Робоча довжина високомодульного лінійного включення за дії зосереджених циклічних сил в умовах плоскої задачі
Досліджено відшарування тонкого жорсткого включення за умов плоскої задачі під
 час навантаження неперервними та циклічними зосередженими силами. Отримано
 його робочу довжину, яка залежить від кількості циклів, мінімального та максимального навантаження за цикл, енергії відшарування...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
|---|---|
| Дата: | 2016 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2016
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/137155 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Робоча довжина високомодульного лінійного включення за дії зосереджених циклічних сил в умовах плоскої задачі / М.М. Кундрат // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 69-76. — Бібліогр.: 18 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860246663402094592 |
|---|---|
| author | Кундрат, М.М. |
| author_facet | Кундрат, М.М. |
| citation_txt | Робоча довжина високомодульного лінійного включення за дії зосереджених циклічних сил в умовах плоскої задачі / М.М. Кундрат // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 69-76. — Бібліогр.: 18 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| description | Досліджено відшарування тонкого жорсткого включення за умов плоскої задачі під
час навантаження неперервними та циклічними зосередженими силами. Отримано
його робочу довжину, яка залежить від кількості циклів, мінімального та максимального навантаження за цикл, енергії відшарування одиниці довжини включення, міцнісних та пружних характеристик матриці, відстані до прикладених сил. Обчислено
робочу довжину для окремих характеристик композиції та навантажень.
Исследовано отслоение тонкого жесткого включения в условиях плоской
задачи при нагрузке непрерывными и циклическими сосредоточенными силами. Получено значение его рабочей длины, которое зависит от количества циклов, минимальной и
максимальной нагрузки за цикл, энергии отслаивания единицы длины включения, прочностных и упругих характеристик матрицы, расстояния к прилагаемым силам. Выполнены расчеты рабочей длины для отдельных характеристик композиции и нагрузок.
Lamination of the thin hard inclusion in the condition of plane problem under
loading by continuous and cyclic concentrated forces is investigated. The value of its working
length of the inclusion depending on the amount of cycles, minimum and maximal loading for a
cycle, energy of lamination of a unit of inclusion length, strength and elastic rates of matrix,
distance to applied forces are obtained. The working length for some cases of composition and
load is calculated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:37:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
69
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2016. – ¹ 1. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.431:624.072
РОБОЧА ДОВЖИНА ВИСОКОМОДУЛЬНОГО ЛІНІЙНОГО
ВКЛЮЧЕННЯ ЗА ДІЇ ЗОСЕРЕДЖЕНИХ ЦИКЛІЧНИХ СИЛ
В УМОВАХ ПЛОСКОЇ ЗАДАЧІ
М. М. КУНДРАТ
Національний університет водного господарства та природокористування, Рівне
Досліджено відшарування тонкого жорсткого включення за умов плоскої задачі під
час навантаження неперервними та циклічними зосередженими силами. Отримано
його робочу довжину, яка залежить від кількості циклів, мінімального та максималь-
ного навантаження за цикл, енергії відшарування одиниці довжини включення, міц-
нісних та пружних характеристик матриці, відстані до прикладених сил. Обчислено
робочу довжину для окремих характеристик композиції та навантажень.
Ключові слова: включення, відшарування, зона передруйнування, робоча довжина,
кількість циклів.
Проблема руйнування матеріалів за циклічного навантаження та визначення
залишкового ресурсу є важливою і актуальною як з наукового, так і прикладного
боку. Основні зусилля спеціалісти у галузі циклічної втоми досі зосереджували
на аналізі тіл з тріщинами, результати яких узагальнено в низці монографій. Се-
ред підходів найефективнішими виявилися енергетичні, в основу яких покладе-
но, що дисипація енергії пластичного деформування у зоні передруйнування біля
вершини тріщини дорівнює енергії руйнування на розраховуваній ділянці.
З огляду на вищу концентрацію напружень поблизу гострокінцевих дефек-
тів, заповнених іншим матеріалом, зокрема й жорстких включень, пластичне де-
формування та руйнування у таких композиціях мають істотні відмінності від
аналогічних явищ у тілах з тріщинами та пористими концентраторами напру-
жень, що робить актуальними дослідження кінетики їх відшарування.
Огляд досліджень. Поля напружень і переміщень в околі жорстких вклю-
чень вивчали раніше, їх подання за сталого навантаження вперше опубліковано в
працях [1–3], а найповніший огляд досліджень виконано в монографії [4]. Спіль-
ною рисою отриманих суто пружних розв’язків є механічно некоректна коренева
сингулярність напружень в околі вершин включень. Дотичні напруження xyσɶ на
включенні та нормальні yyσɶ на його продовженні (рис. 1a) містять в околах вер-
шини кореневі сингулярності. Тут і дальше σij – компоненти тензора напружень,
/ij ij s
∗σ ≡ σ τɶ , де s
∗τ – зсувна міцність межі поділу.
Внаслідок підвищеної неоднорідності напруженого стану біля включень слід
очікувати [3, 5] більших пластичних деформацій порівняно з тріщинами чи гост-
рокінцевими отворами. Дослідні результати свідчать [6, 7], що пластична теку-
чість починається біля кутів на торцях включення і зі збільшенням навантаження
поширюється уздовж поверхні поділу до його центральної частини. Аналітичні
розв’язки плоских задач для лінійного включення з зонами передруйнування, які
моделюють локалізованими тонкими прошарками, отримано в працях [8–10]. Особ-
ливість напружень в околі вершин включення у цих розв’язках змінилася із коре-
Контактна особа: М. М. КУНДРАТ, e-mail: kundrat@i.ua
70
невої на логарифмічну, що є певним поліпшенням фізичної адекватності моделі: до-
тичні напруження в околі вершини включення мають розрив першого роду (рис. 1b),
а нормальні – логарифмічну сингулярність. В аналогічному формулюванні досліджу-
вали [11] просторову задачу для дископодібного жорсткого включення.
Рис. 1. Контактні дотичні xyσɶ і нормаль-
ні yyσɶ напруження на межі матриця–
включення уздовж правої половини [0; 1]
та на продовженні включення за розтягу
*/(2 ) 0,25sq τ = : a – за пружними
розв’язками; b – за результатами [8, 10];
c – за двофазної [12] зони
передруйнування.
Fig. 1. Contact tangential xyσɶ and normal yyσɶ stresses at a matrix-inclusion boundary along
a right half [0; 1] and at the continuation of the inclusion under tension */(2 ) 0.25sq τ = :
a – by elastic solutions; b – by results [8, 10]; c – for two-phase [12] process zone.
Сформульовано [12, 13] нову модельну постановку, де математична модель
деформування тіла з включенням передбачає двофазну зону передруйнування,
яка складається зі спричиненої високою концентрацією пружних напружень ді-
лянки розпушення та області пластичного зсуву чи адгезії. Це дало змогу отрима-
ти вищий рівень фізичної адекватності моделі та уникнути внаслідок цього син-
гулярності напружень в околах вершин включення, одержавши природним чи-
ном як на включенні (рис. 1c), так і в усіх точках композиції механічно коректні
обмежені напруження. Максимального значення дотичні напруження досягають
[12] в околах кінців включення і саме тут йому передається більша частина на-
вантаження від матриці. За межами деякого околу біля країв вони швидко змен-
шуються і в середній частині рівні нулю (рис. 2). Прийнята схема узгоджується
як з експериментальними результатами [14, 6], так і числовими розрахунками [15].
Рис. 2. Дотичні напруження xyσɶ на межі
включення–матриця (1) та розривні xxσɶ
в перерізі включення (2) за одновісного
розтягу.
Fig. 2. Tangential stresses xyσɶ at the inclusion-matrix boundary (1) and rupture xxσɶ stresses
in the inclusion cross-section (2) under uniaxial tension.
Отримані результати дали можливість виявити [13] два найочікуваніших ме-
ханізми локального руйнування в композиції залежно від механічних та міцніс-
71
них характеристик включення, матриці, контактної межі та від довжини вклю-
чення. За довжини включення меншій від 2 cra∗ відбуватиметься його відшару-
вання, за більшої від 2 cra∗ – розрив.
Аналізу особливостей втомного відшарування високомодульного включення
присвячені праці [16–18]. Нижче з використанням енергетичного підходу отри-
мано аналітичний розв’язок задачі про відшарування жорсткого лінійного вклю-
чення в однорідній ізотропній матриці за сталого, неперервного та циклічного
навантажень зосередженими силами.
Формулювання задачі. Розгляда-
ємо в умовах плоскої задачі компози-
цію з пружно-пластичної матриці та лі-
нійного жорсткого включення завдов-
жки 2а ( *2 2 cra a< ), віднесену до систе-
ми координат xOy (рис. 3а). Матеріали
матриці та контактної межі матриця–
включення вважаємо рівноміцними.
Обмеження на довжину включення ви-
ключає можливість його руйнування
розривом. Композиція навантажена у
точках x = ±l, y = 0 зосередженими
циклічними силами Q = Q0 + ∆Qsinωt
(Q ≥ 0) на продовженні лінії включен-
ня, де ω – кругова частота. Впливом
зон нелінійності біля точок прикладан-
ня сил нехтуємо, що допустимо за до-
статнього їх віддалення від кінців включення. Вважаємо, що інерційні та тепло-
твірні ефекти неістотні. Оскільки околи вершин включення є місцями найінтен-
сивнішого локального деформування, то саме тут зароджуються локалізовані
зони передруйнування, які, просуваючись до центральної частини уздовж межі
матриця–включення, охоплюють вершини включення [10]. Вони можуть імітува-
ти області накопичення пошкоджень, розрив адгезійного зв’язку, проковзування
тощо. За певної комбінації значень амплітуди та кількості циклів навантаження
включення відшаровується від матриці за механізмом поперечного зсуву. Довжи-
ну включення без відшарованих на кінцях частин позначаємо через 2awr і нази-
ваємо робочою довжиною включення (рис. 3b). Коефіцієнт тертя на ділянках
L2 ≈ awr < |x| ≤ a, де відбулося розшарування між включенням та матеріалом мат-
риці, приймаємо рівним нулю.
Необхідно знайти (рис. 3b) аналітичні залежності зміни робочої довжини
включення awr від кількості циклів n, мінімального Qmin та максимального Qmax
навантаження за цикл, енергії відшарування одиниці довжини включення ∗
τγ ,
міцнісної s
∗τ та пружних ν, G характеристик, відстані до точок прикладання сил l.
Отримані розрахункові формули будуть справедливими за допущення суперпо-
зиції зовнішніх силових, температурних та інших чинників.
Спочатку розглядаємо відповідну крайову задачу для композиції з включен-
ням (awr = a) за дії сталих зосереджених сил Q за таких крайових умов. На про-
міжку L1 ≈ |x| ≤ cwr (cwr = c) включення бездефектно зв’язане з матрицею і тому
поздовжні деформації там відсутні:
0( ) / 0 ( )u x x x L∂ ∂ = ∈ . (1)
У зонах передруйнування дотичні напруження досягають свого граничного значення
Рис. 3. Схема задачі до (a) та під час (b)
відшарування включення.
Fig. 3. Scheme of the problem before (a)
and during (b) the inclusion lamination.
72
1( ) ( ) sign( ) ( )xy xy sx x x x L+ − ∗σ = −σ = τ ∈ . (2)
Поза межами робочої довжини включення
( ) 0 (| | , 0)xy wrx x a yσ = > = . (3)
Умова неперервності напружень в околах вершин зон передруйнування така:
( ,0) ( 0)xy s wrx x c∗σ → τ → − . (4)
Для розв’язування задачі (1)–(4) використовуємо відомі [1] подання Колосо-
ва–Мусхелішвілі для напружень і деформацій:
4Re ( )xx yy zσ + σ = Φ , ( ) ( ) ( ) ( )yy xyi z z z z z′σ − σ = Φ − κΦ + − Φ , (5)
2 ( / / ) 2 Re ( ) ( ) ( )G u x i x z z z z′∂ ∂ + ∂ν ∂ = κ Φ − − Φ , = +z x iy , (6)
де 3 4κ = − ν для плоскої деформації та (3 ) /(1 )κ = − ν + ν за умов плоского на-
пруженого стану.
Функцію напружень ( )zΦ знайдемо після підстановки формул (5), (6) у кра-
йові умови (1)–(4) та розв’язання відповідної задачі спряження з кусково-непе-
рервними коефіцієнтами
1( ) ( / ( 1)) ln ( , , )s wr wrz z a c∗Φ = τ π κ + Γ , (7)
1( , , ) ( ) / ( )wr wrz a c z z+ − Γ = ζ ζ
, 2 2 2 2( ) wr wr wr wrz a z c z a c±ζ = − ± − ,
( ) 2 2 2 22 ln 0s wr wr wr wr wrQ l c a a c c∗ τ − − + − =
. (8)
Формули (5)–(8) цілком описують поля напружень та деформацій у тілі з вклю-
ченням за заданим навантаженням і дають можливість дослідити умови його руй-
нування. Рівняння (8), отримане із забезпечення умови (4), описує зв’язок між
довжиною зон передруйнування, навантаженням та відстанню до прикладених сил.
У зонах передруйнування відбуваються зміщення точок матеріалу матриці
стосовно включення, які, згідно з виразами (6), (8), визначають за формулою
{ }2 1( , ) ( , , ) ( , , ) ,
( 1)
s
wr wr wr wr wr wr
l
u x a a x a c x x a c
G
∗κτ
= Γ + Γ
π κ +
| |wr wrc x a≤ ≤ , (9)
2 ( , , ) ln ( ) / ( )wr wrx a c x x− + Γ = η η
, 2 2 2 2( ) wr wr wrx a c x c±η = − ± − .
Їхні найбільші значення ( ) ( ) /( )s wru t Gu t a∗= τɶ досягаються (рис. 4) в околах вер-
шин ( wrx a= ± ). Їх обчислюємо за формулою
2
( ) ( , ) lim ( , ) ln
( 1)wr
s wr wr
wr wr wr wr
x a wr
a a
u a u a a u x a
G c
∗
→
κτ
≡ = =
π κ +
. (10)
Рис. 4. Переміщення по довжині зони
передруйнування / wrt x a≡ за фіксованого
навантаження */(2 )wr sQ Q a≡ τɶ : 1 – 0,1Q =ɶ ,
/ 0,9983wr wrc a = ; 2 – 0,15Q =ɶ ,
/ 0,9963wr wrc a = ; 3 – 0,2Q =ɶ ,
/ 0,9983wr wrc a = .
Fig. 4. Displacement along the process zone length / wrt x a≡ under fixed loading
*/(2 )wr sQ Q a≡ τɶ : 1 – 0.1Q =ɶ , / 0.9983wr wrc a = ; 2 – 0.15Q =ɶ , / 0.9963wr wrc a = ;
3 – 0.2Q =ɶ , / 0.9983wr wrc a = .
73
За досягнення максимальними переміщеннями u(awr) граничної межі δ2c на-
стає ймовірність розшарування, тобто втрата зв’язку між включенням та матри-
цею за умови
2( )wr cu a = δ . (11)
Найменше навантаження Q=Q*, за досягнення якого реалізується умова (11),
називаємо граничним навантаженням. Його значення обчислюємо з системи рів-
нянь (8), (10), (11), а в першому наближенні ( 1ε << , ( ) /wr wr wra c aε = − ) оцінює-
мо за формулою
2 2
22 ( 1) ( )wr c sQ l a G a∗ ∗= − π κ + δ τ κ . (12)
Отримані співвідношення придатні для експериментальної механіки руйну-
вання, оскільки за відомими довжиною зони передруйнування та граничним на-
вантаженням можна оцінити граничні розриви переміщень 2сδ чи енергію відша-
рування для конкретних композицій.
Автономність зон передруйнування. Нехай робоча довжина включення
значно більша проти параметра δ2c та довжини зони передруйнування:
2 ,wr c wr wr wra a c a>> δ − << . (13)
Включення, для яких справедливі такі нерівності, називаємо макроскопічними.
Покажемо, що для них виконується гіпотеза автономності кінцевої області, тобто
в стані граничної рівноваги (u(awr) = δ2c) розмір зони передруйнування не зале-
жить від діючого навантаження та робочої довжини включення. За виконання
умов (13) формулу (10) з точністю до величин порядку ε2 можна подати так:
( ) 2κτ (π (κ 1))wr s wru a a G∗= ε + .
Якщо навантаження відповідає гранично рівноважному стану стосовно відшару-
вання включення (Q = Q*), то існує умова (11) і звідси
2( 1) (2 )wr wr с sa c G ∗− = π κ + δ κτ .
Тобто довжина зони передруйнування в гранично рівноважному стані не зале-
жить від навантаження та розміру включення, а лише від пружних та міцнісних
характеристик, а отже, для макроскопічних включень справедлива гіпотеза їх
автономності. Довжину макроскопічного включення оцінюємо за порівнянням
результатів розрахунків граничного навантаження його відшарування з системи
рівнянь (8), (10), (11) – точний розв’язок та формулою (12) – перше наближення.
При 2 /( )c s wrG a∗δ τ < 0,16 розбіжність між двома прогнозами не виходить за межі
5%, тому з такою похибкою при 26 /wr c sa G ∗> δ τ включення можна вважати мак-
роскопічним.
Відшарування за неперервного навантаження. Для побудови рівняння
відшарування включення використовуємо енергетичний критерій, який передба-
чає існування критичного значення енергії Wf, необхідної для того, щоб робоча
довжина включення зменшилася на одиницю довжини. Тоді для зменшення ро-
бочої довжини включення awr на величину δawr дисипація енергії повинна до-
сягти значення 1f f wrW a∗
τ= η γ δ , де f
∗
τγ – густина енергії відшарування; 1η – по-
правковий коефіцієнт. Зі зменшенням робочої довжини на деяку величину δawr
напруження на відповідному переміщенні виконають роботу
[ ]2 ( ) ( , , ) ( , , )
wr wr
wr wr
a a
xy wr wr wr
a d a
W x u x a a Q Q u x a Q dx
−δ
− −δ
= σ − δ + δ −∫ ,
де wr wrd a c= − . За схемою [17] подаємо функцію ( , )wr wru x a a− δ у вигляді ряду
74
Тейлора за степенями δawr, знехтуємо доданками порядку (δawr)
2 та спрямуємо
δawr до нуля, вважаючи параметр awr залежним від навантаження. Тоді отримаємо:
( , , ) ( , , )
2 2
wr
wr
a
wr wr wr
s s wr
wr wrc
u x a Q du a a Qd
W x dx a
da x da
∗ ∗∂
= τ − τ
∂∫ . (14)
Трансцендентне щодо довжини смуг awr – cwr рівняння (8) використаємо в неяв-
ному вигляді
1 2[ ( ), ( ), ] 0f Q Q Qϕ ϕ =ɶ ɶ ɶ ,
де 1( ) /wrQ c lϕ =ɶ , 2 ( ) / wrQ l aϕ =ɶ , */(2 )s wrQ Q a≡ τɶ , при цьому 1 2( ) ( )Q Qϕ ⋅ ϕ =ɶ ɶ
/wr wrc a= . Тоді із формули (14)
( ) ( )1 2 12 ( ), ( ), 2 , ,s wr s wr wr f
wr
d
R Q Q a u a a Q
da
∗ ∗ ∗
ττ ϕ ϕ + τ = η γɶ ɶ ɶ , (15)
де [
2
2 2
1 2 1 2 1 1 2( ( ), ( ), ) 2 ln( ) ( ) 1
( 1)
s wr
wr
a
R Q Q a s Q
G
∗κτ ϕ ϕ = ϕ ϕ + − ϕ ϕ π κ +
ɶ ɶ ɶ ,
1 2
1 2wr wr wr wr
dR R R dQ R dQ
da a Q da Q da
∂ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ= + +
∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂
ɶ ɶ
ɶ ɶ
, 1 1( )Qϕ = ϕ ɶ , 2 2 ( )Qϕ = ϕ ɶ ,
1 2( ( ), ( ), )wrR R Q Q a= ϕ ϕɶ ɶ ,
2 2 2 2
1 2 1 2 12
2 2 21 1 1 2
1 ( )
(1 )
wr
s QR
a Q
− ϕ ϕ − ϕ ϕ∂ =
∂ϕ ϕ − ϕ ϕ
ɶ
ɶ ,
2 2 2 22
1 2 1 2 1
2 2 22 2 1 2
1 ( )
( 1) (1 )
s wr s QaR
G
∗ − ϕ ϕ − ϕ ϕκτ∂ =
∂ϕ π κ + ϕ − ϕ ϕ
ɶ
,
2 2
1 1 2 1 2( ) ln 1 1 ( )s Q = + − ϕ ϕ ϕ ϕ
ɶ , 2 2 2 2
2 1 1 1 1 2( ) 1 ( ) 1s Q s Q= ϕ − − ϕ − ϕ ϕɶ ɶ ,
2 2 2
1 1 1 2 2 2(1 )(1 ) ( ( ))wrQ a s Q∂ϕ ∂ = − ϕ − ϕ ϕ ϕɶ ɶ ,
2 2 2
2 1 2 11 1wrQ a ∂ϕ ∂ = − − ϕ ϕ − ϕ
ɶ .
Після відносно громіздких перетворень формулу (15) подамо у вигляді
11 1 2
1 1 2
2 1 1 2
( , )1
2 ( , )
( 1) ( , )
fwr
wr s
a B dQ
A
G C da
∗
τ
∗
η γ κ ϕ ϕ ϕ ϕ + = π κ + ϕ ϕ ϕ τ
ɶ
,
де 2 2
1 1 2 1 2 1 1 2( , ) ln( ) ( ) 1A s Qϕ ϕ = ϕ ϕ + − ϕ ϕɶ , 2
1 1 2 2 1 1( , ) ( ) 1C s Qϕ ϕ = ϕ − ϕɶ ,
2 2 2 2 2
1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2( , ) (1 ( ) ) 1 ( )B s Q s Q ϕ ϕ = − ϕ − ϕ − ϕ ϕ − ϕ ϕ
ɶ ɶ .
Звідси шуканий зв’язок між робочою довжиною включення та навантаженням
подаємо у вигляді задачі Коші для диференціального рівняння першого порядку:
1 1 2 0( , ) , ( 0) ,wr
wr
da
R a Q a
dQ
= ϕ ϕ = =ɶ
ɶ
(16)
де 1 1 2
1 1 2
2 1 1 2 1 1 2
( , )
( , )
( , )( 1 2 ( , ))
c wr
c wr
g a B
R
C g a A
πκ ϕ ϕ
ϕ ϕ =
ϕ ϕ ϕ κ + − πκ ϕ ϕ
, 2 2
1( ) ( )c s fg G∗ ∗
τ≡ τ π η γ ,
0a – початкова робоча довжина включення.
Відшарування за циклічного навантаження. Диференціальне рівняння за-
дачі Коші (16) використаємо для розв’язання задачі про відшарування включення
75
за циклічного навантаження. Приймаємо, що воно відбувається під час кожного
періоду навантаження, а за розвантаження робоча довжина включення не зміню-
ється. Інтегруючи рівняння (16) від мінімального minQɶ до максимального maxQɶ на-
вантаження та вважаючи параметр awr сталим упродовж одного циклу, отримуємо
зменшення робочої довжини включення протягом одного циклу на wra∆ =
max
min
1 1 2( , )
Q
Q
R dQ= ϕ ϕ∫
ɶ
ɶ
ɶ . Звідси швидкість відшаровування включення подаємо виразом
max
min
1 1 2 2 max min( , ) ( , , )
Q
wr
wr
Q
da
R dQ R Q Q a
dn
= ϕ ϕ ≡∫
ɶ
ɶ
ɶ ɶ ɶ ,
де n – кількість циклів навантаження. Після інтегрування залежність між робо-
чою довжиною включення та кількістю циклів така:
0
2 max min( , , )
na
wr
wra
da
n
R Q Q a
= ∫ ɶ ɶ
, (17)
де an – значення параметра awr через n циклів. Швидкість відшарування (рис. 5)
істотно залежить як від початкової довжини включення, так і максимального на-
вантаження за цикл. При цьому повного відшарування не відбувається, включен-
ня в середній частині залишається зв’язаним з матрицею. Що менша початкова
робоча довжина включення, то повільніше (рис. 5b) проходить відшарування.
Рис. 5. Робоча (a) та відносна (b) довжини включення 0100% /wr wra a a= ⋅ɶ
залежно від кількості циклів навантаження: min 0,1Q =ɶ , max 0,2Q =ɶ ,
κ = 2,2, gc = 1, l = 2; 1 – a0 = 1, 2 – a0 = 0,5.
Fig. 5. Working (a) and relative (b) lengths 0100% /wr wra a a= ⋅ɶ of inclusion depending
on the number of loading cycles: min 0.1Q =ɶ , max 0.2Q =ɶ , κ = 2.2, gc = 1, l = 2;
1 – a0 = 1, 2 – a0 = 0.5.
ВИСНОВКИ
Запропоновано розрахункову модель відшарування тонкого жорсткого вклю-
чення від основного матеріалу матриці. Отримано аналітичний розв’язок задачі
відшарування включення за неперервного (описано задачею Коші для диферен-
ціального рівняння першого порядку) та циклічного (нелінійним рівнянням) си-
лового навантаження. Для фіксованого навантаження за цикл та наперед відомій
кількості циклів завжди можна підібрати довжину включення чи його характе-
ристики так, щоб відшарування не перевищувало заданого наперед значення (чи не
відбувалося). Отримані співвідношення необхідні в експериментальній механіці
руйнування композитів. За відомих довжини включення, пружних та міцнісних
параметрів композиції, мінімального та максимального навантаження за цикл
отриманими формулами можна оцінити робочу довжину включення чи її зна-
чення відносно початкової через задану кількість циклів навантаження.
76
РЕЗЮМЕ. Исследовано отслоение тонкого жесткого включения в условиях плоской
задачи при нагрузке непрерывными и циклическими сосредоточенными силами. Получе-
но значение его рабочей длины, которое зависит от количества циклов, минимальной и
максимальной нагрузки за цикл, энергии отслаивания единицы длины включения, проч-
ностных и упругих характеристик матрицы, расстояния к прилагаемым силам. Выполне-
ны расчеты рабочей длины для отдельных характеристик композиции и нагрузок.
SUMMARY. Lamination of the thin hard inclusion in the condition of plane problem under
loading by continuous and cyclic concentrated forces is investigated. The value of its working
length of the inclusion depending on the amount of cycles, minimum and maximal loading for a
cycle, energy of lamination of a unit of inclusion length, strength and elastic rates of matrix,
distance to applied forces are obtained. The working length for some cases of composition and
load is calculated.
1. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.
– М.: Наука, 1966. – 707 с.
2. Sih G. C. Plane extension of rigidly embedded line inclusions // Developments in mechanics.
Pt. 1: Solid. Mech. and Mat. – New York: Willey, 1965. – Vol. 3. – P. 61–79.
3. Панасюк В. В., Бережницкий Л. Т., Труш И. И. Распределение напряжений около дефектов
типа жестких остроугольных включений // Проблемы прочности. – 1972. – № 7. – С. 3–9.
4. Сулим Г. Т. Основи математичної теорії термопружної рівноваги деформівних твердих
тіл з тонкими включеннями. – Львів: Дослідно-видавничий центр НТШ, 2007. – 716 с.
5. Бережницкий Л. Т., Громяк Р. С. К оценке предельного состояния матрицы в окрест-
ности остроконечного жесткого включения // Физ.-хим. механика материалов. – 1977.
– 13, № 2. – С. 39–47.
6. Эберт Л. Дж., Райт П. К. Механические поверхности раздела // Композиционные мате-
риалы. Т. 1. Поверхности раздела в металлических композитах. – М.: Мир, 1978. – С. 42–76.
7. Fukuda Hiroshi and Chou Tsu-Wei Stiffness and strength of short fibre composites as
affected by crack and plasticity // Fibre Sci. and Technol. – 1981. – 15, № 4. – P. 243–256.
8. Brussat T. R. and Westmann R. A. Interfacial slip around rigid fiber inclusions // J. Comp.
Mater. – 1974. – 8, № 4. – P. 364–377.
9. Shioiri J. and Inoue K. Micromechanics of interfacial failure in short fiber reinforced com-
posite materials // Rep. 1st Soviet-Japanese Symp. on Composite Materials. – Moscow, 1979.
– P. 286–295.
10. Бережницкий Л. Т., Кундрат Н. М. Локальное упругопластическое разрушение одного
класса композитов // Физ.-хим. механика материалов. – 1984. – 19, № 5. – С. 57–64.
11. Силованюк В. П. Розвиток смуг пластичності на жорсткому дископодібному включен-
ні // Доп. АН УРСР, Сер. А. – 1985. – № 10. – С. 35–38.
12. Кундрат Н. М. Локальное разрушение в композиции с жестким линейным включением
// Механика композиционных материалов и конструкций. – 1998. – 4, № 4. – С. 115–127.
13. Сулим Г. Т., Кундрат М. М. Гранична рівновага та руйнування в ортотропному тілі зі жорст-
ким стрічковим включенням // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2006. – 42, № 2. – С. 69–79.
(Sulym H. T. and Kundrat M. M., Limiting equilibrium and fracture in an orthotropic body
containing a thin rigid inclusion // Materials Science. – 2006. – 42, № 2. – P. 220–232.)
14. Шами К. Механизм передачи нагрузки через поверхность раздела // Композиционные ма-
териалы. Т. 6. Поверхности раздела в полимерных композитах. – М.: Мир, 1978. – С. 42–87.
15. Сулим Г. Т., Рокач И. В. Метод конечных элементов в задаче о тонкостенном включе-
нии // Материалы 10-ой конф. мол. ученых Физ.-мех. ин-та АН УССР. Секц. физ.-хим.
мех. материалов.(12–16 октября, 1981). – Львов, 1983. – 3 с. – Деп. в ВИНИТИ 12 апр.
1983 г. № 1948-83 Деп.
16. Kim J. K. and Mai Y. W. Engineered interfaces in fiber reinforced composites. – Elsevier
Science Ltd, 1998. – 418 p.
17. Кундрат М. М. Про відшарування жорсткого лінійного включення // Доповіді НАН
України. – 2001. – № 2. – С. 60–65.
18. Sulym H. T. and Kundrat M. M. Odseparowywanie gietkiej nakladki na krawedzi polplas-
zczyzny sprezystej w plaskim zagadnieniu termosprezystosci // Materialy III Sympozjum
Mechaniki Zniszczenia Materiałów i Konstrukcji (Augustów 1–4 czerwca 2005). – Bialystok,
2005. – S. 401–404.
Одержано 03.01.2013
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-137155 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0430-6252 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:37:23Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кундрат, М.М. 2018-06-17T07:55:05Z 2018-06-17T07:55:05Z 2016 Робоча довжина високомодульного лінійного включення за дії зосереджених циклічних сил в умовах плоскої задачі / М.М. Кундрат // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 69-76. — Бібліогр.: 18 назв. — укp. 0430-6252 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/137155 539.431:624.072 Досліджено відшарування тонкого жорсткого включення за умов плоскої задачі під
 час навантаження неперервними та циклічними зосередженими силами. Отримано
 його робочу довжину, яка залежить від кількості циклів, мінімального та максимального навантаження за цикл, енергії відшарування одиниці довжини включення, міцнісних та пружних характеристик матриці, відстані до прикладених сил. Обчислено
 робочу довжину для окремих характеристик композиції та навантажень. Исследовано отслоение тонкого жесткого включения в условиях плоской
 задачи при нагрузке непрерывными и циклическими сосредоточенными силами. Получено значение его рабочей длины, которое зависит от количества циклов, минимальной и
 максимальной нагрузки за цикл, энергии отслаивания единицы длины включения, прочностных и упругих характеристик матрицы, расстояния к прилагаемым силам. Выполнены расчеты рабочей длины для отдельных характеристик композиции и нагрузок. Lamination of the thin hard inclusion in the condition of plane problem under
 loading by continuous and cyclic concentrated forces is investigated. The value of its working
 length of the inclusion depending on the amount of cycles, minimum and maximal loading for a
 cycle, energy of lamination of a unit of inclusion length, strength and elastic rates of matrix,
 distance to applied forces are obtained. The working length for some cases of composition and
 load is calculated. uk Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України Фізико-хімічна механіка матеріалів Робоча довжина високомодульного лінійного включення за дії зосереджених циклічних сил в умовах плоскої задачі Рабочая длина высокомодульного линейного включения при воздействии сосредоточенных циклических сил в условиях плоской задачи Working length of a high-modulus line inclusion under action of the concentrated cyclic forces in the plane problem conditions Article published earlier |
| spellingShingle | Робоча довжина високомодульного лінійного включення за дії зосереджених циклічних сил в умовах плоскої задачі Кундрат, М.М. |
| title | Робоча довжина високомодульного лінійного включення за дії зосереджених циклічних сил в умовах плоскої задачі |
| title_alt | Рабочая длина высокомодульного линейного включения при воздействии сосредоточенных циклических сил в условиях плоской задачи Working length of a high-modulus line inclusion under action of the concentrated cyclic forces in the plane problem conditions |
| title_full | Робоча довжина високомодульного лінійного включення за дії зосереджених циклічних сил в умовах плоскої задачі |
| title_fullStr | Робоча довжина високомодульного лінійного включення за дії зосереджених циклічних сил в умовах плоскої задачі |
| title_full_unstemmed | Робоча довжина високомодульного лінійного включення за дії зосереджених циклічних сил в умовах плоскої задачі |
| title_short | Робоча довжина високомодульного лінійного включення за дії зосереджених циклічних сил в умовах плоскої задачі |
| title_sort | робоча довжина високомодульного лінійного включення за дії зосереджених циклічних сил в умовах плоскої задачі |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/137155 |
| work_keys_str_mv | AT kundratmm robočadovžinavisokomodulʹnogolíníinogovklûčennâzadíízoseredženihciklíčnihsilvumovahploskoízadačí AT kundratmm rabočaâdlinavysokomodulʹnogolineinogovklûčeniâprivozdeistviisosredotočennyhcikličeskihsilvusloviâhploskoizadači AT kundratmm workinglengthofahighmoduluslineinclusionunderactionoftheconcentratedcyclicforcesintheplaneproblemconditions |