Граничные условия при математическом моделировании электромагнитного поля внутри и вне разрядной камеры высоковольтной электрогидравлической установки
Определены особенности задания граничных условий при математическом моделировании электромагнитного поля (ЭМП) высоковольтной электрогидравлической установки в конечном объеме расчетной области за пределами разрядной камеры. Их использование при расчете ЭМП внутри и вне разрядной камеры позволяет...
Saved in:
| Published in: | Технічна електродинаміка |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут електродинаміки НАН України
2016
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/134803 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Граничные условия при математическом моделировании электромагнитного поля внутри и вне разрядной камеры высоковольтной электрогидравлической установки / В.М. Косенков, В.М. Бычков // Технічна електродинаміка. — 2016. — № 3. — С. 25-32. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-134803 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Косенков, В.М. Бычков, В.М. 2018-06-14T08:58:21Z 2018-06-14T08:58:21Z 2016 Граничные условия при математическом моделировании электромагнитного поля внутри и вне разрядной камеры высоковольтной электрогидравлической установки / В.М. Косенков, В.М. Бычков // Технічна електродинаміка. — 2016. — № 3. — С. 25-32. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1607-7970 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/134803 519.6:537.8:537.528 Определены особенности задания граничных условий при математическом моделировании электромагнитного поля (ЭМП) высоковольтной электрогидравлической установки в конечном объеме расчетной области за пределами разрядной камеры. Их использование при расчете ЭМП внутри и вне разрядной камеры позволяет получать распределение поля, эквивалентное распределению ЭМП при использовании точных граничных условий на бесконечности – ошибка составляет не более 5%. Разработана математическая модель и алгоритм решения полученной системы уравнений на основе численных методов. Верификация модели и алгоритма выполнена на задачах, допускающих точные решения. Визначено особливості вибору граничних умов при математичному моделюванні електромагнітного поля (ЕМП) високовольтної електрогідравлічної установки в обмеженому об'ємі розрахункової області за межами розрядної камери. Їхнє використання при розрахунку ЕМП усередині і поза межами розрядної камери дозволяє отримувати розподіл поля, еквівалентний розподілу ЕМП при використанні точних граничних умов на нескінченності – помилка складає не більше 5%. Розроблено математичну модель і алгоритм рішення отриманої системи рівнянь на основі чисельних методів. Верифікація моделі і алгоритму виконана на задачах, що допускають точні рішення. Features of the defining of boundary conditions for mathematical simulation of electromagnetic field (EMF) of high-voltage electrohydraulic installation in final volume of computational domain outside of the discharge chamber are determined. Their use in the calculation of EMF inside and outside of discharge chamber allows to obtain the field distribution, which is equivalent to the distribution of EMF when using the exact boundary conditions at infinity - the error is not more than 5%. The mathematical model and algorithm for solving the obtained system of equations based on numerical methods are developed. Verification of the model and the algorithm is executed on the tasks that admit exact solutions. ru Інститут електродинаміки НАН України Технічна електродинаміка Теоретична електротехніка та електрофізика Граничные условия при математическом моделировании электромагнитного поля внутри и вне разрядной камеры высоковольтной электрогидравлической установки Граничні умови при математичному моделюванні електромагнітного поля всередині та зовні розрядної камери високовольтної електрогідравлічної установки Boundary conditions for mathematical simulation of the electromagnetic field inside and outside of the discharge chamber of high-voltage electro-hydraulic installation Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Граничные условия при математическом моделировании электромагнитного поля внутри и вне разрядной камеры высоковольтной электрогидравлической установки |
| spellingShingle |
Граничные условия при математическом моделировании электромагнитного поля внутри и вне разрядной камеры высоковольтной электрогидравлической установки Косенков, В.М. Бычков, В.М. Теоретична електротехніка та електрофізика |
| title_short |
Граничные условия при математическом моделировании электромагнитного поля внутри и вне разрядной камеры высоковольтной электрогидравлической установки |
| title_full |
Граничные условия при математическом моделировании электромагнитного поля внутри и вне разрядной камеры высоковольтной электрогидравлической установки |
| title_fullStr |
Граничные условия при математическом моделировании электромагнитного поля внутри и вне разрядной камеры высоковольтной электрогидравлической установки |
| title_full_unstemmed |
Граничные условия при математическом моделировании электромагнитного поля внутри и вне разрядной камеры высоковольтной электрогидравлической установки |
| title_sort |
граничные условия при математическом моделировании электромагнитного поля внутри и вне разрядной камеры высоковольтной электрогидравлической установки |
| author |
Косенков, В.М. Бычков, В.М. |
| author_facet |
Косенков, В.М. Бычков, В.М. |
| topic |
Теоретична електротехніка та електрофізика |
| topic_facet |
Теоретична електротехніка та електрофізика |
| publishDate |
2016 |
| language |
Russian |
| container_title |
Технічна електродинаміка |
| publisher |
Інститут електродинаміки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Граничні умови при математичному моделюванні електромагнітного поля всередині та зовні розрядної камери високовольтної електрогідравлічної установки Boundary conditions for mathematical simulation of the electromagnetic field inside and outside of the discharge chamber of high-voltage electro-hydraulic installation |
| description |
Определены особенности задания граничных условий при математическом моделировании электромагнитного
поля (ЭМП) высоковольтной электрогидравлической установки в конечном объеме расчетной области за пределами
разрядной камеры. Их использование при расчете ЭМП внутри и вне разрядной камеры позволяет получать
распределение поля, эквивалентное распределению ЭМП при использовании точных граничных условий на
бесконечности – ошибка составляет не более 5%. Разработана математическая модель и алгоритм решения
полученной системы уравнений на основе численных методов. Верификация модели и алгоритма выполнена на
задачах, допускающих точные решения.
Визначено особливості вибору граничних умов при математичному моделюванні електромагнітного поля (ЕМП) високовольтної
електрогідравлічної установки в обмеженому об'ємі розрахункової області за межами розрядної камери. Їхнє використання
при розрахунку ЕМП усередині і поза межами розрядної камери дозволяє отримувати розподіл поля, еквівалентний
розподілу ЕМП при використанні точних граничних умов на нескінченності – помилка складає не більше 5%. Розроблено математичну модель і алгоритм рішення отриманої системи рівнянь на основі чисельних методів. Верифікація моделі і
алгоритму виконана на задачах, що допускають точні рішення.
Features of the defining of boundary conditions for mathematical simulation of electromagnetic field (EMF) of high-voltage electrohydraulic
installation in final volume of computational domain outside of the discharge chamber are determined. Their use in the
calculation of EMF inside and outside of discharge chamber allows to obtain the field distribution, which is equivalent to the distribution
of EMF when using the exact boundary conditions at infinity - the error is not more than 5%. The mathematical model and
algorithm for solving the obtained system of equations based on numerical methods are developed. Verification of the model and the
algorithm is executed on the tasks that admit exact solutions.
|
| issn |
1607-7970 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/134803 |
| citation_txt |
Граничные условия при математическом моделировании электромагнитного поля внутри и вне разрядной камеры высоковольтной электрогидравлической установки / В.М. Косенков, В.М. Бычков // Технічна електродинаміка. — 2016. — № 3. — С. 25-32. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kosenkovvm graničnyeusloviâprimatematičeskommodelirovaniiélektromagnitnogopolâvnutriivnerazrâdnoikameryvysokovolʹtnoiélektrogidravličeskoiustanovki AT byčkovvm graničnyeusloviâprimatematičeskommodelirovaniiélektromagnitnogopolâvnutriivnerazrâdnoikameryvysokovolʹtnoiélektrogidravličeskoiustanovki AT kosenkovvm graničníumoviprimatematičnomumodelûvanníelektromagnítnogopolâvseredinítazovnírozrâdnoíkamerivisokovolʹtnoíelektrogídravlíčnoíustanovki AT byčkovvm graničníumoviprimatematičnomumodelûvanníelektromagnítnogopolâvseredinítazovnírozrâdnoíkamerivisokovolʹtnoíelektrogídravlíčnoíustanovki AT kosenkovvm boundaryconditionsformathematicalsimulationoftheelectromagneticfieldinsideandoutsideofthedischargechamberofhighvoltageelectrohydraulicinstallation AT byčkovvm boundaryconditionsformathematicalsimulationoftheelectromagneticfieldinsideandoutsideofthedischargechamberofhighvoltageelectrohydraulicinstallation |
| first_indexed |
2025-11-26T11:47:43Z |
| last_indexed |
2025-11-26T11:47:43Z |
| _version_ |
1850620022071754752 |
| fulltext |
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 3 25
УДК 519.6:537.8:537.528
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ПРИ МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ВНУТРИ И ВНЕ РАЗРЯДНОЙ КАМЕРЫ
ВЫСОКОВОЛЬТНОЙ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКОЙ УСТАНОВКИ
В.М. Косенков, канд.техн.наук, В.М. Бычков
Институт импульсных процессов и технологий НАН Украины,
пр. Октябрьский, 43–А, Николаев, 54018, Украина.
E-mail: v.m.kosenkov@gmail.com
Определены особенности задания граничных условий при математическом моделировании электромагнитного
поля (ЭМП) высоковольтной электрогидравлической установки в конечном объеме расчетной области за пре-
делами разрядной камеры. Их использование при расчете ЭМП внутри и вне разрядной камеры позволяет полу-
чать распределение поля, эквивалентное распределению ЭМП при использовании точных граничных условий на
бесконечности – ошибка составляет не более 5%. Разработана математическая модель и алгоритм решения
полученной системы уравнений на основе численных методов. Верификация модели и алгоритма выполнена на
задачах, допускающих точные решения. Библ. 20, рис. 4.
Ключевые слова: электрический разряд, конденсатор, разрядный канал в воде, математическая модель, элек-
тромагнитное поле, электрогидравлическая установка, граничные условия.
Введение. Усовершенствование современных электроразрядных технологий основывается на
разработке методов и устройств для повышения скорости нарастания разрядных токов [2, 7, 10, 15],
увеличения импульсной электрической мощности [2, 11, 16, 19], а также ограничения длительности
импульсных токов в нагрузке [5, 12, 13], что способствует увеличению частоты составляющих им-
пульсного электромагнитного поля (ЭМП), генерируемого каналом разряда между электродами и
другими элементами разрядной цепи конденсатора (накопителя электрической энергии). Высокочас-
тотные ЭМП за пределами разрядной камеры (РК) электроразрядных установок могут вызывать на-
рушение функциональной деятельности органов человека, в первую очередь его мозга [18]. Поэтому
кроме задач структурно-параметрического синтеза разрядных цепей накопительных конденсаторов
[2, 11, 12] и расчета распределения импульсных ЭМП внутри РК установок [5, 17, 19] необходимо
анализировать их распределение за пределами таких камер, т.е. в конечных областях, где может нахо-
диться персонал, обеспечивающий работу установок. Особенно важно осуществлять анализ распре-
деления ЭМП возле высоковольтных электрогидравлических установок (ЭГУ), которые формируют в
воде кратковременные очень мощные электрические разряды, генерирующие очень мощные электро-
магнитные импульсы, негативно влияющие на персонал и приборы системы управления и контроля
работы ЭГУ [2, 5, 15–19]. Сложность физического измерения предельных характеристик ЭМП ЭГУ и
опасность поражения током людей, выполняющих измерения, определяет актуальность применения
методов математического моделирования ЭМП с последующей экспериментальной проверкой полу-
чаемых результатов.
Основой математических моделей ЭМП систем типа ЭГУ, содержащих компоненты с различ-
ными электрическими и магнитными свойствами, служат уравнения электродинамики сплошных не-
однородных сред [1, 3–9, 14–20]. Модели разных систем отличаются степенью учёта конструктивных
особенностей моделируемой установки, электрических и магнитных характеристик материалов и гра-
ничными условиями. В большинстве случаев решение системы уравнений такого типа математиче-
ских моделей можно получить только с помощью численных методов, которые применяются в про-
странственно ограниченных областях, на внешних границах которых нельзя применить условия на
бесконечно удалённой границе [3, 4]. Поэтому на относительно близких к объекту моделирования
искусственных внешних границах задают ряд условий для получения решений, соответствующих
точным условиям на бесконечности [5–9]. Но анализ таких условий показал их противоречивость,
вызывающую получение количественно и качественно разных результатов моделирования ЭМП в
ограниченных пространствах вокруг их источника (электроразрядной системы). Поэтому возникла
необходимость уточнить условия выбора граничных условий на внешних границах расчётной облас-
ти, которые были бы адекватными условиям на бесконечно удалённой границе. Актуальность реше-
© Косенков В.М., Бычков В.М., 2016
26 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 3
ния этой задачи возрастает при разработке новых электроразрядных установок, элементы которых
имеют существенно неоднородные электрические и магнитные характеристики.
Поэтому целью работы является определение граничных условий на искусственных границах
расчётной области конечных размеров, эквивалентных условиям на бесконечности, для разработки ма-
тематической модели электромагнитного поля внутри разрядной камеры ЭГУ и за её пределами.
Постановка задачи. Для достижения цели надо составить систему уравнений ЭМП в цилинд-
рической разрядной камере ЭГУ и за её пределами, разработать алгоритм ее решения, а также опре-
делить граничные условия на внешних (искусственных) границах расчётной области, обеспечиваю-
щие согласование полученных решений с точными решениями в неограниченной области.
На рис. 1 показана электрическая схема замещения цепи разряда конденсатора емкостью С на
межэлектродный промежуток, в котором образуется канал разряда 4; электроды РК обозначены циф-
рами 1 и 6; изолятор – 2; корпус РК – 3; разрядник – 5; вода – 7; коаксиальный кабель – 8; внешняя
граница замкнутой области, в которой необходимо определить характеристики ЭМП, – 9.
Рис. 1
При использовании скалярного и векторного потенциалов и калибровки Кулона для ЭМП,
возникающего при электрическом разряде в воде, будут справедливы уравнения электродинамики [4]
2
2
1 ( ) ( )
t
er
r r r z z
ρϕ ϕ ϕσ σ εμ
ε
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
, (1)
2
2
1 1( ) ( ) grad
t
A A
t
r A Agrad
r r r z z t
ε σ ϕ σ ε ϕ
μ μ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − = ⋅ + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
, (2)
где φ – электрический скалярный потенциал [В]; A – векторный потенциал [В·с/м]; μ – абсолютная
магнитная проницаемость [Гн/м]; J – вектор плотности тока [А/м2]; σ – удельная объемная электро-
проводность среды [См/м]; r, z – пространственные координаты [м]; ε – относительная диэлектриче-
ская проницаемость среды, ρe – свободные заряды [К].
Для решения уравнений (1) и (2) необходимо задать магнитную проницаемость среды μ и ее
удельную электропроводность σ, а затем определить вектор плотности тока J, напряженность элек-
трического поля E [В/м]; индукцию магнитного поля B [Тл]; напряженность магнитного поля H [А/м]
по соотношениям [1, 3, 4] Ј = σ E, tAgrad ∂∂−−= ϕE , AB rot= , μ/BH = . (3)
Длина электромагнитной волны, генерируемой в процессе разряда, существенно больше раз-
меров РК и области моделирования, поэтому в любой момент времени ЭМП можно считать квазиста-
тическим [1, 3, 4] и пренебречь составляющими уравнения (1) и (2), содержащими производные вто-
рого порядка А и φ по времени, а также производной по времени градиента φ. В отсутствии свобод-
ных зарядов правая часть уравнения (1) равна нулю. Появление скин-слоя в проводнике учитывает
производная ∂A/∂t в уравнении (2), при этом толщину скин-слоя определяем по формуле [3, 4]
δ = (2 /ω μ σ)0,5, (4)
где ω − круговая частота [рад/с].
Сопротивление и проводимость канала разряда как проводника длиной l и площадью попе-
речного сечения S, имеющего удельное сопротивление ρ, определим по формулам
Rck = ρ l / S и σ = l / Rck S. (5, 6)
C
L
R
r
z
5
1
2
3
4
6
7
8
9
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 3 27
Для вычисления толщины скин-слоя использовались данные, полученные в расчетах матема-
тической модели, приведенной в статьях [17, 19] для момента времени, соответствующего первому
максимуму силы тока в разрядной цепи. В расчетах длина канала разряда составляла 0,03 м, сопро-
тивление – 0,0565 Ом, радиус канала разряда равнялся 0,003625 м, а круговая частота изменения си-
лы тока – 105409 рад/с (с учетом того, что емкость конденсатора составляла 10 мкФ, а индуктивность
его разрядной цепи – 9 мкГн). Используя эти данные в формуле (6), было определено, что проводи-
мость канала разряда равнялась 12865 См/м. Тогда из формулы (4) следует, что толщина скин-слоя
равна 0,034 м. То есть толщина скин-слоя на порядок больше радиуса канала разряда, поэтому явле-
нием скин-эффекта можно пренебречь и считать, что производная ∂A/∂t равна нулю. С учетом этих
упрощений уравнения электродинамики неоднородной среды в цилиндрической системе координат
(1) и (2) принимают вид
1 ( ) ( ) 0r
r r r z z
ϕ ϕσ σ∂ ∂ ∂ ∂
+ =
∂ ∂ ∂ ∂
, 1 1( ) ( )A A Jr
r r r z zμ μ
∂ ∂ ∂ ∂
+ = −
∂ ∂ ∂ ∂
, (7, 8)
а напряженность электрического поля можно вычислить по формуле
ϕgrad−=E . (9)
Граничные условия для уравнений (1) и (2) определим из допущения, что на бесконечном уда-
лении от РК индукция магнитного поля и электрический потенциал равны нулю, т.е.
0lim =
∞±→
∞→
B
z
r
, 0lim =
∞±→
∞→
ϕ
z
r
. (10)
Потенциал высоковольтного электрода равен разности потенциалов между электродами, а в
месте подключения кабеля к низковольтному электроду 6 (рис. 1) электрический потенциал равен
нулю. Производные скалярного потенциала φ по нормали к оси симметрии и внешним границам рас-
четной области также принимались равными нулю.
Решение задачи. Непрерыв-
ную пространственную область 9 на
рис. 1 было преобразовано в дискрет-
ную область, представленную на
рис. 2, где неподвижные пространст-
венные слои по координатам r и z обо-
значены переменными i и j.
Дискретизация расчетной об-
ласти в интервалах 0 ≤ j ≤ Nze и
0 ≤ i ≤ Nre выполнена сеткой с равно-
мерным шагом Δr и Δz.
Для внешней области (которая
задавалась интервалами Nzνm ≤ j ≤ 0,
Nze ≤ j ≤ Nzν и Nre ≤ i ≤ Nrν) координаты
расчетной сетки ri и zj задавались с
переменными шагами Δri и Δzj , опре-
деляемыми по формулам
1−Δ⋅=Δ ii rr α , iii rrr Δ+=+1 , 1j −Δ⋅=Δ jzz α , jjj zzz Δ+=+1 , (11)
где α – коэффициент, равный отношению большего шага сетки к меньшему на соседних интервалах
(при α = 1 шаг является равномерным, а при 1 < α ≤ 1,1 – неравномерным).
Электрический скалярный потенциал φ и значения векторного потенциала A после дискретиза-
ции и преобразования дифференциальных уравнений (7) и (8) определялись с применением метода
Зейделя [8] по итерационным формулам
z
r
Nre
Nrv
Nze Nzv Nzvm
Nr
Nz
i
i-1
i+1
j+1 j j-1 0
Рис. 2
28 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 3
1
1
( ) ( )1 1, 1 1,11 (, 2( 1) ( )1 1
( ) ( ), 1 , 1
),2( )1 1
, ,, ,
, ,, 1 , 1
1 1
m m
m m
r r r ri ii i j i i jm
i j F r r rii i
r ri ii j i j
z z zjj j
i j i ji j i j
i j i ji j i j
ϕ ϕ
ϕ
α Δ Δ Δ
ϕ ϕ
Δ Δ Δ
σ σ σ σ
σ σ σ σ
+
+
⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅+ + − −+
= ⋅ + +
⋅ + ⋅− −
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅+ −
+ +
⋅− −
+ −
+ −
%
(12)
1
1
1
1 111 1 1(, 1, 1,2( 1) 1, , 1, ,( )1 1
1 1 1 1 ),,, 1 , 12, 1 , , , 1( )1j
m m
m m
j
r r r rm i i i iA A Ai j i j i jG i j i j i j i jr r rii i
r ri iA A J ri j ii j i jz z i j i j i j i jzj
α μ μ μ μΔ Δ Δ
μ μ μ μΔ Δ Δ
+
+
−
+ + −= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ++ −⋅ + + −⋅− −
+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ −
⋅ + −−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
%
(13)
где m – номер итерации;
1 1 1, , 1 1, ,
1( )1
, 1 , , , 1
1( )1
,
r r r ri i j i i j i i j i i jF
r ri ir ri i
r i j i j i j i ji
z zj jz zj j
σ σ σ σ
Δ ΔΔ Δ
σ σ σ σ
Δ ΔΔ Δ
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅+ + − −= + +
−+ −
+ ++ −+ +
−+ −
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
1
1 1 11 1( ) ( )
1, , 1 1, ,( )1
1 1 1 1 1 1( ) ( )
, 1 , 1 , , 1( )
.
G
j j
r r r ri i i i
r ri i j i j i i j i jr ri i
ri
z zj i j i j j i j i jz z
Δ μ μ Δ μ μΔ Δ
Δ μ μ Δ μ μΔ Δ −
+ −= + + + +
+ − −+ −
+ + + +
+ − −+
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
Для вычисления составляющих векторного потенциала Az и Ar по формуле (13) предвари-
тельно определяли плотности токов Jz и Jr по формулам (3).
Потенциалы, определенные на первом шаге с использованием формул (12) и (13), корректиро-
вали на втором шаге по формулам последовательной верхней релаксации, приведенным в [9]
1
,~,)1(
1
,
+
⋅+⋅−=
+ m
ji
m
ji
m
ji ϕλϕλϕ ,
1
,
~
,)1(
1
,
+
⋅+⋅−=
+ m
jiA
m
jiA
m
jiA λλ , (14)
где )2;1(∈λ – коэффициент верхней релаксации.
Определение граничных условий для электрического скалярного и векторного потен-
циалов на внешней границе расчетной области. Исследования показали, что соотношения (10) не
позволяют непосредственно задавать граничные условия для определения электрического скалярного
и векторного потенциалов из-за пространственной ограниченности расчетной области на рис. 2.
В [6, 7, 9] приводят разные способы задания условий на границах расчетной области конеч-
ных размеров. В [7] определяют ЭМП возле двух параллельных пластин с противоположными тока-
ми при равных нулю составляющих вектора магнитной индукции и векторного потенциала в направ-
лении нормали к границе, удаленной от проводника на значительное расстояние. Производную век-
торного потенциала по нормали к плоскости симметрии задавали равной нулю. В работе [8] выпол-
нен расчет импульсного магнита в области, ограниченной внешней границей. Векторный потенциал
на ней и его производную по нормали к границе принимали равными нулю и задавали равным нулю
векторный потенциал на оси симметрии. В работе [9] выполнен расчет магнитного поля винтового
динамо в торе. При выполнении такого расчета на внешней границе задавали равными нулю значения
нормальной компоненты векторного потенциала и производной его тангенциальной компоненты.
Наши исследования показали, что, если внешняя граница расчетной области находится на от-
носительно малом расстоянии от цилиндрического проводника с током радиусом a, то применение
таких граничных условий может вызывать большую погрешность (больше 30%) при расчете ЭМП
вне РК. Использование условий равенства нулю производной векторного потенциала по нормали к
внешней границе и равенства нулю векторного потенциала на оси симметрии [7] дают качественно и
количественно неверные результаты. В то же время в [6] показано, что расчеты некоторых задач мо-
гут достаточно хорошо согласовываться с результатами точных решений при таких граничных усло-
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 3 29
виях, как равенство нулю векторного потенциала на внешней границе расчетной области и равенство
нулю производной векторного потенциала по нормали к оси симметрии.
Для анализа граничных условий используем известное точное решение задачи определения
магнитного поля внутри и за пределами цилиндрического проводника с током [1, 3, 4]
2
0
2 2 2
0 0 0
1 при ,4
1 1 1ln( ) ln( ) при ,2 4 2
z
Jr r a
A
Ja r Ja Ja a r a
μμ
μ μμ μ
⎧− ⋅ ≤⎪= ⎨
− ⋅ − − ⋅ >⎪⎩
(15)
где а – радиус проводника.
Векторный магнитный потенциал имеет только одну составляющую, направленную парал-
лельно оси z, и зависит от координаты r. Из (15) следует, что за пределами проводника ( ar > ) век-
торный потенциал изменяется по логарифмической зависимости. Эта зависимость использована для
вычисления потенциала на внешней цилиндрической границе расчётной области (i=Nrv) по величинам
потенциала в двух соседних узлах сетки (Nrv−2) и (Nrv−1) (рис. 2) по формуле
jNrvzNrvNrv
Nrv
Nrv
jNrvzjNrvzjNrvz Arrln
r
rlnAAA ,11
1
2
,1,2, ))ln()((/)( −−
−
−
−− +−⋅−= . (16)
На плоских границах расчетной области, расположенных вблизи стенок разрядной камеры,
можно задавать граничные условия, аналогичные условиям при решении задачи распределения век-
торного потенциала возле поверхности плоской шины с током [3, 4]. Тогда векторный потенциал в
направлении нормали к поверхности шины изменяется по линейному закону. Используя эту законо-
мерность, определяем потенциал на левой границе (Nzvm) расчётной области (рис. 2)
1,1,,
2,1i,
2,1,
, )( ++
++
++ +−⋅
−
−
=
zvmzvmzvm
zvmzvm
zvmzvm
zvm NizNiNi
NiN
NizNiz
Niz Azz
zz
AA
A , (17)
а на правой границе (Nzv) –
1,1,,
2,1,
2,1,
, )( −−
−−
−− +−⋅
−
−
=
zvzvzv
zvzv
zvzv
zv NizNiNi
NiNi
NizNiz
Niz Azz
zz
AA
A . (18)
Из точного решения для проводника с током [1] известно, что индукция магнитного поля на
оси симметрии равна нулю. Тогда из (3) следует, что производная векторного потенциала на оси
симметрии должна быть равна нулю
0=∂∂ zzA . (19)
Дискретизация условия (19) с помощью односторонних разностей приводит к определению
значения потенциала на оси симметрии из равенства AZ 0, j = AZ 1, j .
Тестирование математической модели. Тестирование математической модели ЭМП вы-
полняем путём сравнения результатов моделирования с точным решением задачи определения маг-
нитного поля внутри и за пределами проводника с током [1] и в коаксиальном кабеле, токи в кото-
ром направлены встречно [3]. Согласно результатам работы [1], в цилиндрическом проводнике
круглого сечения течет ток плотностью 2785 А/м2, а его относительная магнитная проницаемость
равна четырем.
Проводник окружает диэлектрик с относительной магнитной проницаемостью, равной едини-
це. Радиус проводника равен 0,2 м. Внешняя граница расчетной области расположена на расстоя-
нии 0,55 м от оси проводника. Для сравнения выполним расчет векторного потенциала и напряжен-
ности магнитного поля в заданной расчетной области при различных граничных условиях на оси
симметрии и внешней границе области.
На рис. 3, а и б показаны расчетные зависимости напряженности магнитного поля и векторного
потенциала от расстояния до оси проводника с током.
30 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 3
0
50
100
150
200
250
300
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 r, м
H, А/м
1
2
3
4
5
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 r, м
A, мВ с/м
1
2
3
4
5
а б
Рис. 3
Кривые 1 определяют точное решение задачи для проводника с током в работе [1], а линии 2 –
расчет ЭМП при допущении, что потенциал равен нулю на оси симметрии, а на внешней границе он
определяется по формуле (16). Кривыми 3–5 показаны результаты расчета при условии, что на оси
симметрии производная потенциала по нормали к ней равна нулю, линией 3 – потенциал на внешней
границе определен по формуле (16), линией 4 – он равен нулю, а линией 5 – его производная равна
нулю. Из рис. 3, а и б видно, что точному решению лучше всего соответствуют результаты, получен-
ные при условии равенства нулю производной потенциала на оси симметрии, а также когда на внеш-
ней границе расчетной области потенциал равен нулю или определен по формуле (16).
В [3] получен точный расчет ЭМП в коаксиальном кабеле, где изоляция, жила и оболочка вы-
полнены из немагнитного материала. Токи в жиле и оболочке обратно направлены и равны 200 А.
Радиус жилы кабеля равнялся 6 мм, внешний радиус изоляции – 14 мм, а внешний радиус электро-
проводной оболочки – 15 мм. Внешняя граница расчетной области выбиралась на расстоянии 16 мм
от оси кабеля. Выполнены расчеты векторного потенциала и напряженности магнитного поля в за-
данной расчетной области при различных граничных условиях на оси симметрии и внешней границе
области. Расчетные зависимости напряженности магнитного поля и векторного потенциала от ради-
альной координаты для коаксиального кабеля показаны на рис. 4, а и б.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 0,005 0,01 0,015 r, м
H, А/м
1
2
3
4
-0,01
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0 0,005 0,01 0,015 r, м
A, мВ с/м
1
2
3
4
а б
Рис. 4
Линиями 1–4 показаны результаты, полученные при граничных условиях, аналогичных усло-
виям, при которых получены кривые 1–4 на рис. 3, а и б. Для граничного условия, когда производная
векторного потенциала по нормали к границе равнялась нулю, вычислительный процесс при решении
задачи для коаксиального кабеля расходится. Из рис. 4, а и б видно, что точному решению для коак-
сиального кабеля [3] соответствуют численные решения, полученные при условии равенства нулю
производной потенциала на оси симметрии, а также когда на внешней границе расчетной области
потенциал равен нулю или определен по формуле (16). Тестирование математической модели с вы-
бранными граничными условиями показало, что погрешность расчетов не превышает 5%.
Заключение. Полученные результаты показывают, что при расчете векторного потенциала
вне разрядной камеры высоковольтных ЭГУ наиболее целесообразно задавать производную вектор-
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 3 31
ного потенциала по нормали к оси симметрии, равной нулю в соответствии с формулой (19), а на
внешней границе расчетной области задавать условие по формуле (16), либо принимать векторный
потенциал равным нулю, что наиболее просто реализовывать в вычислительном процессе. Граничные
условия возле плоских поверхностей разрядной камеры можно задавать по формулам (17) и (18) по
аналогии с точным расчетом [3, 4] магнитного поля вблизи плоской шины с током.
Тестирование математической модели с выбранными граничными условиями показало, что
погрешность проводимых расчетов не превышает 5%, поэтому такой подход можно рекомендовать
при расчете электромагнитных полей внутри и за пределами разрядной камеры ЭГУ.
1. Бинс К., Лауренсон П. Анализ и расчет электрических и магнитных полей. – М.: Энергия, 1970. – 376 с.
2. Вовченко А.И., Тертилов Р.В. Синтез емкостных нелинейно-параметрических источников энергии для разрядно-
импульсных технологий // Зб. наук. праць Національного ун-ту кораблебудування. – 2010. – № 4. – С. 118–124.
3. Даревский А.И., Кухаркин Е.С. Теоретические основы электротехники. Ч. 2. – М.: Высш. школа, 1965. – 284 с.
4. Демирчян К.С., Чечурин В.Л. Машинные расчеты электромагнитных полей. – М.: Высш. школа, 1986. – 240 с.
5 Косенков В.М. Влияние длины канала высоковольтного разряда в воде на эффективность пластического де-
формирования цилиндрической оболочки // ЖТФ. – 2011. – Т. 81. – № 10. – С. 133–139.
6. Кутарев А.М., Журкин М.И. Сравнение результатов расчета магнитного поля методом конечных разностей с исполь-
зованием векторного и скалярного потенциалов магнитного поля // Вестник ОГУ. – 2005. – №4. – С. 127–130.
7. Лапик Р.М., Мартышкин П.В. Расчет и измерения прототипа импульсного магнита конверсионной системы
инжекционного комплекса ВЭПП – 5. – Новосибирск.: Институт ядерной физики, 1999. – 33 с.
8. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.: Наука, 1989. – 432 с.
9. Степанов Р.А., Чупин А.В., Фрик П.Г. Винтовое динамо в торе // Вычислительная маханика сплошных сред. –
2008. – № 1. – С. 109–117.
10. Щерба А.А., Супруновская Н.И. Закономерности повышения скорости нарастания разрядных токов в на-
грузке при ограничении их максимальных значений // Техн. електродинаміка. – 2012. – № 5. – С. 3–10.
11. Щерба А.А., Супруновская Н.И. Синтез электрических цепей с емкостными накопителями энергии в полупровод-
никовых формирователях мощных разрядных импульсов // Техн. електродинаміка. – 2014. – № 1. – С. 3–11.
12. Щерба А.А., Супруновская Н.И., Иващенко Д.С. Моделирование нелинейного сопротивления электроискро-
вой нагрузки для синтеза цепи разряда конденсатора по временным характеристикам // Техн. електродинаміка.
– 2014. – № 3. – С. 12–18.
13. Щерба А.А., Супруновская Н.И., Синицин В.К., Иващенко Д.С. Апериодические и колебательные процессы
разряда конденсатора при принудительном ограничении длительности токов в нагрузке // Техн. електро-
динаміка. – 2012. – № 3. – С. 9–10.
14. Dimbylow P.J. Corrent densities in a 2 mm resolution anatomically realistic model of the body induced by low fre-
quency electric fields // Phys. Med. Biol. – 2000. – No 45. – Pp. 1013–1022.
15. Gillard A., Golovashchenko S., Mamutov A. Effect of quasi-static prestrain on the formability of dual phase steels in
electrohydraulic forming // Journal of Manufacturing Processes. – 2013. – Vol. 15. – Pр. 201–218.
16. Golovashchenko S.F., Gillard A., Mamutov A., Bonnen J., Tang Z. Electrohydraulic Trimming of Advanced and
Ultra High Strength Steels // Journal of Materials Processing Technology. – 2014. – Vol. 214. – Pр. 1027–1043.
17. Kosenkov V.M., Bychkov V.M. Mathematical modeling of transient processes in the discharge circuit and chamber of an elec-
trohydraulic installation // Surface engineering and applied electrochemistry. – 2015. – Vol. 51. – No 2. – Рp. 167–173.
18. Rezinkina, M., Bydianskaya, E., Shcherba, A. Alteration of brain electrical activity by electromagnetic field // Envi-
ronmentalist. – 2007. – Vol. 27. – Nо 4. – Pp. 417–422.
19. Shcherba A.A., Kosenkov V.M., Bychkov V.M. Mathematical closed model of electric and magnetic fields in the dis-
charge chamber of an Electrohydraulic installation // Surface engineering and applied electrochemistry. – 2015. –
Vol. 51. – No 6. – Рp. 581–588.
20. Taflove A., Hagness S. Computational electrodynamics: the finite difference time domain method. – Boston; Lon-
don: Artech House. – 2000. – 852 p.
УДК 519.6:537.8:537.528
ГРАНИЧНІ УМОВИ ПРИ МАТЕМАТИЧНОМУ МОДЕЛЮВАННІ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ПОЛЯ
ВСЕРЕДИНІ ТА ЗОВНІ РОЗРЯДНОЇ КАМЕРИ ВИСОКОВОЛЬТНОЇ ЕЛЕКТРОГІДРАВЛІЧНОЇ УСТАНОВКИ
В.М.Косенков, канд.техн.наук, В.М.Бичков e-mail: v.m.kosenkov@gmail.com
Інститут імпульсних процесів і технологій НАН України, пр. Жовтневий, 43 -А, Миколаїв, 54018, Україна.
Визначено особливості вибору граничних умов при математичному моделюванні електромагнітного поля (ЕМП) високово-
льтної електрогідравлічної установки в обмеженому об'ємі розрахункової області за межами розрядної камери. Їхнє вико-
ристання при розрахунку ЕМП усередині і поза межами розрядної камери дозволяє отримувати розподіл поля, еквівалент-
ний розподілу ЕМП при використанні точних граничних умов на нескінченності – помилка складає не більше 5%. Розробле-
32 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 3
но математичну модель і алгоритм рішення отриманої системи рівнянь на основі чисельних методів. Верифікація моделі і
алгоритму виконана на задачах, що допускають точні рішення. Бібл. 20, рис. 4.
Ключові слова: електричний розряд, конденсатор, розрядний канал у воді, математична модель, електромагнітне поле, елек-
трогідравлічна установка, граничні умови.
BOUNDARY CONDITIONS FOR MATHEMATICAL SIMULATION OF THE ELECTROMAGNETIC FIELD INSIDE
AND OUTSIDE OF THE DISCHARGE CHAMBER OF HIGH-VOLTAGE ELECTRO-HYDRAULIC INSTALLATION
V.M. Kosenkov, V.M. Bychkov
Institute of pulse processes and technologies of National Academy of Sciences of Ukraine,
pr. Zhovtnevyi, 43-a, Mykolayiv, 54018, Ukraine. E-mail: v.m.kosenkov@gmail.com
Features of the defining of boundary conditions for mathematical simulation of electromagnetic field (EMF) of high-voltage electro-
hydraulic installation in final volume of computational domain outside of the discharge chamber are determined. Their use in the
calculation of EMF inside and outside of discharge chamber allows to obtain the field distribution, which is equivalent to the distri-
bution of EMF when using the exact boundary conditions at infinity - the error is not more than 5%. The mathematical model and
algorithm for solving the obtained system of equations based on numerical methods are developed. Verification of the model and the
algorithm is executed on the tasks that admit exact solutions. References 20, figures 4.
Keywords: electrical discharge, capacitor, discharge channel in the water, the mathematical model, electromagnetic field, electro-
hydraulic installation, boundary conditions.
1. Binns K., Laurenson P. Analysis and computation of electrical and magnetic field problems. – Moskva: Energiia,
1970. – 376 p. (Rus)
2. Vovchenko A.I., Tertilov R.V. Synthesis of capacitive non-linear- parametrical energy sources for discharge-pulse technolo-
gies // Zbirnyk naukovykh pratz Natsionalnoho Universytetu Korablebuduvannia. – 2010. – No 4. – Pp. 118–124. (Rus)
3. Darevsky A.I., Kukharkin Ye.S. Theoretical foundations of electrical engineering. Part 2. – Moskva:Vysshaia shkola,
1965. – 284 p. (Rus)
4. Demirchan K.S., Chechurin V.L. Machine calculations of electromagnetic fields. – Мoskva: Vysshaia shkola, 1986. –
240 p. (Rus)
5. Kosenkov V.M. Influence of the length of the channel of a high-voltage discharge in water on the efficiency of plastic
deformation of a cylindrical shell // Zhurnal Tekhnicheskoi Fiziki. – 2011. – Vol. 81. – No 10. – Pp. 133–139.
6. Kutarev A.M., Zhurkin M.I. Comparison of the calculated magnetic field by the finite difference method with use of
the vector and scalar potential of the magnetic field // Vestnik OGU. – 2005. – No 4. – Рp. 127–130. (Rus)
7. Lapik R.M., Martyshkin P.V. Calculation and measurements of the prototype magnet of the conversion system of
VEPP-5 injection complex. – Novosibirsk: Institut Yadernoi Fiziki, 1999. – 33 р. (Rus)
8. Samarsky A.A., Gulin A.V. Numerical methods. – Moskva: Nauka, 1989. – 432 p. (Rus)
9. Stepanov R.A., Chupin A.V., Frik P.G. Screw dynamo in a torus // Vychislitelnaia Mekhanika Sploshnykh Sred. –
2008. – Vol. 1. – Pp. 109–117. (Rus)
10. Shcherba A.A., Suprunovska N.I. Synthesis of electrical circuits with capacitive energy storages in semiconductor
powerful shapers of discharge pulses // Tekhnichna Elektrodynamika. – 2014. – No 1. – Pp. 3–11. (Rus)
11. Shcherba A.A., Suprunovska N.I. Regularities of increasing rate of current rise under loading at limiting its maximal
values // Tekhnichna Elektrodynamika. – 2012. – No 5. – Pp. 3–10. (Rus)
12. Shcherba A.A., Suprunovska N.I., Ivashchenko D.S. Modeling of nonlinear resistance of electro-spark load for synthesis of
discharge circuit of capacitor by time parameters // Tekhnichna Elektrodynamika. – 2014. – No 3. – Pp. 12–18. (Rus)
13. Shcherba A.A., Suprunovska N.I., Synytsyn V.K., Ivashchenko D.S. Aperiodic and Oscillatory Processes of Capacitor
Discharge at Forced Limitation of Duration // Tekhnichna Elektrodynamika. – 2012. – No 3. – Pp. 9–10. (Rus)
14. Dimbylow P.J. Corrent densities in a 2 mm resolution anatomically realistic model of the body induced by low fre-
quency electric fields // Phys. Med. Biol. – 2000. – No 45. – Pp. 1013–1022.
15. Gillard A., Golovashchenko S., Mamutov A. Effect of quasi-static prestrain on the formability of dual phase steels in
electrohydraulic forming // Journal of Manufacturing Processes. – 2013. – Vol. 15. – Pр. 201–218.
16. Golovashchenko S.F., Gillard A., Mamutov A., Bonnen J., Tang Z. Electrohydraulic Trimming of Advanced and
Ultra High Strength Steels // Journal of Materials Processing Technology. – 2014. – Vol. 214. – Pр. 1027–1043.
17. Kosenkov V.M., Bychkov V.M. Mathematical modeling of transient processes in the discharge circuit and chamber of an elec-
trohydraulic installation // Surface Engineering and Applied Electrochemistry. – 2015. – Vol. 51. – No 2. – Рp. 167–173.
18. Rezinkina, M., Bydianskaya, E., Shcherba, A. Alteration of brain electrical activity by electromagnetic field // Envi-
ronmentalist. – 2007. – Vol. 27. – Nо 4. – Pp. 417–422.
19. Shcherba A.A., Kosenkov V.M., Bychkov V.M. Mathematical closed model of electric and magnetic fields in the dis-
charge chamber of an Electrohydraulic installation // Surface Engineering and Applied Electrochemistry. – 2015. –
Vol. 51. – No 6. – Рp. 581–588.
20. Taflove A., Hagness S. Computational electrodynamics: the finite difference time domain method. – Boston; Lon-
don: Artech House. – 2000. – 852 p.
Надійшла 11.11.2014
Остаточний варіант 25.02.2016
|