Еліптична тріщина у просторі під дією теплового потоку на безмежності
Одержано аналітичний розв’язок системи двох сингулярних інтегродиференціальних рівнянь, до якої зведена тривимірна термопружна задача для тіла з термоізольованою еліптичною тріщиною, підданого на безмежності дії перпендикулярного до площини тріщини теплового потоку. Знайдено формули для обчислення к...
Saved in:
| Published in: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/134663 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Еліптична тріщина у просторі під дією теплового потоку на безмежності / М.М. Стадник // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 3. — С. 38-41. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860011802198278144 |
|---|---|
| author | Стадник, М.М. |
| author_facet | Стадник, М.М. |
| citation_txt | Еліптична тріщина у просторі під дією теплового потоку на безмежності / М.М. Стадник // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 3. — С. 38-41. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| description | Одержано аналітичний розв’язок системи двох сингулярних інтегродиференціальних рівнянь, до якої зведена тривимірна термопружна задача для тіла з термоізольованою еліптичною тріщиною, підданого на безмежності дії перпендикулярного до площини тріщини теплового потоку. Знайдено формули для обчислення коефіцієнтів інтенсивності напружень і проаналізовано вплив на них конфігурації тріщини для деяких важливих часткових випадків задачі.
Получено аналитическое решение системы двух сингулярных интегродифференциальных уравнений, к которой сведена трехмерная термоупругая задача для тела с термоизолированной эллиптической трещиной. На бесконечности на тело действует тепловой поток, перпендикулярный к плоскости трещины. Найдены формулы для вычисления коэффициентов интенсивности напряжений и проанализировано влияние на них конфигурации трещины для некоторых частичных случаев задачи.
The analytical solution of a system of two singular intgrodifferential equations, to which a three dimensional thermoelastic problem for a body with a thermoisolated elliptic crack is reduced, have been obtained. The heat flow perpendicular to the crack plane acts on the body at infinity. As a result, the formulae for computing stress intensity factors habe been written and the influence of crack configurations for different partial cases of the investigated problem has been analyzed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:42:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
38
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2010. – ¹ 3. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
ЕЛІПТИЧНА ТРІЩИНА У ПРОСТОРІ
ПІД ДІЄЮ ТЕПЛОВОГО ПОТОКУ НА БЕЗМЕЖНОСТІ
М. М. СТАДНИК
Національний лісотехнічний університет України, Львів
Одержано аналітичний розв’язок системи двох сингулярних інтегродиференціаль-
них рівнянь, до якої зведена тривимірна термопружна задача для тіла з термоізольо-
ваною еліптичною тріщиною, підданого на безмежності дії перпендикулярного до
площини тріщини теплового потоку. Знайдено формули для обчислення коефіцієн-
тів інтенсивності напружень і проаналізовано вплив на них конфігурації тріщини
для деяких важливих часткових випадків задачі.
Ключові слова: інтегродиференціальні рівняння, термоізольована тріщина, тепло-
вий потік.
Розв’язки термопружних задач для тіл з тріщинами різної конфігурації
необхідні для дослідження їх міцності методами механіки крихкого руйну-
вання. Термопружна задача для термоізольованих кругової та тунельної трі-
щин у тілі за дії теплового потоку на безмежності розв’язана раніше [1–6].
Нижче розв’язано термопружну задачу для термоізольованої еліптичної трі-
щини у тілі за дії теплового потоку на безмежності і отримані подання для
обчислення коефіцієнтів інтенсивності напружень (КІН).
Формулювання задачі та її розв’язок. Розглянемо тривимірне пружне
тіло з термоізольованою еліптичною тріщиною. Систему прямокутних декар-
тових координат Oxyz виберемо так, щоби її початок збігався з центром трі-
щини, вісь Oz була перпендикулярнa до площини тріщини, тобто рівняння
контуру тріщини мало вигляд 2 2 2 2/ / 1x a y b+ = . На безмежності тіло піддане
дії теплового потоку інтенсивності q, який направлений перпендикулярно до
площини тріщини. Мета роботи – визначити КІН вздовж контуру тріщини.
На основі результатів праці [7] задачу зведемо до системи двох сингу-
лярних інтегродиференціальних рівнянь
[ ] [ ]
( ) [ ]1 ;
yx x
S S S
S
uu u
d d d d d d
R y x R y R
d dT
x R
∗ ∗ ∗
∗
∂ ∂ ∂ ∆ ξ η+ µ ξ η − ξ η =
∂ ∂ ∂
∂ ξ η
= α + µ ⋅
∂
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫
%% %
[ ]
( ) [ ]1
y yx
S S S
S
u uu
d d d d d d
R x y R x R
d dT
y R
∗ ∗ ∗
∗
∂ ∂ ∂ ∆ ξ η + µ ξ η− ξ η =
∂ ∂ ∂
∂ ξ η
= α + µ ⋅
∂
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫
% %%
(1)
Контактна особа: М. М. СТАДНИК, e-mail: maths@forest.Lviv.ua
mailto:maths@forest.Lviv.ua
39
відносно стрибків зміщень [ ]xu ∗
% і yu
∗
% поверхонь 0z = ± тріщини, які спричи-
нені дією теплового потоку q. Тут 2 2 2 2/ /x y∆ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ; µ – коефіцієнт Пуассона
матеріалу тіла; S – еліптична область 2 2 2 2/ / 1x a y b+ ≤ ; ( ) ( )2 2R x y= − ξ + − η ;
α – коефіцієнт теплового розширення тіла; [ ]T ∗ – стрибок температури на
берегах тріщини 0z = ± , який визначаємо із інтегрального рівняння задачі
теплопровідності [7]
[ ] 0
0
44
zS
Td d qT
R z∗
=
∂ξ η π
∆ = − π = −
∂ λ∫∫ , ( ),x y S∈ , (2)
де 0 /T qz= λ – температура в однорідному тілі; λ – коефіцієнт теплопровід-
ності тіла.
Розв’язком рівняння (2) буде функція
[ ] ( )( )2 2 2 22 1 / / /T qb x a y b E k∗ = − − λ , (3)
де ( )
2
2 2
0
1 sinE k k d
π
= − θ θ∫ ; ( )2 2 2 2/k a b a= − .
Подаючи розв’язок рівнянь (1) у вигляді
[ ] 2 2 2 2
1 1 / /xu C x x a y b∗ = − −% ; 2 2 2 2
2 1 / /yu C y x a y b
∗
= − − % (4)
і підставляючи його у ці інтегральні рівняння, матимемо систему алгебрич-
них рівнянь
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2
1 04 3 2 3 1/ / 2 1 / 3C F k F k b C b F k a b q F k a E k− µ + µ = α + µ λ ;
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 2
1 3 2 05 3 2/ / / 2 1 / 3C F k b C F k b F k a b q F k E kµ + − µ = α + µ λ (5)
для визначення сталих величин С1 і С2. Тут
( ) ( ) ( )( ) 2
1 /F k K k E k k= − ; ( ) ( ) ( )( )2 2 2
2 / /F k E k b K k a k= − ;
( )
2
2 2
0 1 sin
dK k
k
π
θ
=
− θ
∫ ; ( )
22
3 2 2
0
sin 24
1 sin
F k d
k
π
θ
= θ
− θ
∫ ;
( )
2
2 2 2
04
0
sin 1 sinF k k d
π
= θ − θ θ∫ ; ( ) ( ) ( )05 04F k E k F k= − .
У результаті розв’язку рівнянь (5) маємо співвідношення
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
3
1 05 3
1 2 2 2
04 05 3 04 05
2 1 /
3 /
qb F k F k E k F k
C
a F k F k F k b F k a F k
α + µ − µ
=
λ − µ +
;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2 04 3
2 2 2
04 05 3 04 05
2 1 /
3 /
qb F k F k E k F k
C
F k F k F k b F k a F k
α + µ − µ
=
λ − µ +
(6)
40
для обчислення значень С1 і С2.
Користуючись рухомою локальною системою координат 1O ntz з почат-
ком на контурі області S, одержимо асимптотичні подання для стрибків змі-
щень:
[ ] ( ) ( )1 2 / cosxu C f na b O n∗ = − ϕ ϕ +% ;
( ) ( )2 2 / sinyu C f nb a O n
∗
= − ϕ ϕ + % , (7)
де ( ) 2 2 2 2sin cosf a bϕ = ϕ + ϕ ; 1O n – зовнішня нормаль до контуру області S;
ϕ – кут, що визначає параметричні координати точок еліпса ( )2 2 2 2/ / 1x a y b+ = ;
,n a b<< .
Оскільки
[ ] [ ] cos sinn x yu u u∗ ∗ ∗
= θ + θ % % % ; [ ] [ ] sin cost x yu u u∗ ∗ ∗
= − θ + θ % % % ,
то на основі (7) отримаємо:
[ ] ( ) ( ) ( )2 2
1 2cos sin 2 /nu C C nab f O n∗ = ϕ + ϕ − ϕ +% ;
[ ] ( ) ( )( ) ( )2 2
1 2 sin 2 / 2tu C a C b n abf O n∗ = − + ϕ − ϕ +% , (8)
де θ – кут між додатними напрямами осей Ох і 1O n ; ( )cos cos /b fθ = ϕ ϕ ;
( )sin sin /a fθ = ϕ ϕ .
Користуючись поданнями [7]
[ ] ( )( )'
II
0
lim 2 / 2 1n nn
K n G u ∗→−
= − − π − µ% ;
[ ] '
III
0
lim 2 / 2t nn
K n G u ∗→−
= − − π % (9)
і підставляючи у них вирази (8) з урахуванням співвідношень (6), матимемо
формули
( ) ( ) ( )( ( )( ( ))3 2 2
II 1 05 31 / cosK G q b b F k F k E k F k= α + µ π − µ ϕ +
( ) ( ) ( )( ( )) ) ( ( ) ( ( ) ( )2 2
2 04 3 04 05/ sin / 3 1a F k F k E k F k F k F k+ −µ ϕ λ − µ −
( ) ( ) ( ))( ) ( )2 2 3
3 04 05/ ;F k b F k a F k a f −µ + ϕ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2
2 04 1 05
III 2 2
04 05 3 04 05
1 sin 2
6 /
G qb b F k F k F k F k
K
E k af F k F k F k b F k a F k
α + µ π − ϕ
=
λ ϕ − µ +
(10)
для обчислення КІН KII і KIII у просторі з еліптичною тріщиною. Тут G – мо-
дуль зсуву матеріалу тіла. Аналіз співвідношень (10) показує, що при a > b
коефіцієнт KII набуває найбільшого значення в точці ( )0, ,0b , тобто для
/ 2ϕ = π , а III 0K = .
Для кругової тріщини (a = b) із формул (10) одержимо відомі [1, 2] по-
дання для КІН:
41
( ) ( )( )II 2 1 / 3 1K G qa a= α + µ λ − µ π ; III 0K = . (11)
Якщо у співвідношеннях (10) величину a спрямувати до безмежності і
покласти кут / 2ϕ = ±π , то матимемо відомий [3–6] результат
( ) ( )( )II / 1K b E qb b± = ± α π λ + κ ; III 0K = (12)
для двовимірної задачі у разі плоскої деформації, тобто тунельної тріщини
( 3 4κ = − µ ; ( )2 1E G= + µ ). Якщо у виразі (12) замінити α на ( )/ 1α + µ ; κ – на
( ) ( )3 / 1κ = − µ + µ , то матимемо KII для плоского напруженого стану.
РЕЗЮМЕ. Получено аналитическое решение системы двух сингулярных интегро-
дифференциальных уравнений, к которой сведена трехмерная термоупругая задача для
тела с термоизолированной эллиптической трещиной. На бесконечности на тело действу-
ет тепловой поток, перпендикулярный к плоскости трещины. Найдены формулы для вы-
числения коэффициентов интенсивности напряжений и проанализировано влияние на них
конфигурации трещины для некоторых частичных случаев задачи.
SUMMARY. The analytical solution of a system of two singular intgrodifferential equations,
to which a three dimensional thermoelastic problem for a body with a thermoisolated elliptic
crack is reduced, have been obtained. The heat flow perpendicular to the crack plane acts on the
body at infinity. As a result, the formulae for computing stress intensity factors habe been
written and the influence of crack configurations for different partial cases of the investigated
problem has been analyzed.
1. Парис П., Си Дж. Анализ напряженного состояния около трещин // Прикладные во-
просы вязкости разрушения. – М.: Мир, 1968. – С. 204–211.
2. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. – М.: Наука, 1974. – 640 с.
3. Си Дж. О сингулярном характере температурных напряжений у вершины трещины
// Прикл. механика (пер. Тр. АОИМ). – 1962. – 29, Е.3. – С. 157–159.
4. Кит Г. С. О влиянии однородного теплового потока на предельную нагрузку для плас-
тины с трещиной // Физ.-хим. механика материалов. – 1969. – № 1. – С. 114–115.
5. Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацышин А. П. Распределение напряжений около трещин
в пластинах и оболочках. – К.: Наук. думка, 1976. – 444 с.
6. Партон В. З., Морозов Е. М. Механика упругопластического разрушения. – М.: Наука,
1985. – 504 с.
7. Стадник М. М. Метод розв’язування тривимірних термопружних задач для тіл з тон-
кими включеннями // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 1994. – № 6. – С. 30–40.
Одержано 11.02.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-134663 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0430-6252 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:42:45Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Стадник, М.М. 2018-06-13T19:42:31Z 2018-06-13T19:42:31Z 2010 Еліптична тріщина у просторі під дією теплового потоку на безмежності / М.М. Стадник // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 3. — С. 38-41. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. 0430-6252 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/134663 539.3 Одержано аналітичний розв’язок системи двох сингулярних інтегродиференціальних рівнянь, до якої зведена тривимірна термопружна задача для тіла з термоізольованою еліптичною тріщиною, підданого на безмежності дії перпендикулярного до площини тріщини теплового потоку. Знайдено формули для обчислення коефіцієнтів інтенсивності напружень і проаналізовано вплив на них конфігурації тріщини для деяких важливих часткових випадків задачі. Получено аналитическое решение системы двух сингулярных интегродифференциальных уравнений, к которой сведена трехмерная термоупругая задача для тела с термоизолированной эллиптической трещиной. На бесконечности на тело действует тепловой поток, перпендикулярный к плоскости трещины. Найдены формулы для вычисления коэффициентов интенсивности напряжений и проанализировано влияние на них конфигурации трещины для некоторых частичных случаев задачи. The analytical solution of a system of two singular intgrodifferential equations, to which a three dimensional thermoelastic problem for a body with a thermoisolated elliptic crack is reduced, have been obtained. The heat flow perpendicular to the crack plane acts on the body at infinity. As a result, the formulae for computing stress intensity factors habe been written and the influence of crack configurations for different partial cases of the investigated problem has been analyzed. uk Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України Фізико-хімічна механіка матеріалів Еліптична тріщина у просторі під дією теплового потоку на безмежності Эллиптическая трещина в пространстве при воздействии теплового потока на бесконечности An elliptical crack in a semi-space under effect of heat flow at infinity Article published earlier |
| spellingShingle | Еліптична тріщина у просторі під дією теплового потоку на безмежності Стадник, М.М. |
| title | Еліптична тріщина у просторі під дією теплового потоку на безмежності |
| title_alt | Эллиптическая трещина в пространстве при воздействии теплового потока на бесконечности An elliptical crack in a semi-space under effect of heat flow at infinity |
| title_full | Еліптична тріщина у просторі під дією теплового потоку на безмежності |
| title_fullStr | Еліптична тріщина у просторі під дією теплового потоку на безмежності |
| title_full_unstemmed | Еліптична тріщина у просторі під дією теплового потоку на безмежності |
| title_short | Еліптична тріщина у просторі під дією теплового потоку на безмежності |
| title_sort | еліптична тріщина у просторі під дією теплового потоку на безмежності |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/134663 |
| work_keys_str_mv | AT stadnikmm elíptičnatríŝinauprostorípíddíêûteplovogopotokunabezmežností AT stadnikmm élliptičeskaâtreŝinavprostranstveprivozdeistviiteplovogopotokanabeskonečnosti AT stadnikmm anellipticalcrackinasemispaceundereffectofheatflowatinfinity |