Стохастична динамічна модель сигналів вібрації підшипника кочення та їх аналіз
За стохастичною динамічною моделлю підшипника кочення, поданою у вигляді системи двох нелінійних диференційних рівнянь другого порядку, виконано комп’ютерну симуляцію і досліджено вертикальний й горизонтальний складники вібрації. З допомогою методів статистики періодично корельованих випадкових про...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/136834 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Стохастична динамічна модель сигналів вібрації підшипника кочення та їх аналіз / І.Й. Мацько, І.М. Яворський, Р.М Юзефович, З. Закжевскі // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 119-128. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-136834 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Мацько, І.Й. Яворський, І.М. Юзефович, Р.М. Закжевскі, З. 2018-06-16T16:46:52Z 2018-06-16T16:46:52Z 2013 Стохастична динамічна модель сигналів вібрації підшипника кочення та їх аналіз / І.Й. Мацько, І.М. Яворський, Р.М Юзефович, З. Закжевскі // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 119-128. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. 0430-6252 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/136834 621.319:519.22 За стохастичною динамічною моделлю підшипника кочення, поданою у вигляді системи двох нелінійних диференційних рівнянь другого порядку, виконано комп’ютерну симуляцію і досліджено вертикальний й горизонтальний складники вібрації. З допомогою методів статистики періодично корельованих випадкових процесів встановлено, що за появи дефектів на зовнішньому чи внутрішньому кільцях вібрації набувають властивостей періодичної нестаціонарності. Проаналізовано часову мінливість оцінок математичного сподівання, що описують детерміновані складники коливань, а також оцінки дисперсій, що визначають потужність флуктуацій. Наведено залежності від зсуву кореляційних компонентів – коефіцієнтів Фур’є кореляційних функцій. Обґрунтовано особливості структури періодично корельованого випадкового процесу, що описує вертикальну й горизонтальну вібрації за присутності дефектів на зовнішньому та внутрішньому кільцях. На основании стохастической модели подшипника качения в виде системы двух нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка проведено компьютерную симуляцию и исследовано вертикальную и горизонтальную вибрации. С использованием методов статистики периодично коррелированных случайных процессов обнаружено, что при появлении дефекта на внешнем или внутреннем кольцах вибрации приобретают свойства периодической нестационарности. Проанализирована временная изменчивость оценок математического ожидания, которые описывают детерминированные составляющие колебаний, а также оценены дисперсии, определяющие мощность флуктуаций. Наведены зависимости от смещения корреляционных компонентов – коэффициентов Фурье корреляционных функций. Обсуждены особенности структуры периодически коррелированного случайного процесса, что описывает вертикальную и горизонтальную вибрации при наличии дефектов на внешнем и внутреннем кольцах. On the base of stochastic dynamical model of roll bearing in the form of the system of two non-linear differential second-order equations the computer simulation is done and horizontal and vertical parts of vibration are investigated. Using the methods of statistic of periodically correlated random processes it is shown that the fault appearing on the outer or inner race leads to vibrations and acquire properties of periodical non-stationarity. The time variety of the mean function estimators, which describe deterministic oscillations and variance estimators which determine the power of fluctuations is analyzed. The dependences of correlation components, Fourier coefficients of correlation functions, on time lag are shown. The structure peculiarities of periodically correlated random processes which describe the vertical and horizontal vibrations of the roll bearing with faulty outer and inner races are analyzed. uk Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України Фізико-хімічна механіка матеріалів Стохастична динамічна модель сигналів вібрації підшипника кочення та їх аналіз Стохастическая динамическая модель сигналов вибрации подшипника качения и их анализ Stochastic dynamic model of signals of roll bearing vibration and their analysis Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Стохастична динамічна модель сигналів вібрації підшипника кочення та їх аналіз |
| spellingShingle |
Стохастична динамічна модель сигналів вібрації підшипника кочення та їх аналіз Мацько, І.Й. Яворський, І.М. Юзефович, Р.М. Закжевскі, З. |
| title_short |
Стохастична динамічна модель сигналів вібрації підшипника кочення та їх аналіз |
| title_full |
Стохастична динамічна модель сигналів вібрації підшипника кочення та їх аналіз |
| title_fullStr |
Стохастична динамічна модель сигналів вібрації підшипника кочення та їх аналіз |
| title_full_unstemmed |
Стохастична динамічна модель сигналів вібрації підшипника кочення та їх аналіз |
| title_sort |
стохастична динамічна модель сигналів вібрації підшипника кочення та їх аналіз |
| author |
Мацько, І.Й. Яворський, І.М. Юзефович, Р.М. Закжевскі, З. |
| author_facet |
Мацько, І.Й. Яворський, І.М. Юзефович, Р.М. Закжевскі, З. |
| publishDate |
2013 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Стохастическая динамическая модель сигналов вибрации подшипника качения и их анализ Stochastic dynamic model of signals of roll bearing vibration and their analysis |
| description |
За стохастичною динамічною моделлю підшипника кочення, поданою у вигляді системи двох нелінійних диференційних рівнянь другого порядку, виконано комп’ютерну симуляцію і досліджено вертикальний й горизонтальний складники вібрації.
З допомогою методів статистики періодично корельованих випадкових процесів
встановлено, що за появи дефектів на зовнішньому чи внутрішньому кільцях вібрації набувають властивостей періодичної нестаціонарності. Проаналізовано часову
мінливість оцінок математичного сподівання, що описують детерміновані складники коливань, а також оцінки дисперсій, що визначають потужність флуктуацій. Наведено залежності від зсуву кореляційних компонентів – коефіцієнтів Фур’є кореляційних функцій. Обґрунтовано особливості структури періодично корельованого
випадкового процесу, що описує вертикальну й горизонтальну вібрації за присутності дефектів на зовнішньому та внутрішньому кільцях.
На основании стохастической модели подшипника качения в виде системы двух нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка проведено компьютерную симуляцию и исследовано вертикальную и горизонтальную вибрации. С использованием методов статистики периодично коррелированных случайных процессов обнаружено, что при появлении дефекта на внешнем или внутреннем кольцах вибрации приобретают свойства периодической нестационарности. Проанализирована временная изменчивость оценок математического ожидания, которые описывают детерминированные
составляющие колебаний, а также оценены дисперсии, определяющие мощность флуктуаций. Наведены зависимости от смещения корреляционных компонентов – коэффициентов
Фурье корреляционных функций. Обсуждены особенности структуры периодически коррелированного случайного процесса, что описывает вертикальную и горизонтальную
вибрации при наличии дефектов на внешнем и внутреннем кольцах.
On the base of stochastic dynamical model of roll bearing in the form of the
system of two non-linear differential second-order equations the computer simulation is done
and horizontal and vertical parts of vibration are investigated. Using the methods of statistic of
periodically correlated random processes it is shown that the fault appearing on the outer or
inner race leads to vibrations and acquire properties of periodical non-stationarity. The time
variety of the mean function estimators, which describe deterministic oscillations and variance
estimators which determine the power of fluctuations is analyzed. The dependences of
correlation components, Fourier coefficients of correlation functions, on time lag are shown. The
structure peculiarities of periodically correlated random processes which describe the vertical
and horizontal vibrations of the roll bearing with faulty outer and inner races are analyzed.
|
| issn |
0430-6252 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/136834 |
| citation_txt |
Стохастична динамічна модель сигналів вібрації підшипника кочення та їх аналіз / І.Й. Мацько, І.М. Яворський, Р.М Юзефович, З. Закжевскі // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 119-128. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT macʹkoíi stohastičnadinamíčnamodelʹsignalívvíbracíípídšipnikakočennâtaíhanalíz AT âvorsʹkiiím stohastičnadinamíčnamodelʹsignalívvíbracíípídšipnikakočennâtaíhanalíz AT ûzefovičrm stohastičnadinamíčnamodelʹsignalívvíbracíípídšipnikakočennâtaíhanalíz AT zakževskíz stohastičnadinamíčnamodelʹsignalívvíbracíípídšipnikakočennâtaíhanalíz AT macʹkoíi stohastičeskaâdinamičeskaâmodelʹsignalovvibraciipodšipnikakačeniâiihanaliz AT âvorsʹkiiím stohastičeskaâdinamičeskaâmodelʹsignalovvibraciipodšipnikakačeniâiihanaliz AT ûzefovičrm stohastičeskaâdinamičeskaâmodelʹsignalovvibraciipodšipnikakačeniâiihanaliz AT zakževskíz stohastičeskaâdinamičeskaâmodelʹsignalovvibraciipodšipnikakačeniâiihanaliz AT macʹkoíi stochasticdynamicmodelofsignalsofrollbearingvibrationandtheiranalysis AT âvorsʹkiiím stochasticdynamicmodelofsignalsofrollbearingvibrationandtheiranalysis AT ûzefovičrm stochasticdynamicmodelofsignalsofrollbearingvibrationandtheiranalysis AT zakževskíz stochasticdynamicmodelofsignalsofrollbearingvibrationandtheiranalysis |
| first_indexed |
2025-11-25T23:07:44Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:07:44Z |
| _version_ |
1850578728359297024 |
| fulltext |
119
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2013. – ¹ 4. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 621.319:519.22
СТОХАСТИЧНА ДИНАМІЧНА МОДЕЛЬ СИГНАЛІВ ВІБРАЦІЇ
ПІДШИПНИКА КОЧЕННЯ ТА ЇХ АНАЛІЗ
І. Й. МАЦЬКО 1, І. М. ЯВОРСЬКИЙ 1,2, Р. М. ЮЗЕФОВИЧ 1, З. ЗАКЖЕВСКІ 2
1 Фізико-механічний інститут ім. Г. В. Карпенка НАН України, Львів;
2 Інститут телекомунікації Технологічно-природничого університету, Бидгощ, Польща
За стохастичною динамічною моделлю підшипника кочення, поданою у вигляді сис-
теми двох нелінійних диференційних рівнянь другого порядку, виконано комп’ю-
терну симуляцію і досліджено вертикальний й горизонтальний складники вібрації.
З допомогою методів статистики періодично корельованих випадкових процесів
встановлено, що за появи дефектів на зовнішньому чи внутрішньому кільцях вібра-
ції набувають властивостей періодичної нестаціонарності. Проаналізовано часову
мінливість оцінок математичного сподівання, що описують детерміновані складни-
ки коливань, а також оцінки дисперсій, що визначають потужність флуктуацій. На-
ведено залежності від зсуву кореляційних компонентів – коефіцієнтів Фур’є кореля-
ційних функцій. Обґрунтовано особливості структури періодично корельованого
випадкового процесу, що описує вертикальну й горизонтальну вібрації за присут-
ності дефектів на зовнішньому та внутрішньому кільцях.
Ключові слова: підшипник кочення, вібрація, періодично корельований випадковий
процес, математичне сподівання, кореляційна функція.
Підшипники кочення широко використовують у найрізноманітніших обер-
тових механізмах – від невеликих портативних пристроїв до важких промисло-
вих машин. Щоб забезпечити безперебійну роботу механічних комплексів, необ-
хідно зрозуміти природу породжених ними вібраційних сигналів. Зі всіх склад-
ників механічних систем підшипники найбільше піддаються втомним наванта-
женням та швидше за будь-який інший елемент виходять з ладу. Тому під час ді-
агностики машинного комплексу зосереджують увагу на вивченні саме вібрацій-
них відгуків від підшипникових вузлів.
Кожний дефект відповідно до стадії розвитку можна розглядати як незнач-
ний, середній чи серйозний. Термін незначний означає, що дефект виявлений і
ідентифікується, але в нормальних експлуатаційних режимах це не може при-
звести до відмови в передбачуваному інтервалі часу. Якщо дефект серйозний, то
немає жодної можливості гарантувати роботу підшипника впродовж тривалого
періоду часу без відмови. Його слід або замінити, або якщо його дію продовжи-
ти, то час між контрольними вимірами треба суттєво скоротити.
Діагноз “небезпечна відмова” свідчить про проковзування у місці посадки,
серйозний дефект змащування, суттєве спрацювання кульок, роликів або сепара-
тора, або про два та більше небезпечних дефектів на різних поверхнях кочення.
Серйозність дефекту визначають параметри періодично чи майже періодичного
складника вібраційного сигналу. Метод діагностики підшипників кочення, що
ґрунтується на виявленні та аналізі прихованих періодичностей у процесах моду-
ляції випадкової вібрації, використовує принципову відмінність механізмів фор-
мування сил тертя в справних і дефектних підшипниках та характерні особливо-
сті взаємодії поверхонь кочення з кавернами, відшаруваннями чи тріщинами еле-
Контактна особа: І. Й. МАЦЬКО, e-mail: ivanmatsko@ipm.lviv.ua
120
ментів підшипника. Сили тертя залежать від коефіцієнта тертя кочення і наванта-
ження на елементи кочення. У справних підшипниках вони не залежать від пово-
роту рухомого кільця або сепаратора, а у підшипниках з дефектами монтажу,
включаючи перекоси кілець, внаслідок неоднорідної радіальної напруженості
навантаження на елементи кочення збільшуються і, що важливо, залежать від
цього кута. У результаті сили тертя разом з випадковою вібрацією, збудженою
ними, стають періодично модульованими.
У кулькових підшипниках із неоднорідним зношуванням внутрішніх та зов-
нішніх кілець і елементів кочення коефіцієнт тертя залежить від кута повороту ру-
хомого кільця або сепаратора, що спричиняє періодичну модуляцію амплітуди сил
тертя і результуючої випадкової вібрації. Нарешті, ударні імпульси в підшипниках
із западинами та тріщинами на поверхнях елементів кочення і кільцях також поро-
джують періодично модульовану стохастичну вібрацію. На резонансних частотах її
формує послідовністю загасальних власних коливань, тому вона не є стаціонарна
випадкова. На інших частотах імпульси від ударів збуджують послідовності випад-
кових швидко загасальних сигналів вібрації, що також періодично модулюються.
Загалом підшипниковим вузлам
роторних механізмів притаманна нелі-
нійна поведінка, що пов’язано з нелі-
нійністю сил контакту робочих повер-
хонь кілець підшипника та кульок, за-
зорами між кульками та кільцями, по-
верхневими нерівностями кілець та
швидкостями обертання елементів під-
шипника. Сили, що породжують ці віб-
рації, змінні в часі, а оскільки контак-
тують округлі поверхні, їх можна вва-
жати точковими. Якщо контакт між
двома пружними тілами приведений до
однієї точки, його називають точковим. Геометрію точки контакту визначають
радіуси кривизни контактуючих поверхонь (рис. 1).
У підшипниках кочення тіла контактують як із зовнішнім, так і з внутрішнім їх
кільцями. Сила контакту згідно з теорією контакту округлих поверхонь Герца [1, 2]
3 / 2F = κδ ,
де 2
3
E R
K K
πε Θ
κ = , b
a
ε = , a – половина довжини контакту в напрямку руху, b –
половина ширини контакту в напрямку, перпендикулярному до напрямку руху,
параметри Θ і K визначають еліптичні інтеграли:
1/ 2/ 2
2
2
0
11 1 sinK d
−π ⎡ ⎤⎛ ⎞= − − φ φ⎢ ⎥⎜ ⎟
ε⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ,
1/ 2/ 2
2
2
0
11 1 sin d
π ⎡ ⎤⎛ ⎞Θ = − − φ φ⎢ ⎥⎜ ⎟
ε⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ .
Для округлих контактуючих поверхонь ε = 1, K = Θ = π/2. Отже, сили кон-
такту між тілами кочення та кільцями підшипника нелінійні. Підшипник верти-
кально навантажений силою тяжіння W = mg, спричиненою масою вала, та силою
дисбалансу Fu, породженою його обертанням (рис. 2). У математичній моделі
елементи такого підшипника розглядають як пружини з демпфуванням, а систе-
му контакту тіл кочення з кільцями – як нелінійну пружину [3].
Якщо вираз у дужках більший за нуль, то таке тіло кочення вважають наван-
таженим, що діє на кільця підшипника з силою
j
Fϕ . Якщо цей вираз рівний нулю
або набуває від’ємне значення, то це означає, що тіло кочення знаходиться поза
зоною навантаження підшипника та не діє на кільця.
Рис. 1. Схема точкового контакту.
Fig. 1. Scheme of point contact.
121
Рис. 2. Схема підшипника кочення:
1, 4 – зовнішнє та внутрішнє кільця;
2 – тіло кочення; 3 – сепаратор.
Fig. 2. Schematic view of rall bearing:
1, 4 – outer and inner races;
2 – rolling element; 3 – cage.
Силу точкового контакту, спричи-
нену одним тілом кочення, положення
якого описує кут ϕj, можна обчислити
так:
3 / 2
cos sin
j j jF k x yϕ ⎡ ⎤= ϕ + ϕ⎣ ⎦ .
Спроектувавши на осі Ох та Оу сумарну силу пружності, зумовлену тілами
кочення, отримаємо:
3/ 2
1
cos sin cos
bN
x j j i j
j
F k x y
=
⎡ ⎤= ϕ + ϕ −Π ϕ⎣ ⎦∑ ,
3/2
1
cos sin sin
bN
y j j i j
j
F k x y
=
⎡ ⎤= ϕ + ϕ −Π ϕ⎣ ⎦∑ .
Тут Nb – кількість тіл кочення; Πi – функція, що описує форму кілець підшипника
та дефекти на них.
Рівняння руху точок на кільці підшипника, враховуючи інерційні сили, сили
заникання та силу тяжіння, можна записати так:
2 3/ 2
2
1
cos sin cos cos
bN
j j j j u
j
d x dxm c k x y W F t
dtdt =
⎡ ⎤+ + ϕ + ϕ −Π ϕ = + ω⎣ ⎦∑ ,
2 3 / 2
2
1
cos sin sin sin
bN
j j j j u
j
d y dym c k x y F t
dtdt =
⎡ ⎤+ + ϕ + ϕ −Π ϕ = ω⎣ ⎦∑ .
Тут m – сумарна маса вала та внутрішнього кільця, проте майже завжди маса
кільця значно менша, ніж вала, і її можна знехтувати.
Наведені вище рівняння взяті за основу для комп’ютерної симуляції вібра-
ційних сигналів. Використовували числовий метод з коригуванням кроку обчис-
лення. З допомогою симуляції отримали серію реалізацій вібрацій як у верти-
кальному, так і горизонтальному напрямках для бездефектного підшипника та з
дефектами на зовнішньому та внутрішньому кільцях. Для опису дефекту викори-
стали функцію 1 cos
2
j dA
j
A
ω
ϕ − ϕ⎛ ⎞+ ε
Π = + + ε⎜ ⎟⎜ ⎟∆ϕ⎝ ⎠
, де Aε – рівномірно розподіле-
на на інтервалі [–0,25A; 0,25A] випадкова величина; ϕd – кут, під яким знаходить-
ся дефект; ∆ϕ – кутова його ширина; εω – стаціонарний білий шум. Симуляцію
виконали за таких параметрів: маса вала m = 0,6 kg, модуль Юнґа для сталі E =
= 2,1⋅1011 J/m, частота обертання вала ω0 = 80 Hz, радіус внутрішнього кільця під-
шипника r = 0,023 m, зовнішнього R = 0,046 m, радіус тіл кочення rb = 0,00398 m,
а їх кількість Nb = 8. Для оцінювання ймовірнісних характеристик брали довжину
реалізації, рівну 100 періодам обертання з 300 точками на періоді і отримали по-
хибку не більше 10%.
Вібраційний сигнал від підшипника кочення з дефектом свідчить про викиди
на зовнішньому кільці, тобто про накочування тіл кочення на дефект (рис. 3). Ча-
стота таких ударів відповідає частоті перекочування тіл кочення по зовнішньому
кільці і становить ωout = 283,5 Hz. Амплітуди викидів мають випадковий характер.
У вібраційному сигналі від підшипника кочення з дефектним внутрішнім кільцем
122
присутні періодичні викиди як вгору, так і вниз, що вказує на переміщення дефек-
ту. Частота таких викидів відповідає частоті перекочування тіл кочення по внут-
рішньому кільці: ωin = 365,5 Hz. Вертикальний і горизонтальний складники мало
відрізняються, але вертикальний дещо потужніший, що спричинено силою тяжіння.
Рис. 3. Горизонтальний ξ1(t) та вертикальний ξ2(t) складники вібрації підшипника
кочення: а – бездефектного; b, c – з дефектом на зовнішньому та внутрішньому кільцях.
Fig. 3. Horizontal ξ1(t) and vertical ξ2(t) components of rall bearing vibration:
a – non-defective; b, c – with a fault on outer and inner races.
Виконаємо кореляційно-спектральний аналіз отриманих реалізацій у стаціо-
нарному наближенні. Кореляційні функції стаціонарного наближення складників
( ), 1, 2j t iξ = обчислювали за формулою [4–6]
1
0
1ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )
j j i
K
j i
n
R u nh m nh u m
K
−
ξ ξ ξ
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ξ − ξ + −⎣ ⎦⎣ ⎦∑ , (1)
де
1
0
1ˆ ( ) ,
j
K
j
n
m nh
K
−
ξ
=
= ξ∑
K = θ/h – кількість елементів вибірки, θ – довжина відрізка реалізації, h – крок
дискретизації (рис. 4). Якщо підшипник справний, то потужність стохастичного
вертикального складника становить приблизно 0,5 від потужності всього сигна-
лу. Якщо зовнішнє кільце з дефектом, то вона зменшується до 0,2 потужності
сигналу, а на хвості оцінки кореляційної функції появляються потужні викиди,
які відповідають зіткненням тіл кочення з дефектом. Якщо внутрішнє кільце з
дефектом, тоді потужність стохастичного складника становить ∼0,4 всієї потуж-
ності сигналу, а на хвості оцінки кореляційної функції присутні різнонапрямлені
викиди, що відповідають зіткненням дефекту впродовж руху з тілами кочення.
Оцінка кореляційної функції стаціонарного наближення горизонтальної віб-
рації підшипника кочення з дефектом зовнішнього кільця така сама, як верти-
кальної. Співвідношення між потужностями детермінованого та стохастичного
складників практично такі ж, однак, повна потужність горизонтальної вібрації
майже вдвічі менша. За дефекту внутрішнього кільця оцінки кореляційної функ-
ції близькі.
Оцінки спектральної густини потужності стаціонарного наближення знайде-
мо, використовуючи кореляційний метод Блекмана–Тьюкі [4–6]:
ˆ ˆ( ) ( ) ( )
2j j
i n u
n
uf R n u k n u e− ω ∆
ξ ξ
∈
∆
ω = ∆ ∆
π ∑ , (2)
де ∆u = um/L – інтервал дискретизації за зсувом, а k(u) – кореляційне вікно:
k(0) = 1, k(–u) = k(u). Тут вибрали вікно Хеммінга:
123
0,5 0,46cos , | | ,
( )
0, | | .
m
m
m
uu u u
uk u
u u
π⎧ + ≤⎪= ⎨
⎪ 〉⎩
Рис. 4. Оцінки кореляційних функцій стаціонарного наближення горизонтального
та вертикального складників: а – бездефектного підшипника;
b, c – з дефектами на зовнішньому та внутрішньому кільцях.
Fig. 4. Estimators of correlation functions in stationary approximation of horizontal and vertical
vibration components: a – non-defective bearing; b, c – with faults on outer and inner races.
Рис. 5. Оцінки спектральних густин стаціонарного наближення горизонтального
та вертикального складників вібрації: а – бездефектного підшипника;
b, c – з дефектами на зовнішньому та внутрішньому кільцях.
Fig. 5. Estimators of spectral density in stationary approximation of horizontal and vertical
vibration components: a – non-defective bearing; b, c – with а fault on outer and inner races.
Отримані оцінки (рис. 5) свідчать про те, що в усіх випадках переважають
складники на частотах перекочування кульок по зовнішньому та внутрішньому
кільцях та кратних до них. Також у спектрах за обертання вала присутні комбі-
наційні частоти. Якщо дефект знаходиться на зовнішньому кільці, то спектральна
густина зосереджена в області частот від 250 до 1400 Hz, а якщо на внутрішньо-
му – від 600 до 2500 Hz.
За спектральними густинами стаціонарного наближення важко проаналізу-
вати ті їх частини, які сформовані детермінованими складниками вібрацій і які за
124
оцінками кореляційних функцій стаціонарного наближення є досить потужні. Зі
спектрального аналізу випливає, що регулярні коливання можна описати майже
періодичною функцією, тому для їх виділення використаємо метод найменших
квадратів [7] (рис. 6).
Рис. 6. Оцінки математичного сподівання горизонтальної та вертикальної вібрацій: а – без-
дефектного підшипника; b, c – з дефектами на зовнішньому та внутрішньому кільцях.
Fig. 6. Estimators of mathematical expectation of horizontal and vertical vibration components:
a – non-defective bearing; b, c – with а fault on outer and inner races.
Виявлено, що серед частот гармонік є кратні до ωout і ωin, а також комбінації
nωout ± kω і nωin ± kω. Зауважимо, що через дефект суттєво збільшується кількість
гармонік, особливо комбінаційних. За відсутності дефекту (рис. 7) стохастичний
складник є реалізацією стаціонарного випадкового процесу з відносно швидкоза-
никальними кореляційними зв’язками, а для дефектного підшипника присутні
чіткі викиди. Оцінки кореляційних функцій позбавлені незникальних періодич-
них хвостів, що свідчить про відсутність детермінованих коливань.
Рис. 7. Стохастичний складник вертикальної вібрації бездефектного підшипника
кочення (а) та з дефектами на зовнішньому (b) та внутрішньому (с) кільцях.
Fig. 7. Stochastic part of non-defective rall bearing vertical vibration (a)
and with а fault on outer (b) and inner (c) races.
Для вивчення періодичностей другого порядку у властивостях стохастичних
складників використаємо когерентний метод, який дає можливість аналізувати
часові зміни характеристик за всіма можливими частотами. Кореляційний функ-
ціонал для визначення періоду має вигляд [8, 9]
1ˆ ˆ ˆ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1j j j
N
j j
n N
b t u t n m t n t u n m t u n
Nξ ξ ξ
=−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤τ = ξ + τ − + τ ξ + + τ − + + τ⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ ∑ , (3)
де τ – пробний період. Значення τ, що відповідають екстремумам цього перетво-
рення, є оцінками періоду корельованості T.
Побудовані (рис. 8) залежності функціоналів ˆ ( , , )
j
b tξ ∆ τ від пробного
періоду τ, обчислених для горизонтального та вертикального складників вібрацій
125
дефектного підшипника для тих значень ti, що відповідають максимумам цих пе-
ретворень за часом t. Тут чітко видно періодичні зміни характеристик другого
порядку. Детальніший аналіз залежностей кореляційного функціонала (3) від па-
раметра τ дає можливість вибрати за оцінку періоду корельованості для дефекту
зовнішнього кільця величину ôutT = 109 u.a., а для внутрішнього – înT = 872 u.a.
Зауважимо, що їх значення практично збігаються з періодами обертання тіл ко-
чення по зовнішньому й внутрішньому кільцях підшипника. Знаючи періоди, оці-
нимо кореляційні функції стохастичних складників. Застосуємо для цього компо-
нентний метод [10, 11]:
2
2
2
( )ˆ ˆ( , ) ( )i
j
L ik t
T
k
k L
b t u B u e
π
ξ
ξ
=−
= ∑ , (4)
при цьому
21
0
1ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
j j
K ik nh
T
k j j
n
B u nh m nh nh u m nh u e
K
π− −
ξ ξ
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ξ − ξ + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ , (5)
1
1
2 21
0
1ˆ ( ) ( )
j
L Kik nh ik rh
T T
k L r
m nh e rh e
K
π π− −
ξ
=− =
⎡ ⎤
⎢ ⎥= ξ
⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∑ , (6)
а числа sL , 1,2s = , визначають номери найвищих гармонік у математичному
сподіванні та кореляційній функції.
Рис. 8. Оцінки функціонала ˆ ( ,0, )
i ib tξ τ для горизонтального та вертикального складників
вібрацій підшипника кочення з дефектом на зовнішньому (а) та внутрішньому (b) кільцях.
Fig. 8. Estimators of functional ˆ ( ,0, )
i ib tξ τ for horizontal and vertical vibration components of
roll bearing with а fault on outer (a) and inner (b) races.
Обчислені на основі співвідношень (4)–(6) оцінки дисперсій ˆ ( ,0)
i
b tξ для
зовнішнього і внутрішнього кілець підшипника з дефектами подано на рис. 9. Як
бачимо, змінам у часі цих величин притаманний ударний характер. Для безде-
фектного підшипника часові зміни мають вигляд малопотужних флуктуацій. Для
зовнішнього кільця з дефектом у стохастичних складниках присутні потужні мо-
дуляції частоти перекочування тіл кочення по зовнішньому кільцю, тобто часто-
ти ωout = 283,5 Hz, а для внутрішнього – 365,5 Hz.
126
Рис. 9. Оцінки дисперсій горизонтального та вертикального стохастичних складників
вібрації підшипника кочення: а – бездефектного; b, c – з дефектами на зовнішньому
та внутрішньому кільцях.
Fig. 9. Estimators of variances of horizontal and vertical stochastic parts of roll bearing
vibration: a – non-defective; b, c – with а fault on outer and inner races.
Рис. 10. Оцінки компонентів Фур’є дисперсії горизонтального та вертикального
стохастичних складників вібрації: а – бездефектного підшипника;
b, с – з дефектами на зовнішньому та внутрішньому кільцях.
Fig. 10. Estimators of Fourier variance components of horizontal and vertical vibration
stochastic parts: a – non-defective bearing; b, c – with а fault on outer and inner races.
Часова поведінка оцінок дисперсій для різних складників і дефектів подібна,
проте за дефекту зовнішнього кільця оцінка дисперсії вертикального складника
втричі більша, ніж горизонтального. Відношення мінімальних за період значень
оцінок до максимальних для зовнішнього кільця з дефектом такі:
1 1
(min) (max)ˆ ˆ( ,0) / ( ,0) 0,12b t b tξ ξ = та
2 2
(min) (max)ˆ ˆ( ,0) / ( ,0) 0,04b t b tξ ξ = , а для внутрішнього
–
1 1
(min) (max)ˆ ˆ( ,0) / ( ,0) 0,11b t b tξ ξ = та
2 2
(min) (max)ˆ ˆ( ,0) / ( ,0) 0,15b t b tξ ξ = . Інформативним
діагностичним критерієм про стан підшипника є коефіцієнти Фур’є кореляційної
функції стохастичного складника вібраційного сигналу. Якщо підшипник кочен-
ня справний, то вібраційний сигнал, що породжується в ньому, стаціонарний.
Підтверджує це діаграма компонентів (рис. 10а), на якій серед значущих присут-
ній лише нульовий.
За появи дефекту сигнал набуває властивостей періодичної нестаціонарності
і значущими є більше 10 компонентів: що він розвинутіший, то більша величина
0
1
ˆ ˆ| (0) | / (0)
L
k
k
I B B
=
= ∑ , яку можна вважати мірою нестаціонарності (рис. 11). Для
зовнішнього кільця з дефектом для горизонтального та вертикального складників
маємо: I = 5,88 і 8,32, а для внутрішнього – I = 4,29 і 3,83.
127
Рис. 11. Оцінки нульового та перших косинусного і синусного кореляційних компонентів
горизонтального (а–с) і вертикального (b–f) складників бездефектного підшипника (а, d),
а також з дефектами на зовнішньому (b, e) і внутрішньому (d, f) кільцях.
Fig. 11. Estimators of the zero and the first cosine and sine parts of correlation components
of horizontal (а–с) and vertical (b–f) parts of vibration of non-defective roll bearing (а, d),
with faults on outer (b, c) and inner (d, f) races.
Характерні риси дефектів підшипника кочення проявляються у змінах коре-
ляційної функції та кореляційних компонентів за зсувом. Оцінки залежностей від
зсуву нульового та першого кореляційних компонентів горизонтального та вер-
тикального складників вібрації проілюстровано на рис. 11. Як бачимо, вони осци-
ляційно заникають з ростом зсуву. Подібна поведінка оцінок вищих кореляцій-
них компонентів, проте період заникання коливань з ростом номера компонента
зменшується і є обернено пропорційним до нього. Це свідчить про єдине джерело
модуляції гармонічних складників. Якоїсь відчутної різниці у властивостях оці-
нок за дефектів зовнішнього та внутрішнього кілець виділити не вдається.
Тестовою ознакою, за якою можна судити про дефект елемента підшипника
кочення, є періодична нестаціонарність вібраційного сигналу, яка проявляється у
128
характеристиках другого порядку. Ця нестаціонарність виникає внаслідок взає-
модії стохастичного і детермінованого складників вібрацій, оскільки система
диференціальних рівнянь другого порядку, яка їх описує, нелінійна. Власне той
факт, що періодична нестаціонарність вібросигналу виникає тільки за появи де-
фекту, слід використовувати для оцінки ступеня розвитку останнього, сформу-
вавши ознаки, які визначають міру нестаціонарності другого порядку. Характерні
риси дефектів проявляються в кореляційно-спектральній структурі сигналу, тому
подальші дослідження слід зосередити на її аналізі. За наведеними вище резуль-
татами про окремі складники також важко оцінити просторові властивості вібра-
цій, без яких неможливо розв’язати задачу про локалізацію дефектів, тому до-
цільний також взаємний аналіз вертикального та горизонтального складників.
РЕЗЮМЕ. На основании стохастической модели подшипника качения в виде систе-
мы двух нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка проведено компью-
терную симуляцию и исследовано вертикальную и горизонтальную вибрации. С исполь-
зованием методов статистики периодично коррелированных случайных процессов обна-
ружено, что при появлении дефекта на внешнем или внутреннем кольцах вибрации при-
обретают свойства периодической нестационарности. Проанализирована временная из-
менчивость оценок математического ожидания, которые описывают детерминированные
составляющие колебаний, а также оценены дисперсии, определяющие мощность флуктуа-
ций. Наведены зависимости от смещения корреляционных компонентов – коэффициентов
Фурье корреляционных функций. Обсуждены особенности структуры периодически кор-
релированного случайного процесса, что описывает вертикальную и горизонтальную
вибрации при наличии дефектов на внешнем и внутреннем кольцах.
SUMMARY. On the base of stochastic dynamical model of roll bearing in the form of the
system of two non-linear differential second-order equations the computer simulation is done
and horizontal and vertical parts of vibration are investigated. Using the methods of statistic of
periodically correlated random processes it is shown that the fault appearing on the outer or
inner race leads to vibrations and acquire properties of periodical non-stationarity. The time
variety of the mean function estimators, which describe deterministic oscillations and variance
estimators which determine the power of fluctuations is analyzed. The dependences of
correlation components, Fourier coefficients of correlation functions, on time lag are shown. The
structure peculiarities of periodically correlated random processes which describe the vertical
and horizontal vibrations of the roll bearing with faulty outer and inner races are analyzed.
1. Fault Diagnosis of a Rotor Bearing System using Response Surface Method / P. K. Kankar,
S. P. Harsha, Р. Kumar, S. C. Sharma // European J. Mechanics, A Solids. – 2009. – 28.
– P. 841–857.
2. Hertz H. Über die Berührung fester elastischer Körper // J. für die reine und angewandte,
Mathematik. – 1881. – 92. – P. 156–171.
3. Мыслович М. В., Марченко Б. Г. Вибродиагностика подшипниковых узлов электричес-
ких машин. – К.: Наук. думка, 1992. – 195 с.
4. Яглом А. М. Корреляционная теория стационарных случайных функций. – Л.: Гидро-
метеоиздат, 1981. – 280 с.
5. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. – М.: Мир, 1989. – 546 с.
6. Грибанов Ю. И., Мальков В. Л. Спектральный анализ случайных процессов. – М.:
Энергия, 1974. – 239 с.
7. Javorskyj I., Mykhaylyshyn V., and Zabolotnyj O. Least squares method for statistical
analysis of polyritmics // Appl. Math. Letters. – 2003. – 16, № 8. – P. 1217–1222.
8. Javorskyj I. and Mykhajlyshyn V. Probabilistic Models and Investigation of Hidden Perio-
dicities // Ibid. – 1996. – 9, № 2. – P. 21–23.
9. Javorskyj I. and Mykhajlyshyn V. Probabilistic Models and Statistical Analysis of stochastic
Oscilations // Pattern Recognitions and Image Analysis. – 1996. – 6, № 4. – P. 749–763.
10. Coherent Covariance Analysis of Periodically Correlated Random Processes / I. Javorskyj,
I. Isaev, Z. Zakrzewski, S. P. Brooks // Signal Proc. – 2007. – 87. – P. 13–32.
11. Component covariance analysis for periodically correlated random processes / I. Javorskyj,
I. Isayev, J. Majewski, R. Yuzefovych // Ibid. – 2010. – 90. – P. 1083–1102.
Одержано 25.04.2013
|