Kirchhoff and electron curvature indexes for SiC nanoclusters

To characterize carborundum nanoclusters (nano-SiC) we employ the topological Kirchhoff index and average energy of molecular graphs. Additionally, electron-kinematic indexes which reflect an average curvature of electron paths in molecule, are invoked. The main polytypes, namely, 3C-SiC and 2pH-SiC...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Functional Materials
Date:2017
Main Author: Luzanov, A.V.
Format: Article
Language:English
Published: НТК «Інститут монокристалів» НАН України 2017
Subjects:
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/136807
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Kirchhoff and electron curvature indexes for SiC nanoclusters / A.V. Luzanov // Functional Materials. — 2017. — Т. 24, № 3. — С. 434-441. — Бібліогр.: 35 назв. — англ.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-136807
record_format dspace
spelling Luzanov, A.V.
2018-06-16T16:34:54Z
2018-06-16T16:34:54Z
2017
Kirchhoff and electron curvature indexes for SiC nanoclusters / A.V. Luzanov // Functional Materials. — 2017. — Т. 24, № 3. — С. 434-441. — Бібліогр.: 35 назв. — англ.
1027-5495
DOI: https://doi.org/10.15407/fm24.03.434
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/136807
To characterize carborundum nanoclusters (nano-SiC) we employ the topological Kirchhoff index and average energy of molecular graphs. Additionally, electron-kinematic indexes which reflect an average curvature of electron paths in molecule, are invoked. The main polytypes, namely, 3C-SiC and 2pH-SiC, p = 1÷4, are investigated. It is established that the topological indexes make only a slight distinction between nano-SiC of the different polytypes. Quite the opposite, the electron curvature indexes provide a clear discrimination of the polytypes. In particular, the curvature indexes are ordered just in the same manner as the hexagonality measure known for such polytypes. For the electron curvatures, an effective algorithm is elaborated, allowing us to analyze nano-SiC with 10⁴ and more atoms even by using laptops.
en
НТК «Інститут монокристалів» НАН України
Functional Materials
Modeling and simulation
Kirchhoff and electron curvature indexes for SiC nanoclusters
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Kirchhoff and electron curvature indexes for SiC nanoclusters
spellingShingle Kirchhoff and electron curvature indexes for SiC nanoclusters
Luzanov, A.V.
Modeling and simulation
title_short Kirchhoff and electron curvature indexes for SiC nanoclusters
title_full Kirchhoff and electron curvature indexes for SiC nanoclusters
title_fullStr Kirchhoff and electron curvature indexes for SiC nanoclusters
title_full_unstemmed Kirchhoff and electron curvature indexes for SiC nanoclusters
title_sort kirchhoff and electron curvature indexes for sic nanoclusters
author Luzanov, A.V.
author_facet Luzanov, A.V.
topic Modeling and simulation
topic_facet Modeling and simulation
publishDate 2017
language English
container_title Functional Materials
publisher НТК «Інститут монокристалів» НАН України
format Article
description To characterize carborundum nanoclusters (nano-SiC) we employ the topological Kirchhoff index and average energy of molecular graphs. Additionally, electron-kinematic indexes which reflect an average curvature of electron paths in molecule, are invoked. The main polytypes, namely, 3C-SiC and 2pH-SiC, p = 1÷4, are investigated. It is established that the topological indexes make only a slight distinction between nano-SiC of the different polytypes. Quite the opposite, the electron curvature indexes provide a clear discrimination of the polytypes. In particular, the curvature indexes are ordered just in the same manner as the hexagonality measure known for such polytypes. For the electron curvatures, an effective algorithm is elaborated, allowing us to analyze nano-SiC with 10⁴ and more atoms even by using laptops.
issn 1027-5495
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/136807
citation_txt Kirchhoff and electron curvature indexes for SiC nanoclusters / A.V. Luzanov // Functional Materials. — 2017. — Т. 24, № 3. — С. 434-441. — Бібліогр.: 35 назв. — англ.
work_keys_str_mv AT luzanovav kirchhoffandelectroncurvatureindexesforsicnanoclusters
first_indexed 2025-11-26T01:42:53Z
last_indexed 2025-11-26T01:42:53Z
_version_ 1850605474899034112
fulltext ���������� ��� ����� ����� ������ ������ �������� �� ������ ��������� ��� ������� � �� ����� � �������� �������� ���� �� �� ��� �� � �� �� ��� � �� �� �� �� �� ����� !� ���� �� ��� �������� � �� � ���� �� ������� � � ������ �� � ������ �� �� ���������� � ����� �� ������� ��� � ���� ���� �� � ��� �� ��� � ��� �� ��� � ��� ������� ��� � ������ � ������! � ��� � �� � � � �� �� � �� �� �� �� ��� � ���� � �� � ����� ����� � ��� � � �� ���! �� �� �� � ������� � ��� �� "����� ��� #������ � $ %÷& �� �� �� ��� �� '� � ����� �� � ���� �� ������� ��� �� � � ��! ���� � �� ��� � �� ��� �� � �� � �������� �� �� � �� � �� ������� �� ( � �� ����� � �� � ����� � ���� � �� � � ���� � � �� �� � ��� � ��� �� �� �� ������� �� '� ���� � ��� �� � ���� � �� � � �� ��� � � ) �� � �� ��� ���� � �� �� � ������� �� � �� � !���� ��� � �� ������� �� *�� �� � ����� � ���� � � �� �� �� � ����� ��� � ����� ��� � ����� �� � �� ������ �������� � �� %+� ��� ��� ����� � � �� � �� �������� ��������, ������ �� � ������� � ������� ��� �� � � - ��� � ! � ��� �� � � �� ���� � ����� � � ���� � � ����!� � ������� ��� ./0 12324563782�77 929:4/2;563:< 423=:3>9�2 �929:����� 7;?:/�8:<29@ 5:?:/:�7� �6;476 79�64;@ A731�:B2 7 ;36�96C D963�77 �32B2� A 92�6E> 292/78> ?37</6�69@ 524F6 D/6453:9�4796E257�6;476 79�64;@ :532F2�G76 ;36�9�� 437<789> D/6453:9� 9@1 ?>56C < E:/64>/6� H8>�69@ 929:4/2;563@ :;9:<9@1 ?:/757?:< 2 7E699: "����� 7 #������ ��6 � $ %÷&� I;529:</69: �5: 5:?:/:�7�6;476 79�64;@ ?37<:�05 4 ;/2=:E> �7;� 437E7973:<297� 929:���� 328/7�9@1 ?:/757?:<� J2?3:57< D/6453:9920 437<7892 :=6;� ?6�7<265 �654:6 �7;437E7973:<2976 ?:/757?:<� K �2;59:;57 79�64;@ 437<789@ >?:30�:� �7<2�5;0 5:�9: 5247E F6 :=328:E 424 ;56?69� �64;2�:92/�9:;57 ;::5<65;5<>�G71 ?:/7� 57?:<� ./0 929:���� 32832=:529 DBB6457<9@C 2/�:375E 32;�652 D/6453:99@1 437<789 ?:8<:/0�G7C 292/7873:<25� ;7;56E@ ; %+� 7 =:/��6 25:E:< �2F6 ; ?:E:G�� 9:>5=>42� ��� � �������� �� ������� �� ����� � ��� � ���� ����� ���� �������� �� L:= 81232456378><257 929:4/2;5637 423=:3>9�> �929:����� <74:37;5:<>�5�;0 5:� ?:/:� �9 9�64;7 A 31�:B2 52 ;636�9�:M 6963� M �32B2� .: 92�:�: 292/ 8> 82/>�69: 524:F 6/6453:9�4 96E257�9 9�64;7 04 < �:=32F2�5� ;636�9� 437<79> 6/6453:9971 �/01 < > E:/64>/21� K7<�69: 929:4/2;5637 :;9:<971 ?:/ 57? < 2 ;2E6 "����� 52 #������ �6 � $ %÷&� K;529:</69: G: 5:?:/:� �9 9�64;7 ?378<:�05� �: ;/2=4:�: 3:8� /6990 4/2;563 < 929:���� 3 8971 ?:/ 57? <� J2<?247 6/6453:992 437<792 82=68?6� �>N � 54> �7;437E 92� � ?:/ 57? <� O:436E2 9�64;7 437<797 >?:30�4:<29 524 ;2E: 04 E 32 �64;2�:92/�9:;5 < �?:< �971 ?:/ 57? <� P5:;:<9: 929:���� 3:83:=/69: 6B6457<� 97C 2/�:375E 3:8321>94> 6/6453:9971 437<79 G: �:8<:/0N 82 �:?:E:�:� 92< 5� 9:>5� =>42 292/ 8><257 ;7;56E7 8 %+� 52 = /��6 25:E <� �� ����� ����� ��������� �� � ������������� �������� ��� � ��������� ����� � ������������ � �� ���� �������� �� �������� ���� �� ���� ���� ��� � ��������� � ���������� ������� ������ � � ������� � �� ������ ��� � �� ���� ������� ��� !" #� �� ��� � �� � � ���� ����� �$� %!� � ������� ������ ��� ����� ���������� ����������� ��� �� ����� �� �� 'QQR %+#S�T&UT� * ��� ���� V�� � ��� #& R��" �#+%S� �� &"&�&&%� �� ,�����,WW�� ����W%+�%T&+SW��#&�+"�&"& X #+%S Y Q�Z ['��� � � ��� Q ��� Z�������[ � � ���������� ���������� ��� � ��� �������� ����� �� ��� ������� � ����� ������ � � ������ �� ������������ &� ���� �� ��� � ���� ����������� �� �� ����� ����� �'�(!" )� ������ �� �������� �� � � ������ ����� ���� ������� ����� � �� �������� �� ���� ��� ��� ���� � ���� ������ �� ��� ���� ���� ���������� � � ��������� ����� � ������ �� � �� ���������� �� �������� ���������� � ������������ ����������" )������ ����� �� ���� �� � *%+ ����������� ����� ����������� �� � ��������� � � ����� � ���� � ���� �"(* �� �*!�" )� ��� � ����� � ���� �� �� � �� ���� ���� �������� � � �� ���� ��� ��� � ������ �,��� ��&����� � ��� ��� � ��������� �� ����� ��� � ����" -�� ���� ��� � �� ������ ������ ����� �� � �������� ����� ������� � ������" .����������� �� ������/ ��������� ������ � ���� �� ������� �� ���� � � �� ���� � ��� ��� �� ���������" 0 ������ ��� ������� ��� ������ ����� �� ��� ������ �� �� �� ���� � ���" 0������� ���� �� ��� � �� � ������ ��������� ��� ����� �� �������� �� ��� �� �������1� � ������������ ���� �������� �� ����� ��� ���� �� ����� �� ����� �� ������ � ��� ������� ���� �� ���� � ��� �������" 2���� ����� �������� ����� �� ���� ��� ������ �� &���� ���������� ���� ���� �� � ���� �� �� �� ��� � �� �� &� ��� ������� ����� � �������� � � ����� � ������/ �� ���� ���" 3��� ���������� �� ������ �� ��� ������� � ��� �� ����� �� ������� ���� �� ������������������ � �� � �� ����1 ���� � ����� � ��� � ����������" .�� ���� �� �� � ,� ����� ��� �� ���� � ����� ����� � ����/ ��� �� 4������ � � ���� � ��� ���� ��� &� ���� ��������� �� � �� ��������� � ��� �� ���������� ���� ����� ����� �� � ����� ���������� �� &� ��� ���� ������� � ������/��� ��+� ��!" # �������� � �� �� ���� ���������� �� �� � ��� ����� ������ ���� ���� �� � ������ � � ����� ��� ������ �� ��� ���� ������ ��*!" � ��������� ����������� �� �� )� ���� ������� �� ���� ��� ����� �� �� �������� ������ �� ������ ����� � ��� ��� � 4������ ����/" 5����� �� � ����� �� � �� ����� ���� �� ��������� � ������� �� ������� � ���������� �� � �$!� �� � �� ������� � ���� �� ����� ��� �� ��� �� ��� ��������� ���� �� �� ��� ������� � 6������ � ��� ���� ����6 � ��� �� ��� ���� ���� 4������ ����/ ����� �"�"� ��%� �'!�" 7�� ������ ���� � 8 �� �� � � ���/ �� ���� �� ���� ������� ��9!� �� ���� �� ���� ��� ��� � ��1�� ������ � �������� ������,� ��� �� 4������ " 7�� � ���� ��%� �'� �:! � � � ���� ��� ����� � �������� �� ���� ����" .�� ��� ������ ������� � ��� 4������ ����/ ������ ��� ��(!" 5������ �������� �� � ���������� � ����� ����� � ������� �� � ���� ���������� �� ���������� � � ,��� �� ������ � � �� ��� ����� � ��� ��� � ������ � ��������� � ����� ���������� ������� � ���� � ������ � ����� ���"�" #� ��� � �� ����� ����� � ��������� � �������� ������� ��� ��� ������ ���� � 8 �� �� �� ��� ��� ���������� �� � ���� � ��� � ������ � �� �� �� �������� �� ��� � ���� � ������� ��������� ������ ��� � ���� ; ���� � ����� �*+�**!" < ����� �� ��� ������ ���� � ������� �� ��������� ��� �� �� �� �� ����� � ���/ ���� ���������� � � ���/� � ��� �� �� �� ������, �� &�������" 5 ����� �� ��� ����� �� �� ���� � ����� ����������� ���� �� ��� �×� �&� �� � ���/ ����� ����� �� ������� �� (����)�� = ��� � � = � ��� ����� � = � ����� ��� �� � � �� � �� ��� ��������� �����" 7�� ��� � 0��,�� � ���/ �� ���� � ���� ����" 3������� ���� ���� � �� ��� ������ ���� � 8 �� �� � � � ���� � � ���/ �������� � ��� ��� ��� = ���δ�� − (����)��� �*� ����� ��� = ∑( � ����)�� � � �� ��� ���� ������ ���� 6� �����6�" 7�� �� ��� � � ��� ���� ��� ��� ���� 8 �� �� � � ������ �� ������ ��9!" )� � �� ����� �� � �� �������� ������� ������ ���� �/ ����� ������ � � ���/ ��� ��� �� � � ������ 1��� ������ ��� ��� �� ��� ������� ��������> ∑��� � ? + �� � �� � " )� ��������� ��� ��������� � 4������ ����/ ����� �� ��� ������� � ���� �� ����� ��� ������ � ��������� ���� � ����� ����� �� ��� ���� ����� � ����" 8�� �� �� ��� ��� 8 �� �� � �������� � ����� ���� ��� @µ�� µ�� """� µ� A � �� ���1��� ������ ���� � � ��� � ��� µ� �� �/�������" 7���� �� �� ����� ���� �� ��� � ����� �������� ��" .�� ��� ��������� �� ���� ���� ��� �� �� ����� �� �� � ��� ���,��� �/�������� �� ��� ������� � ��� ��� 4������ ����/ ����� �� �� �� ��� ����� �� ���� = (� ⁄ �)∑� �≤�≤�−� ⁄ µ� " �$� !�"�#�$���% & '���((�)) ��* �������� ���%����� ��� ���������� ���������� ��� � ��� � + ��� �, �� � ���� �� ����� � &� ����� �� ���� �� �**! � � �� ��� ��� � �� ��� ��������� �� ���� � ��� � ������������ � ��� ������, ����� �����" #������� ���� ����������,� ��������� ���� � ���� � � �� � ��� �� 4������ ������ � �������� ���� �� ������ � ��� ��" 5 ����� ������ = ∑��� �<� � ����� &� ������� ��� �� �/�������� �/������ ���� �� ����� � ������������� ��� �� � � �� ��� ��� � ��� � ������ ������ ���� ������� � ��� ���� ����� ������� ����� � �� �" �� � ���� �� �� ���� �� ����������� ������������� #� ���������� ��� �������� ���� ���� ��� ��/�� ���� �������� �� ��������� ���� �� � *+ �� �� �� ��+� ��!� ��� ����� �� �� � �� ���� ������� �� �� �/ ����� � ����� � �����" #� �� ���� ��� � ���� � ��������� � ���������� �� �� �� ���� �/ ���� � ��� ���� ���� � ����� �� ��� ��������� � ��� ��� ���������� ����/�� ����" .�������� ���!�� �� �/����� ��� ��� �� ���� ���� ����/ �������/� �� ���� ��� ���" B� ��� �� ������� ������ ����� ������/ �� ��� � ���/ �� �� � ��� �&� ��� ���� � ��� ���������� ���� ���� ���� ��� C�∧�C� ���� � ����� ���� � �������� ���� ���� �� � ≡ � . ��� ���� ����� ����" D� ���� ��� ����,� ���������� ���� ���� �� � ��������� ����� �� �������� �� ��� ������������ ���� ����� ���� � ≡ � .. " #� ��� � �� ��� � �� � 4������ ����/ �$�� �� ���� �� � ���� ��� ��� �� � ���� � ���� �����" 7��� �� ������ ��� �������� ���� ���� ����/��> � = 7�C�∧�C� ⁄ � ⁄ �� �%� �� ���� = 7�C�∧��� ⁄ � ⁄ �" �'� )� �� ������ ��� ���� ���� ��� ��� ����� ��� �&�� ���� ����� ���� ���� ����/�� �� ���� ���� ��� �� � ������ �� ����������� � ��� �������� ������� �� � ���� � ������� � �� ��� ����� ���� �* !" .������� �� �� ���� �������� �� ���� ����� � ���� ��� ��� � ��� ������ ���� � ����� �� ���" )� ��� ��������� � ����/�� � ���� �� ��� ������� � ,���� ���� ��+� ��!� �� ������ � ������������ 0 ������� � � � ���/ ���� �� ����� � ���/ ���> = ����" �9� 7��� ��� �������� - ����� � ������ ������ �� �� � �� ����� ���� ����� ����� ���� ���������� ���� ����������� �� � �� �� �� �������� �� ��� �� �� �� � ���/ ���� ��� ����� ���� ��� 0 ������� �> � = �� − �� � � = � − � � � = � − ��� �:� ����� �� �� ��� � ���/ � �������� ���� ���E � �������� �� �� ��� �� ���� ���� �� ������� �� F&" �:�" G ���/ �� �� ������ ����� �� �� �� ��� � � ���/ � ��� ��� � - ����� � ������� ��� �� � �� ����� ����� ��?�� *�"""��> (��)�� = �� δ�� �(� � �� ���� ��� �� ��� ��� �*$!�" )� �� ����� ��������� �� � �������� �� ��+� ��!� ��� ���������� ���� ���� ����/�� �� ���� ����� ���� �� &� ��� ���� �������� � ������/� ��� � ��� ������� ������� � �������" )� � �� ����� �� � �� ���� �� ���� ������� � ��� ,���� ��� ������ �� � ���� � �������� ����� ���� �� � ���������� ��� ��� �� �������� ���� �� ��������� ����" #� �����&������ ���� � � �� ��� �� ��� �������� ��� �������� ���� ���� ��� ��� �� ���� � ? ���� ? +" �� ���� �������� ������ B� ��� ��������� ��� ������� ��� ���� ����� �� �� ������� �� �� ����� � ��� � �� ������� � �����" 7���� �� ��� � �������� ����� ������� �� ��� ���� ������ �� ��� ���������" )� � ���� ��� ��������� �� ��� ��� �� �� �� ������� ���� ��� �� � ������> ����� �� ��� ����� ��������� �� ������ �� �� �������� �� ��� ��/ ��� � ���������" )� ��� ����� � ��� � ���������� �� � �� ���������� ��������� �� � �� ��/ ��� � �� ��������� ���� � ? *� $� ' �� :" 7������� ��� ��� � ��� �� ������ � ��� ��1�� ����� �������� ����� �� � ��� �� &���� �� ������ �������� � ���, ��� ���������" .�� ������� ������ �� � �� ����� ��� ���� ������� � ��� � ��� ��������� � ��������� ����� ���� �� ��� ������/ #" )� �� ���� � ������ ������ �� �� �������� �� �� �� �� ����� ������� �� ��" 5 ����� �� �������� � �� ��������� �� � ,� ��� � �� ���� ������ �� → ��H� ����� � ? $" '+* � �� ��� � ����� ����� �� � ��� ����� �������� �����" 7��� �� ���� � ���� ����/�� ������ ���� � ��� �� ����� � � �������" !�"�#�$���% & '���((�)) ��* �������� ���%����� ��� � , ���������� ���������� ��� � ��� D� ��� ����� �� ���� �������� ��� ���� ��� ���� ������ �� ���� ���� ����/�� �� ����� ��� ��� ����� �������� � � ������� ��� � ������ ���� ��� ��� ������ �� #������/ B�" 7�� ����� ����� �� ���� � ��� ������ � ����� ���� ���� ������ G#70FG#7)-# %"+* ����������� �*%!" 7�� ������ ����� �� ��� ���� ������� � �������� ������ ���� ���� ����� �� ������ � ����� �� �� ���� � ��� ��������� ���� ��� ����� �� �� ���� ����� ���� ����� �� ���,��� � � ����" �� �� ���� ��� ����������� �������� D� ��� �������� ��� ������� � ����� ��� ���� �� ���� ������� �� ��� � �� ������� � ��������" D� ���, ���� � ��� ��� ���� � � �� ��� 4������ ����/ ���� �.��" ��" D� � � ���� �������� �� .��" � �� � �� ����� �������� ������ ����/ ���� � ,�� � �� ��� ����� �� ���� ���� �� ���� �� � ����� � ��� ���� ���������" G��� ����������� �� ��� ������� �� ����������������� ���� ���� �� ����� �.��" *�" B��� ���� ���� ����/��� � �� ����� ������� ��� � ��������� ���� � ��� � ������ �� � ���������� �� ������� ���� � ��� ���������� ��������" 5 ����� �� ��� � �� � ���� ���� ����/ � ��� �������� ��&����� �� ��������> �� �! < ��:�! < ��'�! < ��$�! < ��*�! ��+� �� ������������� � ���� � ������ � � � ����� ���� F&" �#%� �� #������/ #�" #�� ���� ��� � �� �� � ��� �� ��� ���������� ���� ���� ����" D� ��� � �� �� � �� �� �� ������� � ��� � ���� � � ����� �������� � �� ��� ������ � ���� ��� ���� ���� ��� ��/��" )������������� F&" ��+� �� ��������� ��� � �� ��&����� ����� ��� ���� ���� ��/ ��� ���� �� ���� � ����� ��� ���� �� ���� * �� �*!�" 7�� ,���� ��&����� �� � ��� I� �� � ��� ��� �� �! = +� ��:�! = *%� ��'�! = " � ��$�! = %+� ��*�! = �++" ���� 3��� ������ � ����������� �� � ������ �� ������ � � ∆ε� �� ������� � �� F&�" ��+� �� ����" 7�� �/�������� � ∆ε � ���� �� ��� ���, ��� �� � ������ �*'!> ∆ε���! = *" (� ∆ε�'�! = "+%� ∆ε���! = "*'� ∆ε�*�! = " " ��*� .�� � �� ����� �������������� ����� ���� ��� ���������� �� ��� ��� ����� � ������� ���� 7 ��� % �� ��� ������ ������ �*9! ����� ��������� � � ���� � ∆ε �� ���� �������" 0������� �� �� ,���� ��� ������� ���� � �������� ������ ���� ∆ε ��" ��/ ��� ���� �*:!" 7���� �� ����� � � ���� ��������� ��� ������ �*'� *(! ���� ��������� ����������� ����� ��� �� ������ �� ���� ����� � ��� ���� � ∆ε �� ��������� �������� �������" 7�� ������� �� ��� ������ �� �� �� ������ � ����� �� ���� ���� � �� �� ����� ������ ���� �� � ,�� ���� ������ �� ��" 3��������� ��� ������������������ � ����� ��� ����� ���� � � ������� � ������� � ����� �� ���� �������" .�� ���� ���� ��� �������� 4������ ����/�� ���� �� ���� ������ ��� ���� ��� ��� ��� ���" 3� �� � � ������ ��� �/���� ��� .��" � �� � ����� �������� ���� ��� �� ������ ���� ������ �� �� �������� ��� �� � ��/ ��� � � ������� * �� %� \���� �� �� � ������� �� � ��� �� ���� � ���� � ���� ����� � � � ��� ���� � ���� �������� � ��� � � ������� �, "� ��� #� ��� &� � � ]� ��� ��� ^� �+�� * �� #� \���� �� � ���� � �� � � ��� ���� � � ���� � ���� ����� � � � ��� ���� ����� �������� � ��� � � ������� �, "� ��� #� ��� &� � � ]� ��� ��� ^� �+�� !�"�#�$���% & '���((�)) ��* �������� ���%����� ��� ���������� ���������� ��� � ��� � ��� ���������" #� ������ �� ��� ��������� �� � ��� �� ���� ��� ���� ���� ����/� ��� ��� ��� �� � �������� �������� �� ��� ���� ���, ���������� �� ���� ������ ��� ���� ������� �� ����� ������ ����� �&� �" 7���� ������� ��� �� ���� � ��� � ��� �������� ���� ���� �� ��� ����� ��� �� ����� �� ���� ���� �� ���� � ��� � ������ � � ���� �� ���� ��������" �� ���������� ����� �� ����� ������ ����� 3� �� � ���������� �� ����������� ������ �� ���� �� ����� ��� �� �� � ���������� � ��� �� ����� ��������� ��� �� �� ��� �� �� ��� � �� ��������� � �� ���������� �� � �� ���������" )� ���� � �� �� ���� ����,� � ���� ���� � &� ������ ��������� � ������ ��� �� ��� ����� ����� ����� �� ��&������ ���� �� ��� �������� ������� � �� ��� � +!" 7� � ���� �� ���� �� ���� ������ �� ��� �� ��� ���� ������ � ���� �� ,�� �� ����� �������E �� �� ���� �� �������� �� � ��� 0��,�� π��������� ��� ���� � �� ���� ��� �� ��� #������/ B�" 7�� ������� ��� ���� �� � ���������� ���� *9$ �� *9% ���� �� ����� �� 7 ��� �" .�� ������������ �� ��� 7 ��� �� �������� �� ����� �� ��� � �� ����� � �� ������������� ��/ ��� ���� ��&����� ����" )� ��� ���� ������ � 7 ��� � �� ����� ��� ��� �������� � �� ��� ����� ���� � ���� ���� � ������,� ��������� � ��� ���������� �������" D� ��� �� � ������ ��������� � ��� ��/�� ���� �� ���� � ���� ������� ��� � ��������� ���� ������� �� �� � ����������" #� ��� � �� ����� ���������,���� ��� ��� ��/��� � �� ������ ��� ����� ������� ��� ������� ����� �� ���������� ���� ��� ��/ ��� ���� ������� �� �" !� ����� ����� D� ������ �� ���� � ��� �� &� ��� �� � ���� ������� ����� ���� � ���� �� ����� ������������� ���� �� �� ��������� �� ��� �������� ����������" )� �� ����� ��� ����� �� �� � ��������� � � ����� ��������� �� ���� ����� � �� �� ����� �� �������� J � �� �� ������� ����� ���� �� ��� ����� �� ���� ����� � ������������" 3�� �� �� ��� ������ � ���� �� ������ � ������� �� ������ ����� ��� ��� ������� ���� �� �� �������� ������ ���� ���� �� ����������� �������� � �� ����� ���������" )� ��� ������� � ��� �� � �� ��� � ��� ����� � �����������> ��� ������� ���� � ��������� � ��� ������������� ���� �� �� ��� ���������,���� ��� ����/ ���� �� � ��� ��+� ��!�" D� �/������ �� � �� ��� ���� �������� ������� ��������� ��� �� ������������ 4������ ����/ ���� ����� �� � ������� �� ������/��� �� ����" 0��� ����� ��� ������ ����� ���� �� � �� ����� ���� ��� ����� ��� �������� � � �� ��� ��� ������������� ���� ����� ����" 7�� ��������� � � ����/ ����� �� ��� ��� �/��������� �� ��� ������������ ������� ��� ��/ ��� � � ������� ���� �� ������ ��� ������������� � ��� ��������� � � ���� �� ����� " -������������ ����� ��� ������������� ���� ����/�� ������ �� �� &���� � ��� ����� � � � �� ����� ���������� ��� ��������� ����� �� �� ����� ���� ���� ��� ������ ���� ���� � ��� �� ��� ��/ ��� ���� ������� ��" ��� �� �� � �� 7��� ���� ��� � � ��������� �� � �� �� ��� 2,� ��� � ���� � ���� � ��� ���� � ������� �;� �� 5�" .9 H�+9�*+�'�" 7�� ����� �� ��� �� �, �� �� K�"L"#"M��,�� �� �������� �� ����" ���� %� � ������� -��� ������� ��� � ��� .��� ��� � ���� � �� � � ' ��� '��� ��� ����� �������� �� ��� � � ������� �� '� ��� �� � ��� ��� � �� �� � ����� � ���� � ��� � ����� ��� �� ����� ����� � ��� �� ������ !�"�#�$���% & '���((�)) ��* �������� ���%����� ��� � / ���������� ���������� ��� � ��� "���� �� "# $ �� ��� �� ������ ��� �� �� �� � ��� �������� 0��� �� �������� ��� ������ ���� � ������ �� ����� �� ����� ��� � ���������� ���� � ��� � ��������" B� ��� ��� �������� ��� ������� �� ������� �� ��� ��� � ���� ��� � �� ����� ��������� � ��� ������������� ����� � � ����� � �" 7���� �� ������������ ������� ����������� ��� ,���� ����� �� ���� ���� ��� � � ����� �"�"� �����>HH����� ��"������" �" �H���� ��"������ �H� �����H����,H�$"����� ������ �� ����,��" .���� �� �������� ��� � ����� � ����� ����� �������� ����� �� ����� � �� ��� �����,���� ��� ������ � �����" 7�� ����� � � ��� � ��� ����� ��������� ���� �� ���� ����� � ��� ,���� � ����� �� �� �" 7�� ������������� ����� � � ��� ������� ��� �� �� �� ���������� ��� ����� �� ����� � ��� ��������� �� ��� ���� ������� �� � �� �" 7�� � ���� � � �� ������ �� ��� �������� - ����� � ��������� ����> � = � * (+����)� � = � * (�����)� � = � * (����+)� �#�� ����� ��� ����� � ����� ����� �� �� � ? $" '+* � �� ��� ����� ��������" #����������� � �� = �� � � = (� + � + �) ⁄ $" �#*� 7�� ������ ���, ����� � �� ����� �� ��� � �� ������ �� ��� �����" )� ��� � �� � ����� �������� �� � � �� � �� ���� ��� ��� ��� (�����) = ��� + �� + �� + ��� �# � �� (�����) = � � + �� + �� + ��� �#$� ����� ��� ������� �� �� ������� ������ ��� ������ ������ ����� ���������� �� �������� �� �� �� �" )� ��� ����� �� ������ ����� �� � �� ��������1� ����� � ������ ����� � � ��� ��� �� ����� ���������� ��� � �� �� � ��������� �� F&�" �# � �� �#$�� � ������> − ≤ ����� ≤ � �#%� ���� ����� ���� �� �������" 7��� �� �� �� � � ����� � ��������� � ��1� � ��� ����������� ������� �� �� ��� � �� ��/� �� �� � ��� ��� ������ � � ����� � � ������ �� � ���������� ����� ��� �� F&�" �#$���#%�" B�� ��� �� � �� ��� ���� �� ��� ������ ���� ���� � ����� �� ������� �������� �� F&" �#%�� � ? *�* N��� � �����" ;���� ���� �� � �� ����� �� ������� ����� � ���� �� ��� ��������� ����� �� ��� ��� � ������ � ����� �� ���� � = ����( + �)�" �#'� D��� �������� ��� � ������ �� ��� �� �� ����� ≤ '" 7�� �������� ���� ��� ���� ���� �� � ��� ��� ����� � � ����������" 7�� ���� ��� ����� ���� ����� ���� ������ G#70FG#7)-# %"* ����������� �*%!" 5�/�� �� ���� ��� � �� ��� ��� ��� � ������ �� ����� � � ��������� �� �� ���� ������ � ���������" )� �� ��� ������ ���� ����� �� �������� ��������� �� ��� � /�� � ��1� � ��� ��&����� ������� ��� ���� ���� ����� � �����" 7�� �/ ���� � ��� ��� ���� �� �� �������� �� ����� �� ����� �� 7 ��� � � ��� � �� ��/�" )������� ���� �� ��� �, �� � �� ��� ����� ��� � � ������� ���� ����� �� ���������� �� ���� ����� � �� ��� � �� ������ CC�� � �CC ? �√ H$ ��"::: � � � ? $" '+* ��" 5�� �� ������� ��� ����� � ��������� �� ��/ ��� � ���������" )� ���� � ��� ��� ������ ���� �� ��� ���� ������� �� � ��� ��� � = � * (��−√��+)� � = � * (��√ �+)� � = �(+�+��)� �#9� ���� � ����� ����� �� � ? "+9' �� �� � ? √�⁄�� � �!" .����������� ��� ���� O *� �� �� ���� ���� ����� � ��� ���� �� �� ���� � ��� ����� � � ���" 8�� �� ������ �� ����ν! ��� �������� ������ � ��� ν�� �� ��� �� ��� ��������� ����" 7��� � �� �ν! = �ν� + �ν� + �ν�� �#:� ����� (�ν�ν�ν) ≡ νν �#(� �� ������� ��� � ��� ν��� �� ��� �� ��� ��������� �� ��� ���� � ���" .�� ���� ���� �� ��� � �� � *����� ��������� ? � � � * � +�� �� �����! ? �� N *��H " 7�� ��� �� ��� ���� ���� ������� ν�������� � � �� ������ �� � �� *!E ����� ν�������� �� ���� ��� ���������� �� 7 ��� *" .�� ��� ���������� *������ ��������� �� ? �� *� � �� $�� �������� ��� � F&�" �# � �� �#$� �� � ��� ��� ��� (�����) = � �� �ν! + �� + �� + ���� � ≤ ν ≤ �� �#�+� � � (�����) �ν! = � �� (�����) �ν! + � : �" �#��� !�"�#�$���% & '���((�)) ��* �������� ���%����� ��� ���������� ���������� ��� � ��� � 0 .�� ��� ��� ���������� ��/ ��� � ���������� ��� ��������� ��� ����� �� � ���� ��� � �� ������ CC�� � �CC ? √�⁄� ? �":: '' �� �� �� ���� �����" "���� �� $# ��������� ���� ������� %& ���� %�������� �&�����& �� �������� D� �������� ��� ���� � ������ ���� ����� ����� � � ����� �� ��� �� ��� ��� ���� �� ��������� � �� ���� ���� ����/�� � � ������ �� ��� ����������" 7�� ,�� ��� � ��� ����������� �� ����� ��� ����� �������� � ������� �� &�������" #� ���� ,����� ��� ��� ����� � ����� �������� � ��� ,��� � ���� ������ �� ���� � � �� � �� ��� � ��� ���� ����� � � �� �� ���� �������� ���� ���� ���� � ��� ������ ���� ����� �� ���� ���� " 7�� �� �� � ���� ������ ����� �� ������� �������� �� � � $! �� � ���� ���� ����� ����" .��� ��� ����� �� ������� �� ���� � ,� ��� ����� �� ����� ������ ����� �� ���� ,���� ��� �� �� ���� � ���,� � -���� ���� 0 �� �� ������" F��������� ��� � ������� ��� ������,� �� ���� � ���� �������� ����" D� �������� �� �� �� ����,�� ���/ ���� ������ ���� � ��������� � � ���/ ��� �� ��� ��� ����� �� �� ������������� �� ��� ����� � ������> = ���� =    + �+ � �    " �B�� 0���� ����, � �� ���� � ���/� �� � �� ��� ? �� � � �� � �� �� ������������� ������ ��������� ��� ? +" 3����� �������� ��� ����� ��� �� � ������ � ? ������� ��� F&" �(� �� ����, �� ��� �� �"�"� � =    �∗ + � µ    � �B*� ����� �� ��� � � ������ � ����� ��������� � ���� � �� �°� �� ��� ���� �� ��� ���� ���� ����� �� ��� ������ ���� ������ ������� ������" 7�� ����,��� ��� � ��������� �B*� ����� � ���� �� ��� ���� � ������ ��� �� �� � ��� F&" �:�" )� ����� ��� �� F&�" �:�� �B��� �� �B*�� �������� � ������ �� �� �� ��������� ��� ����, ��������� � F&" �B��> � =    + �� + �� +    " �B � )� .���" �% �� ������ ��� ��� ��� � ��� ������ ��� ����� ����� �� ����� �� ��� ��� � � � G#70FG#7)-# %"*" )� ����� ��� ���� ��� ;���, ������ τ ���� � ���/ ������ ����� ��� �� ������� � ���/" G�������� �� * �� &� Z��� ��� ���� ��� � ��� � ���� � �� � '� * �� "� Z��� ��� ���� ��� � ��� �� �� � � �� ���� � �� ���� #� Z������������� � �������� � �� � ����� ν ��� � ������� ������� � #������ �� $ %÷&�� !�"�#�$���% & '���((�)) ��* �������� ���%����� ��� ��� ���������� ���������� ��� � ��� ������ � ������ � �� ���� �� ������ � ���� �� ��� ���� ���� �����E �� �� ������ � ≤ �H* �� �������" .�� ������������� �� ������� ��� ��� ���� �� �/�������� �� ��������� � ������ ���� � �� ��� �� ������� ��� � +!�" 7�� ���,� ��� �/�������� ������ ��� F&" �B��> ���� = 7�C����C ⁄ � = 7�(��+)� ⁄ � ⁄ �� �� ���� = (* ⁄ �)∑( �=� � λ�)� ⁄ �� �B$� ����� λ� �� ��� ��� � ������ ��� �������� � �� " 7�� � ������ ��� ���� �� ����� � �� ���� ������ ������ ����� ������ ��� 0��,�� ������ � � ���� �� ��� ���� �� 0 �� � %!" '��������� %� _�`�*�� a�`�b \���Z� 1��2�� 3����� 4��� �� U^" �#++]�� #� c�Z�* �� ��� \�� � V�� � ��� Y d � � � ��� ���� ��� ��� Q�� �� � e �� � �#++&�� "� _ *�� \���Z� Q � ��� Z��� � R������ �� � � �, *��� ��� �� Q�� �� � Q�� �� � e �� � �#+%&�� &� f�� ��� g�� � � �� �� d ����� �� �� Z�h�\�V ��� � _�h�h�� � b � � e �� � �#+%"�� T� ( ��� � '������� �� \��� �� �� � �� d �� ���� �� �� Q�\��� � '��������� �� g�� � � � `�d Z���� �� �#+%&�� ]� ��i�� ��i�������� R���Q�� g�_��� � 3����� 4��� ����� ��! �" "UT �#+%+�� S� ��`�*��! e�e�e �!� � i�Z�� � � � ��� 5�6 ���� 7������ � %^%U �#+%"�� ^� d�_�Z�� ��� ��`�*��! \����� �� � ��� 5�6 ���� 3����� �� %]+ �#+%T�� U� j�Q � ��`�*��! \�k��� ��� � ��� 5����� 7������ # %#U"T �#+%]�� %+� ��k�` ����� g�R�e�� �� 8�3��� 4������ 9:(���(��; $$$ #SU �%UUT�� %%� ��k�` ����� d�R � !� ���������� 3�����6 ��� �� TT �#++T�� %#� ��k�` ����� "�����< '(��<�% =��%� �"% "T �#+%S�� %"� R��� ��)�� � Z� � ��� i���� �� ��� #�� � ZhZ e��� h���� *` �%UU#�� %&� V�k�d � � '�i ���� _�`�� ��� V�� � ��� �������� R��� j �� ����� R�l �#++%�� %T� d��� � V�h��� � 8�3��(� 7(��� �� ^% �%UU"�� %]� '�i ���� e�V���� 8� 7(��� >�)� 7������ 4��� $ U^# �%UU]�� %S� h�V �� � #����� !�2�?�� !���� �&#!�&" %&" �%UU&�� %^� e�c�� R��� ��)�� � 8�3��(�7(��� � #^" �#++U�� %U� b�b��� d�l��� l�` � @������� !���� 3��(� � � "+]" �#+%"�� #+� i�g�m�� �� �! i�b�*��� ` �� � � � Q��� �� � ��� V ���� �� �VQ \��� � �� �%U]"�� #%� *�j�Q� �� �� � g�j ����� 8� 7(��� 1(A�� �� #&UT �%U]&�� ##� g�g �� �� � 3������������� �" #%% �%U^T�n l�l��� 3�������� :(���A 4����� # T#% �%UU^�� #"� ��k�` ����� "�����< '(��<�% =��%� �� %& �#++]�� #&� ��k�` ����� g�R�e�� �� 4������ 7(��� $ %ST �%UU#�� #T� V��jgV��'Z��T�# b������ h � ���� Z����� �� '` �#+%+�� #]� b�j�e��! � \���e��� �� b���� j� � �� � 1(A�� -�%� B �& ST]& �%UU&�� #S� *�e ���� �� ��e ���� � 8� 1(A��C7��*���� 3����� #S"#+% �#+%"�� #^� Z�h���� _�* ���� �� � *�e ���� �� 1(A�� -�%� B +ST#+% �#++#�� #U� l� �V��� �� �� Q�* � �� ��f�� ���� 1(A�� -�%� #���� �'" #&]&+& �#+%#�� "+� a�` '�i ���� i���� g� ��� Q�� �� � R � l��! �#+%#�� "%� ��h�k ��� \��� ���� \�������� �� ��� \������ �� � Z������� b � � R �l��! �%U]]�� "#� `�Q�h���� �� _������� !��� 7�A��� � #%T �%UT#�� ""� ��k�` ����� ���������� 3�������� �� T%& �#+%&�n ��k�` ����� �, \���� ��� ��� ��� �� Z��� ��� ���� Z� � ���� 'k �� �� _�` �������! V���Q� !�� Q�� �� � R � l��! �#+%]�� "&� ��k�` ����� *�\���� � ��d�� j�` ���!� 8� 7(��� 1(A�� �� +]&%+] �#+%S�� "T� i�i�j��� 1���� -�A� 4��� (��& #T% �%UTT�� * �� T� Z��� ��� ���� ��� � ��� � ���� � �� � '���� !�"�#�$���% & '���((�)) ��* �������� ���%����� ��� ���������� ���������� ��� � ��� ���