Просторова деформація багатошарової плити з пружними зв’язками між шарами

Запропоновано спосіб розв’язання задачі про визначення напружено-деформованого стану багатошарової плити з пружними зв’язками між шарами за умов просторової деформації. Розв’язок задачі базується на методі функцій податливості з використанням двовимірного інтегрального перетворення Фур’є. Побудовано...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Фізико-хімічна механіка матеріалів
Date:	2014
Main Author:	Антоненко, Н.М.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України 2014
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/135901
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Просторова деформація багатошарової плити з пружними зв’язками між шарами / Н.М. Антоненко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 55-61. — Бібліогр.: 10 назв. — укp.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-135901
record_format	dspace
spelling	Антоненко, Н.М. 2018-06-15T16:22:28Z 2018-06-15T16:22:28Z 2014 Просторова деформація багатошарової плити з пружними зв’язками між шарами / Н.М. Антоненко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 55-61. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. 0430-6252 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/135901 539.3 Запропоновано спосіб розв’язання задачі про визначення напружено-деформованого стану багатошарової плити з пружними зв’язками між шарами за умов просторової деформації. Розв’язок задачі базується на методі функцій податливості з використанням двовимірного інтегрального перетворення Фур’є. Побудовано рекурентні формули для розрахунку матриць податливості. Для двошарової плити, яка знаходиться під дією нормальних зосереджених навантажень, проаналізовано вплив коефіцієнтів пружних зв’язків на розподіл напружень та переміщень в її шарах. Предложен способ решения задачи об определении напряженно-деформированного состояния многослойной плиты с упругими связями между слоями при пространственной деформации. Решение задачи основано на методе функций податливости с использованием двумерного интегрального преобразования Фурье. Построены рекуррентные формулы для вычисления матриц податливости. Для двухслойной плиты, которая находится под действием нормальных сосредоточенных нагрузок, проанализировано влияние коэффициентов упругих связей на распределение нормальных напряжений и перемещений в ее слоях. Тhe method of determination of the stress-strain state of a multilayer plate with elastic connections between layers in the case of the spatial deformation is proposed. The technique is based on the compliance functions method. The method uses a two-dimensional Fourie integral transformation. Recurrence formulas for the calculation of compliance matrices are built. For a two-layer plate, which is under the action of normal concentrated loads, the influence of coefficients of elastic connections on the distribution of normal stresses and displacements in its layers is analyzed. uk Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України Фізико-хімічна механіка матеріалів Просторова деформація багатошарової плити з пружними зв’язками між шарами Пространственная деформация многослойной плиты с упругими связями между слоями Space deformation of a multilayer plate with elastic connections between layers Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Просторова деформація багатошарової плити з пружними зв’язками між шарами
spellingShingle	Просторова деформація багатошарової плити з пружними зв’язками між шарами Антоненко, Н.М.
title_short	Просторова деформація багатошарової плити з пружними зв’язками між шарами
title_full	Просторова деформація багатошарової плити з пружними зв’язками між шарами
title_fullStr	Просторова деформація багатошарової плити з пружними зв’язками між шарами
title_full_unstemmed	Просторова деформація багатошарової плити з пружними зв’язками між шарами
title_sort	просторова деформація багатошарової плити з пружними зв’язками між шарами
author	Антоненко, Н.М.
author_facet	Антоненко, Н.М.
publishDate	2014
language	Ukrainian
container_title	Фізико-хімічна механіка матеріалів
publisher	Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
format	Article
title_alt	Пространственная деформация многослойной плиты с упругими связями между слоями Space deformation of a multilayer plate with elastic connections between layers
description	Запропоновано спосіб розв’язання задачі про визначення напружено-деформованого стану багатошарової плити з пружними зв’язками між шарами за умов просторової деформації. Розв’язок задачі базується на методі функцій податливості з використанням двовимірного інтегрального перетворення Фур’є. Побудовано рекурентні формули для розрахунку матриць податливості. Для двошарової плити, яка знаходиться під дією нормальних зосереджених навантажень, проаналізовано вплив коефіцієнтів пружних зв’язків на розподіл напружень та переміщень в її шарах. Предложен способ решения задачи об определении напряженно-деформированного состояния многослойной плиты с упругими связями между слоями при пространственной деформации. Решение задачи основано на методе функций податливости с использованием двумерного интегрального преобразования Фурье. Построены рекуррентные формулы для вычисления матриц податливости. Для двухслойной плиты, которая находится под действием нормальных сосредоточенных нагрузок, проанализировано влияние коэффициентов упругих связей на распределение нормальных напряжений и перемещений в ее слоях. Тhe method of determination of the stress-strain state of a multilayer plate with elastic connections between layers in the case of the spatial deformation is proposed. The technique is based on the compliance functions method. The method uses a two-dimensional Fourie integral transformation. Recurrence formulas for the calculation of compliance matrices are built. For a two-layer plate, which is under the action of normal concentrated loads, the influence of coefficients of elastic connections on the distribution of normal stresses and displacements in its layers is analyzed.
issn	0430-6252
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/135901
citation_txt	Просторова деформація багатошарової плити з пружними зв’язками між шарами / Н.М. Антоненко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 55-61. — Бібліогр.: 10 назв. — укp.
work_keys_str_mv	AT antonenkonm prostorovadeformacíâbagatošarovoíplitizpružnimizvâzkamimížšarami AT antonenkonm prostranstvennaâdeformaciâmnogosloinoiplitysuprugimisvâzâmimeždusloâmi AT antonenkonm spacedeformationofamultilayerplatewithelasticconnectionsbetweenlayers
first_indexed	2025-11-26T21:31:27Z
last_indexed	2025-11-26T21:31:27Z
_version_	1850776863559909376
fulltext	55 Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2014. – ¹ 4. – Physicochemical Mechanics of Materials УДК 539.3 ПРОСТОРОВА ДЕФОРМАЦІЯ БАГАТОШАРОВОЇ ПЛИТИ З ПРУЖНИМИ ЗВ’ЯЗКАМИ МІЖ ШАРАМИ Н. М. АНТОНЕНКО Запорізький національний технічний університет Запропоновано спосіб розв’язання задачі про визначення напружено-деформованого стану багатошарової плити з пружними зв’язками між шарами за умов просторової деформації. Розв’язок задачі базується на методі функцій податливості з викори- станням двовимірного інтегрального перетворення Фур’є. Побудовано рекурентні формули для розрахунку матриць податливості. Для двошарової плити, яка знахо- диться під дією нормальних зосереджених навантажень, проаналізовано вплив кое- фіцієнтів пружних зв’язків на розподіл напружень та переміщень в її шарах. Ключові слова: багатошарова плита, пружні зв’язки, матриці податливості, ін- тегральне перетворення Фур’є, напруження. Через широке застосування шаруватих плит у техніці та будівництві зростає інтерес до побудови точних розв’язків задачі про визначення їх напружено-де- формованого стану (НДС). Адекватна модель пружних шаруватих конструкцій може бути побудована на базі тривимірних рівнянь теорії пружності. Тому доціль- но використовувати отримані на її основі розв’язки як еталонні, з якими можна порівнювати розв’язки, побудовані за допомогою числових методів та на базі ін- женерних підходів, які використовують спрощувальні гіпотези. На основі моделі, яка враховує пружний проміжний прошарок між шарами [1], запропоновано спосіб визначення НДС багатошарових плит з пружними зв’язками між шарами. З фізичної точки зору пружними зв’язками можна моде- лювати пружний проміжний прошарок між шарами, який утворюється, наприк- лад, під час склеювання елементів шаруватих конструкцій. Вважатимемо, що між двома сусідніми шарами існують дотичні (нормальні) пружні зв’язки, якщо різ- ниці горизонтальних (вертикальних) переміщень точок верхньої межі нижнього шару та відповідних точок нижньої межі верхнього шару пропорційні дотичним (нормальним) напруженням на поверхнях меж. Запропонований спосіб є узагаль- ненням методу функцій податливості на випадок просторової деформації багато- шарових плит з пружними зв’язками між шарами. Раніше цей метод ефективно застосовувався для визначення НДС шаруватих плит та основ з повним та глад- ким типами контактів між шарами [2–5]. У [6, 7] його розповсюджено на багато- шарові основи (пакет пружних шарів, зчеплений з півпростором) з пружними зв’язками між шарами. Асимптотичними методами деформацію шаруватих тіл з пружними зв’язками між шарами дослідили раніше [8, 9]. Формулювання задачі. Розглянемо багатошарову плиту, яка складається зі скінченної кількості n невагомих однорідних ізотропних пружних шарів. Між су- сідніми шарами діють пружні зв’язки. Кожен шар характеризуємо товщиною kh , модулем зсуву k та коефіцієнтом Пуассона k . Плита знаходиться в рівновазі Контактна особа: Н. М. АНТОНЕНКО, e-mail: antonenkonina@i.ua 56 під дією навантажень, прикладених до її верхньої та нижньої межі. Необхід- но визначити переміщення та напру- ження в шарах плити. Пронумеруємо шари зверху до- низу, починаючи з одиниці. Усі вели- чини, які відносяться до k-го шару, позначатимемо нижнім індексом k. У кожному шарі введемо локальні де- картові системи координат k kO x y z з початком на верхній межі шару так, щоб усі осі k kO z лежали на одній пря- мій та були напрямлені вглиб шару (рис. 1). Математично задачу зведемо до розв’язання рівнянь Ламе для кожно- го з шарів плити:             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0, 1 1 0, 1 1 0, k k k k k k k k k kk k k k k k k k k k kk k k k k k k k k k k kk u u u v w x y x zx y z v v v u w x y y zy x z w w w u v x z y zz x y                                                                   де   1 2 1k k     , kv – коефіцієнт Пуассона k-го шару, 1,k n . Умови спряження шарів з номерами k та k+1 такі:      1 ,, ,0 , , , ,k k k k xz k ku x y u x y h m x y h    ,    , 1 ,, ,0 , ,xz k xz k kx y x y h   ,      1 ,, ,0 , , , ,k k k k yz k kv x y v x y h m x y h    ,    , 1 ,, ,0 , ,yz k yz k kx y x y h   ,      1 ,, ,0 , , ,k k k k z k kw x y w x h r x y h    ,    , 1 ,, ,0 , ,z k z k kx y x y h   , (1) де 0km  , 0kr  – коефіцієнти дотичних та нормальних пружних зв’язків, відпо- відно. Зауважимо, що при 0k km r  зі співвідношень (1) отримуємо умови спря- ження для жорсткого контакту, а при km  , 0kr  – для гладкого контакту між k-им і k+1-им шарами плити. Крайові умови такі:    ,1 , ,0 ,z x y f x y  ,    ,1 , ,0 ,xz x y g x y  ,    ,1 , ,0 ,yz x y q x y  , (2)    , , , , z n nx y h f x y  ,    , , , ,xz n nx y h g x y  ,    , , , ,yz n nx y h q x y  , (3) де  ,f x y ,  ,g x y ,  ,q x y ,  ,f x y ,  ,g x y ,  ,q x y – задані функції, обрані так, щоб плита знаходилась у рівновазі. Вважатимемо, що напруження та переміщення у внутрішніх точках шарів плити задовольняють умови існування подвійного інтегрального перетворення Фур’є за змінними x і y: Рис. 1. Багатошарова плита. Fig. 1. Multilayer plate. 57      , , i x yx y e dxdy             ,       2 1 , , 4 i x yx y e d d                  . (4) Метод розв’язання. У просторі трансформант напруження та переміщення в точках k-го шару можна подати у вигляді лінійної комбінації допоміжних функцій  ,k   ,  ,k   ,  ,k   ,  ,k   ,  , k   ,  , k   [7]:  , , ,0k z k     ,  , ,0k k kW     ,  1 , ,0 k kp       ,  , ,0 k k kT     ,  , ,0k k kS     ,  1 , ,0k kp       , (5) де 2 2 2p     ,  , ,k kW z pw   ,  , ,k k kS z i u i v       ,  , ,k k kT z i u i v       ,   , ,, ,k xz k yz k i i z p p           ,   , ,, ,k xz k yz k i i z p p           . Задачу зведемо до знаходження цих шести допоміжних функцій для кожно- го з шарів плити. Побудуємо рекурентні співвідношення, які пов’язують допо- міжні функції сусідніх шарів. Застосуємо до умов спряження шарів (1) пряме інтегральне перетворення Фур’є та запишемо їх у такому вигляді:                               , 1 , 1 1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ,0 , , , , ,0 , , , , , , ,0 , , , , , , ,0 , , , , , , ,0 , , , , ,0 , , .    z k z k k k k k k k k k z k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k h W W h r p h S S h m p h T T h m p h h h                                                                         Застосуємо формули (5) до лівих частин останніх співвідношень та подамо їх праві частини у вигляді лінійних комбінацій допоміжних функцій [7]. Отрима- ні залежності запишемо у матричному вигляді 1 11 12k k k k kM M     , (6)    1 21 11 22 12k k k k k k kM NM M NM       , (7) де 1 1 1 0 0 0 0 0 0 k k k k k k r p N m p m p             ,    11 1 0 1 0 0 0 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k C p S S p C M S p C C p S C                      ,    12 2 2 0 2 2 0 0 0 k k k k k k k k k k k k k k k k S p C p S M p S S p C S                , (8) 58    21 2 0 1 2 0 , 2 0 0 2 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k S p C p S M p S S p C S                     22 1 0 1 1 0 0 0 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k p S C S p C M S p C p S C C                    , 1 k k k     , shk kS p , chk kC p , k kp ph ,  , ,  T k k k k     ,  , ,  T k k k k     . Розглянемо фіктивний шар з номером 1n  . Вважатимемо, що контакт між n-им та n+1-им шарами повний. Запишемо умови на межі n-го та n+1-го шарів:    , 1 ,, ,0 , ,z n z n nx y x y h   ,    , 1 ,, ,0 , ,xz n xz n nx y x y h   ,    , 1 ,, ,0 , ,yz n yz n nx y x y h   . Виразимо вектор 1n через вектори n та n , потім через вектори 1n та 1n і так далі до 1 та 1 :  1 11 12 11 11 1 12 21 1 11 1 1n n n n n n n n n n nM M M M M M N M                 11 12 1 12 22 1 12 1 1 n n n n n nM M M M N M          Із вищенаведеного випливає, що вектор 1n є лінійною комбінацією векто- рів k та k , а отже, вектор k можна подати у вигляді лінійної комбінації век- торів k та 1n : 1k k k k nA B      , (9) де kA та kB – матриці податливості багатошарової плити [4]. Побудуємо рекурентні співвідношення, які пов’язують матриці податливості сусідніх шарів плити. Із формул (6), (9) при k n отримуємо: 1n n n n nA B      , 1 1 12 11 12 1n n n n n nM M M        , де 1 12 11n n nA M M  , 1 12n nB M  . (10) Зі співвідношень (7) та (9) одержуємо:      1 21 11 22 12 1k k k k k k k k k nM N M M N M A B               21 11 22 12 22 12 1k k k k k k k k k nM NM M NM A M NM B         . (11) З іншого боку, зі співвідношення (9) одержуємо:  1 1 11 12 1 1k k k k k k k nA M M B             1 11 12 1 1 1k k k k k k k n k nA M M A B B            (12)    1 11 12 1 12 1 1k k k k k k k k k nA M M A A M B B         . Порівнявши вирази (11) та (12), отримуємо рекурентні співвідношення для обчислення матриць податливості: 59    1 22 12 1 12 1 11 21 11k k k k k k k k kA M NM A M A M M NM        , (13)   1 22 12 1 12 1k k k k k kB M NM A M B      , 1, 1k n  . (14) Якщо у формулах (13) та (14) коефіцієнти пружних зв’язків km , kr покласти рівними нулю, то отримуємо відомі формули [4] для багатошарових плит з жор- стко зчепленими шарами. Якщо матриця nB нульова, то рекурентні співвідно- шення збігаються із виразами, побудованими раніше [7] для багатошарових основ з пружними зв’язками між шарами. Таким чином, одержані результати можна вважати узагальненням праць [4, 7]. Із крайових умов знаходимо компоненти векторів 1 та 1n . Щоб визначи- ти компоненти НДС у k-му шарі плити, знайдені за формулами (6) та (9), допо- міжні функції підставляємо у вирази для трансформант напружень і переміщень та застосовуємо до них обернене перетворення Фур’є. Результати числових досліджень. Числові розрахунки нормальних напру- жень та вертикальних переміщень на стиках шарів здійснено для двошарової плити з такими характеристиками: 2 1 2   , 1 2 0,3v v  , 2 1 1h h  . До обох поверхонь плити прикладені нормальні зосереджені сили (див. рис. 1). Крайові умови (2) набудуть вигляду    ,1 , ,0 ,z x y Q x y   ,  ,1 , ,0 0x z x y  ,  ,1 , ,0 0y z x y  ,    ,2 2, , ,z x y h Q x y   ,  ,2 2, , 0x z x y h  ,  ,2 2, , 0y z x y h  , де  ,x y – двовимірна функція Дірака. Для заданого навантаження задача має вісь симетрії 1 1O z , тому НДС плити залежить лише від радіальної координати 2 2x z   . Для розрахунків уведено безрозмірні величини 1x x h , 1y y h , 1z z h , 1 h   ,    2 , 1 ,, , z k z kz h z Q     ,     1, , k kw z w z h   , 3 1 1 1m m Q h , 3 1 1 1r r Q h . Зображено графіки нормальних напружень  ,1 ,1 z  (рис. 2а) і вертикаль- них переміщень  1 ,1w  (рис. 2b) та  2 ,0w  (рис. 2c) точок двошарової плити, які ілюструють вплив пружних зв’язків на їх розподіл. Криві відповідають коефі- цієнтам пружних зв’язків, які наведено в таблиці. Одночасне пропорційне збільшення коефіцієнтів пружних зв’язків призво- дить до зменшення нормальних напружень  ,1 ,1 z  (рис. 2а, криві 1–5) на ниж- ній межі верхнього шару. Для цього типу навантаження плити вплив дотичних пружних зв’язків на розподіл нормальних напружень та вертикальних перемі- щень менш суттєвий (криві 10–13), ніж нормальних пружних зв’язків (криві 6–9). Порівняно зі жорстким контактом дотичні пружні зв’язки між шарами плити за відсутності нормальних пружних зв’язків для розглянутих випадків призводять до збільшення максимальних нормальних напружень не більше, ніж на 1,3%. Для максимальних вертикальних переміщень точок нижньої межі верхнього та верх- ньої межі нижнього шарів спостерігаємо їх зменшення не більше, ніж на 30%, порівняно з жорстким контактом. Отримані механічні ефекти узгоджуються з одержаними за плоскої дефор- мації двошарової плити з пружними зв’язками між шарами, яка знаходиться під дією нормальних навантажень [10], та не суперечать результатам праці [7]. 60 Рис. 2. Вплив пружних зв’язків на розподіл нормальних напружень на нижній межі верхнього шару (а), вертикальних переміщень точок нижньої межі верхнього (b) та верхньої межі нижнього (с) шару двошарової плити: 1–13 – коефіцієнти пружних зв’язків. Fig. 2. Influence of elastic connections on the distribution of normal stresses at the lower boundary of the upper layer (а), vertical displacements of the points of lower boundary of the upper (b) and upper boundary of the lower (c) layer of a two-layer plate: 1–13 – coefficients of elastic connections. Коефіцієнти пружних зв’язків № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1m 0 0,01 0,1 1 10 0 0 0 0 0,01 0,1 1 10 1r 0 0,01 0,1 1 10 0,01 0,1 1 10 0 0 0 0 61 ВИСНОВКИ Метод функцій податливості застосовано до задач про визначення напруже- но-деформованого стану багатошарової плити з пружними зв’язками між шара- ми. В просторі трансформант отримано рекурентні співвідношення, які пов’язу- ють матриці податливості сусідніх шарів. Для двошарової плити, яка знаходиться під дією нормальних навантажень, прикладених до верхньої та нижньої меж пли- ти, проаналізовано вплив коефіцієнтів пружних зв’язків на розподіл напружень та переміщень в її шарах. РЕЗЮМЕ. Предложен способ решения задачи об определении напряженно-дефор- мированного состояния многослойной плиты с упругими связями между слоями при пространственной деформации. Решение задачи основано на методе функций подат- ливости с использованием двумерного интегрального преобразования Фурье. Построены рекуррентные формулы для вычисления матриц податливости. Для двухслойной плиты, которая находится под действием нормальных сосредоточенных нагрузок, проанализиро- вано влияние коэффициентов упругих связей на распределение нормальных напряжений и перемещений в ее слоях. SUMMARY. Тhe method of determination of the stress-strain state of a multilayer plate with elastic connections between layers in the case of the spatial deformation is proposed. The technique is based on the compliance functions method. The method uses a two-dimensional Fourie integral transformation. Recurrence formulas for the calculation of compliance matrices are built. For a two-layer plate, which is under the action of normal concentrated loads, the influence of coefficients of elastic connections on the distribution of normal stresses and displa- cements in its layers is analyzed. 1. Jones J. P. and Whitter J. S. Waves at a flexibly bonded interface // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. – 1967. – 34, № 4. – P. 178–183. 2. Приварников А. К. Решение граничных задач теории упругости для многослойных оснований. – Днепропетровск: ДГУ, 1976. – 60 с. 3. Вольский С. Л., Приварников А. К. К расчету слоистых плит // Вопросы прочности и пластичности: сб. научн. тр. – Днепропетровск: ДГУ, 1974. – С. 58–66. 4. Величко И. Г., Приварников А. К., Спица О. Г. Матричный алгоритм аналитического определения напряженно-деформированного состояния упругой многослойной пли- ты // Теор. и прикл. мех. – 2001. – Вып. 34. – С. 38–43. 5. Величко О. В. Плоска деформація пружної багатошарової плити під дією періодичної системи навантажень // Вісник Дніпропетр. ун-ту. Механіка. – 2004. – 1, № 6. – С. 162–170. 6. Годес Ю. Я. Функции податливости многослойного основания с упругими связями между слоями // Нелинейные задачи гидроаэромеханики и теории упругости: межвуз. сб. научн. тр. – Днепропетровск: ДГУ, 1987. – С. 92–97. 7. Антоненко Н. Н., Величко И. Г. Пространственная деформация многослойного основа- ния с упругими связями между слоями // Вісник Донецького нац. ун-ту. Сер. А: При- родничі науки. – 2011. – № 1. – С. 27–31. 8. Агаловян Л. А., Хачатрян А. М. О двух задачах анизотропной двухслойной полосы при неполном контакте между слоями // Изв. НАН Армении. Механика. – 1997. – 50, № 3–4. – С. 34–41. 9. Барсегян В. М., Хачатрян А. М. Об асимптотическом решении смешанной краевой задачи для трехслойной полосы при различных условиях контакта слоев // Там же. – 2001. – 54, № 1. – С. 17–25. 10. Антоненко Н. М. Плоска деформація двошарової плити з пружними зв’язками між ша- рами // Матер. XXIII Відкритої наук.-техн. конф. молодих науковців і спеціалістів Фіз.-мех. ін-ту ім. Г. В. Карпенка НАН України “Проблеми корозійно-механічного руйнування, інженерія поверхні, діагностичні системи” (Львів, 23–25 жовтня 2013 р.). – Львів, 2013. – С. 10–13. Одержано 23.12.2013

Просторова деформація багатошарової плити з пружними зв’язками між шарами

Institution

Similar Items