К регуляризации интегрантов

К регуляризации интегрантов

Установлены минимальные условия регулярности интегрантов для существования интегральных функционалов. Показана возможность регуляризации интегрантов при сохранении экстремального значения интегральных функционалов....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2017
Автор: Раппопорт, И.С.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2017
Назва видання:Теорія оптимальних рішень
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131433
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:К регуляризации интегрантов / И.С. Раппопорт // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2017. — № 2017. — С. 21-26. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-131433
record_format dspace
spelling nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1314332025-02-23T17:15:17Z К регуляризации интегрантов До регулярізації інтегрантів To the regularization of integrants Раппопорт, И.С. Установлены минимальные условия регулярности интегрантов для существования интегральных функционалов. Показана возможность регуляризации интегрантов при сохранении экстремального значения интегральных функционалов. Встановлено мінімальні умови регулярності інтегрантів для існування інтегральних функціоналів. Показана можливість регулярізації інтегрантів при збереженні екстремального значення інтегральних функціоналів. Minimum conditions of reguiar integrants for the existence of integral functionals and the possibility of regularization of integrants while maintaining extreme value of integral functionals is established. 2017 Article К регуляризации интегрантов / И.С. Раппопорт // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2017. — № 2017. — С. 21-26. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 2616-5619 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131433 517.977 ru Теорія оптимальних рішень application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Установлены минимальные условия регулярности интегрантов для существования интегральных функционалов. Показана возможность регуляризации интегрантов при сохранении экстремального значения интегральных функционалов.
format Article
author Раппопорт, И.С.
spellingShingle Раппопорт, И.С.
К регуляризации интегрантов
Теорія оптимальних рішень
author_facet Раппопорт, И.С.
author_sort Раппопорт, И.С.
title К регуляризации интегрантов
title_short К регуляризации интегрантов
title_full К регуляризации интегрантов
title_fullStr К регуляризации интегрантов
title_full_unstemmed К регуляризации интегрантов
title_sort к регуляризации интегрантов
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2017
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131433
citation_txt К регуляризации интегрантов / И.С. Раппопорт // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2017. — № 2017. — С. 21-26. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series Теорія оптимальних рішень
work_keys_str_mv AT rappoportis kregulârizaciiintegrantov
AT rappoportis doregulârízacíííntegrantív
AT rappoportis totheregularizationofintegrants
first_indexed 2025-11-24T02:31:25Z
last_indexed 2025-11-24T02:31:25Z
_version_ 1849637192785199104
fulltext Теорія оптимальних рішень. 2017 21 ТЕОРІЯ ОПТИМАЛЬНИХ РІШЕНЬ Установлены минимальные усло- вия регулярности интегрантов для существования интегральных функционалов. Показана возмож- ность регуляризации интегран- тов при сохранении экстремаль- ного значения интегральных функционалов. © И.С. Раппопорт, 2017 УДК 517.977 И.С. РАППОПОРТ К РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ИНТЕГРАНТОВ Для любого замкнутого множества  евкли- дового пространства lR обозначим L – множество всех его измеримых по Лебегу подмножеств [1, 2]. Пусть  – мера Ле- бега на измеримом пространстве , ,( L) а ( , )f x – функция на lR со значени- ями в расширенной вещественной прямой. Следуя [3], любую такую функцию будем называть интегрантом. При довольно слабых предположениях регулярности интегрантов, описанных далее, интеграл ( ( )) ( , ( )) ( )fI x f х d        (1) оказывается корректно определенным для каждой суммируемой функции : lx R и, таким образом, является функционалом на банаховом пространстве 1( , )lL  R со зна- чениями в расширенной вещественной пря- мой. Такие функционалы возникают во мно- гих проблемах теории управления и в теории динамических игр [3, 4]. При этом часто бы- вает желательно минимизировать выражение вида fI (1) на подмножестве 1( , ),lL  R определяемом некоторыми ограничениями (геометрические, интегральные, смешанные). Другие ограничения можно выразить с по- мощью самого ,fI приписывая интегранту ( , ),f v значение  в определенных точках .lR Интеграл (1) не имеет смысла, если не сделать дополнительных предположений. Следующие условия, которые всюду далее предпологаются выполненными, ока- зываются вполне естественными. И.С. РАППОПОРТ 22 Теорія оптимальних рішень. 2017 Данная работа развивает идеи [5, 6], примыкает к исследованиям [3] и указывает новые возможности приложения выпуклого анализа и теории мно- гозначных отображений к теории конфликтно-управляемых процессов. Пусть  nRB –  -алгебра борелевских множеств пространства .lR Обозначим L B  -алгебру, порожденную произведением множеств L B , где ,LL ( )lB RB . Множества, принадлежащие этой  -алгебре, будем называть L B -измеримыми (более точно ( )l RL B -измеримыми). Вектор-функцию ( , ), : ,l mf x f  R R будем называть ( )l RL B -из- меримой, если для любого борелевского множества ( )mB RB его обратный образ  1( ) ( , ) : ( , )lf B x f x B     R будет ( )l RL B -измеримым. Условия регулярности. Интегрант ( , )f x является ( )l RL B -измеримой функцией и полунепрерывной сверху как функция 1x R для каждого . Многозначное отображение ( , ), : 2 , mlF x F   RR будем называть ( )l RL B -измеримым, если для любого открытого множества mAR его обратный образ  1( ) ( , ) : ( , )lF A x F x A     R будет ( )l RL B - измеримым. Каждому многозначному отображению ( , ), : 2 , mlF x F   RR можно со- поставить его график gr     , , : , .l mF x z z F x     R R Обозначим    1, {( , )e : , }pi x R f xf         надграфик функции  ,f x [3]. Функция  co ,f x называется замыканием овыпукления функ- ции  , ,f x если    epico coep, ,ix xf f   [3]. При этом справедливо нера- венство    co, ,x xf f   при всех , 1.x R Лемма 1 [1]. Пусть для многозначного отображения ( ), : 2 , m F F  R gr ( )mF   RL B . Тогда для любой L -измеримой вектор-функции   ,f  : ,mf R множество  : ( ) ( )f F    будет L -измеримым. Лемма 2. Пусть многозначное отображение 1 1( ), : 2 , m F F  R имеет замкнутые значения и L -измеримо, а многозначное отображение 2 2( ), : 2 , m F F  R имеет открытые значения и gr 2 ( ).mF   RL B Тогда отображение 1 2( ) ( ) ( ), : 2 , m F F F F     R L -измеримо. К РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ИНТЕГРАНТОВ Теорія оптимальних рішень. 2017 23 Доказательство. С учетом теоремы о характеризации [2], пусть   1 ( )i i q   счетное плотное семейство L -измеримых селекторов многозначного отображе- ния 1( )F  и при этом  1 1 ( ) ii F q     для каждого  . Здесь черта над выражением означает замыкание [2, 3]. Пусть mBR произвольное открытое множество. Имеем  1 1 2( ) : ( ) ( )F B F F B      =   2 1 : ( ) , ii z zF B q              2 1 (: ( ) , )i i q F B qq                 1 2: ( ) . i i q q q F B         Но для любого L -измеримого селектора   1 ( ) ( )i i q q     множество   2: ( )q F B          2: ( ) : .q F q B        L -измеримо по лемме 1 и из свойства L -измеримости селектора ( )q  . Лемма 3. Пусть многозначное отображение   ,F  F : 2 , l  R имеет замкнутые значения и L -измеримо, а функция 1( , ), : ,lf x f  R R ( )l RL B -измерима и при каждом  полунепрерывна сверху по .lxR Тогда маргинальная функция 1 ( ) ( ) inf ( , ), : { }, x F h f x h       R L -из- мерима. Если к тому же для некоторой L -измеримой конечной действительной функции 1( ), : ,   R почти при всех  справедливо условие ( ) ( ) inf ( , ), x F f x       (2) то существует L -измеримый селектор 1( ), : ,x x R многозначного ото- бражения   ,F  такой, что почти при всех  ( ) ( , ( )).f x     (3) Доказательство. Рассмотрим для каждого 1R и  многозначное отображение  : (( ) ,, )lG x R f x     : 2 , l G  R которое имеет открытые значения в силу полунепрерывности сверху по lx R функции ( , )f x при любом  . Нетрудно показать, что при всех 1R  h    тогда и только тогда, когда   ( ) ,G F     . Поэтому в силу леммы 2 маргинальная функция 1 ( ) ( ) inf ( , ), : { }, x F h f x h       R L -измерима. И.С. РАППОПОРТ 24 Теорія оптимальних рішень. 2017 Рассмотрим многозначное отображение   ( )( ) { ( ) : , ( )} ( ) ( )}.x F f x F G             Соотношение (2) гарантирует, что ( ) .   Как отмечалось выше, для каждого 1R и  многозначное отображение  : )( ,) (lR xG x f      имеет открытые значения и график этого отображения будет ( )l RL B -из- мерим, поскольку функция ( , )f x ( )l RL B -измерима [1]. Поэтому в силу леммы 2 многозначное отображение ( )  L -измеримо и существует L -изме- римый селектор этого отображения [7] 1( ), : ,x x R который удовлетворяет неравенству (3). Теорема 1. Пусть многозначное отображение   ,F  F : 2 , l  R имеет замкнутые значения и L -измеримо, а функция 1( , ), : ,lf x f  R R ( )l RL B -измерима и при каждом  полунепрерывна сверху по .lxR Тогда маргинальная функция 1 ( ) ( ) inf ( , ), : { }, x F h f x h       R L -измерима и справедливо равенство ( ) ( ),H h d      (3) где   ( ) ( ) inf , ( ) ( ) x F fH x d          и ( )F  – множество всех L -измеримых селекторов отображения ( ),F   . Доказательство. Маргинальная функция ( )h  L -измерима в силу леммы 3, а функция 1( , ), : ,lf x f  R R ( )l RL B -измерима и, сле- довательно, суперпозиционно измерима [1]. Значит,  , ( ) ( ),x hf     (( ,) )Fx   . Покажем справедливость соотношения (3). Ясно, что имеет место неравен- ство ( ) ( ).H h d      (4) Пусть в соотношении (4) имеет место строгое неравенство. Тогда существу- ет суммируемая функция 0( ),H  такая, что 0( ) ( )H H d      (5) и при почти всех  имеем К РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ИНТЕГРАНТОВ Теорія оптимальних рішень. 2017 25 0 ( ) ( ) inf ( , ). x F H f x      Согласно лемме 3 существует L -измеримый селектор 1( ), : ,x x R многозначного отображения   ,F  такой, что почти при всех  0( ) ( , ( ))H f x    при почти всех . (6) Неравенства (5) и (6) дают 0 0 0 ( ) ( , ( )) . t t H H d f x d H         Полученное притиворечие показывает, что в соотношении (4) имеет место равенство. Следствие 1. Имеет место равенство   ( ) ( ) coinf , ( ) ( ). x F H x df          Доказательство. Поскольку co ,( )f x является функцией Каратеодори, то для нее справедливо равенство   ( ) ( ) ( ) inf , ( ) infco ( ) , ( ) ( ).co x F x F x dfxf d                 (7) Действительно, по теореме о маргинальном отображении [2] маргинальная функция ( ) co ( )n ,i f x F f x    измерима и соответствующее маргинальное многознач- ное отображение 0 0 0 ( ) ( ) { ( ) : c coo ( , ) inf ( , )} x F F x F f x xf          непусто, компактнозначно и измеримо. Пусть 0( )x  – измеримый селектор этого многозначного отображения. Тогда имеем    0 ( ) ( ) ( ) inf , (co ( ) co) , ( ) ( ) inf , ( ) ( ).co x F x F f fx d x x dfd                        В обратную сторону неравенство очевидно, т. е. соотношение (7) спра- ведливо. Теперь с учетом соотношения ( ) ( ) inf co ( , ) inf ( , ) x F x F f x f x        равенство (3) дает требуемый результат. Й.С. Раппопорт ДО РЕГУЛЯРІЗАЦІЇ ІНТЕГРАНТІВ И.С. РАППОПОРТ 26 Теорія оптимальних рішень. 2017 Встановлено мінімальні умови регулярності інтегрантів для існування інтегральних функціо- налів. Показана можливість регулярізації інтегрантів при збереженні екстремального значення інтегральних функціоналів. I.S. Rappoport TO THE REGULARIZATION OF INTEGRANTS Minimum conditions of reguiar integrants for the existence of integral functionals and the possibility of regularization of integrants while maintaining extreme value of integral functionals is established. 1. Чикрий А.А., Раппопорт И.С. К теореме об обратном образе для L B -измеримых многозначных отображений. ДАН Украины. 2011. № 11. C. 54 – 58. 2. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. Mathematics and Its Applications. Boston, Ba- sel, Berlin: Birkhauser, 1990. 461 p. 3. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 c. 4. Chikrii A.A. Conflict controlled processes. Springer Science and Business Media. 2013. 424 p. 5. Раппопорт И.С. О регуляризации интегрантов. Теорія оптимальних рішень. К.: Ін-т кі- бернетики імені В.М. Глушкова НАН України, 2016. С. 47 – 52. 6. Раппопорт И.С. О стробоскопической стратегии в методе разрешающих функций для игровых задач управления с терминальной функцией платы. Кибернетика и системный анализ. 2016. № 4. С. 90 – 102. 7. Aumann R.J. Measurable utility and the measurable choice theorem, La Decision, Actes Coll. Int. du CNRS, Aix-en-Provence. 1967. P. 15 – 26. Получено 22.03.2017

Схожі ресурси