Чисельне дослідження енергетичних рівнянь варіаційної задачі сумісного руху поверхневих і підземних водних потоків на водозаборі
Сформульовано варіаційну задачу сумісного потоку поверхневої і ґрунтової води та отримано умови контакту на спільній границі, виходячи із законів руху суцільного середовища. Побудовано і досліджено енергетичні рівняння варіаційної задачі. Сформулировано вариационную задачу совместного потока поверхн...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Математичне моделювання в економіці |
|---|---|
| Дата: | 2016 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут телекомунікацій і глобального інформаційного простору НАН України
2016
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131866 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Чисельне дослідження енергетичних рівнянь варіаційної задачі сумісного руху поверхневих і підземних водних потоків на водозаборі / П.С. Венгерський,Г.А. Шинкаренко // Математичне моделювання в економіці. — 2016. — № 3-4(7). — С. 132-145. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-131866 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Венгерський, П.С. Шинкаренко, Г.А. 2018-04-04T19:47:11Z 2018-04-04T19:47:11Z 2016 Чисельне дослідження енергетичних рівнянь варіаційної задачі сумісного руху поверхневих і підземних водних потоків на водозаборі / П.С. Венгерський,Г.А. Шинкаренко // Математичне моделювання в економіці. — 2016. — № 3-4(7). — С. 132-145. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 2409-8876 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131866 519.876.5:517.958:532 Сформульовано варіаційну задачу сумісного потоку поверхневої і ґрунтової води та отримано умови контакту на спільній границі, виходячи із законів руху суцільного середовища. Побудовано і досліджено енергетичні рівняння варіаційної задачі. Сформулировано вариационную задачу совместного потока поверхностной и грунтовой воды и получены условия контакта на совместной границе, исходя из законов движения сплошной среды. Построено и исследовано энергетические уравнения вариационной задачи. Variational problems formulated joint flow of surface and ground water conditions and received a contact on the common border, based on the laws of motion continuum. Energy equation of variational problem are constructed and studied. uk Інститут телекомунікацій і глобального інформаційного простору НАН України Математичне моделювання в економіці Математичні та інформаційні моделі в економіці Чисельне дослідження енергетичних рівнянь варіаційної задачі сумісного руху поверхневих і підземних водних потоків на водозаборі Численное исследование энергетических уравнений вариационной задачи совместного движения поверхностных и подземных водных потоков на водосборе Numerical study energy equations variational problem of joint motion of surface and underground water flows at watershed Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Чисельне дослідження енергетичних рівнянь варіаційної задачі сумісного руху поверхневих і підземних водних потоків на водозаборі |
| spellingShingle |
Чисельне дослідження енергетичних рівнянь варіаційної задачі сумісного руху поверхневих і підземних водних потоків на водозаборі Венгерський, П.С. Шинкаренко, Г.А. Математичні та інформаційні моделі в економіці |
| title_short |
Чисельне дослідження енергетичних рівнянь варіаційної задачі сумісного руху поверхневих і підземних водних потоків на водозаборі |
| title_full |
Чисельне дослідження енергетичних рівнянь варіаційної задачі сумісного руху поверхневих і підземних водних потоків на водозаборі |
| title_fullStr |
Чисельне дослідження енергетичних рівнянь варіаційної задачі сумісного руху поверхневих і підземних водних потоків на водозаборі |
| title_full_unstemmed |
Чисельне дослідження енергетичних рівнянь варіаційної задачі сумісного руху поверхневих і підземних водних потоків на водозаборі |
| title_sort |
чисельне дослідження енергетичних рівнянь варіаційної задачі сумісного руху поверхневих і підземних водних потоків на водозаборі |
| author |
Венгерський, П.С. Шинкаренко, Г.А. |
| author_facet |
Венгерський, П.С. Шинкаренко, Г.А. |
| topic |
Математичні та інформаційні моделі в економіці |
| topic_facet |
Математичні та інформаційні моделі в економіці |
| publishDate |
2016 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Математичне моделювання в економіці |
| publisher |
Інститут телекомунікацій і глобального інформаційного простору НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Численное исследование энергетических уравнений вариационной задачи совместного движения поверхностных и подземных водных потоков на водосборе Numerical study energy equations variational problem of joint motion of surface and underground water flows at watershed |
| description |
Сформульовано варіаційну задачу сумісного потоку поверхневої і ґрунтової води та отримано умови контакту на спільній границі, виходячи із законів руху суцільного середовища. Побудовано і досліджено енергетичні рівняння варіаційної задачі.
Сформулировано вариационную задачу совместного потока поверхностной и грунтовой воды и получены условия контакта на совместной границе, исходя из законов движения сплошной среды. Построено и исследовано энергетические уравнения вариационной задачи.
Variational problems formulated joint flow of surface and ground water conditions and received a contact on the common border, based on the laws of motion continuum. Energy equation of variational problem are constructed and studied.
|
| issn |
2409-8876 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131866 |
| citation_txt |
Чисельне дослідження енергетичних рівнянь варіаційної задачі сумісного руху поверхневих і підземних водних потоків на водозаборі / П.С. Венгерський,Г.А. Шинкаренко // Математичне моделювання в економіці. — 2016. — № 3-4(7). — С. 132-145. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT vengersʹkiips čiselʹnedoslídžennâenergetičnihrívnânʹvaríacíinoízadačísumísnogoruhupoverhnevihípídzemnihvodnihpotokívnavodozaborí AT šinkarenkoga čiselʹnedoslídžennâenergetičnihrívnânʹvaríacíinoízadačísumísnogoruhupoverhnevihípídzemnihvodnihpotokívnavodozaborí AT vengersʹkiips čislennoeissledovanieénergetičeskihuravneniivariacionnoizadačisovmestnogodviženiâpoverhnostnyhipodzemnyhvodnyhpotokovnavodosbore AT šinkarenkoga čislennoeissledovanieénergetičeskihuravneniivariacionnoizadačisovmestnogodviženiâpoverhnostnyhipodzemnyhvodnyhpotokovnavodosbore AT vengersʹkiips numericalstudyenergyequationsvariationalproblemofjointmotionofsurfaceandundergroundwaterflowsatwatershed AT šinkarenkoga numericalstudyenergyequationsvariationalproblemofjointmotionofsurfaceandundergroundwaterflowsatwatershed |
| first_indexed |
2025-11-25T22:54:39Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:54:39Z |
| _version_ |
1850576081050927104 |
| fulltext |
~ 132 ~
Математичне моделювання в економіці, №3-4, 2016
УДК 519.876.5:517.958:532
П.С. ВЕНГЕРСЬКИЙ, Г.А. ШИНКАРЕНКО
ЧИСЕЛЬНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ ЕНЕРГЕТИЧНИХ РІВНЯНЬ
ВАРІАЦІЙНОЇ ЗАДАЧІ СУМІСНОГО РУХУ ПОВЕРХНЕВИХ
І ПІДЗЕМНИХ ВОДНИХ ПОТОКІВ НА ВОДОЗБОРІ
Анотація. Сформульовано варіаційну задачу сумісного потоку
поверхневої і ґрунтової води та отримано умови контакту на спільній
границі, виходячи із законів руху суцільного середовища. Побудовано і
досліджено енергетичні рівняння варіаційної задачі.
Ключові слова: поверхневий потік, варіаційна задача, ґрунтова вода,
умови інтерфейсу, енергетичні рівняння, закони руху суцільного
середовища, стійкість рекурентної схеми.
Вступ
Важливу роль у вивченні кругообігу води в природі відіграють гідрологічні
системи. У загальному дослідження цілісності такої системи з врахуванням
всіх факторів впливу є складною і не завжди доцільною задачею для
вивчення, тому досліджується лише певна частина області, що бере участь в
кругообігу води. Найвірогіднішим елементом частини території може
виступати територія водозбору (рис. 1), яка характеризується подібними
кліматичними умовами і знаходиться під впливом подібних факторів, що
впливають на рух вологи.
Для спрощення опису руху водних потоків на водозборі проводиться
вертикальна декомпозиція області задачі – вся область розбивається на шари:
приземний шар атмосфери, поверхня землі, ненасичена зона, насичена зона,
зона напірного руху тощо.
Рисунок 1 – Двомірна проекція території водозбору на площину 1 2X OX
У приземному шарі атмосфери відбуваються процеси випаровування,
випадання дощу, снігу, перехоплювання опадів рослинністю, а також
перенесення вологи повітряними потоками. На поверхні землі здійснюється
русловий стік, стік в пойму ріки при розливі, схиловий стік, рух води в озерах
та водоймах, а також накопичення снігу і його танення. У ненасиченій зоні
здійснюються процеси фільтрації води, капілярного підйому і випаровування,
вбирання води корінням рослин. У водоносних напірних горизонтах рух води
Ó П.С. Венгерський, Г.А. Шинкаренко, 2016
~ 133 ~
Математичне моделювання в економіці, №3-4, 2016
відбувається між двома водопідпорами. Тут можлива взаємодія між потоком і
вище та нижче розташованими водоносними шарами при наявності
проникливого водопідпору. У кожному шарі для опису руху вологи
використовуються моделі різної розмірності, і їх розв’язки з’єднуються за
допомогою граничних умов [1, 3, 9, 13, 16].
Виділимо в суцільному середовищі (рідині) рухомий поверхневий шар
( ) 3F t RÎ (рис. 2) такої структури
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3
1 2 3 3 1 2: , , , , , .F t x x x R x x x t x x x th nW= Î < < "= ÎW (1)
Рисунок 2 – Загальне зображення моделі потоків та їх поперечний розріз
Позначимо проекції його нижньої
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3
1 2 3 3 1 2: , , , ,t x x x R x x x x x thW = Î = " = Î W (2)
та верхньої
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3
1 2 3 3 1 2: , , ,
F
t x x x R x x , t x x x tnL = Î = " = Î W (3)
основ на площину 210 xx . Решту поверхні цього шару
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3
1 2 3 3 1 2: , , , , ( , )FГ t x x x R x x x t x x x th n= Î < < " = Î W (4)
будемо називати бічною поверхнею шару ( )F t .
Аналогічно позначимо частину рідини, яка рухається в ґрунті, так
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3
1 2 3 3 1 2: , , , h , ,P t x x x R x x x x x x thW= Î < < " = ÎW , (5)
проекція нижньої частини (поверхня водопідпору) запишеться
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3
1 2 3 3 1 2: , , , ,P t x x x R x h x x x x tL= Î= "= ÎW . (6)
~ 134 ~
Математичне моделювання в економіці, №3-4, 2016
Тоді, шар ґрунтової води
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3
1 2 3 3: , , , hP PГ t x x x R x x x x Γ th= Î < < " Î . (7)
1. Початково-крайова задача взаємодії водних потоків
Сформулюємо початково-крайову задачу з врахуванням крайових та
початкових умов [1–3].
(8)
(9)
(10)
де:
{ui(x,t)}3
i=1 та ( , )F Fp p x t= – шукані вектор швидкості частинок рідини та
гідростатичний тиск відповідно;
{ }3
1
( )i i
F g f x
=
= – масові сили;
r = r(x,t) > 0 – густина маси води потоку;
m = m(x) > 0 – коефіцієнт в’язкості;
{ }3
, 1ij i j
e
=
, { }3
, 1ij i j
s
=
– тензори швидкостей деформації та напружень рідини в
точці x на момент часу t ;
dij – символ Кронекера;
( , )k k x t= – коефіцієнт фільтрації;
( , )m m x t= – коефіціент питомої водовіддачі;
( , )x te e= – відома функція джерел притоку води.
А також п’єзометричний напір представлений наступним чином:
3
pp
x
g
j
r
= + . (11)
Потік (розхід потоку води) через рівняння:
{ }
( ) ( )
( )
3 3
1 1
3
1
, , ,
:
0 , (8 )
,
2 , , 1, 2 , 3
1 ,
2
0 ,
ik
i i k i
k kk k
ij F ij ij
i j i j
ji
i j
j i
k
k k
З н а й т и н е в ід о м і в е л и ч и н и u p т а к і щ о
з а д о в о л ь н я ю т ь н а с т у п н у с и с т е м у р ів н я н ь
u u u f
t x x
p
e i j
uue
x x
u
в
t x
j
sr r r
s d t
t m
rr
= =
=
¶¶ ¶
+ - - =
¶ ¶ ¶
= - +
= =
æ ö¶¶
= +ç ÷ç ÷¶ ¶è ø
¶¶
+ =
¶ ¶
å å
å
3
1
( 0 , ] , ( 9 )
( 0 ; ] , (1 0 )
F
P
j j j
T
m k в T
t x x
j j e
¶
=
ì
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
W ´ï
ï
ï æ ö¶ ¶ ¶ï = + W ´ç ÷ç ÷ï ¶ ¶ ¶è øî
å
~ 135 ~
Математичне моделювання в економіці, №3-4, 2016
q k j= - Ñ . (12)
Крім того, позначимо:
( , )x tu u= – вектор швидкості рідини в ґрунті;
q
u
w
= , w – об’ємна пористість;
F Pn n= -
uur uur
– вектори нормалі до границі області FW та PW відповідно;
, { }, ,F P F P F PW =W ÈW W ÇW = Æ W ÇW =G
; .F F F P P P¶W= G ÈL ÈG ¶W= G ÈL ÈG
Крайові умови представимо наступним чином:
0iu =
r
на FG , i = 1, 2,3, (13)
(14)
0 0
3 1 2
1 2
u R u u
t x x
n n n¶ ¶ ¶
+ =+ +
¶ ¶ ¶
в FW ´ (0, T], (15)
де
R – швидкість падіння капель дощу;
u1
0, u2
0 – горизонтальні складові швидкості на вільній поверхні ( . )x tn ( FL ).
А також:
$ ;P Pn наu u· = G
uur (16)
1 2 0 ,Pнаu u= = L (17)
(18)
Враховуючи, що I – відома функція, яка описує швидкість потоку рідини
через поверхню PL .
Та наступні початкові умови:
00
0 0
0 0
,
| ,
| ,
t
t
t
u u
p p
j j
=
=
=
=
=
=
в W.
(19)
Наведене є початково-крайовою задачею руху поверхневих і ґрунтових
потоків по поверхні водозбору із врахуванням крайових та початкових умов.
~ 136 ~
Математичне моделювання в економіці, №3-4, 2016
2. Варіаційне формулювання задачі взаємодії водних потоків
Щоб побудувати варіаційне формулювання початково-крайової задачі
(8)–(19), спочатку введемо простір допустимих векторів швидкості
{ }{ }3 1 3
1: ( ) | | 0
Fi F FiV H nx x x G=
= = Î W × = .
Тепер домножимо рівняння руху (8) на довільну функцію Vx Î і
результат проінтегруємо по області FW з використанням інтегрування
частинами
3 3
1 1
3 __ ___
1
( , )
( , ) 0, 1,3
F F F F
k
F
i i i
i k i i i ik F
i kk k
i ik F F
k
u uds u ds f ds u p ds
t x x
u p n d i
x
r x r x r x s
x s g
= =W W W W
=¶W
¶ ¶ ¶
+ - +
¶ ¶ ¶
- = =
å åò ò ò ò
åò
(20)
Далі перейдемо до рівняння нерозривності (9). Домножимо це рівняння на
Qq Î , де 2 ( )Q L F= . Проінтегрувавши його, будемо мати
3
1
( )
0
F F
k
k k
u
ds ds
t x
rr
q q
=W W
¶¶
+ =
¶ ¶åò ò . (21)
Якщо водний потік є нестисливим, то густина r є постійна по часу і
отримаємо
3
1
F F
k
k k
u d s d iv u d s
x
q q
=W W
¶
=
¶åò ò . (22)
Перейдемо до інтегралу по границі області F , будемо мати
.
F
Fu n dq g
¶W
ò - .
F
u dsqÑò =0. (23)
Розпишемо значення інтегралу в (23) через складові границі області FW
.
F
Fu n dq g
¶W
ò = .
F
Fu n dq g
G
ò + . Fu n dq g
G
ò + .
F
Fu n dq g
L
ò . (24)
Враховуючи те, що нормальні складові вектора швидкості на границі
водозбору рівні нулю і кінематичну умову (15), вираз (24) перепишемо
наступним чином:
~ 137 ~
Математичне моделювання в економіці, №3-4, 2016
. Fu n dq g
G
ò +
0
F
nu dq g
L
ò - .
F
u dsq
¶W
Ñò = 0 (25)
Введемо простір:
{ }1: ( ) | | 0
p pPW Hy y G ÈW= Î W = . (26)
Домножимо це рівняння на gr y
w
і проінтегруємо по області P¶W , і
отримаємо
3
1
( )
P P P
j j j
g g gm dp k dp dp
t x x
r r e rj j
y y y
w w w=W W W
¶ ¶ ¶
= +
¶ ¶ ¶åò ò ò (27)
Використаємо крайові умови в правій частині, для цього перейдемо до
інтегрування по границі
3
1
( , ) ( , ) ( )
( , ) 0
P P P
P
jP j j
g k x t k x tm dp g d g dp
t n x x
x t g dp
r j j j
y r y g yr
w w w
e r y
w
=W ¶W W
W
¶ ¶ ¶ ¶
- + -
¶ ¶ ¶ ¶
- =
åò ò ò
ò
,
(28)
додамо вирази (22) та (27):
[
]
3 3 3
1 1 1
3
1
( , )
( , )
F F F F
k
F
i i i
i k i i i ik F
i i kk k
i ik F F
k
u uds u ds f ds u p ds
t x x
u p n d
x
r x r x r x s
x s g
= = =W W W W
=¶W
¶ ¶ ¶
+ - +
¶ ¶ ¶
- +
å å åò ò ò ò
åò
( )
3 3
1 1
( , ) ( , )
( , ) 0
P P P
P
j jP j j
g k x t k x tm dp g d g dp
t n x x
x t g dp
r j j jy r y g yr
w w w
e r y
w
= =W ¶W W
W
¶ ¶ ¶ ¶
- + -
¶ ¶ ¶ ¶
- =
å åò ò ò
ò
(2
9)
Розглянемо інтеграли на границях областей FW і PW :
3 3
1 1
( , )( , )
k
F P
i ik F F
k j P
k x tu p n d g d
n
jx s g r y g
w= =¶W ¶W
¶
- -
¶å åò ò ,
та розкладемо їх по складових границі областей FW і PW :
.
~ 138 ~
Математичне моделювання в економіці, №3-4, 2016
3 3
1 1
3 3
1 1
3 3
1 1
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
k k
F F
k
P
P
i ik F F i ik F F
k k
i ik F F
k j P
j jP P
u p n d u p n d
gu p n d k x t d
n
k x t k x tg d g d
n n
x s g x s g
j r yx s g g
w
j j
r y g r y g
w w
= =L G
= =G L
= =G G
- -
¶
- - -
¶
¶ ¶
- -
¶ ¶
å åò ò
å åò ò
å åò ò
(30)
Якщо область W є територією водозбору, то інтеграли на FG будуть рівні
нулю, так як на границі W вода стікає тільки всередину області.
Якщо вважати, що область PW обмежена знизу поверхнею
непроникливого шару (водопідпором) і частини до цієї поверхні не
прилипають, то інтеграл по PL буде також рівний нулю.
Проаналізуємо інтеграли на спільній границі G :
3
1
3
1
3
1
( )
k
k
k
i ik F
k p
i ik F
k p
i ik F
k p
gn d k d
n
gn d k d
n
kn d gd
n
j r
x s g y g
w
j rx s g y g
w
jx s g yr g
w
=G G
=G
=G G
¶
- - =
¶
¶
= - + =
¶
¶
= - -
¶
åò ò
åò
åò ò
(31)
З означення тензора напружень будемо мати
2 ,ij ij ijp es d m= - +
тоді
( , ) ( 2 ). .
( 2 ).
2 .
F Fi i
Fi
nn F F ij ij
F in in
F
u p p e n n
p e n
p u
s d m
d m
m
é ù= - + =ë û
= - + =
=- + Ñ
;
(32)
[ ]
( , ) ( 2 ). .
2 .
12 ( ).
2
( ) ( )
Fin F ij ij i
in in i
i n
i
i
n
n
u p p e n
p e
u u
n x
u u u
n
t
t
t
s d m t
d m t
m t
m t
t
é ù= - + =ë û
= - + =
¶ ¶
= + =
¶ ¶
¶ ¶
= + =
¶ ¶
(33)
.
.
~ 139 ~
Математичне моделювання в економіці, №3-4, 2016
Враховуючи умову нерозривності (22), вираз (31) запишеться
.( )P
n F n
np k g dt t
jx x t yr g
wG
Ñ
- + +ò . (34)
Враховуючи суцільність середовища, з (34) запишемо умови поведінки
потоків води на спільній границі Г, як:
( , )nn F pu p ps = ,
0nts = ,
n nu u= - .
(35)
Проаналізуємо перший доданок у виразі (30), отримаємо:
3
1
( , )
( )
k
F
F
i ik F F
k
n nn n
u p n d
dt t
x s g
x s x s g
=L
L
- =
- +
åò
ò
(36)
Так як на поверхні потоку тиск рівний атмосферному тиску ap , то
( , ) .nn F au p ps =
Також відомо, що складові напружень тертя на вільній поверхні потоку
часто зумовлені дією вітру, і з [6] візьмемо, що вони пропорційні квадрату
швидкості потоку:
2 cos , 1, 2a
in a ir
t c u y
r
= = ;
де
ar – густина повітря;
c – емпіричний коефіцієнт напружень;
au – швидкість вітру.
Cпростимо доданки у виразі (29), які містять напруження:
3 3
1 1
( , )
F
i
ik F
i k k
u p ds
x
x
s
= =W
¶
¶å åò . (37)
Розкладемо елементи вектора x через компоненти тензорів деформацій і
поворотів
~ 140 ~
Математичне моделювання в економіці, №3-4, 2016
1 1( ) ( ) ( ) ( )
2 2
i i k i k
ik ik
k k i k i
e
x x x x x
x x x x x
x w x
¶ ¶ ¶ ¶ ¶
= + + - = +
¶ ¶ ¶ ¶ ¶
.
Через те, що 3
1,)( =kiik xw утворюють кососиметричну матрицю, то вираз
(37) перепишеться:
3 3
1 1
( , ) ( )
F
ik P ik
i k
u p e dss x
= =W
ååò .
Оскільки 2 ( )ik s ik ikp e us d m= - + , тоді
3 3
1 1
( 2 ( )) ( )
F
s ik ik ik
i k
p e u e dsd m x
= =W
- + =ååò
3 3
1 1
( )
F
F ik ik
i k
p e dsd x
= =W
- +ååò
3 3
1 1
2 ( ) ( )
F
ik ik
i k
e u e dsm x
= =W
+ =ååò
3
1
( )
F
F ii
i
p e dsx
=W
- +åò
3 3
1 1
2 ( ) ( )
F
ik ik
i k
e u e dsm x
= =W
=ååò 2 ( ) : ( )
F F
Fp div ds e u e dsx m x
W W
- +ò ò .
Спростимо інтеграл по області pW
3
1
( , ) ( )
p
j j j
k x t g dp
x x
j yr
w=W
¶ ¶
¶ ¶åò .
Допустимо, 1 2( ), ( ),P PH div Lj jÎ W Ñ Î W то в цьому випадку має місце
формула Гріна:
( , ) ( )
p
k x t g dpj yr
wW
Ñ ×Ñ =ò
( , )
p
p
k x t n g dj
r y g
w¶W
×Ñ
× -ò
– ( , )( )
p
k x tdiv g dpj r y
wW
×Ñ
ò .
(38)
А з наведеного вище випливає, що на границі PG може бути задано
швидкість потоку ґрунтової води наступним чином:
$( , )
p
k x t nj
u
w
Ñ
- × = . (39)
Тоді (39) запишеться
~ 141 ~
Математичне моделювання в економіці, №3-4, 2016
Введемо такі білінійні форми:
3
1
( ; , ) ,V i i
iV
M r w q rw q ds
=
= åò
3 3
1 1
( ; , ) ,i
V k i
k i kV
uN w u q w q ds
x
r
= =
¶
=
¶ååò
( , ) 2 ( ) : ( ) ,V
V
C w q e w e q dsm= ò ( , ) ,V
V
A w q w divqds= -ò
( , ) ,V
V
Y w q w q dn g= -ò
3
( , ) . .
1
V
V
B p w p wds
i
= - Ñåò
=
Введемо наступні лінійні функціонали:
___
: , 1,3l W R jj ® = , : F F PW H L H= ´ ´ ,
{ }{ }3 1 3
1: ( ) | | 0
FF i F FiH H nx x x G=
= = Î W × = , { }2: ( ) | | 0
FFL L Fq q G= Î = ,
{ }1: ( ) | | 0
p pP PH Hy y G ÈW= Î W = , 3
, ( )1 1 F F
l f ds p dn ai ii
x r x x x s gt= + + ×å ò ò
= W L
)
0
2 ,
F
l u dnq q g= - ò
¶L
, ( , ),3l
x t g dp gd
p p
e r yy uy r g
w
= -ò ò
W ¶L
Позначимо
gy y r=% ,
mm
w
=% ,
тоді запишемо наступну варіаційну задачу:
{ }
1
, , ,
( ; , ) ( ; , ) ( , ) ( , )
( , ) , ,
F F F F
Знайти u p V Q W
M u N u u A p C u
Y u V
j
r x x x x
x j x xG
Î ´ ´
¢ + + +
+ = " Î
(40)
2( , ) ( , ) , ,FB u Y u Qq q j q qG+ = " Î . (41)
3( ; , ) ( , ) ( , ) , ,P PM m A Y Wj y y u y u j y yG¢ + + = " Î% % % % %% , (42)
з початковими умовами:
.
~ 142 ~
Математичне моделювання в економіці, №3-4, 2016
0( (0) , ) 0,FM u u x¢ - = (43)
0( (0) - , ) 0;FB p p q = (44)
0( (0) , ) 0.PM j j y¢ - =% (45)
Обчислюємо, враховуючи початкові умови (43)–(45) та крайову умову
(13)–(18), значення змінних u та p зі співвідношень (41) та (42). Далі з умов
спряження (36) та крайової умови (15) обчислюємо з (43) значення змінної .j
3. Властивості складників і норми варіаційної задачі взаємодії водних
потоків
Необхідно зауважити, що трилінійна форма
3 3
1 1
( ; , ) ,i
v k i
k i kv
uN w u q w q ds
x
r
= =
¶
=
¶ååò (46)
є неперервною, а білінійна форма
( , ) 2 ( ) : ( )v
v
C w q e w e q dsm= ò (47)
неперервна і симетрична.
Вона є скалярним добутком в просторі FH і утворює норму
( , ),
F
v FH
w C w w w H= " Î .
Далі запишемо для скалярної функції j білінійну форму
( , ) ( , )v
v
D k x t dpj y j y= Ñ ×Ñò , (48)
яка є неперервна і невід’ємна на просторі допустимих функцій PH . Вона є
також симетрична і утворює напівнорму:
1( , ), ( )
P
v PH
D Hj j j j= " Î W . (49)
Розглянемо властивості білінійної форми
( , ) .v
v
A w q div w div q ds= ò (50)
~ 143 ~
Математичне моделювання в економіці, №3-4, 2016
У просторі FH вона є неперервна, невід’ємна і симетрична, і також
утворює норму
( , ), .
F
v FH
q A q q q H= " Î (51)
4. Енергетичні рівняння сумісного стоку
Покладемо в рівнянні (22) ux = і запишемо наступні співвідношення:
1
( ; , ) ( ; , ) ( , ) ( , )
, ( , );
F F F F
M u u N u u u C u u A p u
u Y u u
r
j
W W W W
G
¢ + + +
= -
(52)
а далі реалізуємо ряд математичних перетворень.
У роботах Темам Р. [12, 16] і в застосуваннях до задач термогідродинаміки
Зубова В.М., Шинкаренка Г.А. [4-7] запропоновано наближення умови
нестисливості наступним співвідношенням:
0p div ue + = , де 0conste = > .
Враховуючи зазначене, енергетичні рівняння сумісного потоку можна
представити у вигляді доданків, що описують кінетичну енергію,
потенціальну, а також дисипацію енергії поверхневого потоку. Умовно це
може бути представлене наступним чином:
[ ]( )
F
K u t
W
=
21 ( )
2
u t – кінетична енергія,
[ ]( )
F
P u t
W =
2
0
(t)
t
w
u dtò – потенціальна енергія,
[ ]( )
F
D u t
W
=
2
0
1 ( )
2
t
W
u t dtò – дисипація енергії поверхневого потоку.
Розглядаючи рівняння для ґрунтового потоку (29) та використовуючи
означення норм, означене співвідношення можна навести як порівняння
кінетичної енергії та потенціальної енергії ґрунтового потоку:
21 ( )
2
tj + 2
0
1 ( )
2
t
W
t dtjò =
21 (0)
2
j¢ + 2
0
,
t
l dtj< >ò . (53)
Його можна записати у вигляді:
~ 144 ~
Математичне моделювання в економіці, №3-4, 2016
[ ]( )
P
K tj
W
+ [ ]( )
P
P tj
W
= [ ](0)
P
K j
W
+ 2
0
,
t
l dtj< >ò ,
де
[ ]( )
P
K tj
W
=
21 ( )
2
tj – кінетична енергія,
[ ]( )
P
P tj
W
=
2
0
1 ( )
2
t
W
t dtjò – потенціальна енергія ґрунтового потоку.
Таким чином, було проаналізовано енергетичні рівняння поверхневого і
ґрунтового потоків, показано, які з складників цих рівнянь відповідають за
основні види енергії.
5. Висновки
На підставі законів збереження виведено основні рівняння та крайові і
початкові умови, що описують сумісний рух потоків поверхневої і ґрунтової
води з невідомими величинами вектора швидкості та п’єзометричного
напору. Сформульовано варіаційну задачу сумісного потоку та отримано
умови контакту на спільній границі, виходячи із законів руху суцільного
середовища. Проаналізовано енергетичні норми основних складників
варіаційної задачі. Побудовано і досліджено енергетичні рівняння руху
поверхневих і ґрунтових потоків. Показано, що повна енергія сумісного
потоку в початковий момент часу має скінченні значення.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Венгерський П.С. Чисельне розв’язування задачі руху ґрунтової води в насиченій
зоні. / Венгерський П.С., Демкович О.Р. // Восьма Всеукраїнська наукова
конференція 25–27 вересня 2001 р. “Сучасні проблеми прикладної математики”,
Львів, 2001. – С. 19.
2. Венгерський П.С. Чисельне дослідження математичної моделі руху поверхневої і
ґрунтової вологи / Венгерський П.С., Демкович О.Р., Трушевський В.М. //
Міжнародна конференція ”Обчислювальна та прикладна математика”, Київ, 2002. –
С. 25.
3. Венгерський П.С. Математатичне моделювання руху грунтової води в насиченій
зоні / Венгерський П.С., Демкович О.Р. // Дев’ята Всеукраїнська наукова конференція
„Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”, Львів, 2002. – С. 36.
4. Зубов В.Н. Решение задач термогидродинамики с наличием свободных
поверхностей методом конечных элементов / Зубов В.Н. // Материалы 10-й конф.
мол. ученых ИППМ АН УССР. – Львов, 1984. – Ч. 1. – С. 83–87. – Деп. в ВИНИТИ
10.11.84, № 7196.
5. Зубов В.Н. Численное исследование течений вязкой несжимаемой жидкости
методом конечных элементов / Зубов В.Н. // Дис. канд. фіз.-техн. наук: 01.01.07. –
Львов, 1990. – 150 с.
6. Зубов В.Н. Сходимость метода регуляризации для краевой задачи с уравнениями
Навье-Стокса / Зубов В.Н., Шинкаренко Г.А. // Вестн. Львов. ун-та. Сер. мех.-мат. –
1987. – № 27. – С. 64–69.
~ 145 ~
Математичне моделювання в економіці, №3-4, 2016
7. Зубов В.Н. Применение метода штрафа для решения стационарных задач
гидродинамики со смешанными краевыми условиями / Зубов В.Н., Шинкаренко Г.А. //
Вестн. Львов. ун-та. Сер. мех.-мат. – 1989. – № 31. – С. 81–84.
8. Картвелишвили Н.А., Галактионов Ю.И. Идеализация сложных динамических
систем с примерами из електроэнергетики. / Н.А. Картвелишвили, Ю.И. Галактионов. –
М.: Наука, 1976. – 272 с.
9. Корявов П.П. Проблемы замыкания системы гидрологических моделей речного
бассейна. / Корявов П.П. // Вод.ресурсы, 1981, № 3 – С. 54–64.
10. Кучмент Л.С. Модели процессов формирования речного стока. / Кучмент Л.С. –
Ленинград: Гидрометеоиздат, 1980. – 142 с.
11. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. / Полубаринова-
Кочина П.Я. – М.: Наука, 1977. – 664 с.
12. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. / Темам Р. – М.:
Мир, 1981. – 408 c.
13. Трофимчук А.Н. Динамика пористоупругих насыщенных жидкостью сред. /
Трофимчук А.Н., Гомилко А.М., Савицкий О.А. – К.: Наукова думка – 2003. – 232 с.
14. Шаманский В.Е. Численные решения задач фильтрации грунтових вод на ЭЦВМ. /
Шаманский В.Е. – Киев: Наукова думка, 1969. – 369 с.
15. Шинкаренко Г.А. Проекційно-сіткові методи розв’язування початково-крайових
задач. / Шинкаренко Г.А. – Київ: НМК ВО, 1991. – 87 с.
16. Lions P.-L. Models for the coupled atmosphere and ocean. / Lions P.-L., Temam R.,
and Wang S. // (CAO I,II). Comput. Mech. Adv., 1(1):120, 1993.
Стаття надійшла до редакції 27.10.16.
|