Contact strength of two elastic half-spaces with a circular recess
The paper presents the analysis of the stress-and-strain state of a contacting couple consisting of two isotropic semi-infinite solids one of which has a small surface recess. Based on the classical criteria of fracture, namely the criterion of maximal principle stresses and criterion of maximal she...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | English |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2010
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/136112 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Contact strength of two elastic half-spaces with a circular recess / Б. Монастирський, А. Качиньські // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 4. — С. 69-77. — Бібліогр.: 7 назв. — англ. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-136112 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Монастирський, Б. Качиньські, А. 2018-06-15T19:35:13Z 2018-06-15T19:35:13Z 2010 Contact strength of two elastic half-spaces with a circular recess / Б. Монастирський, А. Качиньські // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 4. — С. 69-77. — Бібліогр.: 7 назв. — англ. 0430-6252 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/136112 539.3 The paper presents the analysis of the stress-and-strain state of a contacting couple consisting of two isotropic semi-infinite solids one of which has a small surface recess. Based on the classical criteria of fracture, namely the criterion of maximal principle stresses and criterion of maximal shear stresses, the regions of the most possible crack initial and plastic zones formation have been found. The brittle cracking can be induced by both tensile and compressive stresses arising at the interface. For some shape of the recess, considered as an example, the analysis reveals that the fracture starts from the contacting solids boundary. Проаналізовано напружено-деформований стан контактної пари з двох ізотропних півбезмежних тіл, одне з яких має малу гладку виїмку. На підставі класичних критеріїв руйнування, а саме, критерію максимальних головних напружень та критерію максимальних дотичних напружень визначено найвірогідніші області зародження тріщин та області появи пластичних зон. Встановлено, що крихке руйнування може бути ініційоване напруженнями розтягу, що виникають в тілах внаслідок поверхневої неоднорідності, а також внаслідок напружень стиску. Для розглянутої у роботі форми виїмки максимальні значення головних напружень та максимальних дотичних напружень досягаються на поверхні контакту, що свідчить про поверхневе руйнування тіл. Проанализирован напряженно-деформируемое состояние контактной пары из двух изотропных полубесконечных тел, одно из которых имеет локальную гладкую выемку. На основании классических критериев разрушения, а именно, критерии максимальных главных напряжений и максимальных касательных напряжений, определены наиболее вероятные области зарождения трещин и области появления пластичных зон. Установлено, что хрупкое разрушение может быть вызвано как сжимающими напряжениями, так и растягивающими напряжениями, которые возникают вследствие дефекта геометрической поверхностной структуры. Для рассмотренной в работе формы выемки максимальные значения главных напряжений и максимальных касательных напряжений достигаются на поверхности контакта, что свидетельствует о процессе поверхностного разрушения тел. en Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України Фізико-хімічна механіка матеріалів Contact strength of two elastic half-spaces with a circular recess Контактная прочность двух полупространств с круговой выемкой Контактна міцність двох півпросторів з круговою виїмкою Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Contact strength of two elastic half-spaces with a circular recess |
| spellingShingle |
Contact strength of two elastic half-spaces with a circular recess Монастирський, Б. Качиньські, А. |
| title_short |
Contact strength of two elastic half-spaces with a circular recess |
| title_full |
Contact strength of two elastic half-spaces with a circular recess |
| title_fullStr |
Contact strength of two elastic half-spaces with a circular recess |
| title_full_unstemmed |
Contact strength of two elastic half-spaces with a circular recess |
| title_sort |
contact strength of two elastic half-spaces with a circular recess |
| author |
Монастирський, Б. Качиньські, А. |
| author_facet |
Монастирський, Б. Качиньські, А. |
| publishDate |
2010 |
| language |
English |
| container_title |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Контактная прочность двух полупространств с круговой выемкой Контактна міцність двох півпросторів з круговою виїмкою |
| description |
The paper presents the analysis of the stress-and-strain state of a contacting couple consisting of two isotropic semi-infinite solids one of which has a small surface recess. Based on the classical criteria of fracture, namely the criterion of maximal principle stresses and criterion of maximal shear stresses, the regions of the most possible crack initial and plastic zones formation have been found. The brittle cracking can be induced by both tensile and compressive stresses arising at the interface. For some shape of the recess, considered as an example, the analysis reveals that the fracture starts from the contacting solids boundary.
Проаналізовано напружено-деформований стан контактної пари з двох ізотропних півбезмежних тіл, одне з яких має малу гладку виїмку. На підставі класичних критеріїв руйнування, а саме, критерію максимальних головних напружень та критерію максимальних дотичних напружень визначено найвірогідніші області зародження тріщин та області появи пластичних зон. Встановлено, що крихке руйнування може бути ініційоване напруженнями розтягу, що виникають в тілах внаслідок поверхневої неоднорідності, а також внаслідок напружень стиску. Для розглянутої у роботі форми виїмки максимальні значення головних напружень та максимальних дотичних напружень досягаються на поверхні контакту, що свідчить про поверхневе руйнування тіл.
Проанализирован напряженно-деформируемое состояние контактной пары из двух изотропных полубесконечных тел, одно из которых имеет локальную гладкую выемку. На основании классических критериев разрушения, а именно, критерии максимальных главных напряжений и максимальных касательных напряжений, определены наиболее вероятные области зарождения трещин и области появления пластичных зон. Установлено, что хрупкое разрушение может быть вызвано как сжимающими напряжениями, так и растягивающими напряжениями, которые возникают вследствие дефекта геометрической поверхностной структуры. Для рассмотренной в работе формы выемки максимальные значения главных напряжений и максимальных касательных напряжений достигаются на поверхности контакта, что свидетельствует о процессе поверхностного разрушения тел.
|
| issn |
0430-6252 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/136112 |
| citation_txt |
Contact strength of two elastic half-spaces with a circular recess / Б. Монастирський, А. Качиньські // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 4. — С. 69-77. — Бібліогр.: 7 назв. — англ. |
| work_keys_str_mv |
AT monastirsʹkiib contactstrengthoftwoelastichalfspaceswithacircularrecess AT kačinʹsʹkía contactstrengthoftwoelastichalfspaceswithacircularrecess AT monastirsʹkiib kontaktnaâpročnostʹdvuhpoluprostranstvskrugovoivyemkoi AT kačinʹsʹkía kontaktnaâpročnostʹdvuhpoluprostranstvskrugovoivyemkoi AT monastirsʹkiib kontaktnamícnístʹdvohpívprostorívzkrugovoûviímkoû AT kačinʹsʹkía kontaktnamícnístʹdvohpívprostorívzkrugovoûviímkoû |
| first_indexed |
2025-11-27T09:28:19Z |
| last_indexed |
2025-11-27T09:28:19Z |
| _version_ |
1850809251944988672 |
| fulltext |
69
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2010. – ¹ 4. – Physicochemical Mechanics of Materials
UDK 539.3
CONTACT STRENGTH OF TWO ELASTIC HALF-SPACES
WITH A CIRCULAR RECESS
B. MONASTYRSKYY 1, A. KACZYŃSKI 2
1 Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, NASU, Lviv;
2 Faculty of Mathematics and Information Science,Warsaw University of Technology
The paper presents the analysis of the stress-and-strain state of a contacting couple consis-
ting of two isotropic semi-infinite solids one of which has a small surface recess. Based on
the classical criteria of fracture, namely the criterion of maximal principle stresses and cri-
terion of maximal shear stresses, the regions of the most possible crack initial and plastic
zones formation have been found. The brittle cracking can be induced by both tensile and
compressive stresses arising at the interface. For some shape of the recess, considered as
an example, the analysis reveals that the fracture starts from the contacting solids boundary.
Key words: contact problem, conforming boundaries, local fault of contact, contact
strength, criterion of maximal principle stresses, criterion of maximal shear stresses.
The paper is a continuation of our previous study [1] concerning the problem of
frictionless contact of two compressed elastic half-spaces provided one of them
possesses a small circular surface recess. The aim of this work is to examine the
behavior of the contacting solids from the point of view of contact fracture mechanics.
Strength analysis is carried out by using the closed-form solution obtained in [1] for a
special form of the recess and by employing some classical fracture criteria.
The knowledge of the solutions (especially analytical ones) to contact problems
serves as a ground for the investigation of strength, durability and fatigue of contacting
couples. The majority of works of contacting joints on strength utilizes the solutions
obtained within the framework of a theory of Hertzian contact. But these solutions are
useful only for contact of solids with mismatching surfaces (see a classification by
Johnson [2]). Extensive literature on the subject is discussed in the book by Kolesnikov
and Morozov [3]. On the contrary, the contact interaction of bodies with conformable
surfaces has been investigated much less. The contact strength of solids with recesses
has been analyzed in [4]. Approaches employing this kind of interaction take into
account the existence of imperfections (recesses, pits, protrusions, concavities, etc.) of
surfaces related to their small deviations from a flat onto local parts. Such perturbations
lead to the local absence of contact, so the intercontact gaps are created. The problem
under study belongs to the class of non-classical contact problems involving contact
interactions of solids with conformed surfaces.
Description of the problem. This paper deals with an axisymmetric problem of
elastic contact of two different isotropic elastic semi-infinite solids one of which (denoted
by 1, see Fig. 1) possesses a local surface recess occupying a circular region of radius b. In
the cylindrical co-ordinate system, introduced in such a way as it is shown in Fig. 1, the
profile of the surface recess is described by a given function f(r).
The solids are pressed to each other by normal uniform forces p at infinity. Since
the initial relieves of the surfaces are mismatched, their contact is imperfect and during
the interaction an intersurface gap is formed. It is assumed that the region of the gap is
circular of an unknown a priori radius a.
Corresponding author: B. MONASTYRSKYY, e-mail: bmonast@iapmm.lviv.ua
mailto:bmonast@iapmm.lviv.ua
70
A method to solve the above problem
was presented in [1]. It represents the dis-
placements and stresses in the contacting
couple through the unknown function of the
interface gap height (2)( ) ( ) ( ,0)zh r f r u r= + −
(1) ( ,0) ,zu r r a− < . It was shown that the per-
turbed problem with the following boundary
conditions
:z = ±∞ ( ) 0i
zzσ = , ( ) 0i
rzσ = , (1)
0 :z = ( ) 0, 0 ,i
rz rσ = < < ∞ (2)
(1) (2) , 0 ,zz zz rσ = σ < < ∞ (3)
(2) , 0 ,zz p r aσ = < < (4)
(1) (2) ( ),z zu u f r a r− = < < ∞ , (5)
can be reduced to the dual integral equations for the Hankel transform of the gap height
0
0
( ) ( ) ( )H h J d
∞
ξ = ρ ρ ξρ ρ∫ :
2 2
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) , 0 ,pH J r d F J r d r a
M
∞ ∞
ξ ξ ξ ξ = − + ξ ξ ξ ξ < <∫ ∫ (6)
0
0
( ) ( ) 0,H J r d a r
∞
ξ ξ ξ ξ = < < ∞∫ . (7)
Notation here is the same as in [1]. In particular, 0
0
( ) ( ) ( )F f J d
∞
ξ = ρ ρ ξρ ρ∫ , ( )kJ ⋅ are
the Bessel functions of the first kind of order k, /(1 )i i im = µ − ν , 1 2
1 2
m mM
m m
=
+
, and
,i iµ ν stand for shear modulus and Poisson’s ratio of the body denoted by 1,2.i =
The solution to equations (6)–(7) can be determined from the sequence of the
relations:
1
0
( ) ( )sin
a
H d−ξ = ξ γ ρ ξρ ρ∫ , (8)
2 2
0
2( ) ( )
r
r g r dγ = ρ ρ − ρ ρ
π ∫ , (9)
where 2
0
0
( ) ( ) ( )pg r F J r d
M
∞
= − + ξ ξ ξ ξ∫ .
Now we recall the formulas for non-vanishing components of stress tensor:
( )
3 | |
1
0
( , ) ( ( ) ( )) ( )
i
zrz r z z F H e J r d
M
∞
−ξσ
= ∫ ξ ξ − ξ ξ ξ , (10)
[ ]
( )
2 | |
0
0
( , ) (1 | |)( ( ) ( )) ( ) ,
i
zzz r z z F H e J r d
M
∞
−ξσ
= ∫ ξ + ξ ξ − ξ ξ ξ (11)
[ ]
( )
2 | |
0
0
( , ) (1 | |)( ( ) ( )) ( )
i
zrr r z z F H e J r d
M
∞
−ξσ
= ∫ ξ − ξ ξ − ξ ξ ξ −
Fig. 1. Contact of two half-spaces
with allowance for intersurface gap.
I – intersurface gap;
II – initial relief of boundaries.
71
[ ] | | 1
0
( )(1 2 | |)( ( ) ( )) ,z
i
J rz F H e d
r
∞
−ξ ξ
− ∫ ξ − ν − ξ ξ − ξ ξ (12)
[ ]
( )
2 | |
0
0
| | 1
0
( , )
2 ( ( ) ( )) ( )
( )(1 2 | |)( ( ) ( )) .
i
z
i
z
i
r z
F H e J r d
M
J rz F H e d
r
∞
−ξθθ
∞
−ξ
σ
= ν ∫ ξ ξ − ξ ξ ξ +
ξ
+ ∫ ξ − ν − ξ ξ − ξ ξ
(13)
To complete the problem solution, it is necessary to determine the radius of the
gap a from the condition of smooth closing of the gap [1]:
( ) 0aγ = . (14)
Now it is further assumed that the shape of the initial recess is given as
2 2 3 / 2
0 0( ) (1 / ) (0 , (0) )f r h r b r b h f b= − ≤ ≤ = = . (15)
For this case, the Hankel transform ( )F ξ of ( )f r is [5]
2 3/ 2 (5 / 2)
0 5 / 2( ) 2 (5 / 2)( ) ( )F h b b J b−ξ = Γ ξ ξ . (16)
Then from (9) it is found that
2 2
0( ) 2 / [ / 3 / 4 (1 / )]r p M h b r b rγ = − π − π − (17)
and equation (14) yields the following value of the radius of the gap a:
01 4 /(3 )a b pb M h= − π . (18)
From this expression we can easily find the threshold value of external pressure
for which the gap is completely closed (i.e. a=0): threshold 03 / 4p M h b= π .
Moreover, using the results expressed by equations (16)–(18) and (8) we can de-
termine the stress distribution given by (10)–(13). After calculating the corresponding
integrals [5, 6] the complete stress field in elementary functions is obtained in the follo-
wing form:
( )
( )
2 20
1 2 1 23
( , )
3 ( , , ) 9 ( , , ) 3 ( , , ) 9 ( , , )
i
rz hr z z b Int r z b Int r z b a Int r z a Int r z a
M b
σ
= − + + − , (19)
( ( )
( ))
( )
2 20
3 4 5 63
2 2
3 4 5 6
( , )
3 ( , , ) 9 ( , , ) 3 ( , , ) 9 ( , , )
3 ( , , ) 9 ( , , ) 3 ( , , ) 9 ( , , ) ,
σ
=
= − + − + + − + +
+ − + −
i
zz r z
M
hp b Int r z b Int r z b z b Int r z b Int r z b
b
a Int r z a Int r z a z a Int r z a Int r z a
(20)
( )(
( ) ( )
( )) (
( )
20
7 83
2 2
9 10 7 8
2 20
9 10 3 43
2
5
( , )
(1 2 ) 3 ( , , ) 9 ( , , )
3 ( , , ) 9 ( , , ) (1 2 ) 3 ( , , ) 9 ( , , )
3 ( , , ) 9 ( , , ) 3 ( , , ) 9 ( , , )
3 ( , ,
i
rr
i
i
hr z
b Int r z b Int r z b
M b
z b Int r z b Int r z b a Int r z a Int r z a
h
z a Int r z a Int r z a b Int r z b Int r z b
b
z b Int r z b
σ
= − ν − + +
+ − + + − ν − +
+ − + − + +
+ −( )
( ))
2
6 3 4
2
5 6
) 9 ( , , ) 3 ( , , ) 9 ( , , )
3 ( , , ) 9 ( , , ) ,
Int r z b a Int r z a Int r z a
z a Int r z a Int r z a
+ + − +
+ −
(21)
72
( )(
( ) ( )
( ))
(
( )
20
7 83
2 2
9 10 7 8
2
9 10
2 20
3 4 33
( , )
(1 2 ) 3 ( , , ) 9 ( , , )
3 ( , , ) 9 ( , , ) (1 2 ) 3 ( , , ) 9 ( , , )
3 ( , , ) 9 ( , , )
2 3 ( , , ) 9 ( , , ) 3 ( , ,
i
i
i
i
r z h
b Int r z b Int r z b
M b
z b Int r z b Int r z b a Int r z a Int r z a
z a Int r z a Int r z a
h
b Int r z b Int r z b a Int r z
b
θθσ
= − ν − + +
+ − + + − ν − +
+ − +
+ ν − + + )4) 9 ( , , ) ,a Int r z a−
(22)
where ( , , )kInt r z b ( 1,10k = ) stands for the integrals given by formulas:
-
1 1
0
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 24
2 2
( , , ) e sin( ) ( )
1 2 1 2cos arctg sin arctg
2 2
, 0;
( ) (2 )
0, 0, ;
, 0, ;
zInt r z b b J r d
zb zbb z
z b r z b r z
r z b r zb
z r b
b z r b
r r b
∞
ξ= ξ ξ ξ =
− − + − + ≠
− + += = ≤
= >
−
∫
-
2 12
0
1
0
2 2
sin( ) cos( )( , , ) e ( )
( , , ) , 0;
, 0, ;
4
arcsin , 0, ;
2 2
z
b
b b bInt r z b J r d
Int r z d z
r z r b
b r b r b z r b
r r
∞
ξ ξ − ξ ξ
= ξ ξ =
ξ
β β β ≠
π= = ≤
− − + = >
∫
∫
2 2 2 2
-
3 0
0
2arcsin , 0;
( ) ( )
sin( )( , , ) e ( ) , 0, ;
2
arcsin , 0, ;
z
b z
b r z b r z
bInt r z b J r d z r b
b z r b
r
∞
ξ
≠
+ + + − +
ξ π
= ξ ξ = = ≤
ξ
= >
∫
-
4 03
0
sin( ) cos( )( , , ) e ( )z b b bInt r z b J r d
∞
ξ ξ − ξ ξ
= ξ ξ =
ξ
∫
73
3
0
2 2
2 2 2 2
( , , ) , 0;
(2 ) , 0, ;
8
1 (2 )arcsin , 0, ;
4
b
Int r z d z
b r z r b
bb r b b r z r b
r
β β β ≠
π −= = ≤
− + − = >
∫
-
5 0
0
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
( , , ) e sin( ) ( )
2 , 0;
( ) ( ) ( ) ( )
1 , 0, ;
0, 0, ;
zInt r z b b J r d
bz z
b r z b r z b b r z b r z
z r b
b r
z r b
∞
ξ= ξ ξ ξ =
≠
+ + + − + − + + − +
= = <
−
= >
∫
5
0
-
6 02
0 2 2
( , , ) , 0;
sin( ) cos( )( , , ) e ( )
, 0, ;
0, 0, ;
b
z
Int r z d z
b b bInt r z b J r d
b r z r b
z r b
∞
ξ
β β β ≠
ξ − ξ ξ = ξ ξ =
ξ
− = ≤
= >
∫
∫
- 1
7 2
0
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
sin( ) ( )( , , ) e
1 1 ( ) 4 ( )
2 2
( ) 4 ( )
2 ( ) 4 ( )1 arctg
2 2 ( ) 4 ( )
z b J rInt r z b d
r
zb z z b r z b z b r
r
b z b r z b z b r
b z b r z b z b r
z z b r z b z b r
∞
ξ ξ ξ
= ξ =
ξ
− + − + + − − + +
+ − + + + − + +
+ − + + − − + = +
+ − + + + − +
∫
2 2
2 2 2
, 0;
, 0, ;
4
1 arctg , 0, ;
22
z
z r b
b br b z r b
r r b
≠
π
= <
− + = > −
- 1
8 4
0
sin( ) cos( ) ( )( , , ) e z b b b J rInt r z b d
r
∞
ξ ξ − ξ ξ ξ
= ξ =
ξ
∫
74
7
0
2 2
2 2 2 2 2 2 4
2
( , , ) , 0;
(4 ) , 0, ;
32
1 (2 ) (4 )arcsin , 0, ;
16
b
Int r z d z
b r z r b
bb b r r b b r r z r b
rr
β β β ≠
π −= = ≤
+ − + − = >
∫
- 1
9
0
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
2
sin( ) ( )( , , ) e
1 1 ( ) 4 ( ) , 0;
2
1 , 0, ;
, 0, ;
z b J rInt r z b d
r
b z b r z b z b r z
r
z r b
b b r
b z r b
r
∞
ξ ξ ξ
= ξ =
ξ
− − + + − − + ≠
= = <
+ −
= >
∫
- 1
10 3
0
9
0
2 2 2 2
2 2
3
2
sin( ) cos( ) ( )( , , ) e
( , , ) , 0;
1 1 2 , 0, ;
3
, 0, ;
3
z
b
b b b J rInt r z b d
r
Int r z d z
b r b b r z r b
b b r
b z r b
r
∞
ξ ξ − ξ ξ ξ
= ξ =
ξ
β β β ≠
= − + − = ≤
+ −
= >
∫
∫
Contact strength. The obtained closed-form solution can be useful for analyzing
the assessment of the contacting couple strength. To estimate the strength of a system
of two mated elastic half-spaces allowing for unevenness of their boundaries, let us use
the classical criteria of fracture: the criterion of maximal principle stresses and the
criterion of maximal shear stresses [7].
Fig. 2. Principle stress, 3
110 ⋅ σ . I – compressive stress zone; II – tensile stress zone.
75
Fig. 3. Principle stress, 3
210 ⋅σ .
At first the stress fields in contacting bodies are analyzed. Without loss of gene-
rality the state of solid 2, regarding solid 1 as a counterpart in the contacting couple is
studied. Figs. 2–4 represent the distributions of the principle stresses σ1, σ2, σ3 (σ1 > σ2 >
> σ3). The numerical analysis has been carried out for various parameters, accounting
different values of external load, however the given figures show the results for the
threshold external pressure pthreshold. It is motivated by the distinguished features of the
stress state in this case. All the calculations were performed for the dimensionless
variables: / , / , / , / , /a a b r r b z z b p p m M= = = = σ = σ .
Fig. 4. Principle stress, 3
310 ⋅σ .
It is worth noting from Fig. 2 that
there are zones within the contacting
couple under compression where the stress
σ1 becomes tensile. This effect is caused
by the existence of the local geometric
excitation in one of the surfaces of conju-
gate solids. The stress σ2 is negligibly small
in the whole solid except of the defect
vicinity. The principle stress σ3 is com-
pressive within the whole body. By obser-
ving principle stresses in Figs. 2–4 it is
possible to see that all quantities σ1, σ2, σ3
reach their extreme values at the contact
interface z = 0. That is why let us turn to
Fig. 5. Normal contact stress distribution
zzσ at the contact interface.
76
a complete analysis of stresses on this plane.
The maximal compressive stresses. Fig. 5 shows the distributions of contact nor-
mal stresses at the boundary z = 0 for five cases of the radius of the gap. The contact
pressure reaches its maximum exactly at 1r = , i.e. r b= . According to the criteria of
maximal principle stresses it is concluded that cracking of materials caused by com-
pressive stresses initiates in the vicinity of the recess edge.
The maximal tensile stresses. Fig. 6 demonstrates distributions of radial rrσ and
circular θθσ stresses at the contact interface. It is seen that the stresses rrσ and θθσ
are: (i) tensile, (ii) constant and (iii) equal to each other within the gap faces, deter-
mined using the applied pressure and mechanical properties of the solids as follows:
( )( ) ( ,0) ( ,0) (1 2 ) 2, 0ii
rr ir r p r aθθσ = σ = + ν < < .
Fig. 6. Distribution of stresses rrσ and θθσ at the contact interface.
Thus, the cracking can be initiated by tensile stresses. The most dangerous region
is the gap. Moreover, the possibilities of cracks initiating along radial and circular
directions are equal.
The maximal shear stresses. The distribution of maximal shear stress maxτ ,
defined as max 1 3( ) / 2τ = σ − σ is presented in Fig. 7. As one can see, the extreme value
arises in the interface plane 0z = at 1r = . So, according to the criterion of maximal
shear stresses, which usually is used for assessment of plastic zones initiating, the most
dangerous zone is the vicinity of the recess edge.
Fig. 7. Maximal shear stress, 3
max10 ⋅ τ .
77
CONCLUSIONS
The found closed-form solution to the contact problem serves as a theoretical
basis for the analysis of strength of the contacting couple with a small surface recess.
The analysis has been carried out by utilizing classical fracture criteria, namely the
criterion of maximal principle stresses and the criterion of maximal shear stresses.
The cracking of the material of the mated solids can be caused both by compres-
sive and tensile stresses. In a former case the most possible region where the cracks can
be initiated is the vicinity of the recess edge. The compressive stresses reach their
extreme value at the contact interface at the edge of the recess. On the other hand, due
to the defect of geometrical surface structure the tensile stresses within the solids arose.
The stresses σrr and σθθ, being tensile in the vicinity of the gap, reach their maximum
value at the gap faces, where they are constant and equal to each other. The magnitude
of the maximum tensile stress depends on Poisson’s ratio of the material and is in the
range from 50% to 100% of the applied load at infinity. Two directions of cracking
along the radial and circular co-ordinate lines are equally possible.
According to the criterion of the maximal shear stresses the most possible region
where plastic zones can be initiated is the vicinity of the recess edge.
РЕЗЮМЕ. Проаналізовано напружено-деформований стан контактної пари з двох
ізотропних півбезмежних тіл, одне з яких має малу гладку виїмку. На підставі класичних
критеріїв руйнування, а саме, критерію максимальних головних напружень та критерію
максимальних дотичних напружень визначено найвірогідніші області зародження тріщин
та області появи пластичних зон. Встановлено, що крихке руйнування може бути ініційо-
ване напруженнями розтягу, що виникають в тілах внаслідок поверхневої неоднорідності,
а також внаслідок напружень стиску. Для розглянутої у роботі форми виїмки максимальні
значення головних напружень та максимальних дотичних напружень досягаються на по-
верхні контакту, що свідчить про поверхневе руйнування тіл.
РЕЗЮМЕ. Проанализирован напряженно-деформируемое состояние контактной па-
ры из двух изотропных полубесконечных тел, одно из которых имеет локальную гладкую
выемку. На основании классических критериев разрушения, а именно, критерии макси-
мальных главных напряжений и максимальных касательных напряжений, определены
наиболее вероятные области зарождения трещин и области появления пластичных зон.
Установлено, что хрупкое разрушение может быть вызвано как сжимающими напряже-
ниями, так и растягивающими напряжениями, которые возникают вследствие дефекта
геометрической поверхностной структуры. Для рассмотренной в работе формы выемки
максимальные значения главных напряжений и максимальных касательных напряжений
достигаются на поверхности контакта, что свидетельствует о процессе поверхностного
разрушения тел.
1. Monastyrskyy B. and Kaczyński A. Contact interaction of two elastic half-spaces with a
circular recess // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2010. – 46, № 3. – P. 47–56.
2. Johnson K. L. Contact Mechanics. – Oxford University Press, Oxford: 1985.
3. Колесников Ю. В., Морозов Е. М. Механика контактного взаимодействия. – М: Наука,
1989 – 224 с.
4. Kryshtafovych A. and Martynyak R. Strength of a system of mated anisotropic half-planes
with surface recesses // Int. J. Eng. Sci. – 2001. – 39. – P. 403–413.
5. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.
– М.: Наука, 1971. – 1108 с.
6. Прудников А. П., Брычков Ю. Л., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные
функции. – М.: Наука, 1983. – 752 с.
7. Божидарник В. В., Сулим Г. Т. Елементи теорії пластичності та міцності. Т. І і ІІ.
– Львів: Світ, 1999. – І – 532 с.; ІІ – 418 с.
Одержано 27.10.2009
|