Стационарные распределения в моделях управления запасами
Рассмотрена задача управления запасами для некоторой системы, функционирующей в стационарном режиме. С помощью стационарного распределения базового арковского процесса найдена стратегия заказа, которая приводит к минимальным издержкам средних затрат функционирования системы. Значения параметров, оп...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Series: | Кибернетика и системный анализ |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131422 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Стационарные распределения в моделях управления запасами / И.Ю. Демченко // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 163-166. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-131422 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1314222025-02-23T17:33:05Z Стационарные распределения в моделях управления запасами Стаціонарні розподіли в моделях керування запасами Демченко, И.Ю. Системный анализ Рассмотрена задача управления запасами для некоторой системы, функционирующей в стационарном режиме. С помощью стационарного распределения базового арковского процесса найдена стратегия заказа, которая приводит к минимальным издержкам средних затрат функционирования системы. Значения параметров, определяющие оптимальную стратегию, получены в явном виде для (s, S)-стратегии. Розглянуто задачу керування запасами для деякої системи, що функціонує в стаціонарному режимі. За допомогою стаціонарного розподілу базового марковського процесу знайдено стратегію замовлення, яка призводить до мінімальних видатків середніх витрат функціонування системи. Значення параметрів, які визначають оптимальну стратегію, отримано в явному вигляді для (s, S)-стратегії. The problem of inventory control for a system operating in a steady state is considered. Order strategy is found, which results in minimal costs of the average expenses of the system. Stationary distribution of the basic Markov process is used while finding it. The parameters that determine the optimal strategy are found in explicit form for the (s, S)-strategy. 2016 Article Стационарные распределения в моделях управления запасами / И.Ю. Демченко // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 163-166. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131422 519.21 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системный анализ Системный анализ |
| spellingShingle |
Системный анализ Системный анализ Демченко, И.Ю. Стационарные распределения в моделях управления запасами Кибернетика и системный анализ |
| description |
Рассмотрена задача управления запасами для некоторой системы, функционирующей в стационарном режиме. С помощью стационарного распределения базового арковского процесса найдена стратегия заказа, которая приводит к минимальным издержкам средних затрат функционирования системы. Значения параметров, определяющие оптимальную стратегию, получены в явном виде для (s, S)-стратегии. |
| format |
Article |
| author |
Демченко, И.Ю. |
| author_facet |
Демченко, И.Ю. |
| author_sort |
Демченко, И.Ю. |
| title |
Стационарные распределения в моделях управления запасами |
| title_short |
Стационарные распределения в моделях управления запасами |
| title_full |
Стационарные распределения в моделях управления запасами |
| title_fullStr |
Стационарные распределения в моделях управления запасами |
| title_full_unstemmed |
Стационарные распределения в моделях управления запасами |
| title_sort |
стационарные распределения в моделях управления запасами |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Системный анализ |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131422 |
| citation_txt |
Стационарные распределения в моделях управления запасами / И.Ю. Демченко // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 163-166. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT demčenkoiû stacionarnyeraspredeleniâvmodelâhupravleniâzapasami AT demčenkoiû stacíonarnírozpodílivmodelâhkeruvannâzapasami |
| first_indexed |
2025-11-24T04:29:23Z |
| last_indexed |
2025-11-24T04:29:23Z |
| _version_ |
1849644615218495488 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
È.Þ. ÄÅÌ×ÅÍÊÎ
ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÅ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß Â ÌÎÄÅËßÕ
ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÇÀÏÀÑÀÌÈ
Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíà çàäà÷à óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè äëÿ íåêîòîðîé ñèñòåìû, ôóíêöèî-
íèðóþùåé â ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå. Ñ ïîìîùüþ ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ áàçîâîãî
ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà íàéäåíà ñòðàòåãèÿ çàêàçà, êîòîðàÿ ïðèâîäèò ê ìèíèìàëüíûì èçäåðæ-
êàì ñðåäíèõ çàòðàò ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñèñòåìû. Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿþùèå
îïòèìàëüíóþ ñòðàòåãèþ, ïîëó÷åíû â ÿâíîì âèäå äëÿ ( , )s S -ñòðàòåãèè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: óïðàâëåíèå çàïàñàìè, ( , )s S -ñòðàòåãèÿ, îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ.
Èçó÷àåòñÿ çàäà÷à óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè äëÿ íåêîòîðîé ñèñòåìû, ôóíêöèîíèðó-
þùåé â ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå. Äëÿ ( , )s S -ñòðàòåãèè â ÿâíîì âèäå íàéäåíû çíà-
÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿþùèõ îïòèìàëüíóþ ñòðàòåãèþ.
Ïóñòü ïðîöåññ ïîïîëíåíèÿ åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X X1 2, , ... íåçàâèñèìûõ
îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ïîëîæèòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïðåäïîëîæèì,
÷òî îáùàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ �( )� èìååò ïëîòíîñòü �( )� , { }X i — âðåìÿ
ìåæäó äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ìîìåíòàìè ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ, Tn — n-ÿ ÷àñ-
òè÷íàÿ ñóììà { }X i , ò.å. âðåìÿ, êîãäà èìååò ìåñòî n-å ïîïîëíåíèå. Îïðåäåëèì
T0 0� è N t — íàèáîëüøåå çíà÷åíèå n, äëÿ êîòîðîãî T tn � , äëÿ ëþáîãî ïîëîæè-
òåëüíîãî ÷èñëà t.  òåðìèíàõ ïîïîëíÿåìûõ çàïàñîâ N t ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîì ïîïîëíå-
íèé íà èíòåðâàëå [ , ]0 t . Îæèäàåìîå çíà÷åíèå N t íàçûâàåòñÿ êîëè÷åñòâîì ïîïîë-
íåíèé, îáîçíà÷àåòñÿ M t( ) è óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì [1, 2]:
M t t M t d
t
( ) ( ) ( ) ( )� � � � �� �
0
, (1)
M t tn
n
( ) ( )( )�
�
� �
1
,
ãäå �( ) ( )n t — n-êðàòíàÿ ñâåðòêà �( )t ñ ñàìîãî ñåáÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî �( )t
àáñîëþòíî íåïðåðûâíî, òîãäà ìîæíî ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü M t( ) è ïîëó÷èòü
ïëîòíîñòü ïîïîëíåíèÿ m t( ), óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèÿì
m t t m t d
t
( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � �
0
, (2)
m t tn
n
( ) ( )( )�
�
� �
1
.
Îïðåäåëèì äîïîëíèòåëüíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó � t NT t
t
� ��1 . Îáîçíà÷èì
H t x P xt( , ) [ ]� �� ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ � t . Çäåñü H t x( , ) óäîâëåòâîðÿåò èí-
òåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ:
H t x t x t H t x d x
t
( , ) ( ) ( ) ( , ) ,� � � � � � � � �
�� �
0
0 . (3)
Èññëåäóåì ñòàöèîíàðíûå ðåøåíèÿ ðàññìîòðåííûõ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè.
Îïðåäåëèì åäèíñòâåííóþ ñòðàòåãèþ çàêàçà, êîòîðàÿ ïðèâîäèò ê ìèíèìàëüíûì
èçäåðæêàì ñðåäíèõ çàòðàò ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñèñòåìû, èñïîëüçóÿ ñòàöèîíàðíîå
ðàñïðåäåëåíèå áàçîâîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà. (Ïîýòîìó ïîëó÷åííàÿ åäèíñòâåí-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 163
© È.Þ. Äåì÷åíêî, 2016
íàÿ ñòðàòåãèÿ çàêàçà íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíîé.) Äàííûé ïîäõîä îòëè÷àåòñÿ îò
äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, êîãäà ïîëó÷àåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïòè-
ìàëüíûõ ñòðàòåãèé çàêàçà íà ïðîòÿæåíèè âñåé ïðîãðàììû, ÷òî îïðåäåëåííî ìè-
íèìèçèðóåò îæèäàåìûå èçäåðæêè äëÿ êàæäîé ïðîãðàììû. Ñòàöèîíàðíîå ðàñïðå-
äåëåíèå ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîëó÷åíèÿ îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè çàêàçà è ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ ñïðîñà, íåçàâèñèìîé îò ëþáîé ñòðóêòóðû èçäåðæåê, ñâÿçàííûõ
ñ äàííîé çàäà÷åé óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè. Äëÿ âûïóêëîé L y( ) è ëèíåéíîé c z( ) ôóíê-
öèé îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ çàäà÷è ñ ïåðèîäîì n îïðåäåëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé êðè-
òè÷åñêîé òî÷êîé xn .
Ðàññìîòðèì äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå çàäà÷è óïðàâëåíèÿ çà-
ïàñàìè, êîãäà ñòðàòåãèÿ çàêàçà îïðåäåëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì êðèòè÷åñêèì ÷èñëîì
~x . Óñëîâèÿ òàêîãî âûïîëíåíèÿ ïðèâåäåíû â [3–5].  íà÷àëå êàæäîãî ïåðèîäà
ïîìåùàþòñÿ çàêàçû íà âåëè÷èíó çàïàñà, äîñòàòî÷íóþ äëÿ ïîäíÿòèÿ óðîâíÿ ïî-
ñëåäíåãî äî çíà÷åíèÿ ~x . Ïîñòàâêà îñóùåñòâëÿåòñÿ ìãíîâåííî. Íà ïðîòÿæåíèè
n-ãî ïåðèîäà èìååò ìåñòî ñïðîñ, êîòîðûé ïðèâîäèò çàïàñ ê íåêîòîðîìó çíà÷å-
íèþ, ìåíüøåìó ~x . Òîãäà ïðè âåëè÷èíå ñïðîñà � èìååì X xn � � �~ ,� � 0. Ïðè
ýòîì ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F xn ( ) íà X n âû÷èñëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
F x P X x x dx x xn n
x x
( ) [ ] ( ) , ~
~
� � � �
�
� .
Ïîñêîëüêó F xn ( ) íåçàâèñèìà îò n, ýòî è åñòü èñêîìîå ñòàöèîíàðíîå ðàñïðå-
äåëåíèå. Îáîçíà÷èì C x( ) óñëîâíûå îæèäàåìûå èçäåðæêè çà ïåðâûé ïåðèîä ïðè
çàäàííîì óðîâíå çàïàñà â íà÷àëå ïåðèîäà x. Òîãäà C x L x c x x x x( ) (~ ) (~ ), ~� � � � .
Îáîçíà÷èì �(~ )x ñðåäíåå ýòèõ óñëîâíûõ îæèäàåìûõ èçäåðæåê ñ ó÷åòîì ñòàöèî-
íàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. ßñíî, ÷òî
�~ (~) (~ ) (~ ) (~ )
~
x L x c x x d L x c
x
� � � � � �
�
� � � � � , (4)
ãäå � — ñðåäíåå îò �( ).� Äèôôåðåíöèðóÿ ïî ~x , â êà÷åñòâå ìèíèìèçèðóþùåãî
çíà÷åíèÿ ~x ïîëó÷àåì x, � �L x( ) .0 Åñëè óðàâíåíèå (4) íå èìååò åäèíñòâåííîãî
êîðíÿ, âûáèðàåì x êàê íàèìåíüøèé.
Îäíàêî åñëè L y( ) âûïóêëàÿ, òî îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ çàäà÷è ñ ïåðèîäîì n
îïðåäåëÿåòñÿ ïàðîé êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ( , ).S sn n Ðàññìîòðèì òåïåðü çàäà÷ó óïðàâ-
ëåíèÿ çàïàñàìè, â êîòîðîé ñòðàòåãèÿ çàêàçà õàðàêòåðèçóåòñÿ ïàðîé ( , ),S s s� S .
Êîãäà óðîâåíü çàïàñà ñíèæàåòñÿ äî s èëè íèæå, ïîìåùàåòñÿ çàêàç, êîòîðûé ïîä-
íèìàåò óðîâåíü çàïàñà äî S . Ïîñòàâêà òàêæå îñóùåñòâëÿåòñÿ ìãíîâåííî. Åñëè
óðîâåíü çàïàñà ïðåâûøàåò s, òî çàêàç íå äåëàåòñÿ. Çàïàñ ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿåò-
ñÿ ÷åðåç íåêîòîðûå âðåìåííûå èíòåðâàëû, è ïðèìåíÿåòñÿ îïèñàííàÿ ðàíåå ñòðà-
òåãèÿ çàêàçà, êîòîðàÿ ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó çàêîíó:
X
X s X S
S X s
n
n n
n
� �
� � �
� �
�
�
�
1
�
�
, ,
, ,
ãäå � — ñïðîñ íà n-é ïåðèîä. Â [1, 2] ïîêàçàíî, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå X n ñõî-
äèòñÿ ê ñòàöèîíàðíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ñ ïëîòíîñòüþ
f x
m S x
M
s x S
h s x
M
x s
( )
( )
( )
, ,
( , )
( )
, ,
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
��
�
�
�
1
1
�
�
�
164 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2
ãäå � � �S s, m( )� è M ( )� çàäàþòñÿ ôîðìóëàìè (1) è (2) ñîîòâåòñòâåííî, à h x( , )�
ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ H x( , ),� îïðåäåëåííîé â (3).
Îïèñàííàÿ ñòðóêòóðà èçäåðæåê, êîòîðàÿ èñïîëüçîâàëàñü äëÿ ðåøåíèÿ äàí-
íîé çàäà÷è óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè ìåòîäîì äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ïî-
çâîëÿåò óñðåäíèòü îæèäàåìûå èçäåðæêè ïðè çàäàííîì óðîâíå çàïàñà x â íà÷àëå
êàæäîãî ïåðèîäà ïðè ñòàöèîíàðíîì ðàñïðåäåëåíèè f x( ). Îáîçíà÷èì �( , )s S ýòè
ñðåäíèå èçäåðæêè. Åñëè, êàê îòìå÷åíî ðàíåå, C x( ) — óñëîâíûå îæèäàåìûå èç-
äåðæêè çà ïåðâûé ïåðèîä ïðè çàäàííîì íà÷àëüíîì óðîâíå çàïàñà x, òî èìååì
Ñ x
K L s c S x x s
L x s x S
( )
( ) ( ), ,
( ), .
�
� � � �
� �
�
�
�
Åñëè ïðè f x( ) äàííûå èçäåðæêè ÿâëÿþòñÿ ñðåäíèìè C x( ), òî ïîëó÷èì
�( , ) ( ) ( )s S C x f x dx
S
�
�
.
Èñïîëüçóÿ òîò ôàêò, ÷òî
f x dx
M
s
( )
( )
�
�
�
1
1 �
,
è ðåçóëüòàòû ðàáîòû [5], ïîëó÷àåì
�
�
( , )
( ) ( ) ( )
( )
s S
K L S L x m S x dx
M
S
�
� � �
�
��
1
�
�
� � �
�
c
M
S x h s x dx
s
1 ( )
( ) ( , )
�
� . (5)
Îäíàêî èç (4)
c
M
S x h s x dx
c
M
h d
S
1 1
0
�
� � � �
�
� �
�
( )
( ) ( , )
( )
( ) ( , )
�
�
�
� �� � �
� c� .
Òàêæå ïðîñòîé çàìåíîé ïåðåìåííûõ èìååì
L x m S x dx L S x m x dx
x
S
( ) ( ) ( ) ( )� � �
0
�
.
Ñëåäîâàòåëüíî, (5) ïðèíèìàåò âèä
�
�
�
( , )
( ) ( ) ( )
( )
s S
K L S L S x m x dx
M
c�
� � �
�
�
0
1
� .
Òåïåðü ìèíèìèçèðóåì �( , )s S ïî ïàðàìåòðàì s è S (îäíàêî óäîáíåå ýòî îñóùå-
ñòâëÿòü ïî s è �). Âûáðàâ ÷àñòè÷íûå ïðîèçâîäíûå ïî s è � è ïðèðàâíÿâ èõ
íóëþ, ïîëó÷èì
�
�
� � � � � � � �
�
�
� �
�
( , )
( ) ( ) ( )
s S
L s L s x m x dx
0
0 , (6)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 165
�
�
� � � � � � � � � �
�
�
� � �
�
( , )
[ ( )] [ ( ) ( ) ( ) (
s S
M L s L s x m x dx L s1
0
) ( )]m � �
� � � � � � � [ ( ) ( ) ( ) ] ( )K L s L s x m x dx m� � �
�
0
0 . (7)
Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì äëÿ ìèíèìèçèðóþùèõ s è � (íàçîâåì èõ s* è �*)
ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíè óäîâëåòâîðÿþò (6) è (7). Òàêèì îáðàçîì,
� � � � � � L s L s x m x dx( ) ( ) ( )* * * *
*
� �
�
0
,
L s
K L s L s x m x dx
M
( )
( ) ( ) ( )
( )
*
* * * *
*
�
� � � � �
�
� �
�
�
0
1
.
Ñëåäîâàòåëüíî, �( , ) ( ) .* * *s S L s c� � �
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. K a r l i n S . On the renewal equation // Pacific J.Math. — 1955. — N 5. — P. 229–257.
2. Ï ð à á õ ó Í . Ìåòîäû òåîðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ è óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè. — Ì.: Ìèð, 1969. —
356 ñ.
3. Ä à ä ó í à Ã . , Ê í î ï î â Ï . Ñ . , Ò ó ð Ë . Ï . Îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè äëÿ ñèñòåìû çàïàñîâ ñ ôóíê-
öèÿìè ñòîèìîñòè îáùåãî âèäà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1999. — ¹ 4. — P. 106–123.
4. Ê í î ï î â Ï . C . , Ä å ð è å â à Å . Í . , Ä å ì ÷ å í ê î Ñ . Ñ . Î ìîäåëÿõ óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè ñ âûïóê-
ëîé ôóíêöèåé èçäåðæåê // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2003. — ¹ 2. — Ñ. 149–156.
5. Ä å ì ÷ å í ê î Ñ . Ñ . , Ê í î ï î â À . Ï . , Ï å ï å ë ÿ å â Â . À . Îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè äëÿ ñèñòåì
óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè ñ âûïóêëîé ôóíêöèåé èçäåðæåê // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2000. —
¹ 6. — Ñ. 113–120.
6. I g l e h a r t D . L . Dynamic programming and stationary analysis of inventory problems: Doctoral
dissertation / Stanford University, 1961. — 31 p.
Ïîñòóïèëà 03.12.2015
166 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2
|