Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації

Розглядається інтегро-диференціальна грa з запізненням інформації, в якій виконані умови регулярності за М.М. Красовським. Встановлені достатні умови зближення з ε-околом нуля за час першого поглинання, який знайдений в явному вигляді. Рассматривается интегро-дифференциальная игра с запаздыванием ин...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Теорія оптимальних рішень
Date:	2017
Main Author:	Чикрій, Г.Ц.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2017
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131431
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації / Г.Ц. Чикрій // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2017. — № 2017. — С. 9-14. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-131431
record_format	dspace
spelling	Чикрій, Г.Ц. 2018-03-23T10:19:07Z 2018-03-23T10:19:07Z 2017 Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації / Г.Ц. Чикрій // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2017. — № 2017. — С. 9-14. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 2616-5619 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131431 517.977 Розглядається інтегро-диференціальна грa з запізненням інформації, в якій виконані умови регулярності за М.М. Красовським. Встановлені достатні умови зближення з ε-околом нуля за час першого поглинання, який знайдений в явному вигляді. Рассматривается интегро-дифференциальная игра с запаздыванием информации, в которой выполнены условия регулярности по Н.Н. Красовскому. Установлены достаточные условия сближения с ε-окрестностью нуля за время первого поглощения, которое найдено в явном виде. We consider the integro-differential game with delay of information for which the regularity conditions of M.M. Krasovskii are satisfied. Sufficient conditions for approaching the ε-neighbourhood of zero in first-absorption time, the latter found in explicit form, are established. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації О позиционном управлении в интегро-дифференциальных играх сближения On positional conrol in integro-differential game with delay of information Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації
spellingShingle	Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації Чикрій, Г.Ц.
title_short	Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації
title_full	Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації
title_fullStr	Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації
title_full_unstemmed	Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації
title_sort	про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації
author	Чикрій, Г.Ц.
author_facet	Чикрій, Г.Ц.
publishDate	2017
language	Ukrainian
container_title	Теорія оптимальних рішень
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	О позиционном управлении в интегро-дифференциальных играх сближения On positional conrol in integro-differential game with delay of information
description	Розглядається інтегро-диференціальна грa з запізненням інформації, в якій виконані умови регулярності за М.М. Красовським. Встановлені достатні умови зближення з ε-околом нуля за час першого поглинання, який знайдений в явному вигляді. Рассматривается интегро-дифференциальная игра с запаздыванием информации, в которой выполнены условия регулярности по Н.Н. Красовскому. Установлены достаточные условия сближения с ε-окрестностью нуля за время первого поглощения, которое найдено в явном виде. We consider the integro-differential game with delay of information for which the regularity conditions of M.M. Krasovskii are satisfied. Sufficient conditions for approaching the ε-neighbourhood of zero in first-absorption time, the latter found in explicit form, are established.
issn	2616-5619
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131431
citation_txt	Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації / Г.Ц. Чикрій // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2017. — № 2017. — С. 9-14. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT čikríigc propozicíinekeruvannâvíntegrodiferencíalʹníigrízzapíznennâmínformacíí AT čikríigc opozicionnomupravleniivintegrodifferencialʹnyhigrahsbliženiâ AT čikríigc onpositionalconrolinintegrodifferentialgamewithdelayofinformation
first_indexed	2025-11-26T03:07:17Z
last_indexed	2025-11-26T03:07:17Z
_version_	1850609821642915840
fulltext	Теорія оптимальних рішень. 2017 9 ТЕОРІЯ ОПТИМАЛЬНИХ РІШЕНЬ Розглядається інтегро-диферен- ціальна грa з запізненням інфор- мації, в якій виконані умови регу- лярності за М.М. Красовським. Встановлені достатні умови збли-ження з  -околом нуля за час пер-шого поглинання, який знайдений в явному вигляді.  Г.Ц. Чикрій, 2017 УДК 517.977 Г.Ц. ЧИКРІЙ ПРО ПОЗИЦІЙНЕ КЕРУВАННЯ В ІНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІЙ ГРІ З ЗАПІЗНЕННЯМ ІНФОРМАЦІЇ Вступ. Класичним прикладом ефективного застосування правила екстремального приці- лювання М.М. Красовського [1, 2] є ситуація з єдиними екстремальними елементами від- повідних маргінальних відображень, так зва- ний регулярний випадок. У даній роботі цей факт ілюструється на прикладі інтегро-дифе- ренціальної гри з запізненням інформації. Розглянемо задачу зближення, в якій рух об’єкта описується системою інтегро-дифе- ренціальних рівнянь         0 t z t z s ds u t v t         0 , t u s v s ds      0,0, 0  tzzRtz n , (1) яка включає крім звичайного ще й інтег- ральний блок керування. Мета переслідувача –  -зближення тра- єкторії об’єкта з термінальною множиною ,M де  : .M z z    (2) Області керувань U та V є кулями  , , ,nU u u R u     , , ,nV v v R v    0,  0. В роботі [3] знайдена формула для роз- в’язку системи (1)         0 0 , 0, t t sz t ch t z e u s v s ds t    (3) де cht – гіперболічний косинус: . 2 t te e cht   Г.Ц. ЧИКРІЙ 10 Теорія оптимальних рішень. 2017 Будемо вважати, що переслідувач отримує інформацію про стан об’єкта з постійним запізненням у часі . Припустимо, що на початку гри переслідувач застосовує керування   0,u t   0, .t  Як відомо (див., наприклад, [4]), гра з постійним запізненням інформації еквівалентна грі переслідування з повною інформацією, в якій поточний стан об’єкта описується системою         0 , t t s z t chtz e u s e v s ds         ,t   (4) з термінальною множиною   )( VSM  , 0 ( ) ( 1) .sV e V ds e S       (5) З огляду на те, що S та ( )V  є кульками відповідно радіусів  та ( 1)e  з центром у нулі, то умова ( ) ( 1)M e S          виконується, якщо ( 1).e    (6) Опорна функція множини ( )M  має вигляд    ( ); ( 1)W M p e p      і, оскільки множина ( )M  – обмежена, то бар’єрний конус ( ) n MK R  [2]. Припустимо, що переслідувач, починаючи з моменту часу , використовує позиційні керування. Застосуємо схему, викладену в [3], для розв’язку задачі зближення в еквівалентній грі (4), (5). Згідно схемі позиційного керування покладемо      0, , ( ), ( ) ( ) ( ) , t T s t tz T t u v chT z e u s e v s ds            (7) де ( ), ( )t tu v   – реалізації керувань гравців відповідно на півінтервалах  , t ,  0, t   . Позначимо  , , ( ), ( ) .t tz T t u v     Зауважимо, що оскільки в представленні циліндричної термінальної множи- ни 0 ,M M S     0 0 ,M  то nRLM   0 і ортопроектор , : ,nR L   зада- ється одиничною матрицею .E Згідно правила екстремального прицілювання [2] та враховуючи вигляд множин U та V введемо функцію     ( , , ; ) , min max( , ) T T s v V u U t W T t p p e p u e v ds           ( , ) ( ) ( 1) , ,T tp e e p t        де максимум і мінімум досягається відповідно на векторах , p u p   . p v p   ПРО ПОЗИЦІЙНЕ КЕРУВАННЯ В ІНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІЙ ГРІ ... Теорія оптимальних рішень. 2017 11 Підставивши формули для ( , , ; )W T t p та ( ) ( )MW p у вираз для відстані до термінальної множини   1, ( , , ) min ( , , ; ) ( ; ) , p p L T t W T t p C M p         отримаємо   , , , , ( ), ( )t tT t z T t u v          , 1 min , , ( ), ( ) , ( )( 1) ( 1)T t t t p L p z T t u v p e e e p                        , , ( ), ( ) ( )( 1) ( 1), ,T t t tz T t u v e e e t                   причому мінімум досягається на єдиному векторі     , , ( ), ( ) , , , ( ), ( ) t t t t z T t u v p z T t u v        де  , , ( ), ( )t tz T t u v   визначається формулою (7). Це означає, що виконано умову, що полягає в єдиності вектора спряженої системи [2]. Позначимо      t, ( ), ( ) min : , , , , ( ), ( ) 0 .t t tT t u v T t T t z T t u v        Час  , ( ), ( )t tT t u v   – перший позитивний корень відносно T рівняння  , , ( ), ( ) ( ) ( 1) ( 1), ,T t t tz T t u v e e e T t                  а час першого поглинання – перший позитивний корень рівняння 0( ) ( 1) ( 1) , .Te e e chT z T          (8) Функція 2 TT ee Tch   – монотонно зростаюча при 0T і .10 ch Дослідимо рівняння (8) на предмет існування позитивного кореня. Нехай виконано умову 0e   . (9) Тоді, з огляду на умову (6), позитивність лівої частини рівності (8) гарантовано. Перепишемо (8), позначивши ( 1) ,e     ( ) .e   (10) Тоді рівняння (8) набуде вигляду 0( 1) , 2 T T T e e e z       (11) де 0, 0 0.    Помножимо обидві частини рівняння (11) на Te   і запишемо його у вигляді 0 2 01 1 0, . 2 2 T Te z e z e e T                       Г.Ц. ЧИКРІЙ 12 Теорія оптимальних рішень. 2017 Позначивши 0 , 2 e z a    1 ,e b        (12) отримаємо рівняння 2(1 ) 0.T Ta e be a    (13) Введемо змінну xeT  і будемо шукати розв’язки квадратного рівняння 2(1 ) 0,a x bx a    (14) які більші за ,e Te x e  при .T   Будемо розглядати випадок, коли 0,1  ba . Згідно позначень (10), (12) 1b e          ( ) ( 1) , e e e e e e                       тому, оскільки 1e  0  і e  (9), умова 0b виконується якщо .   (15) Оскільки  – позитивне число, виконання цієї умови потребує переваги в ресур- сах керування .   (16) Ця нерівність випливає з умови (9). Легко перевірити, що в нашому випадку ви- конання умов (6), (15) автоматично забезпечує виконання умови (9). Розв’язки рівняння (14) мають вигляд       , 12 14 12 2 1 a aab a b x           a aab a b x      12 14 12 2 2 . Оскільки 0 1, 0,a b   то 2 4(1 ) , 2(1 ) 2(1 ) b b а a b а а       а значить 02 x . Тому рівняння (14) має єдиний позитивний корень 2 1 4(1 ) , 2(1 ) b b а a x а      1 0. 1 b x a    Цей корень гарантовано більший за ,e якщо e a b  1 або 1 .a be  З огляду на вираз для b (12) 1 / ,be    тому остання нерівність разом з умовою 1a  зводиться до подвійної нерівності / 1.a   З урахуванням позначень (10), (12), отримана умова набуває вигляду 0( 1) 1. 2 ( ) ze e e e                 (17) ПРО ПОЗИЦІЙНЕ КЕРУВАННЯ В ІНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІЙ ГРІ ... Теорія оптимальних рішень. 2017 13 Таким чином, якщо початкове положення 0z задовольняє обмеженням (17), то рівняння (14) має єдиний корінь 1 .x e З цього робимо висновок, що у ви- падку, що розглядається, рівняння (8) має єдиний корінь , ,T T   2 4(1 ) 1 , 2(1 ) b b а a T n а      (18) де згідно (10), (12) 0 , 2( ) e a z e       ( ) . ( ) e b e          Отже, показано, що час першого поглинання є скінченним, а також виконана умова регулярності, яка полягає у єдиності екстремальних векторів u та p . При цьому єдиність p означає єдиність точки екстремального прицілювання, а єдиність вектора u забезпечує єдиність траєкторії переслідувача, що веде в цю точку. На закінчення зауважимо, що якщо параметри гри (1), (2) з постійним запіз- ненням інформації  задовольняють умовам (6), (15), то з початкових положень 0,z що задовольняють умові (17), зближення в класі позиційних керувань може бути закінчено не пізніше моменту часу T (18). Висновки. Таким чином, розглянуто лінійну інтегро-диференціальну гру з інтегральним блоком керування, кульовими областями керувань та терміналь- ною множиною. Для даної ігрової задачі має регулярний за М.М. Красовським випадок, тобто екстремальні елементи спряженої системи є єдиними, що забез- печує їх неперервність по позиції. Отримано достатні умови завершення гри за час першого поглинання, виражені через параметри конфліктно-керованого процесу. В явному вигляді знайдено керування переслідувача та відповідний час першого поглинання, що залежать від початкових умов та параметрів процесу. Г.Ц. Чикрий О ПОЗИЦИОННОМ УПРАВЛЕНИИ В ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ СБЛИЖЕНИЯ Рассматривается интегро-дифференциальная игра с запаздыванием информации, в которой выполнены условия регулярности по Н.Н. Красовскому. Установлены достаточные условия сближения с  -окрестностью нуля за время первого поглощения, которое найдено в явном виде. Г.Ц. ЧИКРІЙ 14 Теорія оптимальних рішень. 2017 G.Ts. Chikrii ON POSITIONAL CONROL IN INTEGRO-DIFFERENTIAL GAME WITH DELAY OF INFORMATION We consider the integro-differential game with delay of information for which the regularity conditions of M.M. Krasovskii are satisfied. Sufficient conditions for approaching the -neighbourhood of zero in first-absorption time, the latter found in explicit form, are established. 1. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с. 2. Пшеничный Б.Н. Линейные дифференциальные игры. Автоматика и телемеханика. 1968. № 1. С. 65 – 78. 3. Чикрий Г.Ц. О позиционном управлении в интегро-дифференциальных играх. Кибер- нетика и системный анализ. 2002. № 5. С. 100 – 117. 4. Чикрий Г.Ц. Принцип растяжения времени в эволюционных играх сближения. Проблемы управления и информатики. 2016. № 3. С. 35 – 48. Одержано 20.03.2017

Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації

Institution

Similar Items