Числове дослідження задач про контакт трьох пружних тіл методами декомпозиції області
Досліджено методи декомпозиції області для числового розв’язування задач про односторонній контакт без тертя багатьох пружних тіл скінченних розмірів. З використанням скінченноелементних апроксимацій розв’язано задачі про односторонній контакт трьох пружних тіл, обтиснених жорсткими плитами, та ко...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/135200 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Числове дослідження задач про контакт трьох пружних тіл методами декомпозиції області / І.І. Прокопишин, І.І. Дияк, Р.М. Мартиняк // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2013. — Т. 49, № 1. — С. 46-55. — Бібліогр.: 20 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-135200 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1352002025-02-09T20:54:28Z Числове дослідження задач про контакт трьох пружних тіл методами декомпозиції області Числовое исследование задач о контакте трех упругих тел методами декомпозиции области Numerical analysis of the problems of three elastic bodies contact by domain decomposition methods Прокопишин, І.І. Дияк, І.І. Мартиняк, Р.М. Досліджено методи декомпозиції області для числового розв’язування задач про односторонній контакт без тертя багатьох пружних тіл скінченних розмірів. З використанням скінченноелементних апроксимацій розв’язано задачі про односторонній контакт трьох пружних тіл, обтиснених жорсткими плитами, та контакт трьох закріплених тіл, одне з яких перебуває під дією зовнішнього навантаження. Вивчено розподіли нормальних контактних та еквівалентних напружень у тілах. Исследованы методы декомпозиции области для численного решения задач об одностороннем контакте без трения многих упругих тел конечных размеров. С использованием конечноэлементных аппроксимаций решены задачи об одностороннем контакте трех упругих тел, сжатых жесткими плитами, и контакте трех закрепленных тел, на одно из которых действует внешняя нагрузка. Изучено распределение нормальных контактных и эквивалентных напряжений в телах. The domain decomposition methods for the numerical solution of frictionless unilateral multibody contact problems of elasticity are investigated. The unilateral contact problem of three elastic bodies, which are contracted by rigid plates, and the contact problem of three fixed bodies, one of which is uniformly loaded by constant external load, are solved with the use of finite element approximations. The distributions of normal contact stresses and equivalent body stresses are studied. 2013 Article Числове дослідження задач про контакт трьох пружних тіл методами декомпозиції області / І.І. Прокопишин, І.І. Дияк, Р.М. Мартиняк // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2013. — Т. 49, № 1. — С. 46-55. — Бібліогр.: 20 назв. — укp. 0430-6252 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/135200 519.6:539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів application/pdf Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Досліджено методи декомпозиції області для числового розв’язування задач про
односторонній контакт без тертя багатьох пружних тіл скінченних розмірів. З використанням скінченноелементних апроксимацій розв’язано задачі про односторонній
контакт трьох пружних тіл, обтиснених жорсткими плитами, та контакт трьох
закріплених тіл, одне з яких перебуває під дією зовнішнього навантаження. Вивчено
розподіли нормальних контактних та еквівалентних напружень у тілах. |
| format |
Article |
| author |
Прокопишин, І.І. Дияк, І.І. Мартиняк, Р.М. |
| spellingShingle |
Прокопишин, І.І. Дияк, І.І. Мартиняк, Р.М. Числове дослідження задач про контакт трьох пружних тіл методами декомпозиції області Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Прокопишин, І.І. Дияк, І.І. Мартиняк, Р.М. |
| author_sort |
Прокопишин, І.І. |
| title |
Числове дослідження задач про контакт трьох пружних тіл методами декомпозиції області |
| title_short |
Числове дослідження задач про контакт трьох пружних тіл методами декомпозиції області |
| title_full |
Числове дослідження задач про контакт трьох пружних тіл методами декомпозиції області |
| title_fullStr |
Числове дослідження задач про контакт трьох пружних тіл методами декомпозиції області |
| title_full_unstemmed |
Числове дослідження задач про контакт трьох пружних тіл методами декомпозиції області |
| title_sort |
числове дослідження задач про контакт трьох пружних тіл методами декомпозиції області |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/135200 |
| citation_txt |
Числове дослідження задач про контакт трьох пружних тіл методами декомпозиції області / І.І. Прокопишин, І.І. Дияк, Р.М. Мартиняк // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2013. — Т. 49, № 1. — С. 46-55. — Бібліогр.: 20 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT prokopišiníí čislovedoslídžennâzadačprokontakttrʹohpružnihtílmetodamidekompozicííoblastí AT diâkíí čislovedoslídžennâzadačprokontakttrʹohpružnihtílmetodamidekompozicííoblastí AT martinâkrm čislovedoslídžennâzadačprokontakttrʹohpružnihtílmetodamidekompozicííoblastí AT prokopišiníí čislovoeissledovaniezadačokontaktetrehuprugihtelmetodamidekompoziciioblasti AT diâkíí čislovoeissledovaniezadačokontaktetrehuprugihtelmetodamidekompoziciioblasti AT martinâkrm čislovoeissledovaniezadačokontaktetrehuprugihtelmetodamidekompoziciioblasti AT prokopišiníí numericalanalysisoftheproblemsofthreeelasticbodiescontactbydomaindecompositionmethods AT diâkíí numericalanalysisoftheproblemsofthreeelasticbodiescontactbydomaindecompositionmethods AT martinâkrm numericalanalysisoftheproblemsofthreeelasticbodiescontactbydomaindecompositionmethods |
| first_indexed |
2025-11-30T16:36:15Z |
| last_indexed |
2025-11-30T16:36:15Z |
| _version_ |
1850233927337246720 |
| fulltext |
46
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2013. – ¹ 1. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 519.6:539.3
ЧИСЛОВЕ ДОСЛІДЖЕННЯ ЗАДАЧ ПРО КОНТАКТ ТРЬОХ
ПРУЖНИХ ТІЛ МЕТОДАМИ ДЕКОМПОЗИЦІЇ ОБЛАСТІ
І. І. ПРОКОПИШИН 1, І. І. ДИЯК 2, Р. М. МАРТИНЯК 1
1 Інститут прикладних проблем механіки і математики
ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів;
2 Львівський національний університет ім. Івана Франка
Досліджено методи декомпозиції області для числового розв’язування задач про
односторонній контакт без тертя багатьох пружних тіл скінченних розмірів. З вико-
ристанням скінченноелементних апроксимацій розв’язано задачі про односторонній
контакт трьох пружних тіл, обтиснених жорсткими плитами, та контакт трьох
закріплених тіл, одне з яких перебуває під дією зовнішнього навантаження. Вивчено
розподіли нормальних контактних та еквівалентних напружень у тілах.
Ключові слова: контакт пружних тіл, варіаційні нерівності, метод штрафу,
ітераційні методи, методи декомпозиції області, метод скінченних елементів.
Методи декомпозиції області (МДО) зводять розв’язування крайових задач
математичної фізики у всій області до розв’язування послідовності задач в окре-
мих підобластях. Це дає можливість поєднувати різні математичні методи і моде-
лі та розпаралелювати обчислення. МДО можна класифікувати за типом крайо-
вих умов, які задають на спільних межах у задачах для окремих підобластей.
Умови нульового порядку називають умовами Діріхле, умови на похідні – умова-
ми Неймана, а змішані – умовами Робіна або Пуанкаре.
Значного розвитку МДО набули для лінійних задач математичної фізики,
зокрема лінійної теорії пружності, а в останнє десятиріччя – і для контактних за-
дач теорії пружності, які, загалом, нелінійні.
Для розв’язування задач про односторонній контакт двох пружних тіл роз-
роблено [1] континуальний метод декомпозиції області типу Сіньйоріні–Нейма-
на, який полягає у послідовному розв’язуванні на кожному кроці задачі про од-
носторонній контакт з жорсткою поверхнею (задачі Сіньйоріні) для одного тіла
та задачі теорії пружності з умовою Неймана – для іншого. Крім цього, для задач
про контакт двох тіл запропоновано на континуальному рівні схеми декомпозиції
області типу Сіньйоріні–Діріхле [2] та Сіньйоріні–Сіньйоріні [3], а також МДО,
що ґрунтується на застосуванні поповненого лаґранжіана та блочного алгоритму
Удзави [4]. Серед дискретних МДО для розв’язування контактних задач слід ви-
ділити алгоритми на основі методу підструктур [5] та методу скінченних еле-
ментів розривів і зв’язків (FETI методу) [6, 7].
Запропоновано [8–12] клас континуальних МДО типу Робіна–Робіна для
розв’язування задач про односторонній контакт багатьох пружних тіл, які ґрун-
туються на методі штрафу для варіаційних нерівностей та ітераційних методах
для нелінійних варіаційних рівнянь. Доведено їхню збіжність [9, 10, 12]. Пере-
вагами отриманих методів є простота алгоритмів та регуляризація контактної
задачі завдяки штрафу. Нижче ці МДО апробовано для числового дослідження
задач про односторонній контакт трьох пружних тіл. На кожному кроці алго-
ритму для розв’язування лінійних задач теорії пружності застосовано метод скін-
Контактна особа: І. І. ПРОКОПИШИН, e-mail: ihor84@gmail.com
47
ченних елементів (МСЕ) з лінійними та квадратичними трикутними елементами.
Формулювання задачі. У прос-
торі 3 введемо декартову систему
координат, базисні вектори якої позна-
чимо через ie , 1,2,3i = . Розглянемо
задачу про контакт N пружних тіл
3
αΩ ⊂ з кусково-гладкими межами
α αΓ = ∂Ω , 1, Nα = (рис. 1). Позначи-
мо 1
N
αα=Ω = Ω∪ .
Напружено-деформований стан у
точці 1 2 3( , , )x x x=x T кожного з тіл αΩ
визначають вектор переміщень ( )α =u x
( )i iuα= x e , симетричні тензори
деформацій ( ) ( )ij i jα α= ε ⊗x x e eε і напружень ( ) ( )ij i jα α= σ ⊗x x e eσ , які
задовольняють рівняння лінійної теорії пружності
3
1 0ij j ij x fα α= ∂σ ∂ + =∑ , 1,2,3i = , α∈Ωx , (1)
3
, 1ij ijkl klk l Cα α α=σ = ε∑ , , 1,2,3i j = , α∈Ωx , (2)
( )1
2ij i j j iu x u xα α αε = ∂ ∂ + ∂ ∂ , , 1,2,3i j = , α∈Ωx , (3)
де ( )ijklCα x – компоненти тензора пружних сталих, який симетричний, еліптичний
і обмежений [13], а ifα – компоненти вектора об’ємних сил ( ) ( )i ifα α=f x x e .
На межі α αΓ = ∂Ω кожного з тіл уведемо локальний ортонормований базис
, ,α α αξ η n , де αn – одинична зовнішня нормаль, а ,α αξ η – одиничні дотичні.
Вектори переміщень і напружень на межі αΓ у цьому базисі запишемо так:
nu u uα αξ α αη α α α= + +u ξ η n , nα α α αξ α αη α α α= ⋅ = σ + σ + σn ξ η nσ σ .
Припустимо, що поверхня αΓ складається з трьох частин, які не перетина-
ються: u Sσ
α α α αΓ = Γ Γ∪ ∪ , де u u
α αΓ = Γ , u
αΓ ≠ ∅ , BS S
αα αββ∈= ≠ ∅∪ . Тут
Sαβ α⊂ Γ – ділянка можливого контакту тіла αΩ з тілом βΩ , а { }1,2,...,B Nα ⊂ –
множина індексів усіх тіл, які контактують з тілом αΩ , Bα ≠ ∅ , 1, Nα = . Вва-
жаємо, що поверхні Sαβ α⊂ Γ та Sβα β⊂ Γ достатньо близькі ( S Sαβ βα≈ ) [14], та
приймаємо, що ( ) ( )α β ′≈ −n x n x , де ( )P Sβα′ = ∈x x – проекція точки Sαβ∈x на по-
верхню Sβα . Відстань між тілами αΩ та βΩ до деформації по нормалі позначи-
мо ( )dαβ ′= ± −x x x , де знак “ ± ” залежить від формулювання конкретної задачі.
На частині u
αΓ поверхні αΓ задані кінематичні крайові умови (умови Діріх-
ле), а на частині σ
αΓ – статичні (умови Неймана):
( ) 0α =u x , u
α∈Γx , ( ) ( )α α=x p xσ , σ
α∈Γx . (4)
Рис. 1. Контакт кількох пружних тіл.
Fig. 1. Contact of several elastic bodies.
48
На поверхнях Sαβ виконуються умови одностороннього контакту без тертя:
( ) ( ) 0n nα β ′σ = σ ≤x x , ( ) ( ) 0αξ βξ ′σ = σ =x x , ( ) ( ) 0αη βη ′σ = σ =x x , (5)
( ) ( ) ( )n nu u dα β αβ′+ ≤x x x , (6)
( )( ) ( ) ( ) ( ) 0n n nu u dα β αβ α′+ − σ =x x x x , (7)
де Sαβ∈x , ( )P Sβα′ = ∈x x , Bαβ∈ , 1, Nα = . Зазначимо, що задача (1)–(7) нелі-
нійна. Сформулюємо її у безрозмірній формі. Нехай r – характерний розмір, а
E – характерна пружна стала. Уведемо нові координати i ix x r∗ = , 1,2,3i = , без-
розмірні переміщення, напруження, пружні сталі, зовнішні навантаження та
об’ємні сили:
( ) ( )i iu u r∗ ∗
α α=x x , ( ) ( )ij ij E∗ ∗
α ασ = σx x , ( ) ( )ijkl ijklC C E∗ ∗
α α=x x , (8)
( ) ( )i ip p E∗ ∗
α α=x x , ( ) ( )i if r f E∗ ∗
α α=x x , , , , 1,2,3i j k l = , 1, Nα = . (9)
Якщо величини ( )αu x , ( )α xσ , 1, Nα = є розв’язками задачі (1)–(7), то без-
розмірні величини ( )∗ ∗
αu x , ( )∗ ∗
α xσ , 1, Nα = будуть розв’язками аналогічної за-
дачі у безрозмірній формі. Тому надалі використовуватимемо подання вихідної
задачі у безрозмірній формі, не змінюючи позначення.
Варіаційні формулювання задачі. Метод штрафу. Для кожного з тіл αΩ
розглянемо простори Соболєва Vα = 1 3[ ( )]H αΩ та введемо у них замкнені під-
простори { }0 : 0 на uV Vα α α α α= ∈ = Γu u зі скалярним добутком 0( , )Vαα α =u v
( , )Vαα α= u v і нормою 0|| || || ||VV αα
α α=u u . Значення елементів просторів Vα і 0Vα
на частинах межі області αΩ розумітимемо у сенсі слідів [15].
Розглянемо рефлексивний банаховий простір 0 0 0
0 1 2 ... NV V V V= × × × =
{ }0
1 2( , ..., ) :N Vα α= = ∈u u u u uT , в якому означимо скалярний добуток
0
( , )V =u v
1( , )N
Vαα αα== ∑ u v і норму
0 0
|| || ( , )V V=u u u , 0, V∈u v , та введемо опуклу замкне-
ну множину кінематично допустимих переміщень:
{ }{ }0 : на , ,n nK V u u d S Qα β αβ αβ= ∈ + ≤ α β ∈u , (10)
де {{ , }: {1,2,..., }, }Q N Bα= α β α∈ β∈ – множина всеможливих невпорядкованих
пар індексів тіл, що контактують між собою, 1/ 2
00 ( )d Hαβ α∈ Ξ , \ u
α α αΞ = Γ Γ .
Уведемо білінійну форму ( , )A u v , що визначає сумарну енергію пружної
деформації тіл, та лінійну форму ( )L v , що рівна роботі заданих зовнішніх сил:
1( , ) ( , )NA aα α αα== ∑u v u v , ( , ) ( ) : ( )a d
α
α α α α α α αΩ
= σ ε Ω∫u v u v , (11)
1( ) ( )NL lα αα== ∑v v , ( )l d dSσ
α α
α α α α α αΩ Γ
= ⋅ Ω + ⋅∫ ∫v f v p v , 0, Vα α α∈u v , (12)
де 3
2[ ( )]Lα α∈ Ωf , 1/ 2 3
00[ ( )]H −
α α∈ Ξp , 1, Nα = .
Показано [9], що білінійна форма ( , )A u v – симетрична, неперервна та коер-
цитивна у просторі 0V , а лінійна форма ( )L v – неперервна у ньому.
49
Доведено [14, 16], що вихідна контактна задача (1)–(7) еквівалентна у слаб-
кому розумінні задачі мінімізації квадратичного функціонала на множині K або
варіаційній нерівності, розв’язок яких існує та єдиний:
( ) ( , ) 2 ( ) min
K
F A L
∈
= − →
u
u u u u , (13)
( , ) ( , ) ( ) 0F A L′ − = − − − ≥u v u u v u v u , K∀ ∈v , K∈u . (14)
Щоб отримати задачу мінімізації у вихідному просторі 0V , застосуємо до
задачі (13) метод штрафу [13, 15, 17, 18]. За порушення умов непроникнення (6)
уведемо штраф у такій формі:
{ }
2
,
1( ) ( )
2 n nQ S
J d u u dS
αβ
−
θ αβ α βα β ∈
⎡ ⎤= − −⎣ ⎦θ∑ ∫u , 0V∈u , (15)
де 0θ > – параметр штрафу; { }min 0,y y− = .
Розглянемо задачу мінімізації функціонала зі штрафом у просторі 0V :
0
( ) ( , ) 2 ( ) ( ) min
V
F A L Jθ θ
∈
= − + →
u
u u u u u . (16)
Штрафний доданок ( )Jθ u – невід’ємний та диференційовний за Ґато:
( ) ( ){ },
1( , ) n n n nQ S
J d u u v v dS
αβ
−
θ αβ α β α βα β ∈′ = − − − +
θ∑ ∫u v , 0, V∈u v . (17)
Тут величини ( )n n n n nd u u −
αβ α β αβ α βσ = σ = σ = − − θ , Sαβ∈x мають сенс нор-
мальних контактних напружень.
Також показано [9, 12], що функціонал ( , )Jθ′ u v володіє такими властивостями:
( )( )( ){ }0
0 00 ( , ) VV R V J Rθ′∀ ∈ ∃ > ∀ ∈ ≤u v u v v , (18)
( ){ }0, ( , ) ( , ) 0V J Jθ θ′ ′∀ ∈ + − ≥u v u v v u v , (19)
( )( ){ }0 0
00 , , ( , ) ( , ) V VD V J J Dθ θ′ ′∃ > ∀ ∈ + − ≤u v w u w v u v v w . (20)
Це дало змогу довести [9, 10, 12], що розв’язок задачі (16) існує і єдиний, а його
знаходження еквівалентне розв’язанню у просторі 0V нелінійного за змінною u
варіаційного рівняння
( , ) ( , ) ( , ) ( ) 0F A J Lθ θ′ ′= + − =u v u v u v v , 0V∀ ∈v , 0V∈u . (21)
На основі результатів Ж.-Л. Ліонса [15, 17] про збіжність методу штрафу до-
ведено [9, 12], що розв’язок θu задачі (21) при 0θ→ збігається сильно у просто-
рі 0V до розв’язку ∗u вихідної варіаційної нерівності (14), тобто
0 0
0Vθ ∗
θ→
− →u u .
Ітераційні методи для нелінійних варіаційних рівнянь. У деякому реф-
лексивному банаховому просторі 0V розглянемо абстрактне нелінійне варіаційне
рівняння вигляду (21), розв’язок якого існує та єдиний. Для його розв’язування
застосуємо такий стаціонарний ітераційний метод:
1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )k k k kG G A J L+
θ⎡ ⎤′= − γ + −⎣ ⎦u v u v u v u v v , 0,1,...k = , (22)
де ( , )G u v – деяка білінійна форма у просторі 0V , а γ∈ – ітераційний пара-
метр. Доведено [9, 10, 12] таке твердження про збіжність цього методу.
Теорема. Нехай білінійна форма A – неперервна з константою M та
коерцитивна з константою B , лінійна форма L – неперервна, білінійна форма
50
G – симетрична, неперервна з константою M та коерцитивна з константою
B , а нелінійний за змінною u доданок ( , )Jθ′ u v володіє властивостями (18)–(20).
Тоді, якщо 2(0; )γ∈ γ , 2
2 2 ( )BB M Dγ = + , то послідовність { }ku , отримана ме-
тодом (22), збігається сильно у просторі 0V до розв’язку u задачі (21) з ліній-
ною швидкістю в нормі || || ( , )G G⋅ = ⋅ ⋅ :
1k k
G G
q+ − ≤ −u u u u , ( )21 2 ( ) / 1q B M D B M= − γ − γ + < . (23)
Крім цього, доведено [9] твердження про стійкість методу (22) до похибок.
Для розв’язування рівняння (21) також запропоновано нестаціонарний ітера-
ційний метод [9, 12], де білінійна форма G та параметр γ різні на кожній ітерації:
1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )k k k k k k kG G A J L+
θ⎡ ⎤′= − γ + −⎣ ⎦u v u v u v u v v , 0,1,...k = . (24)
Встановлено [9, 12] умови збіжності цього методу.
Схеми декомпозиції області. Розглянемо такі варіанти методів (22) та (24)
для розв’язування варіаційного рівняння зі штрафом (21), які на кожній ітерації
реалізують декомпозицію задачі за підобластями [8–12].
Виберемо у методі (22) білінійну форму G у вигляді [9, 11, 12]
( , ) ( , ) ( , )G A X= +u v u v u v , 0, V∈u v , (25)
де 0 0( , ) :X V V× →u v – білінійна форма, яку визначимо так [9, 11, 12]:
1
1( , ) N
n nB S
X u v dS
α αβ
α α αβα= β∈= ψ
θ∑ ∑ ∫u v , 0, V∈u v . (26)
Тут 1 1( ) = {0, \ } {1, }S S Sαβ αβ αβ αβψ ∈ ∨ ∈x x x – характеристичні функції, що ви-
значають деякі задані підмножини 1S Sαβ αβ⊆ ділянок можливого контакту Sαβ .
Ітераційний метод (22) з білінійною формою (25) можна записати так:
1 1( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )k k k kA X L X J+ +
θ′+ = + −u v u v v u v u v , 0V∀ ∈v , (27)
( )1 1 1k k k+ += γ + − γu u u , 0,1,...k = . (28)
Доведено [9, 12], що білінійна форма X – симетрична, неперервна та не-
від’ємна. Тому білінійна форма (25) – симетрична, неперервна та коерцитивна, і
за наведеною вище теоремою отримуємо, що при 2(0; )γ∈ γ послідовність { }ku
методу (27), (28) збігається сильно у просторі 0V до розв’язку u варіаційного
рівняння зі штрафом (21), тобто
0
|| || 0k
V
k→∞
− →u u .
Спільні величини для підобластей відомі з попередньої ітерації, тому
варіаційне рівняння (27) розпадається на N незалежних варіаційних рівнянь в
окремих підобластях αΩ , і метод (27), (28) еквівалентний ітераційному процесу:
( )1 11( , )k k k
n n nB S
a u u v dS
α αβ
+ +
α α α αβ α α αβ∈+ ψ − =
θ∑ ∫u v
( )1( ) k k
n n nB S
l d u u v dS
α αβ
−
α α αβ α β αβ∈= + − −
θ∑ ∫v , 0Vα α∀ ∈v , (29)
1 1 (1 )k k k+ +
α α α= γ + − γu u u , 1, Nα = , 0,1,...k = . (30)
51
На кожній ітерації k методу (29), (30) потрібно паралельно розв’язувати N
лінійних варіаційних рівнянь (29), які відповідають задачам теорії пружності для
окремих тіл αΩ з умовами Робіна (Пуанкаре) на поверхнях Sαβ :
1 1 ( )k k k k k
n n n nu d u u u+ + −
αβ αβ α αβ α β αβ ασ + ψ θ = − − θ + ψ θ , Sαβ∈x .
Тому ітераційний метод (29), (30) належить до паралельних схем Робіна–Робіна
декомпозиції області [9, 11, 12].
Вибираючи різні характеристичні функції ( )αβ αβψ = ψ x , 1, Nα = , Bαβ∈ у
методі (29), (30), отримаємо різні варіанти схем Робіна–Робіна. Зокрема, покла-
даючи ( ) 0αβψ ≡x , ,∀α β , дістанемо паралельну схему Неймана–Неймана [8–12].
Якщо ж на кожній ітерації k виберемо { }( ) 0, ( ) ( ) ( ) 0k k k
n nd u uαβ αβ α β ′ψ = − − ≥ ∨x x x x
{ }1, ( ) ( ) ( ) 0k k
n nd u uαβ α β ′∨ − − <x x x , ( )P′ =x x , Sαβ∈x , то дістанемо нестаціонар-
ну паралельну схему Діріхле–Діріхле [8, 9, 11, 12, 19], яка відповідає деякому
нестаціонарному ітераційному методу вигляду (24).
Числову ефективність розроблених МДО досліджено для низки плоских за-
дач про контакт двох пружних тіл [8, 9, 11, 12, 19] з використанням МСЕ для роз-
в’язування задач теорії пружності в окремих тілах. Нижче ці МДО застосовано
до розв’язування плоских задач про односторонній контакт трьох пружних тіл.
Контактна задача про стиск трьох
пружних тіл. Розглянемо плоску задачу
про односторонній контакт без тертя
трьох ізотропних пружних тіл 1Ω , 2Ω
та 3Ω , обтиснених жорсткими плитами
(рис. 2). Довжини тіл рівні 4. Висота
першого та третього тіла 1 3 1h h= = , а
висота другого 2 2h = . Модулі Юнґа тіл
1E , 2 3E E E= = , коефіцієнти Пуассона
1 2 3 0,3ν = ν = ν = . Відстані до де-
формації між першим і другим тілами та
другим і третім однакові: 12 ( )d =x
2
0 1r x= , 21S∈x , 2
23 0 1( )d r x=x , 23S∈x ,
r0 = 0,001, обтиснення тіл ∆ = 2,732⋅10–3.
За характерний лінійний розмір вибрано висоту першого тіла ( 1r h= ), а за харак-
терну пружну сталу – модуль Юнґа другого і третього тіл ( E E= ).
Для областей 1Ω і 3Ω використовували сітку з 4096 лінійними або квадра-
тичними трикутними скінченними елементами, а для області 2Ω – з 8192. Пара-
метр штрафу задавали за стрижневою моделлю [9]:
3
1c αα=θ = κ∑ , ( ) ( )21h E rEα α α ακ = − ν , 1,2,3α = , (31)
де 0c > – нормований коефіцієнт штрафу. Задачу розв’язували схемою Робіна–
Робіна (29), (30) при 0,8γ = , 0,015c = . Функції αβψ вибирали так, щоб
{ }1
21 1 2: [0; ], 1S x b x= ∈ =x , { }1
23 1 2: [0; ], 3S x b x= ∈ =x ,
Рис. 2. Контакт трьох обтиснених тіл.
Fig. 2. Сontact of three contracted bodies.
52
де 1b = – для відношення модулів Юнґа 1 1/ 2E E = ; 1; 2; 4 та 1,5b = – для 1E E =
= 1/16; 1/8; 1/4; 8; 16. Для зупинки ітераційного процесу застосовували критерій
1 1
2 2
k k k
n n n uu u u+ +
α α α− ≤ ε , 1,2,3α = , (32)
де 2
2
[ ( ) ]j
n nju uα α= ∑ x – дискретна норма, 12
j S∈x – вузли скінченноеле-
ментного розбиття межі 12S , а 0uε > – відносна точність для переміщень. По-
чаткові наближення для переміщень задавали так, щоб початкові контактні зуси-
лля дорівнювали нулю [9]. Для вказаних вище параметрів та відношень модулів
Юнґа 1 1/16E E = ; 1/8; 1/4; 1/2; 1; 2; 4; 8; 16 схема Робіна–Робіна (29), (30) досягає
точності 310u
−ε = відповідно за 119; 118; 109; 52; 22; 58; 62; 103 та 109 ітерацій.
Коли всі тіла мають однакову жорсткість E , то задача симетрична відносно
прямої 2 2x = . Для цього випадку досліджено збіжність схеми Робіна–Робіна за
ітераціями. Вивчено розподіли нормальних контактних напружень на різних іте-
раціях k (рис. 3).
Рис. 3. Fig. 3. Рис. 4. Fig. 4.
Рис. 3. Контактні напруження σ12n = σ23n для модулів Юнґа E1 = E2 = E3 = E на ітераціях
k = 0; 2; 5; 10; 15; 22 (криві 1–6). Штрихова лінія – аналітичний розв’язок
для контакту безмежних смуг [20].
Fig. 3. Contact stresses σ12n = σ23n on iterations k = 0; 2; 5; 10; 15; 22 (curves 1–6)
for Young’s moduli E1 = E2 = E3 = E. Dashed line – numerical solution, obtained in [20]
for the case of contact between infinite strips.
Рис. 4. Контактні напруження σ12n ( ) і σ23n ( ) для відношень модулів Юнґа
E1/E = 1/16 (криві 1, 2); 1/4 (криві 3, 4); 1 (крива 5); 16 (криві 6, 7).
Fig. 4. Normal contact stresses σ12n ( ) and σ23n ( ) for the following Young’s moduli ratios
E1/E = (curves 1, 2); 1/4 (curves 3, 4); 1 (curve 5); 16 (curves 6, 7).
Також досліджено розподіли нормальних контактних напружень σ12n та σ23n
для різних відношень модулів Юнґа E1/E (рис. 4). Зі збільшенням модуля Юнґа E1
нижнього тіла ділянка контакту між тілами Ω1 та Ω2 збільшується, а між тілами Ω2
та Ω3 – зменшується. Окрім цього, зменшуються мінімуми напружень σ12n та σ23n.
Для виявлення ділянок можливих пластичних деформацій досліджували
еквівалентні напруження у тілах αΩ , 1,2,3α = (рис. 5):
2 2 2 2
eq 11 22 22 33 33 11 12( ) ( ) ( ) 2 3α α α α α α α α
⎡ ⎤σ = σ − σ − σ − σ − σ − σ + σ⎣ ⎦ , α∈Ωx .
53
Рис. 5. Лінії рівня еквівалентних напружень σeq α , α = 1, 2, 3 при E1 = E (a) та E1 = E/16 (b).
Fig. 5. Isolines of equivalent stresses σeq α , α = 1, 2, 3 for E1 = E (a) and E1 = E/16 (b).
У першому випадку (рис. 5a) максимальне еквівалентне напруження вини-
кає поблизу лівої нижньої вершини першого тіла і лівої верхньої вершини тре-
тього та приблизно дорівнює 8,9⋅10–4. Максимум цього напруження для середнього
тіла досягається поблизу середини лівої межі та рівний 7⋅10–4. У другому випадку
(рис. 5b) максимальне еквівалентне напруження виникає біля лівої верхньої вер-
шини третього тіла та приблизно дорівнює 2,3⋅10–4. Максимуми цього напруження
для середнього і нижнього тіл відповідно становлять 2⋅10–4 і 1,8⋅10–4.
Задача про контакт трьох тіл за наявності між ними рівномірних зазо-
рів. Також розв’язано задачу про односторонній контакт без тертя трьох жорстко
закріплених з лівого боку прямокутних пружних тіл Ω1, Ω2, Ω3, спричинений дією
рівномірного нормального навантаження (рис. 6). Відстані між тілами до дефор-
мації сталі: 12 0( )d r=x , 23 0( )d r=x , 0 0,001r = . Довжини тіл рівні 4, а висоти h1 = 1,
h2 = h3 = h1 – r0 = 0,999. Їхні механічні характеристики однакові: E1 = E2 = E3 = E,
ν1 = ν2 = ν3 = 0,3. За характерний лінійний розмір вибрано висоту нижнього тіла
( 1r h= ), а за характерну пружну сталу – модуль Юнґа ( E E= ). Для кожної об-
ласті Ωα використовували розбиття на 1024 скінченні трикутні елементи.
Рис. 6. Fig. 6. Рис. 7. Fig. 7.
Рис. 6. Контакт трьох закріплених тіл.
Fig. 6. Сontact of three fixed bodies.
Рис. 7. Контактні напруження σ12n ( ) і σ23n ( ) для навантажень інтенсивності
q = 0,00002 (криві 1, 2); 0,0001 (3, 4); 0,00025 (5, 6); 0,0005 (7, 8); 0,00075 (9, 10); 0,001 (11, 12).
Fig. 7. Contact stresses σ12n ( ) and σ23n ( ) for loads with intensity
q = 0.00002 (curves 1, 2); 0.0001 (3, 4); 0.00025 (5, 6); 0.0005 (7, 8); 0.00075 (9, 10); 0.001 (11, 12).
54
Задачу розв’язано методом Робіна–Робіна (29), (30) при 12 ( ) 1ψ ≡x , 23( ) 1ψ ≡x ,
0,9γ = та точності для переміщень 410u
−ε = . Параметр штрафу задавали за фор-
мулою (31) при 0,05с = .
Вивчено розподіли нормальних контактних напружень σ12n і σ23n для зов-
нішніх навантажень різної інтенсивності (рис. 7). За зусилля інтенсивності q =
= 0,00002 контактують лише верхнє і середнє тіла, а між середнім і нижнім
зберігається просвіт. За незначних навантажень мінімум нормальних контактних
напружень досягається на правому
краю ділянки контакту. Зі збільшен-
ням інтенсивності зовнішнього наван-
таження q обидві ділянки контакту
поступово збільшуються, контактні
напруження зменшуються, а їхній мі-
німум зміщується вліво та розташо-
вується поблизу середини ділянки
контакту.
Досліджено еквівалентні напру-
ження у тілах eqασ , 1,2,3α= при
0,001q = (рис. 8). Виявлено, що макси-
мальне значення еквівалентного напру-
ження досягається поблизу лівого краю ділянки контакту між верхнім і середнім
тілами та приблизно рівне 0,0181. Інші локальні максимуми виникають поблизу
лівого краю ділянки контакту між середнім і нижнім тілами та поблизу лівої
верхньої вершини верхнього тіла і лівої нижньої вершини нижнього та становлять
відповідно 0,0156; 0,0161 і 0,014.
ВИСНОВКИ
Для задач про контакт багатьох пружних тіл досліджено паралельні методи
декомпозиції області [8–12]. Їх апробовано для числового розв’язування плоских
задач про односторонній контакт без тертя трьох пружних тіл з використанням
скінченноелементних апроксимацій. Вивчено контактну взаємодію трьох пруж-
них тіл, обтиснених жорсткими плитами, та трьох закріплених тіл, верхнє з яких
перебуває під дією сталого зовнішнього навантаження. Для задачі про односторо-
нній контакт трьох обтиснених тіл досліджено залежність швидкості збіжності
МДО від пружних сталих та вплив зміни жорсткості тіл на контактні зусилля й
еквівалентні напруження у тілах. У випадку, коли тіла мають однакові пружні
параметри, порівняно числові результати з аналітичним розв’язком для контакту
безмежних смуг [20]. Для задачі про контакт трьох закріплених тіл вивчено вплив
інтенсивності заданого зовнішнього навантаження на розв’язки.
РЕЗЮМЕ. Исследованы методы декомпозиции области для численного решения
задач об одностороннем контакте без трения многих упругих тел конечных размеров. С
использованием конечноэлементных аппроксимаций решены задачи об одностороннем
контакте трех упругих тел, сжатых жесткими плитами, и контакте трех закрепленных тел,
на одно из которых действует внешняя нагрузка. Изучено распределение нормальных
контактных и эквивалентных напряжений в телах.
SUMMARY. The domain decomposition methods for the numerical solution of frictionless
unilateral multibody contact problems of elasticity are investigated. The unilateral contact
problem of three elastic bodies, which are contracted by rigid plates, and the contact problem of
three fixed bodies, one of which is uniformly loaded by constant external load, are solved with
the use of finite element approximations. The distributions of normal contact stresses and
equivalent body stresses are studied.
Рис. 8. Лінії рівня напружень σeq α при q = 0,001.
Fig. 8. Isolines of stresses σeq α for q = 0.001.
55
1. Krause R. and Wohlmuth B. A Dirichlet-Neumann type algorithm for contact problems with
friction // Comp. and Visualization in Sci. – 2002. – 5 (3). – P. 139–148.
2. Bayada G., Sabil J., and Sassi T. A Neumann–Neumann domain decomposition algorithm
for the Signorini problem // Appl. Math. Lett. – 2004. – 17 (10). – P. 1153–1159.
3. Sassi T., Ipopa M., and Roux F.-X. Generalization of Lion’s nonoverlapping domain decomposi-
tion method for contact problems // Lect. Notes Comp. Sci. Eng. – 2008. – 60. – P. 623–630.
4. Koko J. Uzawa block relaxation domain decomposition method for a two-body frictionless
contact problem // Appl. Math. Lett. – 2009. – 22. – P. 1534–1538.
5. Schöberl J. Efficient contact solvers based on domain decomposition techniques // Comp. &
Math. with Appl. – 2001. – 42, № 8–9. – P. 1217–1228.
6. Avery P. and Farhat C. The FETI family of domain decomposition methods for inequality-
constrained quadratic programming: Application to contact problems with conforming and
nonconforming interfaces // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng. – 2009. – 198. – P. 1673–1683.
7. Dostal Z., Horak D., and Stefanica D. A scalable FETI–DP algorithm with non-penetration
mortar conditions on contact interface // J. Comp. Appl. Math. – 2009. – 231. – P. 577–591.
8. Прокопишин І. І. Паралельні схеми методу декомпозиції області для контактних задач
теорії пружності без тертя // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. математика та інформа-
тика. – 2008. – Вип. 14. – C. 123–133.
9. Прокопишин І. І. Схеми декомпозиції області на основі методу штрафу для задач контак-
ту пружних тіл: Дис. на здобуття наук. ступеня канд. фіз.-мат. наук. – Львів, 2010. – 163 с.
10. Dyyak I. I. and Prokopyshyn I. I. Convergence of the Neumann parallel scheme of the do-
main decomposition method for problems of frictionless contact between several elastic
bodies // J. Math. Sci. – 2010. – 171 (4). – P. 516–533.
11. Dyyak I. I. and Prokopyshyn I. I. Domain decomposition schemes for frictionless multibody
contact problems of elasticity // Numerical Mathematics and Advanced Applications 2009:
Proc. of ENUMATH 2009, Uppsala, July 2009. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag,
2010. – P. 297–305.
12. Dyyak I. I., Prokopyshyn I. I., and Prokopyshyn I. A. Penalty Robin–Robin domain decompo-
sition methods for unilateral multibody contact problems of elasticity: Convergence results
// arxiv.org. – 2012. – 32 p. – [Електронний ресурс: http://arxiv.org/pdf/1208.6478.pdf].
13. Kikuchi N. and Oden J. T. Contact Problem in Elasticity: A Study of Variational Inequalities
and Finite Element Methods. – Philadelphia: SIAM, 1988. – 489 p.
14. Кравчук А. С. Постановка задачи о контакте нескольких деформируемых тел как за-
дачи нелинейного программирования // Прикл. математика и механика. – 1978. – 42,
№ 3. – C. 467–473.
15. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.: Мир,
1972. – 588 c.
16. Кузьменко В. И. О вариационном подходе к теории контактных задач для нелинейно-
упругих слоистых тел // Прикл. математика и механика. – 1979. – 43, № 5. – C. 893–901.
17. Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных нера-
венств. – М.: Мир, 1979. – 574 c.
18. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. – М.: Мир, 1973. – 244 c.
19. Domain decomposition methods applied to solve frictionless-contact problems for multilayer
elastic bodies / A. Ya. Grigorenko, I. I. Dyyak, S. I. Matysyak, I. I. Prokopyshyn // Int. Appl.
Mech. – 2010. – 46 (4). – P. 388–399.
20. Ворович И. И., Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи
теории упругости. – М.: Наука, 1974. – 456 с.
Одержано 25.07.2011
|