Задачі оцінювання параметрів у гільбертовому просторі для диференціальних рівнянь в умовах невизначеності
Розглянуто задачу ідентифікації параметрів диференціальних рівнянь, заданих у гільбертовому просторі. Встановлено умови існування розв’язків задачі, які збігаються з умовами неперервної залежності розв’язків диференціальних рівнянь від параметрів. Побудовано конструктивний алгоритм розв’язування зад...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Datum: | 2004 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2004
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/133992 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Задачі оцінювання параметрів у гільбертовому просторі для диференціальних рівнянь в умовах невизначеності / О.Г. Наконечний, В.П. Марценюк // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2004. — № 4. — С. 60-76. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-133992 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Наконечний, О.Г. Марценюк, В.П. 2018-06-10T16:30:06Z 2018-06-10T16:30:06Z 2004 Задачі оцінювання параметрів у гільбертовому просторі для диференціальних рівнянь в умовах невизначеності / О.Г. Наконечний, В.П. Марценюк // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2004. — № 4. — С. 60-76. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/133992 517.977 Розглянуто задачу ідентифікації параметрів диференціальних рівнянь, заданих у гільбертовому просторі. Встановлено умови існування розв’язків задачі, які збігаються з умовами неперервної залежності розв’язків диференціальних рівнянь від параметрів. Побудовано конструктивний алгоритм розв’язування задачі ідентифікації у гільбертовому просторі, що зводиться до відповідної крайової задачі. Запропоновано спосіб її зведення до задач Коші та розглянуто один частковий випадок, який допускає розв’язок задачі не лише в операторному вигляді. Рассмотрена задача идентификации параметров дифференциальных уравнений, заданных в гильбертовом пространстве. Установлены условия существования решений задачи, совпадающие с условиями непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров. Построен конструктивный алгоритм решения задачи идентификации в гильбертовом пространстве, который сводится к решению соответствующей краевой задачи. Предложен способ ее сведения к задаче Коши и рассмотрен один частный случай, допускающий решение задачи не только в операторном виде The problem of identification of differential equations given in Hilbert space is considered in the work. There are stated conditions of existence of problem solutions meaning continuous dependence on parameters of differential equations. The constructive algorithm for solution of identification problem in Hilbert space resulting in solution of corresponding boundary value problem is created. The way of its reduction to Cauchy problem is offered. A special case allowing solution not only in operator-like form is considered. uk Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності Задачі оцінювання параметрів у гільбертовому просторі для диференціальних рівнянь в умовах невизначеності Задачи оценивания параметров в гильбертовом пространстве для дифференциальных уравнений в условиях неопределенности Problem of parameter estimation in Hilbert space for differential equations under conditions of uncertainty Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Задачі оцінювання параметрів у гільбертовому просторі для диференціальних рівнянь в умовах невизначеності |
| spellingShingle |
Задачі оцінювання параметрів у гільбертовому просторі для диференціальних рівнянь в умовах невизначеності Наконечний, О.Г. Марценюк, В.П. Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності |
| title_short |
Задачі оцінювання параметрів у гільбертовому просторі для диференціальних рівнянь в умовах невизначеності |
| title_full |
Задачі оцінювання параметрів у гільбертовому просторі для диференціальних рівнянь в умовах невизначеності |
| title_fullStr |
Задачі оцінювання параметрів у гільбертовому просторі для диференціальних рівнянь в умовах невизначеності |
| title_full_unstemmed |
Задачі оцінювання параметрів у гільбертовому просторі для диференціальних рівнянь в умовах невизначеності |
| title_sort |
задачі оцінювання параметрів у гільбертовому просторі для диференціальних рівнянь в умовах невизначеності |
| author |
Наконечний, О.Г. Марценюк, В.П. |
| author_facet |
Наконечний, О.Г. Марценюк, В.П. |
| topic |
Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності |
| topic_facet |
Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності |
| publishDate |
2004 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Системні дослідження та інформаційні технології |
| publisher |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Задачи оценивания параметров в гильбертовом пространстве для дифференциальных уравнений в условиях неопределенности Problem of parameter estimation in Hilbert space for differential equations under conditions of uncertainty |
| description |
Розглянуто задачу ідентифікації параметрів диференціальних рівнянь, заданих у гільбертовому просторі. Встановлено умови існування розв’язків задачі, які збігаються з умовами неперервної залежності розв’язків диференціальних рівнянь від параметрів. Побудовано конструктивний алгоритм розв’язування задачі ідентифікації у гільбертовому просторі, що зводиться до відповідної крайової задачі. Запропоновано спосіб її зведення до задач Коші та розглянуто один частковий випадок, який допускає розв’язок задачі не лише в операторному вигляді.
Рассмотрена задача идентификации параметров дифференциальных уравнений, заданных в гильбертовом пространстве. Установлены условия существования решений задачи, совпадающие с условиями непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров. Построен конструктивный алгоритм решения задачи идентификации в гильбертовом пространстве, который сводится к решению соответствующей краевой задачи. Предложен способ ее сведения к задаче Коши и рассмотрен один частный случай, допускающий решение задачи не только в операторном виде
The problem of identification of differential equations given in Hilbert space is considered in the work. There are stated conditions of existence of problem solutions meaning continuous dependence on parameters of differential equations. The constructive algorithm for solution of identification problem in Hilbert space resulting in solution of corresponding boundary value problem is created. The way of its reduction to Cauchy problem is offered. A special case allowing solution not only in operator-like form is considered.
|
| issn |
1681–6048 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/133992 |
| citation_txt |
Задачі оцінювання параметрів у гільбертовому просторі для диференціальних рівнянь в умовах невизначеності / О.Г. Наконечний, В.П. Марценюк // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2004. — № 4. — С. 60-76. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT nakonečniiog zadačíocínûvannâparametrívugílʹbertovomuprostorídlâdiferencíalʹnihrívnânʹvumovahneviznačeností AT marcenûkvp zadačíocínûvannâparametrívugílʹbertovomuprostorídlâdiferencíalʹnihrívnânʹvumovahneviznačeností AT nakonečniiog zadačiocenivaniâparametrovvgilʹbertovomprostranstvedlâdifferencialʹnyhuravneniivusloviâhneopredelennosti AT marcenûkvp zadačiocenivaniâparametrovvgilʹbertovomprostranstvedlâdifferencialʹnyhuravneniivusloviâhneopredelennosti AT nakonečniiog problemofparameterestimationinhilbertspacefordifferentialequationsunderconditionsofuncertainty AT marcenûkvp problemofparameterestimationinhilbertspacefordifferentialequationsunderconditionsofuncertainty |
| first_indexed |
2025-11-26T01:42:52Z |
| last_indexed |
2025-11-26T01:42:52Z |
| _version_ |
1850605439723503616 |
| fulltext |
© О.Г. Наконечний, В.П. Марценюк, 2004
60 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4
TIДC
МЕТОДИ АНАЛІЗУ ТА УПРАВЛІННЯ
СИСТЕМАМИ В УМОВАХ РИЗИКУ І
НЕВИЗНАЧЕНОСТІ
УДК 517.977
ЗАДАЧІ ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ У ГІЛЬБЕРТОВОМУ
ПРОСТОРІ ДЛЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ
О.Г. НАКОНЕЧНИЙ, В.П. МАРЦЕНЮК
Розглянуто задачу ідентифікації параметрів диференціальних рівнянь, заданих
у гільбертовому просторі. Встановлено умови існування розв’язків задачі, які
збігаються з умовами неперервної залежності розв’язків диференціальних рів-
нянь від параметрів. Побудовано конструктивний алгоритм розв’язування за-
дачі ідентифікації у гільбертовому просторі, що зводиться до відповідної кра-
йової задачі. Запропоновано спосіб її зведення до задач Коші та розглянуто
один частковий випадок, який допускає розв’язок задачі не лише в оператор-
ному вигляді.
ВСТУП
При моделюванні процесів живої природи [1–3] виникають задачі знахо-
дження оцінок параметрів систем, які можуть бути елементами деяких фун-
кціональних просторів. Такі моделі будуються на основі диференціальних
рівнянь із запізненням та інтегро-диференціальних рівнянь [4, 5]. Результати
ідентифікації параметрів систем викладено у роботах [6,7].
Метою даного дослідження є встановлення умов існування розв’язків
задач ідентифікації параметрів, заданих в абстрактних гільбертових просто-
рах, а також побудова конструктивних алгоритмів їх пошуку.
ПИТАННЯ ІСНУВАННЯ ОПТИМАЛЬНИХ АПОСТЕРІОРНИХ ОЦІНОК
Нехай спостерігається вектор-функція ( ) mRty ∈ , що має вигляд
( ) ( )( ) ( )tttxhty ηα += ,, , Ttt <<0 (1)
при деяких наперед невідомих параметрах α , та вектор-функції ( )tv . При-
пустимо, що вектор α належить деякій множині G гільбертового простору
H , а вектор-функція ( )tη — відповідно множині ηG гільбертового просто-
ру ( )TtL ,02 , що має вигляд
Задачі оцінювання параметрів у гільбертовому просторі для диференціальних рівнянь ...
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 61
( )
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤Φ= ∫ 1,:
0
T
t
dttvvGη , (2)
де ( )tv,Φ — неперервна, невід′ємна функція на ],[ 0 TtRm × , яка задовольняє
умову
( ) 2, vCtv ≤Φ , (3)
де C — деяка константа.
Якщо ( )txh , — неперервна на ],[ 0 TtRn × функція і існує константа 1C
така, що
( ) xCtxh 1, ≤ , (4)
а ( )α,tx належить множині ( )TtL ,02 G∈∀α , то апостеріорна множина мо-
жливих значень параметра α визначається як
1GGGy ∩= ,
де
( ) ( )( )( )
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤−Φ= ∫ 1,,,:
0
1
T
t
dttttxhtyG αα . (5)
У задачах апостеріорного оцінювання важливими є такі дві проблеми.
1. Описати множину yG .
2. Визначити оптимальний елемент із множини yG .
Успішний розв′язок другої проблеми залежить від критерію, згідно з
яким будемо шукати оптимальний елемент. У даній роботі оберемо критерій
виду
( ) ( ) ( )( )( )∫ −Φ=
T
t
dttttxhtyJ
0
,,,αα , (6)
а оптимальне значення визначимо із умови
( ) ( )αα
α
ˆinf JJ
G
=
∈
. (7)
Зрозуміло, якщо такі елементи α̂ існують, то вони будуть потрапляти в
множину yG .
Твердження 1. Припустимо, що або множина G — компактна, а
( )α,tx — неперервна функція своїх аргументів, або G — обмежена слабо-
замкнена множина, функціонал ( ) ( ) ( )( )( )∫ −Φ=
T
t
dttttxhtyJ
0
,,1 α слабонапів-
неперервний знизу, причому ( )ntx α, слабо збігається в ( )TtL ,02 до ( )0,αtx ,
якщо nα слабо збігається до 0α в H .
Тоді існує оптимальна апостеріорна оцінка.
О.Г. Наконечний, В.П. Марценюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 62
Доведення. Нехай nα — мінімізуюча послідовність. Тоді ( )→nJ α
( )α
α
J
G∈
→ inf . Оскільки множина G — компактна, то виділимо сильно збіжну
підпослідовність 0αα →
kn . При цьому ( ) ( )ttxhttxh
kn ,),(,),( 0αα → . В силу
леми Фату
( ) ( ) ( )( )( ) =−Φ≥ ∫ ∞→∞→
T
t
nknk
dttttxhtyJ
kk
0
,,,limlim αα
( ) ( )( )( ) ( )00
0
,,, αα Jdttttxhty
T
t
=−Φ= ∫ ,
але ( ) ( ) ( )0inflim ααα
α
JJJ
G
n
k k
≤=
∈∞→
, а значить ( ) ( )αα
α
JJ
G∈
= inf0 .
Нехай тепер виконуються умови другої половини твердження 1. Тоді
якщо nα — мінімізуюча послідовність, то виділимо слабозбіжну підпос-
лідовність 0αα →
kn , причому в силу слабої замкненості G будемо мати
G∈0α . Далі за умовою ( )
kk nn txx α,= слабо збігається до ( )0,αtx , але тоді
в силу слабої напівнеперервності ( )xJ1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )∫ −Φ=≥=
∞→∞→
T
t
n
k
n
k
dttttxgtyxJxJJ
kk
0
,,,limlim 0011 αα ,
а це означає, що 0α — апостеріорна оцінка. ■
Наслідок. Нехай ( ) ( )xtHtxh =, , ( ) ( )( )xxtQtx ,, =Φ , де ( )tH — матриця
з неперервними елементами, а ( )tQ — додатньоозначена матриця, елементи
якої є неперервні на ],[ 0 Tt . Тоді існує оптимальна апостеріорна оцінка.
Зауваження 1. Умову обмеженості множини G можливо замінити
умовою
( ) ∞=
∞→
α
α
Jlim .
Зауваження 2. Якщо ( )αJ — сильно опуклий по α , то оптимальна
апостеріорна оцінка єдина.
Розглянемо далі випадок, коли ( )α,tx — розв′язок диференціального
рівняння
( ) ( )( )∫+=
t
t
dssxstgxtf
dt
dx
0
,,,,, βα , (8)
( ) 00 xtx = , (9)
де ( ) nRtx ∈ , 1H∈α , 2H∈β . Тут 21, HH — абстрактні гільбертові просто-
ри.
Введемо позначення
Задачі оцінювання параметрів у гільбертовому просторі для диференціальних рівнянь ...
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 63
( ) ( ) ( )( )∫+=
t
t
dssxstgxtfxtf
0
,,,,,,,1 βαθ , ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
β
α
θ .
Припустимо, що значення параметрів α та β невідомі, задано лише їх
апріорні множини відповідно αG та βG .
Для встановлення умов існування апостеріорних оцінок у гільбертово-
му просторі розглянемо кілька часткових випадків (8), (9).
ЗАГАЛЬНИЙ ВИПАДОК ЛІНІЙНОЇ СИСТЕМИ
Розглянемо систему
( ) ( ) ( )
( )⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
,
,,
00 xtx
txtA
dt
tdx α
(10)
де ( ) ( )nRTCtx ],,0[1∈ , ( ) ( ) ( )nn RTCRTCGTtA ],,0[],,0[],0[:, 1 →××α — лі-
нійний оператор відносно ( )tx .
Твердження 2. Припустимо, що виконуються умови твердження 1 що-
до функціоналу та апріорної множини, і при цьому ( )α,tx є розв’язком сис-
теми (10), де оператор ( )••,A є лінійним відносно ( )tx і таким, що
(i) ( ) ( )sksA ≤α, при ],[, 0 TtsG ∈∈α ;
(ii) для довільних ( ) ( )nRTCsx ],,0[1∈ та G∈0α і 0αα ⎯⎯ →⎯
∞→nn має
місце
( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0,,lim
''
' 0
0
=−∫→
t
t n dssxsAsxsA
n
αα
αα
. (11)
Тоді на множині G∈α існує оптимальна апостеріорна оцінка α̂ .
Доведення. Оскільки виконуються умови твердження 1, то для існу-
вання апостеріорної оцінки залишилося показати неперервну залежність
( )α,tx від G∈α . Далі оцінимо
( ) ( ) =− 0,, αα txtx n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ≤−−+= ∫∫
t
t
t
t nnn dssxsAtxdssxsAtx
00
00000 ,,,,,, αααααα
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ≤−+−≤ ∫∫
t
t
t
t nnn dssxsAdssxsAtxtx
00
00000 ,,,,,, αααααα
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +−+−≤ ∫∫
t
t
t
t nn dssxsAdssxsAtxtx
00
000000 ,,,,,, αααααα
( ) ( ) ( ) ( ) ≤−+ ∫∫
t
t n
t
t nn dssxsAdssxsA
00
0,,,, αααα
О.Г. Наконечний, В.П. Марценюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 64
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +−+−≤ ∫∫
t
t
t
t nn dssxsAdssxsAtxtx
00
000000 ,,,,,, αααααα
( ) ( ) ( )∫ −+
t
t n dssxsxsk
0
0,, αα .
Згідно з лемою Гронуола
( ) ( ) ( ) ( )⎜
⎝
⎛ +−≤− 0000 ,,,, αααα txtxtxtx nn
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫
⎟
⎠
⎞−+ ∫∫
t
t dsskt
t
t
t n edssxsAdssxsA 0
00
000 ,,,, αααα . (12)
В силу (11) права частина нерівності (12) прямує до нуля при
0αα ⎯⎯ →⎯
∞→nn . ■
Наслідок 1. Якщо оператор ( )α,sA є лінійним відносно α , то умова
(11) може бути переписана як
( ) ( ) 0,,lim
''
' 0
0
=−∫→
t
t n dssAsA
n
αα
αα
. (13)
Наслідок 2. Якщо оператор ( )α,sA є лінійним відносно α і не зале-
жить від t , тобто ( ) ( )αα AsA =, , то умова (11) може бути переписана як
( ) ( ) 0lim 0
0
=−
→
αα
αα
AA n
n
. (14)
ЛІНІЙНА СИСТЕМА З ІНТЕГРАЛЬНИМ ЯДРОМ
Розглянемо систему
( ) ( ) ( ) ( )
( )⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−+= ∫
,0
,
0
0
xx
dssxstKtAx
dt
tdx t
(15)
де параметром α , що оцінюється, виступає невідоме інтегральне ядро
( ) GK ∈• .
Твердження 3. Припустимо, що виконуються умови твердження 1 що-
до функціоналу та апріорної множини, і при цьому ( )Ktx , є розв’язком сис-
теми (15), де матричнозначна функція ( )sK належить множині G , яка задо-
вольняє (i) для довільного ( ) GsK ∈0 і 0KK nn ⎯⎯→⎯ ∞→
( ) ( ) 0lim
0
2
0 =−∫∞→
T
n
n
dKK τττ , (16)
тоді існує оптимальна апостеріорна оцінка K̂ на множині ( ) GK ∈• .
Задачі оцінювання параметрів у гільбертовому просторі для диференціальних рівнянь ...
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 65
Доведення. Оскільки виконуються умови твердження 1, то залишається
показати неперервну залежність ( )tx від ( ) GK ∈• . Оцінимо
( ) ( ) =− 0,, KtxKtx n
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
≤
−+−−
−−−+
=
∫∫ ∫
∫ ∫
t
n
t t
t t
nnn
dtKtxKtxAdtdsKsxstK
KxdtdsKsxstKKx
0 00 0 1010
00 0 11
,,,
,0,,0
( ) ( ) ( ) ( ) +−+−≤ ∫
t
nn dtKtxKtxAKxKx
0 00 ,,,0,0
( ) ( ) ( ) ( ) +−−−+ ∫ ∫∫ ∫
t t
n
t t
nn dtdsKsxstKdtdsKsxstK
0 0 1010 0 11 ,,
( ) ( ) ( ) ( ) ≤−−−+ ∫ ∫∫ ∫
t tt t
n dtdsKsxstKdtdsKsxstK
0 0 10100 0 101 ,,
( ) ( ) ( ) ( ) +−+−≤ ∫
t
nn dtKtxKtxAKxKx
0 00 ,,,0,0
( ) ( ) ( )[ ] +−−+ ∫ ∫
t t
nn dtdsKsxKsxstK
0 0 101 ,,
( ) ( )[ ] ( ) =−−−+ ∫ ∫
t t
n dtdsKsxstKstK
0 0 10101 ,
( ) ( ) ( ) ( ) +−+−= ∫
t
nn dtKtxKtxAKxKx
0 00 ,,,0,0
( ) ( ) ( )[ ] +−−+ ∫ ∫
t
n
t
s n dsKsxKsxdtstK
0 011 ,,
( ) ( )[ ] ( )∫ ∫ −−−+
t t
s n dsKsxdtstKstK
0 01101 , . (17)
Далі використаємо такі оцінки:
( ) ( ) ( )[ ] ≤−−∫ ∫
t
n
t
s n dsKsxKsxdtstK
0 011 ,,
( ) ( ) ( )[ ] ≤−−≤ ∫ ∫
t
n
t
s n dsKsxKsxdtstK
0 011 ,,
( ) ( ) ( )∫∫ −≤
t
n
T
n dsKsxKsxdK
0 00
,,ττ . (18)
Згідно з нерівністю Коші-Буняковського
( ) ( ) TMdKTdK
T
n
T
n =≤ ∫∫ 0
2
0
ττττ , (19)
О.Г. Наконечний, В.П. Марценюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 66
де ( ) ∞<=∫ MdK
T
n0
2 ττ в силу умови (16), можемо продовжити (18) як
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫ ∫ −≤−−
t
n
t
n
t
s n dsKsxKsxTMdsKsxKsxdtstK
0 00 011 ,,,,, (20)
( ) ( )[ ] ( ) ≤−−−∫ ∫
t t
s n dsKsxdtstKstK
0 01101 ,
( ) ( )[ ] ( ) ≤−−−≤ ∫ ∫
t t
s n dsKsxdtstKstK
0 01101 ,
( ) ( ) ( ) ( ) ≤−−−−≤ ∫ ∫
t t
s n dsKsxstdtstKstK
0 011
2
101 ,
( ) ( ) ( )∫ ∫ −−−≤
T T
n dsKsxTdtstKstK
0 00 1
2
101 , . (21)
Враховуючи (20) та (21) у (17), отримуємо
( ) ( ) ( ) ( ) +−≤− 00 ,0,0,, KxKxKtxKtx nn
( ) ( ) ( ) ( ) +−+−+ ∫∫
t
n
t
n dsKsxKsxTMdtKtxKtxA
0 00 0 ,,,,
( ) ( ) ( )∫ ∫ −−−+
T T
n dsKsxTdtstKstK
0 00 1
2
101 , . (22)
Застосовуючи в (22) лему Гронуола, маємо
( ) ( ) ( ) ( )⎜
⎝
⎛ +−≤− 00 ,0,0,, KxKxKtxKtx nn
( ) ( ) ( ) ( )tTMAT T
n edsKsxdtstKstKT +
⎟
⎠
⎞−−−+ ∫ ∫0 00 1
2
101 , . (23)
Згідно із (16) права частина (23) прямує до нуля при ∞→n . ■
ПРОБЛЕМИ ОЦІНЮВАННЯ У ГІЛЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОРІ
На розв’язках системи (8), (9) розглянемо такі проблеми.
Проблема 1. При відомих значеннях функції ( )sx та ( )
ds
sdx , Ts ≤ знай-
ти оцінки параметрів α та β .
Проблема 2. При заданій функції ( )ty , такій, що
( ) ( )( ) ( )ttxthty η+= , , Ttt ≤≤0 ,
де mRy∈ ; h — відома векторна функція; ( )tη — деяка невідома функція,
що належить множині ηG із простору ( )TtL ,02 , знайти оцінки параметрів
α та β та оцінку функції ( )sx , Ts ≥ .
Задачі оцінювання параметрів у гільбертовому просторі для диференціальних рівнянь ...
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 67
Зауважимо спочатку, що ці проблеми вкладаються в задачі оцінки
розв’язків диференціальних рівнянь у гільбертових просторах.
Дійсно, якщо ввести функцію ( )tθ із значеннями в 21 HHH ×= як
розв’язок рівняння
( ) θθθ
== 0,0 t
dt
d ,
де похідна розуміється в сильному сенсі, то ми одержимо систему рівнянь
( ) ( ) ( )( )
( )⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
,
,,,
00
1
xtx
ssxsf
dt
tdx θ
0=
dt
dθ , ( ) 00 =tθ . (24)
Таким чином, у випадку проблеми 1 ми повинні знайти оцінку ( )tθ як
розв’язку диференціального рівняння, спостерігаючи ( ) Ttttx <<0, , що за-
довольняє рівняння (8).
У випадку другої проблеми задача про оцінювання θ та ( )sx зводиться
до оцінки розв’язків диференціального рівняння у гільбертовому просторі
HRn × .
Тому доцільно спочатку дослідити задачі про оцінювання параметрів
розв’язку диференціального рівняння у гільбертовому просторі.
Розглянемо спочатку випадок лінійного диференціального рівняння в H .
( ) ( ) ( ) ( )tftBtxtA
dt
dx
1+= , (25)
( ) 00 xtx = ,
де ( ) ( )HHtA ,L∈ ; ( )tf1 — невідома функція із ( )( )102 ,, FTtL , де 1F — де-
який гільбертовий простір; ( ) ( )HFtB ,1L∈ ; норми ( )tA та ( )tB — непе-
рервні функції; 0x — невідомий вектор із H .
Зауважимо, що під узагальненим розв’язком рівняння (25) будемо ро-
зуміти розв’язок інтегрального рівняння
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +=
t
t
t
t
dssfsBdssxsAtx
00
1 .
Можна показати, що такий розв’язок існує та він єдиний і є непере-
рвною функцією.
Нехай, крім цього, задані спостереження
( ) ( ) ( )( ) ( )tftxytty 2)(,, DH +••= ,
де 2F , Y — деякі гільбертові простори; ( )tD — неперервна по t ; 2f —
невідома функція з простору 2F ; ( ) ( )( )•• xyt ,,H залежить від спостережень
( ) tssy <, та при фіксованому t та y є відображенням простору H в Y .
О.Г. Наконечний, В.П. Марценюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 68
Нехай також трійка ( ) ( )( )•• 210 ,, ffx належить деякій множині G гіль-
бертового простору ( )( ) ( )( )202102 ,,,, FTtLFTtLH ×× .
Визначення. Апостеріорною оцінкою вектору ( )TxS , де ( )3, FHS L∈ ;
3F — гільбертовий простір, назвемо вектор ( )TxS ˆ , де ( )Tx̂ є розв’язком
рівняння
( ) ( ) ( ) ( )tftBtxtA
dt
xd
1̂ˆˆ
+= ,
( ) 00 ˆˆ xtx = ,
а пара ( )10
ˆ,ˆ fx належить апостеріорній множині yG , що визначається як
( ) ( ) ( ){ }1
21010 ,,:, yy GffxfxG ∈= ,
де
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }TtttftxyttyGffxffxGy ≤≤+••=∈= 02210210
1 ,D,,H,,,:,, .
Очевидно, якщо ( ) ( )( )•• xyt ,,H — неперервне відображення, а множина
G — обмежена, то апостеріорна множина також обмежена.
Зауваження 1. Якщо 0x̂ , 1̂f — апостеріорні оцінки відповідно векторів
0x та 1f , то має місце нерівність
( )
( )1
212
11
2
00
,
212
11
2
00
ˆˆsupˆˆ
10
a
Gfx
ffxxffxx
y
σ=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −+−≤
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ −+−
∈
.
З іншої сторони, для мінімаксних апостеріорних оцінок 0
ˆ̂x , 1
ˆ̂f , які ви-
значаютья із рівності
( ) ( )
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ −+−
∈∈
212
11
2
00
,ˆ,ˆ
ˆˆsupinf
1010
ffxx
yy GfxGfx
( )
a
Gfx
ffxx
y
σ=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+−=
∈
212
11
2
00
,
ˆ̂ˆ̂sup
10
,
має місце нерівність
( )1
aa σσ ≤ .
Зауваження 2. Нехай G — обмежена замкнена множина. Тоді
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )[ ] 21
1,,
212
11
2
00
,
ˆˆsupˆˆsup
221110
fLfLffxx l
llllGfx y
−+=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −+−
≤+∈
σ ,
де
( ) ( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−= fLfL
yy GG
l infsup
2
1σ , ( ) ( ) ( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+= fLfLfL
yy GG
infsup
2
1ˆ ,
Задачі оцінювання параметрів у гільбертовому просторі для диференціальних рівнянь ...
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 69
( ) ( ) ( )1201 ,, flxlfL += , ( ) ( ) ( )1201
ˆ,ˆ,ˆ flxlfL += .
Доведення. Оскільки
( ) ( )( )
( ) ( )[ ]2
1,,
2
11
2
00
ˆsupˆˆ
2211
fLfLffxx
llll
−=−+−
≤+
,
то
( )
( ) ( )( )
( ) ( )fLfL
yGfllll
a −=
∈≤+
ˆsupsup
1,,
1
2211
σ .
Зазначимо також, що ( )fL змінюється в межах
( ) ( ) ( )fLfLfL
yy GG
supinf ≤≤
або
( ) ( ) lfLfL σ≤− ˆ ,
звідки і одержуємо потрібне. ■
Зауваження 3. Нехай множина yG обмежена та замкнена, а також цен-
трально симетрична відносно вектора 10 , fx (тобто, якщо ( )∈−− 1100 , ffxx
yG∈ , то і ( ) yGffxx ∈−−− 1100 , ). Тоді легко бачити, що
( ) ( ) ( )fLfLfL
yy GG
+=
~
supsup ,
( ) ( ) ( )fLfLfL
yy GG
+−=
~
supinf ,
де ( )00 ,~ fxGG yy −= , і є центрально симетричною відносно нуля, а, значить,
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 21
1100~~1,,
1 ,,supˆsupsup
2211
ffxxfLfLfL
yy GGllll
a +≥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+=
≤+
σ .
Знак рівності досягається при ff =ˆ . Тобто f є мінімаксною апостері-
орною оцінкою із похибкою оцінювання
( ) ( )[ ] 21
1100~
,,sup ffxx
yG
a +=σ .
Далі розглянемо випадок, коли ( ) ( )( )•• xyt ,,H залежить від ( )•x ліній-
но, більше того
( ) ( )( ) ( )( ) ( )txytxyt •=•• ,,, HH , (26)
де ( )( ) ( )YHyt ,, LH ∈• .
О.Г. Наконечний, В.П. Марценюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 70
Введемо функціонал
( ) ( ) ( ) ( ) +++= ∫∫
T
t
T
t
dtffQdtffQxxQffx
00
222111000210 ,,,,,J
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )∫ −•−+
T
t
dttftxyttyt
0
2,, tDHλ
і розглянемо апостеріорну множину
( ) ( ){ }1,,:, 21010 ≤= ffxfxGy J . (27)
Лема 1. Апостеріорні оцінки задачі (4) – (6) можуть бути знайдені в ре-
зультаті розв’язування такої системи рівнянь відносно ( ) ( ) ( )ttxtp λ̂,ˆ, :
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
•=−−
,0
,ˆ,' **
Tp
tyttptAtp λH
(28)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+=
−
−
,ˆ
,ˆˆ
0
1
00
*1
1
tpQtx
tptBQtBtxtA
dt
txd
(29)
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttQttxytty λ̂
2
1ˆ, *1
2
* DDH −+•= (30)
і мають вигляд
( ) ( ) ( )tptBQtf *1
11̂
−= , ( ) ( ) ( )ttQtf λ̂
2
1ˆ *1
22 D−= . (31)
Доведення. Обчислимо
( ) ( ) ( ) ++=+++ ∫
=
T
t
dtgfQwxQgfgfwx
d
d
0
11100
0
22110 ,2,2,,
τ
τττ
τ
J
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) =−•−+ ∫∫
T
t
T
t
dttgtgxyttdtgfQ
00
21222 ,,,2 DHλ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) −−++= ∫∫∫
T
t
T
t
T
t
dtgttdtgfQdtgfQwxQ
000
2
*
22211100 ,,2,2,2 λD
( ) ( )( ) ( )( )∫ •−
T
t
dtgxytt
0
1,,Hλ .
Введемо спряжену функцію ( )tp як розв’язок рівняння
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tyttptAtp λ̂,' ** •=−− H .
Задачі оцінювання параметрів у гільбертовому просторі для диференціальних рівнянь ...
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 71
Звідси
( ) ( ) ( ) ++=+++ ∫
=
T
t
dtgfQwxQgfgfwx
d
d
0
11100
0
22110 ,2,2,,
τ
τττ
τ
J
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) −−+−+ ∫∫ wtpTxTpdtgttdtgfQ
T
t
T
t
,,,,2 02
*
222
00
λD
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0,,,
000
*
1 =+−− ∫∫∫
T
t
T
t
T
t
dttxtptAdttgtBtpdttxtAtp .
■
Лема 2. Нехай існує ( ) ( )[ ] 1*1
2
−−= tQtG DD . Тоді розв’язок системи
(28) – (30) може бути знайдений у вигляді
( ) ( ) ( ) ( )tqtpttx +=Pˆ , (32)
де ( ) nRtq ∈ — розв’язок задачі
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]
( )⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
•−•+=
;0
,,,2
0
*
tq
tqyttyGytttqtA
dt
tdq
HHP
(33)
оператор ( ) ( )nRHt ,LP ∈ — розв’язок рівняння Ріккаті
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+••−+=
−
−
.
,*,,2
1
00
1
1
**
Qt
tBQtBtytGytttAtttA
dt
td
P
PHHPPP
P
(34)
Доведення. З (32) випливає, що
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tqtpttp
td
td
td
txd ''
ˆ
++= P
P . (35)
Використовуючи в (35) рівняння (28), (29), маємо
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) .'ˆ,
ˆ
**
*1
1
tqtyttptAt
tp
dt
tdtptBQtBtxtA
+•−−+
+=+ −
λHP
P
(36)
В силу (30) маємо
( ) ( )( ) ( )[ ]txyttyG ˆ,2ˆ •−= Hλ .
З (36) випливає, що
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) =
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
••−+−+ − tytGytttAt
td
tdtBQtBttA PHHPP
P
P ,,2* **1
1
О.Г. Наконечний, В.П. Марценюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 72
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ){ }tqtqytGytttGyytttqtA ',,2,2 ** +••+•−−= HHPHP .
Тобто ми отримали задачу (33) для ( )tq і (34) для ( )tP . ■
Нарешті розглянемо випадок диференціального рівняння (25) над
простором HRn × , де H — абстрактний гільбертовий простір, а оператор
( )( )•yt,H має вигляд ( )( ) ( )( )Θ=• ,, 1 tHytH , де ( ) nmRtH ×∈1 ; Θ — нуль-
оператор.
Нехай вектор ( ) HRtx n ×∈ має представлення ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
2
1
x
x
x , де nRx ∈1 ;
Hx ∈2 .
Нехай як простір спостережень Y розглядається mR і mmRQ ×∈2 . Тоді
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tfttxtHty 211 D+= ,
де ( ) ( ) mRtft ∈2D .
Далі, скориставшись результатом [9] про представлення лінійного опе-
ратора ( )HRHRA nn ××∈ ,L , де H — абстрактний гільбертовий простір, у
вигляді
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
2221
1211
AA
AA
A ,
де ( )nn RRA ,11 L∈ ; ( )nRHA ,12 L∈ ; ( )HRA n ,21 L∈ ; ( )HHA ,22 L∈ ,
прийдемо до таких розщеплень операторів:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
tAtA
tAtA
tA
2221
1211 , ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
tPtP
tPtP
t
2221
2111P ,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=−
22
1
21
1
12
1
11
11
1 QQ
QQQ , ( ) ( ) ( )
( ) ( )⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
tBtB
tBtB
tB
2221
1211 ,
де елементи операторів належать до відповідних просторів.
У такому разі задача (10) для ( ) ( )
( )⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
tq
tq
tq
2
1 зводиться до задач
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−++=
,0
,2
01
11
*
111212111
1
tq
tqtHtyGtHtPtqtAtqtA
dt
tdq
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
Θ=
−++=
02
11
*
121222121
2 ,2
tq
tqtHtyGtHtPtqtAtqtA
dt
tqd
та чотирьох задач для компонент оператора ( )tP .
Задачі оцінювання параметрів у гільбертовому просторі для диференціальних рівнянь ...
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 73
Приклад
Розглядається модель популяції білих кров’яних клітин, яка відіграє ви-
ключно важливу роль в процесі кровотворення та є показником токсичності
методів лікування. Оскільки білі кров’яні клітини походять із кісткового
мозку [10], то вони також пов’язані з мінеральною щільністю кісткової
тканини [11].
Отже, позначимо ( )tx щільність білих кров’яних клітин у крові (оди-
ниць клітин/ мл крові). На основі результатів дослідження [3] пропонується
таке рівняння:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+∈≡=
∞∈++−= ∫
.,,0,
),,(,
0000
0
tatttxxtx
ttdsstxsvtx
dt
tdx b
a
βδ
(37)
Тут ( ) ),( 0
1 ∞∈ tCtx — неперервно-диференційована функція; 0<< ba
(можна розглянути випадок tta −= 0 ); 0x — відоме початкове значення;
( )sv — невідоме інтегральне ядро. Припускається, що ( ) ( )0,1 ∞−∈Csv і при
цьому
( ) ( ) ( )
( )⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
∈=
,
,0,,
0
1
vav
assf
sd
sdv
(38)
де ( ) ( )0,21 aLsf ∈ ; Rv ∈0 — невідомі функція та початкове значення.
Нехай задано спостереження
( ) ( ) ( ) ],[, 02 Ttttftxty ∈+= , (39)
де ( ) ],[ 022 TtLtf ∈ — невідома похибка.
Потрібно знайти інтегральне ядро ( )sv , яке задовольняє умову
( ) ( ) ( ) 1,, 2
00
2
22
2
11021
0
≤++= ∫∫ vqdttfqdssfqvffJ
T
t
b
a
. (40)
На основі запропонованого в попередніх розділах алгоритму розробле-
но комп’ютерну програму ідентифікації інтегрального ядра задачі (37). Ре-
зультати її роботи показано на рисунку, де а —розв’язок рівняння при поча-
тковому наближенні ядра; b — спостереження; c — розв’язок рівняння
Рікатті; d — значення функції g ; e — розв’язок спряженої системи; f —
знайдений наближений розв’язок; g — точне значення інтегрального ядра;
oh − — оцінки інтегрального ядра до 10-ї ітерації; p — точне значення ядра
(x2) та оцінка ядра (x8).
О.Г. Наконечний, В.П. Марценюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 74
a b c
d e f
g h i
j k l
Задачі оцінювання параметрів у гільбертовому просторі для диференціальних рівнянь ...
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 75
ВИСНОВКИ
Розглянуто задачу ідентифікації параметрів диференціальних рівнянь, зада-
них у гільбертовому просторі. Встановлено умови існування розв’язків за-
дачі, які збігаються з умовами неперервної залежності розв’язків диференці-
альних рівнянь від параметрів. У випадку лінійної моделі та простору 2L
умова полягає у збіжності в середньоквадратичному на апріорній множині.
Побудовано конструктивний алгоритм розв’язування задачі ідентифікації у
гільбертовому просторі, який зводиться до відповідної крайової задачі. За-
пропоновано спосіб її зведення до задач Коші та розглянуто один частковий
випадок, який допускає розв’язок задачі не лише в операторному вигляді.
m n o
---------- x8; — — — x2
Результати роботи програми для системи (37) з параметрами p
30;0;4;20
;001,0;01,0;10;1;2,3;2
0
02
4
10
==−=−=
======
Ttba
xqqqβδ
О.Г. Наконечний, В.П. Марценюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 76
У подальших роботах буде запропоновано розв’язок проблем 1 та 2 у випад-
ку моделей, заданих інтегродиференціальними рівняннями.
ЛІТЕРАТУРА
1. Моделювання та аналіз глобальних біосферних процесів / О.Г. Наконечний,
О.М. Трофимчук, І.В. Трофімова, Д.І. Черній. – Київ: ВПЦ «Київський ун-т»,
2002. – 93 с.
2. Ляшенко І.М., Мукоєд А.П. Моделювання біологічних та екологічних
процесів. — Київ: ВПЦ «Київський ун-т», 2002. — 340 с.
3. Marzeniuk V.P., Nakonechny A.G. System analysis methods of medical and
biological processes. — Ternopil: Ukrmedknyha, 2003. — 241p.
4. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений: Пер.с
англ. — М.: Мир, 1984. — 421 с.
5. Gopalsamy K. Stability and oscillation in delay differential equations of population
dynamics. — The Nethederlands. Kluwer Academic Publishers: AA Dordrecht,
1992. — 501 р.
6. Наконечный А.Г. Минимаксное оценивание функционалов от решений вариа-
ционных уравнений в гильбертовых пространствах. — Киев: КГУ, 1985. —
131 с.
7. Бублик Б.Н., Данилов В.Я., Наконечный А.Г. Некоторые задачи наблюдения и
управления в линейных системах. — Киев: УМК ПО, 1988. — 157 с.
8. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука,
1988. — 518 с.
9. Функциональный анализ. Справочник под ред. Ф.Г. Крейна. — М.: Наука,
1972. — 544 с.
10. Вершигора А.Е. Общая иммунология: Учеб.пособие. — Киев: Вища шк.,
1989. — 736 с.
11. Жулкевич І.В., Марценюк В.П. Визначення прогнозу структурно-функціональ-
них змін кісткової тканини при гемобластозах // Вісник наук. дослі-
джень. — 2002. — № 1. — С. 57–59.
12. Marzeniuk V.P. Qualitative analysis of human cells dynamics: stability, periodicity,
bifurcations, control problems // Advances in Mathematics researches. — 5. —
New York: Nova Science Publisher, 2003. — P. 227–281.
Поступила 17.12.2003
|