Дія неосесиметричного динамічного навантаження на коловий отвір у пружній нескінченній площині
Отримано розв’язок плоскої динамічної задачі теорії пружності про дію неосесиметричного навантаження на краю колового отвору в нескінченній площині. Для розв’язування задачі використано модифікований метод скінченних різниць за часом та метод рядів Фур’є за кутовою змінною. Знайдено розподіл напруже...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2014
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/134761 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Дія неосесиметричного динамічного навантаження на коловий отвір у пружній нескінченній площині / Л.Й. Онишко, М.М. Сенюк, Н.М. Біда // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 69-76. — Бібліогр.: 13 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-134761 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Онишко, Л.Й. Сенюк, М.М. Біда, Н.М. 2018-06-14T08:24:47Z 2018-06-14T08:24:47Z 2014 Дія неосесиметричного динамічного навантаження на коловий отвір у пружній нескінченній площині / Л.Й. Онишко, М.М. Сенюк, Н.М. Біда // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 69-76. — Бібліогр.: 13 назв. — укp. 0430-6252 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/134761 539.3 Отримано розв’язок плоскої динамічної задачі теорії пружності про дію неосесиметричного навантаження на краю колового отвору в нескінченній площині. Для розв’язування задачі використано модифікований метод скінченних різниць за часом та метод рядів Фур’є за кутовою змінною. Знайдено розподіл напружень та числово розраховано концентрацію напружень на краю колового отвору залежно від часу за різних коефіцієнтів Пуассона для розподіленого за певним законом навантаження. Получено решение плоской динамической задачи теории упругости о воздействии неосесимметричной нагрузки на круговое отверстие в бесконечной плоскости. Для решения задачи использовано модифицированный метод конечных разностей по времени и метод рядов Фурье по угловой переменной. Найдено распределение напряжений и проведен численный расчет концентрации напряжений на краю кругового отверстия, находящегося под действием распределенного за некоторым законом нагружения, в зависимости от времени для различных коэффициентов Пуассона. The modified finite difference method with respect to time and the Fourier series method with respect to the angular variable are used to solve the plane dynamic elastic problem on action of symmetrically located nonaxisymmetrical loading on the circular hole boundary in an infinite plane. The stress distributions for the assigned problem are found. The numerical calculation of stress concentration distribution at the hole boundary depending on time for different Poisson’s ratios and the loading distributed by certain laws is carried out. uk Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України Фізико-хімічна механіка матеріалів Дія неосесиметричного динамічного навантаження на коловий отвір у пружній нескінченній площині Воздействие неосесимметричной динамической нагрузки на круговое отверстие в упругой бесконечной плоскости Action of nonaxisymmetrical dynamic loading on the circumferential hole in an elastic infinite plane Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Дія неосесиметричного динамічного навантаження на коловий отвір у пружній нескінченній площині |
| spellingShingle |
Дія неосесиметричного динамічного навантаження на коловий отвір у пружній нескінченній площині Онишко, Л.Й. Сенюк, М.М. Біда, Н.М. |
| title_short |
Дія неосесиметричного динамічного навантаження на коловий отвір у пружній нескінченній площині |
| title_full |
Дія неосесиметричного динамічного навантаження на коловий отвір у пружній нескінченній площині |
| title_fullStr |
Дія неосесиметричного динамічного навантаження на коловий отвір у пружній нескінченній площині |
| title_full_unstemmed |
Дія неосесиметричного динамічного навантаження на коловий отвір у пружній нескінченній площині |
| title_sort |
дія неосесиметричного динамічного навантаження на коловий отвір у пружній нескінченній площині |
| author |
Онишко, Л.Й. Сенюк, М.М. Біда, Н.М. |
| author_facet |
Онишко, Л.Й. Сенюк, М.М. Біда, Н.М. |
| publishDate |
2014 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Воздействие неосесимметричной динамической нагрузки на круговое отверстие в упругой бесконечной плоскости Action of nonaxisymmetrical dynamic loading on the circumferential hole in an elastic infinite plane |
| description |
Отримано розв’язок плоскої динамічної задачі теорії пружності про дію неосесиметричного навантаження на краю колового отвору в нескінченній площині. Для розв’язування задачі використано модифікований метод скінченних різниць за часом та метод рядів Фур’є за кутовою змінною. Знайдено розподіл напружень та числово розраховано концентрацію напружень на краю колового отвору залежно від часу за різних коефіцієнтів Пуассона для розподіленого за певним законом навантаження.
Получено решение плоской динамической задачи теории упругости о воздействии неосесимметричной нагрузки на круговое отверстие в бесконечной плоскости. Для решения задачи использовано модифицированный метод конечных разностей по времени и метод рядов Фурье по угловой переменной. Найдено распределение напряжений и проведен численный расчет концентрации напряжений на краю кругового отверстия, находящегося под действием распределенного за некоторым законом нагружения, в зависимости от времени для различных коэффициентов Пуассона.
The modified finite difference method with respect to time and the Fourier series method with respect to the angular variable are used to solve the plane dynamic elastic problem on action of symmetrically located nonaxisymmetrical loading on the circular hole boundary in an infinite plane. The stress distributions for the assigned problem are found. The numerical calculation of stress concentration distribution at the hole boundary depending on time for different Poisson’s ratios and the loading distributed by certain laws is carried out.
|
| issn |
0430-6252 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/134761 |
| citation_txt |
Дія неосесиметричного динамічного навантаження на коловий отвір у пружній нескінченній площині / Л.Й. Онишко, М.М. Сенюк, Н.М. Біда // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 69-76. — Бібліогр.: 13 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT oniškoli díâneosesimetričnogodinamíčnogonavantažennânakoloviiotvírupružníineskínčenníiploŝiní AT senûkmm díâneosesimetričnogodinamíčnogonavantažennânakoloviiotvírupružníineskínčenníiploŝiní AT bídanm díâneosesimetričnogodinamíčnogonavantažennânakoloviiotvírupružníineskínčenníiploŝiní AT oniškoli vozdeistvieneosesimmetričnoidinamičeskoinagruzkinakrugovoeotverstievuprugoibeskonečnoiploskosti AT senûkmm vozdeistvieneosesimmetričnoidinamičeskoinagruzkinakrugovoeotverstievuprugoibeskonečnoiploskosti AT bídanm vozdeistvieneosesimmetričnoidinamičeskoinagruzkinakrugovoeotverstievuprugoibeskonečnoiploskosti AT oniškoli actionofnonaxisymmetricaldynamicloadingonthecircumferentialholeinanelasticinfiniteplane AT senûkmm actionofnonaxisymmetricaldynamicloadingonthecircumferentialholeinanelasticinfiniteplane AT bídanm actionofnonaxisymmetricaldynamicloadingonthecircumferentialholeinanelasticinfiniteplane |
| first_indexed |
2025-11-24T02:32:46Z |
| last_indexed |
2025-11-24T02:32:46Z |
| _version_ |
1850838275606970368 |
| fulltext |
69
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2014. – ¹ 2. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
ДІЯ НЕОСЕСИМЕТРИЧНОГО ДИНАМІЧНОГО НАВАНТАЖЕННЯ
НА КОЛОВИЙ ОТВІР У ПРУЖНІЙ НЕСКІНЧЕННІЙ ПЛОЩИНІ
Л. Й. ОНИШКО, М. М. СЕНЮК, Н. М. БІДА
Фізико-механічний інститут ім. Г. В. Карпенка НАН України, Львів
Отримано розв’язок плоскої динамічної задачі теорії пружності про дію неосесимет-
ричного навантаження на краю колового отвору в нескінченній площині. Для роз-
в’язування задачі використано модифікований метод скінченних різниць за часом та
метод рядів Фур’є за кутовою змінною. Знайдено розподіл напружень та числово
розраховано концентрацію напружень на краю колового отвору залежно від часу за
різних коефіцієнтів Пуассона для розподіленого за певним законом навантаження.
Ключові слова: динаміка, нескінченна пластина, коловий отвір, скінченні різниці,
ряди Фур’є, неосесиметричне навантаження.
Методи, які, в основному, використовували для розв’язування плоских дина-
мічних задач теорії пружності, базувались на інтегральних перетвореннях Лапла-
са [1]. Основний недолік цього підходу – важко отримати обернені перетворення
Лапласа для певного класу динамічних задач, а у багатьох випадках одержати їх
неможливо. Запропонований аналітико-числовий метод розв’язування динаміч-
них задач [2] можна застосовувати для будь-яких геометрії тіл та навантаження.
Він ґрунтується на застосуванні скінченних різниць тільки за часом і у ньому не
використовують інтегральні перетворення Лапласа. За іншими просторовими
змінними можна використовувати, наприклад, метод інтегральних рівнянь або
інші відомі аналітичні методи. За допомогою аналітико-числового методу неод-
норідні диференційні рівняння руху для поставленої динамічної задачі зводять до
однорідних такого ж вигляду, як і за застосування до них перетворень Лапласа.
Це дасть змогу використовувати добре розроблені підходи для розв’язування од-
норідних диференційних рівнянь. Метод апробували на осесиметричній динаміч-
ній задачі для пружної площини з круговим отвором за умов плоскої деформації
та за його допомогою розв’язали плоскі динамічні задачі теорії пружності для
одно- та двошарових порожнистих циліндрів за дії на їхніх поверхнях ударних
осесиметричних навантажень [3–8].
Нижче модифікований метод скінченних різниць за часом застосували для
розв’язування динамічної неосесиметричної задачі теорії пружності для нескін-
ченної площини з коловим отвором.
Постава задачі та метод її розв’язування. Нехай у нескінченній пружній
площині міститься коловий отвір радіуса r = R. Систему полярних координат r, θ
вибрали з початком у центрі кола. На краю отвору у початковий момент часу
t = 0 прикладене неосесиметричне динамічне навантаження P(R, θ, 0) (рис. 1).
Розв’язано задачу методом скінченних різниць за часом [2]. Рівняння руху
для поставленої задачі зводять до системи неоднорідних диференційних рівнянь
відносно просторових змінних. Систему розбили на дві незалежні: однорідну,
розв’язок якої задовольняє ненульові крайові умови та неоднорідну з нульовими
Контактна особа: М. М. СЕНЮК, e-mail: sen_lm@ipm.lviv.ua
70
крайовими умовами. За нульових по-
чаткових умов неоднорідна система має
нульовий розв’язок. Отже, задачу звели
до розв’язування однорідних диферен-
ційних рівнянь такого ж вигляду, як за
застосування до рівнянь руху інте-
гральних перетворень.
Рис. 1. Коловий отвір у нескінченній
пружній площині під дією розподіленого
динамічного навантаження
Fig. 1. А circular hole in an infinite elastic
plane under distributed dynamic load.
Розподіл радіальних σrr, колових
σθθ та дотичних σrθ напружень знайдемо за відомими формулами [9, 10]:
2 2
2 1 2 2
1 2 2
1 12rr r rr r
⎛ ⎞∂ ϕ ∂ϕ ∂ ϕ
σ = λ∇ ϕ + µ − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂θ ∂ ∂θ∂⎝ ⎠
,
2 2
2 1 1 2 2
1 2
2 1 1
r r r r rθθ
⎛ ⎞µ ∂ϕ ∂ ϕ ∂ϕ ∂ ϕ
σ = λ∇ ϕ + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂θ ∂ ∂θ∂θ⎝ ⎠
, (1)
2 2 2
1 1 2 2 2
2 2 2 2
2 2 1 1
r r r r rr r rθ
⎛ ⎞∂ ϕ ∂ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ϕ
σ = µ − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂θ ∂θ ∂∂θ ∂⎝ ⎠
,
де
2 2
2
2 2 2
1 1
r rr r
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂∂ ∂θ
; λ, µ – сталі Ламе, які зв’язані з коефіцієнтом Пуас-
сона ν та модулем Юнґа E так: /(1 )(1 2 ) 2 /(1 2 )Eλ = ν − ν − ν = µν − ν . Хвильові
потенціали ϕk (k = 1, 2) є розв’язками двох неоднорідних рівнянь руху [11]
2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 1k k k k
kr rr r c t
∂ ϕ ∂ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ
+ + =
∂∂ ∂θ ∂
, (2)
де ck – відповідно швидкості поздовжніх (k = 1) та поперечних (k = 2) хвиль.
Розвинемо допоміжні функції ϕk у ряди Фур’є [12]:
1 1
0
( , , ) ( , )cosn
n
r t A r t n
∞
=
ϕ θ = θ∑ , 2 2
0
( , , ) ( , )sinn
n
r t A r t n
∞
=
ϕ θ = θ∑ (3)
та підставимо у рівняння (2), де невідомі коефіцієнти Akn (k = 1, 2) у кожний j-ий
момент часу подамо через нові функції j
knA [2]:
1
j
j
j knknA w Aν
ν
ν=
= ∑ ,
1
j
j k
k
t t
=
= ∆∑ , 1 0; 0,k k kt t t t−∆ = − = (4)
а похідну за часом через різницеві рівняння
1 1 22
2 2
1
; 2, 3,....
j
j j j j
kn kn kn kn kn
j jjt t
A A A AA j
t tt t
− − −
−=
− −∂
= − =
∆ ∆∂ ∆
(5)
71
На основі модифікованого методу cкінченних різниць за часом [2] вибирає-
мо коефіцієнти ряду (4) wjv у вигляді таких рекурентних співвідношень:
1
, 1
1
2
, 1, 2,2 2
1 1
1; ; 2, 3,...,
1 ;
3, 4...; 2, 3,..., 1
j
jj j j
j j
j n j j
j j n j j n j j n
j jj n j
t
w w j
t t
t t t
w w w
t tt t
j n j
−
−
−
−
− − − − −
− −−
∆
= = =
∆ − ∆
⎡ ⎤⎛ ⎞∆ ∆ ∆
= + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∆ ∆∆ − ∆ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
= = −
(6)
та за допомогою (3)–(6) зведемо неоднорідну систему рівнянь (2) до однорідної
відносно невідомих функцій j
knA
2 2
2
2 2
1 0
j j
jkn kn
kj kn
A A n s A
r rr r
⎛ ⎞∂ ∂
+ − + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂∂ ⎝ ⎠
, 2
2 2
1
kj
k j
s
c t
=
∆
. (7)
Розподіл напружень визначаємо за формулами (1) з врахуванням подань (3), (4)
( , , )j
rr t rσ θ =
2 2 2
1 1 1 1 2
22 2 2 2
1 0
( , )1 2 cos ,
j
nn n n n n
n j
n
A A n A A r t An nA w n
r r r rr r r r
ν ν ν ν ν∞
ν
ν
ν= =
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂
= λ + − + µ − + θ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ ∑
2 2
1 1 1
2 2
1 0
2
1 2
1 2
1( , , )
( , )2 cos ,
j
j n n n
n
nn n
n n j
A A n At r
r rr r
A r t n An nA A w n
r r r r r
ν ν ν∞
θθ
ν= =
ν ν
ν ν
ν
⎡ ⎛ ⎞∂ ∂
σ θ = λ + − +⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂∂⎢ ⎝ ⎠⎣
⎤⎛ ⎞∂ ∂µ
+ − + − θ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ⎥⎝ ⎠⎦
∑ ∑
(8)
2 2
1 2 2
1 22 2 2
1 0
2 2 1( , , ) sin .
j
j nn n n
n n jr
n
A A An n nt r A A w n
r r r rr r r
ν ν ν∞
ν ν
νθ
ν= =
⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂
σ θ = µ − + − + − θ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ ∑
Коли загальний розв’язок однорідних рівнянь (7) подамо через функції Мак-
дональда ( )n kjK s r n-го порядку та невідомі коефіцієнти j
knC
( ),j j
n kjkn knA C K s r= (9)
то співвідношення для напружень (8) запишемо у вигляді
1 1 1 2 2 2
1 1
( , , ) ( ) ( ) cos
j
j n
rr n n n n j
n
r t C L s r C L s r w n
∞
ν ν ν ν
ν ν ν
= ν=
⎡ ⎤σ θ = + θ⎣ ⎦∑ ∑ ,
1 3 1 2 4 2
1 1
( , , ) ( ) ( ) sin
r
j
j n
n n n n j
n
r t C L s r C L s r w n
θ
∞
ν ν ν ν
ν ν ν
= ν=
⎡ ⎤σ θ = + θ⎣ ⎦∑ ∑ , (10)
1 5 1 2 6 2
1 1
( , , ) ( ) ( ) cos
j
j n
n n n n j
n
r t C L s r C L s r w n
θθ
∞
ν ν ν ν
ν ν ν
= ν=
⎡ ⎤σ θ = + θ⎣ ⎦∑ ∑ ,
де введемо такі позначення:
2
2
1 1 1 1 1 1 12( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( )n n n n
nL s r K s r s K s r s K s r
r r
ν
ν ν ν ν θ ν
λ λ′′ ′= λ + µ + − ,
72
2 2 2 2 22
1 1( ) 2 ( ) ( )n n nL s r n K s r s K s r
r r
ν
ν ν ν ν
⎡ ⎤′= µ −⎢ ⎥⎣ ⎦
,
1 1
3 1 1 2
( ) ( )
( ) 2 n n
n
K s r K s r
L s r n s
r r
ν ν ν
ν ν
′⎡ ⎤= µ − +⎢ ⎥⎣ ⎦
,
2
2 2 2
4 2 2 2 2 2
( ) ( )
( ) ( ) n n
n n
K s r n K s r
L s r K s r s s
r r
ν ν ν
ν ν ν ν
⎡ ⎤′
′′= µ − + −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
, (11)
1
2
2
5 1 1 1 1 12
( 2 ) ( 2 )( ) ( ) ( ) ( )n n n n
nL s r K s r s K s r s K s r
r rν
ν
ν ν ν ν ν
λ + µ λ + µ′′ ′= λ + − ,
6 2 2 2 2
2 1( ) ( ) ( )n n n
nL s r K s r K s r s
r r
ν
ν ν ν ν
µ ⎡ ⎤′= −⎢ ⎥⎣ ⎦
, 1( ) ( ) ( ) ,n n n
nK s r K rs K rs
rsν + ν ν
ν
′ = − +
1 2( ) ( ) ( ) ( ).
( )
n n n j n
n nK s r K rs K rs K rs
rs rs
ν + ν ν
ν ν
′′ ′ ′= − + −
Задачу розв’язуємо за нульових початкових та таких крайових умов:
( , , 0),rr r R P R=σ = θ 0r r Rθ =σ = . (12)
Для їх задоволення розвинемо зовнішнє навантаження у ряд Фур’є за триго-
нометричними функціями [12]
0
( , ,0) ( ,0)cos ,n
n
P R p R n
∞
=
θ = θ∑ (13)
де його коефіцієнти знайдемо так:
0
2( ,0) ( , ,0)cosnp R P R n d
π
= θ θ θ
π ∫ . (14)
Перетворивши крайові умови (12) з використанням подань (10, 13, 14), отримаємо:
1 1 1 2 2 21 2
0 1
( ) ( ) ( ) ( ) cos
j
j jj n
rr j n j j n j jn nr R n
C s L s R C s L s R w n
∞
ν= = ν=
⎡ ⎤σ = + θ =⎣ ⎦∑ ∑
0
( ,0)cosn
n
p R n
∞
=
= θ∑ , (15)
1 1 5 1 2 2 6 2
1
( ) ( ) ( ) ( ) 0
j
j n
n j n j n j n j jr r R
C s L s R C s L s R wν ν
νθ = ν=
⎡ ⎤σ = + =⎣ ⎦∑ .
Коли прирівняємо у виразах (15) коефіцієнти при тригонометричних функціях
( cosnθ ) та виділимо j-ті члени рядів за умови, що 1n
jjw = , то отримаємо систему
рівнянь
1 1 2 21 2( ) ( )j j j
n j n j nn nC L s R C L s R p+ = , 3 1 4 21 2( ) ( ) 0j j
n j n jn nC L s R C L s R+ = , (16)
з якої визначаємо невідомі коефіцієнти ( )j
kjknC s
4 2
1
( )j
n n jj
n
n
p L s R
C
L
= , 3 1
2
( )j
n n jj
n
n
p L s R
C
L
= − , (17)
73
де
1
1
( , )
j
j n m
n n jm n
m
p p R t w p
−
=
= − ∑ ,
1 2 4 2 1 1 2 2 3 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( )n n j j n j n j n j n jL L s R s R L s R L s R L s R L s R= = − . (18)
Підставимо коефіцієнти (17) у формули (10) та зведемо отримані співвідно-
шення для розподілу напружень до безрозмірних величин
0
( , , )j
rr r t
p
σ θ
=
4 2 1 1 1 3 1 2 2 2
1 20 1
( ( ) ( , ) ( ) ( , )) cos
( , )
j
nn
n n n n j
nn
p
L s L s s L s L s s w n
L s s
ν∞
ν ν ν ν ν ν ν
ν ν= ν=
⎡ ⎤
= − θ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∑ ,
0
( , , )j
r r t
p
θσ θ
=
4 2 3 1 1 3 1 4 2 2
1 20 1
( ( ) ( , ) ( ) ( , )) sin
( , )
j
nn
n n n n j
nn
p
L s L s s L s L s s w n
L s s
ν∞
ν ν ν ν ν ν ν
ν ν= ν=
⎡ ⎤
= − θ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∑ , (19)
0
( , , )r t
p
θθσ θ
=
4 2 5 1 1 3 1 6 2 2
1 20 1
( ( ) ( , ) ( ) ( , )) cos
( , )
j
nn
n n n n j
nn
p
L s L s s L s L s s w n
L s s
ν∞
ν ν ν ν ν ν ν
ν ν= ν=
⎡ ⎤
= − θ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∑ ,
де
1 1
0 0
1 1
( ) / / ( )n m n m
n n jm n n m n
m m
p p t p w p p p t w p
ν− ν−
ν ν ν
ν
= =
= − = −∑ ∑ ,
1 2 4 2 1 1 2 2 3 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n nL s s L s L s L s L sν ν ν ν ν ν⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ,
2
2 2
1 1 1 1 1 1 1 12( , ) ( 2) ( ) ( ) ( )n n n n
a aL s s K s s K s s n K s
r r
ν ν ν ν ν ν ν
λ λ λ′′ ′= + + −
µ µ µ
,
1 1
1 1 1 1 1( ) ( , )n n s s
L s L s s
ν ν
ν ν ν =
= ,
2
2 2 2 2 2 22( , ) 2 ( ) ( )n n n
a aL s s n K s s K s
r r
ν ν ν ν ν
⎡ ⎤
′= −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
,
2 2
2 2 2 2 2( ) ( , )n n s s
L s L s s
ν ν
ν ν ν =
= ,
2
3 1 1 1 1 12( , ) 2 ( ) ( )n n n
a aL s s n K s s K s
r r
ν ν ν ν ν
⎡ ⎤
′= − +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
,
1 1
3 1 3 1 1( ) ( , )n n s s
L s L s s
ν ν
ν ν ν =
= , (20)
2
2 2
4 2 2 2 2 2 2 22( , ) ( ) ( ) ( )n n n n
a aL s s K s s K s s n K s
r r
ν ν ν ν ν ν ν′′ ′= − + − ,
2 2
4 2 4 2 2( ) ( , )n n s s
L s L s s
ν ν
ν ν ν =
= ,
1
2
2 2
5 1 1 1 1 1 12( , ) ( ) 2 ( ) 2 ( )n n n n
a aL s s K s s s K s n K s
r rνν ν ν ν ν ν
⎛ ⎞ ⎛ ⎞λ λ λ′′ ′= + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟µ µ µ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
,
74
1 1
5 1 5 1 1( ) ( , )n n s s
L s L s s
ν ν
ν ν ν =
= ,
2
6 2 2 2 2 22( , ) 2 ( ) ( )n n n
a aL s s n K s K s s
rr
ν ν ν ν ν
⎡ ⎤
′= −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
,
2 2
6 2 6 2 2( ) ( , )n n s s
L s L s s
ν ν
ν ν ν =
= , 1( ) ( ) ( ) ,n k n k n k
k
nK s K s K s
sν + ν ν
ν
′ = − +
( ) ( )
k k
n k n k s sK s K s
ν ν
ν ν =
′ ′= ,
1 2( ) ( ) ( ) ( ) ,
( )
n k n k n k n k
k k
n nK s K s K s K s
s s
ν + ν ν ν
ν ν
′′ ′ ′= − + − ( ) ( )
k k
n k n k s sK s K s
ν ν
ν ν =
′′ ′′= ,
коли 1 2 1/s c cν ν= ∆τ , 2 1/s ν ν= ∆τ , 1 2 1/s c r Rcν ν= ∆τ , 2 /s r Rν ν= ∆τ , 2 /c t Rν ν∆τ = ∆ ,
p0 – статичні колові напруження у точці r = R, θ = 0 для нескінченної пружної
площини з коловим отвором, навантаженим неосесиметричними розподіленими
силами.
Дія розподілених ударних навантажень на краю колового отвору. При-
кладені на краю отвору розподілені зусилля в початковий момент часу подамо у
вигляді
0
( , ,0) ( , )cos (1 cos2 )n
n
P R p R t n p
∞
=
θ = θ = − θ∑ , (21)
де коефіцієнти ряду (21) матимуть вигляд
1( , ) ( , , ) cos (1 cos 2 )cosn
pp R t P R t n d n d
π π
−π −π
= θ θ θ = − θ θ θ =
π π∫ ∫
cos cos2 cosp pn d n d
π π
−π −π
= θ θ − θ θ θ
π π∫ ∫ . (22)
Порахувавши інтеграли
cos 0p n d
π
−π
θ θ =
π ∫ ; 2
0
2 cos 2 , 2d n
π
θ θ = π =∫ ; 2 2cos2 cos 0, 2p n d n
π
−π
θ θ θ = ≠
π ∫ ,
одержимо такі значення членів ряду у кожний j-ий момент часу:
0 ( , )jp R t p= , 1 ( , ) 0jp R t = , 2 ( , )jp R t p= − , ( , ) 0, 3, 4,...j
np R t n= =
Числові результати. За формулами (19), (20) числово розрахували розподіл
напружень у нескінченній пластині з коловим отвором навантаженим динамічни-
ми розподіленими зусиллями (21).
Наведено (рис. 2) графіки залежностей напружень 0( , , ) /t r pθθσ θ від часу
1
j
j ν
ν=
τ = ∆τ∑ за коефіцієнтів Пуассона ν = 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 на краю отвору (R/r = 1)
у точках: θ = 0 (рис. 2а), θ = π/4 (рис. 2b), θ = π/2 (рис. 2с). У розрахунках викори-
стовували вирази для співвідношень швидкостей c2/c1 та сталих Ламе через кое-
фіцієнти Пуассона: [ ]1/ 2
2 1/ (1 2 ) /(1 ) / 2c c = − ν − ν , 2 (1 2 )λ µ = ν − ν .
Виявили (рис. 2), що зі збільшенням часу (τj > 9) концентрація колових на-
пружень 0/ pθθσ на краю отвору мало залежить від коефіцієнта Пуассона, а чис-
ловий розв’язок динамічної задачі наближається до значення p0, яке знайдено з
розв’язку відповідної статичної задачі [13]. Максимальна концентрація відносних
75
напружень 0/ pθθσ досягається в точці θ = 0 і залежить від коефіцієнта Пуассона
(рис. 2а).
Відзначимо, що як і для осесиметричних задач, у початковий момент часу
спостерігають динамічний ефект – стрибок напружень (рис. 2а–с), який суттєво
залежить не тільки від коефіцієнтів Пуассона, але і від розташування точок θ на
краю колового отвору. Найбільший стрибок спостерігають, коли θ = π/2 (рис. 2с)
і мінімальний за θ = 0 (рис. 2а).
Рис. 2. Залежність концентрації
напружень σθθ/p0 на краю колового
отвору від часу 2 /c t Rτ = для різних
коефіцієнтів Пуассона, коли
θ = 0 (a), θ = π/4 (b), θ = π/2 (c).
Fig. 2. Dependence of stress concentration
σθθ/p0 at the circular hole border on time
2 /c t Rτ = for various Poisson’s ratios
for θ = 0 (a), θ = π/4 (b), θ = π/2 (c).
ВИСНОВКИ
Отримано розв’язок нової задачі теорії пружності про дію неосесиметрич-
них динамічних сил на краю колового отвору у нескінченній площині поєднан-
ням модифікованого методу скінченних різниць за часом та методу рядів Фур’є
за кутовою змінною.
Числово розраховано концентрацію напружень на отворі залежно від часу за
різних коефіцієнтів Пуассона для розподіленого ударного навантаження, яке мо-
делюють трьома членами ряду Фур’є.
Концентрація напружень на краю отвору зі збільшенням часу асимптотично
наближається до розв’язку відповідної задачі теорії пружності про дію неосеси-
метрично розподілених статичних сил на краю колового отвору у нескінченній
площині. Виявлено, що у початковий момент часу за заданих нульових початко-
вих умов виникають ненульові напруження. Подібний динамічний ефект уже
спостерігали раніше під час розв’язування відповідних осесиметричних задач.
РЕЗЮМЕ. Получено решение плоской динамической задачи теории упругости о
воздействии неосесимметричной нагрузки на круговое отверстие в бесконечной плоско-
сти. Для решения задачи использовано модифицированный метод конечных разностей по
времени и метод рядов Фурье по угловой переменной. Найдено распределение напря-
жений и проведен численный расчет концентрации напряжений на краю кругового отвер-
стия, находящегося под действием распределенного за некоторым законом нагружения, в
зависимости от времени для различных коэффициентов Пуассона.
SUMMARY. The modified finite difference method with respect to time and the Fourier
series method with respect to the angular variable are used to solve the plane dynamic elastic
76
problem on action of symmetrically located nonaxisymmetrical loading on the circular hole
boundary in an infinite plane. The stress distributions for the assigned problem are found. The
numerical calculation of stress concentration distribution at the hole boundary depending on
time for different Poisson’s ratios and the loading distributed by certain laws is carried out.
1. Frangi A. Elastodynamics by BEM: a new direct formulation // Int. J. Numer. Meth. Eng.
– 1999. – 45. – Р. 721–740.
2. Саврук М. П. Новий метод розв’язування динамічних задач теорії пружності та меха-
ніки руйнування // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2003. – 39, № 4. – С. 7–11.
(Savruk M. P., New method for the solution of dynamic problems of the theory of elasticity
and fracture mechanics // Materials Science. – 2003. – 39, № 4. – P. 465–471.)
3. Саврук М., Онишко Л., Сенюк М. Про використання методу скінченних різниць за ча-
сом до розв’язування динамічної осесиметричної задачі для кругового кільця // Мате-
матичні проблеми механіки неоднорідних структур: в 2-х т. – Львів, 2006. – Т. 2.
– С. 144–146.
4. Саврук М. П., Онишко Л. Й., Сенюк М. М. Плоска динамічна осесиметрична задача для
порожнистого циліндра // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2008. – 44, № 1. – С. 7–13.
(Savruk M. Р., Onyshko L. I., and Senyuk M. M. A Plane dynamic axisymmetric problem for
a hollow cylinder // Materials Science. – 2008. – 44, № 4. – P. 1–9.)
5. Онишко Л., Варивода Ю., Сенюк М. Розподіл колових та радіальних напружень в по-
рожнистому циліндрі за імпульсних навантажень на його поверхнях // Наук. вісник
Львів. нац. ун-ту вет. медицини та біотехнологій ім. С. З. Гжицького. – 2008. – 10, № 3
(38). – С. 211–217.
6. Онишко Л. Й., Сенюк М. М. Напружений стан порожнистого двошарового циліндра
під динамічним навантаженням // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2009. – 45, № 1.
– С. 55–61.
(Onyshko L. I. and Senyuk M. M. Stressed state of a hollow two-layer cylinder under dyna-
mic loads // Materials Science. – 2009. – 45, № 1. – P. 57–65.)
7. Онишко Л., Варивода Ю., Сенюк М. Вплив на міцність циліндричних елементів конст-
рукцій прямокутних імпульсних навантажень // Наук. вісник Львів. нац. ун-ту вет. ме-
дицини та біотехнологій ім. С. З. Гжицького. – 2009. – 11, № 3 (42). – С. 198–205.
8. Онишко Л., Варивода Ю., Біда Н. Плоска задача теорії пружності про дію динамічних
навантажень на краю колового отвору у нескінченній пружній площині // Математичні
проблеми механіки неоднорідних структур: в 2-х т. – Львів, 2010. – Т. 2. – С. 105–108.
9. Eringen С. and Suhubi E. S. Elastodynamics. V. II: Linear theory. – New York: Academic
Press, 1975. – 660 p.
10. Sih G. C. Mechanics of Fracture. V. 4: Elastodynamic Crack Problems. – Leyden: Noordhoff
International Publishing, 1977. – 352 p.
11. Грінченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.
– К.: Наук. думка, 1981. – 284 с.
12. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и уча-
щихся втузов. – М.: Наука, 1981. – 720 с.
13. Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацышин А. П. Распределение напряжений около трещин
в пластинах и оболочках. – К.: Наук. думка, 1976. – 444 с.
Одержано 11.07.2013
|