Порівнювальна експериментальна оцінка ефективності числової реалізації математичних моделей об’єктів із розподіленими параметрами методом опорних перерізів

Шляхом обчислювальних експериментів досліджується ефективність числової реалізації математичних моделей методом опорних перерізів у порівнянні з традиційним широковживаним методом скінчених різниць. Отримані показники затрат процесорного часу при використанні різних методів знаходження розв’язків. С...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
Hauptverfasser:	Верлань, А.Ф., Махович, О.І.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Schriftenreihe:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/133749
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Порівнювальна експериментальна оцінка ефективності числової реалізації математичних моделей об’єктів із розподіленими параметрами методом опорних перерізів / А.Ф. Верлань, О.І. Махович // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 14. — С. 17-26. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-133749
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1337492025-02-23T18:58:13Z Порівнювальна експериментальна оцінка ефективності числової реалізації математичних моделей об’єктів із розподіленими параметрами методом опорних перерізів Верлань, А.Ф. Махович, О.І. Шляхом обчислювальних експериментів досліджується ефективність числової реалізації математичних моделей методом опорних перерізів у порівнянні з традиційним широковживаним методом скінчених різниць. Отримані показники затрат процесорного часу при використанні різних методів знаходження розв’язків. Сформульовано рекомендації щодо ефективного використання методу опорних перерізів. The efficiency of numerical realization of mathematical models by the method of supporting cuts in comparison to the widely used traditional method of complete differences is being probed in calculable experiments. The time indexes of the processing of the use of different methods of finding of decisions are being analyzed and the recommendations to the effective use of the method of supporting cuts are formulated. 2016 Article Порівнювальна експериментальна оцінка ефективності числової реалізації математичних моделей об’єктів із розподіленими параметрами методом опорних перерізів / А.Ф. Верлань, О.І. Махович // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 14. — С. 17-26. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 2308-5916 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/133749 004.021 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Шляхом обчислювальних експериментів досліджується ефективність числової реалізації математичних моделей методом опорних перерізів у порівнянні з традиційним широковживаним методом скінчених різниць. Отримані показники затрат процесорного часу при використанні різних методів знаходження розв’язків. Сформульовано рекомендації щодо ефективного використання методу опорних перерізів.
format	Article
author	Верлань, А.Ф. Махович, О.І.
spellingShingle	Верлань, А.Ф. Махович, О.І. Порівнювальна експериментальна оцінка ефективності числової реалізації математичних моделей об’єктів із розподіленими параметрами методом опорних перерізів Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
author_facet	Верлань, А.Ф. Махович, О.І.
author_sort	Верлань, А.Ф.
title	Порівнювальна експериментальна оцінка ефективності числової реалізації математичних моделей об’єктів із розподіленими параметрами методом опорних перерізів
title_short	Порівнювальна експериментальна оцінка ефективності числової реалізації математичних моделей об’єктів із розподіленими параметрами методом опорних перерізів
title_full	Порівнювальна експериментальна оцінка ефективності числової реалізації математичних моделей об’єктів із розподіленими параметрами методом опорних перерізів
title_fullStr	Порівнювальна експериментальна оцінка ефективності числової реалізації математичних моделей об’єктів із розподіленими параметрами методом опорних перерізів
title_full_unstemmed	Порівнювальна експериментальна оцінка ефективності числової реалізації математичних моделей об’єктів із розподіленими параметрами методом опорних перерізів
title_sort	порівнювальна експериментальна оцінка ефективності числової реалізації математичних моделей об’єктів із розподіленими параметрами методом опорних перерізів
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2016
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/133749
citation_txt	Порівнювальна експериментальна оцінка ефективності числової реалізації математичних моделей об’єктів із розподіленими параметрами методом опорних перерізів / А.Ф. Верлань, О.І. Махович // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 14. — С. 17-26. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
work_keys_str_mv	AT verlanʹaf porívnûvalʹnaeksperimentalʹnaocínkaefektivnostíčislovoírealízacíímatematičnihmodelejobêktívízrozpodílenimiparametramimetodomopornihpererízív AT mahovičoí porívnûvalʹnaeksperimentalʹnaocínkaefektivnostíčislovoírealízacíímatematičnihmodelejobêktívízrozpodílenimiparametramimetodomopornihpererízív
first_indexed	2025-11-24T12:38:00Z
last_indexed	2025-11-24T12:38:00Z
_version_	1849675356083060736
fulltext	Серія: Технічні науки. Випуск 14 17 21. Ортега Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравне- ний со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболдт. — М. : Мир, 1975. — 558 с. На основі числових методів комплексного аналізу запропоновано підхід до розв’язання градієнтних задач ідентифікації параметрів кус- ково-однорідних середовищ за даними томографії прикладених квазі- потенціалів. Ключові слова: томографія прикладених квазіпотенціалів, квазі- конформні відображення, ідентифікація, нелінійні задачі. Отримано: 22.09.2016 УДК 004.021 А. Ф. Верлань, д-р техн. наук, професор, О. І. Махович, канд. техн. наук Інститут проблем моделювання в енергетиці імені Г.Є. Пухова НАН України, м. Київ, ** Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський ПОРІВНЮВАЛЬНА ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНА ОЦІНКА ЕФЕКТИВНОСТІ ЧИСЛОВОЇ РЕАЛІЗАЦІЇ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ОБ’ЄКТІВ ІЗ РОЗПОДІЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ МЕТОДОМ ОПОРНИХ ПЕРЕРІЗІВ Шляхом обчислювальних експериментів досліджується ефективність числової реалізації математичних моделей мето- дом опорних перерізів у порівнянні з традиційним широко- вживаним методом скінчених різниць. Отримані показники за- трат процесорного часу при використанні різних методів зна- ходження розв’язків. Сформульовано рекомендації щодо ефе- ктивного використання методу опорних перерізів. Ключові слова: ефективність числової реалізації, затрати процесорного часу, різницева схема, метод скінчених різниць. Вступ. Існуючі методи і засоби, що використовуються для розв’язування задач моделювання об’єктів з розподіленими пара- метрами, ґрунтуються в переважній більшості на використанні мо- делей у вигляді диференціальних рівнянь з частинними похідни- ми [1, 2]. Цей підхід дозволяє забезпечити високий рівень адекват- ності та ефективне застосування за відсутності специфічних часо- © А. Ф. Верлань, О. І. Махович, 2016 Математичне та комп’ютерне моделювання 18 вих і ресурсних вимог. У задачах моделювання процесів оператив- ної обробки інформації в технічних системах, зокрема обробки ви- мірювальних даних чи сигналів керування, присутні суттєві особ- ливості, такі як функціонування систем в реальному часі, наявність зворотних зв’язків, необхідність розробки або вибору спеціалізова- них обчислювальних алгоритмів для створення вбудованих про- грамних засобів тощо. При вирішенні оптимізаційних задач, коли потрібна висока швидкість отримання розв’язків, виникає необхід- ність у розробці універсальних і, в той же час, відносно простих методів числової реалізації моделей динаміки нестаціонарних теп- лових процесів. Основна частина. Для задач математичного і комп’ютерного моделювання динаміки об’єктів з розподіленими параметрами при наявності обмежених обчислювальних та часових ресурсів доцільне застосування методу опорних перерізів [3, 4] побудови спрощених математичних моделей динамічних об’єктів шляхом певних апрок- симаційних та еквівалентних перетворень базової моделі. Суть методу полягає у наступному: 1) розв’язок задачі апроксимується інтерполяційним поліномом Лаг- ранжа за опорними точками просторової змінної; 2) значення розв’язку на краях інтервалу визначення просторової змінної обчислюється за допомогою граничних умов; 3) значення розв’язку у внутрішніх опорних точках інтервалу обчис- люється за допомогою розв’язування системи звичайних дифере- нціальних рівнянь; 4) маючи розв’язки в опорних перерізах, можна за допомогою побу- дованого інтерполяційного полінома обчислити наближений розв’язок у довільній точці. Без обмеження загальності застосування розглянемо метод сто- совно широко розповсюджених ОРП теплотехнічного призначення, які описуються рівняннями із частинними похідними параболічного типу. Нехай температура T(x, t) на краях необмеженої пластини (рис. 1) примусово змінюється за законом  1 1 ( , )гр x F t T x t   , який задається функцією часу. Всередині пластини діє джерело тепла, по- тужність якого пропорційна f(t). У початковий момент задано розпо- діл температури по товщині   0 ( , )ПУ t F x T x t   . Необхідно знайти розподіл температури в пластині. У цьому випадку спрощена модель теплоперенесення описується рівнянням із частинними похідними параболічного типу: Серія: Технічні науки. Випуск 14 19 T(x,t) 0 x – x R R y Рис. 1. Схематичне зображення об’єкта моделювання       2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( ), 1 1 T x t T x t T x t a x b x q x f t x t xx            , (1) де         1 b x k x c x x       ,       1 q x c x x      ,  a x        1 k x c x x      — коефіцієнт температуропровідності, c(x) — питома теплоємність, ρ(x) — густина, k(x) — коефіцієнт теплопровід- ності, f(t) — внутрішнє джерело тепла, x — просторова координата, t — час. Розв’язок T(x, t) рівняння (1) представляємо як ряд       1 , n n n T x t V t Q x     , де  nQ x — відомі функції, які мають похі- дні відповідних порядків по x, а функції Vn(t) — визначаються. Інтер- поляційний поліном Лагранжа за трьома точками x0 = 0, x1 = 1/2, x2 = 1 має вигляд       0 0 , , , nn k n i i ki k k i x x T x t L x t T x t x x        , 4n  , 1 1x   , (2) тобто для розв’язку, що має властивість симетрії за просторовими змінними, маємо:             4 2 2 2 2 2 1 , 4 5 1 0, 16 1 1 1 , 4 1 , 3 2 3 гр T x t x x T t x x T t x x F t             (3) де   4 2 0 4 5 1Q x x x   ,    2 2 1 16 1 3 Q x x x  та    2 2 2 1 4 1 3 Q x x x  — відомі функції, а    0 0,V t T t та  1 1 , 2 V t T t       — невідомі функ- Математичне та комп’ютерне моделювання 20 ції, які потрібно визначити. У якості функції      2 0, 1грV t T t F t  виступає гранична умова. Таким чином, розв’язки задачі у двох опорних перерізах T(0, t) та T(0.5, t) дозволяють за виразом (3) знаходити розв’язки у довіль- них точках. Для цього апроксимуємо частинні похідні рівняння (1) за прос- торовою змінною. Продиференціювавши (3) за змінною x, отримуємо вираз для частинної похідної першого порядку             2 2 2 1 , 2 8 5 0, 32 1 2 2 1 , 8 1 , 3 2 3 гр T x t x x T t x x x T t x x F t              (4) звідки отримуємо         2 2 2 2 2 1 , 48 10 0, 32 1 2 64 , 16 . 3 2 3 гр T x t x T t x x T t x F t                          (5) Підставивши в (1) отримані вирази, маємо:                         2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 , 48 10 0, 64 32 3 1 2, 16 2 3 ,гр T x t x w x w x T t t x w x w x T t x w x w x F t q x f t                  (6) де      1 1 3w x a x xb x  ,      2w x a x xb x  . Вважаючи в (6) послідовно x = 0 та x = 1/2, отримаємо систему двох звичайних диференціальних рівнянь першого порядку для ви- значення T(0, t) та T(1/2, t):                                          1 0, 10 0 0, 32 3 0 1 2, 2 3 0 0 ; 1 2, 2 1 2 3 1 2 0, 8 3 2 1 2 1 2 1 2, 1 3 10 1 2 1 2 1 2 , 1гр гр dT t a T t a T t dt a F t q f t dT t a b T t a b T t dt a b F t q f t                             (7) Серія: Технічні науки. Випуск 14 21 де початкові значення FПУ (0) та FПУ (1/2) відомі. Розв’язання системи (7), згідно з виразом (3), дає можливість обчислення наближених зна- чень функції T(x, t) в довільній точці x. Отже, на основі базової моделі (1) отримано спрощену модель у формі задачі Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь (7). Розв’язок задачі в довільній точці обчислюється за допомогою виразу (3). Для низки обчислювальних експериментів з розв’язання задачі (1) при кроці дискретизації τ =10–4 c за часовою змінною значення відносної похибки не перевищувало δ ≤ 0,01. З метою дослідження ефективності числової реалізації матема- тичних моделей методом опорних перерізів у порівнянні з традицій- ним широковживаним методом скінченних різниць було проведено ряд обчислювальних експериментів. Для цього розв’язувалася розг- лянута задача моделювання нестаціонарного теплового процесу у необмеженій пластинці з відомим аналітичним розв’язком. Процес розв’язування розглянемо на модельному прикладі розв’язування конкретної задачі, для якої:    2 2 0 2 22 b a a x a x a   , 2 0 2 0a a x  , 2 00 a a  , 2 0b  , (8)    0, 1b x q x  ,   1 1 b tf t b e , (9)    1 2 0 21гр1 b t b tF t e a a e     , (10)   2 0 2ПУF x a a x  . (11) Задача (1), (8)–(11) має точний аналітичний розв’язок    1 22 0 2, 1 b t b tT x t e a a x e     . (12) Задача розв’язувалась різницевими методами (явна умовно стій- ка чотириточкова схема та неявна абсолютно стійка шеститочкова схема Кранка-Ніколсона) та методом опорних перерізів при наступ- них значеннях коефіцієнтів: 0 500a  , 2 0,5a  , 1 0,1b  , 2 0,5b  . Вибрані різницеві схеми мають певні особливості. Явна чотири- точкова схема у порівнянні з неявною є більш простою і вимагає ме- ншої кількості операцій для підрахунку значень наближеного розв’язку на одному часовому шарі. Проте умова стійкості 2 2 h a   (де τ і h — крок сітки за часовою і просторовою координатами відповід- но, a — коефіцієнт температуропровідності) накладає суттєве обме- ження на вибір кроку за часом. Наприклад, якщо взяти 0,01h  , то для забезпечення стійкості при 250a  потрібно, щоб крок τ не пере- вищував значення 2 710 2 10 500    . А кількість вузлів сітки, в яких об- Математичне та комп’ютерне моделювання 22 числюється розв’язок задачі для проміжку часу 1 с із вказаним кро- ком, дорівнює 910 . Таку ж саму кількість операцій потрібно виконати для розв’язування задачі. Об’єм пам’яті, необхідний для зберігання значень цих змінних, становить 7,5 Гб. Із збільшенням величини часового проміжку кількість операцій та об’єм необхідної пам’яті зростають пропорційно. Неявна шеститочкова різницева схема Кранка-Ніколсона, хоч і ви- магає більшої кількості операцій для підрахунку значень наближеного розв’язку на одному часовому шарі (СЛАР порядку 2 1 h  ), проте є абсо- лютно стійкою. Це дає можливість використовувати її з довільними кро- ками h і τ. Крім того, вона має підвищену точність  2 2O h  . Особливістю методу опорних перерізів є низька чутливість до збі- льшення числа точок за просторовою змінною, оскільки значення у цих точках обчислюються за допомогою інтерполяційного полінома. Основ- не обчислювальне навантаження лягає на розв’язання системи двох зви- чайних диференціальних рівнянь за часовою змінною, розв’язки якої виступають в якості коефіцієнтів інтерполяційного полінома. Результати проведених експериментів представлені в таблиці 1. Таблиця 1 Затрати процесорного часу при використанні різних методів знаходження розв’язків № е к сп ер и м ен ту Крок h дис- кретизації просторової змінної x  [–1; 1] Крок τ дис- кретизації часової змін- ної t Кількість вузлів Час розрахунку, с Різницеві схеми Метод опорних перерізівЯвна Неявна 1 h = 0,1 τ = 10–2, t  [0; 1] 2·103 — 0,01 0,02 2 τ = 10–3, t  [0; 1] 2·104 — 0,07 0,07 3 τ = 10–4, t  [0; 1] 2·105 — 0,67 0,58 4 τ = 2·10–5, t  [0; 1] 106 0,46 3,29 2,72 5 τ = 10–5, t  [0; 1] 2·106 0,88 6,7 5,56 6 τ = 10–6, t  [0; 1] 2·107 9,06 65,57 55,13 Серія: Технічні науки. Випуск 14 23 Продовження таблиці 1 7 h = 0,01 τ = 10–2, t  [0; 1] 2·104 — 0,12 0,03 8 h = 0,005 4·104 — 0,51 0,03 9 h = 0,002 1·105 — 5,30 0,05 10 h = 0,001 2·105 — 37,39 0,07 11 h = 0,001 τ = 10–3, t  [0; 1] 2·106 — 381,40 0,52 12 h = 0,01 τ = 10–2, t  [0; 10] 2·105 — 1,02 0,13 13 h = 0,001 τ = 10–3, t  [0; 10] 2·107 — — 5,45 В експериментах, для яких встановлено фіксований крок дискре- тизації просторової змінної h = 0,1,  1;1x  та змінний крок дискре- тизації часової змінної  2 3 4 5 5 610 ,10 ,10 , 2 10 ,10 ,10        ,  0,1t , проводились обчислення та фіксувався затрачений процесо- рний час для кожного з методів. Оскільки стійкість явної різницевої схеми не забезпечувалась для деяких значень кроків дискретизації, то затрачений час для цього методу у цих випадках не фіксувався. Ре- зультати наведені на рис. 2. 0,01 0,07 0,67 3,29 6,7 65,57 0,02 0,07 0,58 2,72 5,56 55,13 0,46 0,88 9,06 2,0E+03 2,0E+04 2,0E+05 1,0E+06 2,0E+06 2,0E+07 Кількість вузлів решітки Затрати процесорного часу, с при h = 0,1 Неявна різницева схема Метод опорних перерізів Явна різницева схема Рис. 2. Затрати процесорного часу для випадку фіксованого кроку дискретизації просторової змінної та змінного для часової змінної Як видно із діаграми, обчислення за явною різницевою схемою хоч і показали кращу швидкодію, проте у половині випадків вони взагалі не могли бути проведені, оскільки порушувалась умова стій- кості. З цієї причини даний метод для диференціальних рівнянь із частинними похідними параболічного типу застосовується рідко. Математичне та комп’ютерне моделювання 24 Якщо порівнювати затрачений процесорний час для розв’язування задачі за неявною різницевою схемою і апроксимаційним методом опор- них перерізів, то, як видно із діаграми, для мінімального кроку дискрети- зації просторової змінної h = 0,1 апроксимаційний метод лише в одному випадку показав меншу швидкодію і ще в одному випадку було отрима- но однаковий результат. Проте в решті випадків отримано перевагу (≈17%) на користь методу опорних перерізів. В наступній частині експериментів навпаки крок τ за часовою змін- ною  0,1t фіксувався і становив τ = 10–2. Піддавався зміні крок h за просторовою змінною  1;1x  :  2 3 3 310 ,5 10 , 2 10 ,10h       . При цьому також фіксувався затрачений процесорний час, необхідний для розв’язання задачі на вказаних сітках. Результати експерименту показані на рис. 3. 0,12 0,51 5,3 37,39 0,03 0,03 0,05 0,07 2,0E+04 4,0E+04 1,0E+05 2,0E+05 Кількість вузлів решітки Затрати процесорного часу, с при τ = 0,01 Неявна різницева схема Метод опорних перерізів Рис. 3. Затрати процесорного часу для випадку фіксованого кроку дискретизації часової змінної та змінного для просторової змінної З діаграми видно, що у всіх випадках апроксимаційний метод показав значну перевагу за часом числової реалізації математичної моделі перед різницевою схемою. Це пояснюється особливістю мето- ду опорних перерізів, яка полягає в тому, що обчислення за просто- ровими змінними здійснюється за інтерполяційним поліномом. Окремо проводився обчислювальний експеримент із параметра- ми 310  і h = 10–3. У цьому випадку отримали результат 381,40 с і 0,52 с для різницевої схеми і методу опорних перерізів відповідно, який показує перевагу по затратам процесорного часу апроксимацій- ного методу для великої кількості точок за просторовою змінною. Серія: Технічні науки. Випуск 14 25 В експериментах, де досліджувались затрати процесорного часу для збільшеного часового проміжку  0,10t с, крок дискретизації для просторової та часової змінної обирався однаковим: 210  і 210h  , та 310  і 310h  . Результати експериментів представ- лені на рис. 4. 1,02 3800 0,13 5,45 2,0E+05 2,0E+07 Кількість вузлів решітки Затрати процесорного часу, с при t = 10 c Неявна різницева схема Метод опорних перерізів Рис. 4. Затрати процесорного часу у випадку збільшеного часового проміжку Висновок. Результати експериментів показали, що застосування апроксимаційного методу опорних перерізів при числовій реалізації ма- тематичних моделей об’єктів із розподіленими параметрами, які опису- ються рівняннями із частинними похідними параболічного типу, дає змогу в декілька разів зменшити машинний час для знаходження розв’язків. Запропонований метод має найвищу ефективність у випад- ках, коли число вузлів за просторовою змінною (у яких шукається розв’язок задачі) рівне або більше за число вузлів за часовою змінною. Список використаних джерел: 1. Самарский А. А. Вычислительная теплопередача / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. — М. : Едиториал УРСС, 2003. — 784 с. 2. Бутковский А. Г. Характеристики систем с распределенными параметра- ми : справочное пособие / А. Г. Бутковский. — М. : Наука, 1979. — 224 с. 3. Верлань А. А. Аппроксимационные модели нестационарных тепловых процессов в неограниченной пластине с несимметричными граничными условиями / А. А. Верлань, А. И. Махович // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія : Фізико-математичні науки : зб. наук. праць / Ін-т кі- бернетики ім. В. М. Глушкова НАН України, Кам’янець-Подільський нац. ун-т ім. Івана Огієнка ; [редкол. : Ю. Г. Кривонос (відп. ред.) та ін.]. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський нац. ун-т імені Івана Огі- єнка, 2014. — Вип. 10. — С. 42–54. Математичне та комп’ютерне моделювання 26 4. Федорчук В. А. Дослідження динаміки нестаціонарних теплових процесів із симетричними граничними умовами методом перерізів / В. А. Федорчук, О. І. Махович // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія : технічні науки : зб. наук. праць / Ін-т кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України, Кам’янець-Подільський нац. ун-т ім. Івана Огієнка ; [редкол. : Ю. Г. Криво- нос (відп. ред.) та ін.]. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський нац. ун-т ім. Івана Огієнка, 2014. — Вип. 10. — С. 182–191. The efficiency of numerical realization of mathematical models by the method of supporting cuts in comparison to the widely used traditional method of complete differences is being probed in calculable experiments. The time indexes of the processing of the use of different methods of find- ing of decisions are being analyzed and the recommendations to the effec- tive use of the method of supporting cuts are formulated. Key words: efficiency of numerical realization, time of processing, dif- ference scheme, finite difference method. Отримано: 16.09.2016 UDС 004.942, 681.518 A. A. Verlan, Ph. D., Associate Professor Norwegian University of Science and Technology, Gjovik, Norway AN APPROACH TO THE PRECISION PARAMETRIC REDUCTION OF MATHEMATICAL MODELS The paper considers and analyzes an approach to simplification of mathematical models in order to substantiate possibility of ac- counting for limited computational resources needed to implement the models. Practical methods are proposed for application and evaluation of possible techniques of models’ parametric reduction for considered problem with obtainment of applicability criterion of the given approach. Key words: parametric reduction, evaluation of approxima- tions, criterion of applicability. Introduction. The more complex the objects and phenomena being studied are, the higher is computational complexity of the models used. Degree of complexity of mathematical descriptions of dynamics of the objects in question goes hand in hand with requirements for computational resources needed to run the models. Basic approach to assurance of ac- counting for limitation of these resources consists in use of simpler mathematical models instead of complex ones, yet preserving informative value of the results of modeling, i.e., in certain sense preserving adequacy © A. A. Verlan, 2016 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <FEFF004200720075006700200069006e0064007300740069006c006c0069006e006700650072006e0065002000740069006c0020006100740020006f007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400650072002c0020006400650072002000650067006e006500720020007300690067002000740069006c00200064006500740061006c006a006500720065007400200073006b00e60072006d007600690073006e0069006e00670020006f00670020007500640073006b007200690076006e0069006e006700200061006600200066006f0072007200650074006e0069006e006700730064006f006b0075006d0065006e007400650072002e0020004400650020006f007000720065007400740065006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e0074006500720020006b0061006e002000e50062006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c006500720020004100630072006f006200610074002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00670020006e0079006500720065002e> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <FEFF30d330b830cd30b9658766f8306e8868793a304a3088307353705237306b90693057305f002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a3067306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f3092884c3044307e30593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <FEFF004e006100750064006f006b0069007400650020016100690075006f007300200070006100720061006d006500740072007500730020006e006f0072011700640061006d00690020006b0075007200740069002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b0075007200690065002000740069006e006b006100200070006100740069006b0069006d006100690020007000650072017e0069016b007201170074006900200069007200200073007000610075007300640069006e0074006900200076006500720073006c006f00200064006f006b0075006d0065006e007400750073002e0020002000530075006b0075007200740069002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400610069002000670061006c006900200062016b007400690020006100740069006400610072006f006d00690020004100630072006f006200610074002000690072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610072002000760117006c00650073006e0117006d00690073002000760065007200730069006a006f006d00690073002e> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Порівнювальна експериментальна оцінка ефективності числової реалізації математичних моделей об’єктів із розподіленими параметрами методом опорних перерізів

Institution

Ähnliche Einträge