Пружний півпростір з неоднорідним покривом під дією дотичних зусиль
Розглянуто тривимірну задачу теорії пружності про навантаження неоднорідного півпростору дотичними зусиллями, розподіленими в круговій області його поверхні. Півпростір складається з однорідної основи і поверхневого неоднорідного шару, коефіцієнт Пуассона якого сталий, а залежність модуля Юнґа від в...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2010
|
| Назва видання: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/137175 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Пружний півпростір з неоднорідним покривом під дією дотичних зусиль / Р. Кульчицький-Жигайло, А. Байковський // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 6. — С. 25-34. — Бібліогр.: 29 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-137175 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1371752025-02-10T00:11:32Z Пружний півпростір з неоднорідним покривом під дією дотичних зусиль Упругое полупространство с неоднородным покрытием под влиянием касательных усилий An elastic half-space with a heterogeneous coating under tangential forces effect Кульчицький-Жигайло, Р. Байковський, А. Розглянуто тривимірну задачу теорії пружності про навантаження неоднорідного півпростору дотичними зусиллями, розподіленими в круговій області його поверхні. Півпростір складається з однорідної основи і поверхневого неоднорідного шару, коефіцієнт Пуассона якого сталий, а залежність модуля Юнґа від відстані до поверхні півпростору описує показникова функція. Розв’язок задачі теорії пружності, що враховує неперервну залежність модуля Юнґа від координати, порівняно з розв’язком задачі, в якій неоднорідний шар замінено пакетом однорідних шарів. Рассмотрена трехмерная задача теории упругости о нагружении неоднородного полупространства касательными усилиями, распределенными в круговой области его поверхности. Полупространство состоит из однородного основания и поверхностного неоднородного слоя, коэффициент Пуассона которого постоянный, а зависимость модуля Юнга от расстояния до поверхности полупространства описывает показательная функция. Решение задачи теории упругости, учитывающее непрерывную зависимость модуля Юнга от координаты, сравнено с решением задачи, в которой неоднородный слой заменен пакетом однородных слоев. A three-dimensional problem of the elasticity theory for a functionally graded coated half-space under shear loading, distributed in the circular area of its siurface, is considered. The Young’s modulus of the graded coating is assumed to be an exponential function and the Poisson’s ratio is a constant. The solutions of the problem of the theory of elasticity for a functionally graded coated half-space and the one obtained within the framework of a multi-layered coated half-space are compared. Працю виконано за проектом W/WM/12/2010, що реалізується в Білостоцькій політехніці і фінансується Комітетом наукових досліджень Польщі. 2010 Article Пружний півпростір з неоднорідним покривом під дією дотичних зусиль / Р. Кульчицький-Жигайло, А. Байковський // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 6. — С. 25-34. — Бібліогр.: 29 назв. — укp. 0430-6252 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/137175 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів application/pdf Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розглянуто тривимірну задачу теорії пружності про навантаження неоднорідного півпростору дотичними зусиллями, розподіленими в круговій області його поверхні. Півпростір складається з однорідної основи і поверхневого неоднорідного шару, коефіцієнт Пуассона якого сталий, а залежність модуля Юнґа від відстані до поверхні півпростору описує показникова функція. Розв’язок задачі теорії пружності, що враховує неперервну залежність модуля Юнґа від координати, порівняно з розв’язком задачі, в якій неоднорідний шар замінено пакетом однорідних шарів. |
| format |
Article |
| author |
Кульчицький-Жигайло, Р. Байковський, А. |
| spellingShingle |
Кульчицький-Жигайло, Р. Байковський, А. Пружний півпростір з неоднорідним покривом під дією дотичних зусиль Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Кульчицький-Жигайло, Р. Байковський, А. |
| author_sort |
Кульчицький-Жигайло, Р. |
| title |
Пружний півпростір з неоднорідним покривом під дією дотичних зусиль |
| title_short |
Пружний півпростір з неоднорідним покривом під дією дотичних зусиль |
| title_full |
Пружний півпростір з неоднорідним покривом під дією дотичних зусиль |
| title_fullStr |
Пружний півпростір з неоднорідним покривом під дією дотичних зусиль |
| title_full_unstemmed |
Пружний півпростір з неоднорідним покривом під дією дотичних зусиль |
| title_sort |
пружний півпростір з неоднорідним покривом під дією дотичних зусиль |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/137175 |
| citation_txt |
Пружний півпростір з неоднорідним покривом під дією дотичних зусиль / Р. Кульчицький-Жигайло, А. Байковський // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 6. — С. 25-34. — Бібліогр.: 29 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT kulʹčicʹkiižigailor pružniipívprostírzneodnorídnimpokrivompíddíêûdotičnihzusilʹ AT baikovsʹkiia pružniipívprostírzneodnorídnimpokrivompíddíêûdotičnihzusilʹ AT kulʹčicʹkiižigailor uprugoepoluprostranstvosneodnorodnympokrytiempodvliâniemkasatelʹnyhusilii AT baikovsʹkiia uprugoepoluprostranstvosneodnorodnympokrytiempodvliâniemkasatelʹnyhusilii AT kulʹčicʹkiižigailor anelastichalfspacewithaheterogeneouscoatingundertangentialforceseffect AT baikovsʹkiia anelastichalfspacewithaheterogeneouscoatingundertangentialforceseffect |
| first_indexed |
2025-12-02T01:21:26Z |
| last_indexed |
2025-12-02T01:21:26Z |
| _version_ |
1850357568614957056 |
| fulltext |
25
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2010. – ¹ 6. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
ПРУЖНИЙ ПІВПРОСТІР З НЕОДНОРІДНИМ ПОКРИВОМ
ПІД ДІЄЮ ДОТИЧНИХ ЗУСИЛЬ
Р. КУЛЬЧИЦЬКИЙ-ЖИГАЙЛО, А. БАЙКОВСЬКИЙ
Білостоцький технічний університет, Польща
Розглянуто тривимірну задачу теорії пружності про навантаження неоднорідного
півпростору дотичними зусиллями, розподіленими в круговій області його поверхні.
Півпростір складається з однорідної основи і поверхневого неоднорідного шару, ко-
ефіцієнт Пуассона якого сталий, а залежність модуля Юнґа від відстані до поверхні
півпростору описує показникова функція. Розв’язок задачі теорії пружності, що вра-
ховує неперервну залежність модуля Юнґа від координати, порівняно з розв’язком
задачі, в якій неоднорідний шар замінено пакетом однорідних шарів.
Ключові слова: пружний півпростір, неоднорідний покрив, дотичне навантаження.
Методи розв’язування задач теорії пружності для неоднорідного півпросто-
ру, механічні властивості якого залежать від відстані до його поверхні, розробля-
лись уже в 50–70-х роках минулого століття [1–11]. В останньому десятиріччі
увага дослідників зосередилась [12–21] на обчисленні напружень у неоднорідно-
му пружному покриві, який використовують для поліпшення трибологічних ха-
рактеристик пар тертя. Поряд з аналітичними методами розв’язування [12–16]
використовують підхід, згідно з яким неоднорідний покрив моделюють пакетом
однорідних чи неоднорідних шарів [17–21].
Аналізуючи напружений стан, що виникає за контактної взаємодії тіл, до-
слідники часто зосереджуються на обчисленні розтягальних напружень в околі
ненавантаженої поверхні тіл [22–25]. У задачі про ковзання кулі по поверхні од-
норідного півпростору [23], чи півпростору покритого однорідним шаром [25],
припускають, що ділянкою контакту є круг, а сили тертя розподілені за еліптич-
ним законом. Розглядувана задача є тривимірна, методи розв’язування якої у ви-
падку неоднорідного покриву мало розроблені.
Нижче запропоновано аналітичний метод розв’язування тривимірної задачі
теорії пружності про навантаження дотичними зусиллями поверхні пружного
півпростору з неоднорідним пружним покривом, коефіцієнт Пуассона якого ста-
лий, а залежність модуля Юнґа від відстані до поверхні півпростору описує по-
казникова функція. Паралельно розглянуто моделювання покриву пакетом одно-
рідних пружних шарів. Проаналізовано різницю між розподілами розтягальних
напружень на ненавантаженій поверхні неоднорідного півпростору, що виникає
внаслідок використання двох моделей неоднорідного покриву.
Формулювання задачі. Нехай по деякій області Ω поверхні z = h = H/a
пружного неоднорідного півпростору (рис. 1) розподілене дотичне навантаження
τx(x, y), де x, y, z – безрозмірні прямокутні координати, віднесені до характерного
лінійного розміру a області Ω, H – товщина покриву.
Неоднорідний півпростір складається з однорідного ізотропного півпросто-
ру з модулем Юнґа E0 і коефіцієнтом Пуассона µ та неоднорідного покриву, кое-
Контактна особа: Р. КУЛЬЧИЦЬКИЙ-ЖИГАЙЛО, e-mail: r.kulczycki@pb.edu.pl
26
фіцієнт Пуассона якого сталий і рівний µ. Залежність модуля Юнґа від координа-
ти z описує функція
( ) ( ) ( )1
0 1 0exp , ln , 0E z E z h E E z h−= β β = ≤ ≤ ,
де E1 – модуль Юнґа на поверхні неоднорідного півпростору.
Рис. 1. Схема задачі теорії пружності
для півпростору, покритого
неоднорідним покривом.
Fig. 1. A scheme of the problem
of the elasticity theory for a functionally
graded coated half-space.
Середовище з неперервною змі-
ною механічних властивостей. Роз-
глядувану задачу теорії пружності зве-
дено до розв’язування диференційних
рівнянь
( )
( ) ( ) ( ) ( )2
1
0 0, 0, 1
i ii i
i xz z
x i
uu u
u d i
x x z z x
∂θ ∂∂ ∂ ∆ + + + β + = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
; (1)
( )
( ) ( ) ( ) ( )2
1
0 0, 0, 1
ii i i
i yz z
y i
uu u
u d i
y y z z y
∂∂θ ∂ ∂ ∆ + + + β + = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
; (2)
( )
( ) ( ) ( ) ( )2
21
0 12 2
2
0, 0, 1
1
i i i
ii iz z
z
u u
u d i
z zz
∂θ β∂ ∂ ∆ + + + ι θ + = =
∂ ∂ ∂ − ι
(3)
за крайових умов на поверхні неоднорідного півпростору
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1, , , , , , , , , 0xz x yz zzx y h x y H x y x y h x y hσ = τ σ = σ = , (4)
умов ідеального механічного контакту між покривом і однорідним півпростором
( ) ( ) ( ) ( )0 1, ,0 , ,0u ux y x y= , (5)
( ) ( ) ( ) ( )0 1, ,0 , ,0σ n σ nx y x y⋅ = ⋅ (6)
та умов на нескінченності:
( ) ( ) 2 2 2, , 0,u i x y z x y z→ + + → ∞ , (7)
де
( ) ( ) ( )
1 , 0, 1
ii
i yx uu
i
x y
∂∂θ = + =
∂ ∂
, (8)
u(i) – безрозмірний, віднесений до параметра a, вектор пружного переміщення;
σσσσ(i) – тензор напруження; індекс i = 0 описує параметри і функції стану в однорід-
ному півпросторі; i = 1 – у неоднорідному покриві; β0 = 0; β1 = β; ι2 = µ/(1 – µ);
d0 = 1/(1 – 2µ); H(x, y) = 1, якщо (x, y) ∈ Ω, H(x, y) = 0, якщо (x, y) ∉ Ω; n = (0, 0, 1).
27
Загальний розв’язок диференційних рівнянь (1)–(3) шукаємо за допомогою
двовимірного інтегрального перетворення Фур’є
( ) ( )( ) ( ) ( )1
, , , , , , , , exp
2
f z FF f x y z x y f x y z ix iy dxdy
∞ ∞
−∞ −∞
ξ η = → ξ → η = − ξ − η
π ∫ ∫ɶ .
Для його побудови зручно [26] використати функції ( )
1
iθ (8), ( )i
zu і
( ) ( ) ( )
, 0, 1
ii
i yx uu
i
y x
∂∂χ = − =
∂ ∂
, (9)
трансформанти Фур’є яких знайдемо у вигляді
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0
0 1 0 1 012 , , 2 , , 2 , expz d a d sza a s sz− −θ ξ η = − + ξ η + ξ η + ξ ηɶ , (10)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0
0 1 02 , , , 2 , expzu z d za a sz−ξ η = ξ η + ξ ηɶ , (11)
( ) ( ) ( ) ( )0
0, , , expz b szχ ξ η = ξ ηɶ , (12)
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 21 4
1
1 1 2 2 2 21
exp, ,
,
exp, ,
j j
j
j j j jz
s m m zz
a
m m s m zu z −=
+ β −θ ξ η = ξ η
− − ι βξ η
∑
ɶ
ɶ
, (13)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1 2 2, , , exp , expz b z b zχ ξ η = ξ η β + ξ η β
⌣ ⌣
ɶ , (14)
де aj(ξ, η), j = –1, …, 4, bj(ξ, η), j = 0, 1, 2 – невідомі функції параметрів інтеграль-
ного перетворення; 2 2
1 sβ = −β − β +
⌣ ⌣ ⌣
; 2 2
2 sβ = −β + β +
⌣ ⌣ ⌣
; 2β = β
⌣
; s2 = ξ2 + η2;
mj, j = 1, …, 4 – корені характеристичного рівняння [27]
( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 22 0m s m m s m s− + β − + β + ι = .
Функції, описані формулами (10)–(14), задовольняють умови на нескінчен-
ності (7). Для визначення невідомих функцій aj(ξ, η), j = –1, …, 4 і bj(ξ, η), j = 0,
1, 2 використовують крайові умови (4)–(6), які в просторі трансформант Фур’є
мають вигляд
( ) ( )1
12
1 0z
z h
du
dz
=
ι θ + =
ɶ
ɶ ,
( )
( ) ( )1
121
1
,x
z
z h
id
s u
dz G
=
ξτ ξ ηθ
− =
ɶ ɶ
ɶ , (15)
( ) ( ) ( ) ( )1 01 0
0 0 0 01 1,z z z z z zu u= = = == θ = θɶ ɶɶ ɶ , (16)
( ) ( ) ( ) ( )1 0
1 02 2
1 1
0 0
z z
z z
du du
dz dz
= =
ι θ + = ι θ +
ɶ ɶ
ɶ ɶ , (17)
( )
( )
( )
( )
1 0
1 02 21 1
0 0
z z
z z
d d
s u s u
dz dz
= =
θ θ
− = −
ɶ ɶ
ɶ ɶ , (18)
( ) ( )1
1
,x
z h
id
dz G
=
ητ ξ ηχ =
ɶɶ
, (19)
28
( ) ( ) ( ) ( )1 0
1 0
0 0
0 0
,z z
z z
d d
dz dz= =
= =
χ χχ = χ =
ɶ ɶ
ɶ ɶ , (20)
де G1 – модуль зсуву на поверхні неоднорідного півпростору. Як випливає із
співвідношень (10)–(14) і крайових умов (15)–(20) трансформанти ( )iχɶ , i = 0, 1
можемо обчислити незалежно від трансформант ( )
1
iθɶ і ( )i
zuɶ , i = 0, 1. Задовольняю-
чи крайові умови (15)–(20), функції aj(ξ, η), j = –1, …, 4 і bj(ξ, η), j = 0, 1, 2 запи-
шемо у вигляді
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
, ,
, , ,
2
x x
j j j j
i i
a a s b b s
G s G s
ξτ ξ η ητ ξ η
ξ η = − ξ η =
⌣ɶ ɶ⌣
,
де функції ( )ja s
⌣
, j = –1, …, 4 і ( )jb s
⌣
, j = 0, 1, 2 – розв’язки систем лінійних алге-
бричних рівнянь
( )6
1
2 2
1
, 1, 2, ..., 6j iij
j
A a s i−
=
= δ =∑
⌣
, ( )3
1
1 3
1
, 1, 2, 3j iij
j
B b s i−
=
= δ =∑
⌣
, (21)
δij – символ Кронекера. Ненульові коефіцієнти системи рівні:
( ) ( ) ( )1 2 2
2 21 expj jjA m s m h− −= − , ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2
2 2 22 expj j jjA m s m m h− − −= − + β ,
( ) ( )1 1 2 2 2 2
2 23 2 j jjA m s m s−
− −= − − ι β , ( ) ( )1 2 2 2
24 2 jjA m s−= − − β ,
( ) ( )1 2 2
25 2 jjA m s−= − , ( ) ( ) ( )1 1 2 2
2 26 2 j jjA s m s m−
− −= − + β , j = 3, 4, 5, 6,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1
0 041 51 612 , 1, 1A d A A d= − + = − = − + , ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1
32 42 52 62 2A A A A s= = = = − ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 11
1 1 112 13 11 21 2 31, , exp , 2, 3j j jj jB B B B B s B h j−
− − −= = − = − = = β = β β =
⌣ ⌣ ⌣
.
У задачах теорії пружності про навантаження однорідного чи неоднорідного
півпростору дотичними зусиллями найбільшу увагу приділяють [22–25] аналізу
напруження σxx на поверхні півпростору. Трансформанта Фур’є цього напружен-
ня у розглядуваній задачі має вигляд
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )1 1 2 2 2 2 2, , , 1 2xx xh i s A s s A s B s− −σ ξ η = − ξ τ ξ η β ι + − η β +
⌣ ⌣ ⌣
ɶ ɶ , (22)
де ( ) ( ) ( )
4
1
expj j
j
A s a s m h
=
= ∑
⌣ ⌣
; ( ) ( ) ( )
2
1
expj j
j
B s b s h
=
= β∑
⌣ ⌣⌣
.
Слід відзначити, що під час виведення формули (22) використано перше рів-
няння першої системи рівнянь (21).
У контактних задачах про ковзання абсолютно жорсткої кулі по поверхні од-
норідного чи неоднорідного пружного півпростору часто приймають [23, 25], що
ділянкою контакту є круг радіуса a, а дотичне навантаження, викликане силами
тертя, розподілене за еліптичним законом:
( ) 2
0, 1x x y p rτ = − , ( ) ( ) ( ) 3 2
0 3 2, 2x x s p J s sτ ξ η = τ = πɶ ,
де J3/2(s) – функція Бесселя; r2 = x2 + y2.
Зробивши такі самі припущення і повернувшись до простору оригіналів у
формулі (22), отримаємо співвідношення
29
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 2 2
1
0
2 2 2
22
12 2
0
, , 1
3
2 ,
xx x
x
x
x y h s s A s J sr ds
r
J srx y y x
s s A s B s J sr ds
r srr r
∞
∞
σ = β ι + τ −
−− τ β + −
∫
∫
⌣
⌣ ⌣
де J1(sr), J2(sr) – функції Бесселя.
Отримані інтеграли обчислюємо з врахуванням асимптотичної поведінки
функцій ( )A s
⌣
і ( )B s
⌣
, коли s → ∞:
( ) ( )2 2
2
lim
1s
A s
→∞
= −
β + ι
⌣
, ( )lim 1
s
B s
→∞
=
⌣
.
Інтеграли, в яких ці функції замінено їх асимптотиками, знаходимо аналі-
тично. Дають вони розподіл напруження, характерний для однорідного півпрос-
тору [23]. Для визначення решти інтегралів застосовуємо квадратуру Ґаусса.
Моделювання неоднорідного покриву за допомогою пакета шарів. Розді-
лимо поверхневий шар на n шарів
однакової товщини h′ = h/n (рис. 2).
Вважатимемо, що всі шари одно-
рідні. Їх механічні властивості опишемо
за допомогою модулів Юнґа і коефіцієн-
тів Пуассона:
( )
( )
( )( ) ( )
1
0
1
2 exp 0,5 sinh 0,5
,
ih
i
i h
E E z dz
h
E i h h
h
′
′−
= =
′
′ ′− β β
=
′β
∫
( )1
1
, 1, 2,..., ,
ih
i
i h
dz i n
h
′
′−
µ = µ = µ =
′ ∫
де значенню індекса i відповідає номер
шару в пакеті. Нумерація починається
знизу (рис. 2) від шару, що безпосеред-
ньо контактує з пружним однорідним
півпростором.
Загальний розв’язок рівнянь теорії
пружності в шарах пакета, записаний у просторі трансформант Фур’є, має вигляд
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ } ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ } ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
4 31
4 2
4 1 4
2 , , 2 sinh cosh ,
2 cosh sinh ,
2 cosh , 2 sinh , , 1, ..., ;
i
i i i i i i
i i i i i i
i i i i
z d s h z d s h z s h z a
d s h z d s h z s h z a
s s h z a s s h z a i n
−
−
−
θ ξ η = + − + − − ξ η +
+ + − + − − ξ η +
+ − ξ η + − ξ η =
ɶ
(23)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
4 3
4 2
4 1 4
2 , , sinh ,
cosh ,
2sinh , 2cosh , , 1, ..., ;
i
z i i i i
i i i i
i i i i
u z d h z s h z a
d h z s h z a
s h z a s h z a i n
−
−
−
ξ η = − − ξ η +
+ − − ξ η +
+ − ξ η + − ξ η =
ɶ
(24)
Рис. 2. Схема задачі теорії пружності для
півпростору, покритого пакетом шарів.
Fig. 2. A scheme of the problem
of the elasticity theory for a multi-layered
coated half-space.
30
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 1 2, , sinh , cosh , , 1, ...,i
i i i iz s h z b s h z b i n−χ ξ η = − ξ η + − ξ η =ɶ , (25)
де di = 1/(1 – 2µi), hi = ih′, µi = µ, i = 1, ..., n.
Загальний розв’язок в однорідному півпросторі z ≤ 0 описують формули
(10)–(12). Співвідношення (10)–(12) і (23)–(25) містять 4n + 2 невідомі функції
aj(ξ, η), j = –1, 0, …, 4n і 2n + 1 невідому функцію bj(ξ, η), j = 0, …, 2n. Для їх ви-
значення слід задовольнити три крайові умови на поверхні неоднорідного пів-
простору, шість крайових умов між однорідною основою і пакетом однорідних
шарів і 6n – 6 крайових умов між шарами пакета. Задовольняючи описані вище
крайові умови, отримуємо дві системи лінійних алгебричних рівнянь. Перша сис-
тема містить 4n + 2 рівнянь і служить для визначення невідомих функцій aj(ξ, η),
j = –1, 0, …, 4n. З другої системи, що містить 2n + 1 рівнянь, визначаємо невідомі
функції bj(ξ, η), j = 0, …, 2n. Оскільки в кожній з систем рівнянь тільки одне рів-
няння неоднорідне, їх розв’язок запишемо у вигляді
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,
, , ,x x
j j j j
n n
i i
a a s b b s
G s G s
ξτ ξ η ητ ξ η
ξ η = − ξ η = −
⌣ɶ ɶ⌣
,
де функції ( )ja s
⌣
, j = –1, …, 4n і ( )jb s
⌣
, j = 0, …, 2n – розв’язки систем лінійних
алгебричних рівнянь
( )4 2
2
2 ,4 2
1
, 1, 2,..., 4 2
n
j i nij
j
A a i n
+
− +
=
= δ = +∑
⌣
, ( )2 1
2
1 ,2 1
1
, 1, 2, ..., 2 1
n
j i nij
j
B b i n
+
− +
=
= δ = +∑
⌣
.
Ненульові коефіцієнти системи рівні:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2* * *
0 0 0 0 011 12 22 31 41 32 422 , 2 , , 1 , 2A d A A s A G A G d A A G s= + = − = = = − + = − = ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 *
4 1,4 4 1,4 1 4 2,4 2 4 3,42 , 2 ,i ii i i i i i i iA d A A s A G+ + + + + += − + = = − = − ,
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2* *
4 4,4 1 4 3,4 1 4 4,4 21 , 2 , 1, ..., 1i i ii i i i i iA G d A A sG i n+ − + + + += − + = = − = − ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
1 14 1,4 3 4 1,4 5 4 3,4 52 sinh cosh , 2 cosh ,i ii i i i i iA d sh d sh sh A A s sh+ ++ + + + + +′ ′ ′ ′= + + = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
1 14 1,4 4 4 1,4 6 4 3,4 62 cosh sinh , 2 sinh ,i ii i i i i iA d sh d sh sh A A s sh+ ++ + + + + +′ ′ ′ ′= + + = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
1 14 4,4 3 4 2,4 5 4 4,4 51 cosh sinh , 2 sinh ,i ii i i i i iA d sh d sh sh A A s sh+ ++ + + + + +′ ′ ′ ′= + + = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
1 14 4,4 4 4 2,4 6 4 4,4 61 sinh cosh , 2 cosh ,i ii i i i i iA d sh d sh sh A A s sh+ ++ + + + + +′ ′ ′ ′= + + = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 14 2,4 3 4 3,4 3sinh , sinh coshi ii i i iA d sh sh A sh d sh sh+ ++ + + +′ ′ ′ ′ ′= = + ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 14 2,4 4 4 3,4 4cosh , cosh sinh , 0, ..., 1,i ii i i iA d sh sh A sh d sh sh i n+ ++ + + +′ ′ ′ ′ ′= = + = −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
4 1,4 4 2,4 1 4 1,4 1 4 2,4 21, 1 , 2nn n n n n n n nA A d A A s+ + − + + + += = + = = ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2* *
011 21 2 1,2 1 2 2,2 2 1,21, , 1, , 1, ..., 1, 1ii i i i n nB B G B B G i n B+ + + += − = = − = − = − = ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 1,2 2 2 2,2 3 2 1,2 3 2 2,2 2sinh , cosh , 0, ..., 1i i i i i i i iB B sh B B sh i n+ + + + + + + +′ ′= = = = = − ,
де *
1, 0, ..., 1i i iG G G i n+= = − .
31
Трансформанта Фур’є напруження σxx на поверхні неоднорідного півпросто-
ру має вигляд
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )1 2 2
4 2 4 2 2, , 2 1 2 ,n
xx n n n n n xh i s d a s s d a s b s− −
− −σ ξ η = − ξ − η + − τ ξ η
⌣⌣ ⌣
ɶ ɶ .
Припускаючи, що областю навантаження є круг радіуса a, а дотичні зусилля роз-
поділені за еліптичним законом, у просторі оригіналів отримаємо співвідношення
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
4 2 1
0
2 2 2
2
4 2 2 12 2
0
2
, ,
3
1 2 .
n n
xx x n
x n n n
d x
x y h s s a s J sr ds
r
J srx y y x
s s d a s b s J sr ds
r srr r
∞
−
∞
−
σ = τ −
−− τ + − −
∫
∫
⌣
⌣⌣
Отримані інтеграли обчислюємо з врахуванням асимптотичної поведінки
функцій ( )4 2na s−
⌣
і ( )2nb s
⌣
, коли s → ∞:
( ) 1
4 2lim n n
s
a s d−
−
→∞
= −⌣
, ( )2lim 1n
s
b s
→∞
= −
⌣
.
Як і в попередньому розділі, інтеграли, в яких функції ( )4 2na s−
⌣
і ( )2nb s
⌣
за-
мінено їх асимптотиками, дають напруження, характерні для однорідного пів-
простору [23].
Слід відзначити, що для обчислення двовимірних інтегралів, що виникають
за оберненого двовимірного інтегрального перетворення Фур’є, зручно викори-
стовувати полярні координати. Внутрішній інтеграл за кутовою координатою не
містить функцій, що отримуються з розв’язків систем лінійних алгебричних рів-
нянь. Матриця системи рівнянь для визначення функцій θ1 і uz збігається з відпо-
відною матрицею, що виникає в двовимірній [28] чи осесиметричній [29] задачі
для шаруватого півпростору.
Аналіз результатів. Оцінюючи вихідні співвідношення, робимо висновок,
що розподіл напруження σxx на поверхні неоднорідного півпростору в задачі для
моделювання неоднорідного покриву за допомогою пакета шарів залежить від
чотирьох безрозмірних параметрів: товщини покриву h, співвідношення між мо-
дулями Юнґа на поверхні неоднорідного півпростору і основи E1/E0, коефіцієнта
Пуассона µ і кількості шарів у пакеті n. Аналогічний розподіл для неоднорідного
покриву, який отримуємо з урахуванням неперервної залежності механічних
властивостей від координати, визначають перші три вказані параметри. Нижче
вважатимемо, що µ = 1/3; E1/E0 = 0,125; 0,5; 4 або 8; h = 0,2; 0,4 або 0,8.
Залежність напруження σσσσxx в точці x = –1, y = 0, z = h та похибок (%)
його обчислення, отриманих моделюванням неоднорідного покриву
пакетом n шарів, від параметрів E1/E0 і h
E1/E0 h σxx, коли n = ∞ n = 10 n = 20 n = 40 n = 80
0,2 0,7808 8,43 4,42 2,31 1,20
0,4 0,9747 8,06 4,30 2,26 1,18 0,125
0,8 1,1813 7,53 4,11 2,18 1,14
0,2 4,5276 –9,19 4,83 –2,49 –1,27
0,4 3,4128 –8,74 –4,67 –2,43 –1,25 8
0,8 2,6936 –8,01 –4,40 –2,33 –1,21
32
Значення напружень, обчислені в задачі для поверхневого покриву з непе-
рервною зміною механічних властивостей, наведено в таблиці. Відносну похибку
їх обчислення, знайдену моделюванням неоднорідного покриву пакетом n одно-
рідних шарів, подано в позиціях n = 10; 20; 40 і 80. Як бачимо, зі збільшенням
кількості шарів удвічі похибка зменшується також майже вдвічі. Якщо розгляне-
мо 80 шарів у пакеті і якщо 0,125 ≤ E1/E0 ≤ 8, похибка обчислення напруження σxx
в точці x = –1, y = 0, z = h не перевищує 1,5%.
Про узгодження між розв’язками, що ґрунтуються на двох описаних вище
моделях неоднорідного покриву, свідчать також результати обчислення, наведені
на рис. 3. Суцільними лініями тут позначено розв’язок, який отримуємо у задачі з
неперервною зміною механічних властивостей. Ромби – результати для пакета,
що складається з 20 однорідних шарів. Як випливає з рис. 3, найбільшу абсолют-
ну похибку під час обчислень напружень отримуємо на межі ділянки наванта-
ження.
Рис. 3. Залежність відносного напру-
ження σxx /p0 вздовж лінії y = 0, z = h
від параметрів E1/E0 і h (µ = 1/3; n = 20;
а: h = 0,2; b: h = 0,4; c: h = 0,8;
1 – E1/E0 = 0,125; 2 – 0,5; 3 – 1;
4 – 4; 5 – 8).
Fig. 3. Dependence of relative stress,
σxx /p0,
along the line y = 0, z = h on parameters
E1/E0 and h (µ = 1/3; n = 20; а: h = 0.2;
b: h = 0.4; c: h = 0.8; 1 – E1/E0 = 0.125; 2 –
0.5; 3 – 1; 4 – 4; 5 – 8).
Найбільше розтягальне напруження, як і в задачі для однорідного півпросто-
ру [23], чи півпростору покритого однорідним шаром [25], виникає в точці x = –1,
y = 0, z = h (рис. 3).
ВИСНОВКИ
Тривимірну задачу теорії пружності про навантаження поверхні пружного
півпростору дотичними зусиллями зведено до знаходження трансформант Фур’є
вертикальної компоненти вектора переміщення і двох допоміжних функцій, опи-
саних формулами (8) і (9). Розв’язок розглядуваної задачі для пакета з 20–80
однорідних шарів добре узгоджується з розв’язком для неоднорідного покриву,
коефіцієнт Пуассона якого сталий, а залежність модуля Юнґа від координати z
33
описує показникова функція. Це є вагомим аргументом до моделювання поверх-
невого шару з неперервною зміною механічних властивостей пакетом однорід-
них шарів.
Характер розтягальних напружень, що виникають біля ненавантаженої по-
верхні неоднорідного півпростору з описаними вище механічними властивостя-
ми, такий як для однорідного півпростору [22–23] чи півпростору, покритого од-
норідним шаром з іншими механічними властивостями [24–25].
РЕЗЮМЕ. Рассмотрена трехмерная задача теории упругости о нагружении неодно-
родного полупространства касательными усилиями, распределенными в круговой области
его поверхности. Полупространство состоит из однородного основания и поверхностного
неоднородного слоя, коэффициент Пуассона которого постоянный, а зависимость модуля
Юнга от расстояния до поверхности полупространства описывает показательная функция.
Решение задачи теории упругости, учитывающее непрерывную зависимость модуля Юнга
от координаты, сравнено с решением задачи, в которой неоднородный слой заменен паке-
том однородных слоев.
SUMMARY. A three-dimensional problem of the elasticity theory for a functionally graded
coated half-space under shear loading, distributed in the circular area of its siurface, is
considered. The Young’s modulus of the graded coating is assumed to be an exponential
function and the Poisson’s ratio is a constant. The solutions of the problem of the theory of
elasticity for a functionally graded coated half-space and the one obtained within the framework
of a multi-layered coated half-space are compared.
Працю виконано за проектом W/WM/12/2010, що реалізується в Білосто-
цькій політехніці і фінансується Комітетом наукових досліджень Польщі.
1. Коренев Б. Г. Штамп, лежащий на упругом полупространстве, модуль упругости кото-
рого является функцией глубины // Докл. АН СССР. – 1957. – 112, № 5. – С. 823–826.
2. Моссаковский В. И. Давление круглого штампа на упругое полупространство, модуль
упругости которого является степенной функцией глубины // Прикл. математика и ме-
ханика. – 1958. – 22, № 1. – С. 123–125.
3. Коган Б. И., Зинченко В. Д. Напряженное состояние неоднородного слоя, покоящегося
на упругом полупространстве // Изв. вузов. Сер. Строительство и архитектура. – 1960.
– № 3. – С. 8–18.
4. Раков А. К., Рвачев В. П. Контактная задача теории упругости для полупространства,
модуль упругости которого есть степенная функция глубины // Доп. АН УССР. – 1961.
– № 3. – С. 286–290.
5. Тер-Мкртичьян Л. Н. Некоторые задачи теории упругости неоднородных упругих
сред // Прикл. математика и механика. – 1961. – 25, № 6. – С. 1120–1125.
6. Ростовцев Н. А. К теории упругости неоднородной среды // Там же. – 1964. – 28, № 4.
– С. 601–611.
7. Шевляков Ю. А., Наумов Ю. А., Чистяк В. Н. К расчету неоднородных оснований
// Прикл. механика. – 1968. – 4, № 9. – С. 66–73.
8. Попов Г. Я. Осесимметричная контактная задача для упругого неоднородного полу-
пространства при наличии сцепления // Прикл. математика и механика. – 1973. – 37,
№ 6. – С. 1109–1116.
9. Плевако В. П. О возможности использования гармонических функций при решении
задач теории упругости неоднородных сред // Там же. – 1972. – 36, № 5. – С. 886–894.
10. Плевако В. П. Неоднородный слой, сцепленный с полупространством под воздействи-
ем внутренних и внешних сил // Там же. – 1974. – 38, № 5. – С. 865–875.
11. Kassir M. K. and Chuaprasert M. F. A rigid punch in contact with a non-homogeneous
elastic solid // Trans. ASME: J. Appl. Mech. – 1974. – 41. – P. 1019–1024.
12. Guler M. A. and Erdogan F. Contact mechanics of graded coatings // Int. J. Solids Struct.
– 2004. – 41. – P. 3865–3889.
34
13. Guler M. A. and Erdogan F. Contact mechanics of two deformable elastic solids with graded
coatings // Mech. Mater. – 2006. – 38. – P. 633–647.
14. Guler M. A. and Erdogan F. The frictional sliding contact problems of rigid parabolic and
cylindrical stamps on graded coatings // Int. J. Mech. Sci. – 2007. – 49. – P. 161–182.
15. Analitycal solution of the spherical indentation problem for a half-space with gradients with
the depth elastic properties / S. M. Aizikovich, V. M. Alexandrov, J. J. Kalker et al. // Int. J.
Solids Struct. – 2002. – 39. – P. 2745–2772.
16. Liu T.-J. and Wang Y.-S. Axisymmetric frictionless contact problem of a functionally graded
coating with exponentially varying modulus // Acta Mech. – 2008. – 199. – P. 151–165.
17. Ke L.-L. and Wang Y.-S. Two-dimensional contact mechanics of functionally graded mate-
rials with arbitrary spatial variations of material properties // Int. J. Solids Struct. – 2006.
– 43. – P. 5779–5798.
18. Ke L.-L. and Wang Y.-S. Two-dimensional sliding frictional contact of functionally graded
materials // Eur. J. Mech. A/Solids. – 2007. – 26. – P. 171–188.
19. Liu T.-J., Wang Y.-S., and Zhang C. Axisymmetric frictionless contact of functionally graded
materials // Archive of Appl. Mech. – 2008. – 78. – P. 267–282.
20. Liu T.-J. and Wang Y.-S. Reissner-Sagoci problem for functionally graded materials with
arbitrary spatial variation of material properties // Mech. Res. Commun. – 2009. – 36.
– P. 322–329.
21. Кульчицький-Жигайло Р., Роговський Г. Осесиметрична контактна задача про втиску-
вання абсолютно жорсткої кулі в пружний півпростір з неоднорідним покривом
// Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2009. – 45, № 6. – С. 82–92.
22. Smith J. O. and Liu C. K. Stresses due to tangential and normal loads on an elastic solid with
application to some contact stress problems // Trans. ASME: J. Appl. Mech. – 1953. – 20,
№ 2. – P. 157–166.
23. Hamilton G. M. and Goodman L. E. The stress field created by a circular sliding contact
// Trans. ASME: J. Appl. Mech. – 1966. – 33. – P. 371–376.
24. Diao D. F., Kato K., and Hayashi K. The maximum tensile stress on a hard coating under
sliding friction // Tribology Int. – 1994. – 27, № 4. – P. 267–272.
25. Schwarzer N. Coating desing due to analytical modeling of mechanical contact problems on
multiplayer systems // Surface & Coatings Technology. – 2000. – 133–134. – P. 397–402.
26. Галазюк В. А. О напряженно-деформированном состоянии упругой пластины с некру-
говым цилиндрическим вырезом // Докл. АН УССР, сер. А. – 1985. – № 3. – С. 20–24.
27. Ozturk M. and Erdogan F. Axisymmetric crack problem in bonded materials with a graded
interfacial region // Int. J. Solids Struct. – 1996. – 33. – P. 193–219.
28. Колодзейчик В., Кульчицький-Жигайло Р. Тиск бокової поверхні циліндра на періодич-
но шаруватий півпростір // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2007. – 43, № 3. – С. 51–57.
(Kolodziejczyk W. and Kul’chyts’kyi-Zhyhailo R. Pressure of the Lateral Surface of a Cylinder
on a Periodically Layered Half Space // Materials Science. – 2007. – 43, № 3. – P. 351–360.)
29. Kulchytsky-Zhyhailo R. and Kolodziejczyk W. On axisymmetrical contact problem of pres-
sure of a rigid sphere into a periodically two-layered semi-space // Int. J. Mech. Sci. – 2007.
– 49. – P. 704–711.
Одержано 06.04.2010
|