Лінійна інтерполяційна процедура обчислення нечітких байесівських оцінок

Представлено оригінальну процедуру для нечітких чисел, що є аналогом лінійної інтерполяції. Розглянуто її застосування до виконання нечіткого байєсівського оцінювання та запропоновано способи усунення проблем, що виникають при комп’ютерній реалізації наведеного підходу....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2005
1. Verfasser:	Веревка, О.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут програмних систем НАН України 2005
Schlagworte:	Прикладне програмне забезпечення
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1358
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Лінійна інтерполяційна процедура обчислення нечітких байесівських оцінок/ О.В. Верьовка// Проблеми програмування. — 2005. — N 2. — С. 64-78. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1358
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-13582025-02-23T18:36:37Z Лінійна інтерполяційна процедура обчислення нечітких байесівських оцінок The linean interpolation procedure for the fuzzy Bajesian estimates calculation Веревка, О.В. Прикладне програмне забезпечення Представлено оригінальну процедуру для нечітких чисел, що є аналогом лінійної інтерполяції. Розглянуто її застосування до виконання нечіткого байєсівського оцінювання та запропоновано способи усунення проблем, що виникають при комп’ютерній реалізації наведеного підходу. 2005 Article Лінійна інтерполяційна процедура обчислення нечітких байесівських оцінок/ О.В. Верьовка// Проблеми програмування. — 2005. — N 2. — С. 64-78. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1727-4907 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1358 681.3 uk application/pdf Інститут програмних систем НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Прикладне програмне забезпечення Прикладне програмне забезпечення
spellingShingle	Прикладне програмне забезпечення Прикладне програмне забезпечення Веревка, О.В. Лінійна інтерполяційна процедура обчислення нечітких байесівських оцінок
description	Представлено оригінальну процедуру для нечітких чисел, що є аналогом лінійної інтерполяції. Розглянуто її застосування до виконання нечіткого байєсівського оцінювання та запропоновано способи усунення проблем, що виникають при комп’ютерній реалізації наведеного підходу.
format	Article
author	Веревка, О.В.
author_facet	Веревка, О.В.
author_sort	Веревка, О.В.
title	Лінійна інтерполяційна процедура обчислення нечітких байесівських оцінок
title_short	Лінійна інтерполяційна процедура обчислення нечітких байесівських оцінок
title_full	Лінійна інтерполяційна процедура обчислення нечітких байесівських оцінок
title_fullStr	Лінійна інтерполяційна процедура обчислення нечітких байесівських оцінок
title_full_unstemmed	Лінійна інтерполяційна процедура обчислення нечітких байесівських оцінок
title_sort	лінійна інтерполяційна процедура обчислення нечітких байесівських оцінок
publisher	Інститут програмних систем НАН України
publishDate	2005
topic_facet	Прикладне програмне забезпечення
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1358
citation_txt	Лінійна інтерполяційна процедура обчислення нечітких байесівських оцінок/ О.В. Верьовка// Проблеми програмування. — 2005. — N 2. — С. 64-78. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT verevkaov líníjnaínterpolâcíjnaproceduraobčislennânečítkihbajesívsʹkihocínok AT verevkaov thelineaninterpolationprocedureforthefuzzybajesianestimatescalculation
first_indexed	2025-11-24T11:01:46Z
last_indexed	2025-11-24T11:01:46Z
_version_	1849669300997062656
fulltext	Прикладне програмне забезпечення © О.В. Веревка, 2005 64 ISSN 1727-4907. Проблеми програмування. 2005. № 2 УДК 681.3 О.В. Верьовка ЛІНІЙНА ІНТЕРПОЛЯЦІЙНА ПРОЦЕДУРА ОБЧИСЛЕННЯ НЕЧІТКИХ БАЙЄСІВСЬКИХ ОЦІНОК Представлено оригінальну процедуру для нечітких чисел, що є аналогом лінійної інтерполяції. Розглянуто її застосування до виконання нечіткого байєсівського оцінювання та запропоновано способи усунення проблем, що виникають при комп’ютерній реалізації наведеного підходу. Постановка проблеми Задачі аналізу складних систем, як правило, є надзвичайно нетривіальними. По-перше, вони, як правило, не підляга- ють строгій формалізації, і їх розв’яза- ння, наряду із залученням строгих мате- матичних методів та алгоритмів, потре- бує також застосування так званих мето- дів роботи з невизначеністю. По-друге, типовою є ситуація, коли в ролі даних відносно досліджуваних явищ ви- ступають, крім оброблених, найчастіше із залученням процедур математичної ста- тистики, результатів моніторингу певних явищ або процесів, також неформалізо- вані знання, тобто знання, отримані екс- пертами із попереднього досвіду або з якихось суб’єктивних міркувань, мож- ливо, з урахуванням спостережень та ви- мірювань специфічних для досліджуваної ситуації показників. Практична ситуація додатково ускладнюється ще тим, що на- явна інформація може належати до різ- них типів подання, зокрема до одного із наступних: − конкретне числове значення. Таке подання інформації називають точ- ковим або чітким; − межі інтервалу, що містить у собі оцінювану величину. Таке подання інформації називають інтервальним. Слід зазначити, що інтервальне подання може бути спричинене як непевністю, непов- нотою знань, так і принципово інтерваль- ним характером шуканої оцінки, яку змістовно і адекватно може бути пред- ставлено діапазоном допустимих зна- чень; − непевні або приблизні вислов- лювання відносно меж і характеру “роз- митості” показника. Таке подання інфор- мації називають нечітким. Часто інфор- мацію, на підставі обробки якої необ- хідно отримати змістовне рішення, най- більш адекватно можна представити у вигляді сукупності нечітких чисел. У певних випадках до них може бути зве- дено також лінгвістичні описи оцінюва- ного показника. У численних практично важливих випадках обгрунтовані резуль- тати можуть бути одержані виключно із залученням апарату нечіткої математики. Цілком зрозуміло, що для отримання ре- зультатів початкова нечітка інформація має бути задіяна в численних обчислю- вальних процедурах, які здебільшого створені (і є достатньо ефективними) для точкового подання інформації. Нечіткі числа є непридатними для використання в абсолютній більшості існуючих алго- ритмів; зокрема, нечітке число не має протилежного і оберненого чисел. Таким чином, при розгляді задач аналізу складних систем існує суттєве протиріччя: з одного боку значну частину фактичної інформації доцільно і най- більш адекватно можна представити у вигляді нечітких чисел; з другого − існу- ючі правила маніпуляцій з нечіткими чи- слами не допускають їх залучення до ви- користання в існуючих математичних ал- горитмах. Вирішенням ситуації є розши- рення понять нечіткої математики вве- денням нечітких величин [1, 2] та операцій над ними. При цьому на ідейному рівні методи обробки точкової, інтервальної та розмитої інформації мають бути спадко- вими, оскільки кожний попередній тип інформації в зазначеній трійці є спеціа- льним граничним випадком наступного. Прикладне програмне забезпечення 65 Серед численних методів роботи з невизначеністю, що реалізують різнома- нітні логікоймовірнісні підходи, важливе місце посідають так звані байєсівські ме- ханізми виведення. Базуючись на відомій теоремі Байєса, вони мають строге мате- матичне обґрунтування і, крім того, при- вабливі внаслідок прозорості логіки ви- ведення, що є певним аналогом нефор- мальної людської логіки, а тому зумо- влює прийнятність та зрозумілість інтер- претації отриманих результатів. В даній статті представлено результати адаптації класичної широко вживаної процедури байєсівського виведення [3, 4] для ви- падку недетермінованого інформаційного простору, отримані з урахуванням вимо- ги сумісності за типами даних. Основну увагу зосереджено на конструктивному викладенні процедури, що є нечітким аналогом лінійної інтерполяції. Нечіткі величини та основні арифметичні операції над ними Загальноприйнятим (за Заде) є ви- значення нечіткої (розмитої) множини A у просторі Ω через функції належності µA(ω)∈[0,1], µA: ω∈Ω a µA(ω)∈[0,1], що інтерпретується так: величина µA(ω) означає оцінку належності ω до множини A. Множина А є нормальною, якщо sup{µA(ω): ω∈Ω} =1, і субнормальною у протилежному випадку. Якщо носієм є інтервал дійсної осі R1, нечітка множина називається нечітким числом. Нехай X – нечітка множина, ви- значена у просторі Ω функцією належно- сті µX(ω). Тоді нечітка (розмита) вели- чина X, споріднена з нечіткою множи- ною X, визначається так: величина X може набувати значення з Ω і мірою того, що X дорівнює ω∈Ω, є µX(ω)=µX (ω); но- сієм розмитої величини X є множина X = = { ω∈Ω: µX(ω) ≠ 0 }. Навпаки, якщо у просторі Ω визначено розмиту величину X з функцією належності µX(ω), ω∈Ω, і носієм X, то можемо визначити спорід- нену з нею нечітку множину X із носієм X, поклавши µX (ω)=µX(ω). Зокрема, на інтервалі x=[xL, xR]∈R1 по функції µX(x), заданій для x∈x і такій, що min{µX(x), x∈x} ≥0, max{µX(x), x∈x }≤1, можна конструктивно задати розмиту величину X з функцією належності µX(x), x∈x : X може приймати значення із x, і мірою впевненості у тому, що X дорі- внює x∈x , є значення µX(x). Носієм озна- ченої таким чином розмитої величини X є множина X={x ∈x : µX(x)≠0}. Якщо но- сій є однією точкою, X={ α}, назвемо розмиту величину константою α, при- чому ця константа є нормальною, коли µX(α)=1, і субнормальною, коли µX(α)<1. Якщо носій X є інтервалом (закритим, відкритим, напіввідкритим) і для x∈X справедлива рівність µX(x)=const, на- звемо розмиту величину інтервалом (від- повідно закритим, відкритим, напіввід- критим), причому інтервал є нормаль- ним, коли µX(x)=1 для x∈X, і субнорма- льним, коли µX(x)<1. Важливим моментом урахування нечіткої інформації є вибір конкретного виразу для виконання кожної елементар- ної арифметичної операції. Прямим нас- лідком означення нечіткої величини є те, що можна конструктивно визначити обе- рнену (у випадку, коли носій не містить значення 0) і протилежну величини, і це дозволяє досягти суттєвого прогресу у використанні нечітко поданої інформації і коректно визначити основні арифметич- ні операції. Наведемо означення унарних операцій над нечіткими величинами. Індексами L та R позначено ліві та праві границі відповідних інтервалів. Нехай c1 – додатна константа. Тоді розмиту величину Z=c1×X визначимо на інтервалі [zL, zR]=[c1×xL, c1×xR] функцією належності µZ(x)=µX(x/c1). Визначимо арифметично протилежну до X розмиту величину Z=−X функцією належності µZ(x)=µX(−x) на інтервалі [zL, zR]=[−xR,−xL]. Для довільного раціонального значення c2 визначимо розмиту величину Z=X+c2 функцією належності µZ(x)=µX(x−c2) на інтервалі [zL, zR]=[c2+xL, c2+xR]. Наведені означення дозволяють для довільних сталих c1 і c2 визначити розмиту величину Z=c1×X+c2. Прикладне програмне забезпечення 66 Нехай ϕ(x) – неперервна моно- тонно зростаюча функція, що не має осо- бливостей на інтервалі [xL, xR]. Визна- чимо розмиту величину Z=ϕ(X) на інтер- валі [zL, zR]=[ϕ(xL), ϕ(xR)] функцією на- лежності µZ(x)=µX(ϕ−1(x)), де ϕ−1 – функ- ція, обернена до ϕ. Аналогічно за непе- рервною монотонно спадаючою функ- цією ψ(x), що не має особливостей на ін- тервалі [xL, xR], визначимо розмиту вели- чину Z=ψ(X) на інтервалі [zL, zR] = = [ψ(xR), ψ(xL)] функцією належності µZ(x)=µX(ψ−1(x)), де ψ−1 – функція, обер- нена до ψ. Зокрема, якщо xL>0, обернену до X розмиту величину Z=1/X визначимо функцією належності µZ(x)=µX(1/x) на інтервалі [zL, zR]=[1/xR, 1/xL]. Зрозуміло, що при означенні біна- рних операцій над нечіткими величинами доцільно базуватися на означеннях ана- логічних операцій для нечітких чисел; тоді для розмитих величин можуть бути застосовані результати та вирази, отри- мані для нечітких множин. Залежно від цілей досліджень, що виконуються, може бути обрано один із численних можливих варіантів. Наприклад, тільки для функції належності µD(x) добутку D % =A % × B % нечітких чисел A % і B % , заданих відповід- но функціями належності µA(x) і µB(x) з носіями AS % =[a1, a2] і BS % =[b1, b2], може бути залучено цілу низку стандартних означень [5–9]: згідно принципу уза- гальнення, висловленого Л.Заде: A B µ (x) sup min {µ ( ), µ ( )}; D BA x S , S a b a b a b = × = ∈ ∈ % % похідного від принципу узагаль- нення з імовірнісними алюзіями: A B µ (x) sup µ ( ) µ ( )}; D BA x S , S a b a b a b = × × = ∈ ∈ % % драстичного добутку: µD(x) = µB(x), якщо µA(x) = 1; µD(x) = µA(x), якщо µВ(x) = 1; µD(x) = 0 в інших випадках; означення алгебраїчного добутку: µD(x) = µA(x) µB(x); означення граничного добутку: µD(x) = ( µA(x) + µB(x) – 1) ∨ 0. Для нечітких величин доцільно обрати визначення, наведене в [5], оскіль- ки у випадку, коли одна з нечітких ве- личин, X або Y, є нормальною констан- тою, воно співпадає з введеними вище для простих операцій (типу обчислення дробово-лінійних функцій) і має ймовір- нісну інтерпретацію: нехай ⊕ − знак од- нієї з арифметичних операцій (+, −, ×, :). Для нечітких величин X та Y, заданих на R1 функціями належності µX(x) та µY(х), результат µ⊕(x) відповідної арифметич- ної операції (сума, різниця, добуток або частка) визначається співвідношенням µ⊕(z) = sup { µX(x)×µY(y): x⊕y=z }. (1) Інтерпретація нечіткої вхідної ін- формації як нечітких величин є вельми плідною. Вона надає можливість перейти у міркуваннях від множин до маніпуля- цій зі значеннями, що можуть бути прий- няті цими величинами із суб’єктивною мірою впевненості, яка задається функ- цією належності. Вищезазначене дозво- ляє уже на основі введених понять та означень конструктивно вирішити про- блему використання у нечіткому прос- торі багатьох існуючих математичних методів, спираючись на аналогію з кла- сичним точковим випадком. Проблеми виникають, коли, крім суто арифметич- них обчислень, для вирішення конкретної проблеми необхідно залучити також ев- ристичні засоби. Репрезентований у да- ній главі математичний підхід було роз- роблено для вирішення задач байєсівсь- кого діагностування у нечіткому інфор- маційному просторі [10], тому подальшу увагу зосереджено на процедурі, що є не- обхідною для вирішення саме зазначеної проблеми – на нечіткій лінійній інтерпо- ляції. Базові поняття нечіткого байєсівського оцінювання Розглянемо обчислення нечітких байєсівських оцінок, на підставі яких ви- конується діагностика в недетермінова- ному інформаційному просторі. У чіткому випадку класичну байє- сівську діагностичну процедуру можна представити наступним чином. Нехай Прикладне програмне забезпечення 67 H={h i} I i 1= − сукупність станів, у яких може перебувати досліджувана система, або множина гіпотез, що підлягають пе- ревірці, і E={ej} J j 1= − сукупність можли- вих свідчень. Зв’язок між ними виражено за допомогою правил продукції вигляду “Якщо e, то h”, кожному з яких ставиться у відповідність значення функції δ: V → R2 (сила правила), визначеної на множині V всіх пар взаємозв’язаних свідчень і гі- потез наступним чином: δ(e,h) = = ( P̂ (e/h),P̂ (e/h ))T, де P(e/h) і P(e/h ) являють собою прийняті в теорії ймо- вірностей стандартні позначення умов- них ймовірностей; P̂ (e/h) і P̂ (e/h ) − експертні оцінки відповідних величин. Нехай B0(hi)= 0P̂ (hi) − апріорна оцінка ймовірності наявності стану hi. У ролі інформації відносно свідчення еj висту- пає фактор визначеності u(ej), −1≤u(ej)≤1, причому u(ej)=1 у випадку повного під- твердження еj, u(ej)=−1 у випадку пов- ного заперечення еj, а u(ej)=0 відповідає повній невизначеності. Оцінку вірогідно- сті Bj(hi) наявності стану hi отримано в результаті послідовного врахування свід- чень e1, e2,...,ej (таку ситуацію позна- чимо Sj). В ролі функції для перерахунку оцінки Bj(hi) з урахуванням впливу сві- дчення еj: Bj(hi)=Q(P̂(ej/hi), P̂ (ej/ h i), Bj-1(hi), u(ej) ) (3) використано кусочно-лінійну інтерполя- цію P(hi/ej), що приймає значення P̂ (hi/ej) при повному підтвердженні еj (u(ej)=1), P̂ (hi/ ej) − повному запереченні еj (u(ej)=−1) і не змінює наявного значення Bj-1(hi) за повної невизначеності, тобто при u(ej)=0 Q(P̂(e/h), P̂ (e/h ), B(h), u(e) )= B(h) +  u(e) × [B(h)− P̂ (h/e)] при u(e)≤0, +  u(e) × [ P̂ (h/e)−B(h)] при u(e)>0, (4) де оцінки P̂ (h/e) і P̂ (h/e) обчислено за формулою Байєса, P̂ (h/e)=B(h)× P̂ (e/h)/[B(h)× P̂ (e/h)+ + P̂ (1−B(h))× P̂ (e/h )], (5) P̂ (h/ e)=B(h)×(1− P̂ (e/h))/[B(h)×(1− P̂ (e/h))+ + (1−B(h))×(1− P̂ (e/h ))]. (6) Остаточними є оцінки вірогідності {B J(hi)} I i=1 , на основі яких виконується подальша класифікація можливих станів системи (гіпотез). Питання комп’ютерної реалізації байєсівського оцінювання у нечіткому інформаційному просторі достатньо роз- глянуті стосовно перерахунку оцінки P̂ (h) наявності одного стану h при ураху- ванні одного свідчення е за фактором ви- значеності u(e). У нечіткому інформаційному про- сторі для отримання виразу типу (3) по- трібно вирішити принаймні дві матема- тичні проблеми, а саме: (і) − яким чином слід перерахову- вати оцінки (5) і (6); (іі) − як за наявними P̂ (h/e) і P̂ (h/e) та оцінкою вірогідності стану (гі- потези), отриманою на попередньому кроці, тобто за значеннями, що відпові- дають u(e)=1, u(e)=−1 та u(e)=0, обчис- лити оцінку для поточного u(e) таким чи- ном, щоб співвідношення, запропоновані для розмитого випадку, збігалися з оцін- ками (4)−(6), коли інформація надходить у точковому вигляді. Проінтерпретуємо В(h), P̂ (e/h), P̂ (e/h) та u(e) як нечіткі величини, що надає можливість перейти до маніпуля- цій зі значеннями, що можуть бути при- йняті цими величинами із суб’єктивною мірою упевненості, яка задається функ- цією належності. Такий підхід є цілком органічним для байєсівського оціню- вання. Тоді на основі введених понять та означень можна конструктивно вирішити проблему (і), використавши аналогію із класичним точковим випадком. Свідомо проігноруємо деякі окремі випадки, що доповнюють основні міркування, суттєво ускладнюють про- грамну реалізацію нечіткого діагносту- Прикладне програмне забезпечення 68 вання, але не є принципово важливими на ідейному рівні. Зокрема, особливими є випадки, коли до носіїв P̂ (e/h) та P̂ (e/h) входять точки 0 та 1 (надалі будемо нази- вати їх виродженими). Деякі напрямки подолання ускладнень, спричинених ви- родженими випадками, окреслено в [1]. Очевидно, вирази (5) та (6) є над- мірно складними для обчислень P̂ (h/e) та P̂ (h/e) у нечіткому випадку. Розглянемо просту їх модифікацію для невиродже- ного випадку, а саме співвідношення для обернених величин: 1/P̂ (h/e) = 1 + [ 1/B(h) − 1 ] × × [ P̂ (e/h) / P̂ (e/h) ], (7) 1/P̂ (h/e) = 1 + [ 1/B(h) − 1 ] × × [ (1− P̂ (e/h)) / (1− P̂ (e/h)) ]. (8) Кожне із значень В(h), P̂ (e/h) та P̂ (e/h) входить до правої частини (7) та (8) незалежно від останніх і лише одного разу. Крім того, величини [(1− P̂ (e/h ))/(1− P̂ (e/h))] і [ P̂ (e/h)/ P̂ (e/h)] є функціями виключно апріорних оцінок, і рішення щодо їх комп’ютерного оці- нювання можуть бути прийняті зазда- легідь. Це дозволяє коректно обчислити оцінки функцій належності для P̂ (h/e) та P̂ (h/e), якщо одиниці у виразах (7) та (8) розглядати як нормальні константи, а арифметичні дії виконувати відповідно до (1). Для вирішення проблеми (іі) вве- демо поняття нечіткої лінійної інтерпо- ляції. Лінійна інтерполяція у точковому та інтервальному випадках Результати даної статті отримано при суттєвому використанні геометрич- ної інтерпретації запропонованих опера- цій. Тому логічно представити їх як по- слідовність маніпуляції з геометричними структурами при мінімальному наведенні необхідних аналітичних виразів. Обме- ження, накладені на можливі діапазони носіїв, не є принципово важливими. Вони легко можуть бути змінені, і конкретні значення (тобто –1, 0, 1), що фігурують у постановці задачі, зумовлені виключно потребами байєсівського діагностування. Лінійну інтерполяцію у точковому випадку на інтервалі [–1, 1] по трьох на- явних базових значеннях, тобто по оцін- ках а–1, а0 та а+1, отриманих для значень аргументу –1, 0 та +1 відповідно, проілю- стровано на рис. 1. За оцінку значення аu функції для аргументу u приймається ор- дината прямолінійного сплайну, побудо- ваного по базових точках (–1, а–1), (0, а0 ) та (1, а+1), на траверзі абсциси u. В аналі- тичному вигляді аu =(а–1+λ×а0)/(1+λ), де λ=–(u+1)/u,коли u<0, і аu =(а0+λ×а1)/(1+λ), де λ=u/(1–u), коли u>0. (9) Аналогічно виконується лінійна інтерполяція в інтервальному випадку (рис. 2). Значенню абсциси –1 відповідає інтервал значень [aL 1− , aR 1− ], на траверзі абсциси 0 розташовано допустимий ін- тервал оцінок [aL 0 , aR 0 ] і на траверзі абс- циси 1 – відповідно допустимий інтервал оцінок [aL 1 , aR 1 ]. Границі допустимого діапазону [aL u , aR u ] значень, які функція приймає, коли аргумент пробігає від uL до uR, визначаються відповідно як най- менша і найбільша ординати чотирикут- ника, утвореного ламаними лінійних сплайнів, побудованих по нижніх і верх- ніх границях допустимих інтервалів ба- зових точок, і прямими, проведеними на траверзі границь зміни абсциси (uL і uR) [1, 2]. Цілком очевидно, що жодну із стандартних бінарних операцій, означе- них для нечітких множин, не може бути залучено як аналог наведеної. Попри зо- внішню подібність до (9) запису озна- чення операції λ–суми λ + , що для λ∈(0,1) за функціями належності µX(x) та µY(x) нечітких чисел X та Y визначає результат µ + λX Y (x) = λ × µX(x) + (1−λ ) × µY(x) , який звичайно в нечіткій математиці ін- терпретується як зважене середнє нечіт- ких чисел X та Y, цей підхід неприйнят- Прикладне програмне забезпечення 69 ний до розв’язування проблеми інтерпо- ляції. У нечіткому випадку запропоно- вано принципово інший інструментарій, сприйняття якого потребує певної прос- торової уяви. На ідейному рівні зрозуміло, що потрібна процедура, по-перше, має базу- ватися на понятті лінійності. Її має бути спроектовано таким чином, щоб при за- стосування до нормальних констант або інтервалів результат співпадав з отрима- ним за наведеним вище підходом відпо- відно для точкового і інтервального ви- падків. По-друге, за аналогією з (1), у ви- падку, коли точці носія відповідає мно- жина допустимих значень функції нале- жності, в ролі результуючої оцінки фун- кції належності в цій точці носія слід обирати максимальне із можливих зна- чень. По-третє, багаторазове залучення інтерполяції (наприклад, в байєсівській діагностиці при урахуванні послідовних свідчень) не повинно призводити до “розмивання” апостеріорної оцінки; на- томість необхідним є збереження і рете- льне відстеження ділянок носія, які від- повідають максимальним значенням фу- нкцій належності. Концептуально най- більш прозорим видається створення ін- терполяційної процедури, що задоволь- няє наведеним вище умовам, для ураху- вання нечіткої інформації з одновершин- ною формою функції належності. Точ- ніше, розмита інформація має надходити у вигляді дзвоноподібних нечітких мно- жин на R1. y 1 а1 аu а0 а–1 –1 u 0 1 х Рис. 1. Лінійна інтерполяція у випадку точкового представлення інформації y 1 aR1+ aRu • aR 0 aL1+ aR 1− aL0 aL 1− • aL u –1 uL uR 0 1 x Рис. 2. Лінійна інтерполяція у випадку інтервального представлення інформації Дзвоноподібність Введемо поняття дзвоноподібних функцій на R1. Продублюємо також фор- мальні визначення для наведених вище понять, пов’язаних із нечіткістю, в термі- нах дзвоноподібних функцій. Типовий вигляд дзвоноподібної функції (із точко- вою та плоскою вершинами) представ- лено на рис. 3. 0 1 1 0 0 Рис. 3. Приклади дзвоноподібних функцій із точковою та плоскою вершинами На [a, b]∈R1 означимо множину ℜ[a, b] дзвоноподібних дійснозначних функцій µ(x), x∈R1 наступним чином: µ(x)∈ℜ[a, b], x∈R1 ⇔ 1) µ(x)=0 при x∉[a, b]; 2) 0≤ µ(x)≤1 для x∈[a, b]; 3) існує принаймі одна точка x ) ∈ ∈ [a,b], що µ∗=µ( x ) )=max{µ(x): x∈[a,b]}>0; 4) “дзвоники” одновершинні (мож- лива, плоска вершина), тобто якщо ∃ Прикладне програмне забезпечення 70 x1<x2, µ(x1) = µ(x2) = µ∗, то ∀x∈[x1, x2] µ(x) = µ∗; 5) “дзвоники” монотонно спадають від максимального значення до країв, тобто якщо x ) ∗(µ)=inf{x: µ(x)=µ∗}, x ) ∗(µ)=sup{x: µ(x)=µ∗}, то для ∀ x1<x2, a≤x1<x2≤x∗(µ) µ(x1) ≤ µ(x2); зокрема, якщо ∃ xa∈[a, x∗(µ)] така, що µ(xa)=0, то ∀x<xa µ(x)=0; для ∀x1<x2, x ∗(µ)≤x1<x2≤b µ(x1) ≥ µ(x2); зокрема, якщо ∃ xb∈[x∗(µ),b] така, що µ(xb)=0, то ∀x>xb µ(x) = 0. Аналогічно може бути визначено ℜ(a, b), ℜ(a, b] та ℜ[a, b). Множина точок Sµ = { x: µ(x) ≠ 0 } при виконанні зазначених умов є непе- рервною, відкритою або закритою зліва і справа інтервалом або однією точкою. Будемо називати Sµ носієм дзвоноподі- бної функції µ(x). Тепер означимо на R1 множину 1Rℜ дзвоноподібних функцій µ(x), x∈R1 таким чином: µ(x)∈ 1Rℜ , якщо існують такі −∞<a≤b<∞, що µ(x)∈ℜ[a, b]. Будемо називати функцію µ(x)∈ ∈ ℜ[с, с] константою c∈(−∞,∞), причому константа є субнормальною, якщо µ(с)<1, і нормальною при µ(с)=1. Функцію назвемо µ(x)∈ℜ[a, b] ін- тервалом (відкритим, закритим тощо, залежно від вигляду носія), якщо x ) ∗(µ)< x ) ∗(µ) і ∀x∈Sµ µ(x)=µ∗, причому інтервал є субнормальним, якщо µ∗<1, і нормальним при µ∗=1. Таким чином, інформація у точко- вому представленні відповідає нормаль- ній константі, а інтервальне представле- ння доцільно розглядати як нормальний інтервал. Назвемо нечітку величину дзво- ноподібною, якщо її функція належності є дзвоноподібною. Аналогічно означимо дзвоноподібну нечітку множину, зокрема дзвоноподібне нечітке число. Нехай ⊕ − знак однієї з арифмети- чних операцій (+, −, ×, :). Для функцій µ1(x)∈ 1Rℜ та µ2(x)∈ 1Rℜ означимо ре- зультат µ⊕(x) відповідної арифметичної операції (їх суму, різницю, добуток або частку) співвідношенням µ⊕(x) = sup { µ1(a)×µ2(b): a⊕b=x }. Неважко переконатися, виписав- ши низку очевидних нерівностей, у спра- ведливості наступного твердження: за вийнятком випадку наявності нуля в носії дільника, результат арифметичної дії над дзвоноподібними функціями із 1Rℜ також належить 1Rℜ . Із застосуванням введеної термі- нології вимоги до початкової і поточної інформації для діагностування у нечіт- кому випадку можна виразити наступним твердженням: ∀h∈H i ∀e∈E оцінки 0P̂ (h), P̂ (e/h) та P̂ (e/h) є нечіткими чис- лами із множини ℜ(0,1); ∀е∈Е фактор визначеності u(e) є нечітким числом із множини ℜ[−1,0]∪ℜ[0,1]. Лінійна інтерполяція у нечіткому просторі Сформулюємо задачу нечіткої лі- нійної інтерполяції у потрібній нам по- становці. Нехай нормальній константі –1 відпові- дає нечітке число B–1(y)∈ℜ(0,1), нормальній константі 0 − нечітке число B0(y)∈ℜ(0,1), нормальній константі 1 − нечітке число B+1(y)∈ℜ(0,1). Задане нечітке число U(x)∈ℜ[–1,1], носій якого належить інтервалу [–1, 0] або [0,1] (всі точки носія мають один і той же знак, далі цю величину будемо називати фактором визначеності). Необхідно встановити, застосува- вши лінійну інтерполяційну процедуру, нечітке число BU(у)∈ℜ(0,1), яке відпові- дає фактору визначеності U(x). Конструктивно основні ідеї нечіт- кої лінійної інтерполяції можна предста- вити наступним чином. У нечіткому варіанті, порівняно з точковим та інтервальним випадками, маємо на один вимір (значення функцій належності) більше, тому інтерполяція має виконуватися у тривимірному прос- торі. Нехай площина, що визначається Прикладне програмне забезпечення 71 осями абсцис і ординат (x−y), є місцем розташування носіїв. По осі аплікат в ін- тервалі між 0 та 1 коливаються значення функцій належності (рис. 4). Вздовж осі абсцис в інтервалі від −1 до 1 може змінюватися значення фак- тора визначеності. По аналогії з точко- вим випадком по осі ординат (тобто при нульовому значенні абсциси) в інтервалі від 0 до 1 (між β1 і β2) розташований но- сій нечіткого числа B0(y) (воно відповідає значенню 0 фактора визначеності). Пара- лельно осі ординат від одиниці на осі аб- сцис в інтервалі від 0 до 1 (між ξ1 і ξ2) розташований носій B1(y). Аналогічно паралельно осі ординат від мінус одиниці на осі абсцис в інтервалі від 0 до 1 (між α1 і α2) розташований носій апостеріор- ної оцінки B–1(у). Вздовж осі аплікат роз- ташоване значення функцій належності відповідно до носіїв. Через максимальні значення функцій належності B–1(у), B0(у) та B1(у) (на рис. 4 це відповідно точки α∗, β∗ та відрізок між ξ∗ та ξ∗) у зазначеній послідовності проведено залежно від форми кривих (вершиною є точка чи па- ралельний осі ординат відрізок) прямі (відрізок між α∗ та β∗) або площини (подальший інтерес становлять лише відрізок прямої, трапеція чи трикутник між крайніми точками максимумів, на рис. 4 − між точками β∗, ξ∗ та ξ∗), які є своєрідним “дахом” майбутньої конс- трукції. Таким чином забезпечується фіксація максимально можливих значень функції належності результату ВU(у). Між відрізками прямих, що послідовно з’єднують крайні точки носіїв B–1(у), B0(у) та B1(у), і “дахом” конструкції по кривих функціях належності величин B– 1(у), B0(у) та B1(у), як по направляючим, “натягнуто” лінійчасту огинаючу поверх- ню, яка є прямою аналогією відрізків прямих, що послідовно з’єднували оцін- ки B–1(у), B0(у) та B1(у) у точковому ви- падку. Надалі будемо називати цю оги- наючу поверхню “тунель”. Якщо фактор визначеності на поточному кроці є нор- мальною константою U, то в ролі ВU(у) доцільно розглядати плоску криву, утво- рену перерізом побудованої поверхні площиною, перпендикулярною до осі аб- сцис, яка проходить через відповідне значення на цій осі (крива, що з’єднує точки U1, U∗, U2 на рис. 5, окремо вине- сена верхня крива на рис. 6). Такий пере- різ на траверзі носія фактора визначено- сті є прямою аналогією ординати точки апроксимуючої прямої з абсцисою, що дорівнює фактору визначеності у точко- вому випадку. Якщо ж фактор визначе- ності є субнормальною константою з функцією належності Φ(U), то, врахо- вуючи ймовірнісний характер запропо- нованого підходу, значення по осі аплі- z (ф.н.) 1 β∗ α∗ ξ∗ –1 0 1 β1 x α1 ξ1 α2 β2 ξ2 1 y Рис. 4. Побудова направляючих для конструювання поверхні “тунель” ξ∗ Прикладне програмне забезпечення 72 кат, як міру одночасного виконання двох незалежних подій, слід помножити на Φ(U) (нижня крива на рис. 6). У випадку, коли фактор визначе- ності представлено дзвоноподібною фун- кцією належності (з носієм − інтервалом між λ1 і λ2, рис.7), з побудованої огинаю- чої поверхні слід вирізати фрагмент площинами, що перпендикулярні до осі абсцис і проходять через крайні точки (λ1 і λ2) носія фактора визначеності. Отри- маний фрагмент має дном трапецію (у випадку, коли принаймні один з носіїв величин, за якими здійснюється апрок- симація, є інтервалом) на площині x−y (точки ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ4). Далі отриманий фрагмент треба деформувати по осі аплі- кат пропорційно до значення функції на- лежності фактору визначеності з тією ж абсцисою, що приводить до отримання поверхні ”капелюх” (рис. 8,9). Носій апостеріорної оцінки ВU(у) обмежений мінімальним і максимальним значеннями ординат донного чотирикут- ника (значення ординат точок γ1 і γ2), а оцінка функції належності на точці носія (γ∈(γ1, γ2) ) дорівнює максимальній аплі- каті плоскої кривої (Γ∗), одержаної пере- z (ф.н.) 1 β∗ U∗ α∗ –1 U 0 x α1 β1 U1 α2 β2 U2 1 y 0 1 1 Рис. 5. Випадок, коли фактор визначеності є константою Рис. 6. Переріз поверхні “тунель” на траверзі x=U z (ф.н.) λ∗ 1 β∗ α∗ –1 λ1 λ2 0 x α1 ϕ2 ϕ1 β1 β2 α2 ϕ3 ϕ4 1 y Рис. 7. Виділення фрагмента поверхні “тунель” на траверзі носія (λ1, λ2) дзвоноподібного фактору визначеності Рис. 8. Несуча поверхня після урахування нечіткого фактора визначеності (“капелюх”) Прикладне програмне забезпечення 73 тином побудованого ”капелюшка” із пло- щиною, перпендикулярною до осі орди- нат, що проходить через цю точку носія. Природно, що, оскільки весь носій фактора визначеності є або недодатнім, або невід’ємним, інтерполяція прово- диться лише в одному квадранті. Розглянемо низку міркувань з ви- користанням геометричної інтерпретації, що привели до обраного евристичного алгоритму побудови лінійчастої огинаю- чої поверхні для дзвоноподібних направ- ляючих. На рис. 10 представлено типову дзвоноподібну функцію. Очевидно, її можна розділити на три ділянки, а саме: зростання; максимуму (що може бути однією точкою) та спадання кривої. По- єднаємо крайні точки цих ділянок відріз- ками прямих. Внаслідок дзвоноподібно- сті кожній точці Z на кривій відповідає єдина точка ZN – проекція на відповідний хорді, і навпаки. На однотипних ділянках (зростання, максимуми, спадання) точки хорд двох „дзвоників” неважко поста- вити у взаємно однозначну „покванти- льну” відповідність, що схематично зо- бражено на рис. 11. Водночас довільний „дзвоник” можна розглядати як результат деформації відрізків прямих у напрямку, перпендикулярному до відповідної хо- рди. Отже, огинаючу поверхню констру- ктивно можна утворити відрізками пря- мих, що з’єднують точки направляючих кривих, проекції яких на відповідні хо- рди поставлено у “поквантильну” відпо- відність. Основні засоби комп’ютерної реалізації нечіткої лінійної інтерполяції Приступаючи до розгляду на ідей- ному рівні побудови поверхонь “тунель” або “капелюх”, треба насамперед зазна- чити, що вся необхідна для обчислень інформація щодо дзвоноподібних функ- цій належності має дискретне представ- лення, тобто: 1) інтервал-носій кожної функції належ- 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Рис. 9. Зразок поверхні “капелюх” Рис. 10. Евристичне конструювання “лінійної” огинаючої поверхні А1 А2 А3 В1 В2 В3 Рис. 11. “Поквантильна” відповідність відрізків, що з’єднують однотипні ділянки (зростання або спадання) дзвоноподібних направляючих: А1↔В1 – точки “підошви” дзво- ників; А3↔В3 – точки максимумів функцій належності; А2↔В2, А1А2 ⁄ А2А3 = В1В2 ⁄ В2В3 ZN Z Прикладне програмне забезпечення 74 ності представлено у вигляді решітки, а саме упорядкованою множиною точок, і вибір дискретного представлення носія визначається бажаною точністю резуль- тату. Перша і остання точки відповідають значенням функції належності, що роз- глядаються як ще значимі для подаль- шого застосування; 2) для кожної точки дискретного представлення носія задано оцінку функ- ції належності. Для точок носія, що не співпадають з решіткою, функція належ- ності лінійно інтерполюється по двох найближчих зліва і справа сусідніх точ- ках. За крайніми оцінками функцій нале- жності величин, що задіяні в поточних обчисленнях, визначається момент зу- пинки для ітеративних процедур у ви- падку застосування оптимізаційних мето- дів. Ці точки є також визначальними для поданої нижче операції просіювання ре- зультату; 3) у випадку наявності плоскої вершини ділянка, що відповідає максимальному значенню функції належності, визнача- ється лише двома крайніми точками, причому положення (дві обмежуючі то- чки носія) і величина максимуму резуль- тату будь-якої операції обчислюються низкою окремо виділених операцій. Докладно на рівні геометричної інтерпретації розглянемо інтерполяційну процедуру з урахуванням недодатного фактора визначеності U(x) (у випадку не- від’ємного фактора визначеності ланцю- жок міркувань є ідентичним, але замість B–1(у), природно, залучається оцінка B1(у)). Ескіз розташування носіїв у пло- щині х–у наведено на рис. 12. 1. Оцінку B0(у) представлено у ви- гляді двох додатних послідовностей чи- сел однакової довжини (K): впорядкова- ної по зростанню {b0(k)} K k=1, що є дискретним представленням носія [bL 0 , bR 0 ], b0(1)=bL 0 , b0(K)=bR 0 (h) (далі зручно називати саму цю послідовність носієм), і {B 0(k)} K k=1, що є оцінками функцій належності у точках носія з тим же номе- ром k. Максимум функції належності оцінки B0(y) відповідає інтервалу [b L 0 max, bR 0 max], причому точки bL 0 max і bR 0 max (вони можуть співпадати) нале- жать послідовності {b0(k)} K k=1. Вузлові точки для оцінки B0(y) розташовані в площині x=0: носій {b0(k)} K k=1 − на осі ординат (0у), значення функції належно- сті {B 0(k)} K k=1 відкладено на траверзі від- повідних точок носія по осі аплікат (0z). 2. Оцінку B–1(y) представлено у вигляді двох послідовностей чисел одна- кової довжини (М), впорядкованої по зростанню {b–1(m)} M m=1, що є дискрет- ним представленням носія [b L 1− , bR 1− ], b– 1(1)=bL 1− , b–1(M)=bR 1− , і {B –1(m)} M m=1, що є оцінками функцій належності у точках носія з тим же номером m. Максимум функції належності оцінки B–1(y) відпо- відає інтервалу [b L 1 max− , bR 1 max− ], при- чому точки bL 1 max− і bR 1 max− (вони мо- жуть співпадати) належать послідовності {b–1(m)} M m=1. Вузлові точки для оцінки B–1(y) розташовані в площині x=−1: носій {b–1(m)} M m=1 знаходиться на прямій пере- тину з площиною z=0, значення функції належності {B –1(m)} M m=1 відкладено на траверзі відповідних точок носія по осі аплікат. В результаті в чотирикутнику но- сіїв у площині х–у виділені такі зони: зростання дзвоників B0(y) і B–1(y) (трапе- ція з вершинами bL 1− , bL 1 max− , bL 0 max і bL 0 ), максимуму (відрізок прямої, трикут- ник чи трапеція з вершинами bL 1 max− , bR 1 max− , bR 0 max і bL 0 max) і спадання (тра- пеція з вершинами bR 1 max− , bR 1− , bR 0 і bR 0 max). 3. Криві функцій належності для оцінок B0(y) та B–1(y) відповідно у пло- щинах x=0 і x=−1 отримано як лінійний сплайн по послідовних вузлових точках. У кожній кривій виділено сектори зрос- Прикладне програмне забезпечення 75 тання, максимуму (може складатися з однієї точки) і спадання функції належ- ності. Відрізками прямих з’єднано гра- ничні точки секторів зростання і спа- дання, а саме: вузлові точки кривої B0(y) з орди- натами bL 0 і bL 0 max (точку на лівій гра- ниці носія з лівою точкою максимуму функції належності) і всі точки кривої із носіями в цьому проміжку співставлено до отриманого відрізка; вузлові точки кривої B0(y) з орди- натами bR 0 max і bR 0 (праву точку макси- муму функції належності з точкою на правій границі носія) і всі точки кривої із носіями в цьому проміжку співставлено до отриманого відрізка. Аналогічно відрізками прямих з’єднано граничні точки секторів зрос- тання і спадання: вузлові точки кривої B– 1(y) з ординатами bL 1− і bL 1 max− , а також з ординатами bR 1 max− і bR 1− і виконано спі- вставлення точок кривих до відповідних відрізків. 4. Для кожної вузлової точки отриманих кривих обчислено координати її проекції на відповідну хорду, що поєд- нує граничні точки сектора (точку пі- дошви дзвоника з точкою максимуму). Далі для кожної вузлової точки обчис- лено її відносну віддаль від вершини дзвоника. Природно, що відносна віддаль дорівнює 0 для граничних точок вершини і 1 для точок „підошви”. 5. Побудовано каркасу огинаючої поверхні: – “Пряма хвиля”: для кожної вузлової точки сектора зростання кривої B0(y) ви- значено точку сектора зростання (три ко- ординати) кривої B–1(y), що має таку саму відносну віддаль від своєї вершини (це або вузлова точка, або точка, що на- лежить відрізку, який поєднує дві вуз- лові). Так само для сектору спадання. Ординати і аплікати визначених точок приєднано до носіїв і відповідних оцінок функції належності B–1(y) зі збереженням послідовної упорядкованості точок носія і взаємної відповідності значень масивів носія і функції належності. –1 uL uLmax uR max uR 0 х bL 1− L Ub bL 1 max− bL0 bR 1 max− γL• •γR • γ bR1− bL 0 max bR0 max R Ub bR0 1 у Рис. 12. Ескіз площини носіїв х–у (випадок від’ємного фактора визначеності) ϕ2 ϕ1 ϕ3 ϕ4 Прикладне програмне забезпечення 76 – “Зворотна хвиля”: для кожної вузло- вої точки сектора зростання кривої B–1(y) визначено точку B0(y), що має таку саму відносну віддаль від своєї вершини. Так само для сектора спадання. Ординати і аплікати визначених точок приєднано до носіїв і відповідних оцінок функції нале- жності B0(y) зі збереженням послідовної упорядкованості точок носія і взаємної відповідності значень масивів носія і фу- нкції належності. В результаті отримано модифіка- цію представлення функцій належності B0(y) і B–1(y), що мають однакову кіль- кість вузлових точок у секторах спа- дання, поставлені у відповідність гранич- ні точки максимуму функцій належності, і однакову кількість вузлових точок у секторах зростання. У секторах зрос- тання і спадання точки отриманого пред- ставлення функцій належності B0(y) та B– 1(y) з однаковим віддаленням у номерах від кінців дзвоників з’єднано відрізками прямих. Це лінійчастий каркас несучої поверхні. Його спроектовано на площину х–у, і таким чином утворено грати, що складають штрихову основу. Між відпо- відними сусідніми вузлами функцій на- лежності B0(y) та B–1(y) на відрізках пря- мих, що ці вузли поєднують, точки з’єднано відрізками прямих за “покван- тильним” принципом. Якщо принаймні один дзвоник має плоску вершину, на крайніх точках максимумів змонтовано “дах” – сектор площини, трикутник або трапецію. Таким чином утворено ліній- часту поверхню “тунель”. Якщо фактор визначеності на по- точному кроці є точковою величиною (х=µ) з одиничною функцією належності Φ(µ), Φ(µ)=1, то в ролі апостеріорної оцінки вірогідності стану (гіпотези) до- цільно розглядати плоску криву, що є лі- нійним сплайном по точках перетину отриманого лінійчастого каркасу і пло- щини, перпендикулярної до осі абсцис і проведеній через значення х=µ. Якщо ж Φ(µ)<1, то оцінки аплікат відповідних вузлових значень слід помножити на Φ(µ). Для довільної точки Q(q1, q2, 0) відповідну їй висоту q3 поверхні “тунель” має бути визначено за системою if–then– else (рис. 12): якщо точка Q(q1, q2, 0) не належить основі поверхні “тунель”, тобто трапеції з вершинами bL 1− , bR 1− , bR 0 і bL 0 , то q3=0; якщо точка Q(q1, q2, 0) належить зоні максимуму, висота q3 поверхні “ту- нель” дорівнює аплікаті точки із абсци- сою q1 і ординатою q2 площини, що про- ходить через вершини обох направляю- чих дзвоників B0(y) і B–1(y); якщо точка Q(q1, q2, 0) належить штриховій основі, висота q3 поверхні “тунель” дорівнює ап- лікаті точки тієї прямої, проекції якої на- лежить точка Q; в противному разі за ор- динатою q2 визначаються значення орди- нат qL 2 і qR 2 тих грат штрихової основи, які на траверзі абсциси q1 є сусідніми справа і зліва до точки Q(q1, q2, 0), а та- кож значення аплікат qL 3 і qR 3 тих пря- мих лінійчастого каркасу, яким відпові- дає виділена пара грат. Значення q3 обчи- слюється із співвідношення (q2–qL 2 )/ /(qR 2 –q2)=(q3–qL 3 )/(qR 3 –q3). 6. Дзвоноподібний фактор визна- ченості U(х) представлено у вигляді двох послідовностей чисел однакової довжини (N): впорядкованої по зростанню {u(n)} N n=1, що є дискретним представлен- ням носія [uL, uR], u(1)=uL≥−1, u(N)=uR≤0. Вузлові точки оцінки U(х) розташовано у площині у=0: носій по осі абсцис, а оці- нки функції належності {U(n)} N n=1 відкладено по осі аплікат на траверзі від- повідних значень носія. Максимум функ- ції належності оцінки U(х) відповідає ін- тервалу [u L max , uR max ], причому точки uL max і uR max (вони можуть співпадати) належать послідовності {u(n)} N n=1 і виді- ляють у носії свідчення зони зростання, максимуму і спадання. 7. Для довільної точки Q(q1, q2, 0) відповідну їй висоту поверхні “капелюх” визначено як добуток висоти q3 поверхні “тунель” і висоти дзвоника свідчення U(х) на траверзі носія q1. Очевидно, якщо абсциса q1 точки основи Q(q1, q2, 0) Прикладне програмне забезпечення 77 поверхні “тунель” не належить до інтер- валу [uL, uR], то висота поверхні “капе- люх” над нею є нульовою. Таким чином, для точок Q(q1,q2,0), що лежать на перетині грат штрихової основи на траверзі точок носія свідчення (тобто значення q1 належить до множини {u(n)} N n=1), висота поверхні “капелюх” обчислюється безпосередньо по оцінках функцій належності B0(y), B–1(y) та U(х) у вузлових точках. Для останніх точок трапеції ϕ1ϕ2ϕ3ϕ4 висота поверхні “капе- люх” обчислюється як добуток відповід- них лінійних апроксимацій по значеннях у вузлових точках. 8. Інтервал носія [bL U , bR U ] апосте- ріорної для даного кроку оцінки ВU (y) визначається мінімальною з ординат то- чок ϕ1 і ϕ2 та максимальною з ординат точок ϕ3 і ϕ4. Для довільної точки γ з цього інтервалу функцію належності BU(γ) має бути обчислено, по аналогії із (1), як максимальне із значень аплікати перерізу поверхні “капелюх” площиною у=γ: BU(γ) = max { Φ(u, γ), u∈[uL, uR] }, (9) де Φ(u, γ) – висота поверхні “капелюх” над точкою з абсцисою u і ординатою γ в площині х–у (рис. 13). Рис. 13. Визначення функції належності апостеріорної оцінки для окремої точки носія (максимальної висоти перерізу по- верхні „Капелюх” при фіксованій ординаті) Використаємо для ситуації Sj–1 на- ступні позначення: B–1(у) – оцінка P̂ (h/ej), отримана з (8); B1(у) – оцінка P̂ (h/ej), з (7); B0(у) – апріорна для даного кроку оцінка Bj-1(h); U(х) – фактор визна- ченості свідчення ej. Тоді результат ВU(у) нечіткої лінійної інтерполяції є оцінкою Bj(h) . Таким чином, коректно визначено повний крок обчислень, який ураховує одне свідчення. Остаточні оцінки, на під- ставі яких виконується діагностика, є ре- зультатом послідовного урахування, від- повідно до обраної стратегії вибору по- рядку притягнення свідчень до розгляду, інформації відносно всіх свідчень Е. Висновки Конструктивно, з використанням геометричної інтерпретації, представлено оригінальну процедуру маніпуляції не- чіткими числами, що є розмитим ана- логом лінійної інтерполяції. В контексті обчислення байєсівських оцінок для ви- конання діагностування описано низку базових результатів щодо урахування інформації у нечіткому поданні. На ідейному рівні представлено урахування одного свідчення при виконанні нечітко- го байєсівського оцінювання та запропо- новано способи усунення основних про- блем, що виникають при комп’ютерній реалізації описаного підходу. Наведені результати було покладе- но в основу експериментальної комп’ю- терної системи для проведення байєсівсь- кого діагностування в недетерміновано- му інформаційному просторі [10]. 1. Верёвка О.В., Парасюк И.Н. Математиче- ские основы построения нечетких байесов- ских механизмов вывода // Кибернетика и системный анализ. − 2002. − №1. − С.105–117. 2. Верёвка О.В. Псевдонечеткие величины и операции над ними // Компьютерная мате- матика. – Киев, 2001. – C. 26–35. 3. Верёвка О.В., Заложенкова И.А., Парасюк И.Н. Обобщение интервальных байесов- ских механизмов вывода и перспективы их использования // Кибернетика и системный анализ. − 1998. − №6. − С. 3–13. 4. Верёвка О.В., Заложенкова И.А., Парасюк И.Н. Интервальные байесовские меха- низмы вывода и их приложения // Про- блемы программирования. − 2000. − №1-2. − С. 467–470. F(γ) γL γR Прикладне програмне забезпечення 78 5. Обработка нечеткой информации в систе- мах принятия решений / А.Н.Борисов, А.В.Алексеев, Г.В.Меркурьева и др. − М.: Радио и связь, 1989. − 304 с. 6. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / Под ред. Д.А.Поспелова. − М.: Наука, 1986. − 312 с. 7. Нечеткие множества и теория возможно- стей / Под ред. Г.Ягера. – М: Радио и связь, 1986. – 408 с. 8. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. − M.: Радио и связь, 1982. – 432с. 9. Прикладные нечеткие системы: Пер. с япон. /Под ред. Т.Тэрано, К.Асан, М.Сугэно. – М.: Мир, 1993. – 366 с. 10 . Концептуальні основи байєсівської діагно- стики у розмитому інформаційному прос- торі при дзвоноподібних функціях належ- ності // Проблемы программирования / О.В. Верьовка, І.М. Парасюк, Є.С. Карпінка, І.А. Заложенкова. – 2004. – №2-3. – С. 328–333. Отримано 04.01.05 Об авторе Верёвка Ольга Викторовна ст.науч.сотр. Место работы автора: Институт кибернетики им. В.М.Глушкова НАНУ 01024, Киев, ул. Лютеранская, 19, кв. 13; тел. дом. 228 6200, тел. раб. 526 6422 Прикладне програмне забезпечення 1 БРАК!!!

Лінійна інтерполяційна процедура обчислення нечітких байесівських оцінок

Institution

Ähnliche Einträge