Решение периодической задачи о развитии когезионных трещин при продольном сдвиге
Рассмотрено перфорированное тело, ослабленное поверхностными когезионными трещинами, при продольном сдвиге. Решение задачи о равновесии такого тела сведено к решению одной бесконечной алгебраической системы и одного сингулярного интегрального уравнения с ядром типа Коши. Розглянуто перфороване тіл...
Saved in:
| Published in: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2013
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/136841 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Решение периодической задачи о развитии когезионных трещин при продольном сдвиге / В.М. Мирсалимов, Ф.Ф. Гасанов // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 68-72. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859935933315416064 |
|---|---|
| author | Мирсалимов, В.М. Гасанов, Ф.Ф. |
| author_facet | Мирсалимов, В.М. Гасанов, Ф.Ф. |
| citation_txt | Решение периодической задачи о развитии когезионных трещин при продольном сдвиге / В.М. Мирсалимов, Ф.Ф. Гасанов // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 68-72. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| description | Рассмотрено перфорированное тело, ослабленное поверхностными когезионными
трещинами, при продольном сдвиге. Решение задачи о равновесии такого тела сведено к решению одной бесконечной алгебраической системы и одного сингулярного
интегрального уравнения с ядром типа Коши.
Розглянуто перфороване тіло, послаблене поверхневими когезійними тріщинами, за поздовжнього зсуву. Вирішення задачі про рівновагу такого тіла зведено до
розв’язку однієї нескінченної алгебричної системи та одного сингулярного інтегрального
рівняння з ядром типу Коші.
The punched body weakened by surface cohesive cracks is considered under
antiplane sliding. The solution of the problem on equilibrium of the punched body under longitudinal
shear with cohesive cracks is reduced to the solution of one infinite algebraic system and
one nonlinear singular integral equation with a Cauchy-type kernel.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:09:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
68
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2013. – ¹ 5. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.375
РЕШЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ О РАЗВИТИИ
КОГЕЗИОННЫХ ТРЕЩИН ПРИ ПРОДОЛЬНОМ СДВИГЕ
В. М. МИРСАЛИМОВ, Ф. Ф. ГАСАНОВ
Азербайджанский технический университет, Баку
Рассмотрено перфорированное тело, ослабленное поверхностными когезионными
трещинами, при продольном сдвиге. Решение задачи о равновесии такого тела све-
дено к решению одной бесконечной алгебраической системы и одного сингулярного
интегрального уравнения с ядром типа Коши.
Ключевые слова: перфорированное тело, продольный сдвиг, трещины со связями
между берегами в концевых зонах.
Рассматривается изотропная упругая среда, ослабленная периодической
системой круговых отверстий, имеющих радиусы λ (λ < 1) и центры в точках
Pm = mω (m = 0, ±1, ±2, …), ω = 2. Считается, что из контуров круговых отверс-
тий исходят симметричные прямолинейные трещины, направленные по осям абс-
цисс (рис. 1). Принято, что контуры круговых отверстий и берега прямолиней-
ных трещин вне концевых зон свободны от внешних нагрузок. В плоскости име-
ет место антиплоская деформация y y
∞τ = τ , 0xτ = (продольный сдвиг на беско-
нечности). Ранее [1, 2] предложили модели трещин с концевыми зонами соизме-
римыми с длиной трещины. Использовали модель [3] трещины со связями между
берегами в концевых зонах. Эти зоны моделируются областями с ослабленными
межчастичными связями в материале, а взаимодействие берегов этих областей –
путем введения между берегами зоны предразрушения связей с заданной диа-
граммой деформирования. Физическая природа таких связей и размеры областей
предразрушения зависят от вида материала. В рассматриваемом случае рост тре-
щин представляет собой переход об-
ласти предразрушения в область ра-
зорванных связей между берегами тре-
щины. Принимаем, что развитие тре-
щины произойдет, когда сдвиг ее по-
верхностей у основания зоны предраз-
рушения достигнет критического для
данного материала значения IIIcδ [4].
Эту характеристику определяют опыт-
ным путем [5].
Условие локального разрушения
среды в случае когезионной трещины
продольного сдвига будет иметь вид
IIIcw w+ −− = δ . (1)
При внешней нагрузке на перфорированное тело в связях, соединяющих
берега зон предразрушения ( ),∗λ , возникают касательные усилия ( )yq x . Они
Контактна особа: В. М. МИРСАЛИМОВ, e-mail: mir-vagif@mail.ru
Рис. 1. Расчетная схема задачи механики
разрушения при продольном сдвиге.
Fig. 1. Cаlculation model of the problem of
fracture mechanics under longitudinal shear.
69
заранее неизвестны и подлежат определению в процессе решения краевой задачи
механики разрушения.
В силу симметрии граничных условий и геометрии области D, занятой мате-
риалом среды, напряжения являются периодическими функциями с основным пе-
риодом ω. Как известно [6], поле напряжений и смещений при антиплоской де-
формации можно выразить через одну аналитическую функцию f(z) комплекс-
ного переменного z = x + iy
( )x yi f z′τ − τ = , ( )Re /w f z= µ , z x iy= + ,
где µ – постоянная материала среды; 1i = − .
На основании этих соотношений и граничных условий на контурах круго-
вых отверстий и берегах прямолинейных трещин с концевыми зонами задача
механики разрушения сводится к определению одной аналитической функции
( ) ( )F z f z′= из краевых условий:
( ) ( ) 0i iF e F eθ − θτ − τ = , (2)
( ) ( ) ( )1F t F t f t− = на L , (3)
где ie mθτ = λ + ω ( )0, 1, 2...m = ± ± ; t – аффикс точек берегов трещин L; ( )1 0f t =
на свободных берегах трещин; ( ) ( )1 1 2 yf t iq t= − на берегах концевых зон.
Основные соотношения поставленной задачи необходимо дополнить урав-
нением, связывающим сдвиг берегов зон предразрушения (концевые зоны) и уси-
лия в связях. Без потери общности это соотношение представим в виде
( , 0) ( , 0) ( , ( )) ( )y yw x w x C x q x q x+ −− = , (4)
где функция ( , ( ))yC x q x представляет собой эффективную податливость связей;
( )w w+ −− – сдвиг берегов концевых зон трещин.
Решение краевой задачи (2)–(3) будем искать в виде
1 2( ) ( ) ( )F z F z F z= + , (5)
( )
( ) ( )
( )
22 2
1 2 2
0 2 1 !
kk
y k
k
z
F z
k
+∞
∞
+
=
λ ρ
= τ + α
+∑ , (6)
( ) ( ) ( )2
1 ctg
L
F z g t t z dt
i
π
= −
ω ω∫ , (7)
где интегралы в формулах (7) берутся по линии [ ] [ ]{ }, ,L = − − λ + λ ; ( )g t – ис-
комая функция, характеризующая сдвиг берегов при переходе через линию трещин;
( )
2
2
1 1
3sin ( / )
z
z
⎡ ⎤π⎛ ⎞ρ = −⎢ ⎥⎜ ⎟ω π ω⎝ ⎠ ⎣ ⎦
, ( ) ( , 0) ( , 0)
2
dg x w x w x
dx
+ −µ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ на L. (8)
Неизвестная функция g(x) и искомые постоянные α2k должны быть опре-
делены из краевых условий (2) и (3). Для вывода уравнений относительно коэф-
фициентов α2k функции F1(z) преобразуем краевое условие (2) к виду
( ) ( ) ( )1 1 2
i iF e F e ifθ − θτ − τ = θ , (9)
где ( ) ( ) ( )2 2 2
i iif F e F eθ − θθ = − τ + τ .
Для решения краевой задачи (9) применим метод степенных рядов. Относи-
тельно функций 2 ( )if θ и 1( )F τ будем считать, что они разлагаются на контуре
τ = λ в ряды Фурье
70
(2 1)
2 2 1( ) k
k
k
if A e
∞
+ θ
+
=−∞
θ = ∑ , 2 1Re 0kA + = , 2 1 2 1
1 ( ) ( )k k
L
A g t f t dt
i+ += −
ω ∫ ,
2 2 2
(2 ) (2 2)
2 1( ) ( ) ( )
(2 )! (2 1)!
k k
k k
kf t t t
k k
+
+
+
λ λ
= γ − γ
+
, ctg tπ
γ =
ω
,
2 2
2 2 2
1 2 2 2 2 ,2 2
0 0 0
( )
k
k j
y k k j kk
k k j
F r
+∞ ∞ ∞
∞ +
+ ++
= = =
λ
τ = τ + α + α λ τ
τ
∑ ∑ ∑ .
Подставив в левую часть краевого условия (9) вместо 1( )F τ , 1( )F τ их разло-
жения в ряды Лорана в окрестности нулевой точки z = 0, а в правую часть (9)
вместо функции ( )2if θ ряд Фурье и, приравнивая коэффициенты при одинако-
вых степенях exp(iθ) в обеих частях, получим бесконечную систему алгебраичес-
ких уравнений относительно коэффициентов 2 2k+α :
2 2
2 2 0, 0 2 1
0
k
k j
j
r A
∞
+
+
=
α λ + α − α =∑ , 2 2 2
2 2 , 2 2 2 2 1
0
k n
k n j n n
j
r A
∞
+
+ + +
=
α λ λ − α − α =∑ . (10)
Здесь
( )
( ) ( )
1
, 2 2 2
2 2 1 !
2 ! 2 1 ! 2
n j
n j n j
gn j
r
n j
+ +
+ +
+ +
=
+
, 0,0 0r = , 2
1
12j j
m
g
m
∞
=
= ∑ .
Требуя, чтобы функции (5) удовлетворяли краевое условие на берегах L, для
определения неизвестной функции ( )g x получаем сингулярное интегральное
уравнение:
( ) ( ) [ ]1 1
1 ctg Im ( ) ( )
L
g t t x dt F x f xπ
− − =
ω ω∫ на L. (11)
Система (10) алгебраических уравнений совместно с сингулярным уравне-
нием (11) являются основными разрешающими уравнениями рассматриваемой
задачи, позволяющими определить искомую функцию и коэффициенты α2k. Пос-
ле определения функции g(x) и α2k можно найти напряженно-деформированное
состояние перфорированного тела при наличии когезионных трещин. Используя
в основной полосе периодов разложение функции ctg ( / )zπ ω и замену перемен-
ных после некоторых преобразований, сингулярное интегральное уравнение (11)
приводят к стандартному виду. Так как в перфорированном теле напряжения
ограничены, решение сингулярного интегрального уравнения ищем в классе всю-
ду ограниченных функций. Используя процедуру алгебраизации [7] сингулярных
интегральных уравнений, интегральное уравнение сводится к М + 1 алгебраичес-
ких уравнений. В правую часть полученных систем входят неизвестные значения
напряжений ( )y rq η в узловых точках, принадлежащих концевым зонам L. Неиз-
вестные напряжения в связях ( )y rq η , возникающие на берегах концевых зон L,
определяются из дополнительного условия (4).
Используя полученное решение, соотношения (8) запишем в виде
( )( ) , ( ) ( )
2 y y
dg x C x q x q x
dx
µ ⎡ ⎤=
⎣ ⎦
. (12)
Требуя выполнения условий (12) в узловых точках, принадлежащих конце-
вой зоне L, получим еще одну систему из M1 уравнений для определения значе-
ний ( )y mq η 1( 1, 2, ..., )m M= . При этом используют метод конечных разностей.
Так как размеры концевых зон неизвестны, объединенная алгебраическая систе-
ма уравнений является нелинейной даже при линейных связях. Для ее решения
применяют метод последовательных приближений [8]. В каждом приближении
71
объединенная алгебраическая система решалась методом Гаусса с выбором глав-
ного элемента. В случае нелинейного закона деформирования связей при опреде-
лении усилий в концевых зонах используется итерационный метод, подобный
методу упругих решений [9]. Считается, что закон деформирования межчастич-
ных связей в концевых зонах линейный при w w w+ −
∗− ≤ . Первый шаг итераци-
онного процесса счета состоит в решении системы уравнений для линейно-упру-
гих связей. Следующие итерации выполняются только в случае, если на части
концевой зоны имеет место неравенство w w w+ −
∗− > . Расчет эффективной по-
датливости проводится подобно определению секущего модуля в методе пере-
менных параметров упругости [10]. Нелинейная часть кривой деформирования
связей аппроксимировалась билинейной зависимостью [11], восходящий участок
которой соответствовал деформированию связей (0 )w w w+ −
∗< − ≤ с их макси-
мальным усилием. При w w w+ −
∗− > закон деформирования описывали нелиней-
ной зависимостью, определяемой точками ( , )w∗ ∗τ и ( , )c cδ τ , причем при c ∗τ > τ
имела место возрастающая линейная зависимость (линейное упрочнение, соот-
ветствующее упругопластической деформации связей). В численных расчетах
полагалось М = 30, что соответствует разбиению интервала интегрирования на 30
чебышевских узлов. Установлена зависимость длины концевой зоны трещины от
безразмерного параметра нагружения (рис. 2). С увеличением радиуса отверстий
длина концевой зоны растет.
Рис. 2. Fig. 2. Рис. 3. Fig. 3.
Рис. 2. Зависимость длины концевой зоны ( ) /∗− λ λ от безразмерной внешней нагрузки
/y s
∞τ τ для радиусов отверстий λ = 0,2 (1); 0,3 (2); 0,4 (3); 0,5 (4).
Fig. 2. Dependence of the crack-tip zone length ( ) /∗− λ λ on the dimensionless value of
external loading /y s
∞τ τ for some values of the hole radius λ = 0.2 (1); 0.3 (2); 0.4 (3); 0.5 (4).
Рис. 3. Зависимость критической нагрузки /y s
∞τ τ от безразмерной длины трещины
( ) /− λ ω для радиусов отверстий λ = 0,2 (1); 0,3 (2); 0,4 (3).
Fig. 3. Dependence of critical loading /y s
∞τ τ on dimensionless crack length ( ) /− λ ω
for some values of the hole radius λ = 0.2 (1); 0.3 (2); 0.4 (3).
72
Для определения предельно равновесного состояния перфорированного те-
ла, при котором трещина развивается, используют условие (1).
Используя полученное решение, условием, определяющим предельную
внешнюю нагрузку, при которой происходит рост трещин в точках x ∗= ±λ , яв-
ляется следующее:
( ) III, ( ) ( )y y cC q q∗ ∗ ∗λ λ λ = δ . (13)
Решение объединенной алгебраической системы и критерия (13) позволяет
определить критическое значение внешней нагрузки, размеры концевых зон тре-
щин и усилия в связях в состоянии предельного равновесия, при котором проис-
ходит рост трещин. Установлена зависимость критической нагрузки от безраз-
мерной длины трещины (рис. 3). Как показывают расчеты, с увеличением радиу-
са отверстий критическая нагрузка уменьшается.
ВЫВОДЫ
Анализ предельно равновесного состояния перфорированного тела, при ко-
тором трещина развивается, сводится к параметрическому исследованию объеди-
ненной алгебраической системы и критерия роста трещин (13) при различных
законах деформирования связей, упругих постоянных материалов и геометричес-
ких характеристиках перфорированного тела.
РЕЗЮМЕ. Розглянуто перфороване тіло, послаблене поверхневими когезійними трі-
щинами, за поздовжнього зсуву. Вирішення задачі про рівновагу такого тіла зведено до
розв’язку однієї нескінченної алгебричної системи та одного сингулярного інтегрального
рівняння з ядром типу Коші.
SUMMARY. The punched body weakened by surface cohesive cracks is considered under
antiplane sliding. The solution of the problem on equilibrium of the punched body under longi-
tudinal shear with cohesive cracks is reduced to the solution of one infinite algebraic system and
one nonlinear singular integral equation with a Cauchy-type kernel.
1. Леонов М. Я., Панасюк В. В. Розвиток найдрiбнiших трiщин в твердому тiлi // Прикл.
механiка. – 1959. – 5, № 4. – С. 391–401.
2. Dugdale D. S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. and Phys. solids. – 1960.
– 8, № 2. – P. 100–104.
3. The special issue: Cohesive models // Eng. Fract. Mech. – 2003. – 70, № 14. – P. 1741–1987.
4. Панасюк В. В. Деформационные критерии в механике разрушения // Фiз.-хiм. механiка
матерiалiв. – 1986. – 22, № 1. – С. 7–17.
5. Панасюк В. В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. – К.: Наук. думка,
1991. – 416 с.
6. Мирсалимов В. М. Разрушение упругих и упругопластических тел с трещинами. – Ба-
ку: Элм, 1984. – 124 с.
7. Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацышин А. П. Распределение напряжений около трещин
в пластинках и оболочках. – К.: Наук. думка, 1976. – 443 с.
8. Мирсалимов В. М. Неодномерные упругопластические задачи. – М.: Наука, 1987. – 256 с.
9. Ильюшин А. А. Пластичность. – М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1948. – 376 с.
10. Биргер И. А. Общие алгоритмы решения задач теорий упругости, пластичности и пол-
зучести // Успехи механики деформируемых сред. – М.: Наука, 1975. – С. 51–73.
11. Гольдштейн Р. В., Перельмутер М. Н. Моделирование трещиностойкости композици-
онных материалов // Вычисл. мех. сплош. сред. – 2009. – 2, № 2. – С. 22–39.
Получено 26.11.2012
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-136841 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0430-6252 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:09:32Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мирсалимов, В.М. Гасанов, Ф.Ф. 2018-06-16T16:51:56Z 2018-06-16T16:51:56Z 2013 Решение периодической задачи о развитии когезионных трещин при продольном сдвиге / В.М. Мирсалимов, Ф.Ф. Гасанов // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 68-72. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. 0430-6252 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/136841 539.375 Рассмотрено перфорированное тело, ослабленное поверхностными когезионными трещинами, при продольном сдвиге. Решение задачи о равновесии такого тела сведено к решению одной бесконечной алгебраической системы и одного сингулярного интегрального уравнения с ядром типа Коши. Розглянуто перфороване тіло, послаблене поверхневими когезійними тріщинами, за поздовжнього зсуву. Вирішення задачі про рівновагу такого тіла зведено до розв’язку однієї нескінченної алгебричної системи та одного сингулярного інтегрального рівняння з ядром типу Коші. The punched body weakened by surface cohesive cracks is considered under antiplane sliding. The solution of the problem on equilibrium of the punched body under longitudinal shear with cohesive cracks is reduced to the solution of one infinite algebraic system and one nonlinear singular integral equation with a Cauchy-type kernel. uk Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України Фізико-хімічна механіка матеріалів Решение периодической задачи о развитии когезионных трещин при продольном сдвиге Розв’язок періодичної задачі про розвиток когезійних тріщин за поздовжнього зсуву Solution of the periodic problem about cohesive cracks development under longitudinal shear Article published earlier |
| spellingShingle | Решение периодической задачи о развитии когезионных трещин при продольном сдвиге Мирсалимов, В.М. Гасанов, Ф.Ф. |
| title | Решение периодической задачи о развитии когезионных трещин при продольном сдвиге |
| title_alt | Розв’язок періодичної задачі про розвиток когезійних тріщин за поздовжнього зсуву Solution of the periodic problem about cohesive cracks development under longitudinal shear |
| title_full | Решение периодической задачи о развитии когезионных трещин при продольном сдвиге |
| title_fullStr | Решение периодической задачи о развитии когезионных трещин при продольном сдвиге |
| title_full_unstemmed | Решение периодической задачи о развитии когезионных трещин при продольном сдвиге |
| title_short | Решение периодической задачи о развитии когезионных трещин при продольном сдвиге |
| title_sort | решение периодической задачи о развитии когезионных трещин при продольном сдвиге |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/136841 |
| work_keys_str_mv | AT mirsalimovvm rešenieperiodičeskoizadačiorazvitiikogezionnyhtreŝinpriprodolʹnomsdvige AT gasanovff rešenieperiodičeskoizadačiorazvitiikogezionnyhtreŝinpriprodolʹnomsdvige AT mirsalimovvm rozvâzokperíodičnoízadačíprorozvitokkogezíinihtríŝinzapozdovžnʹogozsuvu AT gasanovff rozvâzokperíodičnoízadačíprorozvitokkogezíinihtríŝinzapozdovžnʹogozsuvu AT mirsalimovvm solutionoftheperiodicproblemaboutcohesivecracksdevelopmentunderlongitudinalshear AT gasanovff solutionoftheperiodicproblemaboutcohesivecracksdevelopmentunderlongitudinalshear |