Оптимальное управление в диффузионных стохастических нелинейных дифференциально-функциональных уравнениях Ито с марковскими параметрами и внешними марковскими переключениями

Вторым методом Ляпунова–Красовского получены достаточные условия асимптотической стохастической устойчивости в целом, устойчивости в целом, экспоненциальной устойчивости в среднем квадратическом тривиального решения систем стохастических диффузионных дифференциально-функциональных уравнений с марков...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
Hauptverfasser:	Ясинский, В.К., Савчук, Б.В., Козырь, С.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Schriftenreihe:	Кибернетика и системный анализ
Schlagworte:	Системный анализ
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/133687
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Оптимальное управление в диффузионных стохастических нелинейных дифференциально-функциональных уравнениях Ито с марковскими параметрами и внешними марковскими переключениями / В.К. Ясинский, Б.В. Савчук, С.М. Козырь // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 3. — С. 122-133. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-133687
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1336872025-02-23T20:11:55Z Оптимальное управление в диффузионных стохастических нелинейных дифференциально-функциональных уравнениях Ито с марковскими параметрами и внешними марковскими переключениями Оптимальне керування в дифузійних стохастичних нелінійних диференціально-функціональних рівняннях Іто з марковськими параметрами та зовнішніми марковськими перемиканнями Optimal control in diffusion stochastic nonlinear functional-differential Ito equations with Markov parameters and external markovian switching Ясинский, В.К. Савчук, Б.В. Козырь, С.М. Системный анализ Вторым методом Ляпунова–Красовского получены достаточные условия асимптотической стохастической устойчивости в целом, устойчивости в целом, экспоненциальной устойчивости в среднем квадратическом тривиального решения систем стохастических диффузионных дифференциально-функциональных уравнений с марковскими переключениями, а также проиллюстрирована теория на двух модельных задачах. Другим методом Ляпунова–Красовського одержано достатні умови асимптотичної стохастичної стійкості в цілому, стійкості в цілому, экспоненціальної стійкості в средньому квадратичному тривіального розв’язку систем стохастичних дифузійних диференціально-функціональних рівнянь з марковськими перемиканнями, а також проілюстровано теорію на двох модельних задачах. The Lyapunov–Krasovskii second method is used to obtain the sufficient conditions for asymptotic stochastic stability on the whole, global stability, the stability in mean of trivial solutions of systems of stochastic diffusion functional-differential equations with Markov switching, and the theory is illustrated using two model problems. 2016 Article Оптимальное управление в диффузионных стохастических нелинейных дифференциально-функциональных уравнениях Ито с марковскими параметрами и внешними марковскими переключениями / В.К. Ясинский, Б.В. Савчук, С.М. Козырь // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 3. — С. 122-133. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/133687 519.217; 519.718; 519.837 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Ясинский, В.К. Савчук, Б.В. Козырь, С.М. Оптимальное управление в диффузионных стохастических нелинейных дифференциально-функциональных уравнениях Ито с марковскими параметрами и внешними марковскими переключениями Кибернетика и системный анализ
description	Вторым методом Ляпунова–Красовского получены достаточные условия асимптотической стохастической устойчивости в целом, устойчивости в целом, экспоненциальной устойчивости в среднем квадратическом тривиального решения систем стохастических диффузионных дифференциально-функциональных уравнений с марковскими переключениями, а также проиллюстрирована теория на двух модельных задачах.
format	Article
author	Ясинский, В.К. Савчук, Б.В. Козырь, С.М.
author_facet	Ясинский, В.К. Савчук, Б.В. Козырь, С.М.
author_sort	Ясинский, В.К.
title	Оптимальное управление в диффузионных стохастических нелинейных дифференциально-функциональных уравнениях Ито с марковскими параметрами и внешними марковскими переключениями
title_short	Оптимальное управление в диффузионных стохастических нелинейных дифференциально-функциональных уравнениях Ито с марковскими параметрами и внешними марковскими переключениями
title_full	Оптимальное управление в диффузионных стохастических нелинейных дифференциально-функциональных уравнениях Ито с марковскими параметрами и внешними марковскими переключениями
title_fullStr	Оптимальное управление в диффузионных стохастических нелинейных дифференциально-функциональных уравнениях Ито с марковскими параметрами и внешними марковскими переключениями
title_full_unstemmed	Оптимальное управление в диффузионных стохастических нелинейных дифференциально-функциональных уравнениях Ито с марковскими параметрами и внешними марковскими переключениями
title_sort	оптимальное управление в диффузионных стохастических нелинейных дифференциально-функциональных уравнениях ито с марковскими параметрами и внешними марковскими переключениями
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Системный анализ
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/133687
citation_txt	Оптимальное управление в диффузионных стохастических нелинейных дифференциально-функциональных уравнениях Ито с марковскими параметрами и внешними марковскими переключениями / В.К. Ясинский, Б.В. Савчук, С.М. Козырь // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 3. — С. 122-133. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT âsinskijvk optimalʹnoeupravlenievdiffuzionnyhstohastičeskihnelinejnyhdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravneniâhitosmarkovskimiparametramiivnešnimimarkovskimipereklûčeniâmi AT savčukbv optimalʹnoeupravlenievdiffuzionnyhstohastičeskihnelinejnyhdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravneniâhitosmarkovskimiparametramiivnešnimimarkovskimipereklûčeniâmi AT kozyrʹsm optimalʹnoeupravlenievdiffuzionnyhstohastičeskihnelinejnyhdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravneniâhitosmarkovskimiparametramiivnešnimimarkovskimipereklûčeniâmi AT âsinskijvk optimalʹnekeruvannâvdifuzíjnihstohastičnihnelíníjnihdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânnâhítozmarkovsʹkimiparametramitazovníšnímimarkovsʹkimiperemikannâmi AT savčukbv optimalʹnekeruvannâvdifuzíjnihstohastičnihnelíníjnihdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânnâhítozmarkovsʹkimiparametramitazovníšnímimarkovsʹkimiperemikannâmi AT kozyrʹsm optimalʹnekeruvannâvdifuzíjnihstohastičnihnelíníjnihdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânnâhítozmarkovsʹkimiparametramitazovníšnímimarkovsʹkimiperemikannâmi AT âsinskijvk optimalcontrolindiffusionstochasticnonlinearfunctionaldifferentialitoequationswithmarkovparametersandexternalmarkovianswitching AT savčukbv optimalcontrolindiffusionstochasticnonlinearfunctionaldifferentialitoequationswithmarkovparametersandexternalmarkovianswitching AT kozyrʹsm optimalcontrolindiffusionstochasticnonlinearfunctionaldifferentialitoequationswithmarkovparametersandexternalmarkovianswitching
first_indexed	2025-11-24T23:46:43Z
last_indexed	2025-11-24T23:46:43Z
_version_	1849717427692109824
fulltext	ÓÄÊ 519.217; 519.718; 519.837 Â.Ê. ßÑÈÍÑÊÈÉ, Á.Â. ÑÀÂ×ÓÊ, Ñ.Ì. ÊÎÇÛÐÜ ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÅ ÓÏÐÀÂËÅÍÈÅ Â ÄÈÔÔÓÇÈÎÍÍÛÕ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎ-ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÕ ÈÒÎ Ñ ÌÀÐÊÎÂÑÊÈÌÈ ÏÀÐÀÌÅÒÐÀÌÈ È ÂÍÅØÍÈÌÈ ÌÀÐÊÎÂÑÊÈÌÈ ÏÅÐÅÊËÞ×ÅÍÈßÌÈ Àííîòàöèÿ. Âòîðûì ìåòîäîì Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ñòîõàñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè â öåëîì, óñòîé÷è- âîñòè â öåëîì, ýêñïîíåíöèàëüíîé óñòîé÷èâîñòè â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ ñèñòåì ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôóçèîííûõ äèôôåðåíöè- àëüíî-ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ìàðêîâñêèìè ïåðåêëþ÷åíèÿìè, à òàêæå ïðîèëëþñòðèðîâàíà òåîðèÿ íà äâóõ ìîäåëüíûõ çàäà÷àõ. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñòîõàñòè÷åñêàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà, ñèñòåìà ñ ïîñëå- äåéñòâèåì, ìàðêîâñêîå âîçìóùåíèå. Ðåøåíà ïðîáëåìà óñòîé÷èâîñòè è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äèíàìè÷åñêèìè ñèñòåìàìè ñëîæíîé âåðîÿòíîñòíîé ñòðóêòóðû [1, 4, 5, 9–14, 19–21, 24]. Ïðèâå- äåíû îñíîâíûå îïðåäåëåíÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïî âåðîÿòíîñòè è â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì âòîðûì ìåòîäîì Ëÿïóíîâà. Äîêàçàíà îñíîâíàÿ òåî- ðåìà (äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ) ñòàáèëèçàöèè ðåøåíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè äèíàìè- ÷åñêèõ ñèñòåì ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû ñ âíåøíèìè ìàðêîâñêèìè ïåðåêëþ÷å- íèÿìè [2, 3, 16–26]. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È Ïóñòü íà âåðîÿòíîñòíîì áàçèñå ( , , { , , )� F FF P� �t t t0 } ñîñòîÿíèå ðåàëüíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû çàäàíî ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì x t x t t( ) ( , ) :[ ; )� � �� 0 � �� R m êàê ñèëüíîå ðåøåíèå äèôôóçèîííîãî íåëèíåéíîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ ìàðêîâñêèìè ïåðåêëþ÷åíèÿ- ìè (ÄÍÑÄÔÓ ñ ÌÏ) è ñ êîíå÷íûì ïîñëåäñòâèåì dx t a t t x u dt b t t x u dw tt t( ) ( , ( ), , ) ( , ( ), , ) ( )� � � (1) ñ ó÷åòîì âíåøíèõ ìàðêîâñêèõ ïåðåêëþ÷åíèé { }� k k, � � x t g t xt t k t t tk k k k ( )\| ( , , , )� � � �� (2) è c íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè x t t y t h t D( ) ; ( ) ; ( ) ; ;0 0 0 0 0� � � � � � �� Y H . (3) Çäåñü x x tt � � �{ }( , ), ,� � � � �0 0 — îòðåçîê ñèëüíîãî ðåøåíèÿ ÄÍÑÄÔÓ ñ ÌÏ (1) ñ ïåðåêëþ÷åíèÿìè { }� k k, � � â äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè t S t nk n� � � �{ }, N , lim n nt �� ; D D R m� � �([ , ] )� 0 — ïðîñòðàíñòâî Ñêîðîõîäà íåïðåðûâíûõ ñïðàâà ôóíêöèé, èìåþùèõ ëåâîñòîðîííèå ïðåäåëû [3, 5, 7, 16]; âåêòîð x t x t R m( ) ( , )� �� îòêëîíåíèÿ äåéñòâèòåëüíûõ çíà÷åíèé m-ìåðíîé âåëè÷èíû îò åãî íåâîçìóùåííîãî çíà÷åíèÿ x t( ) � 0 � � �t t0 0; âåëè- ÷èíà u u t y x h R k� �( , , , ) — k-ìåðíîå óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå [4, 14]; � � �( ) ( , ) :[ , )t t t R� � � �0 1� — ìàðêîâñêèé ïðîöåññ; �( ) [ , )t t R� � � �0 1� — öåïü Ìàðêîâà [7]. 122 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 � Â.Ê. ßñèíñêèé, Á.Â. Ñàâ÷óê, Ñ.Ì. Êîçûðü, 2016 Â ðàáîòå [4] äîêàçàíî, ÷òî ñèëüíîå ðåøåíèå x t( ) ÄÍÄÑÔÓ c ÌÏ (1)–(3) åñòü ìàðêîâñêèé ïðîöåññ ïðè óñëîâèè, ÷òî óðàâíåíèå (1) èìååò ïàðàìåòð � � �( ) ( , )t t R m� � è óïðàâëåíèå u R k� . Â ðàáîòå [10] ðàññìîòðåí âàðèàíò çàäà÷è (1)–(3), êîãäà �( )t åñòü ïðîñòàÿ ìàðêîâñêàÿ öåïü ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñîñòîÿíèé { }y y Yn1, ,� � è çàäàííûìè âåðîÿòíîñòÿìè ïåðåõîäà [7] P{ }� �( ) / ( ) ( ) ( )t y s y q t s o t sj i ij� � � � � ; P{ }� � � �( ) , / ( ) ( ) ( )� � � � � �y s t s y q t s o t si i i1 . (4) Â ýòîì ñëó÷àå óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñêà÷êîâ p z xij ( , / )� ôàçî- âîãî âåêòîðà x t( ) íåïðåðûâíà ïî � è èìååò êîìïàêòíûé íîñèòåëü z, óäîâëåòâîðÿ- þùèé óñëîâèÿì [10] h x z h x h h p z zij1 2 1 20 0\| \| \| \| \| \| \| \| \| \| \| \| ; ; ( , / ) ( ) � � �� , h h1 21 1 �, , (5) ãäå \| \| \| \|x — íîðìà èç [10] . Â ðàáîòå [10] ðàññìîòðåí ÷èñòî ðàçðûâíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ � � �( ) [ , ]t � 1 2 , äîïóñêàþùèé ðàçëîæåíèÿ P{ }� � ( ) [ , ] / ( ) ( , , ) ( )t t t p t t o t � � � � ; P{ }� � � � ( ) , / ( ) ( , ) ( )� � � � � � t t t t p t t o t 1 . (6) Â ìîìåíòû ñêà÷êà ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà �( )t êàê ïàðàìåòðà ôàçîâûé âåêòîð x t( ) êàê ñèëüíîå ðåøåíèå ÄÍÑÄÔÓ ñ ÌÏ (1)–(3) ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó Ñêîðîõîäà [5, 7]. Ñòàâèòñÿ çàäà÷à ñ ïîìîùüþ âòîðîãî ìåòîäà Ëÿïóíîâà [11–15] (ìåòîä ôóíê- öèîíàëîâ Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî) íàéòè äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñòàáèëèçàöèè â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ ÄÍÑÄÔÓ ñ ÌÏ (1)–(3) [5]. ÄÂÅ ÇÀÄÀ×È ÑÒÀÁÈËÈÇÀÖÈÈ È ÀËÃÎÐÈÒÌ ÍÀÕÎÆÄÅÍÈß ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà � � �( ) ( , )t t Y� � — ïðîñòàÿ ìàðêîâñêàÿ öåïü ñ êî- íå÷íûì ÷èñëîì ñîñòîÿíèé Y y y yk� { }1 2, , ,� [7]. Ýòî åñòü ãàðàíòèåé òîãî, ÷òî ðåàëèçàöèè �( )t ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà êóñî÷íî-ïîñòîÿííû â ìîìåíòû { }t kk , � 1 äëÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû (1). Òîãäà íà êàæäîì ñëó÷àéíîì èíòåðâàëå âðåìåíè t l lk � �[ , ]� ïðè �( )t y Yi� � äâèæåíèå ïðîèñõîäèò â ñèëó ÄÍÑÄÔÓ ñ ÌÏ, à èìåííî dx t a t y x u dt b t y x u dw t ti t i t( ) ( , , , ) ( , , , ) ( ), [ , )� � �� , (7) x t g t y x zt t i i t ii i ( )\| ( , , , )� �� (8) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè x x y yi i( ) , ( ) , ( )� � � � � � � �� . (9) Ïóñòü � — ìîìåíò ïåðåêëþ÷åíèÿ � �( )� �0 yi ê çíà÷åíèþ �( )t y y j� � , y yj i� . Òîãäà íà èíòåðâàëàõ ïîñòîÿíñòâà �( )t y j� è �( )t y j� ñëåäóåò ðåøàòü óðàâíåíèÿ (1), (2), ãäå yi çàìåíÿåì y j , ò.å. èìååì ÄÍÑÄÔÓ ñ ÌÏ dx t a t y x u dt b t y x u dwt tj t j t( ) ( , , , ) ( , , , ) [ , )� � � � � . (10) Ïðè ýòîì ïîÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìà âûáîðà íà÷àëüíûõ óñëîâèé x( )� äëÿ íîâîé ñèñ- òåìû (10), îáóñëîâëåííîãî ðåàëüíûìè ñâîéñòâàìè ìîäåëèðóåìîãî îáúåêòà. Òàêèì îáðàçîì, ñèëüíîå ðåøåíèå x t x t C( ) ( , )� �� ÄÍÑÄÔÓ ñ ÌÏ (1), (2), ìàðêîâñêèå ïðîöåññû �( )t è � k , à òàêæå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (3) îïðåäåëÿþò ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 123 ( )m 2 -ìàðêîâñêèé ïðîöåññ { }x t t k( ), ( ),� � , ãäå ñëó÷àéíûé ïðîöåññ { }x t t t( ), � 0 õàðàêòåðèçóåò èçìåíåíèå m-ìåðíîãî âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòå- ìû, à { }�( )t è { }� k — ñëó÷àéíûå èçìåíåíèÿ ñòðóêòóðû ñîîòâåòñòâåííî âíóòðåí- íèå è âíåøíèå. Îïðåäåëåíèå 1. Â äàëüíåéøåì ÄÍCÄÔÓ ñ ÌÏ (1) è óñëîâèÿ (2), (3) áóäåì íàçûâàòü ñèñòåìîé ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû [9, 10]. Â ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ íàèáîëåå ñóùåñòâåííûìè ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñëó÷àè: 1) â ìîìåíò � ñêà÷êîîáðàçíîãî èçìåíåíèÿ ïðîöåññà (�( )t , � k ) ôàçîâûé âåê- òîð x t x t m( ) ( , )� �� èçìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíî, ò.å. x x( ) ( )� �� 0 ; (11) 2) â ìîìåíò �� t0 ñêà÷êîîáðàçíîãî èçìåíåíèÿ ïðîöåññà (�( )t , � k ) ôàçîâûé âåêòîð x( )� îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñîñòîÿíèåì ñèñòåìû äî èçìåíåíèÿ ñòðóêòó- ðû, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ïåðåõîäà � �( )� �0 yi â � �( ) � �y yj i , � �( )� �0 zi â � �( ) � z j , ò.å. áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî x x i jij( ) ( ( )),� � �� 0 , (12) ãäå � ij x( ) — íåïðåðûâíûå ôóíêöèè, ïðè÷åì � ij ( )0 0� , óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ (5) [10]. Åñëè � ij x( ) — ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ, òî ñóùåñòâóåò m m� ìàò- ðèöà Kij òàêàÿ, ÷òî x K xij( ) ( )� �� 0 ; (13) 3) îáøèé ñëó÷àé äëÿ ìîìåíòà � èçìåíåíèÿ ñòðóêòóðû ñèñòåìû y yi j� , z zi j� çàäàåòñÿ óñëîâíûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ x( )� äëÿ èçìåíèâøåéñÿ ñèñòåìû P{ }x x x p x oij( ) [ , ] / ( ) ( , / ) ( ) � � � � � � � � � � � �0 , (14) ãäå p xij ( , / )� � — óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü ôèêñèðîâàííîãî m-ìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî ñëó÷àé 1 íåïðåðûâíîãî èçìåíåíèÿ âåêòîðà èìååò ìåñòî ïðè K Eij � , ãäå E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Î÷åâèäíî, ÷òî ïî÷òè âñå ðåàëèçàöèè ïðîöåññà { }x t t t( ), ( ), ( )� � íåïðåðûâíû ñïðàâà [7]. Ñëó÷àè (12), (13) ìîæíî ïîëó÷èòü èç (14), êîãäà p x xij ( , / ) ( )� � � �� è, ñëå- äîâàòåëüíî, p x xij ij( , / ) ( ( ))� � � � �� . Â äàëüíåéøåì äëÿ çàäàíèÿ ñèñòåìû (1)–(3) ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû ñëåäóåò îïðåäåëèòü ñëåäóþùèå ìàòåìàòè÷åñêèå îáúåêòû: — ÄÍÑÄÔÓ ñ ÌÏ (1) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (2), (3); — âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ÷èñòî ðàçðûâíûõ ïðîöåññîâ �( )t (4) èëè (6), à äëÿ �( )t àíàëîãè÷íûå âåðîÿòûå õàðàêòåðèñòèêè [10]; — óñëîâíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ (4) (èëè (6), (14) êàê ÷àñòíûå ñëó÷àè), êî- òîðûé çàäàåò íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ôàçîâîãî âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ x t R m( ) � ïðè èçìåíÿþùåéñÿ ñòðóêòóðå ñèñòåìû. Ïðèíÿòà ñëåäóþùàÿ òåðìèíîëîãèÿ óñòîé÷èâîñòè òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ x t( ) � 0 ñèñòåìû ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû (1)–(3). Ââåäåì âíà÷àëå îáîçíà÷åíèå ñîâîêóïíîñòè ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâ Ñêîðîõî- äà D, êîòîðîå äàñò áîëåå êîìïàêòíîå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé ÄÍÑÄÔÓ ñ ÌÏ [7] S D r S D rr r� � � � � �{ } { }� � � �/\| \| \| \| ; /\| \| \| \|( )0 0 , � / \| \| \| \| ; / \| ( )\|( ) ( )S E E r S E sr r s 0 0 2 2 0� � � � �{ { } } { { up� � � � �F } }� r 2 , 124 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 ãäå E{}� — îïåðàöèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ; F — �-àëãåáðà, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé èçìåðèìû ñëó÷àéíûå ïðîöåññû êàê ñèëüíûå ðåøåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû [10]; \| \| \| \|� — ðàâíîìåðíàÿ íîðìà; \| \| \| \|� 0 � � � � � � 2 2 0 0( ) ( ) � � d [17, 19]. Îïðåäåëåíèå 2 [10]. Òðèâèàëüíîå ðåøåíèå x � 0 ñèñòåìû (1)–(3) íàçîâåì óñòîé÷èâûì ïî âåðîÿòíîñòè (ñòîõàñòè÷åñêè óñòîé÷èâûì), åñëè � �� 0, r � 0 ñó- ùåñòâóåò òàêîå �� 0, ÷òî èç óñëîâèé � ��S , y Y0 � , h H0 � , t0 0� ñëåäóåò íåðà- âåíñòâî P x y h r t t t{ }sup \| \| \| \| / , , � � � � 0 0 0 1� � � � � �y Y h H t0 0 0 0, , , x x t t y ht � { }( , , , , )� �0 0 0 . (15) Çàìå÷àíèå 1. Îïðåäåëåíèå 2 îçíà÷àåò, ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ, áëèçêîé ê åäèíè- öå, ðåøåíèå x t( ) ñèñòåìû (1)–(3) îñòàåòñÿ â ëþáîé ìàëîé îêðåñòíîñòè íà÷àëà êî- îðäèíàò, åñëè íà÷àëüíîå îòêëîíåíèå ìàëî. Îïðåäåëåíèå 3. Ïóñòü ðåøåíèå x � 0 ñèñòåìû (1)–(3) óñòîé÷èâî ïî âåðîÿò- íîñòè. Åñëè äëÿ ëþáîãî � � 0 è ëþáîãî íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ � ��S âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî lim sup \| \| \| \| / , , T t t T tP x y h �� { } 0 0 0 1� � , (16) òî ýòî òðèâèàëüíîå ðåøåíèå íàçîâåì àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì ïî âåðîÿò- íîñòè, à ïîñòîÿííàÿ � õàðàêòåðèçóåò îáëàñòü ïðèòÿæåíèÿ òî÷êè x � 0. Îïðåäåëåíèå 4 [10, 14, 19–23]. Òðèâèàëüíîå ðåøåíèå x � 0 íàçîâåì óñòîé÷è- âûì â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì (l i m. . .), åñëè äëÿ �� 0 ñóùåñòâóåò �� 0 òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ s � 0 èç � � � ( )S r 0 ñëåäóåò x s St ( , ) ( )� � � 1 0 . Îïðåäåëåíèå 5. Òðèâèàëüíîå ðåøåíèå x � 0 ñèñòåìû (1)–(3) íàçîâåì àñèìïòî- òè÷åñêè óñòîé÷èâûì â l i m. . ., åñëè îíî óñòîé÷èâî â l i m. . . (îïðåäåëåíèå 4) è � �s 0 ñóùåñòâóåò �� 0 òàêîå, ÷òî lim \| \| ( )\| \| t E x t �� { }2 0 (17) äëÿ ëþáîãî � � � � S ( )0 . Çàìå÷àíèå 2. Èç àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì (l.i.m.) òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ x � 0 ÄÍÑÄÔÓ ñ ÌÏ ñëåäóåò àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ïî âåðîÿòíîñòè [22]. Îòìåòèì, ÷òî èç íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà ñëåäóåò ôàêò àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé- ÷èâîñòè ïî âåðîÿòíîñòè (ñòîõàñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè), åñëè èìååì àñèìïòîòè÷åñ- êóþ óñòîé÷èâîñòü â l i m. . . [18]. Ïîýòîìó ïðèâåäåì îñíîâíûå óòâåðæäåíèÿ îá àñèìï- òîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè â l i m. . . òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ ÄÍÑÄÔÓ ñ ÌÏ [17–20]. Îïðåäåëåíèå 6 (îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå [10]). Äëÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû (1)–(3) ïðè óñëîâèè ñêà÷êà ôàçîâîãî âåêòîðà x t( ) � � �x t R m( , )� íàéòè óïðàâëåíèå u t x y h0 ( , , , ), êîòîðîå îáåñïå÷èâàåò âûïîëíåíèå óñëîâèé: — íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå x t x t( ) ( , )� �� 0 ñèñòåìû dx t a t t x u t t x t dt b t t x ut t( ) ( , ( ), , ( , ( ), ( ))) ( , ( ), , (� � � � t t x dw tt, ( ), )) ( )� (18) ïðè u u t x y h� 0 ( , , , ) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî â l i m. . . (àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé- ÷èâî ïî âåðîÿòíîñòè â öåëîì) tk 1; — ðÿä èç èíòåãðàëîâ ïðè ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 125 J t y xu k( , , , )0 0 0 0 � � � � �E W t t x t u t t y xk t k t t k k [ ( , [ ], [ ], , [ ]) / ( ) , , ]� � � � �0 0 00 0 �� 1 0 dt k (19) äîëæåí áûòü óáûâàþùèì; — ïðè ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ �( ) ,t y Y0 0� � x D Ht k0 00� � �� , äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèå äëÿ ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà J t y J t y x u u t0 00 0 0 0 0 0( , , ) min ( , , )� �� , (20) ãäå min âûáèðàåòñÿ èç âñåõ óïðàâëåíèé u t y( , , )0 0� è íåïðåðûâíûõ ïî t � �[ , )0 , x Dt � ïðè êàæäîì �( )t y Y� � , � k H� . Òàêîå óïðàâëåíèå íàçîâåì îïòèìàëüíûì, à ñèëüíîå ðåøåíèå (1)–(3) ñòàáèëèçèðóåìûì. Â (19) W t y uk( , , , , )� � � 0 — íåîòðèöàòåëüíûé ôóíêöèîíàë, îïðåäåëåííûé â îáëàñòè u R r� ïðè ôèêñèðîâàííûõ t y k, , ,� � , E{ }� �/ — óñëîâíîå ìàòåìàòè- ÷åñêîå îæèäàíèå [22], óïðàâëåíèå u t u t t x t k[ ] ( , ( ), [ ], )� � � ðåàëèçóåòñÿ â ñèñòå- ìå (1) ïðè u u t y h� ( , , , )� , à x t[ ] îáîçíà÷àåò äâèæåíèå ñèñòåìû (1), ïîðîæäåííîå óïðàâëåíèåì u t[ ] [10] , ò.å. x t u t[ ], [ ] — ýòî ñîîòâåòñòâåííî òðàåêòîðèÿ è óïðàâëå- íèå ñèñòåìû (1), ïîðîæäåííîå çàäàííûì óïðàâëåíèåì u u t y x h� * ( , , , ). Ïóñòü ïîñòðîåí âåðîÿòíîñòíûé áàçèñ ( , , , )� F F Pt{ } äëÿ ðåøåíèÿ ÄÍÑÄÔÓ ñ ÌÏ (1)–(3). Ïåðâàÿ çàäà÷à îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè. Äëÿ ÄÍÑÄÔÓ ñ ÌÏ (1) ñ çà- äàííûìè óñëîâèÿìè ñêà÷êà (3) ôàçîâîãî âåêòîðà x R m� è ïåðåêëþ÷åíèÿìè (2) íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü òàêîå óïðàâëåíèå u t y h( , , , )� , êîòîðîå óäîâëåòâîðèò óñëî- âèþ u t y h( , , , )0 0� , ÷òîáû íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå x t( ) � 0 ñèñòåìû (1)–(3) áûëî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì â l i m. . . èëè ïî âåðîÿòíîñòè â öåëîì, ò.å. ïðè ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ èç îáëàñòè (3). Ïîíÿòíî, ÷òî â ýòîé çàäà÷å ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî óïðàâëåíèé. Ïîý- òîìó åäèíñòâåííîå óïðàâëåíèå ñëåäóåò âûáèðàòü èç òðåáîâàíèÿ íàèëó÷øåãî êà÷åñòâà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà x t R m( ) � êàê ðåøåíèÿ ÄÍÑÄÔÓ ñ ÌÏ (1)–(3), êîòîðîå âûðà- æàåòñÿ óñëîâèåì íàõîæäåíèÿ ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëà (19). Àëãîðèòì ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèîíàëà (19) ïðè çàäàííîì óïðàâëåíèè u t y h( , , , )� äîñòàòî÷íî ñëîæíûé [10]. Ðàññìîòðèì åãî. Øàã 1. Íàéòè òðàåêòîðèþ ðåøåíèÿ x t[ ] ÄÍÑÄÔÓ ñ ÌÏ (1) ïðè u u t y h� ( , , , )� ìåòîäîì ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ [23]. Øàã 2. Ïîäñòàâèòü x t[ ] , �[ ]t , u t u t t x t k[ ] ( , ( ), [ ], )� � � â ôóíêöèîíàë (19). Øàã 3. Ìåòîäîì ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ [23] âû÷èñëèòü çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà (19). Øàã 4. Ïðîáëåìó âûáîðà çíà÷åíèé ôóíêöèîíàëà W t y h u( , , , , )� , êîòîðûé îïðåäåëÿåò îöåíêó Iu è êà÷åñòâî ïðîöåññà êàê ñèëüíîãî ðåøåíèÿ ÄÍCÄÔÓ ñ ÌÏ (1) ñëåäóåò ñâÿçàòü ñ êîíêðåòíûìè îñîáåííîñòÿìè ïîñòàâëåííîé çàäà÷è. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî âûïîëíèòü ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: — min ôóíêöèîíàëà (19) äîëæíû îáåñïå÷èâàòü äîñòàòî÷íî áûñòðîå óãàñà- íèå ñèëüíîãî ðåøåíèÿ x t[ ] ÄÍÑÄÔÓ ñ ÌÏ (1) ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà; — âåëè÷èíà èíòåãðàëà Iu kt y x( , , , )0 0 0 0 � äîëæíà óäîâëåòâîðèòåëüíî îöåíè- âàòü êîìïüþòåðíîå âðåìÿ, çàòðà÷èâàåìîå íà ôîðìèðîâàíèå óïðàâëåíèÿ u t[ ] ; — ôóíêöèîíàë W t y x uk( , , , , )� äîëæåí áûòü òàêèì, ÷òîáû ðåøåíèå ïåðâîé çàäà÷è ñòàáèëèçàöèè ïîëó÷àëîñü â êîíñòðóêòèâíîé ôîðìå, ò.å. â çàìêíóòîé [10]. Äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì ÄÍÑÄÔÓ ñ ÌÏ (1) âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ óäîâëåòâîðè- òåëüíîé ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïî ïåðåìåííûì x è è, à èìåííî 126 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 W t y x h u x C t y h x u D t y h u( , , , , ) ( , , ) ( , , )� T T , (21) ãäå C t y h( , , ) — ñèììåòðè÷íàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ìàòðèöà ðàçìåðà m m� ; D t y h( , , ) — ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíàÿ ìàòðèöà ðàçìåðà r r� äëÿ âñåõ t t� �0 0, y�Y , h�H , ãäå C t y h( , , ) � 0, D t y h( , , ) � 0 [10] . Âåëè÷èíà Iu ïðè êâàäðàòè÷íîé ôîðìå ïåðåìåííûõ x è u â (21) äîñòàòî÷íî õîðîøî îöåíèâàåò â ñðåäíåì êà÷åñòâî ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà, ïðè ýòîì íàëè÷èå ÷ëåíà u DuT è óñëîâèå ìèíèìóìà îäíîâðåìåííî îãðàíè÷èâàþò âåëè÷èíó óïðàâ- ëÿþùåãî âîçäåéñòâèÿ u R r� . Çàäà÷à îïòèìèçàöèè ïðè âûáîðå W â (19) ýôôåêòèâíî ðåøàåòñÿ ñ èñïîëüçî- âàíèåì ñîâðåìåííûõ êîìïüþòåðíûõ òåõíîëîãèé. Åñëè óñëîâèå ñêà÷êà ôàçîâîé òðàåêòîðèè ñ÷èòàòü ëèíåéíûì, òî ðåøåíèå çà- äà÷è ñòàáèëèçàöèè äîñòèãàåòñÿ â êëàññå óïðàâëåíèé u t y x h( , , , ), êîòîðûå ëèíåé- íû ïî ôàçîâîìó âåêòîðó x . Òàêèå çàäà÷è íàçîâåì ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íûìè çàäà- ÷àìè ñòàáèëèçàöèè [10]. Âòîðàÿ çàäà÷à îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè. Äëÿ ñèñòåìû ÄÍÑÄÔÓ ñ ÌÏ (2) è íà÷àëüíûõ äàííûõ (3) ïðè ìàðêîâñêèõ âîçìóùåíèÿõ (2), ñ çàäàííûì óñëî- âèåì ñêà÷êà ôàçîâîãî âåêòîðà x m�R íàéòè îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå u t y x h r0 ( , , , ) �R , óäîâëåòâîðÿþùåå òðåáîâàíèÿì: — òðèâèàëüíîå (íåâîçìóùåííîå) äâèæåíèå x t( ) � 0 ÄÍÑÄÔÓ ñ ÌÏ (1)–(3) ïðè u u t y x h� 0 ( , , , ) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî ïî âåðîÿòíîñòè â öåëîì; — ðÿä Iu , ñîñòàâëåííûé èç èíòåãðàëîâ (ñì. (19)) äëÿ u u t y x h� 0 ( , , , ), ÿâëÿåò- ñÿ ñõîäÿùèìñÿ, è ïðè ïðîèçâîëüíîì íà÷àëüíîì óñëîâèè (3) âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå I I u k u kt y t y0 0 00 0 0 0 0 0( , , , ) min ( , , , )� � � �� . (22) Çäåñü ìèíèìóì ñëåäóåò èñêàòü ïî âñåì óïðàâëåíèÿì, íåïðåðûâíûì ïî ïåðå- ìåííûì t è x ïðè êàæäûõ �( )t y� �Y , � k h� �H . Îïðåäåëåíèå 7. Óïðàâëåíèå u t0 ( ), êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò (22), íàçîâåì îïòèìàëüíûì â ñìûñëå îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè ñèëüíîãî ðåøåíèÿ x m�R ÄÍÑÄÔÓ ñ ÌÏ (1)–(3). Ðàññìîòðèì äîêàçàòåëüñòâî ôàêòà îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè ðåøåííèÿ çà- äà÷è (1)–(3). ÎÑÍÎÂÍÀß ÒÅÎÐÅÌÀ ÎÁ ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÉ ÑÒÀÁÈËÈÇÀÖÈÈ Ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè ðàçðàáîòàí ñîãëàñíî äâóì îñíîâíûì òðåáîâàíèÿì: — ñèíòåç îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ u t x y h0 ( , , , ) îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ïðèíöè- ïó ïîëíîé îáðàòíîé ñâÿçè, ò.å. èìååòñÿ âîçìîæíîñòü ïîëíîãî è òî÷íîãî èçìåðå- íèÿ ôàçîâîãî âåêòîðà x t x t m( ) ( , )� �� R â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè t t� �0 0; — ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èçâåñòíàÿ ñòðóêòóðà, â êîòîðîé íàõîäèòñÿ ñèñòåìà â ìîìåíò âðåìåíè t t� 0 , íå çàâèñèò îò öåïè Ìàðêîâà � k (k k� 0 ñîîòâåòñòâóåò ìîìåíòó t Sk � ). Íåñîáëþäåíèå ýòèõ äâóõ îãðàíè÷åíèé ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè èñïîëüçî- âàíèÿ ñïåöèàëüíûõ ìåòîäîâ îöåíêè ñîñòîÿíèÿ ( )m 1 -ìåðíîãî ìàðêîâñêîãî ïðî- öåññà { }x t t( ), ( )� ïî äîñòóïíûì èçìåðåíèÿì íåïîëíîãî è íåòî÷íîãî çíà÷åíèé íà- áëþäàåìîãî ñèãíàëà [10]. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, íå èìåþùèõ ìàðêîâ- ñêèõ ïàðàìåòðîâ (âíóòðåííèõ ïåðåêëþ÷åíèé) è âíåøíèõ ìàðêîâñêèõ ïåðåêëþ÷åíèé, ðåøåíèå çàäà÷è îöåíèâàíèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ íåëèíåéíîé ôèëüòðàöèè [15], à äëÿ ñèñòåì ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû ýòà ïðîáëåìà ðàññìàòðèâàåòñÿ â [9]. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 127 Ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè áàçèðóåòñÿ íà íåïîñðåäñòâåííîé ñâÿçè ìåæäó ìåòîäîì ôóíêöèîíàëîâ Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî [11] è ìåòîäîì äèíà- ìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ Áåëëìàíà [2], ÷òî ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé òåîðèè àíàëèòè- ÷åñêîãî êîíñòðóèðîâàíèÿ ðåãóëÿòîðîâ [12] äëÿ äåòåðìèíèðîâàííûõ ñèñòåì. Îäíîâ- ðåìåííî â 50–60-å ãîäû XX âåêà Í.Í. Êðàñîâñêèé è È.ß. Êàö ðàçðàáîòàëè ìåòîä ôóíêöèé Ëÿïóíîâà èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè äëÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåì [10]. Îòìåòèì, ÷òî ïåðå÷èñëåííûå íàïðàâëåíèÿ èññëåäîâàíèé ïîçâîëèëè ïîñòðî- èòü îáùóþ òåîðèþ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåì áåç ïî- ñëåäåéñòâèÿ [13]. Îäíèì èç îáîáùåíèé â òåîðèè îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè ÿâ- ëÿåòñÿ ââåäåíèå âíåøíèõ ìàðêîâñêèõ ïåðåêëþ÷åíèé â ôèêñèðîâàííûå ìîìåíòû âðåìåíè { }t kk � �, 0 . Äîêàæåì îñíîâíîå óòâåðæäåíèå îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè. Òåîðåìà 1. Ïóñòü äëÿ ÄÍÑÄÔÓ ñ ÌÏ (1), (3) ïðè óñëîâèè ñêà÷êà (2) ñó- ùåñòâóþò ñêàëÿðíûé ôóíêöèîíàë v t y hk 0 ( , , , )� è r-âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ u t y h r0 ( , , , )� �R â îáëàñòè t � 0; � �D, �( )t �Y , { }� k k, � �0 H , (23) äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) ôóíêöèîíàë v t y h0 0( , , , )� � ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåí ïî � �� D m([ , ), )0 R â îáëàñòè (23), äîïóñêàåò áåñêîíå÷íî ìàëóþ âåðõíþþ è áåñêîíå÷íî áîëüøóþ íèæíþþ ãðàíèöû è òàêîé, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèîíàëîâ v y h v t y h k k 0 0( , , ) ( , , , )� �� (24) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëàìè Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî, ãäå t S t nk n� � � �{ }, N , lim n nt �� ; 2) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü r-èçìåðèìûõ ôóíêöèîíàëîâ óïðàâëåíèÿ u y h u t y h k k r0 0( , , ) ( , , , ) )� �� R (25) ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìîé ïî âñåì àðãóìåíòàì, ãäå 0 0 1 � � t t tk k , k � 0 1 2, , ,� � , , ...n ( )k � 0 ; 3) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèîíàëîâ èç êðèòåðèÿ (19) ïî � �D åñòü ïîëî- æèòåëüíî-îïðåäåëåííîé, ò.å. � � � t t t kk k[ , ),1 0 W t y h u y x h k ( , , , , ( , , ))� 0 0� ; (26) 4) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ ( )( , , , )\|Q v y h u k uk 0 0� , âû÷èñëåííûõ äëÿ u u y h k 0 0� ( , , )� , óäîâëåòâîðÿåò � � t t tk k[ , )1 óñëîâèþ ( )( , , , )\| ( , , , , )Qv y h u W t y h u k u kk 0 0 0� �� ; (27) 5) âåëè÷èíà ( )( , , , ) ( , , , , )Q v y h u W t y h u k 0 � � äîñòèãàåò ìèíèìóìà u u� 0 , k � 0, ò.å. ( )( , , , )\| ( , , , , )Q v x h u W t y h u k u kk 0 0 0� � � � � � min ( )( , , , )\| ( , , , , ) u k u r v y h u W t y h u R Q{ }0 0� � ; (28) 6) ðÿä E t t k k k k k k W t t x t u t y x t �� 1 0 0 0 1 1{ ( , ( ), [ ], , [ ]) / , [� � ], � k dt} � � (29) ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ. 128 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 Òîãäà óïðàâëåíèå u u t y h k k 0 0� ( , , , )� , k � 0, îñóùåñòâëÿåò ñòàáèëèçàöèþ ðåøå- íèÿ çàäà÷è (1)–(3). Ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî v t y x k 0 0 0 0 0 ( , , , )� � � � �� E t t k k k k k k k k W t t x t u t t y x 1 0 { ( , ( ), [ ], , [ ]) / ( ) ,� � � ( ) ,t x h dtk k k� � �� } � � � � � ��min ( , ( ), [ ], , [ ]) / , , u tk k k k r k W t t x t u t y x h R E 0 { }� � dt t y x h u � I 0 0 0 0( , , , ). (30) Äîêàçàòåëüñòâî ². Àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ïî âåðîÿòíîñòè â öåëîì äè- íàìè÷åñêîé ñèñòåìû ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû (1)–(3) äëÿ u u t y hk� 0 ( , , , )� , k � 0, ñðàçó ñëåäóåò èç òåîðåìû 2.2 îá óñòîé÷èâîñòè èç [20], òàê êàê ôóíêöèîíàëû v t y h0 ( , , , )� äëÿ ïðîèçâîëüíîãî t t tk k� [ , )1 , k � 0, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ýòîé òåîðåìû. ²². Ðàâåíñòâî (30), î÷åâèäíî, òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òåîðåìû 2.2 èç [20]. ²²². Äîêàçàòåëüñòâî î ñòàáèëèçàöèè ñèëüíîãî ðåøåíèÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòå- ìû ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû (1)–(3), îñóùåñòâëÿþùåé óïðàâëåíèå u t y hk 0 ( , , , )� , t t t kk k � � 1 0, , ïðîâåäåì îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü ñóùåñòâóåò óïðàâëåíèå u t y h u t y hk k * ( , , , ) ( , , , )� �� 0 , êîòîðîå ïðè ïîäñòàíîâêå â (1) ðåàëèçóåò òàêîå ðåøåíèå x t* [ ] ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (2), (3), ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî I I u u t y h t y h* ( , , , ) ( , , , )0 0 0 00� � . (31) À äàëüøå ðàññóæäàåì ñëåäóþùèì îáðàçîì: âûïîëíåíèå óñëîâèé 1–6 òåîðå- ìû 1 ïðèâåäåò ê ïðîòèâîïîëîæíîìó (31) íåðàâåíñòâó ( ). ( , , )\| ( , , , , ( , , , ))* * Q v y h W t y h u t y h k u 0 � � �� . (32) Óñðåäíÿÿ (32) ïî ñëó÷àéíûì âåëè÷èíàì { }x t t k * [ ], [ ],� � íà îòðåçêàõ [ , )t tk k 1 , k � 0, è èíòåãðèðóÿ ïî t îò t t� 0 äî t T� , ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà: E{ ( , ( ), [ ], ) / , , } ( , , ,v t t x t y x v t y xk k 0 1 1 1 0 0 0 0 0 01 0 � � � �� k0 ) � � �� E t t k kW t t x t u t t x dt 0 1 1 00 0{ }( , ( ), [ ], , [ ]) / , , � � � , (33) E{ }v t t x t y x tk k 0 2 2 2 1 12 1 ( , ( ), [ ], ) / , [ ], � � � � � �{ }v t t x t y xk k 0 1 1 1 0 01 0 ( , ( ), [ ], ) / , ,� � � � �� E t t k kW t t x t u t t x t d 1 2 2 11 1{ }( , ( ), [ ], , [ ]) / , [ ],* * � � � t, (34) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E{ }v t t x t y x tn n n k n n kn n 0 1 1 1 ( , ( ), [ ], ) / , [ ], � � �� {v t t x t y x tn n n k n n kn 0 1 1 1 2 21 ( , ( ), [ ], ) / , [ ], � � � n� � 2 } � � � �� E t t k n n n n n W t t x t u t t x t 1 1 1{ ( , ( ), [ ], , [ ]) / , [ * � � 1 1 ], � kn dt � } . (35) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 129 Ó÷èòûâàÿ ìàðòèíãàëüíîå ñâîéñòâî ôóíêöèîíàëà Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî v t t x t h0 ( , ( ), [ ], )� (ñì. óñëîâèå 1 òåîðåìû 1) íà ñèëüíûõ ðåøåíèÿõ ñèñòåìû (1)–(3), èìååì ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà: E{v t t x t y x tk k k k k k k 0 1 1 1( , ( ), [ ], ) / , [ ], }* � � �� v t t x t k nk k k k 0 1 1 1 1 1( , ( ), [ ], ), ,� � . (36) Ïîäñòàâèâ (36) â íåðàâåíñòâà (34), (35), ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî E{ }v t t x t y x t vn n n k n n kn n 0 1 1 0 1 ( , ( ), [ ], ) / , [ ], (* � � �� t y x k0 0 0 0 , , , )� � � � �� E t t k n k k k k W t t x t u t y x t 1 0 1{ ( , ( ), [ ], , [ ]) / , [ * � � k k dt� � �1 1], � } � � �� E t t k k k k k W t t x t u t y x t 1 0 1{ ( , ( ), [ ], , [ ]) / , [ * � � k k dt� �1 1], � } . (37) Ïî ïðåäïîëîæåíèþ (29) èíòåãðàëû ïðè tn � � â ïðàâîé ÷àñòè (37) ÿâëÿþòñÿ ñõîäÿùèìèñÿ, è, ó÷èòûâàÿ ñõîäèìîñòü ðÿäà (29) óñëîâèÿ 6, ìîæíî ïîëó÷èòü v t y x t y xk u k 0 0 0 0 0 0 00 0 0 ( , , , ) ( , , , )� �� I �� E t t k k k k k k W t t x t u t y x t 1 0 1{ ( , ( ), [ ], , [ ]) / , [ * � � � � �1 1], � k dt} � I u kt y x ( , , , )0 0 0 0 � . (38) Äåéñòâèòåëüíî, èç ñõîäèìîñòè ðÿäà â ïðàâîé ÷àñòè (37) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ 6 ñëåäóåò, ÷òî ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â (38) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè t � �, çíà÷èò, lim ( , , [ ],* n n n n kv t y x t n�� E{ }0 0� . Î÷åâèäíî, ÷òî ëîãè÷íî ðàññìàòðèâàòü åñòåñòâåííûé ñëó÷àé, êîãäà èç óñëî- âèÿ E{ }W t � �� 0 ñëåäóåò E{ }v t 0 0� �� . Òàêèì îáðàçîì, íåðàâåíñòâî (38) îòðèöàåò íåðàâåíñòâî (31). Ýòî ïðîòèâîðå- ÷èå äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå îá îïòèìàëüíîñòè óïðàâëåíèÿ u t y hk 0 ( , , , )� , k � 0. Òåîðåìà äîêàçàíà. Ñëåäñòâèå 1. Åñëè �( )tk êàê ìàðêîâñêàÿ öåïü äîïóñêàåò ðàçëîæåíèå óñëîâ- íîé âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà P{ : ( ) / ( ) , ( ) ( )� � �t t y t y y y q t t o tj i i j ij � � � } = , i j k, .�1 , (39) òî ïîëó÷èì óïðàâëåíèå, êîòîðîå äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü îïòèìàëüíîìó ôóíê- öèîíàëó Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî v t y h k 0 ( , , , )� è îïòèìàëüíîìó óïðàâëåíèþ u t y h k 0 ( , , , )� � � t t tk k[ , )1 . Ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (39) ïåðâîå óðàâíåíèå äëÿ v 0 ìîæíî ïîëó÷èòü, ïîäñòà- âèâ â ëåâóþ ÷àñòü (38) âûðàæåíèå äëÿ óñðåäíåííîãî èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðà- òîðà ( )\| Q v k u 0 [10]. Òîãäà èñêîìîå óðàâíåíèå â òî÷êàõ ( , , )t y xk j èìååò âèä 130 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 � � � � � � � � � � � � � � � v t v a t y u v x b t yk k k 0 0 2 0 2 1 2� � Ò ( , , , ) ( ( , i ib t y, ), ( , , ))� �Ò � � � � � � � � � � ! �� v t y z h p t z dz v t y h k j ij k i 0 0( , , / , ) ( , / ) ( , , , )� � � ! " # $ $ � � � q t W t y h uij j i l ( ) ( , , , , )� 0, (40) ãäå � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � v v vk m 0 0 1 0 � � � , ,� Ò , � � � � � � % & ' (' ) ' +' � 2 2 2 1 v v i j i j m � � � , — ïåðâàÿ è âòîðàÿ ïðîèç- âîäíûå Ôðåøå [6]; p t z xij ( , / ) îïðåäåëÿåòñÿ ïî ñîîòâåòñòâóþùåé ôîðìóëå (4). Âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ Ôðåøå ïî îïòèìàëüíîìó óïðàâëåíèþ u t y h k 0 ( , , , )� ïîëó÷èì èç (40) äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî ïåðåìåííîé u, ïîñêîëüêó u u� 0 îáåñ- ïå÷èâàåò ìèíèìóì ëåâîé ÷àñòè (40), à èìåííî � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! ! ! " # $ $ $ � v a u W u u u 0 � T T k 0 0� , (41) ãäå � � a u — m r� -ìàòðèöà ßêîáè, ñîñòàâëåííàÿ èç ýëåìåíòîâ � � � � % & ( ) * + a u n m s rn s , , , ,1 1 ; � � � � � � � � � � � � � � � �� W u W u W ur1 , ,� , k � 0. Çàìå÷àíèå 3. Ìåòîäèêà äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1 îáîáùàåò äîêàçàòåëüñòâî ñîîòâåòñòâóþùåé òåîðåìû 2.1 îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè ñòîõàñòè÷åñêîé ñèñòå- ìû äëÿ íåïðåðûâíîé òðàåêòîðèè [10]. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî, íåñìîòðÿ íà ðàç- ðûâíûå òðàåêòîðèè ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ { }x t t k( ), ( ),� � , èìååò ìåñòî ñòîõàñòè- ÷åñêàÿ íåïðåðûâíîñòü ïàðû { }x t t( ), ( )� � � t t tk k[ , ]1 , k k� �0 0, îáåñïå÷èâàþùàÿ íåïðåðûâíîñòü ïî t ôóíêöèè v v t tt t k� E{ ( , ( ), , )\|� � � t y h0 0 0, , ,� }� � t t tk k[ , )1 . Çàìå÷àíèå 4. Óðàâíåíèå (41), èç êîòîðîãî íàõîäÿò îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå u tk r( ) �R � � t t tk k[ , ]1 , k � 0 1 2, , , ,� ïî ôîðìå ñîâïàäàåò ñ u t( ), âîçíèêàþùèì â äåòåðìèíèðîâàííûõ çàäà÷àõ îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè [11–13], ââèäó ÷åãî ñî- çäàåòñÿ âïå÷àòëåíèå, ÷òî íå ó÷èòûâàåòñÿ ñëó÷àéíûõ èçìåíåíèé ñòðóêòóðû ñèñòå- ìû. Äåéñòâèòåëüíî, ñëó÷àéíûå �( )t è � k k k, � �0 0, ñóùåñòâåííî âëèÿþò íà óðàâíåíèå (40), à ñëåäîâàòåëüíî, îïòèìàëüíûå óïðàâëåíèÿ u t y h0 ( , , , )� è v t y h0 ( , , , )� íàõîäÿòñÿ èç (40) è (41), â êîòîðûõ ó÷èòûâàþòñÿ âñå âîçìîæíûå ñêà÷êè ïðîöåññà { }x t t k( ), ( ),� � . Çàìå÷àíèå 5. Çàäà÷à îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè ñîãëàñíî òåîðåìå 1 çàêëþ- ÷àåòñÿ â ðåøåíèè ñëîæíîé íåëèíåéíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé (41) â ÷àñòíûõ ïðîèç- âîäíûõ Ôðåøå äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíûõ ôóíêöèîíàëîâ Ëÿïóíîâà–Êðàñîâ- ñêîãî v v y h ik k 0 0� ( , , )� , i l�1, , k k� 0 . Îòìåòèì, ÷òî ýòà ñèñòåìà ïîëó÷àåòñÿ èñêëþ÷åíèåì óïðàâëåíèÿ u u y h k 0 0� ( , , )� èç óðàâåíåíèé (40), (41). Ðåøåíèå òàêîé ñèñòåìû, äàæå ïðè íàëè÷èè ñîâðåìåííîé êîìïüþòåðíîé òåõíèêè è òåõíîëîãèé, äîñòàòî÷íî ñëîæíîå. Ïîýòîìó ðåçóëüòàò ýòîé ðàáîòû èìååò ñêîðåå òåîðåòè÷åñêèé õàðàêòåð. ×òî êàñàåòñÿ íåëèïøåöåâûõ ñèñòåì, òî ðåçóëüòàòû ïî àïïðîêñèìàöèè ðåøåíèé ìîæíî íàéòè â ðàáîòàõ [25, 26]. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 131 ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. À í ä ð å å â à Å . À . , Ê î ë ì à í î â ñ ê è é Â . Á . , Ø à é õ å ò Ë . Å . Óïðàâëåíèå ñèñòåìàìè ñ ïîñëåäåéñòâèåì. — Ì.: Íàóêà, 1992. — 336 ñ. 2. Á å ë ë ì à í Ð . Äèíàìè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå / Ïåð. ñ àíãë. Â.ß. Êàòêîâíèêà. — Ì.: ÈË, 1960. — 400 ñ. 3. Á è ë ë è í ã ñ ë è Ï . Ñõîäèìîñòü âåðîÿòíîñòíûõ ìåð. — Ì.: Íàóêà, 1977. — 352 ñ. 4. Ã è õ ì à í È . È , Ñ ê î ð î õ î ä À . Â . Óïðàâëÿåìûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1977. — 252 ñ. 5. Ã è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À . Â . Ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è èõ ïðèìåíåíèÿ. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1982. — 612 ñ. 6. Ä à í ô î ð ä Í . , Ø â à ð ö Ä æ . Ëèíåéíûå îïåðàòîðû / Ïåð. ñ àíãë. Ë.È. Ãîëîâèíîé è Á.Ñ. Ìèòÿãèíà ïîä. ðåä. À. Ã. Êîñòþ÷åíêî. — Ì.: ÈË, 1962. — Ò.1. — 895 ñ. 7. Ä û í ê è í Å . Á . Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû. — Ì.: Ôèçìàòãèç, 1969. — 859 ñ. 8. Æ à ê î ä Æ . , Ø è ð ÿ å â À . Í . Ïðåäåëüíûå òåîðåìû äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ: Â 2 ò. — Ì.: Ôèçìàòãèç, 1994. — Ò. 1. — 544 ñ. 9. Ê à ç à ê î â Í . Å . , À ð ò å ì ü å â Â . Ì . Îïòèìèçàöèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñëó÷àéíîé ñòðóê- òóðû. — Ì.: Íàóêà, 1980. — 382 ñ. 10. Ê à ö È . ß . Ìåòîä ôóíêöèé Ëÿïóíîâà â çàäà÷àõ óñòîé÷èâîñòè è ñòàáèëèçàöèè ñèñòåì ñëó÷àé- íîé ñòðóêòóðû. — Åêàòåðèíáóðã: ÓÃÀÏÑ, 1998. — 222 ñ. 11. Ê ð à ñ î â ñ ê è é Í . Í . Íåêîòîðûå çàäà÷è òåîðèè óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1969. — 212 ñ. 12. Ê ð à ñ î â ñ ê è é Í . Í . , Ë å ò î â À . Ì . Ê òåîðèè àíàëèòè÷åñêîãî êîíñòðóèðîâàíèÿ ðåãóëÿòî- ðîâ // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1962. — ¹ 6. — Ñ. 11–18. 13. Ê ð à ñ î â ñ ê è é Í . Í . , Ë è ä ñ ê è é Ý . À . Àíàëèòè÷åñêîå êîíñòðóèðîâàíèå ðåãóëÿòîðîâ â ñèñòåìàõ ñî ñëó÷àéíûìè ñâîéñòâàìè // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1961. — 22, ¹ 9. — Ñ. 1145–1150; ¹ 10. — Ñ. 1273–1278; ¹ 11. — Ñ. 1425–1431. 14. Ê ó ø í å ð Ã . Ä æ . Ñòîõàñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü è óïðàâëåíèå. — Ì. : Ìèð, 1969. — 200 ñ. 15. Ë è ï ö å ð Ð . À . , Ø è ð ÿ å â À . Í . Òåîðèÿ ìàðòèíãàëîâ. — Ì.: Íàóêà, 1986. — 483 ñ. 16. Ñ ê î ð î õ î ä À . Â . Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû òåîðèè ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1987. — 328 ñ. 17. Ñ â å ð ä à í Ì . Ë . , Ö à ð ê î â ª . Ô . , ß ñ è í ñ ü ê è é Â . Ê . Ñò³éê³ñòü ó ñòîõàñòè÷íîìó ìî- äåëþâàíí³ ñêëàäíèõ äèíàì³÷íèõ ñèñòåì. — Ñíÿòèí: Íàä Ïðóòîì, 1996. — 448 ñ. 18. Õ à ñ ü ì è í ñ ê è é Ð . Ç . Óñòîé÷èâîñòü ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïðè ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèÿõ èõ ïàðàìåòðîâ. — Ì.: Íàóêà, 1969. — 367 ñ. 19. ß ñ è í ñ ê è é Â . Ê . , ß ñ è í ñ ê è é Å . Â . Çàäà÷è óñòîé÷èâîñòè è ñòàáèëèçàöèè ñòîõàñòè÷åñêè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ êîíå÷íûì ïîñëåäåéñòâèåì. — Êèåâ: ÒÂ³ÌÑ, 2005. — 578 ñ. 20. ß ñ è í ñ ü ê è é Â . Ê . , ß ñ è í ñ ü ê è é ª . Â , Þ ð ÷ å í ê î ² . Â . Ñòàá³ëèçàö³ÿ ó äèíàì³÷íèõ ñèñòåìàõ âèïàäêîâî¿ ñòðóêòóðè. — ×åðí³âö³: Çîëîò³ ëèòàâðè, 2011. — 738 ñ. 21. B e r t r a m J . E . , S a r a c h i k P . E . Stability of circuits with randomly time-varying parameters // Proc. of Intern. Symp. on Circuits and Inform. Theory. Los-Angeles, Calift., IRE Transactions. 1959. CT — 6. — P. 260–270. 22. ß ñ è í ñ ü ê è é Â . Ê . , Ê î ð î ë þ ê Â . Ñ . Òåîð³ÿ éìîâ³ðíîñòåé. Êîìï’þòåðíèé ïðàêòèêóì. — ×åðí³âö³: Çîëîò³ ëèòàâðè, 2011. — 487 ñ. 23. ß ñ è í ñ ü ê è é Â . Ê . , Þ ð ÷ å í ê î ² . Â . , ß ñ è í ñ ü ê à Ë . ² . Ìåòîäè ñòîõàñòè÷íîãî ìîäå- ëþâàííÿ ñèñòåì. — ×åðí³âö³: Ïðóò, 2002. — 416 ñ. 24. ß ñ è í ñ ü ê è é Â . Ê . Ñó÷àñíà òåîð³ÿ âèïàäêîâèõ ïðîöåñ³â. — ×åðí³âö³: Âèäàâíè÷èé ä³ì «Ðî- äîâ³ä», 2014. — 292 ñ. 25. Ç ó á ÷ å í ê î Â . Ï . , Ì i ø ó ð à Þ . Ñ . Øâèäêiñòü çáiæíîñòi ó ñõåìi Åéëåðà äëÿ ñòîõàñòè÷- íèõ äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü iç íåëiïøèöåâîþ äèôóç³ºþ òà ïóàññîíiâñüêîþ ìiðîþ // Óêð. ìàò. æóðí. — 2011. — 63, ¹ 1. — Ñ. 40–60. 132 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 26. Ñ î ê î ë î â ñ ê à ÿ Å . Â . Îá àïïðîêñèìàöèè ñâåðõó äèôôåðåíöèàëüíûõ âêëþ÷åíèé ñ íåëèï- øèöåâîé ïðàâîé ÷àñòüþ // Âåñòíèê ÑàìÃÓ — åñòåñòâåííîíàó÷íàÿ ñåðèÿ. — 2002. — ¹ 2 (24), — Ñ. 39–47. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 16.06.2015 Â.Ê. ßñèíñüêèé, Á.Â. Ñàâ÷óê, Ñ.Ì. Êîçèð ÎÏÒÈÌÀËÜÍÅ ÊÅÐÓÂÀÍÍß Â ÄÈÔÓÇ²ÉÍÈÕ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÍÈÕ ÍÅË²Í²ÉÍÈÕ ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜÍÎ-ÔÓÍÊÖ²ÎÍÀËÜÍÈÕ Ð²ÂÍßÍÍßÕ ²ÒÎ Ç ÌÀÐÊÎÂÑÜÊÈÌÈ ÏÀÐÀÌÅÒÐÀÌÈ ÒÀ ÇÎÂÍ²ØÍ²ÌÈ ÌÀÐÊÎÂÑÜÊÈÌÈ ÏÅÐÅÌÈÊÀÍÍßÌÈ Àíîòàö³ÿ. Äðóãèì ìåòîäîì Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñüêîãî îäåðæàíî äîñòàòí³ óìîâè àñèìïòîòè÷íî¿ ñòîõàñòè÷íî¿ ñò³éêîñò³ â ö³ëîìó, ñò³éêîñò³ â ö³ëîìó, ýêñïî- íåíö³àëüíî¿ ñò³éêîñò³ â ñðåäíüîìó êâàäðàòè÷íîìó òðèâ³àëüíîãî ðîçâ’ÿçêó ñèñòåì ñòîõàñòè÷íèõ äèôóç³éíèõ äèôåðåíö³àëüíî-ôóíêö³îíàëüíèõ ð³âíÿíü ç ìàðêîâñüêèìè ïåðåìèêàííÿìè, à òàêîæ ïðî³ëþñòðîâàíî òåîð³þ íà äâîõ ìî- äåëüíèõ çàäà÷àõ. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ñòîõàñòè÷íà äèíàì³÷íà ñèñòåìà, ñèñòåìà ç ï³ñëÿä³ºþ, ìàð- êîâñüêå çáóðåííÿ. V.K. Yasinskyy, B.W. Savchuk, S.M. Kozyr OPTIMAL CONTROL IN DIFFUSION STOCHASTIC NONLINEAR FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL ITO EQUATIONS WITH MARKOV PARAMETERS AND EXTERNAL MARKOVIAN SWITCHING Abstract. The Lyapunov–Krasovskii second method is used to obtain the sufficient conditions for asymptotic stochastic stability on the whole, global stability, the stability in mean of trivial solutions of systems of stochastic diffusion functional-differential equations with Markov switching, and the theory is illustrated using two model problems. Keywords: stochastic dynamical system, system with aftereffect, Markov perturbation. ßñèíñêèé Âëàäèìèð Êèðèëëîâè÷, äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð ×åðíîâèöêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Þðèÿ Ôåäüêîâè÷à, e-mail: yasinsk@list.ru. Ñàâ÷óê Áîãäàí Âàñèëüåâè÷, àñïèðàíò ×åðíîâèöêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Þðèÿ Ôåäüêîâè÷à, e-mail: sbohdanv@gmail.com. Êîçûðü Ñåðãåé Ìèõàéëîâè÷, ñòàðøèé ïðåïîäàâàòåëü Äîíåöêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà, Âèííèöà, e-mail: s.trump@gmail.com. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 133

Institution

Ähnliche Einträge