Дослідження методу знаходження ліній розриву функції двох змінних

Дослідження методу знаходження ліній розриву функції двох змінних

Розроблено та досліджено метод знаходження точок розриву та ε -розриву першого роду білінійної функції двох змінних, наближуючи її розривним інтерполяційним чи апроксимаційним білінійним сплайном. Доведено теореми про необхідну кількість ітерацій запропонованого методу для досягнення потрібної точно...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Дата:2016
Автори: Литвин, О.М., Першина, Ю.І., Пташний, О.Д.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/133892
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Дослідження методу знаходження ліній розриву функції двох змінних / О.М. Литвин, Ю.І. Першина, О.Д. Пташний // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 13. — С. 98-107. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-133892
record_format dspace
spelling Литвин, О.М.
Першина, Ю.І.
Пташний, О.Д.
2018-06-08T19:51:34Z
2018-06-08T19:51:34Z
2016
Дослідження методу знаходження ліній розриву функції двох змінних / О.М. Литвин, Ю.І. Першина, О.Д. Пташний // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 13. — С. 98-107. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.
2308-5878
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/133892
519.6
Розроблено та досліджено метод знаходження точок розриву та ε -розриву першого роду білінійної функції двох змінних, наближуючи її розривним інтерполяційним чи апроксимаційним білінійним сплайном. Доведено теореми про необхідну кількість ітерацій запропонованого методу для досягнення потрібної точності. Введено поняття ε -неперервності функції двох змінних. На його основі розроблено алгоритм виявлення розривів першого роду білінійної функції двох змінних, використовуючи розривний апроксимаційний білінійний сплайн. Розглянуто приклад, який підтверджує ефективність запропонованого методу. Також розглянуто перспективи подальших досліджень.
Developed and researched method of finding the break points and the ε -break of first-order of bilinear function of two variables by means approached its discontinuous interpolation or the approximation bilinear splines. Theorems on the required number of iterations of the proposed method to achieve the required accuracy. We introduce the concept the ε -continuity of a function of two variables. On this basis, we developed an algorithm for the detection of discontinuities of the first kind bilinear function of two variables, using a discontinuous approximation bilinear splines. An example confirming the theoretical calculations. Prospects for further research are also discussed.
uk
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Дослідження методу знаходження ліній розриву функції двох змінних
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Дослідження методу знаходження ліній розриву функції двох змінних
spellingShingle Дослідження методу знаходження ліній розриву функції двох змінних
Литвин, О.М.
Першина, Ю.І.
Пташний, О.Д.
title_short Дослідження методу знаходження ліній розриву функції двох змінних
title_full Дослідження методу знаходження ліній розриву функції двох змінних
title_fullStr Дослідження методу знаходження ліній розриву функції двох змінних
title_full_unstemmed Дослідження методу знаходження ліній розриву функції двох змінних
title_sort дослідження методу знаходження ліній розриву функції двох змінних
author Литвин, О.М.
Першина, Ю.І.
Пташний, О.Д.
author_facet Литвин, О.М.
Першина, Ю.І.
Пташний, О.Д.
publishDate 2016
language Ukrainian
container_title Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
description Розроблено та досліджено метод знаходження точок розриву та ε -розриву першого роду білінійної функції двох змінних, наближуючи її розривним інтерполяційним чи апроксимаційним білінійним сплайном. Доведено теореми про необхідну кількість ітерацій запропонованого методу для досягнення потрібної точності. Введено поняття ε -неперервності функції двох змінних. На його основі розроблено алгоритм виявлення розривів першого роду білінійної функції двох змінних, використовуючи розривний апроксимаційний білінійний сплайн. Розглянуто приклад, який підтверджує ефективність запропонованого методу. Також розглянуто перспективи подальших досліджень. Developed and researched method of finding the break points and the ε -break of first-order of bilinear function of two variables by means approached its discontinuous interpolation or the approximation bilinear splines. Theorems on the required number of iterations of the proposed method to achieve the required accuracy. We introduce the concept the ε -continuity of a function of two variables. On this basis, we developed an algorithm for the detection of discontinuities of the first kind bilinear function of two variables, using a discontinuous approximation bilinear splines. An example confirming the theoretical calculations. Prospects for further research are also discussed.
issn 2308-5878
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/133892
citation_txt Дослідження методу знаходження ліній розриву функції двох змінних / О.М. Литвин, Ю.І. Першина, О.Д. Пташний // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 13. — С. 98-107. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT litvinom doslídžennâmetoduznahodžennâlíníirozrivufunkcíídvohzmínnih
AT peršinaûí doslídžennâmetoduznahodžennâlíníirozrivufunkcíídvohzmínnih
AT ptašniiod doslídžennâmetoduznahodžennâlíníirozrivufunkcíídvohzmínnih
first_indexed 2025-11-24T04:30:32Z
last_indexed 2025-11-24T04:30:32Z
_version_ 1850842129223385088
fulltext Математичне та комп’ютерне моделювання 98 УДК 519.6 О. М. Литвин, д-р. фіз.-мат. наук, професор, Ю. І. Першина, д-р. фіз.-мат. наук, О. Д. Пташний, канд. пед. наук Українська інженерно-педагогічна академія, м. Харків ДОСЛІДЖЕННЯ МЕТОДУ ЗНАХОДЖЕННЯ ЛІНІЙ РОЗРИВУ ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ Розроблено та досліджено метод знаходження точок розриву та  -розриву першого роду білінійної функції двох змінних, на- ближуючи її розривним інтерполяційним чи апроксимаційним бі- лінійним сплайном. Доведено теореми про необхідну кількість ітерацій запропонованого методу для досягнення потрібної точ- ності. Введено поняття  -неперервності функції двох змінних. На його основі розроблено алгоритм виявлення розривів першого роду білінійної функції двох змінних, використовуючи розривний апроксимаційний білінійний сплайн. Розглянуто приклад, який підтверджує ефективність запропонованого методу. Також розг- лянуто перспективи подальших досліджень Ключові слова: розривна білінійна інтерполяція, розривна білінійна апроксимація,  -розрив. Вступ. Існує багато практичних важливих наукових та технічних галузей, в яких об’єкти дослідження математично описуються величи- нами, що терплять розрив. Такі об’єкти часто виникають в задачах, які використовують дистанційні методи і, зокрема, в задачах томографії. Так, в дефектоскопії виявлення тріщин у промислових виробах за до- помогою неруйнівного контролю також є важливою задачею, як й ви- значення відхилень внутрішньої будови виробу від еталону. В багатьох задачах геофізики встановлення місця розташування границь, що роз- діляють блоки з різними фізичними властивостями, є першим етапом в подальших дослідженнях, направлених на визначення фізичних вели- чин, що характеризують внутрішню будову Землі. В комп’ютерній томографії при дослідженні внутрішньої структури тіла корисно вра- ховувати його неоднорідність, тобто різну щільність в різних частинах тіла (кістки, серце, шлунок тощо мають різну щільність, тобто щіль- ність всього тіла є функцією з розривами першого роду на системі лі- ній чи поверхонь). До теперішнього часу в томографії розроблено багато обчислюва- льних методів, алгоритмів та програмних засобів, направлених на відно- влення внутрішніх властивостей об’єкта. Вони добре себе проявляють при відновленні об’єктів з гладкими властивостями, але дають незадові- льні результати для об’єктів з розривними характеристиками. © О. М. Литвин, Ю. І. Першина, О. Д. Пташний, 2016 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13 99 Тому виникає необхідність створення теорії наближення розри- вних функцій та методів виявлення точок та ліній розриву функцій для більш точного уявлення про структуру досліджуваного об'єкта. Аналіз останніх досліджень. Задача наближення неперервних функцій неперервними сплайнами з достатньою повнотою описана в багатьох роботах. Існують багато технічних задач, в яких наближую- ча функція не обов’язково є гладкою, іноді допустима її розрив- ність — лише б похибка наближення була достатньо мала. Набли- ження такого типу раніше детально не розглядалося, існують тільки підходи до розв’язання такого типу задач, які працюють для частин- них випадків. Для того, щоб розв’язувати широке коло наукових та технічних задач, корисні рівномірні наближення негладкими та роз- ривними функціями. В роботах Попова Б. Я. [1] та його учнів дослі- джуються наближення неперервних функцій за допомогою розривних сплайнів в чебишевській нормі. В роботах Литвина О. М. [2] та його учнів досліджувалося питання наближення неперервних функцій од- нієї змінної кусково-сталими функціями. Для моделювання складних гладких фізичних явищ в якості поту- жної обчислювальної техніки використовуються Фур'є — спектральні методи [3]. Їх швидкість збіжності залежить від гладкості та періодично- сті функції в досліджуваній області. Якщо функція має розрив хоча б в одній точці, швидкість збіжності погіршується та поряд з розривами роз- виваються коливання. Така поведінка називається явищем Гібса. Тобто, якщо функція є розривною, то її ряд Фур'є не є гарним наближенням функції. В роботі [4] використовуються фільтри у розклади Фур'є розри- вних функцій. Але фільтрація не повністю знищує явище Гібса. У роботах [5] досліджується розривний метод Гальоркіна висо- кого порядку. На відміну від класичного методу Гальоркіна, розрив- ний метод апроксимує розривний розв'язок функціями, розривними на границях розрахункової сітки. У роботах [6–7] запропоновані та дослідженні математичні мо- делі (нові класи крайових задач з розривними розв'язками), що опи- сують процеси в неоднорідних середовищах з тонкими включеннями- тріщинами. У роботах [8–10] авторами запропонований, обгрунтований та досліджений метод відновлення розривної функції однієї змінної та алгоритм виявлення точок  -розриву. В роботі [11] представлений алгоритм виявлення ліній  -розриву функцій двох змінних за допо- могою розривних апроксимаційних сплайнів. У статті пропонується обгрунтування цього методу у вигляді те- орем про збіжність ітераційного процесу та кількості ітерацій, що потрібно зробити для виявлення ліній  -розриву. Математичне та комп’ютерне моделювання 100 Постановка задачі. Нехай задана білінійна функція двох змін- них ( , )f x y в області 2[0,1]D  та задане деяке розбиття на елементи (прямокутники) , 1 1[ , ] [ , ],i j i i j jx x y y    1 20 ... 1,mx x x     1 20 ... 1ny y y     . Причому розташування ліній розриву функ- ції ( , )f x y невідоме. В якості експериментальних даних будемо ви- користовувати скінченну кількість інтерполяційних значень розрив- ної функції ( , )f x y у кутах заданої прямокутної сітки , ( 0, 0)i j i iC f x y    , , ( 0, 0)i j i jC f x y    , , ( 0, 0)i j i jC f x y    , , ( 0, 0)i j i iC f x y    . Треба побудувати та дослідити метод відновлення розривної бі- лінійної функції ( , )f x y та виявити лінії  -розриву. Метод виявлення ліній  -розриву. Перенумеруємо задані значення матриці C як показано на рис. 1 (на прикладі і-ого прямо- кутного елемента). Рис. 1. Формування матриці невідомих значень розривної функції в і-ому прямокутному елементі Тобто в якості вхідних даних виступає матриця значень , , 1, , 1,4pC p n m    розривної функції ( , )f x y , де p — номер прямокутного елемента, що розглядається. Для подальшого викладення введемо поняття  -неперевності функції. Визначення 1. Якщо ( 0, ) ( 0, ) ,q qf x y f x y y     , то фун- кцію ( , )f x y будемо називати  -непрервною на лінії qx x , аналогі- чно, якщо ( , 0) ( , 0) ,s sf x y f x y x     , то функцію ( , )f x y бу- демо називати  -непрервню на лінії sy y . Визначення 2. Якщо виконуються всі чотири нерівності з ви- значення 1 в точці ( , )q sx y Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13 101 ( 0, 0) ( 0, 0) ,q s q sf x y f x y       ( 0, 0) ( 0, 0) ,q s q sf x y f x y       ( 0, 0) ( 0, 0) ,q s q sf x y f x y       ( 0, 0) ( 0, 0) ,q s q sf x y f x y       то функцію ( , )f x y будемо називати  -неперервною в точці ( , )q sx y . Визначення 3. Якщо ( , )f x y є  -неперервною ,( , ) i jx y  , то будемо її називати  -неперервною в усьому прямокутному елеме- нті ,i j . Розглянемо випадок виявлення ліній розриву білінійної розрив- ної функції. Теорема 1. Якщо 1 2( , ) [0;1]f x y C має одну точку розриву першого роду * *, , , , 2 , 2 2 2 k k k k m p x y m k p N m p     , то можна її виявити за не більше ніж k ітерацій. Доведення. Нехай 1, 1k   . Для визначеності будемо вважати 1, 1m p  , тобто * *1 1 , 2 2 x y  . Ітерація 1. В якості вузлів розривного білінійного сплайну ( )S x вибираємо рівномірно розташовані вузли 0 1 1 0, , 2 x x  2 0 1 2 1 1, 0, , 1 2 x y y y    , тобто розбиваємо область визначення функції на прямокутні елементи , , 0,1,2ij j i  . Будуємо розривний білінійний сплайн за формулою 11 , 1 1 ( , ) ( , ) ji ij i j i i j j y yx x S x y p x y C x x y y           1 1 1, , 1 1 1 1 1 j ji i i j i j i i j j i i j j y y y yx x x x C C x x y y x x y y                    (1) 1, 1 1 1 , ( , ) .ji iji j i i j j y yx x C x y П x x y y           Для початкового наближення в якості параметрів kC візьмемо односторонні значення функції ( )f x у потрібних вузлах. Математичне та комп’ютерне моделювання 102 Для знаходження параметрів використовуємо метод найменших квадратів в інтегральній формі. Випишемо функціонал, який треба мінімізувати   , , 2 ( ) ( , ) ( , ) min, i j i j CD J C f x y S x y dxdy        1 1 2 0 0 ( ) ( ( , ) ( , ))J C f x y S x y dx    11 12 2 2( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , ))f x y S x y dx f x y S x y dx         21 22 2 2( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , )) ,f x y S x y dx f x y S x y dx        ( ) 0J C  , оскільки ( , )f x y кусково-білінійною розривною функцією і тому ( , ) ( , ) 0f x y S x y  . Тобто, для випадку, коли розривна білінійна функція має одну точку розриву * *1 2, 1 2, 1, 1x y k    , то для відновлення такої функції достатньо однієї ітерації. Нехай 2, 2k   . Для визначеності будемо вважати 1, 1m p  , тобто * 2 * 21/ 2 , 1/ 2x y  . Ітерація 2. При побудові сплайну ( , )S x y функціонал буде ма- ти вигляд 11 1 1 2 2 0 0 ( ) ( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , ))J C f x y S x y dx f x y S x y dx        , оскільки інші інтеграли дорівнюють нулю, бо f (x, y) є білінійною неперервною функцією в прямокутному елементі 11 . Інтервал, на якому ( ) 0J C  ділимо на рівні чотири частини, вводячи нові вузли 1 / 4, 1/ 4x y  . Тобто маємо новий набір вузлів 2 1 2 1 0 1 2 0 1 20, 1/ 2 , 1/ 2 ; 0, 1/ 2 , 1/ 2 .x x x y y y      . І повторю- ючи крок 1, отримаємо 11 1/41/4 2 2 0 0 ( ) ( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , ))J C f x y S x y dxdy f x y S x y dxdy         1/41/2 1/21/4 2 2 0 1/4 1/4 0 ( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , ))f x y S x y dxdy f x y S x y dxdy        Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13 103 1/21/2 2 1/41/4 ( ( , ) ( , )) 0f x y S x y dxdy    . Аналогічний результат буде у випадку 3, 2, 3, 2m k p    . Тобто для виявлення точки розриву * *, 2, , 2 2k m p x k y    2 потрібні 2 ітерації. Нехай для виявлення точки розриву * *, , 1, 2 2k m p x y m   ,k n 1,p n  потрібно n ітерацій, тобто на n -ій ітерації розри- вний сплайн ( , )S x y будуємо на сітці 0 1 2 1 1 1 0, , ; 2 2n n x x x     0 1 2 1 1 1 0, , 2 2n n y y y     і мінімізуючий функціонал має вигляд 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 10 0 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 10 0 2 2 ( ) ( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , )) 0. n n n n n n n n n n n n J C f x y S x y dxdy f x y S x y dxdy f x y S x y dxdy f x y S x y dxdy                       Доведемо, що для виявлення точки розриву * *, , 2 2k m p x y   1, 1, 1, 1m k n p n      потрібно 1n  -ітерація. Для цього ви- падку функціонал має вигляд 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 10 0 2 2 ( ) ( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , )) n n n n n n J C f x y S x y dxdy f x y S x y dxdy             1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 10 0 2 2 ( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , )) 0 n n n n n n f x y S x y dxdy f x y S x y dxdy             , оскільки ( )f x є білінійною неперервною функцією на всіх прямоку- тних елементах, крім того елементу, куди потрапила точка розриву. Математичне та комп’ютерне моделювання 104 Прямокутний елемент, на якому ( ) 0J C  ділимо на рівні чоти- ри частини, вводячи новий вузол 1 1 1 1 , 2 2n n        (тобто робимо 1n  -у ітерацію) І будуючи на новій трійці вузлів 0 1 21 1 1 0, , 2 2n n x x x     розривний сплайн, отримаємо ( ) 0J C  , тому що точка 1 1 1 1 , 2 2n n        є точкою розриву. Тобто розрив виявлено за 1n  -у ітерацію. Теорема 1 доведена. Теорема 2. Якщо 1 2( , ) [0;1]f x y C є кусково-білінійною функ- цією і має одну точку розриву першого роду * *( , )x y , то виявити її можна за 2log 2k     ітерацій з похибкою . . Доведення. Опишемо алгоритм виявлення точки  -розриву. Крок 1. Обираємо рівномірну сітку області 2[0;1] : 0 0,x  1 20.5, 1x x  і 0 1 20, 0.5, 1y y y   . І будуємо на цій сітці розрив- ний білінійний сплайн ( , )S x y . Функціонал, який треба мінімізувати? має вигляд (1). Три інтеграли в цьому виразі будуть дорівнювати ну- лю, оскільки на прямокутних елементах, по яким ведеться інтегру- вання, функція є неперервною і білінійною. Крок 2. Інтервал, на якому ( ) 0J C  , ділимо на рівні чотири ча- стини, вводячи нові вузли в сітку. Нехай для визначеності це інтервал 1 1 0; 0; 2 2           і обираємо вузли 0 1 2 0 1 22 2 1 1 1 1 0, , , 0, , 2 22 2 x x x y y y      . Знову ж будуємо сплайн на нових вузлах і один з інтегралів в мінімізуючому функціоналі не буде дорівнювати нулю. Знайдемо критерій зупинки ітераційного процесу. Треба знайти такий найближчий до точки  -розриву прямокут- ний елемент 2 1 , , , , 2 2 2 k k k m m m k N m        , що виконується умова 2 2 1 1 1 1 2 2 2 log log (2 ). 2 22 2 2 k k k k m m k                Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13 105 Оскільки k N , то 2log (2 )k     — номер ітерації (кроку), на якій потрібно зупинити ітераційний процес. m задовольняє нерівностям * * *1 2 , 2 1 2 2 k k k k m m x m x m x          . Оскільки m N , то * 2km x    . Тобто на 2log (2 )k     — ітерації знайдемо точку  -розриву *x , яка потрапить в  -інтервал * *2 2 1 , . 2 2 k k k k x x                Тобто * * * 2 2 1 , 2 2 k k k k x x x                . Теорема 2 доведена. Приклад 1. Нехай розривна білінійна функція ( , )f x y має розрив першого роду в точці * *( , ) ( , 3) (3.14.15.92.65; 0.14159265)x y     . Складемо таблицю результатів виявлення точки  -розриву (табл. 1), тобто  — інтервал, та номер ітерації в залежності від заданої похибки  . Таблиця 1 Кількість ітерацій для досягнення похибки  Похибка  Номер ітерації, k  -інтервал 0,01 6 (0.140625; 0.15625 ) 0,001 9 (0.140625; 0.1425781) 0,0001 13 (0.14147949; 0.1416016) Визначення 4. Базисним розривним білінійним сплайном в об- ласті 2[0;1] будемо називати сплайн 2 2 ( , ), ( , ) [0;1] , ( , ) 0, ( , ) [0;1] , h x y x y B x y x y     де ( , )h x y — білінійний неперервний поліном. Теорема 3. Довільну розривну білінійну функцію ( , )f x y зі скі- нченною кількістю розривів першого роду можна представити у ви- гляді суми базисних розривних сплайнів. Дійсно, завжди, знайдуться такі ,M L N і параметри ,i jC  , що білінійну розривну функцію можна записати у вигляді Математичне та комп’ютерне моделювання 106 , 1 1 ( , ) ( ; ; ) M L i j i j f x y B Mx i Ly j C       , , 0, 0i j i j C f M L          . Перспективи подальших досліджень. Автори вважають перс- пективним розвиток теорії наближення розривних функцій багатьох змінних розривними сплайнами та побудову математичних моделей розривних процесів на основі розробленої теорії, оскільки, як вже було зазначено, задачі дослідження процесів, що мають розриви, ви- никають досить часто. Наступним кроком автори планують розробити модифікований ал- горитм для знаходження ліній розриву небілінійної функції та обгрунту- вати метод відновлення розривних функцій двох змінних [12] з викорис- танням інтерлінації фукнкцій двох змінних та ліній  -розриву, викорис- товуючи розбиття області визначення функції двох змінних на прямоку- тні елементи, з метою оптимізації кількості обчислень. Висновки. В роботі введено поняття розривного білінійного ап- роксимаційного сплайну, та пропонується метод знаходження точок та ліній  -розриву білінійної функції двох змінних, інформацією про яку є її значення, які можна отримати на довільній скінченній мно- жині точок з області 2[0;1] . Доведена теорема про скінченність цього методу. Цей метод може бути розповсюджений на випадок нелінійної розривної функції. Список використаних джерел: 1. Попов Б. А. Равномерное приближение сплайнами / Б. А. Попов. — К. : Наук. думка, 1989. — 272 с. 2. Литвин О. М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування / О. М. Лит- вин. — Харків : Основа, 2002. — 544 с. 3. Advances in the Gibbs Phenomenon / ed. Abdul J. Jerri. — Clarkson Universi- ty Σ Sampling Publishing Potsdam, New York Copyright, 2011. — 424 p. 4. Gottlieb S. A Review of David Gottlieb’s Work on the Resolution of the Gibbs Phenomenon / S. Gottlieb, Jae-Hun Jung, S. Kim // Commun. Comput. Phys. — 2011. — Vol. 9, № 3. — P. 497–519. 5. Петровская Н. Б. Аппроксимация разрывных решений для одного класса схем высокого порядка / Н. Б. Петровская // Математическое моделиро- вание. — 2005. — Т. 17, № 1. — С. 79–92. 6. Дейнека В. С. Анализ многокопмонентных распределенных систем и оптимальное управление / В. С. Дейнека, И. В. Сергиенко. — К. : Наук. думка, 2007. — 703 с. 7. Дейнека В. С. Модели и методы решения задач в неоднородных средах / В. С. Дейнека, И. В. Сергиенко. — К. : Наук. думка, 2001. — 606 с. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13 107 8. Литвин О. М. Наближення розривної функції за допомогою розривних сплайнів / О. М. Литвин, Ю. І. Першина // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський, 2010. — Вип. 3. — С. 122–131. 9. Литвин О. М. Наближення розривної функції розривним сплайном, коли вузли сплайна не збігаються з розривами функції / О. М. Литвин, Ю. І. Першина // Праці ІПММ НАН України. — Донецьк, 2012. — Т. 24. — С. 157–165. 10. Литвин О. М. Дослідження методу знаходження точок розриву першого роду функції однієї змінної / О. М. Литвин, Ю. І. Першина, В. О. Пасіч- ник // Вісник НТУ «ХПІ» : збірник наукових праць. Серія: Математичне моделювання в техніці та технологіях. — Харків : НТУ «ХПІ», 2015. — № 6(1115). — С. 67–76. 11. Литвин О. Н. Восстановление разрывных функций двух переменных, когда линии разрыва неизвестны (прямоугольные элементы) / О. Н. Лит- вин, Ю. И. Першина, И. В. Сергиенко // Кибернетика и системный ана- лиз. — 2014. — № 4. — С. 126–134. 12. Литвин О. М. Відновлення розривної внутрішньої структури двовимірно- го тіла за відомими її проекціями вздовж взаємно перпендикулярних лі- ній / О. М. Литвин, Ю. І. Першина // Вісник НТУ «ХПІ» : збірник науко- вих праць. Тематичний випуск: Математичне моделювання в техніці та технологіях. — Харків : НТУ «ХПІ», 2013. — № 54(1027) — С. 144–154. Developed and researched method of finding the break points and the  -break of first-order of bilinear function of two variables by means ap- proached its discontinuous interpolation or the approximation bilinear splines. Theorems on the required number of iterations of the proposed method to achieve the required accuracy. We introduce the concept the  -continuity of a function of two variables. On this basis, we developed an algorithm for the de- tection of discontinuities of the first kind bilinear function of two variables, us- ing a discontinuous approximation bilinear splines. An example confirming the theoretical calculations. Prospects for further research are also discussed. Key words: discontinuous bilinear interpolation, discontinuous bilin- ear approximation,  -break. Отримано: 20.04.2016 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <FEFF004b00610073007500740061006700650020006e0065006900640020007300e400740074006500690064002000e4007200690064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020007500730061006c006400750073007600e400e4007200730065006b0073002000760061006100740061006d006900730065006b00730020006a00610020007000720069006e00740069006d006900730065006b007300200073006f00620069006c0069006b0065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020006c006f006f006d006900730065006b0073002e00200020004c006f006f0064007500640020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065002000730061006100740065002000610076006100640061002000700072006f006700720061006d006d006900640065006700610020004100630072006f0062006100740020006e0069006e0067002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006a00610020007500750065006d006100740065002000760065007200730069006f006f006e00690064006500670061002e> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <FEFF0055007300740061007700690065006e0069006100200064006f002000740077006f0072007a0065006e0069006100200064006f006b0075006d0065006e007400f300770020005000440046002000700072007a0065007a006e00610063007a006f006e00790063006800200064006f0020006e00690065007a00610077006f0064006e00650067006f002000770079015b0077006900650074006c0061006e00690061002000690020006400720075006b006f00770061006e0069006100200064006f006b0075006d0065006e007400f300770020006600690072006d006f0077007900630068002e002000200044006f006b0075006d0065006e0074007900200050004400460020006d006f017c006e00610020006f007400770069006500720061010700200077002000700072006f006700720061006d006900650020004100630072006f00620061007400200069002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000690020006e006f00770073007a0079006d002e> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Схожі ресурси