Об одной задаче идентификации систем с аддитивным дробным броуновским полем

Исследована задача непараметрического оценивания (идентификации) для достаточно широкого класса случайных полей на плоскости, удовлетворяющих решению стохастического дифференциального уравнения в частных производных с аддитивным дробным броуновским полем. Асимптотические свойства оценки параметра сн...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
Hauptverfasser:	Дериева, Е.Н., Шпига, С.П.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Schriftenreihe:	Кибернетика и системный анализ
Schlagworte:	Системный анализ
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/133693
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Об одной задаче идентификации систем с аддитивным дробным броуновским полем / Е.Н. Дериева, С.П. Шпига // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 3. — С. 182-190. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-133693
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1336932025-02-09T14:34:48Z Об одной задаче идентификации систем с аддитивным дробным броуновским полем Про одну задачу ідентифікації систем з адитивним дробовим броунівським полем On a problem of system identification with additive fractional Brownian field Дериева, Е.Н. Шпига, С.П. Системный анализ Исследована задача непараметрического оценивания (идентификации) для достаточно широкого класса случайных полей на плоскости, удовлетворяющих решению стохастического дифференциального уравнения в частных производных с аддитивным дробным броуновским полем. Асимптотические свойства оценки параметра сноса изучены с использованием метода сита. Досліджено задачу непараметричного оцінювання (ідентифікації) для достатньо широкого класу випадкових полів на площині, які задовольняють розв'язку стохастичного диференціального рівняння в частинних похідних з адитивним дробовим броунівським полем. Асимптотичні властивості оцінки параметра зсуву вивчено з використанням методу сита. In the paper we investigate the problem of nonparametric estimation (identification) for a sufficiently wide class of random fields on a plane satisfying the solution of stochastic partial differential equations with additive fractional Brownian field. The asymptotic properties of the drift parameter are analyzed using the sieve method. 2016 Article Об одной задаче идентификации систем с аддитивным дробным броуновским полем / Е.Н. Дериева, С.П. Шпига // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 3. — С. 182-190. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/133693 519.21 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Дериева, Е.Н. Шпига, С.П. Об одной задаче идентификации систем с аддитивным дробным броуновским полем Кибернетика и системный анализ
description	Исследована задача непараметрического оценивания (идентификации) для достаточно широкого класса случайных полей на плоскости, удовлетворяющих решению стохастического дифференциального уравнения в частных производных с аддитивным дробным броуновским полем. Асимптотические свойства оценки параметра сноса изучены с использованием метода сита.
format	Article
author	Дериева, Е.Н. Шпига, С.П.
author_facet	Дериева, Е.Н. Шпига, С.П.
author_sort	Дериева, Е.Н.
title	Об одной задаче идентификации систем с аддитивным дробным броуновским полем
title_short	Об одной задаче идентификации систем с аддитивным дробным броуновским полем
title_full	Об одной задаче идентификации систем с аддитивным дробным броуновским полем
title_fullStr	Об одной задаче идентификации систем с аддитивным дробным броуновским полем
title_full_unstemmed	Об одной задаче идентификации систем с аддитивным дробным броуновским полем
title_sort	об одной задаче идентификации систем с аддитивным дробным броуновским полем
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Системный анализ
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/133693
citation_txt	Об одной задаче идентификации систем с аддитивным дробным броуновским полем / Е.Н. Дериева, С.П. Шпига // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 3. — С. 182-190. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT derievaen obodnojzadačeidentifikaciisistemsadditivnymdrobnymbrounovskimpolem AT špigasp obodnojzadačeidentifikaciisistemsadditivnymdrobnymbrounovskimpolem AT derievaen proodnuzadačuídentifíkacíísistemzaditivnimdrobovimbrounívsʹkimpolem AT špigasp proodnuzadačuídentifíkacíísistemzaditivnimdrobovimbrounívsʹkimpolem AT derievaen onaproblemofsystemidentificationwithadditivefractionalbrownianfield AT špigasp onaproblemofsystemidentificationwithadditivefractionalbrownianfield
first_indexed	2025-11-26T21:30:39Z
last_indexed	2025-11-26T21:30:39Z
_version_	1849890065704026112
fulltext	ÓÄÊ 519.21 Å.Í. ÄÅÐÈÅÂÀ, Ñ.Ï. ØÏÈÃÀ ÎÁ ÎÄÍÎÉ ÇÀÄÀ×Å ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈÈ ÑÈÑÒÅÌ Ñ ÀÄÄÈÒÈÂÍÛÌ ÄÐÎÁÍÛÌ ÁÐÎÓÍÎÂÑÊÈÌ ÏÎËÅÌ Àííîòàöèÿ. Èññëåäîâàíà çàäà÷à íåïàðàìåòðè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ (èäåíòèôèêà- öèè) äëÿ äîñòàòî÷íî øèðîêîãî êëàññà ñëó÷àéíûõ ïîëåé íà ïëîñêîñòè, óäîâëåò- âîðÿþùèõ ðåøåíèþ ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ àääèòèâíûì äðîáíûì áðîóíîâñêèì ïîëåì. Àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà îöåíêè ïàðàìåòðà ñíîñà èçó÷åíû ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà ñèòà. Êëþ÷åâûå ñëîâà: çàäà÷à èäåíòèôèêàöèè, äðîáíîå áðîóíîâñêîå ïîëå, ïàðà- ìåòð ñíîñà, ìåòîä ñèòà. Ïðîáëåìû îöåíèâàíèÿ ôóíêöèé, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè äèôôå- ðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ â ïàðàáîëè÷åñêèõ è ãèïåðáîëè÷åñêèõ ñòîõàñòè÷åñêèõ óðàâíåíèÿõ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (stochastic partial differential equation, SPDE), ÷àñòî âîçíèêàþò â ïðèêëàäíûõ ìîäåëÿõ ìåòåîðîëîãèè, ôèçè÷åñêîé õè- ìèè, ýêîíîìèêå, îêåàíîãðàôèè è ò.ä. Àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà îöåíîê ïàðà- ìåòðîâ SPDE èçó÷àëèñü, â ÷àñòíîñòè, â ðàáîòàõ [1–5]. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ðåãðåññèîííûõ ìîäåëåé ñ ïîëóìàðòèíãàëàìè Ó. Ãðåíàí- äåð â 1981 ã. èñïîëüçîâàë òàê íàçûâàåìûé «ìåòîä ñèòà» [6], ñîñòîÿùèé â ìàêñè- ìèçàöèè ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ íà âîçðàñòàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîíå÷- íîìåðíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ. Ðàçìåðíîñòü «ñèòà» ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ñ óâå- ëè÷åíèåì ðàçìåðà âûáîðêè, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îãðàíè÷åííûõ îöåíîê ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïàðàìåòðà ñîñòîÿòåëüíà è àñèìïòîòè÷åñêè íîð- ìàëüíà. Äàííûé ìåòîä â [7] èñïîëüçîâàëñÿ äëÿ èçó÷åíèÿ íåïàðàìåòðè÷åñêèõ îöå- íîê, â ÷àñòíîñòè, ôóíêöèé îò âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà, îöåíêè êîýôôèöèåíòà ñíî- ñà ëèíåéíîé äèôôóçèè, îöåíêè ñðåäíåãî äëÿ ãàóññîâîãî ïðîöåñcà, à â ðàáîòå [8] åãî ïðèìåíÿëè äëÿ îöåíèâàíèÿ áåñêîíå÷íîìåðíîãî ïàðàìåòðà â ìîäåëè íåñòàöèîíàðíîé ëèíåéíîé äèôôóçèè. Â íàñòîÿùåé ñòàòüå ìåòîä ñèòà èñïîëüçîâàí äëÿ çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè ïà- ðàìåòðà ñíîñà SPDE â ñèñòåìå ñ àääèòèâíûì äðîáíûì áðîóíîâñêèì ïîëåì, çà- äàííûì íà ïëîñêîñòè. Àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû äëÿ îäíîìåðíîé ñèñòåìû ñ àääè- òèâíûì äðîáíûì áðîóíîâñêèì äâèæåíèåì ïîëó÷åíû Ðàî â [9], ïîäîáíàÿ çàäà÷à äëÿ SPDE ñ àääèòèâíûì áðîóíîâñêèì ïîëåì ïðåäñòàâëåíà â [10]. Ðàññìîòðèì SPDE dX s t s t X s t dsdt dB s t X s tH( , ) ( , ) ( , ) ( , ), ( , ) , ( , ) [� � � �� 0 0 0 2, ]T , ãäå �( , ) ([ , ] , )s t L T dtds� 2 20 , B s tH ( , ) — äðîáíîå áðîóíîâñêîå ïîëå ñ H � ( , )� � , � �, ( / , ),� 1 2 1 � — ãàóññîâà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, íå çàâèñèìàÿ îò B s tH ( , ). Äðó- ãèìè ñëîâàìè, X s t( , ) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ X s t u X u dud B s t ts H( , ) ( , ) ( , ) ( , )� � �� 00 . Ïîëîæèì c s t s t X s t s t T� �( , ) ( , ) ( , ), ( , ) [ , ]� � 0 2 , è ïðåäïîëîæèì, ÷òî òðàåêòî- ðèè c� äîñòàòî÷íî ãëàäêèå äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà 182 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 © Å.Í. Äåðèåâà, Ñ.Ï. Øïèãà, 2016 R s t d d d d k s u k t c u dud s t ts � � � � � � � � � � �( , ) ( , ) ( , ) ( , )� �� 00 , ãäå k s t s t s � � � � � � ( , ) ( ) ( / ) ( / ) / / � � � � � �1 2 1 2 2 3 2 1 2� � , � � � � � � � t t � � � � �� ( / ) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 1 2 2 2 . Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî òðàåêòîðèè { ( , ), ( , ) [ , ] }R s t s t T� � 0 2 ïðèíàäëåæàò L T d ds t 2 20([ , ] , )� �� ïî÷òè íàâåðíîå. Îïðåäåëèì Z s t k s u k t dX u ts ( , ) ( , ) ( , ) ( , )� �� 00 . Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî M s t k s u k t dW u ts �� ( , ) ( , ) ( , ) ( , )� �� 00 , 0 � �s t u T, , ,� , ïîëó÷àåì Z s t k s u k t c u dud M s t ts ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )� �� 00 . Êðîìå òîãî, X s t K s u K t dZ u ts ( , ) ( , ) ( , ) ( , )� �� 00 , ãäå K s t r r t dr s � � �� ( , ) ( ) ( ) /� � �� 2 1 2 1 3 2 0 , à òàêæå ñïðàâåäëèâî [11] Z s t R u d d M s tu ts ( , ) ( , ) ( , )� �� 00 . Î÷åâèäíî, ÷òî ôèëüòðàöèÿ, ãåíåðèðóåìàÿ { ( , ), ( , ) [ , ] }Z s t s t T� 0 2 è { ( , ), ( , )X s t s t � �[ , ] }0 2T , ñîâïàäàåò, ò.å. ìîæíî áåç ïîòåðè èíôîðìàöèè èñïîëüçîâàòü îäíî ïîëå âìåñòî äðóãîãî. Ïóñòü P s t� ( , ) — ìåðà, ãåíåðèðóåìàÿ ïîëåì { ( , ), ( , ) [ , ] }X s t s t T� 0 2 , êîãäà �( , )s t — íàñòîÿùàÿ ôóíêöèÿ ñíîñà. Èç òåîðåìû Ãèðñàíîâà [12] ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ Ðàäîíà–Íèêîäèìà ïî îòíîøåíèþ ê P s t0 ( , ), çàäàí- íàÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: dP T T dP T T R s t dZ s t R s t TT � � � ( , ) ( , ) exp ( , ) ( , ) ( , 0 00 21 2 � �� )d ds t TT � �� 00 �� . Èç îïðåäåëåíèÿ ïðîöåññà Z s t( , ) ïîëó÷èì, ÷òî åãî ðàñïðåäåëåíèå ïî ìåðå P s t� ( , ) ÿâëÿåòñÿ òàêèì æå êàê ïðîöåññà X s t( , ) ïî ìåðå P s t0 ( , ). Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî X íàáëþäàåòñÿ íà [ , ]0 2T è { , , }X i ni �1 — ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà n íåçàâèñèìûõ íàáëþäåíèé. Òîãäà ëîãàðèôì ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ L X X L R s t dZ s t Rn n n i TT ( , ..., , ) ( ) ( , ) ( , ) [( ) 1 00 1 2 � � � � � �� ( ) ( , )]i s t TT i n s t d d2 001 �� , ãäå R s ti � ( ) ( , ) îïðåäåëÿåòñÿ ïî àíàëîãèè ñ R s t� ( , ) äëÿ X i . Ïóñòü { , }V nn � 1 — âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîäïðîñòðàíñòâ êî- íå÷íûõ ðàçìåðíîñòåé { },d Vn n n�1 � ïëîòíî â L T dsdt2 20([ , ] , ). Èñïîëüçóåì îïèñàí- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 183 íûé ìåòîä ñèòà äëÿ ìàêñèìèçàöèè Ln ( )� íà ïîäïðîñòðàíñòâàõ Vn . Îáîçíà÷èì { , ..., }e edn1 áàçèñ Vn , òîãäà äëÿ ��Vn èìååì � �( ) ( )� � � � � j j j d e n 1 , è ñëåäîâàòåëüíî, R s t d d d d k s u k t u X u dui s t i� � � � � � � � � � �( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )� d ts � 00 �� d d d d k s u k t e u s t ts j j j dn � � � � � � � � �( , ) ( , ) ( , ) 00 1 � � � � �X u dudi ( , )� � � � � � � � � � � � � � �j s tj d j i d d d d k s u k t e u X u dud n 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) � 00 ts �� . Îáîçíà÷èì d d d d k s u k t e u X u dsdt s t j i ts � � � � � � � � �( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 00 �� ij s t( , ) . Òîãäà R s t s ti j ij j dn � �( ) ( , ) ( , )� � � � 1 . Äàëåå, R s t dZ s t s ti i TT j ij j dn � �( ) ( , ) ( , ) ( , ) 00 10 �� TT idZ s t�� 0 ( , ) � �� j ij i TT j d j ij j d s t dZ s t R n n � ( , ) ( , ) 001 1 . Êðîìå òîãî, ( ( , )) ( , )( )R s t d d s ti s t TT j ij j dn � � �� 2 00 1 �� 2 00 d ds t TT � �� j k ij ik TT s t k d j d s t s t d d nn � �( , ) ( , ) 0011 � �� j k ij ik TT ij iks t s t dZ s t s t s t� � � �( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , 00 ) ( , ) :dM s t TT k d j d nn �� 0011 �� : � �j k ijk k d j d nn � 11 . Ëîãàðèôì ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèé { }X i , çàäàåòñÿ êàê L R s t dZ s t R s t dn i i TT i s( ) ( , ) ( , ) ( ( , ))( ) ( )� � � � �� 00 21 2 d t TT i n � � 001 �� j ij j d j k ijk k d j d i n R n nn 1 111 1 2 � j j d ij i n j k ijk i n k d j dn nn R � � �� 1 1 111 1 2 � � � � � � � � � � � � � � �� n B Aj j n j d j k jk n k d j dn nn � � �( ) ( ) 1 11 1 2 , ãäå B n Rj n ij ij n ( ) � �1 , j dn�1, , A n jk n ijk i n ( ) � � �1 1 � , j dn�1, . Â âåêòîðíî-ìàòðè÷íîì âèäå, îáîçíà÷èâ � �( ) ( )n j� , B Bn j n( ) ( )( )� , A An jk n( ) ( )( )� , ïîëó÷èì L n Bn n n( ) [ ( ) ( )� �� 184 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 � � 1 2 ( ) ]( ) ( ) ( )� �n n nA . Ïîýòîìó îöåíêà ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ � ( )( )� n � � � � � � � ( )( )� j n j j n e 1 , ãäå {� } �( ) ( )� � j n n� — ðåøåíèå ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ A Bn n n( ) ( ) ( )�� , èëè, åñëè A n( ) îáðàòèìà, � ( )( ) ( ) ( )� n n nA B� �1 . Ïîñòðîèì òåïåðü â Vn îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ òàê, ÷òîáû ïðè n � � ìàò- ðèöà A n( ) îáðàùàëàñü â åäèíè÷íóþ. Îòìåòèì, ÷òî A n s t s t d d jk n ij ik s t TT ( ) ( , ) ( , )� �� 1 00 � � � �� 1 00 n E d d d d k s u k t e u X u dud s t j i t � � � � � � � � � �( , ) ( , ) ( , ) ( , ) sTT i n �� 001 � �� d d d d k s u k t e u X u dud s t k i ts � � � � � � � � � �( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 00 � � � � � � � � � d ds t� �� . Ñîãëàñíî óñèëåííîìó çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë ïðè n � � èìååì A E d d d d k s u k t e u X u dud jk n s t j ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )� � � � � � � � � � � 0 tsTT �� 000 � �� d d d d k s u k t e u X u dud s t k ts � � � � � � � � � �( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 00 � � � � � � � � � d ds t� �� . Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü � i , i dn� 1, , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì áà- çèñîì â Vn â ñìûñëå âíóòðåííåãî ïðîèçâåäåíèÿ h g E d d d d k s u k t h u X u dud s t ts , ( , ) ( , ) ( , ) ( , )� �� 00 � � � � � � � � � � �� 00 TT � � �� d d d d k s u k t g u X u dud s t ts � � � � � � � � � �( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 00 � � � � � � � � d ds t� �� . Îáîçíà÷èì � {� � }( ) ( ) ( )� � �n n d n n � � �1 � êîîðäèíàòû � ( )� n â íîâîì áàçèñå � i , i dn�1, . Òîãäà âåêòîð � ( )� n ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ a bn n n( ) ( ) ( )�� , ãäå a n( ) è b n( ) çàäàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî êàê a n d d d d k s u k t u X u dud jk n s t j i ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )� 1 � � � � � � � � � � � 00001 tsTT i n �� d d d d k s u k t u X u dud s t k i ts � � � � � � � � � � �( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 00 � � � � � � � � � d ds t� �� , b n d d d d k s u k t u X u dudj n s t j i ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )� 1 � � � � � � � � � � � 00001 tsTT i n dZ s t�� ( , ). ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 185 Ïóñòü � � �( )n i i i dn � � � 1 — ïðîåêöèÿ � íà Vn â ñìûñëå îïðåäåëåííîãî ðàíåå âíóòðåííåãî ïðîèçâåäåíèÿ. Òîãäà b a n R s t dZ s tj n jk n k i d i i TT i n j ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , )� � � � � �� 1 00 1 1 1 n jk n k i d a n � �� ( )� � �� 1 00 n R s t R s t d d dM s t j i i s t TT i� � � � �� ( ) ( )( , )[ ( , ) ( , )] ( )� � �� a jk n k i d i n n � 11 � �� 1 1 001n R s t R s t d d n R j j i i s t TT i n � � � � � � �( ) ( ) (( , ) ( , ) i i TT i n jk n k i d s t dM s t a n ) ( )( , ) ( , )�� 001 1 �� 1 00 1n R s t R s t d j r i TT r i r s� � �� ( ) ( )( , ) ( , ) d n R s t dM s t at i n i i TT i n jk n j �� 1 001 1 ( ) (( , ) ( , ) )�k i dn � � � 1 � � � � � 1 1n R s t R s t R s t j r n r i r i r d r i r d � � � � �( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( , ) n TT i n s td d � � � �� 1001 � �� 1 001n R s t dM s t R s t R j j i i TT i n k i � �� ( ) ( )( , ) ( , ) ( , ) � � �� k n i s t TT i d s t d d( ) ( , ) 001 �� 1 1 001n R s t R s t d d j n i i s t TT i n � � � � �� ( ) ( )( , ) ( , ) ( ) n R s t dM s t j i i TT i n � ��( ) ( , ) ( , ) 001 �� 1 n R s t R s t E R s t R j n j n i i i[ ( , ) ( , ) ( ( , )( ) ( ) ( ) ( ) (� � � � � � ) ( ) ( , ))]i TT i n s ts t d d 001 �� 1 001n R s t dM s t j i i TT i n � ��( ) ( , ) ( , ) , ïîñêîëüêó, ñ îäíîé ñòîðîíû, � � � � � � � � � �� ( ) ( ) ( ), ( , ) ( , ) ( ) n j i i s t TT E R s t R s t d d j n 00 � , à ñ äðóãîé, — � � �� ( ) ,n j 0 âñëåäñòâèå îðòîãîíàëüíîñòè áàçèñà { , }� i i � 1 . Ïîýòîìó a cn n n n( ) ( ) ( ) ( )(� )� �� — âåêòîðû ñ êîìïîíåíòàìè � �� { }i è c n R s t R s t E R s t Rj n i i i j n j ( ) ( ) ( ) ( )[ ( , ) ( , ) ( ( , ) ( ) � � � 1 � � � � � � � �� ( ) ( ) ( , ))] n i s t TT i n s t d d 001 � �� 1 001n R s t dM s t j i i TT i n � ��( ) ( , ) ( , ). Ïîëîæèì jk j k� � �1 1 . Èç îðòîãîíàëüíîñòè áàçèñà � i } ñëåäóåò, ÷òî a n R s t R s t E R s tjk n jk i i i j k j ( ) ( ) ( ) ( )[ ( , ) ( , ) ( ( , )� � � � � � 1 R s t d d nk i TT s t i n ijk i n � � �� ( ) ( , ))] 001 1 1 �� , c n nj n ij n i n ij i n ( ) ( ) ~ � � � � � � 1 1 1 1 � � . Î÷åâèäíî, E ijk� � 0, à Ea jk n jk ( ) � , ïîýòîìó, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî X i îäè- íàêîâî ðàñïðåäåëåíû, è, ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Êîøè–Áóíÿêîâñêîãî, ïîëó÷àåì 186 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 E a a n n E jk n jk jk n jk jk ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )� � � � � � �2 1 1 21 1 Var Var � � 1 n E R s t R s t E R s t R s j k j k i i i i[ ( , ) ( , ) ( ( , ) ( ,( ) ( ) ( ) ( ) � � � � t d ds t TT ))] � �� 00 2 �� 1 n E R s t R s t E R s t R s j k j k i i i i[ ( , ) ( , ) ( ( , ) ( ,( ) ( ) ( ) ( ) � � � � t d ds t TT T T ))]2 00 � � � �� 1 2 0 n E R s t R s t d d T T i i s t T j k � � � �� ( ) ( )( , ) ( , ) 0 T � . Èç îïðåäåëåíèÿ R s t� ( , ) ñëåäóåò, ÷òî ýòî ïîëå ãàóññîâî, à M �� — òàêæå ãà- óññîâî è ÿâëÿåòñÿ ñèëüíûì ìàðòèíãàëîì ñ êâàäðàòè÷åñêîé âàðèàöèåé � �� T T . Ïîñêîëüêó äëÿ äâóõ ãàóññîâûõ âåëè÷èí: �1 è �2 , ñóùåñòâóåò c � const > 0, ÷òî E cE E� � � �1 2 1 2 2 2� [9, ëåììà 5.1], ïðèìåíèâ äàííîå ñîîòíîøåíèå ê ïîñëåäíåé ôîðìóëå, ïîëó÷èì E a n E R s t R s t d jk n jk T T i i j k ( ) [ ( , ) ( , )]( ) ( ) ( )� � � �� 2 21 � �� s t TT d 00 �� c n E R s t E R s t d d T T i i s t T j k � � � �� [ ( , )] [ ( , )]( ) ( )2 2 00 T � � � � c n E R s t E R sT T s t T i i j k � �� sup [ ( , )] [ ( , ( , ) [ , ] ( ) ( ) 0 2 2 t d ds t TT )]2 00 � �� c n E R s tT T s t T i j � �� sup [ ( , )] ( , ) [ , ] ( ) 0 2 2 , òàê êàê E R s t d d k i s t TT [ ( , )]( ) � � �� 2 00 1�� , [ ]� i — îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ. Î÷å- âèäíî, ÷òî E ij n( )( )� � 0 è E ij( ~ )� � 0. Áîëåå òîãî, E E R s t dM s t E Rij i i TT k ( � ) ( , ) ( , ) [( )� � ��2 00 2 � � � � � � � � � �� k i s t TT s t d d( ) ( , )]2 00 1�� . Äëÿ E ij n( )( )� 2 èìååì ñëåäóþùóþ îöåíêó: E c E R s tij n T T s t T i j ( ) sup [ ( , )] \|\|( ) ( , ) [ , ] ( )� � �� 2 0 2 2 � � � � �� ( ) \|\|n 2 . Îöåíèì E c j n( )( ) 2 , ïðèíÿâ âî âíèìàíèå, ÷òî E c j n( )( ) � 0. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî E c c n n Ej n j n j n j j n( ) ( ) ( ~ ) ( ~( ) ( ) ( ) (2 1 1 1 1 1 � � � �Var Var � � � ) ~ )� ��1 2 j � � � � � 2 2 1 1 2 1 2 0n E E n c j n j T T s t [ ( ~ ) ( ~ ) ] [ sup( ) ( , ) [ , � � � �� T i nE R s t j ] ( ) ( )( ( , )) ] \|\| \|\| 2 2 2 � � �� . Òåîðåìà 1. ÏóñòüU n — âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïðåäåëåííûõ ðà- íåå ïîäïðîñòðàíñòâ â L T dsdt2 20([ , ] , ) ðàçìåðíîñòè dn (dn � �) è { }� i ni d, ,�1 — îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â U n . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 187 � � � � � � � �n s t T j d s tn d d d d k s u k t� � � � sup sup ( , ) ( , ( , ) [ , ]0 12 ) ( , ) ( , )� � � �j ts u X u dud 00 2 �� òàêîâà, ÷òî d n n n 2 2 0 � � ïðè n � 0 è d n n n� � 0 ïðè n � �. Òîãäà \|\| � \|\|( ) ( )� �n n� � 0 ïðè n � � (ïî âåðîÿòíîñòè). Äîêàçàòåëüñòâî. Ê ðàçíîñòè � ( )( ) ( ) ( ) ( )� �n n n na c� � �1 ïðèìåíèì ðåçóëüòàò [9, ëåììà 5.2] è ïîëó÷èì \|\| � \|\| ( )( ) ( ) ( )� � n n jk n jk k d j d a nn � � � � � � � � � � � �� 1 2 11 1 2 1 / ( )\|\| \|\| ! " # " $ % " & " � c n . Èç óñëîâèé òåîðåìû è îöåíêè äëÿ a jk n jk ( ) � íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî E a cd n n jk n jk k d j d n n nn ( ) ,( ) � � � � � � � � � � � �� 2 11 2 2 0 , E c c d n d n n n n n n n \|\| \|\| \|\| \|\|( ) ( ) 2 2 0� � �� , n ��. Ïîýòîìó \|\| � \|\|( ) ( )� �n n� � 0, n � 0, ïî âåðîÿòíîñòè. Òåîðåìà äîêàçàíà. Äàëåå ðàññìîòðèì \|\| � \|\|( ) ( )� �n n� 2 : \|\| � \|\|( ) ( )� �n n� �2 � �E d d d d k s u k t u u X s t n n � � � � � � � � � � �( , ) ( , )\| � ( , ) ( , )\| (( ) ( ) u dud d d tsTT s t, )� � � �� 0000 2 �� \| � \|( )� � �j n j j d j j d n n 2 1 2 1 0 . Ïåðâîå ñëàãàåìîå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ñîãëàñíî òåîðåìå 1. Ïîñêîëüêó Vn n�1 � ïëîòíî â L T2 20([ , ] ), îíî òàêæå ïëîòíî è â ìåòðèêå, ãåíåðèðóåìîé âíóòðåííèì ïðîèçâåäåíèåì � �, . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïî âåðîÿòíîñòè lim ( , ) ( , )\| � ( , ) ( ,( ) ( ) n s t n nd d d d k s u k t u u �� )\| ( , )X u dud ts � � 00 0�� . Ëåììà 1 [10, ëåììà 5.5]. Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ( ) ( ) ( )( )n n d n n � � �1 � òàêîâû, ÷òî ( ) ,( ) j n j dn n2 1 2 � � � � �. Òîãäà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà c j n j n j dn ( ) ( ) � � 1 àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíà ñî ñðåäíèì 0 è âàðèàöèåé 2 . Òåîðåìà 2. Ïóñòü ( )n òàêîâû, ÷òî ( )( ) j n j dn 2 1 2 � � � , n � �, âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 1, à òàêæå d n d n nn n n n 3 2 3 3 0 0 � � � � � �, , . 188 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 Òîãäà n j n i n i j dn � �( ) ( )( ~ )� � � 1 àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíà ñ N ( , )0 2 . Äîêàçàòåëüñòâî â áîëüøîé ñòåïåíè ïîâòîðÿåò îäíîìåðíûé ñëó÷àé, ïîýòîìó ïðèâåäåì ëèøü îñíîâíûå åãî øàãè. Èç ïðèâåäåííûõ ðàíåå ñâîéñòâ R s t� ( , ): R s t d d d d dk s u ds dk s t � � � � � � � 2 2 2 ( , ) ( , ) � � � � � � � � � � � ( , )t dt uts � � 0000 �� ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) u X u dk s x ds dk t y dt dxdydud ; E R s t d d ds d dt d s t TT s � � � � � � � 2 00 2 ( , )�� t s t TT d d � � � � �� 2 00 � , ãäå � � dk s u ds dk t dt dk s x ds dk t y dt u� � � �� ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (x y uts , ) 0000 � �� E X u X x y dud dxdy( ( , ) ( , ))� � . Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî dk t s dt s t s H H H H H( , ) ( ) ( / ) ( / ) ( / / / � � � � � � �1 2 1 2 1 2 2 3 2 1 2�� H ) , ïîëó÷àåì E R s t d d C s ts t TT TT � � � � �� 2 00 4 2 4 2 00 ( , ) ~ �� '� �� s td , ãäå ' � � � �� 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1/ / / / / /( ) ( ) ( )t y t y u s u 2 0000 � �� uts � �� x s x u x y E X u X x y dud d1 2 1 2/ /( ) ( , ) ( , ) ( ( , ) ( , ))� � � � � � � xdy . Òåîðåìà äîêàçàíà. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû îòíîñèòåëüíî àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ îöåíêè êîýôôèöèåíòà ñäâèãà ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ äðîáíûì áðîóíîâñêèì ïîëåì ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè ðåøåíèè ðàçíîîáðàçíûõ ïðèêëàä- íûõ çàäà÷, à òàêæå â ïîñëåäóþùèõ ðàáîòàõ ïî äàííîé òåìàòèêå. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. L o t o t s k y S . Parameter estimation for stochastic parabolic equations: asymptotic properties of a two-dimensional projection based estimator // Stat. Inference for Stoch. Process. — 2003. — 6, N 1. — P. 65–87. 2. H u e b n e r M . , R o z o v s k i i B . L . On asymptotic properties of maximum likelihood estimators for parabolic stochastic PDE’s // Probability Theory and Related Fields. — 1995. — 103, N 2. — P. 143–163. 3. K n o p o v P . S . , D e r i e v a E . N . Estimation and control problems for stochastic partial differential equations. — New York: Springer, 2013. — 240 p. 4. I b r a g i m o v I . A . , K h a s m i n s k i i R . Z . Some estimation problems in infinite dimensional white noise // Festschrift for Lucien Le Cam. — Berlin: Springer, 1997. — P. 259–274. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 189 5. Ê à ñ è ö ü ê à ª . É . , Ê í î ï î â Ï . Ñ . Àñèìïòîòè÷í³ âëàñòèâîñò³ îö³íêè êîåô³ö³ºíòà çñóâó ñòîõàñòè÷íîãî äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ ç äðîáîâèì áðîóí³âñüêèì ðóõîì // Òåîð³ÿ éìîâ³ð. òà ìàòåì. ñòàòèñò. — 2008. — ¹ 79. — Ñ. 65–72. 6. G r e n a n d e r U . Abstract Inference. — New York: Wiley, 1981. — 526 p. 7. M c K e a g u e I . W . Estimation for a semimartingale regression model using the method of sieves // The Annals of Statistics. — 1986. — 14, N 2. — P. 579–589. 8. N g u y e n H . T . , P h a m T . D . Identification of nonstationary diffusion model by the method of sieves // SIAM Journal on Control and Optimization. — 1982. — 20, N 5. — P. 603–611. 9. P r a k a s a R a o B . L . S . Statistical inference for fractional diffusion processes. — Chichester: Wiley, 2010. — 278 p. 10. H u e b n e r M . , L o t o t s k y S . Asymptotic analysis of the sieve estimator for a class of parabolic SPDEs // Scandinavian Journal of Statistics. — 2000. — 27. — P. 353–370. 11. S o t t i n e n T . , T u d o r C . A . Parameter estimation for stochastic equations with additive fractional Brownian sheet // Stat. Inference for Stoch. Process. — 2008. — N 11. — P. 221–236. 12. Ê í î ï î â Ï . Ñ . , Ø ò à ò ë à í ä Ý . Ñ . Îá àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè ìåð, ñîîòâåòñòâóþùèõ íåêîòîðûì ñëó÷àéíûì ïîëÿì íà ïëîñêîñòè // Âîïðîñû ñòàòèñòèêè è óïðàâëåíèÿ ñëó÷àéíûìè ïðîöåññàìè. — Êèåâ: Èí-ò ìàòåìàòèêè, 1973. — Ñ. 153–169. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 03.12.2015 Î.Ì. Äåð³ºâà, Ñ.Ï. Øïèãà ÏÐÎ ÎÄÍÓ ÇÀÄÀ×Ó ²ÄÅÍÒÈÔ²ÊÀÖ²¯ ÑÈÑÒÅÌ Ç ÀÄÈÒÈÂÍÈÌ ÄÐÎÁÎÂÈÌ ÁÐÎÓÍ²ÂÑÜÊÈÌ ÏÎËÅÌ Àíîòàö³ÿ. Äîñë³äæåíî çàäà÷ó íåïàðàìåòðè÷íîãî îö³íþâàííÿ (³äåíòèô³êàö³¿) äëÿ äîñòàòíüî øèðîêîãî êëàñó âèïàäêîâèõ ïîë³â íà ïëîùèí³, ÿê³ çàäîâîëüíÿ- þòü ðîçâ'ÿçêó ñòîõàñòè÷íîãî äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ â ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ ç àäèòèâíèì äðîáîâèì áðîóí³âñüêèì ïîëåì. Àñèìïòîòè÷í³ âëàñòèâîñò³ îö³íêè ïàðàìåòðà çñóâó âèâ÷åíî ç âèêîðèñòàííÿì ìåòîäó ñèòà. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: çàäà÷à ³äåíòèô³êàö³¿, äðîáîâå áðîóí³âñüêå ïîëå, ïàðàìåòð çñóâó, ìåòîä ñèòà. O.M. Dåriyeva, S.P. Shpyga ON A PROBLEM OF SYSTEM IDENTIFICATION WITH ADDITIVE FRACTIONAL BROWNIAN FIELD Abstract. In the paper we investigate the problem of nonparametric estimation (identification) for a sufficiently wide class of random fields on a plane satisfying the solution of stochastic partial differential equations with additive fractional Brownian field. The asymptotic properties of the drift parameter are analyzed using the sieve method. Keywords: identification problem, fractional Brownian field, drift parameter, method of sieves. Äåðèåâà Åëåíà Íèêîëàåâíà, êàíäèäàò ôèç.-ìàò íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: derieva@gmail.com Øïèãà Ñåðãåé Ïåòðîâè÷, ìëàäøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: shpyga@meta.ua 190 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3

Об одной задаче идентификации систем с аддитивным дробным броуновским полем

Institution

Ähnliche Einträge