Измерение физических величин при нарушении статистической устойчивости среднего
Предложена новая методика измерения физических величин на больших интервалах наблюдения при нарушении статистической устойчивости среднего. Продемонстрированы явные преимущества новой методики на конкретном примере. Запропоновано нову методику вимірювання фізичних величин на великих інтервалах спост...
Saved in:
| Published in: | Математичні машини і системи |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2017
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131990 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Измерение физических величин при нарушении статистической устойчивости среднего / И.И. Горбань // Математичні машини і системи. — 2017. — № 4. — С. 104-111. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860110453389131776 |
|---|---|
| author | Горбань, И.И. |
| author_facet | Горбань, И.И. |
| citation_txt | Измерение физических величин при нарушении статистической устойчивости среднего / И.И. Горбань // Математичні машини і системи. — 2017. — № 4. — С. 104-111. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичні машини і системи |
| description | Предложена новая методика измерения физических величин на больших интервалах наблюдения при нарушении статистической устойчивости среднего. Продемонстрированы явные преимущества новой методики на конкретном примере.
Запропоновано нову методику вимірювання фізичних величин на великих інтервалах спостереження при порушенні статистичної стійкості середнього. Продемонстровано явні переваги нової методики на конкретному прикладі.
A new technique for measuring of physical quantities at large observation intervals in violation of the statistical stability of the average is proposed. Obvious advantages of the new technique are shown by way of example.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:34:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
104 © Горбань И.И., 2017
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 4
МОДЕЛЮВАННЯ І УПРАВЛІННЯ
УДК 53.01:53.05+519.2
И.И. ГОРБАНЬ
*
ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ПРИ НАРУШЕНИИ
СТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СРЕДНЕГО
*
Институт проблем математических машин и систем НАН Украины, г. Киев, Украина
Анотація. Запропоновано нову методику вимірювання фізичних величин на великих інтервалах
спостереження при порушенні статистичної стійкості середнього. Продемонстровано явні пере-
ваги нової методики на конкретному прикладі.
Ключові слова: порушення статистичної стійкості, вимірювання, теорія гіпервипадкових явищ,
похибка вимірювання.
Аннотация. Предложена новая методика измерения физических величин на больших интервалах
наблюдения при нарушении статистической устойчивости среднего. Продемонстрированы явные
преимущества новой методики на конкретном примере.
Ключевые слова: нарушение статистической устойчивости, измерение, теория гиперслучайных
явлений, погрешность измерения.
Abstract. A new technique for measuring of physical quantities at large observation intervals in violation
of the statistical stability of the average is proposed. Obvious advantages of the new technique are shown
by way of example.
Keywords: violation of statistical stability, measurement, theory of hyper-random phenomena, measure-
ment error.
1. Введение
Измерения физических величин осуществляют различными способами с использованием
разных моделей измерения. Одним из наиболее распространенных является способ пря-
мых измерений с многократными независимыми наблюдениями [1]. Согласно ему, резуль-
тат измерения Ny (детерминированная оценка) измеряемой величины a формируется пу-
тем усреднения множества результатов конкретных однократных независимых измерений
1 2, , , Nx x x :
1
1 N
N n
n
y x
N
. (1)
Теоретическое обоснование этого способа базируется на идеализированном пред-
ставлении о физическом феномене статистической устойчивости, предполагающем суще-
ствование сходимости реальных статистик.
При использовании этого способа исходят из предположения, что измеряемая вели-
чина a имеет конкретное значение, результаты однократных измерений описываются не-
зависимыми случайными величинами 1 2, , , NX X X
1
с математическими ожиданиями
1
Здесь и далее под случайной величиной понимается неопределенная величина, характеризуемая определен-
ной функцией распределения. Неопределенные величины, у которых отсутствует вероятностная мера, слу-
чайными не считаются.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 4 105
1 2
, , ,
Nx x xm m m и конечными дисперсиями
1 2
, , ,
Nx x xD D D , а среднее математических ожи-
даний
1
1
n
N
xN x
n
m m
N
сходится к некоторому числу xm .
Тогда с увеличением количества однократных измерений N средняя дисперсия
2
1
1
n
N
y x
n
D D
N
случайной оценки
1
1 N
N n
n
Y X
N
уменьшается, и среднее NY сходится по
вероятности к xm : lim { } 0N x
N
P Y m (закон больших чисел, теорема Чебышева).
Исследования на больших интервалах наблюдения динамики изменения статистик
физических величин разной физической природы показывают (см., например, [2–20]), что
предположение о сходимости реальных статистик не находит экспериментального под-
тверждения. Это означает, что феномен статистической устойчивости не является идеаль-
ным: в реальном физическом мире имеют место нарушения статистической устойчивости.
Хотя на небольших интервалах наблюдения (при небольшом количестве однократ-
ных измерений N ) дисперсии статистик уменьшаются при увеличении объема данных, на
больших интервалах наблюдения эта тенденция не сохраняется: дисперсии либо перестают
изменяться, либо начинают возрастать [16–19]. Эту особенность реальных статистик необ-
ходимо учитывать при проведении измерений.
В настоящее время исследования феномена статистической устойчивости проводят-
ся в рамках физико-математической теории гиперслучайных явлений [16–19], ориентиро-
ванной на учет нарушений статистической устойчивости реальных физических явлений
(событий, величин, процессов и полей). Под гиперслучайным явлением (событием, вели-
чиной или функцией) подразумевается множество случайных явлений (событий, величин
или функций), зависящих от условий (параметра) g G . Для каждой отдельной случайной
составляющей гиперслучайного явления определена вероятностная мера, а для условий g
мера не определена.
В монографиях [16–19] разработана методика оценки интервалов статистической
устойчивости статистик (в частности, методика оценки интервала статистической устой-
чивости среднего), на которых возможно корректное применение классических методов
математической статистики и вне которых применение этих методов оказывается необос-
нованным.
На основе этой методики предложен способ статистических измерений физической
величины при нарушениях статистической устойчивости. Он позволяет оценивать интер-
вал, в котором находится измеряемая величина, в предположении, что измеряемая величи-
на не изменяется, а статистические условия непредсказуемо изменяются в различных се-
риях измерений. Точность таких измерений определяется параметрами изменения условий
измерения [21].
Для нужд практики особый интерес представляет другая задача подобного рода, а
именно: измерение физической величины, медленно изменяющейся в широких пределах
по априорно неизвестному детерминированному закону, при воздействии аддитивных по-
мех, которые, хотя и изменяются статистически непредсказуемым образом, но в рамках
рассматриваемого интервала наблюдения остаются статистически устойчивыми и описы-
ваются случайными моделями.
Целью настоящей статьи является представление методики проведения таких изме-
рений.
106 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 4
2. Исходные предположения
Будем считать, что измеряемая физическая величина ( )a t медленно изменяется во времени
t по неизвестному закону. Случайная помеха ( )W t аддитивная, имеет нулевое математи-
ческое ожидание и описывается некоторым неизвестным законом распределения.
Измерения проводятся в равноотстоящие моменты времени nt tn ( 1, )n N на
интервале наблюдения ( 1)T t N , где t – интервал дискретизации.
При рассмотрении случайной выборки результат измерения, соответствующий nt -
му моменту времени, описывается выражением n n nX a W , а при рассмотрении конкрет-
ной выборки – выражением n n nx a w , где na – значение измеряемой величины в nt -й
момент времени.
Элементы случайной выборки nX , mX ( )n m независимы. Помеха статистически
устойчива по отношению к среднему
1
1 N
N n
n
V W
N
. Это означает, что при N матема-
тическое ожидание выборочной дисперсии выборочного среднего
2
1
1
( )
1N N
N
V n V
n
D V m
N
стремится к нулю [17, 19], где
1
1
N
N
V n
n
m V
N
.
Результаты измерения статически неустойчивы по отношению к среднему NY . Это
означает, что при N математическое ожидание выборочной дисперсии выборочного
среднего 2
1
1
( )
1N N
N
Y n Y
n
D Y m
N
к нулю не стремится, где
1
1
N
N
Y n
n
m Y
N
.
Спектр колебаний измеряемой величины сосредоточен в низкочастотной области в
полосе [0, ]F .
Интервал статистической устойчивости среднего существенно меньше интервала
наблюдения T . В случае конкретной выборки под оценкой интервала статистической
устойчивости
*
подразумевается интервал, на котором оценка параметра статистической
неустойчивости * * */ (1 )N N N не выходит за пределы верхней границы устойчивости
0 0 0(1 )N N N
[17, 19]. В этих формулах * N
N
y
N
x
D
D
– оценка параметра статистиче-
ской неустойчивости
[ ]
[ ]
N
N
Y
N
X
D
D
,
2
1
1
( )
1N N
N
y n y
n
D y m
N
,
2
1
1
( )
1N
N
x i N
n
D x y
N
,
M[ ] – оператор математического ожидания,
2
1
1
( )
1N
N
X i N
n
D X Y
N
, *
0
0 0
N
N N ,
0N – параметр статистической неустойчивости N , соответствующий эталонному стати-
стически устойчивому гауссовскому белому шуму, – параметр, определяющий величину
доверительного интервала, *
0 N
– среднеквадратическое отклонение (СКО) величины
*
0 / M[ ]
N NN Y XD D , соответствующей эталонному статистически устойчивому гауссовско-
му белому шуму.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 4 107
3. Идея методики
Главная идея методики – использование предположения, что спектр колебаний измеряе-
мой величины отличается от спектра помехи, а именно: спектр колебаний измеряемой ве-
личины сосредоточен в области низких частот, а спектр помехи – в области высоких ча-
стот.
Заметим, что в рамках принятых предположений использование формулы (1) огра-
ничено интервалом статистической устойчивости . Применение этой формулы на боль-
шом интервале наблюдения, существенно превосходящем , некорректно, так как в этом
случае необходимо учитывать нарушения статистической устойчивости.
Нарушения статистической устойчивости могут быть вызваны разными причинами
[16–19]. Одна из наиболее существенных – наличие в спектре колебаний низкочастотных
составляющих, резко нарастающих с уменьшением частоты (когда спектральная плотность
мощности возрастает быстрее, чем 1/ f , где f – частота).
В рассматриваемой модели измерения предполагается, что низкочастотные состав-
ляющие спектра связаны с медленными изменениями во времени измеряемой величины.
При удалении этих колебаний из спектра процесс становится статистически устойчивым.
С учетом этого обстоятельства оценка измеряемой величины Na в Nt -й момент времени
* * *
1
1
( )
N
N N n n
n
y a x a
N
, (2)
где *
na – обратное дискретное преобразование Фурье дискретного спектра ( )FA k колеба-
ния nx в полосе [0, ]F , где k – номер спектрального отсчета.
Выборочное СКО погрешности измерения
* * 2
1
1
( )
( 1)
N
x a n n
n
x a
N N
. (3)
Поэтому с учетом погрешности измерения измеряемая величина
* *
N N x aa a . (4)
4. Методика измерений
Методика измерения включает следующие этапы.
1. Удостовериться, что исходные предположения адекватно отражают реальные
условия проведения измерений, в частности, результаты однократных измерений незави-
симы (или, как минимум, некоррелированы
2
).
2. Оценить величину интервала статистической устойчивости
*
исходного дис-
кретного процесса 1 2, , , Nx x x (определить критическую величину интервала наблюдения,
при котором оценка параметра статистической неустойчивости *
N достигает границы
N ).
3. Если оценка интервала статистической устойчивости
*
существенно меньше ин-
тервала наблюдения T , перейти к этапу 4. В противном случае применить стандартную
методику измерения с использованием формулы (1).
2
В случае коррелированности результатов однократных измерений осуществить их декорреляцию, напри-
мер, путем прореживания.
108 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 4
4. Вычислить дискретный спектр ( )A k колебания nx ( 1, )n N . По нему вычислить
оценку спектральной плотности мощности ( )xS k путем скользящего усреднения спек-
тральных отсчетов.
5. В области низких частот оценки спектральной плотности мощности ( )xS k найти
верхнюю границу полосы частот F , удовлетворяющую следующему условию: в полосе
[0, ]F с понижением частоты оценка ( )xS k возрастает быстрее, чем 1/ f .
6. Из спектра процесса вырезать полосу [0, ]F и оценить величину интервала стати-
стической устойчивости * (согласно пункту 2). Если полученная оценка примерно равна
интервалу наблюдения T , то перейти к этапу 7. В противном случае постепенно увеличи-
вать верхнюю границу полосы частот F до тех пор, пока * не станет примерно равной
интервалу наблюдения T .
7. По части ( )FA k спектра ( )A k колебания nx ( 1, )n N , соответствующего полосе
[0, ]F , рассчитать зависимость *
na ( 1, )n N .
8. По формуле (3) рассчитать выборочное СКО погрешности измерения и, задав-
шись параметром , определяющим величину доверительного интервала, найти результат
измерения по формуле (4).
5. Пример применения методики
На рис. 1 а изображено колебание магнитного поля Земли за 13 лет наблюдения в районе
Москвы (с 1997 по 2009 гг.) [22], на рис. 2 – его спектр, а на рис. 3 а – изменение во време-
ни выборочного среднего этого колебания.
На рис. 3 б изображено изменение во времени откорректированного выборочного
среднего исследуемого колебания (без пятидесяти первых спектральных отсчетов), а на
рис. 4 изображены зависимости оценок параметра статистической неустойчивости * от
времени наблюдения для исследуемого процесса при отсутствии (а) и наличии (б) коррек-
ции спектра.
На рис. 5 а представлен результат измерения магнитной индукции магнитного поля
по стандартной методике (с использованием формулы (1)), игнорирующей нарушение ста-
тистической устойчивости среднего, а на рис. 5 б – по новой методике, учитывающей
нарушение статистической устойчивости.
Рис. 1. Колебание магнитного поля при отсутствии (а) и наличии (б) коррекции спектра
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 4 109
Рис. 2. Оценка спектральной плотности мощности колебания магнитного поля (ломаная линия).
Для сравнения пунктирными прямыми линиями изображены сдвинутые вдоль оси ординат до
уровня первого отсчета спектра исследуемого колебания графики
степенных функций 1/ k , 1,4
Рис. 3. Изменения во времени выборочного среднего колебания магнитного поля
при отсутствии (а) и наличии коррекции (б) спектра
Рис. 4. Зависимости оценок параметра статистической неустойчивости
*
от интервала наблюде-
ния при отсутствии (а) и наличии коррекции (б) спектра. Непрерывные жирные линии соответ-
ствуют исследуемому процессу, тонкие непрерывные линии – эталонному статистически устойчи-
вому гауссовскому белому шуму, а тонкие пунктирные линии – верхней границе устойчивости
110 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 4
Рис. 5. Результаты измерения магнитного поля по стандартной методике, игнорирующей наруше-
ние статистической устойчивости среднего (а), и новой методике, учитывающей нарушение стати-
стической устойчивости (б) (доверительный интервал изображен пунктирными линиями)
Анализ колебания, представленного на рис. 1 а, показывает, что в районе 1,6 года,
7,9 лет и 9 лет от начала наблюдения происходили отклонения магнитной индукции от
среднего уровня, которые сохранялись на протяжении нескольких месяцев. Величины от-
клонений достигали 40 единиц. Эти отклонения хорошо видны на рис. 3 а, 5 а и 5 б.
Из кривых на рис. 4 а следует, что исследуемое колебание статистически неустой-
чивое по отношению к среднему. Интервал статистической устойчивости составляет при-
мерно 2 года. На рис. 2 видно, что на начальном участке спектра (от первого до примерно
пятидесятого спектрального отсчета) интенсивность спектральных составляющих быстро
нарастает с понижением частоты, что и обусловливает нарушение статистической устой-
чивости. Как следует из рис. 4 б, при исключении этого участка спектра процесс становит-
ся статистически устойчивым.
Сравнение результата измерения по стандартной методике (рис. 5 а) с результатом
по новой методике (рис. 5 б) демонстрирует явное преимущество последней. Стандартная
методика дает неприемлемо искаженный результат измерения магнитного поля. Отклоне-
ния от среднего уровня порядка 40 единиц, наблюдаемые на рис. 1 а, искаженно представ-
лены на рис. 5 а в виде отклонений на уровне нескольких единиц. Причем эти отклонения
сопровождаются длительными переходными процессами, отсутствующими на рис. 1 а.
Новая же методика детально отслеживает быструю динамику изменения среднего уровня
колебания, фиксируя при этом в районе 1,6 года, 7,9 лет и 9 лет отклонения от среднего
уровня, достигающие примерно 40 единиц. Следует заметить, что использование новой
методики обеспечивает пренебрежимо малую погрешность измерения (см. рис. 5 б).
6. Выводы
1. Предложена новая методика измерения физических величин на больших интервалах
наблюдения при нарушении статистической устойчивости среднего.
2. На примере измерения магнитного поля Земли продемонстрировано явное преимуще-
ство новой методики по сравнению со стандартной методикой, игнорирующей нарушения
статистической устойчивости.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. ГОСТ 8.207-76. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки резуль-
татов наблюдений. Основные положения. – М.: ИПК Издательство стандартов, 2001. – 8 с.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 4 111
2. Горбань И.И. Статистическая устойчивость колебаний температуры воздуха и осадков в районе
Москвы / И.И. Горбань // Математичні машини і системи. – 2011. – № 3. – С. 97 – 104.
3. Горбань И.И. Оценка статистической устойчивости колебаний температуры воздуха и осадков в
Москве и Киеве / И.И. Горбань, Ю.Г. Коровицкий // Тезисы докладов Шестой науч.-практ. конф. с
междунар. участием «Математическое и имитационное моделирование систем. МОДС ’2011». –
Киев, 2011. – С. 23 – 26.
4. Горбань И.И. Нарушение статистической устойчивости физических процессов / И.И. Горбань //
Математичні машини і системи. – 2010. – № 1. – С. 171 – 184.
5. Горбань И.И. Исследование нарушений статистической устойчивости курса валют / И.И. Гор-
бань // Труды пятой конференции «Математическое и имитационное моделирование систем.
МОДС ’2010». – К., 2010. – С. 84 – 86.
6. Горбань И.И. Статистическая неустойчивость магнитного поля Земли / И.И. Горбань // Труды
шестой дистанционной конференции «Системы поддержки принятия решений. Теория и практика.
СППР ’2010». – К., 2010. – С. 189 – 192.
7. Горбань И.И. Эффект статистической неустойчивости в гидрофизике / И.И. Горбань // Труды
десятой Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики». –
СПб.: Наука, 2010. – С. 199 – 201.
8. Горбань И.И. Статистическая неустойчивость физических процессов / И.И. Горбань // Известия
вузов. Радиоэлектроника. – 2011. – Т. 54, № 9. – С. 40 – 52.
9. Исследование статистической устойчивости колебаний температуры шельфовой зоны окраин-
ных морей / И.И. Горбань, Н.И. Горбань, В.В. Новотрясов [и др.] // Труды VII Всероссийского
симпозиума «Физика геосфер». – Владивосток, 2011. – С. 542 – 547.
10. Горбань И.И. Исследование статистической устойчивости колебаний температуры и скорости
звука в океане / И.И. Горбань, И.О. Ярощук // Тезисы доклада на конференции «КОНСОНАНС-
2011». – Киев, 2011. – С. 99 – 104.
11. Горбань И.И. Исследование статистической устойчивости колебаний температуры воздуха и
осадков / И.И. Горбань // Труды седьмой дистанционной конференции «Системы поддержки при-
нятия решений. Теория и практика. СППР ’2011». – К., 2011. – С. 175 – 178.
12. Горбань И.И. Статистическая устойчивость излучения астрофизических объектов / И.И. Гор-
бань / И.И. Горбань // Математичні машини і системи. – 2012. – № 2. – С. 155 – 160.
13. Горбань И.И. Исследование нарушений статистической устойчивости колебаний скорости вет-
ра в Чернобыле / И.И. Горбань, А.Д. Скорбун // Труды восьмой дистанционной конференции «Си-
стемы поддержки принятия решений. Теория и практика. СППР ’2012». – К., 2012. – С. 39 – 42.
14. Горбань И.И. Феномен статистической устойчивости / И.И. Горбань // Журнал технической фи-
зики. – 2014. – Т. 84, № 3. – С. 22 – 30.
15. Горбань И.И. Теория гиперслучайных явлений: физические и математические основы / Горбань
И.И. – К.: Наукова думка, 2011. – 318 с.
16. Горбань И.И. Феномен статистической устойчивости / Горбань И.И. – К.: Наукова думка, 2014.
– 444 с.
17. Горбань И.И. Случайность и гиперслучайность / Горбань И.И. – К.: Наукова думка, 2016. –
288 с.
18. Gorban I.I. The Statistical Stability Phenomenon / Gorban I.I. – Springer, 2017. – 362 p.
19. Gorban I.I. Ramdomness and Hyper-randomness / Gorban I.I. – Springer, 2017. – 256 p.
20. Феномен статистической неустойчивости систем третьего типа-complexity / В.В. Еськов,
Т.В. Гавриленко, В.М. Еськов [и др.] // Журнал технической физики. – 2017. – Т. 87, № 11. –
С. 1609 – 1614.
21. Горбань И.И. Почему точность измерения физических величин ограничена / И.И. Горбань //
Системні дослідження та інформаційні технології. – 2015. – № 4. – С. 207 – 210.
22. Данные о вариации индукции магнитного поля в районе Москвы. Институт земного магнетиз-
ма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н.В. Пушкова РАН [Электронный ресурс]. – Ре-
жим доступа: http://forecast.izmiran.rssi.ru/bankr.htm.
Стаття надійшла до редакції 27.11.2017
http://forecast.izmiran.rssi.ru/bankr.htm
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-131990 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-9763 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:34:04Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Горбань, И.И. 2018-04-08T14:10:48Z 2018-04-08T14:10:48Z 2017 Измерение физических величин при нарушении статистической устойчивости среднего / И.И. Горбань // Математичні машини і системи. — 2017. — № 4. — С. 104-111. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131990 53.01:53.05+519.2 Предложена новая методика измерения физических величин на больших интервалах наблюдения при нарушении статистической устойчивости среднего. Продемонстрированы явные преимущества новой методики на конкретном примере. Запропоновано нову методику вимірювання фізичних величин на великих інтервалах спостереження при порушенні статистичної стійкості середнього. Продемонстровано явні переваги нової методики на конкретному прикладі. A new technique for measuring of physical quantities at large observation intervals in violation of the statistical stability of the average is proposed. Obvious advantages of the new technique are shown by way of example. ru Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Моделювання і управління Измерение физических величин при нарушении статистической устойчивости среднего Вимірювання фізичних величин при порушенні статистичної стійкості середнього Measurement of physical quantities in violation of the statistical stability of the average Article published earlier |
| spellingShingle | Измерение физических величин при нарушении статистической устойчивости среднего Горбань, И.И. Моделювання і управління |
| title | Измерение физических величин при нарушении статистической устойчивости среднего |
| title_alt | Вимірювання фізичних величин при порушенні статистичної стійкості середнього Measurement of physical quantities in violation of the statistical stability of the average |
| title_full | Измерение физических величин при нарушении статистической устойчивости среднего |
| title_fullStr | Измерение физических величин при нарушении статистической устойчивости среднего |
| title_full_unstemmed | Измерение физических величин при нарушении статистической устойчивости среднего |
| title_short | Измерение физических величин при нарушении статистической устойчивости среднего |
| title_sort | измерение физических величин при нарушении статистической устойчивости среднего |
| topic | Моделювання і управління |
| topic_facet | Моделювання і управління |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/131990 |
| work_keys_str_mv | AT gorbanʹii izmereniefizičeskihveličinprinarušeniistatističeskoiustoičivostisrednego AT gorbanʹii vimírûvannâfízičnihveličinpriporušennístatističnoístíikostíserednʹogo AT gorbanʹii measurementofphysicalquantitiesinviolationofthestatisticalstabilityoftheaverage |