Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності монополістів та залежних від цін споживчих уподобань

Досліджено відкриту економічну систему, утворену ненасичуваними споживачами. Частина споживачів є водночас і виробниками товарів. Враховано наявність оподаткування суб'єктів економічної системи. Використано принципи рівноваги Вальрасового типу. Запропоновано алгоритм розв’язання задачі про екон...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2017
Автор:	Махорт, А.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут телекомунікацій і глобального інформаційного простору НАН України 2017
Назва видання:	Математичне моделювання в економіці
Теми:	Аналіз, оцінка та прогнозування в економіці
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131911
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності монополістів та залежних від цін споживчих уподобань / А.П. Махорт // Математичне моделювання в економіці. — 2017. — № 1-2(8). — С. 159-171. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-131911
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1319112025-02-09T14:12:22Z Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності монополістів та залежних від цін споживчих уподобань О равновесии открытой экономической системы при наличии монополистов и зависимых от цен потребительских предпочтений On equilibrium of an open economy with monopolies and consumers interests depended on prices Махорт, А.П. Аналіз, оцінка та прогнозування в економіці Досліджено відкриту економічну систему, утворену ненасичуваними споживачами. Частина споживачів є водночас і виробниками товарів. Враховано наявність оподаткування суб'єктів економічної системи. Використано принципи рівноваги Вальрасового типу. Запропоновано алгоритм розв’язання задачі про економічну рівновагу у випадку комплексної дії монопольних явищ та впливу цін на формування споживчих уподобань. Наведено обмеження на модельні характеристики, які забезпечують існування рівноваги такої економічної системи. Знайдено стани рівноваги з прийнятними для всіх суб'єктів економічної системи рівнями споживання. Вказано інтервали можливих значень рівноважних характеристик. Відзначено залежність реалізації конкретного стану рівноваги економічної системи від вибору стратегії оподаткування. Исследована открытая экономическая система, созданная ненасыщающимися потребителями. Часть потребителей способна также и производить свои товары. Учтено наличие налогообложения субъектов экономической системы. Использованы принципы равновесия Вальрасового типа. Предложен алгоритм решения задачи об экономическом равновесии в случае комплексного действия монопольных явлений и влияния цен на формирование потребительских предпочтений. Приведены ограничения на модельные характеристики, которые обеспечивают существование равновесия такой экономической системы. Определены состояния равновесия с приемлемыми для всех субъектов экономической системы уровнями потребления. Указаны интервалы возможных значений равновесных характеристик. Отмечена зависимость реализации конкретного состояния равновесия экономической системы от выбора стратегии налогообложения. There is an investigation of an open economy created by insatiable consumers. The part of consumers can product own goods. The model takes into account a taxation of subjects of the economy. The equilibrium principles are a Walrasian type. There is a solution algorithm of the equilibrium problem in case of a complex action of a monopoly effect and a price dependence of a formation of consumers interests. Presented limitations of model characteristics of the economy prove an equilibrium existence. The characteristics of discovered equilibrium states guarantee an acceptable level of a needs satisfaction of all economy subjects. There is an area of possible values of the equilibrium characteristics. The realization of a particular equilibrium state depends on a choice of a taxation strategy. 2017 Article Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності монополістів та залежних від цін споживчих уподобань / А.П. Махорт // Математичне моделювання в економіці. — 2017. — № 1-2(8). — С. 159-171. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 2409-8876 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131911 519.86 uk Математичне моделювання в економіці application/pdf Інститут телекомунікацій і глобального інформаційного простору НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Аналіз, оцінка та прогнозування в економіці Аналіз, оцінка та прогнозування в економіці
spellingShingle	Аналіз, оцінка та прогнозування в економіці Аналіз, оцінка та прогнозування в економіці Махорт, А.П. Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності монополістів та залежних від цін споживчих уподобань Математичне моделювання в економіці
description	Досліджено відкриту економічну систему, утворену ненасичуваними споживачами. Частина споживачів є водночас і виробниками товарів. Враховано наявність оподаткування суб'єктів економічної системи. Використано принципи рівноваги Вальрасового типу. Запропоновано алгоритм розв’язання задачі про економічну рівновагу у випадку комплексної дії монопольних явищ та впливу цін на формування споживчих уподобань. Наведено обмеження на модельні характеристики, які забезпечують існування рівноваги такої економічної системи. Знайдено стани рівноваги з прийнятними для всіх суб'єктів економічної системи рівнями споживання. Вказано інтервали можливих значень рівноважних характеристик. Відзначено залежність реалізації конкретного стану рівноваги економічної системи від вибору стратегії оподаткування.
format	Article
author	Махорт, А.П.
author_facet	Махорт, А.П.
author_sort	Махорт, А.П.
title	Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності монополістів та залежних від цін споживчих уподобань
title_short	Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності монополістів та залежних від цін споживчих уподобань
title_full	Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності монополістів та залежних від цін споживчих уподобань
title_fullStr	Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності монополістів та залежних від цін споживчих уподобань
title_full_unstemmed	Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності монополістів та залежних від цін споживчих уподобань
title_sort	про рівновагу відкритої економічної системи за наявності монополістів та залежних від цін споживчих уподобань
publisher	Інститут телекомунікацій і глобального інформаційного простору НАН України
publishDate	2017
topic_facet	Аналіз, оцінка та прогнозування в економіці
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131911
citation_txt	Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності монополістів та залежних від цін споживчих уподобань / А.П. Махорт // Математичне моделювання в економіці. — 2017. — № 1-2(8). — С. 159-171. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
series	Математичне моделювання в економіці
work_keys_str_mv	AT mahortap prorívnovaguvídkritoíekonomíčnoísistemizanaâvnostímonopolístívtazaležnihvídcínspoživčihupodobanʹ AT mahortap oravnovesiiotkrytojékonomičeskojsistemyprinaličiimonopolistovizavisimyhotcenpotrebitelʹskihpredpočtenij AT mahortap onequilibriumofanopeneconomywithmonopoliesandconsumersinterestsdependedonprices
first_indexed	2025-11-26T16:35:51Z
last_indexed	2025-11-26T16:35:51Z
_version_	1849871518330257408
fulltext	~ 159 ~ Математичне моделювання в економіці, №1-2, 2017 УДК 519.86 А.П. МАХОРТ ПРО РІВНОВАГУ ВІДКРИТОЇ ЕКОНОМІЧНОЇ СИСТЕМИ ЗА НАЯВНОСТІ МОНОПОЛІСТІВ ТА ЗАЛЕЖНИХ ВІД ЦІН СПОЖИВЧИХ УПОДОБАНЬ Анотація. Досліджено відкриту економічну систему, утворену ненасичуваними споживачами. Частина споживачів є водночас і виробниками товарів. Враховано наявність оподаткування суб'єктів економічної системи. Використано принципи рівноваги Вальрасового типу. Запропоновано алгоритм розв’язання задачі про економічну рівновагу у випадку комплексної дії монопольних явищ та впливу цін на формування споживчих уподобань. Наведено обмеження на модельні характеристики, які забезпечують існування рівноваги такої економічної системи. Знайдено стани рівноваги з прийнятними для всіх суб'єктів економічної системи рівнями споживання. Вказано інтервали можливих значень рівноважних характеристик. Відзначено залежність реалізації конкретного стану рівноваги економічної системи від вибору стратегії оподаткування. Ключові слова: рівновага, попит, пропозиція, оподаткування, монополісти, ціноутворення. Вступ Дослідження економічних систем (зокрема національних) дає змогу виявляти чинники, що можуть впливати на подальше функціонування цих систем. Знання чинників впливу має допомогти уникнути реалізації несприятливих сценаріїв. Є різні напрями економічного моделювання, їх використання обумовлено потребою з'ясування того чи іншого аспекту функціонування економічних систем. Рівноважні підходи ефективні у з'ясуванні причин появи дисбалансів, а також для оцінки можливостей економічного зростання. Один з таких підходів ґрунтується на принципах рівноваги за Л. Вальрасом [1, 2]. Залежно від ситуації на ринку вплив різних чинників на економічну систему може змінюватись. Тому врахування в моделі загальної ринкової рівноваги за Вальрасом додаткових чинників впливу може надати нову інформацію про поведінку економічної системи. Монополізм істотно впливає на ціноутворення в національних економіках. На ціноутворення впливають і споживчі уподобання. Є й зворотний вплив цін товарів на формування споживчих уподобань [1, 3]. Широкий клас моделей рівноваги пов'язаний з вимогою існування досконалої конкуренції [2], що ставить під сумнів адекватність їх застосування до економічних систем з монополістами. Натомість модель економіки, запропонована у [1], дозволяє це зробити. Регулювання ринків товарів і послуг здійснюється за допомогою різних важелів впливу, зокрема, кредитуванням, зміною відсоткової ставки. Вплив цих інструментів відображається у кейнсіанських моделях рівноваги, де немає обмеження досконалої конкуренції, але ефекти монополізації Ó А.П. Махорт, 2017 ~ 160 ~ Математичне моделювання в економіці, №1-2, 2017 економіки враховуються опосередковано. Тоді як у моделі рівноваги Вальрасового типу існує можливість явним чином описати присутність монополістів в економічній системі. Економічні реалії засвідчують, що серед інструментів регулювання діяльності монополістів на перший план виходить стратегія оподаткування. В широкому сенсі до неї можна віднести і такі традиційні засоби впливу на монополістів, як штрафи. Розроблена нами економічна модель у явному вигляді враховує наявність оподаткування. Водночас розрахунки за цією моделлю стикаються із значними труднощами забезпечення даними, зокрема щодо випуску і споживання кожної позиції товарів і послуг. На національному рівні ситуацію з інформаційним забезпеченням певною мірою рятує практика складання таблиць витрати-випуск, здійснюваного статистичними службами не лише пострадянських країн, але й Німеччини, Великобританії, Японії тощо. Об’єктом дослідження є національна економічна система, в якій наявні виробники-монополісти. Предметом дослідження – з'ясування умов встановлення рівноваги у такій економічній системі. Метою – виявлення умов усунення негативного впливу явищ монополізму на економічну систему та визначення станів рівноваги, перебування в яких прийнятно для всіх її суб'єктів. Критерієм прийнятності станів рівноваги визначено рівні задоволення потреб суб'єктів економічної системи (отримані зі співвідношення суми всіх запланованих витрат і величини здобутого прибутку для кожного суб'єкта економічної системи). Враховано також вплив цінового фактору на формування споживчих уподобань в національній економічній системі. Цей чинник може змінити характеристики прийнятних станів рівноваги. 1. Опис моделі економічної системи та постановка задачи Національну економічну систему розглядаємо як сукупність l суб'єктів, кожний з яких прагне здобути певну кількість потрібних йому товарів. Різновидів товарів є n . Частина з l споживачів товарів спроможні виготовляти один з n можливих типів товарів і володіти запасами інших типів товарів. Щоб придбати потрібний їм новий товар, такі суб'єкти економічної системи виставляють на продаж товари (та послуги, які в широкому сенсі також є товарами), виготовлені в процесі свого виробництва, або ж з запасу. В економічній системі є і nl - чистих споживачів, які отримують фінансовий ресурс для придбання потрібних ним товарів виключно із зовнішніх джерел. Засобом утворення зовнішнього фінансування є перерозподіл капіталу, отриманого в результаті оподаткування суб'єктів економічної системи (враховуються всі види оподаткування). Пропозиція товарів в національній економічній системі матиме структуру ,,1, 1 1 11 nkiebbxax kk n i ki n i ki n i ikikk =+-+--=Y ååå === (1) де n iixx 1}{ == – обсяги випуску виготовлених в процесі виробництва товарів і послуг, { }n kkib 1 1 = – обсяги запасу товарів у i -го виробника, { }n kkja 1= – витрати ~ 161 ~ Математичне моделювання в економіці, №1-2, 2017 на виготовлення одиниці випуску j -го товару, { }n kkjb 1= – частина витрат виробництва, що використовується для його утримання у працездатному стані (тут враховано амортизаційні витрати і витрати, пов'язані з удосконаленням технологій, та інші, що безпосередньо не стосуються виготовлення товарів), n iie 1}{ = – обсяги експорту товарів за межі національної економічної системи, n iii 1}{ = – обсяги імпорту товарів. В результаті своєї діяльності на ринку виробники можуть дістати чистий (за вирахуванням податків) прибуток, величина якого розраховується за формулою ,,1,)(~ 1 1 11 njpbpbpapxpD n k kkjj n k kkjj n k kkjjjjj =+-÷ ø ö ç è æ -= ååå === ppp (2) де n ii 1}{ == pp – вектор оподаткування виробників (враховано всі види податків), а n iipp 1}{ == – вектор цін товарів. Оподаткування забезпечить утворення капіталу, який дозволить фінансувати чистих споживачів. Рівні їх прибутків { }l njj pD 1 )(~ += формуватимуться відповідно до можливостей перерозподілу .)()1()(~ 11 åå =+= -= n j jj l nj j pDpD p Інтерес до товарів суб'єктів економічної системи, або ж їх споживчі уподобання, формуватимуть попит на товари в економічній системі. Попит залежить від величини прибутку і може бути записаний у вигляді .,1,)(~)(1 1 nkpDp p l i iik k k =L=F å = (3) Величини )( pikL описують попит i -го споживача на k -й товар. Нехай елементи матриці ln jkkj pcpC , 1,1 )()( == = визначають потреби суб'єктів економічної системи у нових товарах, в залежності від того, яка ціна цих товарів. Тоді, якщо споживачі є ненасичуваними, тобто планують витратити весь свій прибуток на придбання нових товарів, їх остаточний вибір товарів зі списку бажаних буде наступним (відповідно до того, що )( pcsi – це кількість s -го товару, який цікавить i -го споживача) ,,1,,1, )( )()( 1 nkli ppc ppcp n s ssi kki ik ===L å = (4) ~ 162 ~ Математичне моделювання в економіці, №1-2, 2017 Наявність банківських послуг та цінних паперів у списку можливих товарів робить припущення про ненасичуваність споживачів таким, що відповідає економічним реаліям. Ненасичуваність не означає необмеженість споживання. Є максимальний набір бажаних товарів, що ними цікавиться i -й споживач { }n kkic 1 0 = , li ,1= . На склад товарів в цьому наборі вже не впливатиме привабливість їх цін. Так само є і мінімальний набір товарів { }n kkic 1 1 = , li ,1= , потреба в яких зберігатиметься незалежно від рівня ціни. Також вважатимемо, що елементи 1 kjc утворюють матрицю ln jkkjcC , 1,1 11 == = без нульових рядків і стовпчиків та має місце обмеження 01 )( kjkjkj cpcc ££ . За вартістю спожитих товарів чистий прибуток суб'єктів економічної системи може бути записаний у вигляді .,1,)(~ 1 ljpcypD s n s sjjj == å = (5) Для виробників вираз (5) має дорівнювати виразу (2). Причому l iiyy 1}{ == є вектором ступенів задоволення потреб споживачів. Він відображає, яку частину товарів з бажаного набору дозволяє придбати величина наявного у споживача прибутку, тому компоненти цього вектора набуватимуть значень з інтервалу ]1,0( . Вважатимемо, що економічна система функціонує протягом певного періоду часу. В цьому періоді частина характеристик економічної системи буде заданою, тому що споживачі визначилися зі своїми уподобаннями (їх описують елементи матриць ln jkkjc , 1,1 1 == , ln jkkjc , 1,1 0 == ), відомі запаси товарів у виробників n jkkjb 1, 1 = та технології виробництва їх товарів, які складаються з виробничих витрат n jkkja 1, = та амортизаційних і інших витрат n jkkjb 1, = . Відомими є і вектори n iie 1}{ = й n iii 1}{ = , які описують структуру зовнішньоекономічних зв'язків. Кожен виробник вибудовує свою стратегію поведінки. Серед виробників в економічній системі можуть бути і монополісти (нехай їх кількість tn - ). Вибрані стратегії поведінки повинні надати виробникам можливість здобути прибуток в результаті своєї діяльності. Монополісти мають змогу впливати на рівень цін своїх товарів. Вважатимемо, що вони будують свої стратегії з огляду на це. Решта виробників такої переваги позбавлені. Їх поведінка ґрунтується на регулюванні обсягів випуску товарів. Тому до заданих характеристик слід додати ще й ціни на товари монополістів ( )00 1 ,, nt pp K+ і обсяги випусків товарів решти виробників ( )00 1 ,, txx K . Крім того, рівні оподаткування прибутків ( )00 1 ,, tpp K мають бути відомими суб'єктам економічної системи. Що ж до стратегії оподаткування монополістів, то її розглядатимемо як ~ 163 ~ Математичне моделювання в економіці, №1-2, 2017 важіль впливу на монополістів. Решта характеристик економічної системи може змінювати свої значення, відповідно до зміни стану економічної системи. Для визначення поточного стану економічної системи необхідно, щоб встановилась рівновага, або баланс між попитом і пропозицією. Тоді всі економічні характеристики набувають певних рівноважних значень. Згідно з принципами рівноваги за Вальрасом [1, 2], слід дотримуватися рівності попиту і пропозиції в економічній системі, щоб досягти станів із прибутковим виробництвом для всіх її суб’єктів [1]. Відповідно до виразів (1), (3), (4) і (5) запишемо .,1,)( 1 1 111 nkiebbxaxypc kk n j kj n i ki n i ikik l j jkj =+-+--= åååå ==== (6) Необхідно також, щоб чистий прибуток виробників компенсував вартість їх витрат .,1,)( 11 1 11 njppcypbpbpapx s n s sjj n k kkjjk n k kjjk n k kjjjj ==+-÷ ø ö ç è æ - åååå ==== ppp (7) Поточний стан економічної системи описуватимуть рівні задоволення потреб суб’єктів економічної системи l iiy 1}{ = , ціни t iip 1}{ = , обсяги випусків n tiix 1}{ += , рівні оподаткування монополістів n tii 1}{ +=p , відносно яких і розв’язуватимемо систему рівнянь (6), (7). Серед імовірних станів рівноваги економічної системи визначимо лише ті, перебування в яких буде прийнятним з огляду на рівень задоволення потреб усіх її суб'єктів. 2. Оптимальний стан рівноваги Наведемо алгоритм визначення рівноважних характеристик. Припустимо, що матриця n jkkjaA 1, = = нерозкладна, зі спектральним радіусом меншим за одиницю. Введемо матрицю ln jkkj pd , 1,1 )( == і величини n iib 1}{ = ( ) ( ) .,)()( 1 1 1 1 1 1 1 å ååå = == - = - ú û ù ê ë é -+---=-= n s ss n j sj n i sikskk n s sjkskj iebbAExbpcAEpd За таких умов рівняння (7) можна подати у вигляді .,1,)( 1 nkbypd k l j jkj ==å = (8) Зауважимо, що у виразі (8) частина величин ( )00 1 ,, tbb K є заданими. Вважатимемо їх додатними. Тоді припущення щодо структури і властивостей ~ 164 ~ Математичне моделювання в економіці, №1-2, 2017 матриць A і )( pC гарантуватиме те, що матричні елементи )( pdkj теж набуватимуть лише додатних значень. Вимоги щодо матриці A дають змогу трансформувати і вираз (8), який запишемо у формі операторного рівняння ,,1),( tkpPp kk == (9) .,1,)(1)()()( 1 1 1 11 01 tkpbb x ppc x y paAEpP t j n s ssisj j n s ssj jj j n ts ssjjkk = ú ú û ù ê ê ë é -++-=å ååå = ==+= - p Великі обсяги запасу товарів можуть поставити під сумнів потребу у виробництві таких типів товарів. Щоб запобігти цьому, вважатимемо, що елементи матриці запасу товарів задовольняють нерівностям .,1,,1,011 tstjbbcy sjsjsj j m ==³-+ p де my – найнижчий (заданий) прийнятний для всіх споживачів в економічній системі рівень задоволення потреб. Припустимо, що рівноважні значення компонентів вектора ступенів задоволення потреб споживачів ( )tyy ,,1 K описуються рівнянням ( ) ( ) ,,1,)( 1 1 tspdy t k kskksss =-+-D= å = lala (10) де величини t iii 1}{ =-la є розв'язком операторного рівняння ,,1),,,,(~ 11 tkp ttkkk =--Q=- lalala K (11) ( ) ( ) ( ) .,1,)()(1 )()(1)(),,,(~ 111 1 1 2 1 1 1 0 2 1 0 11 tkpdpd pdpdpdbp t j jjjk t j jjkjjj t j n i jikis n tk kskttk =÷÷ ø ö çç è æ -+- D --´ ´ú û ù ê ë é D -÷ ø ö ç è æ - D D =--Q åå å åå == = =+= lalala alala K постійні 0D , 1D є заданими, їх значення вибираються з умов ( ) ,,1,00 0 0 1 1 tkbbd kk l nj kj =>D-÷÷ ø ö çç è æ D-å += ,,1,1 1 0 0 0 1 1 tkdybbdy l nj kj M kk l nj kj m =D-£D-£D- åå +=+= ~ 165 ~ Математичне моделювання в економіці, №1-2, 2017 де My – найвищий рівень задоволення потреб споживачів в економічній системі (він є заданий). Заданими є і сукупність параметрів ( )11 1 ,, nt aa K+ . Теорема. Нехай справедлива вимога ,1max1)( 1 1 10 ],1[0 1 <÷ ÷ ø ö ç ç è æ -+-åå = = Î - t k t j sjsjsj j M ts j jk bbcy x AE p а для заданих значень постійних 0D , 1D та величин ms , Ms , вибраних з умови ,,1, 1 0 1 1 1 1 tsyddy M t k ks M t k ks mm =£÷ ø ö ç è æ +D£÷ ø ö ç è æ +D£ åå == ss виконуються нерівності ,,1, 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 1 1 1 10 1 0 tsdddddb M t i ik t i ki n k l i jiki m s n ts ksk =£÷ ø ö ç è æ D+D+ D -÷ ø ö ç è æ - D D ååååå === =+= ssa .,1, 1 0 1 1 0 1 1 1 00 2 1 1 1 00 1 0 tsdddddb m t i ik t i ki n j l i jiki M s n tk ksk =³÷÷ ø ö çç è æ D+D+ D -÷ ø ö ç è æ - D D ååååå === =+= ssa Тоді існують додатні вектори t iiy 1}{ = з компонентами, які перебуватимуть в інтервалі значень ],[ Mm yy , t iii 1}{ =-la і t iip 1}{ = , що розв'язують систему рівнянь (9)–(11). Доведення. Щоб показати існування розв'язку системи рівнянь (9)–(11), скористаємось принципом Шаудера [4] (про існування нерухомої точки відображення). Оцінимо суму å = t k k pP 1 )( за умови tkyyy M k m ,1, =££ £ ú ú û ù ê ê ë é -++-£åå åååå = = ==+= - = t k t j n s ssjsj j n s ssj jj j n ts ssjjk t k k pbb x pc x y paAEpP 1 1 1 1 0 1 0 0 1 01 1 )(1)()( p £ ú ú û ù ê ê ë é -++-£åå ååå = = ==+= - t k t j n s ssjsj j n s ssj jj Mn ts ssjjk pbb x pc x ypaAE 1 1 1 1 0 1 0 0 1 01 )(1)( p + ú ú û ù ê ê ë é ++-£åå ååå = = +=+=+= - t k t j n ts ssj j n ts ssj jj Mn ts ssjjk pb x pc x ypaAE 1 1 1 0 0 1 00 0 1 01 1)( p .max1)( 1 1 1 10 ],1[0 1åå å = = =Î - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ -+-+ t k t j t s ssjsjsj j M ts j jk pbbcy x AE p В той же час, можна підібрати параметр 00 >r , для якого матимемо ланцюжок нерівностей ~ 166 ~ Математичне моделювання в економіці, №1-2, 2017 ³ ú ú û ù ê ê ë é -++-³å ååå = ==+= - t j n s ssjsj j n s ssj jj j n ts ssjjkk pbb x pc x y paAEpP 1 1 1 0 1 1 0 1 01 )(1)()( p ³ ú ú û ù ê ê ë é -++-³å ååå = ==+= - t j n s ssjsj j n s ssj jj mn ts ssjjk pbb x pc x ypaAE 1 1 1 0 1 1 0 1 01 )(1)( p + ú ú û ù ê ê ë é ++-³å ååå = +=+=+= - t j n ts ssj j n ts ssj jj mn ts ssjjk pb x pc x ypaAE 1 1 0 0 1 01 0 1 01 1)( p .,1,1)( 0 1 1 11 0 1 0 tkbbcy x AE t j t s sjsjsj j m j jk =³÷ ÷ ø ö ç ç è æ -+-+ å å = = - r p r Виберемо , max1)(1 1)( 1 1 11 ],1[0 1 1 1 1 0 1 00 1 00 0 1 r p p £ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ -+-- ú ú û ù ê ê ë é ++- åå åå ååå = = Î - = = +=+=+= - t k t j sjsjsj j M ts j jk t k t j n ts ssj n ts ssj j Mn ts ssjj j jk bbcy x AE pbpcypax x AE тоді, якщо справедливі обмеження tkyyy M k m ,1, =££ , оператор { }t kk pP 1)( = переводитиме саму в себе компактну опуклу множину þ ý ü î í ì £=³= å = rr t k kky ptkp 1 0 ,,1,P . Зауважимо, що відповідно до припущення про властивості матриці попиту )( pC на множині yP мають виконуватись умови щодо її елементів 01 )( kjkjkj cpcc ££ , звідки випливатиме обмеження ( ) ( ) .)( 1 010 1 111 åå = - = - -=££-= n s sjkskjkj n s sjkskj cAEdpdcAEd Тому для кожного вектора з множині yP на підставі умов теореми можна записати оцінки ( )--ú û ù ê ë é D -÷ ø ö ç è æ - D D £Q å åå = =+= t j jj n i jikis n tk kskk dddb 1 1 11 2 1 1 1 10 2 1 0 1~ laa ( ) ( ) -÷ ø ö ç è æ - D D £÷÷ ø ö çç è æ -+- D - ååå +=== 1 1 10 2 1 0 1 1 1 1 1 1 s n tk ksk t j jjjk t j jjkj dbdd alala tkdddd M t j n i jiki m t j jk t j kj m ,111 1 1 11 2 11 1 1 1 1 =£ú û ù ê ë é D -÷÷ ø ö çç è æ + D - å ååå = === sss ( )--ú û ù ê ë é D -÷ ø ö ç è æ - D D ³Q å åå = =+= t j jj n i jikis n tk kskk dddb 1 1 00 2 1 1 1 00 2 1 0 1~ laa ~ 167 ~ Математичне моделювання в економіці, №1-2, 2017 ( ) ( ) -÷ ø ö ç è æ - D D ³÷÷ ø ö çç è æ -+- D - ååå +=== 1 1 00 2 1 0 1 0 1 0 1 1 s n tk ksk t j jjjk t j jjkj dbdd alala tkdddd m t j jk t j kj M t j n i jiki M ,1,11 1 0 1 0 11 1 00 2 1 =³÷÷ ø ö çç è æ + D -ú û ù ê ë é D - ååå å === = sss . Це означає, що yp PÎ" оператор t itti 111 )},,(~{ =--Q lala K переводитиме саму в себе множину þ ý ü î í ì = - £+- + Î-= lkR mM kk mM kkp ,1, 22 , ss la ss laM . За таких умов компоненти вектора t iiy 1}{ = , визначені виразом (10), міститимуться в потрібному інтервалі значень .,1, 1 0 1 1 1 1 tsydydy M t k ks MM s t k ks mmm =£+D££+D£ åå == ssss Теорему доведено. Рівняння вигляду (11) з'являються в процесі розв'язання оптимізаційної задачі [5] ( ) [ ] ,)( 2 1)(),(min 1 200 ,,1 å = -= n j jjyy yppp n bFF K (12) за додаткових вимог .,1,0 01 1 tkbyyd kk n j jkj =D=D+å = (13) де величини n ii p 1)}({ =b подаються виразами ,,1,)()( 1 1 tspdp t k kskss =+D= å = aab ntspdp t k kskss ,1,)()( 1 1 0 +=+D= å = aab . Функція Лагранжа оптимізаційної задачі (12), (13) матиме вигляд [ ] .)()( 2 1)( 1 0 01 11 20 å åå = == ú û ù ê ë é D-D++-= t k kk n j jkjk n j jj byypdypp lbL Відповідно, перевірка необхідних і достатніх умов існування мінімуму призведе до умови ,0)( 1 2 1 1 02 >= ¶¶ ¶ ååå == = n s s n j n i ji ji yy p yyyL яка виконується для довільно вибраного ненульового вектора ( )nyy ,,1 K , та до появи рівнянь ( ) ,,1,0)()()( 1 1 0 nspdpy y p t k kskskss s ==+D+-= ¶ ¶ å = dlbL (14) ~ 168 ~ Математичне моделювання в економіці, №1-2, 2017 .,1,0)()( 0 01 1 0 tkbyypdp kk n j jkj k ==D-D+= ¶ ¶ å =l L (15) З рівностей (14), (15) і отримаємо рівняння відносно множників Лагранжа t ii 1}{ =l (11). Щодо рівноважних значень компонентів вектора ступенів задоволення потреб споживачів ( )nt yy ,,1 K+ , то вони отримуються з виразу (14). Для того, щоб вони містились у потрібному діапазоні значень ],[ Mm yy достатньо виконання умови, наведеної у публікації [5] ,,1,1 0 1 0 1 11 0 ntsyddy s M t k ks M t k ks m s m +=D-£££D- åå == assa Для знаходження решти компонентів l niiy 1}{ += використовуємо екстремальну задачу ( ) [ ] ,)( 2 1),(min 1 211 ,,1 å += -= + l nj jjyy ypp ln bFF K (16) за додаткових вимог ,,1,)( 1 1 0 0 0 tkypdybb l nj jkjkkk ==D+D- å += (17) .,1, lnkyyy M k m +=££ (18) Існує додатний вектор t ii 1 1}{ =a , за якого величини n ii p 1)}({ =b описуються виразом lnspd t k ksks ,1),( 1 1 +==å = ab , а задача (16)–(18) розв'язна [5]. Рівноважні значення ступенів задоволення потреб чистих споживачів l niiy 1}{ += визначаються формулою ( ) ,,1,~)( 1 1 1 0 0 01 lnsybbpdy t k t j jjjkjkss +=D+D-=å å = = -m де p – рівноважний вектор цін, t iiy 1}{ = – рівноважні ступені задоволення потреб споживачів, а t jkkj 1, 1~ = -m – матриця, обернена до t jk l ni jiki pdpd 1,1 )()( =+= å . Зауважимо, що компоненти вектора l iiy 1}{ = одночасно задовольняють рівнянням (13) і (17), тому вони задовольнятимуть і рівнянню (8). Рівноважні обсяги випуску товарів монополістами ( )nt xx ,,1 K+ однозначно визначаються за рівноважними цінами і ступенями задоволення потреб споживачів .,1,)()( 1 1 1 1 1 1 ntkiebbAEypdx n s ss n j sj n i siks l j jkjk +=ú û ù ê ë é -+--+= å ååå = == - = ~ 169 ~ Математичне моделювання в економіці, №1-2, 2017 Гарантувати їх додатні значення можна, у випадку виконання умови .,1,0)( 1 1 1 1 1 1 1 ntkiebbAEdyx n s ss n j sj n i siks l j kj mm k +=>ú û ù ê ë é -+--+= å ååå = == - = Ступені задоволення потреб споживачів є розв'язком оптимізаційних задач, і в цьому сенсі знайдені рівноважні характеристики описують оптимальний стан рівноваги економічної системи. Його реалізацію можна забезпечити вибором стратегії оподаткування кожного з монополістів. З виразу (7) отримаємо, ( ) ( ) .,1, )()( 0 1 1 1 10 0 11 ntj pbbxapbbxaxp pypcpypc k n tk kjkjjkjk t k kjkjjkjjj s n ts jsjs t s jsj j += -+--+- + = åå åå +== +==p (19) Визначимо межі можливих значень рівноважних характеристик. Умови теореми допускають існування додатного розв'язку рівняння (7) з матрицею ln jkkjcpC , 1,1 0)( == = і вектором Myy = . Для цього розв'язку t iip 1}{ = , n tii 1}{ +=p вираз (7) можна переписати у вигляді ,,1,],,[~ 1 0 nkpcynGp n s s M skk ==å = .,1,,)(1)(],,[~ 1 11 nksbb xx AEG j sjsj j sj jj jksk = ú ú û ù ê ê ë é -+-=å = - k x p q xqk Вектор цін додатний, тому, згідно з теоремою Перрона (про існування власного вектора з додатними компонентами, який відповідає найбільшому власному значенню), спектральний радіус матриці n sk M sk cynG 1, 0 ],,[~ = дорівнюватиме одиниці. З властивостей невід'ємних матриць [7], що ґрунтуються на оцінках tskcytGcynG M sksk ,1,],,,[~],,[~ 00 =³ , випливає, що спектральний радіус матриці t sksk xnG 1,),( = буде меншим за одиницю. Тому справедливе відображення ,,1 ,],,[)(]),,[(),( 1 1 0 1 11 tk pcytGaAEcytGEcyp t j n ts s oM sk t i siijjk oMoM k = ÷ ø ö ç è æ +--=å å å = += = -- На підставі цього відображення отримуємо оцінки щодо можливих значень рівноважних цін tkcypppcypp m k m kk oM k M k ,1),,(),( 1 ==³³= . Можна отримати граничні оцінки і для рівнів оподаткування монополістів. Згідно із функціональною залежністю величин n tii 1}{ +=p у виразі (19) від елементів матриці )( pC , компонентів векторів p , y , x , запишемо ~ 170 ~ Математичне моделювання в економіці, №1-2, 2017 ( ) ( ) .,1,),,,( 0 1 1 1 10 0 11 ntj pbbabbap p k n tk kjkjjkjk t k kjkjjkjjj s n ts sjs t s sj j += -+--+- + =P åå åå +== +== chcc xqhxq cqhx Тоді значення рівнів оподаткування i -го монополіста перебуватимуть в межах інтервалу )],,,(),,,,([ 01 mMM i Mmm i xypcxypc PP , де величини .,1,)( 1 1 1 1 1 1 0 ntkiebbAEdyx n s ss n j sj n i siks l j kj MM k +=ú û ù ê ë é -+--+= å ååå = == - = визначатимуть верхні границі рівноважних значень обсягів випуску товарів і послуг монополістами, а n tii m i m xx 1}{ +== , відповідно, – нижні границі. Висновки В результаті здійсненого дослідження були узагальнені раніше отримані результати [1, 3, 6] стосовно врахування впливу цін товарів і послуг на формування споживчих уподобань суб'єктів національної економічної системи, що ставить елементи матриці попиту такої системи у моделі Вальрасового типу в залежність від вектора цін. На відміну від [1], в нашій версії моделі враховано наявність монополістів в національній економічній системі. У [3] нами розглядався випадок заданих рівнів задоволення потреб споживачів. У [6] нами досліджена рівновага у випадку матриці попиту спеціального вигляду ln jkkkj pfcpC , 1,1 0 )()( == = . Тепер же ми пропонуємо визначати рівні задоволення потреб споживачів з умови економічної рівноваги. Запропонований алгоритм визначення характеристик станів рівноваги національної економічної системи дає змогу з'ясувати умови функціонування всіх суб’єктів економічної системи в прийнятному для них режимі, із запобіганням проявам потенційно негативних впливів монопольних явищ. Наведено засіб реалізації (вибір стратегії оподаткування) прийнятних станів рівноваги. Наведені результати можуть бути застосовані до аналізу реальних економічних систем. Зокрема, у [8] зазначено, як пов'язати модельні економічні характеристики (в тому числі й елементи матриці попиту) зі статистичними даними, зібраними за міжнародною методикою системи національних рахунків (відомою в Україні також як таблиця витрати-випуск), які описують економіку України, та виконані деякі сценарні розрахунки. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 1. Гончар М.С. Математичні основи інформаційної економіки / М.С. Гончар – К.: Ін-т теор. фізики, 2007, – 464 с. 2. Debreu G. Existence of competitive equilibrium. Handbook of Mathematical Economics / Debreu G. / ed. by K.J. Arrow and M.D. Intriligator. – Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1982. – vol. II. – P. 698–742. ~ 171 ~ Математичне моделювання в економіці, №1-2, 2017 3. Махорт А.Ф. О влиянии зависимости структуры потребления товаров от цены на равновесие в экономической системе / А.Ф. Махорт // Кибернетика и системный анализ, 2015. – № 2. – С. 52–61. 4. Канторович Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов – М.: Наука, 1977, – 442 с. 5. Махорт А.П. Про алгоритми визначення станів рівноваги відкритої економічної системи за наявності монополістів / А.П. Махорт // Системні дослідження та інформаційні технології. – 2016. – № 4. 6. Махорт А.П. Вплив монополізму та оподаткування на економічну систему / А.П. Махорт // Системні дослідження та інформаційні технології. – 2013. – № 3. – С. 30–44. 7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер – М.: Наука, 1966, – 576 с. 8. Махорт А.Ф. О влиянии потребительских предпочтений на равновесие в открытой экономической системе / А.Ф. Махорт // Кибернетика и системный анализ. – 2016. – № 4. – С. 11–28. Стаття надійшла до редакції 19.07.16.

Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності монополістів та залежних від цін споживчих уподобань

Репозитарії

Схожі ресурси