Аналітичні методи аналізу математичної моделі згинальних коливань пружного тіла, вздовж якого рухається суцільний потік однорідного середовища

Отримано та досліджено асимптотичними методами нелінійної механіки математичну модель системи одномірне пружне тіло — суцільний потік однорідного середовища, що враховує нелінійні пружні властивості тіла і його згинальні коливання, а також щільність і швидкість середовища. Для дослідження моделі вик...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
1. Verfasser:	Пукач, П.Я.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Schriftenreihe:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/133869
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Аналітичні методи аналізу математичної моделі згинальних коливань пружного тіла, вздовж якого рухається суцільний потік однорідного середовища / П.Я. Пукач // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2015. — Вип. 12. — С. 136-146. — Бібліогр.: 18 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-133869
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1338692025-02-10T00:23:28Z Аналітичні методи аналізу математичної моделі згинальних коливань пружного тіла, вздовж якого рухається суцільний потік однорідного середовища Пукач, П.Я. Отримано та досліджено асимптотичними методами нелінійної механіки математичну модель системи одномірне пружне тіло — суцільний потік однорідного середовища, що враховує нелінійні пружні властивості тіла і його згинальні коливання, а також щільність і швидкість середовища. Для дослідження моделі використана хвильова теорія руху. Отримані закономірності зміни основних параметрів, що визначають динаміку пружного тіла — амплітуду і частоту нелінійних коливань. Ці закони визначаються геометричними характеристиками пружного тіла, фізичними і механічними властивостями матеріалу, швидкістю тіла, кутовою швидкістю обертання пружного тіла і зовнішніми факторами. A one-dimensional elastic body — continuous flow of a homogeneous environment mathematical model that takes into account the nonlinear elastic properties of the body and its bending oscillations, as well as the density and velocity of the medium is received. To study the motion of the model wave theory was used. The obtained laws of change of the basic parameters defining the dynamics of an elastic body — amplitude and frequency of its nonlinear oscillations. These laws are determined by geometrical characteristics of an elastic body, physical and mechanical properties of the material, velocity observed along it, the angular rotation velocity of an elastic body and external factors. 2015 Article Аналітичні методи аналізу математичної моделі згинальних коливань пружного тіла, вздовж якого рухається суцільний потік однорідного середовища / П.Я. Пукач // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2015. — Вип. 12. — С. 136-146. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 2308-5878 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/133869 534.1 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Отримано та досліджено асимптотичними методами нелінійної механіки математичну модель системи одномірне пружне тіло — суцільний потік однорідного середовища, що враховує нелінійні пружні властивості тіла і його згинальні коливання, а також щільність і швидкість середовища. Для дослідження моделі використана хвильова теорія руху. Отримані закономірності зміни основних параметрів, що визначають динаміку пружного тіла — амплітуду і частоту нелінійних коливань. Ці закони визначаються геометричними характеристиками пружного тіла, фізичними і механічними властивостями матеріалу, швидкістю тіла, кутовою швидкістю обертання пружного тіла і зовнішніми факторами.
format	Article
author	Пукач, П.Я.
spellingShingle	Пукач, П.Я. Аналітичні методи аналізу математичної моделі згинальних коливань пружного тіла, вздовж якого рухається суцільний потік однорідного середовища Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Пукач, П.Я.
author_sort	Пукач, П.Я.
title	Аналітичні методи аналізу математичної моделі згинальних коливань пружного тіла, вздовж якого рухається суцільний потік однорідного середовища
title_short	Аналітичні методи аналізу математичної моделі згинальних коливань пружного тіла, вздовж якого рухається суцільний потік однорідного середовища
title_full	Аналітичні методи аналізу математичної моделі згинальних коливань пружного тіла, вздовж якого рухається суцільний потік однорідного середовища
title_fullStr	Аналітичні методи аналізу математичної моделі згинальних коливань пружного тіла, вздовж якого рухається суцільний потік однорідного середовища
title_full_unstemmed	Аналітичні методи аналізу математичної моделі згинальних коливань пружного тіла, вздовж якого рухається суцільний потік однорідного середовища
title_sort	аналітичні методи аналізу математичної моделі згинальних коливань пружного тіла, вздовж якого рухається суцільний потік однорідного середовища
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2015
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/133869
citation_txt	Аналітичні методи аналізу математичної моделі згинальних коливань пружного тіла, вздовж якого рухається суцільний потік однорідного середовища / П.Я. Пукач // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2015. — Вип. 12. — С. 136-146. — Бібліогр.: 18 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT pukačpâ analítičnímetodianalízumatematičnoímodelízginalʹnihkolivanʹpružnogotílavzdovžâkogoruhaêtʹsâsucílʹniipotíkodnorídnogoseredoviŝa
first_indexed	2025-12-02T03:23:58Z
last_indexed	2025-12-02T03:23:58Z
_version_	1850365281965178880
fulltext	Математичне та комп’ютерне моделювання 136 УДК 534.1 П. Я. Пукач, д-р техн. наук Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів АНАЛІТИЧНІ МЕТОДИ АНАЛІЗУ МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ЗГИНАЛЬНИХ КОЛИВАНЬ ПРУЖНОГО ТІЛА, ВЗДОВЖ ЯКОГО РУХАЄТЬСЯ СУЦІЛЬНИЙ ПОТІК ОДНОРІДНОГО СЕРЕДОВИЩА Отримано та досліджено асимптотичними методами нелі- нійної механіки математичну модель системи одномірне пру- жне тіло — суцільний потік однорідного середовища, що вра- ховує нелінійні пружні властивості тіла і його згинальні коли- вання, а також щільність і швидкість середовища. Для дослі- дження моделі використана хвильова теорія руху. Отримані закономірності зміни основних параметрів, що визначають динаміку пружного тіла — амплітуду і частоту нелінійних ко- ливань. Ці закони визначаються геометричними характеристи- ками пружного тіла, фізичними і механічними властивостями матеріалу, швидкістю тіла, кутовою швидкістю обертання пружного тіла і зовнішніми факторами. Ключові слова: динамічна система, резонансні явища, математична модель, згинальні коливання. Вступ. Аналітичні методи дослідженні динамічних процесів у нелінійних системах з розподіленими параметрами. Актуальність проблеми. Перші результати дослідженнями нелінійних механічних систем з розподіленими параметрами на основі поєднання принципу одночастотності коливань та асимптотичних методів нелінійної ме- ханіки були викладені в роботі [1], де узагальнено одночастотний метод на квазілінійні диференціальні рівняння з частинними похід- ними. За допомогою рівнянь такого типу, що описують поздовжні та згинальні коливальні процеси одновимірних систем з розподіленими параметрами (стержнів, валів, балок тощо) при близькому до лінійно- го закону пружності, вдалось розв’язати цілу низку важливих при- кладних задач. У праці [2] дано строге обґрунтування застосуванню асимптотичних методів нелінійної механіки для дослідження неста- ціонарних динамічних процесів у нелінійних механічних системах з розподіленими параметрами, викладено методи дослідження вказа- них систем, які грунтуються на розвитку одночастотного і багаточас- тотних методів нелінійної механіки. У роботі [3] запропоновано ме- тодику дослідження динамічних процесів у системах з розподіленими параметрами для сильно нелінійних гіперболічних рівнянь, які опи- © П. Я. Пукач, 2015 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 12 137 сують коливальні процеси, на основі методу збурень. В [4] за допо- могою асимптотичних методів досліджено нестаціонарні коливання роторів турбомашин при переході через критичне число обертів, поз- довжні та поперечні коливання нелінійно пружних стержнів, коли- вання стержнів під дією осьового та поперечного навантаження тощо. Характерною особливістю практично усіх класів диференціальних рівнянь з частинними похідними, які описують коливальні процеси у системах із розподіленими параметрами, є неможливість застосуван- ня методу відокремлення змінних до дослідження їх незбурених ана- логів (лінійних моделей). Перші дослідження в цьому напрямку були присвячені вивченню впливу зосередженого рухомого елемента на коливання конструкції типу балки [5]. Вивчення динамічних явищ у механічних системах із зосередженими рухомими навантаженнями проведено в [6]. Задача про згин гнучкого трубопроводу, заповненого рухомою рідиною, була поставлена в праці [7], причому встановлено, що при певних швидкостях руху рідини прямолінійна форма стає нестійкою. У подальших дослідженнях таку задачу знову розглядали для випадку труби, що викликано згинальними коливаннями назем- них ліній великих нафтопроводів. У [8] будуються точні розв’язки лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними, які опи- сують коливання механічних систем, що перебувають під дією рів- номірно розподілених рухомих навантажень; показано, що коливання таких систем можна розглядати як результат накладання динамічних процесів. Дослідження динамічних процесів у різноманітних середо- вищах та системах на базі хвильової теорії руху набули в останні де- сятиліття широкого розмаху [9–12]. Основні ідеї хвильової теорії ши- роко використовуються у таких прикладних задачах, де не завжди вдається застосувати класичні методи Фур’є чи Даламбера інтегру- вання рівнянь з частинними похідними. Це стосується в першу чергу задач, які описують динамічні процеси поздовжньо-рухомих сере- довищ: поздовжні та згинальні коливання ремінних, канатних чи ла- нцюгових передач, трубопроводів, по яких переміщається рідина, шнекових машин, вздовж котрих рухається в’язке або сипке середо- вище; в певній мірі процес вібросепарації та ін. Адже, як показано в [13; 14], поздовжня складова швидкості руху середовища впливає не тільки на кількісні характеристики наведених вище систем, але може суттєво вплинути також на якісну сторону процесу — привести до зриву коливань чи їх стійкості тощо. У [15; 16] розроблено методику дослідження деяких класів наведеного типу систем, а саме пружних тіл, які обертаються навколо нерухомої осі зі сталою кутовою швид- кістю (колони для буріння свердловин, шнекові машини тощо) та вздовж яких рухається середовище. Математичне та комп’ютерне моделювання 138 Асимптотичний метод дослідження нелінійних моделей систем з розподіленими параметрами розроблений відносно повно тільки для так званих квазілінійних їх аналогів обмеженої довжини. Що стосу- ється пружних тіл, вздовж яких рухається суцільний потік однорідно- го середовища (СПОС), то вони залишаються мало дослідженими в першу чергу через відсутність апарату аналізу навіть лінійних їх ма- тематичних моделей. Однак їх широке застосування у різних галузях народного господарства та техніки стало причиною того, що в остан- ні десятиліття набули розвитку різні підходи (чисельні та аналітичні) до дослідження лінійних та нелінійних моделей вказаних систем. Для часткового вирішення зазначеної проблеми у роботі пропонується підхід, основна ідея якого полягає у наступному: кількість відносного руху середовища є малою величиною у порівнянні із кількістю руху пружного тіла при його згинальних коливаннях; швидкість відносно- го руху потоку суцільного середовища вздовж пружного тіла зміню- ється повільно. Математична модель згинальних коливань пружного тіла, вздовж якого рухається СПОС. Для отримання диференціального рівняння, яке описує коливальний процес нелінійно пружного тіла, вздовж якого рухається СПОС, будемо вважати, що: а) площа поперечного перерізу пружного тіла, маса його одиниці довжини та жорсткість є незмінними величинами; б) пружні властивості матеріалу тіла задовольняють близькому до лінійного закону пружності; в) вздовж пружного тіла рухається зі сталою швидкістю суцільне середовище «нульової згинальної жорсткості»; г) нормальні перерізи пружного тіла знаходяться завжди перпенди- кулярно до його нейтральної осі, тобто депланація поперечного перерізу відсутня; д) відхилення окремих точок тіла відбуваються у напрямку перпен- дикулярному до середньої його лінії, тобто переміщенням точок паралельно до нейтральної осі нехтуємо; е) відхилення точок осі пружного тіла довільного нормального пере- різу відбуваються в одній площинні («в площині коливань»). За вказаних припущень відхилення точок осі пружного тіла при поперечних його коливаннях однозначно визначаються однією функ- цією двох змінних — координати x та часу t . Вважатимемо, що  ,u u x t — відхилення нейтральної осі тіла з координатою x в до- вільний момент часу, а розподіл сил, які діють на умовно виділений елемент деформованого тіла довжиною dx вказані на рис. 1. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 12 139 Рис. 1. Розподіл сил, які діють на умовно виділений елемент пружного тіла Позначимо: m — маса одиниці довжини пружного тіла; 1m — маса одиниці довжини умовної матеріальної лінії СПОС, яке рухається вздовж тіла; E — модуль пружності матеріалу тіла; I — момент іне- рції поперечного перерізу тіла відносно осі, яка співпадає із нейтраль- ною віссю у недеформованому положенні (вказана вісь є перпендику- лярною до площини коливань); M — згинальний момент перерізу із координатою x ; M М dx x    — згинальний момент перерізу із коор- динатою x dx ; Q — перерізуюче зусилля у перерізі із координатою x ; Q Q dx x    — перерізуюче зусилля у перерізі к координатою x dx ; 1 — кут нахилу, який утворює із віссю Ox дотична до нейтра- льної лінії нормального перерізу із координатою x ; 2 — кут нахилу, який утворює із віссю Ox дотична до нейтральної лінії нормального перерізу із координатою x dx ;  ,dq q x t dx — складова рівнодій- ної зовнішніх сил у площині Oxz (площина коливань), які діють на умовно виділений елемент тіла, а  ,q x t їх інтенсивність. Тоді проекція пришвидшення центру виділеного елементу на вісь Oz дорівнює 2 2z d u a dt  . Приймаючи до уваги, що для малих коливань розглядуваного елементу тіла u x   і 2 будуть також малими величина- ми, вони зв’язані співвідношенням x u   1sin , 2 2 2 sin u u dx x x        . Математичне та комп’ютерне моделювання 140 До того ж, ураховуючи зв’язок між перерізуючою силою Q та згиналь- ним моментом M у вигляді dM Q dx  , рівняння «динамічної рівноваги» виділеного елементу пружного тіла вздовж котрого рухається суцільний потік однорідного середовища набуває вигляду  1 2sin sin , 0in Q N dq dx N q x t dx x          . (1) Сили інерції indq у проекції на вісь Oz визначаються співвідно- шенням    2 2 1 2 2 , , in d u x t u x t dq m dx m dx dt t     . (2) У виразі (2) символ 2 2 d dt означає повну похідну за часом відпо- відної функції. Нехай пружні властивості матеріалу тіла задовольня- ють нелінійному технічному закону пружності [17]  3 1 1E    , де   1 ,u x t x     — відносне видовження тіла, а параметр  характе- ризує відхилення його пружних властивостей від лінійного закону. Тут і нижче будемо вважати його малим у порівнянні із модулем пружності E . Приймаючи до уваги, що      , , , , du x t u x t u x t dx dt t x dt                22 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , , , 2 , d u x t u x t u x t u x t u x tdx dx d x dt t x dt xdt t x dt                для випадку сталої швидкості руху суцільного середовища вздовж пружного тіла ( dx V const dt   ) рівняння (1) набуває вигляду             2 2 2 2 1 1 12 2 32 2 2 2 , , , 2 ( ) , , ( , , ), u x t u x t u x t m m m V N m V t xt x u x t u x t EI q u x t x x x x                                        де EI — жорсткість на згин пружного тіла. Отримане вище дифере- нціальне рівняння подамо у вигляді Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 12 141   2 2 2 4 2 12 2 4 1 1 32 2 1 2 2 1 1 1 2 ( , , ). u u u EI u V N m V m m x t m mt x x mEI u q u x t m m m mx x                               Знайти аналітичний розв’язок навіть відповідної лінійної моделі (без урахування правої частини) наведеного вище рівняння відомими класичними методами не вдається. Тому нижче досліджуватимемо динамічний процес системи пружне тіло — СПОС за малої швидкості руху останнього. Це дозволяє запропоновану модель динамічного процесу представити у загальному вигляді 2 2 4 2 3 4 2 2 2 2 4 2 3 4 , , , , , u u u u u u u F u tt x x x x x                          , (3) де 2 3 4 2 3 4 , , , , , , u u u u F u t x x x               — аналітична 2 -періодична за t  функція; 2 2 1 1 , N m V m m     2 3 4 2 3 4 32 2 2 1 1 2 2 1 1 1 , , , , , 2 ( , , ). u u u u F u t x x x m mEI u u V q u x t m m m m x t m mx x                                Для рівняння (3) будемо розглядати крайові умови, які відпові- дають шарнірному закріпленню кінців пружного тіла, тобто       2 2 2 2 0, ( , ) 0, 0, , 0 u u u t u l t t l t x x         . (4) Використання хвильової теорії руху у дослідженні коливань пружного тіла, вздовж якого рухається СПОС. Таким чином, дос- лідження коливань механічної системи звелось до побудови та аналі- зу розв’язку рівняння (3) за крайових умов (4). Доведемо, що динамі- чний процес для вказаної системи можна трактувати як накладання двох хвиль однакової довжини, тобто      1 2, cos cos ,u x t C x t C x t           (5) де 1 2, , , ,C C    — сталі, зміст і вигляд котрих буде встановлено нижче. Представлення розв'язку рівняння (3) у формі (5) буде задоволь- няти крайовим умовам (4), якщо хвильове число  та частота хви- льового процесу  зв'язані дисперсійним співвідношенням 2 2 2 2 4 0       . Математичне та комп’ютерне моделювання 142 Отримане дисперсійне співвідношення визначає частоту процесу як функцію хвильового числа у вигляді 2 4 2 2      . Для визначення сталих 1C і 2C , а також зв'язку між початковими фазами прямої і відби- тої хвиль, тобто параметрами  і  використаємо крайові умови на по- чатку пружного тіла, тобто   2 2 (0, ) 0, 0 u u t t x     . Враховуючи (5), от- римуємо тригонометричне рівняння    1 2cos cos 0C t C t        , яке буде правильним для довільного значення часу t якщо k    , та 1 2C C a   . Нижче вважатимемо, що   , а сталу a назива- тимемо амплітудним параметром. Аналогічним чином, задовольняючи крайові умови на іншому краю тіла   2 2 ( , ) , 0 u u l t l t x     , з врахуванням отриманого вище, маємо    cos cos 0l t l t           . Остан- ня співвідношення визначає хвильове число l   . Oтже, частота хви- льового процесу у незбуреній системі дорівнює 2 2 2k k l l          . Таким чином, одночастотний хвильовий процес крайової задачі, яка описується незбуреним рівнянням (3) можна представити залежністю   2 2 2 2 2 2 , cos cos . k k u x t a x t l l k k x t l l                                                (6) Для багаточастотного ж процесу незбуреної крайової задачі має місце суперпозиція одночастотних форм коливань, а, отже, вказаний процес можна описати у вигляді   4 2 4 2 , cos cos . k k k k k k u x t a x t l l k k x t l l                                        (7) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 12 143 У співвідношенні (6) параметри a і  та у співвідношеннях (7) параметри ka і k є сталими і вони для випадку (7) знаходяться із початкових умов. Така задача може бути предметом окремого розг- ляду, а самі співвідношення легко трансформувати до вигляду   2 2 2, 2 sin cos k x k u x t a t l l               та   2 2 2, 2 sin cosk k k k x k u x t a t l l                . Методика дослідження впливу на нелінійні коливання пружно- го тіла СПОС. Для дослідження впливу потоку рухомого суцільно се- редовища на нелінійні коливання пружного тіла необхідно в першу чер- гу побудувати розв’язок збуреної крайової задачі (3), (4). Її розв’язування дещо спрощують накладені вище на праву частину співвідношень (3), (4) умови, а саме: максимальне значення сил інерції суцільного потоку ру- хомого середовища є малим у порівняння із 4 2 4 max u x    . Це одночасно є передумовою застосування загальних ідей методів збурень [18] для побудови розв’язку вказаної вище крайової задачі. Найбільш адаптова- ними стосовно коливальних систем такого типу є асимптотичні методи нелінійної механіки. Вони у поєднанні із принципом одночастотності коливань у нелінійних системах із зосередженими масами та розподіле- ними параметрами дозволяють отримати двопараметричну множину розв’язків, що описує закони зміни визначальних параметрів динамічно- го процесу пружного тіла, вздовж якого рухається зі сталою за величи- ною швидкістю суцільний потік середовища. Відповідно до наведеного у першому асимптотичному наближені одночастотний процес пружного тіла описується залежністю         1, cos cos , , , 0,1,2,....,u x t a x x u a x k            де t    і одночасно для розглядуваного випадку параметри a та  будуть невідомими функціями часу,  1 , , ,u a x  — 2 -періодична за  та  функція, яка визначається таким чином, щоб асимптотичне подання розв’язку з точністю до величин другого порядку малості задо- вольняло вихідне рівняння та крайові умови. До того ж, вказана функція повинна задовольняти крайові умови, які випливають із (4), тобто    1 10 , , , , 0 x x l u a x u a x        . Математичне та комп’ютерне моделювання 144 На рис. 2 представлено залежність частоти k власних коливань пружного тіла від його довжини та погонної маси суцільного середови- ща без урахування його відносного руху. Тут і нижче як основні харак- теристики тіла (якщо додатково не обумовлено інше) вибрано наступні величини: модуль пружності матеріалу — 11 22,1 10 H/ мE   , зовнішній діаметр — 0,06 мd  , товщина стінки — 0,003мh  , погонна маса 1 кг/ мm  . Рис. 2. Залежність власної частоти пружного тіла від його довжини та погонної маси СПОС Зауваження. 1. У нелінійних механічних системах, як правило, встановлюється динамічний процес, частота якого близька до головної частоти спектру власних частот або до частоти вимушуючої сили. Це дозволяє у резуль- татах, які стосуються конкретних систем, приймати 1.k  2. У роботі розглядається випадок так званих «коротких» сис- тем. Для них вплив нелінійних сил проявляється у зміні в часі визна- чальних параметрів коливань, в той же час для довгих — останні за- лежать також і від лінійної координати. Висновки. Математична модель системи пружне одновимірне тіло — СПОС, отримана у роботі, враховує нелінійно пружні власти- вості тіла при згинальних його коливаннях, а також густину та швид- кість руху середовища. Одночасно із наведеними чинниками пов’язані основні труднощі дослідження динаміки вказаної механіч- ної системи. Отримані у роботі результати показують, що на динамі- чний процес пружних тіл впливають як кутова швидкість обертання, так й основні характеристики СПОС. Вплив останнього більшою мі- рою проявляється для випадку більших значень погонної маси СПОС. Основними визначальними параметрами динаміки пружного Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 12 145 тіла є амплітуда та частота нелінійних його коливань. Закони зміни вказаних параметрів визначаються геометричними характеристиками пружного тіла, фізико-механічними властивостями його матеріалу, швидкістю СПОС вздовж нього, кутовою швидкістю обертання пру- жного тіла та зовнішніми чинниками. Список використаних джерел: 1. Боголюбов Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. — М. : Наука, 1974. — 501 с. 2. Митропольский Ю. А. Асимптотические решения уравнений в частных производных / Ю. А. Митропольский, Б. И. Мосеенков. — К. : Вища школа, 1976. — 596 с. 3. Филимонов А. М. Периодические решения некоторых нелинейных урав- нений с частными производными / А. М. Филимонов // Дифференц. урав- нения. — 1976. — Вып. 12. — № 11. — С. 2077–2084. 4. Гробов В. А. Асимптотические методы расчета изгибных колебаний ва- лов турбомашин / В. А. Гробов. — М. : Изд-во АН СССР, 1961. — 165 с. 5. Порхун Л. М. Про нестаціонарні коливання балки на нелінійній основі під дією рухомого навантаження / Л. М. Порхун // Доп. АН УРСР. — 1967. — № 10. — С. 900–903. 6. Тарме М. Свободные периодические нелинейные колебания полосы, движущейся в осевом направлении / М. Тарме, Л. Моут // Труди Амери- канского общества инженеров-механиков. Прикладная механика. — М. : Мир, 1969. — Вып. 36. — № 1. — С. 87–98. 7. Доценко П. Д. О колебаниях и устойчивости прямолинейного трубопровода / П. Д. Доценко // Прикладная механика. — 1971. — Вып. 3. — С. 85–91. 8. Горошко О. А. О продольных колебаниях балки с подвижным экипажем / О. А. Горошко // Прикладная механика. — 1978. — Вып. 14. — № 8. — С. 70–78. 9. Додд Р. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Дж. Ейб- лек, Дж. Гиббон, Х. Моррис. — М. : Мир, 1988. — 694 с. 10. Мартинців М. П. Одне узагальнення методу Д’Аламбера для систем, які характеризуються поздовжнім рухом / М. П. Мартинців, М. Б. Сокіл // Науковий вісник : збірник наук.-техн. праць. — Львів : УДЛТУ, 2003. — Вип. 13.4. — С. 64–67. 11. Пукач П. Я. Вплив руху рідини та кутової швидкості обертання колони при бурінні свердловин на її нелінійні згинні коливання / П. Я. Пукач, І. В. Кузьо // Прикарпатський вісник НТШ. Число. — 2012. — № 1 (17). — С. 60–66. 12. Пукач П. Я. Нелинейные изгибные колебания вращающихся вокруг не- подвижной оси тел и методика их исследования / П. Я. Пукач, И. В. Ку- зьо, М. Б. Сокил // Известия высших учебных заведений. Горный жур- нал. — 2013. — № 7. — С. 141–149. 13. Шевченко Ф. Л. Влияние скорости протекающей жидкости на устойчи- вость бурильной колонны / Ф. Л. Шевченко, Ю. В. Петтик // Науковий ві- сник Національного гірничого ун-ту. — 2010. — № 1. — С. 69–72. Математичне та комп’ютерне моделювання 146 14. Гащук П. М. Вплив змушувальної сили на параметричні коливання гнуч- кого робочого елемента механічного приводу / П. М. Гащук, І. І. Назар // Динаміка і міцність машин. — Львів, 2008. — № 614. — С. 55–65. 15. Пукач П. Я. Методика исследования нелинейных изгибных колебаний вра- щающихся вокруг неподвижной оси тел / П. Я. Пукач, И. В. Кузьо // VІІ Мі- жнародна наукова конференція «Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла», м. Донецьк, с. Мелекіно Донецької обл., 11–14.06.2013 р. : збірник наукових праць. — Донецьк, 2013. — Т. 2. — С. 123–126. 16. Пукач П. Я. Нелінійні згинні коливання тіл, що обертаються навколо не- рухомої осі / П. Я. Пукач // 11-ий Міжнародний симпозіум українських інженерів-механіків у Львові, Львів, 15–17 травня 2013 р. : тези доповідей. — Львів : ТзОВ «КінпатріЛТД», 2013. — С. 82–83. 17. Каудерер Г. Нелинейная механика / Г. Каудерер ; [пер. с нем. Я. Г. Панов- ко]. — М. : ИЛ, 1961. — 777 с. 18. Найфэ А. Х. Методы возмущений / А. Х. Найфэ ; [пер. с англ. А. А. Мелиняна и А. А. Миронова ; под ред. Ф. Л. Черноусько]. — М. : Мир, 1976. — 456 с. A one-dimensional elastic body — continuous flow of a homogeneous environment mathematical model that takes into account the nonlinear elastic properties of the body and its bending oscillations, as well as the density and velocity of the medium is received. To study the motion of the model wave theory was used. The obtained laws of change of the basic pa- rameters defining the dynamics of an elastic body — amplitude and fre- quency of its nonlinear oscillations. These laws are determined by geome- trical characteristics of an elastic body, physical and mechanical properties of the material, velocity observed along it, the angular rotation velocity of an elastic body and external factors. Key words: dynamic system, resonance phenomena, mathematіcal model, bendіng oscіllatіons. Отримано: 20.03.2015 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <FEFF004b00610073007500740061006700650020006e0065006900640020007300e400740074006500690064002000e4007200690064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020007500730061006c006400750073007600e400e4007200730065006b0073002000760061006100740061006d006900730065006b00730020006a00610020007000720069006e00740069006d006900730065006b007300200073006f00620069006c0069006b0065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020006c006f006f006d006900730065006b0073002e00200020004c006f006f0064007500640020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065002000730061006100740065002000610076006100640061002000700072006f006700720061006d006d006900640065006700610020004100630072006f0062006100740020006e0069006e0067002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006a00610020007500750065006d006100740065002000760065007200730069006f006f006e00690064006500670061002e> /FRA <FEFF005500740069006c006900730065007a00200063006500730020006f007000740069006f006e00730020006100660069006e00200064006500200063007200e900650072002000640065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000410064006f006200650020005000440046002000700072006f00660065007300730069006f006e006e0065006c007300200066006900610062006c0065007300200070006f007500720020006c0061002000760069007300750061006c00690073006100740069006f006e0020006500740020006c00270069006d007000720065007300730069006f006e002e0020004c0065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000500044004600200063007200e900e90073002000700065007500760065006e0074002000ea0074007200650020006f007500760065007200740073002000640061006e00730020004100630072006f006200610074002c002000610069006e00730069002000710075002700410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650074002000760065007200730069006f006e007300200075006c007400e90072006900650075007200650073002e> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <FEFF004200720075006b00200064006900730073006500200069006e006e007300740069006c006c0069006e00670065006e0065002000740069006c002000e50020006f0070007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065007200200073006f006d002000650072002000650067006e0065007400200066006f00720020007000e5006c006900740065006c006900670020007600690073006e0069006e00670020006f00670020007500740073006b007200690066007400200061007600200066006f0072007200650074006e0069006e006700730064006f006b0075006d0065006e007400650072002e0020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065006e00650020006b0061006e002000e50070006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c00650072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200065006c006c00650072002e> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Аналітичні методи аналізу математичної моделі згинальних коливань пружного тіла, вздовж якого рухається суцільний потік однорідного середовища

Institution

Ähnliche Einträge