Нелінійна крайова задача теплопровідності для шаруватої пластини з включенням
Розглянуто нелінійну крайову задачу теплопровідності для ізотропної безмежної термочутливої шаруватої пластини з теплоізольованими лицевими поверхнями та чужорідним наскрізним теплоактивним включенням. За допомогою запровадженого перетворення виконано часткову лінеаризацію вихідного рівняння т...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/135127 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нелінійна крайова задача теплопровідності для шаруватої пластини з включенням / В.І. Гавриш // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2015. — Т. 51, № 3. — С. 32-38. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-135127 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Гавриш, В.І. 2018-06-14T15:50:09Z 2018-06-14T15:50:09Z 2015 Нелінійна крайова задача теплопровідності для шаруватої пластини з включенням / В.І. Гавриш // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2015. — Т. 51, № 3. — С. 32-38. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. 0430-6252 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/135127 536.24 Розглянуто нелінійну крайову задачу теплопровідності для ізотропної безмежної термочутливої шаруватої пластини з теплоізольованими лицевими поверхнями та чужорідним наскрізним теплоактивним включенням. За допомогою запровадженого перетворення виконано часткову лінеаризацію вихідного рівняння теплопровідності. Після кусково-лінійної апроксимації температури на межових поверхнях чужорідних шарів та включення рівняння повністю лінеаризовано. Знайдено аналітично-числовий розв’язок цього рівняння з крайовими умовами другого роду для визначення запровадженої функції із використанням інтегрального перетворення Фур’є. Наведено розрахункові формули для обчислення значень шуканої температури за лінійної температурної залежності коефіцієнта теплопровідності конструкційних матеріалів для двошарової пластини. Виконано числовий аналіз для одношарової пластини з наскрізним теплоактивним включенням (матеріал пластини – кераміка ВК94-I, матеріал включення – срібло). Рассмотрена нелинейная граничная задача теплопроводности для изотропной бесконечной термочувствительной слоистой пластины с теплоизолированными лицевыми поверхностями и инородным сквозным тепловыделяющим включением. С помощью предложенного преобразования проведена частичная линеаризация исходного уравнения теплопроводности. После кусочно-линейной аппроксимации температуры на граничных поверхностях инородных слоев и включения уравнение полностью линеаризовано. Найдено численно-аналитическое решение этого уравнения с граничными условиями второго рода для определения введенной функции с применением интегрального преобразования Фурье и приведены расчетные формулы для вычисления искомой температуры с линейной температурной зависимостью коэффициента теплопроводности конструкционных материалов. Выполнен численный анализ для однослойной пластины со сквозным тепловыделяющим включением (материал пластины – керамика ВК94-І, включения – серебро). A nonlinear boundary value problem of heat conduction for an isotropic infinite heat-sensitive layered plate with insulated face surfaces and a foreign through heat-releasing inclusion is considered. With a help of the proposed transformation, a partial linearization of the original equation of heat conduction is done. After piecewise linear approximation of temperature at the boundary surfaces of the layers and the inclusion, the equation becomes fully linearized. With the application of Fourier transform, an analytical-numerical solution of the equation with the boundary conditions of the second kind for the determination of introduced functions is obtained; formulae for calculating the required temperature with a linear temperature dependence of the thermal conductivity of structural materials are also provided. Numerical analysis for a single-layer plate with a through heat-releasing inclusion is carried out, where the plate and inclusion materials are ceramics ВК94-І and silver, respectively. uk Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України Фізико-хімічна механіка матеріалів Нелінійна крайова задача теплопровідності для шаруватої пластини з включенням Нелинейная граничная задача теплопроводности для слоистой пластины с включением Nonlinear boundary value problem of heat conduction for a layered plate with inclusion Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Нелінійна крайова задача теплопровідності для шаруватої пластини з включенням |
| spellingShingle |
Нелінійна крайова задача теплопровідності для шаруватої пластини з включенням Гавриш, В.І. |
| title_short |
Нелінійна крайова задача теплопровідності для шаруватої пластини з включенням |
| title_full |
Нелінійна крайова задача теплопровідності для шаруватої пластини з включенням |
| title_fullStr |
Нелінійна крайова задача теплопровідності для шаруватої пластини з включенням |
| title_full_unstemmed |
Нелінійна крайова задача теплопровідності для шаруватої пластини з включенням |
| title_sort |
нелінійна крайова задача теплопровідності для шаруватої пластини з включенням |
| author |
Гавриш, В.І. |
| author_facet |
Гавриш, В.І. |
| publishDate |
2015 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Нелинейная граничная задача теплопроводности для слоистой пластины с включением Nonlinear boundary value problem of heat conduction for a layered plate with inclusion |
| description |
Розглянуто нелінійну крайову задачу теплопровідності для ізотропної безмежної
термочутливої шаруватої пластини з теплоізольованими лицевими поверхнями та
чужорідним наскрізним теплоактивним включенням. За допомогою запровадженого
перетворення виконано часткову лінеаризацію вихідного рівняння теплопровідності.
Після кусково-лінійної апроксимації температури на межових поверхнях чужорідних шарів та включення рівняння повністю лінеаризовано. Знайдено аналітично-числовий розв’язок цього рівняння з крайовими умовами другого роду для визначення запровадженої функції із використанням інтегрального перетворення Фур’є.
Наведено розрахункові формули для обчислення значень шуканої температури за
лінійної температурної залежності коефіцієнта теплопровідності конструкційних
матеріалів для двошарової пластини. Виконано числовий аналіз для одношарової
пластини з наскрізним теплоактивним включенням (матеріал пластини – кераміка
ВК94-I, матеріал включення – срібло).
Рассмотрена нелинейная граничная задача теплопроводности для изотропной бесконечной термочувствительной слоистой пластины с теплоизолированными
лицевыми поверхностями и инородным сквозным тепловыделяющим включением. С помощью предложенного преобразования проведена частичная линеаризация исходного
уравнения теплопроводности. После кусочно-линейной аппроксимации температуры на
граничных поверхностях инородных слоев и включения уравнение полностью линеаризовано. Найдено численно-аналитическое решение этого уравнения с граничными условиями второго рода для определения введенной функции с применением интегрального
преобразования Фурье и приведены расчетные формулы для вычисления искомой температуры с линейной температурной зависимостью коэффициента теплопроводности конструкционных материалов. Выполнен численный анализ для однослойной пластины со
сквозным тепловыделяющим включением (материал пластины – керамика ВК94-І, включения – серебро).
A nonlinear boundary value problem of heat conduction for an isotropic infinite
heat-sensitive layered plate with insulated face surfaces and a foreign through heat-releasing
inclusion is considered. With a help of the proposed transformation, a partial linearization of the
original equation of heat conduction is done. After piecewise linear approximation of temperature
at the boundary surfaces of the layers and the inclusion, the equation becomes fully linearized.
With the application of Fourier transform, an analytical-numerical solution of the equation
with the boundary conditions of the second kind for the determination of introduced functions is
obtained; formulae for calculating the required temperature with a linear temperature dependence
of the thermal conductivity of structural materials are also provided. Numerical analysis
for a single-layer plate with a through heat-releasing inclusion is carried out, where the plate and
inclusion materials are ceramics ВК94-І and silver, respectively.
|
| issn |
0430-6252 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/135127 |
| citation_txt |
Нелінійна крайова задача теплопровідності для шаруватої пластини з включенням / В.І. Гавриш // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2015. — Т. 51, № 3. — С. 32-38. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT gavrišví nelíníinakraiovazadačateploprovídnostídlâšaruvatoíplastinizvklûčennâm AT gavrišví nelineinaâgraničnaâzadačateploprovodnostidlâsloistoiplastinysvklûčeniem AT gavrišví nonlinearboundaryvalueproblemofheatconductionforalayeredplatewithinclusion |
| first_indexed |
2025-11-26T00:10:51Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:10:51Z |
| _version_ |
1850596113638227968 |
| fulltext |
32
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2015. – ¹ 3. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 536.24
НЕЛІНІЙНА КРАЙОВА ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ
ДЛЯ ШАРУВАТОЇ ПЛАСТИНИ З ВКЛЮЧЕННЯМ
В. І. ГАВРИШ
Національний університет “Львівська політехніка”
Розглянуто нелінійну крайову задачу теплопровідності для ізотропної безмежної
термочутливої шаруватої пластини з теплоізольованими лицевими поверхнями та
чужорідним наскрізним теплоактивним включенням. За допомогою запровадженого
перетворення виконано часткову лінеаризацію вихідного рівняння теплопровідності.
Після кусково-лінійної апроксимації температури на межових поверхнях чужорід-
них шарів та включення рівняння повністю лінеаризовано. Знайдено аналітично-
числовий розв’язок цього рівняння з крайовими умовами другого роду для визна-
чення запровадженої функції із використанням інтегрального перетворення Фур’є.
Наведено розрахункові формули для обчислення значень шуканої температури за
лінійної температурної залежності коефіцієнта теплопровідності конструкційних
матеріалів для двошарової пластини. Виконано числовий аналіз для одношарової
пластини з наскрізним теплоактивним включенням (матеріал пластини – кераміка
ВК94-I, матеріал включення – срібло).
Ключові слова: ізотропна шарувата безмежна термочутлива пластина з тепло-
ізольованими лицевими поверхнями, ідеальний тепловий контакт, температурне
поле, теплопровідність, чужорідне наскрізне теплоактивне включення.
Проектування складних мікроелектронних пристроїв шаруватої структури,
які часто функціонують в умовах інтенсивного нагрівання чи охолодження, що
спричиняє залежність теплофізичних параметрів від температури, полягає не
лише в оптимізації їхніх параметрів, але й у забезпеченні їх стабільної роботи та
захисту від різноманітних збоїв, високої надійності та теплової стійкості устатку-
вання. Із ростом потужностей та інтеграції мікроелектронних схем ускладнюєть-
ся проблема термостійкості до теплових навантажень конструкцій мікроелек-
тронних пристроїв, які частково або цілком виходять із ладу в результаті тепло-
вих перевантажень. Врахування залежності теплофізичних параметрів від темпе-
ратури значно утруднює побудову математичних моделей теплових процесів,
однак дає змогу точніше досліджувати термостійкість конструкцій.
Деякі дослідження температурних режимів для конструкційних термочутли-
вих елементів кусково-однорідної структури виконано раніше [1–3]. Розроблена
математична модель квазістаціонарного температурного поля суцільного цилін-
дра обертання із композитного матеріалу з нелінійними крайовими умовами, що
враховують залежність теплофізичних характеристик матеріалів від температури.
Отримані аналітичні вирази для визначення температурних полів, що дають змо-
гу підібрати склад композитних матеріалів для деталей циліндричного типу для
збільшення терміну їх експлуатації [4].
Нижче сформульовано крайову нелінійну задачу теплопровідності, наведено
методику лінеаризації вихідного рівняння теплопровідності та розрахункові фор-
мули для визначення температурного поля у шаруватій термочутливій безмежній
пластині з теплоізольованими лицевими поверхнями, у якій знаходиться чужо-
Контактна особа: В. І. ГАВРИШ, e-mail: gavryshvasyl@gmail.com
33
рідне наскрізне теплоактивне включення. За лінійної залежності коефіцієнта теп-
лопровідності від температури для одношарової пластини з включенням викона-
но числовий аналіз.
Об’єкт дослідження. Математична модель. Розглянемо ізотропну шарува-
ту безмежну пластину товщиною 2δ з теплоізольованими лицевими поверхнями
z = δ , яка складається із n різнорідних шарів, що відрізняються геометричними
(шириною) та теплофізичними (коефіцієнтом теплопровідноcті) параметрами,
віднесену до декартової прямокутної системи координат ( , , )x y z із початком на
одній з її межових поверхонь (рис. 1). Пластина містить наскрізне включення [5],
в області { }0 ( , , ) : , 0 ,nx y z x h y y zΩ = ≤ ≤ ≤ ≤ δ якого діють рівномірно розподі-
лені внутрішні джерела тепла з потужністю 0 constq = . На поверхнях шарів jK =
{ }( , , ) : , ( 1, 1)jx y z x z j n= < ∞ ≤ δ = − та включення { }( , , ) : 0 ,nK h y z y y z± = ± ≤ ≤ ≤ δ
виконується ідеальний тепловий контакт, а на межових поверхнях
{ }0 ( ,0, ) : ,K x z x z= < ∞ ≤ δ , { }( , , ) : ,n nK x y z x z= < ∞ ≤ δ пластини задано кра-
йові умови другого роду. У наведеній структурі потрібно визначити розподіл
температури ( , )t x y за просторовими координатами.
Рис. 1. Переріз ізотропної багатошарової
безмежної пластини з чужорідним
наскрізним теплоактивним включенням
площиною z = 0.
Fig. 1. Cross-section of an isotropic
multilayer infinite plate with a foreign
thermo-active through-plane inclusion z = 0.
Розподіл стаціонарного температурного поля ( , )t x y в розглядуваній системі
отримуємо, розв’язавши нелінійне рівняння теплопровідності [5, 6]
0( , , ) ( , , ) ( )
t t
x y t x y t q S h x
x x y y −
∂ ∂ ∂ ∂ λ + λ = − − ∂ ∂ ∂ ∂
(1)
з крайовими умовами
0
0, 0,
n
x x y yy
t t t
t
x y y→∞ →∞ ==
∂ ∂ ∂= = = =
∂ ∂ ∂
(2)
де 0 1
1
( , , ) { ( ) [ ( ) ( )] ( )} ( , )
n
j j j
j
x y t t t t S h x N y y− −
=
λ = λ + λ − λ − −∑ коефіцієнт теплопро-
відності неоднорідної пластини; 0( ), ( )j t tλ λ − коефіцієнти теплопровідності
матеріалів j-го шару пластини та включення, відповідно; 0 0y = ; 1( , )jN y y − =
1( ) ( )j jS y y S y y+ − += − − − ;
1, 0
( ) 0,5 0,5, 0
0, 0
S±
ζ >
ζ = ζ =
ζ <
∓ – асиметричні одиничні
функції [7].
34
Запровадимо функцію
( , ) ( , )
1 1 0
1 0 ( , )
{ ( ) ( , ) ( ) [ ( , ) ( ( ) ( ))
t x y t x yn
j j j j
j t h y
d N y y S h x N y y d− − −
= ±
ϑ = λ ζ ζ + − λ ζ − λ ζ ζ −∑ ∫ ∫
1
1
( , ) ( , )
0 1 0
( , ) ( , )
( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( )]
j j
j j
t x y t x y
j j j j
t h y t h y
d S y y d S y y
−
−
+ − +
± ±
− λ ζ − λ ζ ζ − + λ ζ − λ ζ ζ − −∫ ∫
1( , ) ( , )
1
0 0
( ) ( ) ( ) ( )},
j i
t x y t x y
j j j jd S y y d S y y
−
+ − +− λ ζ ζ − + λ ζ ζ −∫ ∫ (3)
продиференціювавши яку за змінними x та y, отримаємо:
1 2( , , ) ( , ), ( , , ) ( , ),
t t
x y t x y x y t x y
x x y y
∂ ∂ϑ ∂ ∂ϑλ = + Φ λ = + Φ
∂ ∂ ∂ ∂
(4)
де
1
1 1
1
2 0 1
1
( , ) [( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( )],
( , ) ( ) [( ( ) ( )) ] ( , ).
j j
n
j j j j
j y y y y
n
j j
j x h
t t
x y t S y y t S y y
x x
t
x y S h x t t N y y
y
−
+ − +
= = =
− −
= =
∂ ∂Φ = λ − − λ −
∂ ∂
∂Φ = − λ − λ
∂
∑
∑
Із урахуванням виразів (4) вихідне рівняння (1) набуде такого вигляду:
2
1 2 02
[ ( , )] [ ( , )] ( ).x y x y q S h x
x yy
−
∂ ϑ ∂ ∂+ Φ + Φ = − −
∂ ∂∂
(5)
Крайові умови з використанням співвідношення (3) запишемо так:
0
0, 0.
n
x x y yyx y y→∞ →∞ ==
∂ϑ ∂ϑ ∂ϑϑ = = = =
∂ ∂ ∂
(6)
Запроваджена функція ϑ (3) дала змогу звести нелінійне рівняння теплопро-
відності (1) до частково лінеаризованого рівняння з розривними коефіцієнтами
(5). Водночас крайові умови (2) залишаються лінійними у вигляді (6).
Знаходження аналітично-числового розв’язку. Апроксимуємо функції
( , ), ( , )jt h y t x y± виразами
1
( ) ( ) ( ) ( )*
1 1
1
( , ) ( ) ( ),
m
jh jh jh j
k k k
k
t h y t t t S y y
−
± ± ±
−+
=
± = + − −∑
1
( ) ( ) ( )
1 1
1
( , ) ( ) ( ),
p
j j j
j ll l
l
t x y t t t S x x
−
−+
=
= + − −∑ (7)
де ( )* ( )* ( )* ( )*
1 1 2 1є ] ; [ ; ... ;j j j j
j j mky y y y y y− −≤ ≤ ≤ * *є ] ; [ \ [ ; ];lx x x h h− − * 0;x >
1 2 1... ;px x x −≤ ≤ ,m p – кількість розбиттів інтервалів 1] ; [j jy y− та
* *] ; [ \ [ ; ]x x h h− − , відповідно; ( ) ( 1, ),jh
kt k m± = ( ) ( 1, )j
lt l p= – невідомі апрокси-
маційні значення температури; *x – значення координати, в якій температура
практично дорівнює нулеві (знаходять з відповідної лінійної крайової задачі).
35
Підставивши вирази (7) у співвідношення (5), одержимо лінійне диференці-
альне рівняння з частковими похідними відносно запровадженої функції ϑ
1 1
( ) ( )'
0
1 1 1
[ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ).
pn m
l k
lj j
j l k
y x x S h x y q S h x
− −
− − −
= = =
∆ϑ = − Φ δ − + − Φ − −∑ ∑ ∑ (8)
Тут ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*
01 1 1( ) ( )[ ( ) ( )] ( );k jh jh jh jh j
jj k k k k ky t t t t y y± ± ± ±
−+ + + ′Φ = − λ − λ δ −
( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( )
11 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( );l j j j j j j
j j j jj l l l l l ly t t t S y y t t t S y y− − −
+ − ++ + + +Φ = − λ − − − λ −
2 2
2 2x y
∂ ∂∆ = + −
∂ ∂
оператор Лапласа в декартовій прямокутній системі координат;
( )
( )
dS
d
±
±
ζδ ζ =
ζ
– асиметричні дельта-функції Дірака [7].
Застосувавши інтегральне перетворення Фур’є за координатою х до рівняння
(8) та умов (6), отримаємо звичайне диференціальне рівняння зі сталими коефіці-
єнтами
2 11
( ) ( )2 0
2
1 1 1
21 2sin
[ ( ) ( )] sin
2
l
pn m
i xk l
j j
j k l
qd h
y i e y h
dy
−−
− ξ
= = =
ϑ ξ− ξ ϑ = Φ − ξ Φ − ξ ξ ξπ
∑ ∑ ∑ (9)
і крайові умови
0
0,
ny y y
d d
dy dy= =
ϑ ϑ= = (10)
де
1
2
i xe dx
∞
ξ
−∞
ϑ = ϑ
π ∫ – трансформанта функції ( , )x yϑ ; ξ – параметр інтеграль-
ного перетворення Фур’є; 1i = − – уявна одиниця.
Розв’язавши задачу (9), (10), а після цього застосувавши обернене інтеграль-
не перетворення Фур’є до її розв’язку, одержимо вираз для функції ϑ
* * *
*
1
( ) ( ) ( )
1 10
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
01 1 1
1
1
1
1 1 ch
{cos [2sin (ch ( ) ( sh ( ))
sh
ch
( ) ( ( ) ( )) sh ( ))
sh
sin ( )(((1 ch ( )) (
n m
j j j
nk k k
nj k
jh jh jh jh j
j nk k k k k
n
p
l j
l
y
x h y y S y y y y
y
y
t t t t y y
y
x x y y S y
∞ −
−
= =
± ± ± ±
+ + +
−
− +
=
ξϑ = ξ ξ ξ − − + ξ − ×
π ξ ξ
ξ× − λ − λ + ξ − +
ξ
+ ξ + − ξ − −
∑ ∑∫
∑ 1
( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1
ch
) sh (
sh
))( ) ( ) ( (1 ch ( )) ( )
j n
n
j j j
j j j jl l l
y
y y
y
y t t t y y S y y
−
− − −
− ++ +
ξ+ ξ −
ξ
− − λ − − ξ − − +
( ) ( ) ( ) 0
1 1 2
2ch
sh ( ))( ) ( ))] sin } .
sh
j j j
n j jl l l
n
qy
y y t t t h d
y + +
ξ+ ξ − − λ + ξ ξ
ξ ξ
(11)
Підставивши вирази температурної залежності коефіцієнта теплопровідності
матеріалів для кожного зі шарів пластини та включення у співвідношення (3),
(11), після деяких перетворень отримаємо систему нелінійних рівнянь для визна-
чення невідомих апроксимаційних значень температури ( ) ( 1, )jh
kt k m± = та ( )j
lt
( 1, )l p= . Шукане температурне поле для наведеної системи визначаємо за допо-
могою отриманого нелінійного рівняння з використанням співвідношень (3), (11)
36
після підстановки в них конкретних виразів залежності коефіцієнта теплопровід-
ності від температури для матеріалів кожного зі шарів пластини та включення.
Частковий приклад та аналіз отриманих результатів. Для розв’язування
багатьох практичних задач використовують таку залежність коефіцієнта тепло-
провідності від температури [8, 9]:
0(1 )ktλ = λ − , (12)
де λ0, k – опорний і температурний коефіцієнти теплопровідності. Із виразів (3),
(11) отримаємо формули для визначення температури t для двошарової пластини
(n = 2) в областях
1 1{( , ) : ,0 }x y x h y yΩ = > ≤ < –
1
10
1
1
1 1 2 ( )
k
t
k
− − ϑ + ϑ
λ
= , (13)
2 1 2{( , ) : , }x y x h y y yΩ = > ≤ ≤ –
2
20
2
2
1 1 2 ( )
k
t
k
− − ϑ + ϑ
λ
= , (14)
3 1{( , ) : , 0 }x y x h y yΩ = ≤ ≤ < –
0
30
0
0
1 1 2 ( )
k
t
k
− − ϑ + ϑ
λ
= , (15)
4 1 2{( , ) : , }x y x h y y yΩ = ≤ ≤ ≤ –
0
40
0
0
1 1 2 ( )
.
k
t
k
− − ϑ + ϑ
λ
= (16)
Тут 0 1
1 1
0
(1 ) ;
2 y
k
t t
=
ϑ = λ −
2 1;mϑ = ϑ + ϑ
1
0 0
1 1 2 20 0
2 1( ) ;
2m
y y
k k
t t
=
λ − λ
ϑ = λ − λ +
(1) (1)
3 0
0
;v v
y=
ϑ = ϑ − ϑ + ϑ 0 0
0 0
0
(1 ) ;
2 y
k
t t
=
ϑ = λ −
0 0
0 0( ) 0 0
0 ( )
2
i ii
v i
x h
k k
t t
=
λ − λ
ϑ = λ − λ +
, 1,2 ;i = (2) (1)
4 0
0
;v v m
x hy ==
ϑ = ϑ − ϑ + ϑ + ϑ
значення температури ( ,0)t x дорівнює температурі навколишнього середовища;
1( , ), ( , )t h y t x y± обчислюємо за формулою (13) .
Формули (13)–(16) повністю описують температурне поле в термочутливій
двошаровій безмежній пластині з чужорідним наскрізним теплоактивним вклю-
ченням.
Виконали числовий аналіз температури t у одношаровій пластині шириною
2l із наскрізним включенням за таких вихідних даних: матеріал пластини – кера-
міка ВК94-I, матеріал включення – срібло, n = 10 – кількість розбиттів інтервалу
]– l, l[; h = l = 1 mm, q0 = 200 W . В інтервалі температур [20°C; 1230°C] наведені
матеріали описують такими залежностями коефіцієнта теплопровідності від тем-
ператури [10]:
1 0
W 1 W 1
( ) 13,67 (1 0,00064 ), ( ) 422,54 (1 0,00031 ),
mK K mK K
t t t tλ = − λ = − (17)
які є частковим випадком співвідношення (12).
37
Побудовано (рис. 2) залежність
температури t від координат х та у.
Зазначимо, що максимум температури
досягається в області дії рівномірно
розподілених у наскрізному чужорід-
ному включенні внутрішніх джерел
тепла, а на краях K± (|x |= 1) включення
спостерігаємо виконання умов ідеаль-
ного теплового контакту (відсутній
стрибок температури), що відповідає
розглядуваній математичній моделі.
Проілюстровано (рис. 3) зміну тем-
ператури t залежно від координати у
для різних значень координати х. Як
видно із графіків, температура змінюється лінійно і практично є стала для на-
ведених значень х, причому вона мало відрізняється в області включення (х = 0)
та в пластині поза ним (х = 2).
Рис. 3. Залежність температури t від координати у для різних значень координати х.
Fig. 3. Dependences of temperature t on coordinate y for different values of coordinate x.
Кількість розбиттів n = 10 інтервалу ]– l, l[ для наведених теплофізичних
(опорний і температурний коефіцієнти теплопровідності) і геометричних (довжи-
на включення і ширина пластини) параметрів структури дає змогу виконати
обчислення з точністю ε = 10–6.
ВИСНОВКИ
Запроваджена функція ϑ , описана виразом (3), дала змогу частково лінеари-
зувати вихідне нелінійне рівняння теплопровідності (1), а запропонована куско-
во-лінійна апроксимація температури виразом (7) на межових поверхнях вклю-
чення K± та чужорідних шарів ( 1, 1)jK j n= − – повністю лінеаризувати рівняння
(5), у зв’язку з чим стало можливим застосувати інтегральне перетворення Фур’є
до отриманої крайової лінійної задачі відносно запровадженої функції ϑ і побу-
дувати аналітично-числовий розв’язок для її визначення. Розглянуто лінійну тем-
пературну залежність коефіцієнта теплопровідності для матеріалів включення та
пластини. На основі цього наведено розрахункові формули (13)–(16) для обчис-
лення температури ( , )t x y у розглядуваній структурі. Виконано числові розра-
хунки розподілу температури t за формулами (13)–(16) і побудовано графіки
(рис. 2, 3). Числовий аналіз показує, що отримані результати відрізняються від
результатів, одержаних на основі лінійної моделі [11], на 7%. Ця незначна відмін-
ність пояснюється тим, що температурний коефіцієнт теплопровідності k для
розглядуваних матеріалів у співвідношеннях (17) невеликий. Якщо розглядати
конструкційні матеріали у розглядуваній системі, для яких температурний коефі-
цієнт теплопровідності буде значним, то і відчутним буде вплив нелінійності, що
значно покращить числові результати досліджень.
Рис. 2. Залежність температури t
від координат x та y.
Fig. 2. Dependence of temperature t
on coordinates x and y.
38
РЕЗЮМЕ. Рассмотрена нелинейная граничная задача теплопроводности для изо-
тропной бесконечной термочувствительной слоистой пластины с теплоизолированными
лицевыми поверхностями и инородным сквозным тепловыделяющим включением. С по-
мощью предложенного преобразования проведена частичная линеаризация исходного
уравнения теплопроводности. После кусочно-линейной аппроксимации температуры на
граничных поверхностях инородных слоев и включения уравнение полностью линеари-
зовано. Найдено численно-аналитическое решение этого уравнения с граничными усло-
виями второго рода для определения введенной функции с применением интегрального
преобразования Фурье и приведены расчетные формулы для вычисления искомой темпе-
ратуры с линейной температурной зависимостью коэффициента теплопроводности кон-
струкционных материалов. Выполнен численный анализ для однослойной пластины со
сквозным тепловыделяющим включением (материал пластины – керамика ВК94-І, вклю-
чения – серебро).
SUMMARY. A nonlinear boundary value problem of heat conduction for an isotropic infi-
nite heat-sensitive layered plate with insulated face surfaces and a foreign through heat-releasing
inclusion is considered. With a help of the proposed transformation, a partial linearization of the
original equation of heat conduction is done. After piecewise linear approximation of tempera-
ture at the boundary surfaces of the layers and the inclusion, the equation becomes fully lineari-
zed. With the application of Fourier transform, an analytical-numerical solution of the equation
with the boundary conditions of the second kind for the determination of introduced functions is
obtained; formulae for calculating the required temperature with a linear temperature depen-
dence of the thermal conductivity of structural materials are also provided. Numerical analysis
for a single-layer plate with a through heat-releasing inclusion is carried out, where the plate and
inclusion materials are ceramics ВК94-І and silver, respectively.
1. Барвінський А. Ф., Гавриш В. І. Нелінійна задача теплопровідності для неоднорідного
шару з внутрішніми джерелами тепла // Проблемы машиностроения. – 2009. – 12, № 1.
– C. 47–53.
2. Гавриш В. І., Федасюк Д. В. Метод розрахунку температурних полів для термочутли-
вої кусково-однорідної смуги із чужорідним включенням // Промышленная теплотех-
ника. – 2010. – 32, № 5. – C. 18–25.
3. Гаврыш В. И. Моделирование температурных режимов в термочувствительных мик-
роэлектронных устройствах со сквозными инородными включениями // Электронное
моделирование. – 2012. – 34, № 4.– С. 99–107.
4. Голицына Е. В., Осипов Ю. Р. Квазистационарная трехмерная задача теплопроводнос-
ти во вращающемся сплошном цилиндре из композиционного материала с нелинейны-
ми граничными условиями // Конструкции из композиционных материалов. – 2007.
– № 4. – C. 47–58.
5. Подстригач Я. С., Ломакин В. А., Коляно Ю. М. Термоупругость тел неоднородной
структуры. – М.: Наука, 1984. – 368 с.
6. Коляно Ю. М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного тела. – К.:
Наук. думка, 1992. – 280 с.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.
– М.: Наука, 1977. – 720 с.
8. Ломакин В. А. Теория упругости неоднородных тел. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976.
– 376 с.
9. Берман Р. Теплопроводность твердых тел. – М.: Мир, 1979. – 288 с.
10. Теплотехнический справочник: В 2-х т. / Под общ. ред. В. Н. Юренева и П. Д. Лебеде-
ва. – М.: Энергия, 1976. – Т. 2. – 896 с.
11. Гавриш В., Нитребич О. Моделювання теплового стану в елементах мікроелектрон-
них пристроїв із наскрізними чужорідними включеннями // Вісник Нац. ун-ту “Львів-
ська політехніка”: Комп’ютерні науки та інформаційні технології. – 2011. – № 719.
– C. 144–148.
Одержано 28.10.2013
|