!
"
�| ( ) ( )
B
n
i f
B
n
i 1 , i n n� � �, 2 ,
f
B
n
n0 1( ) ( )� � � ïðè � � �� � � � � � �
�
�
�
!
"
�| ( ) ( )
B
n
n f B1 .
Î÷åâèäíî, ÷òî f 0 è f B n0 � ( / )* — ïðîñòûå ôóíêöèè è âûïîëíåíî ñîîòíîøå-
íèå f f f B
n0 0� � � ( )* . Áîëåå òîãî, èç óñëîâèé À0, â) è À0, ã) âûòåêàåò, ÷òî
f 0 è f B
n0 � ( )* ïðèíàäëåæàò F . Òîãäà èç ñâîéñòâ 1 è 3 ëåììû 1 ñëåäóåò
| ( ) ( )|� �
F Ff f B
n
� � �0 2
. Ñîãëàñíî äîêàçàííîìó â ï. 2 ëåììû �F f( )0 �
� �( )f 0 . Â òî æå âðåìÿ èç ñâîéñòâ � èìååì | ( ) ( )| /� � f f0 2� � . Â ðåçóëüòàòå
ïîëó÷èì | ( ) ( )|� � f fF� � äëÿ ïðîèçâîëüíîãî , îòêóäà � �( ) ( )f fF� .
Ëåììà äîêàçàíà.
Ïîñòðîåíî ïðîäîëæåíèå � îòîáðàæåíèÿ �F íà âñå M , êîòîðîå îáëàäàåò
ñâîéñòâàìè 1–3 ëåììû 3. Íà îñíîâàíèè ëåììû 3.1.2 èç [8] ïîñëå î÷åâèäíûõ ìî-
äèôèêàöèé ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 161
Ëåììà 5. Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèîíàë �: M R� èìåë ñâîéñòâà 1–3 ëåììû 3,
íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îí áûë ïðåäñòàâèì â âèäå
�( ) inf ( )f g f
g G
�
�
� �f M , (6)
ãäå G — íåêîòîðîå íåïóñòîå çàìêíóòîå â *-ñëàáîé òîïîëîãèè ïðîñòðàíñòâà M *
ìíîæåñòâî îãðàíè÷åííûõ ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ g, óäîâëåòâîðÿþùèõ äâóì
óñëîâèÿì: 1) g( )*1 1� ; 2) äëÿ ëþáîãî f M� f � 0* âëå÷åò g f( ) � 0.
Èòàê, ôóíêöèîíàë � èìååò ôîðìó (6). Ïåðåïèøåì ýòî âûðàæåíèå, âîñïîëü-
çîâàâøèñü èçâåñòíûì [9, òåîðåìà IV.5.1] ðåçóëüòàòîì î ïðåäñòàâëåíèè îãðàíè-
÷åííûõ ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ íà M , ñîãëàñíî êîòîðîìó äëÿ ëþáîãî g G� ñó-
ùåñòâóåò òàêàÿ îãðàíè÷åííàÿ êîíå÷íî-àääèòèâíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà pg , ÷òî
g f f g( ) � � dp
�
� �f M .
Áîëåå òîãî, ñîãëàñíî ñâîéñòâàì 1 è 2 ëåììû 5 pg ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íî-àääèòèâ-
íîé âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé, ò.å. p PFg � . Ïîñòàâèâ â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó
g G� ìåðó p PFg � , èç (6) ïîëó÷èì
�( ) inf inf minf f f f
g G
g
p P p P
� � �
� � �� � �dp dp dp
� � �
� �f M ,
ãäå P p g Gg� �{ }| — íåïóñòîå çàìêíóòîå â � ïîäìíîæåñòâî PF , ñëåäîâàòåëü-
íî, ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàêîíîìåðíîñòü íà �. Òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü äîñòèãàåòñÿ,
ïîñêîëüêó îòîáðàæåíèå p f dp
�
� íåïðåðûâíî íà êîìïàêòå P.
Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îòìåòèì, ÷òî ñîãëàñíî ëåììå 4 äëÿ ëþáîãî
a A� ñïðàâåäëèâî U a u a u aF( ) ( ) ( )� �� � , îòêóäà
U a u a
p P
( ) min�
� � dp
�
.
Òåîðåìà 1 äîêàçàíà.
Àâòîð áëàãîäàðåí Â.È. Èâàíåíêî çà ïîëåçíûå îáñóæäåíèÿ è ïðåäëîæåíèÿ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Â è ë ê à ñ Ý . É . Îïòèìàëüíîñòü â èãðàõ è ðåøåíèÿõ. — Ì.: Íàóêà. Ãë. ðåä. ôèç.-ìàò. ëèò.,
1990. — 256 ñ.
2. Ê è ð è ë þ ê Â . Ñ . Òåîðèÿ îæèäàåìîé ïîëåçíîñòè, îïòèìàëüíûå ïîðòôåëè è ïîëèýäðàëüíûå
êîãåðåíòíûå ìåðû ðèñêà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2014. — 50, ¹ 6. — Ñ. 63–72.
3. È â à í å í ê î Â . È . , Ë à á ê î â ñ ê è é Â . À . Îá îäíîì êëàññå ïðàâèë âûáîðà êðèòåðèÿ // ÄÀÍ
ÑÑÑÐ. — 1986. — 287, ¹ 3. — Ñ. 564–567.
4. G i l b o a I . , S c h m e i d l e r D . Maxmin expected utility with a non-unique prior // Journal of
Mathematical Economics. — 1989. — 18, N 2. — P. 141–153.
5. Ì è õ à ë å â è ÷  . Ì . Ïðîáëåìà íåîïðåäåëåííîñòè â çàäà÷àõ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ è ïðèíöèï ãà-
ðàíòèðîâàííîãî ðåçóëüòàòà: Äèñ. ... ä-ðà ôèç.-ìàò. íàóê. — Êèåâ: Íàö. óí-ò «Êèºâî-Ìîãèë.
àêàä.», 2013. — 316 ñ.
6. ² â à í å í ê î  . ² . , Ï à ñ ³ ÷ í ³ ÷ å í ê î ² . Î . Î÷³êóâàíà êîðèñí³ñòü ó ñèòóàö³ÿõ ïðèéíÿòòÿ
ð³øåíü ç âèïàäêîâèìè â øèðîêîìó ñåíñ³ íàñë³äêàìè // Ñèñòåìí³ äîñë³äæåííÿ òà ³íôîðìàö³éí³
òåõíîëî㳿. — 2015. — ¹ 2. — Ñ. 51–58.
7. Ý ä â à ð ä ñ Ð . Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç: Ïåð. ñ àíãë. — Ì.: Ìèð, 1969. — 1071 ñ.
8. È â à í å í ê î  . È . , Ë à á ê î â ñ ê è é  . À . Ïðîáëåìà íåîïðåäåëåííîñòè â çàäà÷àõ ïðèíÿòèÿ
ðåøåíèé. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1990. — 136 ñ.
9. Ä à í ô î ð ä Í . , Ø â à ð ö Ä æ . Ò . Ëèíåéíûå îïåðàòîðû (îáùàÿ òåîðèÿ): Ïåð. ñ àíãë. — Ì.:
Èçä-âî èíîñòð. ëèò, 1962. — 896 ñ.
Ïîñòóïèëà 27.03.2015
162 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2
|