Математичне моделювання вертикальної міграції радіонуклідів в каталітичному пористому середовищі у нелінійному випадку

У статті сформульовано постановку та проведено математичне моделювання задачі вертикальної міграції радіонуклідів у каталітичному пористому середовищі в нелінійному випадку. Отримано числовий розв’язок відповідної одновимірної крайової задачі методом скінченних різниць. Проведено серію чисельних екс...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
Hauptverfasser:	Власюк, А.П., Жуковський, В.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Schriftenreihe:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/133719
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Математичне моделювання вертикальної міграції радіонуклідів в каталітичному пористому середовищі у нелінійному випадку / А.П. Власюк, В.В. Жуковський // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2015. — Вип. 12. — С. 161-172. — Бібліогр.: 20 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-133719
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1337192025-02-09T21:41:12Z Математичне моделювання вертикальної міграції радіонуклідів в каталітичному пористому середовищі у нелінійному випадку Власюк, А.П. Жуковський, В.В. У статті сформульовано постановку та проведено математичне моделювання задачі вертикальної міграції радіонуклідів у каталітичному пористому середовищі в нелінійному випадку. Отримано числовий розв’язок відповідної одновимірної крайової задачі методом скінченних різниць. Проведено серію чисельних експериментів та здійснено їх аналіз. In the article was formulated the statement and carried out the mathematical modelling of radionuclides vertical migration process in catalytic porous media in nonlinearly mode. There is obtained the numerical solution of respective one-dimensional boundary value problem by the method of finite differences. Using created software a series was conducted of numerical experiments and their analysis. 2015 Article Математичне моделювання вертикальної міграції радіонуклідів в каталітичному пористому середовищі у нелінійному випадку / А.П. Власюк, В.В. Жуковський // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2015. — Вип. 12. — С. 161-172. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. 2308-5916 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/133719 532.72:519.63:533.15:631.4 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	У статті сформульовано постановку та проведено математичне моделювання задачі вертикальної міграції радіонуклідів у каталітичному пористому середовищі в нелінійному випадку. Отримано числовий розв’язок відповідної одновимірної крайової задачі методом скінченних різниць. Проведено серію чисельних експериментів та здійснено їх аналіз.
format	Article
author	Власюк, А.П. Жуковський, В.В.
spellingShingle	Власюк, А.П. Жуковський, В.В. Математичне моделювання вертикальної міграції радіонуклідів в каталітичному пористому середовищі у нелінійному випадку Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
author_facet	Власюк, А.П. Жуковський, В.В.
author_sort	Власюк, А.П.
title	Математичне моделювання вертикальної міграції радіонуклідів в каталітичному пористому середовищі у нелінійному випадку
title_short	Математичне моделювання вертикальної міграції радіонуклідів в каталітичному пористому середовищі у нелінійному випадку
title_full	Математичне моделювання вертикальної міграції радіонуклідів в каталітичному пористому середовищі у нелінійному випадку
title_fullStr	Математичне моделювання вертикальної міграції радіонуклідів в каталітичному пористому середовищі у нелінійному випадку
title_full_unstemmed	Математичне моделювання вертикальної міграції радіонуклідів в каталітичному пористому середовищі у нелінійному випадку
title_sort	математичне моделювання вертикальної міграції радіонуклідів в каталітичному пористому середовищі у нелінійному випадку
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2015
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/133719
citation_txt	Математичне моделювання вертикальної міграції радіонуклідів в каталітичному пористому середовищі у нелінійному випадку / А.П. Власюк, В.В. Жуковський // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2015. — Вип. 12. — С. 161-172. — Бібліогр.: 20 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
work_keys_str_mv	AT vlasûkap matematičnemodelûvannâvertikalʹnoímígracííradíonuklídívvkatalítičnomuporistomuseredoviŝíunelíníinomuvipadku AT žukovsʹkiivv matematičnemodelûvannâvertikalʹnoímígracííradíonuklídívvkatalítičnomuporistomuseredoviŝíunelíníinomuvipadku
first_indexed	2025-12-01T02:15:22Z
last_indexed	2025-12-01T02:15:22Z
_version_	1850270373300404224
fulltext	Серія: Технічні науки. Випуск 12 161 УДК 532.72:519.63:533.15:631.4 А. П. Власюк, д-р техн. наук, професор, В. В. Жуковський, аспірант Міжнародний економіко-гуманітарний університет імені академіка Степана Дем’янчука, м. Рівне, **Національний університет водного господарства та природокористування, м. Рівне МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ВЕРТИКАЛЬНОЇ МІГРАЦІЇ РАДІОНУКЛІДІВ В КАТАЛІТИЧНОМУ ПОРИСТОМУ СЕРЕДОВИЩІ У НЕЛІНІЙНОМУ ВИПАДКУ У статті сформульовано постановку та проведено матема- тичне моделювання задачі вертикальної міграції радіонуклідів у каталітичному пористому середовищі в нелінійному випад- ку. Отримано числовий розв’язок відповідної одновимірної крайової задачі методом скінченних різниць. Проведено серію чисельних експериментів та здійснено їх аналіз. Ключові слова: масоперенесення, очищення, радіонукліди, частинки мікропористої структури, колоїди, каталітичне пористе середовище, метод скінченних різниць. Вступ. Господарська діяльність людини призводить до забруднен- ня біосфери, зокрема плодородних земель радіоактивними речовинами. Тому вчені давно шукають механізми для прогнозування впливу на на- вколишнє середовище радіоактивних осадів та його подальше очищення. Теорія фільтрації в пористих середовищах, що розглядалася в роботах Полубаринової-Кочини П. Я., Веригіна М. М., Сергієн- ка І. В., Скопецького В. В., Дейнеки В. С., Ляшка І. І., Ляшка С. І., Лаврика В. І., Власюка А. П., Бомби, А. Я., Булавацького В. М., Са- вули Я. Г. та ін., надала математичні описи проблем підземного ма- соперенесення, методи їх розв'язку, а також співставлення результа- тів з даними спостережень та еспериментів [1–5]. Наступним етапом було врахування дифузії нуклідів, міграція яких представляє радіологічну цікавість. Відповідні математичні мо- делі розроблені Прохоровим В. М., Власюком А. П., Бураком Я. Й., Чаплею Є. Я., Чернухою О. Ю., Bossew P., Kirchner G. [6–9]. Останні дослідження йдуть ще далі. Вчені розглядають рух колої- дів в мезопористому та мікропористому середовищах, де діаметр пор знаходиться в діапазоні від 2 до 50 нм та менше 2 нанометрів відповідно [10]. Колоїдами (наночастинками) в грунті називають природоутворюю- чі мінеральні фрагменти, гумінові і фульвокислоти, мінеральні осади і мікроорганізми. Їхні розміри лежать в діапазоні від 1 нм до 1000 нм [11]. © А. П. Власюк, В. В. Жуковський, 2015 Математичне та комп’ютерне моделювання 162 Транспортні властивості колоїдів в поєднанні з вертикальною міграцією радіонуклідів призводять до різкої зміни міграційної поведінки [12-13]. Такий процес міграції може бути потенційною загрозою для природи і людства у зв'язку з радіо-і хемотоксичністю радіонуклідів. Разом з тим колоїди можуть відігравати роль сорбентів (цеоліти, органічні добрива). Особливості колоїдів разом з поєднанням сучас- них засобів механізації дозволяють пришвидшити процес очищення забруднених територій завдяки застосуванню новітніх технологій меліорації та фільтрів-вловлювачів [14]. Математична модель дифузії в біпористих сорбентах [15] стала основою для врахування впливу мікропористих частинок на техноло- гічні процеси дифузійного масопереносу які досліджувались Фресса- рдом Ж. [16], Петриком М. Р. [17]. Однак математичне моделювання із застосуванням колоїдів- адсорбентів до процесів очищення радіонуклідів є новим. Тому в да- ній роботі нами буде розглянута модернізована математична модель вертикальної міграції радіонуклідів в нелінійному випадку. Постановка задачі. Розглянемо процес очищення горизонталь- ного шару ґрунту від радіонуклідів (наприклад, 90Sr (стронцій-90) або 137Cs (цезій-137)) при їх вертикальній міграції в горизонтальному шарі ґрунту великої протяжності. Локалізація радіонуклідів відбува- ється завдяки переносу їх фільтраційним потоком зі швидкістю  під впливом конвективної дифузії з врахуванням каталітичного мікропо- ристого середовища при наявності фільтрів-вловлювачів (рис. 1). фільтр-вловлювач 1 1 1 1 2, ( ), ( )H C t C t  2 2 2 1 2, ( ), ( )H C t C t  x 1 2( , ), ( , )c x t c x t ( , , )q x r t l V 0 Рис. 1. Вертикальна міграція радіонуклідів в пористому середовищі при наявності фільтра-вловлювача На глибині l в ґрунті розміщений фільтр-вловлювач, наповнений сорбуючим елементом (наприклад, вермикулітом). Відомі п’єзометричні напори на верхній та нижній (підстилаючій) поверхнях грунту 1H та 2H ( 1 2H H  ) відповідно. Також відомий розподіл концентрацій радіо- нуклідів (мігранту) в початковий момент часу 0t  : 0 1 ( )C x (для части- Серія: Технічні науки. Випуск 12 163 нок, що знаходяться в конвективно рухомому поровому розчині), 0 2 ( )C x (для частинок, що знаходяться у зв’язаній зі скелетом грунту воді) та 0 ( , )Q x r . На верхній поверхні грунту відомі концентрації 1 1 ( )C t та 1 2 ( )C t , а на фільтрі-вловлювачі задаються концентрації 2 1 ( )C t , 2 2 ( )C t . Потрібно дослідити розподіл концентрацій 1( , )c x t , 2 ( , )c x t та ( , , )q x r t по області фільтрації з часом, що дасть можливість зробити прогноз щодо ступеня очищення ґрунтів та їх подальшого використання. Математична модель задачі. Математичну модель поставленої задачі в одновимірному випадку в кожній з підобластей ґрунтового середовища та фільтрів-вловлювачів можна описати наступною кра- йовою задачею: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2( ) ( ) , c c c D c c c c t x x x                  0 ,x l  0,t  (1) 2 2 2 2 1 1 2 2( ) , r R c c q D c c c t x x r                 0 ,x l  0,t  (2) 2 02 1 ( ) , q q r D q t r rr          0 ,r R  0,t  (3) 1 1 1( ) ( ) ,c cdh k c c dx x        0, n div t       0 ,x l  0,t  (4) 0 ( , , ) 0, r q x r t r     0 ,x l  0 ,r R  0,t  (5) 2( , , ) ( , ),er R q x r t k c x t    0 ,x l  0 ,r R  0,t  (6) 1 1 1 1(0, ) ( ),l c t C t  2 2 1 1(0, ) ( ),l c t C t  (7) 1 3 2 2(0, ) ( ),l c t C t  2 4 2 2( , ) ( ),l c l t C t  (8) 1(0) ,h H  2( ) ,h l H  (9) 0 1 1( ,0) ( ),c x C x  0 2 2( ,0) ( ),c x C x  0( , ,0) ( , ),q x r Q x r  (10) де 1( , )c x t , 1D — концентрація та коефіцієнт конвективної дифузії радіонуклідів, що знаходяться у фільтраційному потоці; 2 ( , )c x t , 2D — концентрація та коефіцієнт молекулярної дифузії радіонуклі- дів, що знаходяться у воді, яка зв’язана зі скелетом ґрунту; ( , , )q x r t , 0D — концентрація та коефіцієнт дифузії радіонуклідів у частинках радіусу R , що знаходяться у скелеті ґрунту; ek — коефіцієнт впливу внутрішньочастинкового масопереносу на масоперенос в скелеті ґру- нту;  — швидкість фільтрації; k — коефіцієнт фільтрації води з Математичне та комп’ютерне моделювання 164 мігрантами; 1 , 2 — коефіцієнти масообміну; 1 — пористість ґру- нту; [0; ]x l — вертикальна координата, напрямлена вертикально вниз, il , 1, 4i  — диференціальні оператори, що задають граничні умови відповідно при 0x  та x l ; t — час, 10 t t  . Рівняння (1) описує процес міграції радіонуклідів з концентрацією 1c шляхом конвективної дифузії у фільтраційному потоці (конвективно рухомому поровому розчині); (2) описує процес міграції радіонуклідів, що знаходяться у зв’язаній зі скелетом ґрунту воді; (3) описує внутріш- ночастинковий масоперенос радіонуклідів з поточною концентрацією q , що зв’язана із концентрацією 2c умовою (6); (4) описує фільтрацію в каталітичному пористому середовищі. Крайові умови для концентрацій 1( , )c x t , 2 ( , )c x t , ( , , )q x r t та напору ( )h x мають вигляд (7)–(10). В результаті різниці напорів відбувається перенесення розчине- них у воді речовин фільтраційним потоком. При цьому процеси філь- трації розчинених у воді речовин підлягають законам Дарсі та Фіка. Чисельний розв’язок крайової задачі методом скінченних рі- зниць. Для знаходження числового розв’язку крайової задачі (1)–(10) використаємо метод скінченних різниць. Для цього запишемо неявну різницеву схему для рівняння (2), а для (1) та (3) використаємо моно- тонну різницеву схему Самарського [18]. Введемо різницеву сітку 1 2h h  з кроками 1,h 2h і  по осях Ox, Or та Ot для змінних ,x ,r t   1 2 1 2 1 2 3 1 1 2 3 , , , , , 0, , 0, , 0, , , , , i j k h h i j k x ih r jh t k x r t i n j n k n h n l rn R n T                      (11) де 1,n 2 ,n 3n — кількість кроків по просторових змінних та часу відповідно. Для дискретизації рівняння (1) використаємо монотонну різни- цеву схему Самарського [18]. В результаті скінченнорізницевий ана- лог диференціального рівняння (1) матиме наступний вигляд: ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( ) 1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 1( ) ( ) 1 1, 1 1, 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( ) ( ) 1, 1 1, 1, 1, 1( ) ( ) 1, 1 1,( ) ( ) 1 11, 1, 1 1 ( ) ( ) k k k k k kk i i i i i ik ki i i k k k kk k i i i ik ki i i ik k i i c c c c c c d d h h h c c c cr r d d h hD D c                                       ( 1) ( 1) 2, 2, ,k k i ic  (12) Серія: Технічні науки. Випуск 12 165 (0) 0 11, ( ),iic C x  ( ) 1 11,0 ( ),k kc C t  1 ( ) 2 11, ( ),k knc C t  (13) де 11, 1,i n  30,k n . Тут введені наступні позначення: ( ) ( ) 1 1 1( ) 1, , 2 k k ,i ,ik i D D d   ( ) ( ) 11 1,( ),k k ,i iD D c ( ) 1( ) 2 1( )( ) 1,1 ( ) 1, 1 1 ( ) 2 1 2 k ik i kk ii k i h r O h Dh r D       , ( ) ( ) ( )( ) ( ) ,k k k i i ir r r   ( ) ( ) ( )( ) 0 2 k k i ik ir        , ( ) ( ) ( )( ) 0 2 k k i ik ir        . Для знаходження концентрації солей 1( , )c x t з різницевого рів- няння (12) використаємо метод прогонки. Для цього представимо різницеву схему (12), (13) у такому вигляді: 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( )1 1 1 1,( 1) 1, 1 1, 1, 1 1, ( 1) ( 1)1 1 1 21,0 1,1 ( 1) ( 1)1 1 3 41, 1, 1 , , , k k k k k i i i ii i i i k k k k n n a c c c b c c f c c c c                            (14) де ( ) ( ) ( ) 1,1 ( ) 1 1 1 1, ( ) , k k k i i i i k i d r a h h D            ( ) ( ) ( ) 1, 11 ( ) 1 1 1 1, ( ) , k k k i i i i k i d r b h h D                ( ) ( )( ) 1, 1 1, ( ) ( )1 ( ) ( ) 11, 1 1,2 ( ) 1 1 1 1, ( ) 1 1 ( ) ( ) k kk i i i k kk k i i ii ik i d d c r d r d h h D                    , ( 1) ( 1)1, 2 2, 1 k k i if c      , 1 1 0,  1 1 2 1 ,C   1 3 0,  1 2 4 1 .C   Можна показати, що умови стійкості прогонки 1 1 1 i i ic a b  виконуються. Значення концентрації на часовому шарі ( 1)k  знахо- димо методом прогонки, використовуючи співвідношення ( 1) ( 1)1 1 1 11, 1, 1 k k i ii ic c      , (15) де 1 1 1 1 1 1 ,i i i i i b c a     ( )1 1 1,( 1) 1,1 1 1 1 1 , k k i i ii i i i i a c f c a          11, 1,i n  31, ,k n 1 1 1 1 0,   1 1 1 1 2 1 .C    Математичне та комп’ютерне моделювання 166 Для дискретизації різницевого рівняння (2) використаємо неявну різницеву схему. Конвективний член r R q r     диференціального рів- няння (2) апроксимуємо з точністю до другого порядку [19]. Скін- ченнорізницевий аналог відповідного диференціального рівняння матиме наступний вигляд: 2 2 2 ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2, 2, 2, 1 2, 2, 2, 1( ) ( ) 2, 1 2, 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 2( ) ( 1) 1 21, 2, 2 1 3 1 2 2 2 , k k k k k k i i i i i ik k i i k k k n n nk k i i c c c c c c d d h h h q q q c c h                                            (16) (0) 0 22, ( ),iic C x  ( ) 1 22,0 ( ),k kc C t  1 ( ) 2 22, ( ),k knc C t  (17) де ( ) ( ) 2 2 1( ) 2, , 2 k k ,i ,ik i D D d   ( ) ( ) 22 2,( )k k ,i iD D c , 11, 1,i n  30,k n . В прогоночному вигляді рівняння (16) запишеться 1 1 ( 1) ( 1) ( 1)2 2 2 2,( 1) 2, 1 2, 2, 1 ( 1) ( 1)2 2 1 22,0 2,1 ( 1) ( 1)2 2 3 42, 2, 1 , , , k k k k i i i ii i i k k k k n n a c c c b c f c c c c                           (18) де ( ) 22 2 1 k ,i i d a h  , ( ) 2 12 2 1 k ,i i d b h  , ( ) ( ) 2 1 22 22 1 1 k k ,i ,i i d d c h      , 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1)( ) 1 22, ( )2,( 1) 1 1, 2 3 1 2 2 2 k k kk n n ni kk i i q q qc f c h                       , 2 1 0,  2 1 2 2 ,C   2 3 0,  2 2 4 2 .C   Неважко показати, що умови стійкості прогонки 2 2 2 i i ic a b  виконуються. Значення концентрації 2 ( , )c x t на часовому шарі ( 1)k  знаходимо методом прогонки, використовуючи співвідношення ( 1) ( 1)2 2 1 12, 2, 1 ,k k i ii ic c      (19) Серія: Технічні науки. Випуск 12 167 де 2 2 1 2 2 2 ,i i i i i b c a     2 2 2,( 1) 2 1 2 2 2 , k i i i i i i i a f c a         11, 1,i n  31, ,k n 2 2 1 1 0,   2 2 1 1 2 2.C    Різницева схема для (3), (5), (6) матиме наступний вигляд: ( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( ) 1 1( ) ( ) 0, 1 0,2 2 22 1 , k kk kk k j jj j j jk k j j q q q qq q d d h hr h                 (20) (0) 0 ( , ),j i jq Q x r  2 ( ) ( ) 2, k k e inq k c , (21) де   2 ( ) ( ) ( ) 0, 0 0 1 , 2 k k k j , j , j r d D D   ( ) ( ) 00 ( ),k k j, jD D q 11, 1,i n  21, 1,j n  30,k n . В прогоночному вигляді рівняння (20) запишеться 2 2 ( 1) ( 1)3 3 ( 1) 3 3,( 1) 1 1 ( 1) ( 1)3 3 1 20 1 ( 1) ( 1)1 3 3 41 , , , k kk k j j j j jj j k k k k n n a q c q b q f q q q q                          (22) де ( ) 03 2 2 2 k , j j d a r h  , ( ) 0 13 2 2 2 k , j j d b r h  , ( ) ( ) 0 1 03 2 2 2 1 k k , j , j j d d c r h    , ( ) 3,( 1) , k jk j q f    3 1 1,  3 2 0,  3 3 0,  3 4 0.  Легко показати, що умови стійкості прогонки 3 3 3 j j jc a b  ви- конуються. Значення концентрації ( , , )q x r t на часовому шарі ( 1)k  знаходимо методом прогонки, використовуючи співвідношення ( 1)( 1) 3 3 1 11 ,kk j j jjq q     (23) де 3 3 1 3 3 3 ,j j j j j b c a     3 3 3,( 1) 3 1 3 3 3 , k j j j j j j j a f c a         21, 1,j n  31, ,k n 3 3 1 1 1,   3 3 1 2 0.   Скінченнорізницевий аналог закону (4) для обчислення швидко- сті фільтрації має наступний вигляд: ( ) ( )( ) ( ) 1, 1 1, 1( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1, 1, 1 1 ( ) ( ) ( ) , 2 2 k kk k i ik kk k ki i i i c ii i c ch h k c c h h          (24) 11, 1,i n  31, .k n Математичне та комп’ютерне моделювання 168 Програмна реалізація. Для аналізу і порівняння лінійної та нелі- нійної математичних моделей вищенаведеної задачі було використано методологію об’єктно-орієнтованого програмування [20]. Це дозволило в короткі терміни побудувати необхідну ієрархію класів з можливістю подальшого ускладнення існуючих моделей. Для чисельного моделю- вання процесу вертикальної міграції радіонуклідів розроблено інтелек- туальний інтерфейс на базі кросплатформенного фреймворку Qt. Він дозволяє легко керувати вихідними даними (коефіцієнтами дифузії, по- ристості, дисперсії, краєвими умовами тощо), виконує необхідні обчис- лення, будує 2D/3D графіки та таблиці значень концентрацій 1( , )c x t , 2 ( , )c x t , ( , , )q x r t , швидкості фільтрації ( , )x t . Всі отримані значення лег- ко імпортуються у файли популярних форматів для подальшої обробки. Результати чисельних експериментів та їх аналіз. Використа- вши створений програмний комплекс було проведено ряд експериме- нтів. Зокрема було розглянуто задачу локалізації радіонуклідів протя- гом 5 років з такими вихідними параметрами: 10м,l  1 1м,H  2 0,1м,H  1 0, 4  , 30 діб,  1 2 0,0065   , 1ek  , 55 10 мR   , 2 5 2 м 1 10 доба D   , 2 6 0 м 2 10 доба D   , 1 1 3 кг ( ) 5 , м C t  2 1 3 кг ( ) 0 , м C t  1 2 3 кг ( ) 5 , м C t  2 2 3 кг ( ) 0 , м C t  0 1 3 кг ( ) 5 , м C x  0 2 3 кг ( ) 5 , м C x  0 3 кг ( , ) 0 . м Q x r  Зазвичай в цілях спрощення коефіцієнт конвективної дифузії за- дають лінійно залежним від швидкості фільтрації [1]: ( ) ( ) 1, ,k k iiD D    11, 1,i n  31, ,k n де D — коефіцієнт молекулярної дифузії в пористому середовищі,  — параметр дисперсії. Прийнято наступну залежність коефіцієнта фільтрації від кон- центрації сольового розчину для піщаних грунтів [5]: 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 5 4 3 2 1 0( )k c a c a c a c a c a c a           , де 1 2 5 5,9404 10a   , 1 1 4 1,6703 10a    , 1 1 3 1,7051 10a   , 1 2 2 7,4311 10a    , 1 2 1 1,0563 10a   , 1 3 0 1,0054 10a   . Після проведення серії чисельних експериментів отримано гра- фіки полів швидкостей фільтрації ( , )x t , розподілу концентрації со- льових розчинів по області фільтрації для різних значень коефіцієнта Серія: Технічні науки. Випуск 12 169 фільтрації та коефіцієнта конвективної дифузії 0D (порівняння лі- нійної та нелінійної залежностей). Також продемонстровано вплив колоїдних частинок на процес міграції радінуклідів. Рис. 2. Розподіли концентрацій 1( )c x від глибини шару ґрунту x для коефіцієнта фільтрації k const (графіки 1, 2) і 1( , )k k x c (графіки 3,4) при різних часових кроках: 1) 30 діб, 2) 2,5 роки, 3) 30 діб, 4) 2,5 роки Рис. 3. Розподіл швидкості фільтрації ( )x для нелінійної залежності кое- фіцієнта фільтрації 1( , )k k x c (графіки 1, 2, 3) і k const (графік 4) при різних часових кроках: 1) 30 діб, 2) 1 рік, 3) 2,5 роки Рис. 4. Порівняльні розподіли кон- центрацій 1( )c x від глибини шару ґрунту x для коефіцієнта диспер- сії 1  (графіки 1, 2) і 8  (графіки 3,4) при різних часових кроках: 1) 30 діб, 2) 2,5роки, 3) 30 діб, 4) 2,5роки Рис. 5. Порівняльні розподіли концен- трацій 1( )c x від глибини шару ґрунту x для щільного піску 0, 4  (графіки 1, 2) і пухкого 0,8  (графіки 3,4) при різних часових кроках: 1) 30 діб, 2) 2,5 роки, 3) 30 діб, 4) 2,5 роки Математичне та комп’ютерне моделювання 170 Рис. 6. Розподіл концентрацій 1( )c x та 2 ( )c x протягом часу Т Рис. 7. Порівняльні розподіли концентрацій 1( )c x та 2 ( )c x протягом часу Т від глибини шару ґрунту x протягом 20 міс. з врахування дифузії радіонук- лідів у частинках радіусу R (графіки 1, 3) та без врахування (графіки 2, 4) Висновки. В результаті роботи cформульовано постановку та по- будовано математичну модель вертикальної міграції радіонуклідів з врахуванням нелінійного характеру коефіцієнта дифузії. Чисельний розв'язок знайдено методом скінченних різниць. Створено програмний Серія: Технічні науки. Випуск 12 171 продукт для реалізації поставленої крайової задачі та проведено чисе- льні експерименти. Аналіз отриманих результатів (графіки, таблиці) дозволив зробити ряд висновків. Зокрема помітно, що розподіл конце- нтрації сольових розчинів з часом при 1( , )k k x c є більш повільним і прогнозованим (рис. 2). Дана стабільність досягається за рахунок пос- тупового спадання та насичення в часі швидкості фільтрації (рис. 3) при нелінійній залежності коефіцієнта фільтрації. При збільшенні па- раметра дисперсії  сольовий розчин значно швидше розподіляється в шарі грунту (рис. 4). В пухкому піску (коефіцієнт пористості 0,8  ) концентрація сольових розчинів набагато інтенсивніше розподіляється по області фільтрації. Також стає очевидним вплив мікрочастинок на швидкість міграції радіонуклідів. Зокрема, як видно з рис. 7, при вра- хуванні дифузії радіонуклідів у колоїдах, процес фільтрації відбуваєть- ся швидше. Дану властивість можна використати для очищення родю- чого шару ґрунту і відновлення людської діяльності. Список використаних джерел: 1. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917-1967) / ред. В. Ентов, С. Нумеров, П. Полубаринова-Кочина, И. Чарный. — М. : Нау- ка, 1969. — 546 c. 2. Веригин Н. Н. Диффузия и массообмен при фильтрации жидкостей В пористых средах / Н. Н. Веригин, Б. С. Шержуков // Развитие исследова- ний по теории фильтрации в СССР (1917-1967). — 1969. — C. 237–313. 3. Сергиенко И. В. Математическое моделирование и исследование процес- сов в неоднородных средах / И. В. Сергиенко, В. В. Скопецкий, В. С. Дейнека. — К. : Наукова думка, 1991. — 432 c. 4. Ляшко С.И. Оптимизация и математическое моделирование массопере- носа подземных вод / С. И. Ляшко. — К. : Наук. думка, 1998. — 256 c. 5. Власюк А. П. Експериментальні дослідження деяких параметрів фільтра- ції сольових розчинів у піщаних ґрунтах / А. П. Власюк, М. Кузло // Ме- ліорація та водне господарство : міжвідомчий тематич. наук. зб. — 2000. — Вип. 87. — C. 43–46. 6. Прохоров В.М. Миграция радиоактивных загрязнений в почвах / В. М. Прохоров ; ред. Р. М. Алексахин. — Энергоиздат, 1981. — 99 c. 7. Бурак Я. Й. Вихідні положення математичної моделі гетеродифузного переносу радіонуклідів у приповерхневих шарах Землі / Я. Й. Бурак, Є. Я. Чапля // Доп. НАН України. — 1993. — Т. 10. — C. 59–63. 8. Власюк А. П. Числове моделювання міграції радіонуклідів при горизон- тальній фільтрації підземних вод / А. П. Власюк, О. П. Остапчук // Тез. доп. Міжнародної школи-семінару «Прогнозування та прийняття рішень в умовах невизначеності». — 2006. — C. 180–181. 9. Bossew P. Modelling the vertical distribution of radionuclides in soil. Part 1: the convection–dispersion equation revisited / P. Bossew, G. Kirchner // Jour- nal of Environmental Radioactivity. — 2004. — Vol. 73, №2. — Р. 127–150. Математичне та комп’ютерне моделювання 172 10. Recommendations for the characterization of porous solids (Technical Report) / J. Rouquerol, D. Avnir, C.W. Fairbridge [and other] // Pure and Applied Chemistry. — 1994. — Vol.66, №8. 11. Natarajan N. Radionuclide and colloid co-transport in a coupled fracture-skin- matrix system / N. Natarajan, G. Suresh Kumar // Colloids and Surfaces A: Phys- icochemical and Engineering Aspects. — 2010. — Vol. 370, №1-3. — P. 49–57. 12. Modeling Colloid Attachment, Straining, and Exclusion in Saturated Porous Media / S. A. Bradford, J. Simunek, M. Bettahar [and other] // Environmental Science & Technology. — 2003. — Vol. 37, № 10. — P. 2242–2250. 13. Cheng T. Colloid-Facilitated Transport of Cesium in Vadose-Zone Sediments: The Importance of Flow Transients / T. Cheng, J. E. Saiers // Environmental Science & Technology. — 2010. — Vol. 44, №19. — P. 7443–7449. 14. Клименко О. Машина для внесення меліорантів в рідкому стані / О. Кли- менко // Вісник Рівненського державного технічного університету : збір- ник наукових праць. — 2000. — Вип. 1 (3). — C. 161–166. 15. Ruckenstein E. Sorption by solids with bidisperse pore structures / E. Rucken- stein, A. Vaidyanathan, G. Youngquist // Chemical Engineering Science. — 1971. — Vol. 26, №9. — P. 1305–1318. 16. Conner W. C. Fluid transport in nanoporous materials / W. C. Conner, J. P. Fraissard. — Dordrecht, the Netherlands: Springer in cooperation with NATO Public Diplomacy Division, 2006. — 1 online resource (xii, 685. 17. Петрик М. Математичне моделювання адсорбційного нелінійного масо- переносу в каталітичних пористих середовищах / М. Петрик, Д.М. Миха- лик // Вісник ТДТУ ім. І. Пулюя. — 2009. — Т. 4. — C. 193–198. 18. Самарский А. А. Теория разностных схем : учеб. пособие для вузов по спец. «Прикл. математика» / А. А. Самарский. — М. : Наука, 1989. — 616 c. 19. Демидович Б. П. Численные методы анализа / Б. П. Демидович, И. A. Марон, Э. З. Шувалова. — М. : Наука, 1967. — 368 c. 20. Gamma E. Design patterns / E. Gamma. — Reading, Mass : Addison-Wesley, 1995. — 395 р. In the article was formulated the statement and carried out the mathe- matical modelling of radionuclides vertical migration process in catalytic porous media in nonlinearly mode. There is obtained the numerical solu- tion of respective one-dimensional boundary value problem by the method of finite differences. Using created software a series was conducted of nu- merical experiments and their analysis. Key words: mass transfer, refinement, microporous particles, colloid, catalytic porous media, method of finite differences, radionuclide migra- tion. Отримано: 20.03.2015 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Математичне моделювання вертикальної міграції радіонуклідів в каталітичному пористому середовищі у нелінійному випадку

Institution

Ähnliche Einträge