Теоретичні обмеження на елементи матриці Юкави в моделі νMSM
У роботi проаналiзовано та розв’язано систему рiвнянь Стандартної моделi (νMSM), розширеної за рахунок додавання трьох правих нейтрино (синглети слабкого iзоспiну), що пов’язують елементи матрицi Юкави з елементами масової матрицi активних нейтрино, з метою подальшого отримання бiльш точного обмежен...
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Відділення фізики і астрономії НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/13397 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Теоретичні обмеження на елементи матриці Юкави в моделі νMSM / В.М. Горкавенко, С.Й. Вільчинський // Укр. фіз. журн. — 2010. — Т. 55, № 3. — С. 265-274. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859822303256248320 |
|---|---|
| author | Горкавенко, В.М. Вільчинський, С.Й. |
| author_facet | Горкавенко, В.М. Вільчинський, С.Й. |
| citation_txt | Теоретичні обмеження на елементи матриці Юкави в моделі νMSM / В.М. Горкавенко, С.Й. Вільчинський // Укр. фіз. журн. — 2010. — Т. 55, № 3. — С. 265-274. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | У роботi проаналiзовано та розв’язано систему рiвнянь Стандартної моделi (νMSM), розширеної за рахунок додавання трьох правих нейтрино (синглети слабкого iзоспiну), що пов’язують елементи матрицi Юкави з елементами масової матрицi активних нейтрино, з метою подальшого отримання бiльш точного обмеження на значення параметрiв моделi. На основi отриманих розв’язкiв проведено дослiдження СР-порушуючої фази для випадку, коли елементи масової матрицi активних нейтрино є дiйсними. Показано, що в цьому випадку також може вiдбуватися генерацiя барiонної асиметрiї.
В работе проанализированы и решены уравнения расширенной, за счет добавления трех правых нейтрино (синглеты по слабому изоспину), Стандартной модели (νMSM), которые связывают элементы матрицы Юкавы с элементами массовой матрицы активных нейтрино, в целях дальнейшего получения более точного ограничения на значения параметров модели. На основе полученных решений проведено исследование СР-нарушающей фазы в случае, когда элементы массовой матрицы активных нейтрино действительны. Показано, что в этом случае также может происходить генерация барионной асимметрии.
The system of equations which couples elements of the Yukawa and active neutrino mass matrices in the νMSM theory (an extension of the Standard Model by three right-handed neutrinos which are singlets of the weak isospin) has been analyzed and solved. On the basis of the solution obtained, more accurate constraints on the model parameters have been determined. The obtained results were also used to study the CP-violating phase in the case where the elements of the active neutrino mass matrix are real-valued. The generation of a baryon asymmetry has been demonstrated to occur in this case as well.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:25:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
ПОЛЯ ТА ЕЛЕМЕНТАРНI ЧАСТИНКИ
ISSN 2071-0194. Укр. фiз. журн. 2010. Т. 55, №3 265
ТЕОРЕТИЧНI ОБМЕЖЕННЯ НА ЕЛЕМЕНТИ МАТРИЦI
ЮКАВИ В МОДЕЛI νMSM
В.М. ГОРКАВЕНКО, С.Й. ВIЛЬЧИНСЬКИЙ
Київський нацiональний унiверситет iм. Тараса Шевченка, фiзичний факультет
(Вул. Володимирська, 64, Київ 01601; e-mail: sivil@ univ. kiev. ua,gorka@ univ. kiev. ua )
УДК 539.123
c©2010
У роботi проаналiзовано та розв’язано систему рiвнянь Стан-
дартної моделi (νMSM) розширеної за рахунок додавання трьох
правих нейтрино (синглети слабкого iзоспiну), що пов’язують
елементи матрицi Юкави з елементами масової матрицi актив-
них нейтрино, з метою подальшого отримання бiльш точного
обмеження на значення параметрiв моделi. На основi отрима-
них розв’язкiв проведено дослiдження СР-порушуючої фази
для випадку, коли елементи масової матрицi активних нейтри-
но є дiйсними. Показано, що в цьому випадку також може вiд-
буватися генерацiя барiонної асиметрiї.
1. Вступ
Стандартна модель (СМ) електрослабких i сильних
взаємодiй [1] є безсумнiвно успiшною теорiєю, яка ко-
ректно описує процеси за участi елементарних части-
нок до енергетичних масштабiв ∼ 100 ГеВ (а для
окремих процесiв i до декiлькох ТеВ). СМ вдало ви-
тримала перевiрку великою кiлькiстю високоточних
експериментiв та добре узгоджується з космологiчни-
ми спостережуваними даними, однак iснує ряд при-
чин, якi дають пiдставу стверджувати, що СМ не є
завершеною теорiєю. У космологiї СМ не в змозi по-
яснити такi феномени, як темну енергiю i темну ма-
терiю, а також iнфляцiйну фiзику еволюцiї Всесвiту.
У фiзицi елементарних частинок СМ не пояснює ней-
триннi осциляцiї i барiонну асиметрiю спостережува-
ного сектору фiзики елементарних частинок [2].
СМ, яка є перенормованою теорiєю i основана на
SU(3)×SU(2)×SU(1) калiбрувальнiй групi, утримує
три поколiння фермiонiв, причому лiвостороннi ком-
поненти фермiонiв утворюють дублети слабкого iзо-
спiну вiдносно групи SU(2), у той час як правосторон-
нi компоненти всiх фермiонiв, за винятком нейтри-
но, являють собою синглети слабкого iзоспiну. Вiд-
сутнiсть в СМ правостороннiх нейтринних полiв зу-
мовлена тим, що на момент створення СМ нейтрино
вважалось безмасовою частинкою.
Однак недавнє експериментально вiдкрите явище
нейтринних осциляцiй [3] (переходи мiж нейтрино з
рiзними ароматами) є свiдченням наявностi у нейтри-
но ненульової маси, тому одним з найбiльш простих
i перспективних варiантiв модифiкацiї СМ є розши-
рення її фермiонного сектору шляхом додавання в
теорiю правих нейтрино (якi є синглетами за слаб-
ким iзоспiном), якi б безпосередньо не взаємодiяли
з частинками СМ1. При цьому введення лише двох
правих нейтрино приводить до появи нових 11 пара-
метрiв у модифiкованiй теорiї, за допомогою яких мо-
жна пояснити наявнi експериментальнi данi по осци-
ляцiям активних нейтрино. На основi так званого ме-
ханiзму гойдалки (“see-saw”) [4] генерацiї маси ней-
трино дана модель передбачає iснування двох масив-
них активних нейтрино та одного безмасового, що та-
кож не суперечить наявним даним. Але розширення
СМ за рахунок введення лише двох правих нейтрино
не вирiшує iнших проблем СМ, зокрема, не пояснює
феноменiв барiонної асиметрiї i темної матерiї.
Недавно в роботах [5, 6] було запропоновано мо-
дифiкувати лагранжiан Стандартної моделi шляхом
введення додаткових трьох правих (стерильних) ней-
трино (якi є синглетами за слабким iзоспiном та ма-
ють нульовi електричний, слабкий та сильний заря-
ди), що виглядає природним, враховуючи, що кiль-
кiсть фермiонних поколiнь також дорiвнює трьом.
Маси правих нейтрино вважаються меншими за ха-
1 Саме тому зазначенi нейтрино отримали назву стерильних
нейтрино. При цьому лiвi нейтрино СМ називають активни-
ми.
В.М. ГОРКАВЕНКО, С.Й. ВIЛЬЧИНСЬКИЙ
рактерний масштаб слабкої взаємодiї (. MZ ≈ 100
ГеВ, де MZ – маса Z-бозону). Таке обмеження не вно-
сить нових енергетичних масштабiв, порiвняно зi СМ,
i вирiшує проблему калiбрувальної iєрархiї2, залиша-
ючи теорiю коректною аж до планкiвських масштабiв
енергiй.
Запропонована модель отримала назву мiнiмальної
нейтринної модифiкацiї СМ (νMSM). За рахунок то-
го, що модель νMSM мiстить 18 нових параметрiв3,
порiвняно зi СМ, за допомогою неї, в принципi, мо-
жна пояснити не лише осциляцiї нейтрино, а й iншi
спостережуванi факти, що не знаходять пояснення в
межах СМ.
На даний момент у межах моделi νMSM отримано
явнi вирази для опису осциляцiй нейтрино, генерацiї
барiонної асиметрiї та темної матерiї [7]. Бiльшiсть
цих виразiв є наближеними i мають оцiночний хара-
ктер. У данiй роботi проведено дослiдження рiвнянь
моделi νMSM, що пов’язують елементи матрицi Юка-
ви з елементами масової матрицi активних нейтрино
з метою подальшого отримання бiльш точного обме-
ження на значення параметрiв моделi. Використову-
ючи отриманi в роботi розв’язки зазначених рiвнянь,
проведено дослiдження СР-порушуючої фази для ви-
падку, коли елементи масової матрицi активних ней-
трино є дiйсними.
Структура статтi є такою. У першому роздiлi на-
ведено основнi спiввiдношення та деякi результати,
отриманi в межах моделi νMSM, що знадобляться в
подальшому. У другому роздiлi статтi проведено ана-
лiз рiвнянь νMSM та отримано i проаналiзовано в за-
гальному випадку розв’язок для вiдношень елементiв
другого та третього стовпчикiв матрицi Юкави. Ви-
користовуючи результати другого роздiлу, в третьо-
му роздiлi проводиться аналiз отриманого в межах
моделi виразу для фази, яка порушує СР-симетрiю.
2. Основнi спiввiдношення теорiї νMSM
Не враховуючи кiнетичнi доданки в роботах [5, 6] до
лагранжiана СМ було додано такi члени:
Lad = −FαI L̄αΦ̃NI −
MIJ
2
N̄ c
INJ + h.c. =
2 Мається на увазi проблема квантової стабiльностi маси бо-
зону Хiггса до радiацiйних поправок вiд внескiв важчих за
нього частинок.
3 А саме: три майоранiвських маси нейтрино, три дiраков-
ських маси нейтрино, шiсть кутiв змiшування та шiсть фаз,
що порушують СР-симетрiю.
=−FαI
(
ν̄αL, l̄αL
)(h(χ)+v√
2
0
)
νIR−
MIJ
2
N̄ c
INJ + h.c.=
= −FαI
h(χ) + v√
2
ν̄αLνIR − ν̄cIR
MIJ
2
νJR + h.c., (1)
де iндекс α = e, µ, τ вiдповiдає ароматам активних
нейтрино, iндекси I, J змiнюються вiд 1 до 3, Lα –
лептонний дублет, NI – польовi функцiї правих сте-
рильних нейтрино, верхнiй iндекс “c” означає зарядо-
ве спряження польової функцiї, FαI – нова матриця
констант Юкави, MIJ – масова матриця Майорана
правих нейтрино, Φ =
(
0
h(χ)+v√
2
)
— хiггсiвське по-
ле в унiтарнiй калiбровцi, Φ̃ = iσ2Φ∗, де σ2 – друга
матриця Паулi, h(x) – поле хiггса, а параметр v ви-
значається мiнiмумом потенцiалу хiггсiвського поля
(v = 247 ГеВ).
У СМ генерацiю маси фермiонiв забезпечує взаємо-
дiя фермiонних полiв зi скалярним хiггсiвським по-
лем. Структура СМ є такою, що пiсля спонтанного
порушення симетрiї нейтрино залишається безмасо-
вою частинкою. Дiраковський масовий член ∼ ν̄LνR
не виникає внаслiдок вiдсутностi в теорiї правосто-
роннього синглету нейтрино, а поява майоранiвської
маси ∼ ν̄cLνL заборонена SU(2)L iнварiантнiстю. При-
пущення про iснування правого нейтрино приводить
до появи в лагранжiанi як дiракiвського, так i майо-
ранiвського масових членiв:
LDM = MDν̄L νR +MMνcR νR + h.c., (2)
який в загальному випадку може бути записаний
(див., наприклад, [8, 9]):
LDM = −
(
(NL)c
MDM
2
NL + h.c.
)
, (3)
де
NL =
(
νL
νcR
)
; N c
L =
(
νcL
νR
)
; MDM =
(
ML MD
T
MD MR
)
.
Порiвнюючи вигляд масивних доданкiв лагранжiана
(1) з (3) приходимо до висновку, що в даному випадку
ML = 0, MD = F+ ν√
2
, MR = M∗, (4)
де M,F – квадратнi матрицi третього порядку, що
фiгурують у (1).
266 ISSN 2071-0194. Укр. фiз. журн. 2010. Т. 55, №3
ТЕОРЕТИЧНI ОБМЕЖЕННЯ НА ЕЛЕМЕНТИ МАТРИЦI ЮКАВИ В МОДЕЛI νMSM
У роботах [5,6] було показано, що параметри моделi
νMSM, яких у порiвняннi з СМ є на 18 бiльше, мо-
жна пiдiбрати таким чином, щоб одночасно поясни-
ти осциляцiї нейтрино, барiонну асиметрiю та вста-
новити природу темної матерiї. Для цього потрiбно
iснування двох правих нейтрино з великими, майже
однаковими, масами (& 100 МеВ) та одного правого
нейтрино з вiдносно невеликою масою (∼ 1 КеВ).
Найлегше праве нейтрино становить основу темної
матерiї, а за допомогою двох iнших, вироджених за
масою важких нейтрино, можна пояснити iснування
нейтринних осциляцiй активних нейтрино, а також
барiонну асиметрiю Всесвiту.
У нульовому наближеннi розширений лагранжiан
LνMSM є iнварiантним вiдносно U(1)e×U(1)µ×U(1)τ
перетворень, що забезпечує збереження e, µ, τ лептон-
них чисел окремо (саме це й спостерiгається в експе-
риментах). Крiм того, в нульовому наближеннi вва-
жається, що два важких стерильних нейтрино взає-
модiють з активними, а третє, найлегше – нi4.
Перелiченим вимогам вiдповiдає такий вигляд ма-
трицi M в (1): M (0)
L = 0 та
M
(0)
R =
0 0 0
0 0 M
0 M 0
; M
(0)+
D =
ν√
2
0 h12 0
0 h22 0
0 h23 0
. (5)
У нульовому наближеннi iснує два масивних правих
нейтрино з однаковими масами M , третє праве ней-
трино є безмасовим, а маси всiх активних нейтрино
дорiвнюють нулевi, що не узгоджується з даними екс-
периментiв за осциляцiями нейтрино.
Щоб узгодити теорiю з даними експериментiв в [10]
було введено малi поправки до матриць MR та MD
(5), що порушують U(1)e × U(1)µ × U(1)τ -симетрiю,
приводять до появи у третього правого нейтрино ма-
лої маси та знiмають виродження за масами у двох
iнших правих нейтрино. Це, в свою чергу, забезпе-
чує появу надмалої маси у лiвих (активних) нейтрино
та ненульових кутiв змiшування мiж ними. Зазначенi
поправки можна представити у такому виглядi:
M
(1)
L = 0; M
(1)
R =
m11e
−iα m12 m13
m12 m22e
−iβ 0
m13 0 m33e
−iγ
;
M
(1)+
D =
ν√
2
h11 0 h13
h21 0 h23
h31 0 h33
, (6)
4 У данiй моделi найлегшому стерильному нейтрино вiдводи-
ться роль частинки темної матерiї. Саме тому воно не по-
винно взаємодiяти з iншими частинками.
де в загальному випадку елементи матриць компле-
кснi, та вважається, що |mij | � |M |, |hi1| � |hi3| �
|hi2|.
Як вiдомо [8], масову частину лагранжiана (3)
можна дiагоналiзувати шляхом переходу вiд базису
функцiй NL до базису функцiй nL за допомогою унi-
тарної матрицi V , а саме NL = V nL, тодi маємо
N̄L = n̄LV
+; NL
c = (V +)TncL; NL
c = (nL)cV T ,
(7)
де матрицю V (6×6) зручно подати у виглядi добутку
двох матриць V = WU . Матриця W вводиться для
блочної дiагоналiзацiї матрицi MDM [11]:
WTMDMW = Mblock =
(
Mlight 0
0 Mheavy
)
. (8)
Явний вигляд матрицi W можна знайти лише набли-
жено з точнiстю до доданкiв M−1
R MD:
W =
=
(
1− 1
2M
+
D (MRM
+
R )−1MD M+
D (M+
R )−1
−M−1
R MD 1− 1
2M
−1
R MDM
+
D (M+
R )−1
)
.
(9)
Внаслiдок використання механiзму “see-saw” елемен-
ти M−1
R MD є малими:
M−1
R MD ≡ ε� 1, (10)
тодi
W =
(
1− 1
2ε
+ε ε+
−ε 1− 1
2εε
+
)
. (11)
МатрицяW є унiтарною (WW+ = E) з точнiстю до
доданкiв ε4. У такому наближеннi результат блочної
дiагоналiзацiї є таким:
WTMDMW =
(
−MT
DM
−1
R MD 0
0 MR
)
=
=
(
Mlight 0
0 Mheavy
)
. (12)
Вiдзначимо, що матриця Mlight, власнi числа якої ви-
значають маси активних нейтрино, повнiстю визна-
чається через елементи матриць MD та MR.
ISSN 2071-0194. Укр. фiз. журн. 2010. Т. 55, №3 267
В.М. ГОРКАВЕНКО, С.Й. ВIЛЬЧИНСЬКИЙ
Матриця U має вигляд
U =
(
U1 0
0 U2
)
, (13)
де матрицi U(1,2), кожна розмiром (3 × 3), вибираю-
ться такими, щоб дiагоналiзувати отриману блочну
матрицю
m = diag(m1,m2, . . . ,m6) = V TMV =
= UTWTMWU = UTMblockU, (14)
тобто
m =
(
UT1 0
0 UT2
)(
Mlight 0
0 Mheavy
)(
U1 0
0 U2
)
=
=
(
UT1 MlightU1 0
0 UT2 MheavyU2
)
. (15)
Для матриць U(1,2) iснує стандартна параметриза-
цiя [12]:
U(1,2) =
eiα1/2 0 0
0 eiα2/2 0
0 0 1
×
×
c12c13 c13s12 s13e
−iδ
−s12c23−c12s23s13eiδ c12c23−s12s23s13eiδ s23c13
s12s23−c12c23s13eiδ −c12s23−s12c23s13eiδ c23c13
,
(16)
де cij = cos θij , sij = sin θij , θ12, θ13, θ23 – три ку-
ти змiшування; δ – дiракiвська фаза; α1, α2 – майо-
ранiвськi фази. Кути θij можна вибирати в межах
0 ≤ θij ≤ π/2, фази δ, α1, α1 змiнюються вiд 0 до 2π.
Матрицi U(1) та U(2) мають свої окремi, незалежнi
значення кутiв та фаз.
Таким чином, знаходження значень мас активних
та стерильних нейтрино зводиться до дiагоналiза-
цiї матрицi (4). Цю дiагоналiзацiю можна проводити
окремо для матриць Mlight та Mheavy.
Оскiльки матрицi Mlight та Mheavy не є ермiтови-
ми, то шукаються власнi значення ермiтових матриць
M+
lightMlight та M+
heavyMheavy шляхом розв’язку вiдпо-
вiдного рiвняння. Знайденi власнi значення вiдповiд-
ають квадратам власних значень матриць Mlight та
Mheavy.
Опускаючи громiздкi математичнi розрахунки, на-
водимо кiнцевий результат у наближеннi, коли зне-
хтувано елементами першого стовпчика матрицi
Юкави. Маса найлегшого активного нейтрино така:
m1 =
[h+h]11 v2
2m11
= 0, (17)
а недiагоналiзована масова матриця активних ней-
трино має вигляд
[Mlight]αβ =
ν2
2M
(h̃β3hα2 + h̃α3hβ2), (18)
де h̃β3 = hβ3−m33
2M hβ2. Її власними значеннями будуть
m2,3 =
v2
2M
(F2F̃3 ± |h+h̃|23), (19)
де F 2
2 = [h+h]22, F̃ 2
3 = [h̃+h̃]33, F2F̃3 = M(m2+m3)/v2.
3. Дослiдження параметрiв матрицi Юкави
стерильних нейтрино
Елементи матрицi Mlight у (18), хоч i зi значною по-
хибкою, вiдомi з експериментiв за нейтринними осци-
ляцiями (див., наприклад, [3, 12]). Система рiвнянь
(18), яка пов’язує мiж собою елементи другого i тре-
тього стовпчикiв матрицi Юкави з елементами ма-
трицi активних нейтрино, має нескiнченно велику
кiлькiсть розв’язкiв. Справдi, замiна hi2 на zhi2, а h̃i3
на h̃i2/z, де z – довiльне комплексне число не змiнює
вигляду (18).
Проаналiзуємо систему рiвнянь (18), записавши її
таким чином:
Mij= η[h̃j3hi2 + h̃i3hj2], де i, j = 1, 2, 3, η =
v2
2M
,
(20)
де Mij – вiдомi з експерименту елементи матрицi
активних нейтрино Mlight.
Для знаходження розв’язкiв (20) запишемо окремо
вирази для дiагональних:
M11 = 2ηh̃13h12,
M22 = 2ηh̃23h22,
M33 = 2ηh̃33h32
(21)
та недiагональних елементiв матрицi активних ней-
трино:
M12 = η[h̃23h12 + h̃13h22],
M13 = η[h̃33h12 + h̃13h32],
M23 = η[h̃33h22 + h̃23h32].
(22)
268 ISSN 2071-0194. Укр. фiз. журн. 2010. Т. 55, №3
ТЕОРЕТИЧНI ОБМЕЖЕННЯ НА ЕЛЕМЕНТИ МАТРИЦI ЮКАВИ В МОДЕЛI νMSM
З (21) отримуємо
h̃13 =
M11
2ηh12
, h̃23 =
M22
2ηh22
, h̃33 =
M33
2ηh32
(23)
та пiдставляємо в (22):
M12 =
1
2
(
M22
h12
h22
+M11
h22
h12
)
,
M13 =
1
2
(
M33
h12
h32
+M11
h32
h12
)
,
M23 =
1
2
(
M33
h22
h32
+M22
h32
h22
)
.
(24)
Розв’язком (24) є
A12 =
M12
M22
(
1±
√
1− M11M22
M12
2
)
,
A13 =
M13
M33
(
1±
√
1− M11M33
M13
2
)
,
A23 =
M23
M33
(
1±
√
1− M22M33
M23
2
)
,
(25)
де
A12 ≡
h12
h22
, A13 ≡
h12
h32
, A23 ≡
h22
h32
. (26)
Таким чином, формально iснує вiсiм рiзних варiан-
тiв розв’язкiв, з яких незалежними є тiльки чотири.
Наприклад, якщо фiксується знак перед квадратним
коренем у виразах для A12, A13, то A23 буде однозна-
чно визначатися в силу спiввiдношення
A23 = A13/A12, (27)
в якому елементи Mij виражаються через вiдомi па-
раметри матрицi змiшування та маси активних ней-
трино (15) (див., наприклад, [8]):
Mij = m1U
∗
(1)i1U
∗
(1)j1 +m2U
∗
(1)i2U
∗
(1)j2+
Експериментальнi обмеження на параметри активних
нейтрино [3]
Центральне значення 99% довiрчий iнтервал
|Δm2
12| = (8, 0± 0, 3) · 10−5 еВ2 (7, 2− 8, 9) · 10−5 еВ2
|Δm2
23| = (2, 5± 0, 2) · 10−3 еВ2 (2, 1− 3, 1) · 10−3 еВ2
tan2 θ12 = 0, 45± 0, 05 30◦ < θ12 < 38◦
sin2 2θ23 = 1, 02± 0, 04 36◦ < θ23 < 54◦
sin2 2θ13 = 0± 0, 05 θ13 < 10◦
+m3U
∗
(1)i3U
∗
(1)j3, (28)
де U(1) – квадратна матриця третього порядку змi-
шування нейтрино (див. (16)), а її елементи частко-
во вiдомi з експериментальних даних (див. таблицю).
Слiд вказати, що експериментальнi данi по нейтрин-
ним осциляцiям визначають не маси активних ней-
трино, а рiзницю квадратiв їх мас Δm2
12 = m2
1 −m2
2
та Δm2
23 = m2
2−m2
3, з яких однозначно визначити без-
посередньо маси нейтрино неможливо. Справдi, якщо
до кожної маси нейтрино додати одну й ту саму кон-
станту, значення Δm2
12,Δm
2
23 не змiняться. Припу-
скаючи, що одне з нейтрино набагато легше за iншi,
можна визначити маси iнших нейтрино. При цьому
iснує два формально рiвноправних випадки, що отри-
мали назву нормальної та оберненої iєрархiї мас ней-
трино.
У випадку нормальної iєрархiї вважається, що маси
активних нейтрино зростають у напрямку зростання
їх номера. Найлегше нейтрино m1, найважче – m3,
m1 < m2 < m3. Вважаючи, що m1 = 0, отримуємо
m2 =
√
|Δm2
12| ≈ 0, 009 еВ, m3 =
√
|Δm2
23| ≈ 0, 05 еВ.
У випадку оберненої iєрархiї вважається, що маси
активних нейтрино зростають у напрямку спадання
їх номера. Найважче нейтрино m1, найлегше – m3,
m1 > m2 > m3. Грубо вважаючи, що m3 = 0, отри-
муємо m2 =
√
|Δm2
23| ≈ 0, 05 еВ. Внаслiдок того, що
|Δm2
12| � |Δm2
23|, можна вважати, що m1 ' m2.
Оскiльки система рiвнянь (20) записана в набли-
женнi m1 = 0, то фаза α1 виключається зi всiх ви-
разiв (див. (28) та (16)) i параметрами активних ней-
трино будуть такi сiм величин: двi маси m2,m3; три
кути змiшування θ12, θ13, θ23; одна дiракiвська δ та
одна майоранiвська α2 СР-порушуючi фази. Оскiль-
ки M � m33 (див., (5), (6)), надалi будемо вважати:
h̃i3 = hi3, F3 = F̃3. (29)
Знайдений розв’язок (25) визначає лише спiввiдно-
шення мiж елементами другого та третього стовпчи-
кiв матрицi Юкави. Зокрема, використовуючи (23),
(26), можна показати
{h12;h22;h32} = h12
{
1;
h22
h12
;
h32
h12
}
=
= h12
{
1;A12
−1;A13
−1
}
, (30)
{h13;h23;h33} = h13
{
1;
h23
h13
;
h33
h13
}
=
ISSN 2071-0194. Укр. фiз. журн. 2010. Т. 55, №3 269
В.М. ГОРКАВЕНКО, С.Й. ВIЛЬЧИНСЬКИЙ
Рис. 1. Вiдношення модулiв (а) та фаз (б ) елементiв другого
стовпчика матрицi Юкави. Випадок нормальної iєрархiї
= h13
{
1;A12
M22
M11
;A13
M33
M11
}
, (31)
або в безрозмiрному виглядi
{h12;h22;h32}
F2
=
ei·arg(h12)
{
1;A12
−1;A13
−1
}√
1 + |A12|−2 + |A13|−2
, (32)
{h13;h23;h33}
F3
=
ei·arg(h13)
{
1;A12
M22
M11
;A13
M33
M11
}
√
1 +
∣∣∣A12
M22
M11
∣∣∣2 +
∣∣∣A13
M33
M11
∣∣∣2 , (33)
де фази елементiв h12, h13 пов’язанi рiвнянням (21):
arg(h12) + arg(h13) = arg(M11), (34)
а A12, A13,M11,M22,M33 однозначно визначаються
через m2,m3, θ12, θ13, θ23, α2, δ. Величини h12, h13 мо-
жна розглядати як довiльнi параметри.
Слiд вiдзначити, що система рiвнянь (20) є симе-
тричною вiдносно замiни мiсцями вiдповiдних еле-
ментiв другого та третього стовпчикiв юкавiвської
матрицi. Якщо при фiксованих знаках перед коре-
нями в (25) iснує розв’язок для A12, A13, що одно-
значно фiксує знак у виразi для A23, то отримаємо
спiввiдношення мiж елементами юкавiвської матри-
цi у формi (30), (31). При цьому можна показати, що
одночасна замiна знака перед коренями у виразах для
A12, A13, A23 приводить до того, що спiввiдношення
мiж елементами другого та третього стовпчикiв юка-
вiвської матрицi мiняються мiсцями.
Можна показати, що при кожному фiксованому
значеннi параметрiвm2,m3, θ12, θ13, θ23, α2, δ iснує ли-
ше два варiанти вибору знакiв у виразах (25) для
A12, A13, A23, що не суперечать умовi (27). Цi два ва-
рiанти вiдрiзняються один вiд одного одночасною змi-
ною знака перед квадратними коренями у виразах
(25) для A12, A13, A23. Фiзично така замiна вiдповiд-
ає перестановцi другого та третього стовпчикiв мiсця-
ми, що приведе до вiдповiдної змiни кутiв змiшування
мiж активними та стерильними нейтрино. Зазначене
твердження справедливе завжди, крiм часткових ви-
падкiв значень параметрiв, коли хоча б один з пiдко-
реневих виразiв у (25) дорiвнює нулевi.
Подальший аналiз системи рiвнянь (20) зручно
проводити чисельними методами. Для цього для ко-
жної фiксованої точки у просторi значень m2,m3, θ12,
θ13, θ23, α2, δ, що лежать в експериментально дозво-
леному дiапазонi (див. таблицю), знайдемо величини
|h22/h12| та |h32/h12|, а також |h23/h13| та |h33/h13| та
графiчно представимо результати обчислень.
У випадку нормальної iєрархiї мас активних ней-
трино в межах теорiї νMSM (17), вважаючи m1 = 0,
отримаємо згiдно з таблицею: 0, 0085 ≤ m2 ≤ 0, 0094
еВ; 0, 046 ≤ m3 ≤ 0, 056 еВ; кут θ12 змiнюється в
межах 30◦ ≤ θ12 ≤ 38◦; кут θ23 змiнюється в ме-
жах 36◦ ≤ θ23 ≤ 54◦; кут θ13 змiнюється в межах
0◦ ≤ θ13 ≤ 10◦; фази δ, α2 змiнюються вiд −π до π.
За цих значень параметрiв нейтрино (вважаючи
m2 = 0, 009 Ев, m3 = 0, 05 еВ) для 10000 випадково
взятих точок у просторi значень θ12, θ13, θ23, α2, δ було
побудовано масиви (|h22/h12|, |h32/h12|) та (|h23/h13|,
|h33/h13|), що графiчно наведенi на рис. 1.
У випадку оберненої iєрархiї згiдно з (17) m1 → 0
еВ, а згiдно з таблицею повинно виконуватисьm3 → 0
еВ. Для узгодження з моделлю νMSM потрiбно пере-
ставити мiсцями масовi стани m3 та m1. Це можна
зробити завдяки додатковому унiтарному повороту
за допомогою матрицi
Ũ =
0 0 1
0 1 0
1 0 0
, U(1) → U(1)Ũ , (35)
де U(1) – матриця змiшування нейтрино в масовому
та ароматних базисах (див. (16)).
Тодi можна покласти m3 = 0, а для m1, m2 вибрати
їхнi центральнi значення: m1 = m2 = 0, 05 еВ, а зна-
чення для кутiв змiшування та фаз залишити такими
ж, як i при нормальнiй iєрархiї.
За цих значень параметрiв нейтрино для де-
сяти тисяч випадково взятих точок у просторi
θ12, θ13, θ23, α2, δ було побудовано вiдповiднi масиви,
що графiчно зображено на рис. 2.
Якiсний аналiз результатiв показує, що у випадку
нормальної iєрархiї (рис. 1,а) вiдношення елементiв
другого стовпчика |h32/h12| та |h22/h12| знаходиться
в межах 0, 65 . |h32/h12| . 24, 2, 1, 4 . |h22/h12| .
270 ISSN 2071-0194. Укр. фiз. журн. 2010. Т. 55, №3
ТЕОРЕТИЧНI ОБМЕЖЕННЯ НА ЕЛЕМЕНТИ МАТРИЦI ЮКАВИ В МОДЕЛI νMSM
29, 6. При цьому, якщо випадково взяти точку у про-
сторi θ12, θ13, θ23, α2, δ, то бiльш iмовiрна ситуацiя, що
|h32/h12| та |h22/h12| будуть лежать у межах грубо вiд
1 до 10, i навпаки, значення вiдношень юкавiвських
констант бiльшi за 10 є малоймовiрними.
Зауважимо, що значення вiдношення фаз елемен-
тiв юкавiвської матрицi Arg [h32/h12] та Arg [h22/h12]
лежить не в усьому дозволеному дiапазонi (−π, π), а
лише в замкнутiй компактнiй областi, що зображена
на рис. 1,б.
У випадку оберненої iєрархiї (рис. 2,а) вiдношен-
ня елементiв |h32/h12| та |h22/h12| лежать в межах
0 ≤ |h32/h12| . 3, 2, 1, 1 . |h22/h12| . 4, 3. При
цьому граничнi великi значення вiдношень елементiв
є також малоймовiрними. Той факт, що вiдношення
|h32/h12| може дорiвнювати нулевi, пояснюється тим,
що |h32/h12| = A−1
12 ∼ M12, а M12 в дозволеному дiа-
пазонi змiни кутiв та фаз при m2 = m3 може дорiв-
нювати нулевi. Завдяки цьому, на вiдмiну вiд випадку
нормальної iєрархiї, елементи |hi2| можуть бути вели-
чинами рiзного порядку.
Так само як i у випадку нормальної iєрар-
хiї, вiдношення фаз елементiв юкавiвської матрицi
Arg [h32/h12] та Arg [h22/h12] лежать лише в замкну-
тiй компактнiй областi, що наведена на рис. 2,б.
Як для випадку прямої, так i оберненої iєрар-
хiй графiчно представлений масив вiдношень мiж
модулями елементiв третього стовпчика юкавiвської
матрицi (|h33/h13| ; |h23/h13|) подiбний до вiдношень,
представлених на рис. 1, 2 (а), а вiдповiднi вiдноше-
ння мiж фазами (Arg [h33/h13] ; Arg[h23/h13]), що ле-
жать в областi (0; 2π), подiбнi до вiдношень, зобра-
жених на рис. 1, 2 (б ). При подальшому збiльшеннi
кiлькостi точок, що використовуються при побудовi
масивiв, зазначенi графiчнi залежностi стають iден-
тичними.
4. Аналiз порушуючої CP-симетрiю фази в
теорiї νMSM
Як показав А.Д. Сахаров [13], для того щоб на яко-
мусь етапi еволюцiї Всесвiту вiдбулась генерацiя ба-
рiонної асиметрiї, необхiдне одночасне виконання та-
ких трьох умов:
1) незбереження барiонного заряду;
2) порушення С- i СР-симетрiї;
3) порушення термодинамiчної рiвноваги.
Як вiдомо, в теорiї поля при СР-перетвореннi
стартовий лагранжiан переходить у лагранжiан з
комплексно-спряженими константами зв’язку. Якщо
серед цих констант є такi, що мiстять неусувнi фази,
Рис. 2. Вiдношення модулiв (а) та фаз (б ) елементiв другого
стовпчика матрицi Юкави. Випадок оберненої iєрархiї
то тодi СР-iнварiантнiсть теорiї порушується. У СМ
нейтрино є безмасовими частинками, тому єдиним
джерелом порушення СР-симетрiї у слабких взаємо-
дiях є єдиний комплексний елемент матрицi Кабiббо–
Кобаяшi–Маскава, яка описує змiшування мiж квар-
ками рiзних поколiнь. У теорiї νMSM, внаслiдок iсну-
вання нейтрино з ненульовими масами, вiдбувається
змiшування мiж рiзними поколiннями нейтрино, от-
же, з’являється ще одне можливе джерело генерацiї
порушення СР-симетрiї.
Отриманi в попередньому роздiлi розв’язки для
вiдношень елементiв другого та третього стовпчи-
кiв юкавiвської матрицi (25) можна використати для
аналiзу отриманого в межах νMSM виразу для СР-
порушуючої фази [14]. Як уже зазначалось, у моделi
νMSM iснує можливiсть генерацiї барiонної асиметрiї
завдяки СР-порушуючим осциляцiям легких актив-
них нейтрино у стерильнi. При цьому змiнюється за-
гальне лептонне число в системi, що приводить до
появи лептонної асиметрiї, яка, в свою чергу, генерує
барiонну асиметрiю при сфалеронних переходах [15].
Використаємо для аналiзу порушуючої СР-
симетрiю фази вираз, отриманий у роботi [14]:
δCP =
1
F 6
[
Im(h+h)23
∑
α
(|hα2|4 − |hα3|4)−
− (F 2
2 − F 2
3 )
∑
α
(|hα2|2 + |hα3|2)Im[h∗α2hα3]
]
. (36)
Будемо розглядати окремо кожну iз складових дано-
го виразу
F 6 =
(
|h12|2 + |h22|2 + |h32|2
)3
=
= |h12|6
(
1 +
∣∣∣∣ 1
A12
∣∣∣∣2 +
∣∣∣∣ 1
A13
∣∣∣∣2
)3
, (37)
ISSN 2071-0194. Укр. фiз. журн. 2010. Т. 55, №3 271
В.М. ГОРКАВЕНКО, С.Й. ВIЛЬЧИНСЬКИЙ
Im[h+h]23 = Im [h∗12h13 + h∗22h23 + h∗32h33] =
= Im
[
h∗12
h12
h12h13 +
h∗22
h22
h22h23 +
h∗32
h32
h32h33
]
=
=
(
ν2
M
)−1
Im
[
h∗12
h12
·M11 +
h∗22
h22
M22 +
h∗32
h32
M33
]
=
=
(
ν2
M
)−1
Im
[
h∗12
h12
(
M11+
A12
A∗12
M22+
A13
A∗13
M33
)]
, (38)
∑
α
(
|hα2|4 − |hα3|4
)
= |h12|4
(
1 +
∣∣∣∣ 1
A12
∣∣∣∣4 +
∣∣∣∣ 1
A13
∣∣∣∣4−
−
∣∣∣∣h13
h12
∣∣∣∣4
{
1 +
∣∣∣∣A12
M22
M11
∣∣∣∣4 +
∣∣∣∣A13
M33
M11
∣∣∣∣4
})
, (39)
F 2
2 − F 2
3 = |h12|2
[
1 +
∣∣∣∣ 1
A12
∣∣∣∣2 +
∣∣∣∣ 1
A13
∣∣∣∣2 − ∣∣∣∣h13
h12
∣∣∣∣2×
×
{
1 +
∣∣∣∣A12
M22
M11
∣∣∣∣2 +
∣∣∣∣A13
M33
M11
∣∣∣∣2
}]
, (40)
∑
α
(
|hα2|2 + |hα3|2
)
Im[h∗α2hα3] =
= |h12|2
M
ν2
{(
1 +
∣∣∣∣h13
h12
∣∣∣∣2
)
Im
[
h∗12
h12
M11
]
+
+
(
1
|A12|2
+
∣∣∣∣h13
h12
∣∣∣∣2 ∣∣∣∣M22
M11
A12
∣∣∣∣2
)
Im
[
h∗12
h12
A12
A∗12
M22
]
+
+
(
1
|A13|2
+
∣∣∣∣h13
h12
∣∣∣∣2 ∣∣∣∣M33
M11
A13
∣∣∣∣2
)
Im
[
h∗12
h12
A13
A∗13
M33
]}
,
(41)
де було враховано, що h32 =
h12
A13
; h22 =
h12
A12
та h23 =
= h13
h23
h13
= h13
M22
M11
A12; h33 = h13
h33
h13
= h13
M33
M11
A13.
Пiдставивши (37) – (41) в (36), отримаємо остаточ-
ний вираз для СР-фази:
δCP(ξ, ε) = |M11|−1C−3[ε
(
Im
[
e−2iξA
]
B − CD
)
+
+ε3(C1D − CD1) + ε5
(
C1D1 −B1Im
[
e−2iξA
])
], (42)
в якому, окрiм залежностi вiд мас та параметрiв ма-
трицi змiшування активних нейтрино, було видiлено
залежнiсть вiд таких параметрiв матрицi Юкави:
ξ = arg[h12], ε =
∣∣∣∣h13
h12
∣∣∣∣ = ε
√
C/C1 (43)
та використано позначення
ε = F3/F2; A = M11 +
A12
A∗12
M22 +
A13
A∗13
M33,
B = 1 + |A12|−4 + |A13|−4; C = 1 + |A12|−2 + |A13|−2,
B1 = 1 +
∣∣∣∣A12
M22
M11
∣∣∣∣4 +
∣∣∣∣A13
M33
M11
∣∣∣∣4 ,
C1 = 1 +
∣∣∣∣A12
M22
M11
∣∣∣∣2 +
∣∣∣∣A13
M33
M11
∣∣∣∣2 ,
D = Im
[
e−2iξM11
]
+ |A12|−2Im
[
e−2iξA12
A∗12
M22
]
+
+|A13|−2Im
[
e−2iξA13
A∗13
M33
]
,
D1 = Im
[
e−2iξM11
]
+
∣∣∣∣M22
M11
A12
∣∣∣∣2Im[e−2iξA12
A∗12
M22
]
+
+
∣∣∣∣M33
M11
A13
∣∣∣∣2Im[e−2iξA13
A∗13
M33
]
.
Отриманий вираз (42) пiдтверджує чисельними
розрахунками загальнi властивостi СР-фази (36), що
наведенi в [14]:
1) знак фази, що порушує СР-симетрiю, а значить i
знак барiонної асиметрiї не можна визначити, знаючи
лише елементи матрицi активних нейтрино;
2) якщо ε→ 0, то δCP ∼ ε i також прямує до нуля;
272 ISSN 2071-0194. Укр. фiз. журн. 2010. Т. 55, №3
ТЕОРЕТИЧНI ОБМЕЖЕННЯ НА ЕЛЕМЕНТИ МАТРИЦI ЮКАВИ В МОДЕЛI νMSM
3) фаза, що порушує СР-симетрiю, може не дорiвню-
вати нулевi5, якщо ε = 1;
4) фаза, що порушує СР-симетрiю, може не дорiвню-
вати нулевi у випадках, коли θ13 = 0 та θ23 = π/4;
5) у випадку оберненої iєрархiї фаза, що порушує СР-
симетрiю, може не дорiвнювати нулевi у випадку, ко-
ли m1 = m2, θ13 = 0, θ23 = π/4.
Вираз (42) мiстить параметри, що змiнюються у
вiдомому дiапазонi6. Це дозволяє оцiнити межi, в
яких знаходиться значення фази, що порушує СР-
симетрiю. Так, для нормальної iєрархiї |δCP| . 0, 27,
для оберненої — |δCP| . 0, 08.
Розглянемо питання, чи буде генеруватися барiон-
на асиметрiя в частковому випадку, коли матриця
змiшування активних нейтрино (матриця U(1)) є дiй-
сною. Це можна зробити аналiтично.
Оскiльки елементи масової матрицi активних ней-
трино Mij явно задаються через параметри матри-
цi змiшування (28), то матриця Mij також буде дiй-
сною. Можна явно знайти вигляд матрицi Mlight =
U∗(1)mU
+
(1) в загальному випадку, коли матриця змi-
шування є дiйсною, навiть не враховуючи обмежен-
ня, що випливають з умови унiтарностi матрицi, та
переконатися, що наступнi мiнори додатнi: M11M22 −M2
12 = m2m3(U12U22 − U13U23)2 ≥ 0,
M11M33 −M2
13 = m2m3(U12U33 − U13U32)2 ≥ 0,
M22M33 −M2
23 = m2m3(U22U33 − U23U32)2 ≥ 0,
(44)
де Uij – елементи дiйсної матрицi U . Це означає, що
пiдкореневi вирази в (25) є вiд’ємними (або дорiвню-
ють нулевi в часткових випадках, коли вираз (44) до-
рiвнює нулевi).
Отже, вiдношення елементiв юкавiвської матрицi
(30), (31) може бути комплексним, що згенерує нену-
льову СР-фазу навiть у випадку, коли матриця змi-
шування активних нейтрино дiйсна. Даний результат
було пiдтверджено чисельними розрахунками з вико-
ристанням явного вигляду (42).
5. Висновки
Якщо модель νMSM справедлива i правi (стериль-
нi) нейтрино справдi iснують, що одночасно пояснює
5 Тут i далi фразу "фаза, що порушує СР-симетрiю, може не
дорiвнювати нулевi" слiд розумiти, що можливо так пiдiбра-
ти значення кутiв змiшування та фаз, щоб δCP = 0.
6 Для кутiв змiшування iснує експериментально дозволена
область (див. таблицю), фази змiнюються вiд 0 до 2π, ε ≤ 1.
осциляцiї активних нейтрино, забезпечує генерацiю
барiонної асиметрiї та з’ясовує структуру темної ма-
терiї, то на параметри моделi νMSM накладаються
достатньо жорсткi обмеження, якi, в принципi, мо-
жна експериментально перевiрити7. На даний момент
багаточисельнi данi спостережень за допомогою супу-
тникiв XMM-Newton, Chandra, INTEGRAL, Suzaku
поки що не виявили ознак iснування правих нейтри-
но в iнструментально дозволеному дiапазонi (див. ро-
боту [7] та посилання в нiй). Однак плануються новi
дослiдження (наприклад, проект Xenia [16]), що по-
виннi повнiстю перевiрити теоретично дозволений дi-
апазон параметрiв моделi, зокрема, кута змiшування
стерильних нейтрино з активними та масу найлегшо-
го правого нейтрино.
Якщо зазначенi експерименти пiдтвердять iснува-
ння стерильних нейтрино, то для аналiзу та оброб-
ки результатiв спостережень будуть кориснi точнi
розв’язки рiвнянь моделi νMSM.
У данiй роботi було проаналiзовано систему рiв-
нянь (18), що пов’язує елементи матрицi Юкави мо-
делi νMSM з масовою матрицею активних нейтри-
но (28), значення елементiв якої з певною похибкою
вiдомi й уточнюються з експериментiв за осциляцi-
ями нейтрино. Було отримано загальнi спiввiдноше-
ння мiж елементами другого та третього стовпчикiв
матрицi Юкави як функцiї параметрiв масової ма-
трицi активних нейтрино (30), (31). Для часткових
значень кутiв змiшування активних нейтрино даний
аналiз було проведено в роботах [5–7, 10, 14].
Використовуючи отриманi розв’язки (25), чисель-
ними методами було отримано дiапазон значень, в
якому лежать вiдношення модулiв та фаз елементiв
матрицi Юкави у випадку нормальної та оберненої iє-
рархiй для дозволеного експериментально дiапазону
параметрiв масової матрицi активних нейтрино (див.
таблицю). Показано, що навiть, якщо масова матри-
ця активних нейтрино дiйсна, в межах νMSM може
iснувати ненульова СР-порошуюча фаза, що вiдпо-
вiдає за генерацiю барiонної асиметрiї.
Автори висловлюють подяку за iдею, кориснi пора-
ди та обговорення результатiв Олексiю Боярському,
Олегу Ручайському та Михайлу Шапошникову.
1. S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 19, 1264 (1967);
S.L. Glashow, Nucl. Phys. 22, 579 (1961); A. Salam,
7 Мова йде про пошук розпадiв найлегшого правого нейтрино
на активне нейтрино та фотон. Цей процес дуже пригнiчений
i може вiдбуватися за рахунок осциляцiй правого нейтрино
в активне лiве нейтрино, яке взаємодiє з частинками СМ.
ISSN 2071-0194. Укр. фiз. журн. 2010. Т. 55, №3 273
В.М. ГОРКАВЕНКО, С.Й. ВIЛЬЧИНСЬКИЙ
Proceedings of the 8-th Nobel Symposium, edited by
N. Svartholm (Almqvist and Wiksell, Stockholm, 1968),
p. 367.
2. Д.С. Горбунов, В.А. Рубаков, Введение в теорию
ранней Вселенной: Теория горячего большого взрыва
(Издательство ЛКИ, Москва, 2008).
3. A. Strumia and F. Vissani, arXiv: hep-ph/0606054.
4. M. Gell-Mann, P. Ramond, and R. Slansky in Supergravi-
ty, edited by P. van Nieuwenhuizen and O. Freedman
(North-Holland, Amsterdam, 1979), p. 317; B. Stech,
in Unification of Fundamental Particle Interactions, edi-
ted by S. Ferrara, J. Ellis, and P. van Nieuwenhuizen
(Plenum, New York, 1980), p. 23.
5. T. Asaka and M. Shaposhnikov, Phys. Let. B 620, 17
(2005).
6. T. Asaka, S. Blanchet, and M. Shaposhnikov, Phys. Let.
B 631, 151 (2005).
7. A. Boyarsky, O. Ruchayskiy, and M. Shaposhnikov,
arXiv:0901.0011.
8. S.M. Bilenky and S.T. Petcov, Rev. Mod. Phys. 59 671
(1987).
9. C. Giunti, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 169, 309 (2007).
10. M. Shaposhnikov, Nucl. Phys. B 763, 49 (2007).
11. S. Bilenky, C. Giunti, and W. Grimus, Prog. Part. Nucl.
Phys. 43, 1 (1999).
12. Particle Data Group, http://pdg.lbl.gov
13. А.Д. Сахаров, ЖЭТФ 5, вып. 1, 32 (1967).
14. M. Shaposhnikov, arXiv:0804.4542.
15. E.K. Akhmetov, V.A. Rubakov, and A.Y. Smirnov, Phys.
Rev. Lett. 81, 1359 (1998); V.A. Kuzmin, V.A. Rubakov,
and M.E. Shaposhnikov, Phys. Lett. B 155, 36 (1985);
V.A. Kuzmin, V.A. Rubakov, and M.E. Shaposhnikov,
Phys. Lett. B 191, 171 (1987); S.Y. Khlebnikov and
M.E. Shaposhnikov, Phys. Lett. B 387, 817 (1996).
16. J.W. den Herder et al., arXiv:0906.1788.
Одержано 07.07.09
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОГРАНИЧЕНИЯ НА ЭЛЕМЕНТЫ
МАТРИЦЫ ЮКАВЫ В МОДЕЛИ νMSM
В.М. Горкавенко, С.Й. Вильчинский
Р е з ю м е
В работе проанализированы и решены уравнения расширен-
ной, за счет добавления трех правых нейтрино (синглеты по
слабому изоспину), Стандартной модели (νMSM), которые свя-
зывают элементы матрицы Юкавы с элементами массовой ма-
трицы активных нейтрино, в целях дальнейшего получения
более точного ограничения на значения параметров модели.
На основе полученных решений проведено исследование СР-
нарушающей фазы в случае, когда элементы массовой матри-
цы активных нейтрино действительны. Показано, что в этом
случае также может происходить генерация барионной асим-
метрии.
THEORETICAL LIMITATIONS ON ELEMENTS
OF THE YUKAWA MATRIX IN THE νMSM MODEL
V.M. Gorkavenko, S.I. Vilchynskiy
Taras Shevchenko Kyiv National University, Faculty of Physics
(64, Volodumyrska Str., Kyiv 01601, Ukraine)
S u m m a r y
The system of equations which couples elements of the Yukawa and
active neutrino mass matrices in the νMSM theory (an extension
of the Standard Model by three right-handed neutrinos which are
singlets of the weak isospin) has been analyzed and solved. On
the basis of the solution obtained, more accurate constraints on
the model parameters have been determined. The obtained results
were also used to study the CP-violating phase in the case where
the elements of the active neutrino mass matrix are real-valued.
The generation of a baryon asymmetry has been demonstrated to
occur in this case as well.
274 ISSN 2071-0194. Укр. фiз. журн. 2010. Т. 55, №3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-13397 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 2071-0194 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:25:59Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Відділення фізики і астрономії НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Горкавенко, В.М. Вільчинський, С.Й. 2010-11-08T11:11:43Z 2010-11-08T11:11:43Z 2010 Теоретичні обмеження на елементи матриці Юкави в моделі νMSM / В.М. Горкавенко, С.Й. Вільчинський // Укр. фіз. журн. — 2010. — Т. 55, № 3. — С. 265-274. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 2071-0194 PACS 14.60.St https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/13397 539.123 У роботi проаналiзовано та розв’язано систему рiвнянь Стандартної моделi (νMSM), розширеної за рахунок додавання трьох правих нейтрино (синглети слабкого iзоспiну), що пов’язують елементи матрицi Юкави з елементами масової матрицi активних нейтрино, з метою подальшого отримання бiльш точного обмеження на значення параметрiв моделi. На основi отриманих розв’язкiв проведено дослiдження СР-порушуючої фази для випадку, коли елементи масової матрицi активних нейтрино є дiйсними. Показано, що в цьому випадку також може вiдбуватися генерацiя барiонної асиметрiї. В работе проанализированы и решены уравнения расширенной, за счет добавления трех правых нейтрино (синглеты по слабому изоспину), Стандартной модели (νMSM), которые связывают элементы матрицы Юкавы с элементами массовой матрицы активных нейтрино, в целях дальнейшего получения более точного ограничения на значения параметров модели. На основе полученных решений проведено исследование СР-нарушающей фазы в случае, когда элементы массовой матрицы активных нейтрино действительны. Показано, что в этом случае также может происходить генерация барионной асимметрии. The system of equations which couples elements of the Yukawa and active neutrino mass matrices in the νMSM theory (an extension of the Standard Model by three right-handed neutrinos which are singlets of the weak isospin) has been analyzed and solved. On the basis of the solution obtained, more accurate constraints on the model parameters have been determined. The obtained results were also used to study the CP-violating phase in the case where the elements of the active neutrino mass matrix are real-valued. The generation of a baryon asymmetry has been demonstrated to occur in this case as well. Автори висловлюють подяку за iдею, кориснi поради та обговорення результатiв Олексiю Боярському, Олегу Ручайському та Михайлу Шапошникову. uk Відділення фізики і астрономії НАН України Поля та елементарні частинки Теоретичні обмеження на елементи матриці Юкави в моделі νMSM Теоретические ограничения на элементы матрицы Юкавы в модели νMSM Theoretical Limitations on Elements of the Yukawa Matrix in the νMSM Model Article published earlier |
| spellingShingle | Теоретичні обмеження на елементи матриці Юкави в моделі νMSM Горкавенко, В.М. Вільчинський, С.Й. Поля та елементарні частинки |
| title | Теоретичні обмеження на елементи матриці Юкави в моделі νMSM |
| title_alt | Теоретические ограничения на элементы матрицы Юкавы в модели νMSM Theoretical Limitations on Elements of the Yukawa Matrix in the νMSM Model |
| title_full | Теоретичні обмеження на елементи матриці Юкави в моделі νMSM |
| title_fullStr | Теоретичні обмеження на елементи матриці Юкави в моделі νMSM |
| title_full_unstemmed | Теоретичні обмеження на елементи матриці Юкави в моделі νMSM |
| title_short | Теоретичні обмеження на елементи матриці Юкави в моделі νMSM |
| title_sort | теоретичні обмеження на елементи матриці юкави в моделі νmsm |
| topic | Поля та елементарні частинки |
| topic_facet | Поля та елементарні частинки |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/13397 |
| work_keys_str_mv | AT gorkavenkovm teoretičníobmežennânaelementimatricíûkavivmodelíνmsm AT vílʹčinsʹkiisi teoretičníobmežennânaelementimatricíûkavivmodelíνmsm AT gorkavenkovm teoretičeskieograničeniânaélementymatricyûkavyvmodeliνmsm AT vílʹčinsʹkiisi teoretičeskieograničeniânaélementymatricyûkavyvmodeliνmsm AT gorkavenkovm theoreticallimitationsonelementsoftheyukawamatrixintheνmsmmodel AT vílʹčinsʹkiisi theoreticallimitationsonelementsoftheyukawamatrixintheνmsmmodel |