Антисиметричний розподіл напружень у пружному тілі з гострим або закругленим кутовим вирізом
Методом сингулярних інтегральних рівнянь отримано розв’язок плоскої задачі теорії пружності для площини з напівнескінченним кутовим закругленим вирізом за антисиметричного навантаження. На цій основі знайдено залежності між коефіцієнтом інтенсивності напружень (КІН) у вершині гострого кутового виріз...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2010
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/138113 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Антисиметричний розподіл напружень у пружному тілі з гострим або закругленим кутовим вирізом / М.П. Саврук, А. Казберук // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 6. — С. 5-15. — Бібліогр.: 19 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859768980603928576 |
|---|---|
| author | Саврук, М. П. Казберук, А. |
| author_facet | Саврук, М. П. Казберук, А. |
| citation_txt | Антисиметричний розподіл напружень у пружному тілі з гострим або закругленим кутовим вирізом / М.П. Саврук, А. Казберук // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 6. — С. 5-15. — Бібліогр.: 19 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| description | Методом сингулярних інтегральних рівнянь отримано розв’язок плоскої задачі теорії пружності для площини з напівнескінченним кутовим закругленим вирізом за антисиметричного навантаження. На цій основі знайдено залежності між коефіцієнтом інтенсивності напружень (КІН) у вершині гострого кутового вирізу, максимальними напруженнями на межовому контурі або градієнтом напружень у вершині відповідного кутового закругленого вирізу та радіусом її закруглення. Показано, що такі залежності неоднозначні: для однакової кривини у вершині вирізу вони значно відрізняються для різних форм її околу. Для скінченних тіл з кутовими вирізами отримані розв’язки є асимптотичними залежностями для малих радіусів закруглення їх вершин. Такі співвідношення можна використовувати в граничних переходах для знаходження КІН у вершинах гострих вирізів на основі розв’язків для відповідних закруглених концентраторів напружень.
Методом сингулярных интегральных уравнений получено решение плоской задачи теории упругости для плоскости с бесконечным угловым закругленным вырезом при антисимметричной нагрузке. На этой основе найдены зависимости между коэффициентом интенсивности напряжений в вершине острого углового выреза, максимальным напряжением на граничном контуре или градиентом напряжений в вершине соответствующего углового закругленного выреза и радиусом ее закругления. Показано, что такие зависимости неоднозначны: для одинаковой кривизны в вершине выреза они значительно отличаются для различных форм ее окрестности. Для конечных тел с угловыми вырезами полученные решения являются асимптотическими зависимостями для малых радиусов закругления их вершин. Такие соотношения можно использовать в граничных переходах для получения коэффициентов интенсивности напряжений в острых вершинах на основе решений для соответствующих закругленных вырезов.
The solution of the elastostatic problem for an infinite plane with a rounded V-notch under antisymmetric load is obtained by the singular integral equation method. On this basis, the relationships between the stress intensity factor at the sharp notch vertex, the maximum stress on the boundary contour or the stress gradient at the vertex of the corresponding rounded V-notch and notch vertex radius are found. It is shown that such dependences are ambiguous: for the same curvature at the notch vertex they are significantly different for the various forms of its neighborhoods. For finite bodies with angular notches the obtained solutions are asymptotic dependences for small radii of notch vertices that can be used when passing to the limit to determine the stress intensity factors at the sharp V-notches on the basis of the solutions for the corresponding rounded V-notches.
|
| first_indexed | 2025-12-02T06:17:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
5
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2010. – ¹ 6. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
АНТИСИМЕТРИЧНИЙ РОЗПОДІЛ НАПРУЖЕНЬ У ПРУЖНОМУ
ТІЛІ З ГОСТРИМ АБО ЗАКРУГЛЕНИМ КУТОВИМ ВИРІЗОМ
M. П. САВРУК 1, 2, А. КАЗБЕРУК 2
1 Фізико-механічний інститут ім. Г. В. Карпенка НАН України, Львів;
2 Білостоцька політехніка, Польща
Методом сингулярних інтегральних рівнянь отримано розв’язок плоскої задачі тео-
рії пружності для площини з напівнескінченним кутовим закругленим вирізом за ан-
тисиметричного навантаження. На цій основі знайдено залежності між коефіцієнтом
інтенсивності напружень (КІН) у вершині гострого кутового вирізу, максимальними
напруженнями на межовому контурі або градієнтом напружень у вершині відповід-
ного кутового закругленого вирізу та радіусом її закруглення. Показано, що такі за-
лежності неоднозначні: для однакової кривини у вершині вирізу вони значно відріз-
няються для різних форм її околу. Для скінченних тіл з кутовими вирізами отримані
розв’язки є асимптотичними залежностями для малих радіусів закруглення їх вер-
шин. Такі співвідношення можна використовувати в граничних переходах для зна-
ходження КІН у вершинах гострих вирізів на основі розв’язків для відповідних за-
круглених концентраторів напружень.
Ключові слова: механіка руйнування, коефіцієнт інтенсивності напружень, куто-
вий виріз, метод сингулярних інтегральних рівнянь.
У механіці руйнування останнім часом значну увагу приділяють вивченню
процесів деформування та руйнування твердих тіл з кутовими вирізами. Це сто-
сується як гострих вирізів, які в лінійній теорії пружності зумовлюють нескінчен-
ні напруження, так і закруглених чи затуплених з великою кривиною у вершині,
що призводить навіть за низьких навантажень до суттєвих напружень (більших
за границю міцності матеріалу) та не дає змоги оцінити їх міцність за допомогою
класичних критеріїв. На сьогодні найбільш досліджено кутові вирізи за симет-
ричного навантаження, коли максимальні напруження досягаються у вершині ви-
різу. Розроблено єдиний підхід до розв’язування такого класу задач [1–6], коли
коефіцієнти інтенсивності напружень (КІН) у вершині гострого вирізу знаходять
на основі даних про концентрацію напружень у вершинах відповідних закругле-
них кутових вирізів (не дуже малого радіуса кривини), які можна отримати різ-
ними методами.
Нижче розроблено єдиний підхід до розв’язування антисиметричних плос-
ких задач теорії пружності для тіл з гострими та закругленими кутовими виріза-
ми. Методом сингулярних інтегральних рівнянь отримано розв’язок задачі для
нескінченного закругленого кутового вирізу у пружній площині. На цій основі
побудовано залежності між КІН V
IIK у вершині гострого кутового вирізу, макси-
мальними напруженнями на межовому контурі або градієнтом напружень у вер-
шині відповідного закругленого вирізу та радіусом її закруглення. Такі залежнос-
ті для обмежених тіл мають асимптотичний характер, коли радіус кривини у вер-
шині вирізу прямує до нуля, що дає змогу їх використати для знаходження КІН у
вершинах гострих вирізів на основі даних для закруглених вирізів.
Контактна особа: М. П. САВРУК, e-mail: savruk@ipm.lviv.ua
6
Розподіл напружень у пружному тілі з кутовим вирізом за антисимет-
ричного навантаження. У механіці руйнування важливе значення мають дослі-
дження поля напружень і переміщень в околі вершини гострого кутового вирізу,
на гранях якого задано різні крайові умови. Вільямс [7] дав повне розвинення
розв’язку для клина за власними функціями для різних крайових умов на його
гранях. Розглянемо детальніше антисиметричний розподіл напружень в околі ку-
тового вирізу (грані якого вільні від напружень) у пружній ізотропній площині в
умовах плоскої задачі теорії пружності (плоска деформація та плоский напруже-
ний стан). Сингулярному розподілу напружень у клині відповідає власний роз-
в’язок крайової задачі, який через комплексні потенціали напружень Колосова–
Мусхелішвілі [8] можна подати у вигляді [9]
( ) ( )II II
V V
II II II
0 0
II II
sin 2 sin 2( ) , ( )
( ) ( )2 2
iK iKz z
B Bz zλ λ
α λ α
Φ = Ψ =
λ λπ π
, (1)
де V
IIK – (узагальнений) КІН у вершині клина за антисиметричного розподілу на-
пружень; α = π −β ; 2 (0 2 )β ≤ β < π – кут розхилу вирізу; ,r θ – полярні коорди-
нати з полюсом у вершині вирізу (див. схему на рис. 1); exp( )z x iy r i= + = θ ;
II II II( ) sin 2 sin 2B λ = λ α − λ α ; параметр II II(0 1)λ < λ ≤ – корінь характеристично-
го рівняння
II II(1 ) sin 2 sin 2(1 ) 0− λ α − − λ α = . (2)
Рис. 1. Залежність показника особливості
напружень λІІ у вершині гострого
кутового вирізу від кута розхилу 2β.
Fig. 1. Dependence of stress singularity
exponent at V-notch vertex, λІІ,
on opening angle 2β.
За допомогою співвідношень [8]
2[ ( ) ( )],
( ) ( ) ( ) ( )
rr
rr r
z z
zi z z z z z
z
θθ
θ
σ + σ = Φ +Φ
′σ − τ = Φ +Φ − Φ − Ψ
та потенціалів (1) знайдемо сингулярний розподіл напружень у полярній системі
координат у пружному клині за антисиметричного навантаження [10, 11]:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
II
II
V
II
II II II II II II
2
V
II
II II II II II II
2
1 sin sin 2 2 sin 2 sin ,
2
2 sin sin 2 2 sin 2 sin ,
2
rr
K
r
K
r
λ
θθ λ
⎡ ⎤σ = + λ λ α − λ θ+ + λ − λ α λ θ⎣ ⎦
π ∆
⎡ ⎤σ = λ − λ α − λ θ+ − λ − λ α λ θ⎣ ⎦
π ∆
( )
( ) ( ) ( )
II
V
II
II II II II II II
2
2 sin cos 2 sin 2 cos ,
2
r
K
r
θ λ
⎡ ⎤τ = − λ λ α − λ θ−λ − λ α λ θ⎣ ⎦
π ∆
(3)
де 2 II II II II(2 )sin sin(2 )∆ = − λ λ α − λ − λ α .
7
Відповідні зображення компонент вектора переміщень у клині мають вигляд
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
II
II
V
II
II
II 2
II II II
V
II
II II II
II 2
II II II
2 sin sin 2
2 (1 ) 2
1 sin 2 sin ,
2 sin cos 2
2 (1 ) 2
1 sin 2 cos ,
r
K ru
G r
K ru
G r
λ
θ λ
⎡= − λ λ α − λ θ +⎣
− λ ∆ π
⎤+ κ − + λ − λ α λ θ⎦
⎡= − λ λ α − λ θ +⎣
− λ ∆ π
⎤+ κ + − λ − λ α λ θ⎦
(4)
де 3 4κ = − µ – для плоскої деформації, (3 ) (1 )κ = −µ +µ – для плоского напру-
женого стану; µ – коефіцієнт Пуассона; G – модуль зсуву.
КІН V
IIK виражають через дотичні напруження на бісектрисі клина ( ),0r rθτ
за допомогою співвідношення ( ) ( )IIV
II
0
lim [ 2 ,0 ].r
r
K r rλ
θ
→
= π τ Зауважимо, що його
можна подати також через градієнт колового напруження на бісектрисі клина
( ),0rθθ∂σ ∂θ за формулою
( ) ( )II
V
II
0 II
2 ,0
lim .
2r
r r
K
λ
θθ
→
⎡ ⎤π ∂σ
⎢ ⎥= −
− λ ∂θ⎢ ⎥⎣ ⎦
(5)
У літературі КІН у вершині кутового вирізу також називають дещо іншу ве-
личину: II1 2V V
II II(2 )K K−λ= π .
Напруження (3) у вершині клина мають степеневу особливість з показником
IIλ для кутів розхилу * * oβ ( 0,8945(51,2733 ))<β β = , а коли кут *β→β , ця осо-
бливість зникає II( 0)λ → (рис. 1). Кут *β – корінь рівняння tg2( )= 2( )π −β π −β ,
яке можна отримати з рівності (2), спрямувавши параметр IIλ до нуля [12–14].
Для його визначення можна користуватися апроксимувальною формулою [6]
2 3 4
II 0,5 0,3134tg 0,2479tg 0,1937tg 0,0410tg , 0 0,8945,λ ≈ − β − β + β − β ≤ β ≤
максимальна абсолютна похибка якої не перевищує 0,001.
У граничному випадку, коли *
IIβ ( 0)→β λ → , комплексні потенціали
V V
0 II 0 II
sin 2 sin 2( ) , ( ) ,
2 sin 2 2 sin 2
iz iC K z z K
∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
θ α α′Φ = + Φ = −
α − α α − α
V
0 II
2( ) ,
2 sin 2
iz K
∗
∗ ∗
∗ ∗
α
Ψ = α = π −β
α − α
та напруження у клині
* * * *
V V
II II* * * *
sin 2 2 sin 2 2 sin 2 2 sin 2, ,
2 sin 2 2 sin 2rr K Kθθ
α θ + θ α θ α − α θ
σ = σ =
α − α α − α
* *
V
II* *
2 cos2 sin 2
2 sin 2r Kθ
α θ − α
τ =
α − α
(6)
8
не залежать від радіальної координати r, а тільки від кута θ. Тут C – дійсна стала,
яка не впливає на напружений стан у клині. Дотичні напруження на бісектрисі
клина сталі: V
II( ,0)r r Kθτ = .
Напівнескінченний закруглений кутовий виріз у пружній площині. Для
використання граничного переходу від закруглених до гострих вирізів потрібно
знати асимптотичну залежність між коефіцієнтами концентрації та інтенсивності
напружень (для відповідних кутових вирізів), коли радіус кривини у вершині за-
кругленого вирізу прямує до нуля. Вперше такі залежності за антисиметричного
розподілу напружень отримано методом інтегральних рівнянь Шермана–Лаурі-
челли [8] для гіперболічного вирізу [9]. Нижче побудовано таку залежність для
закругленого кутового вирізу, а також знайдено зв’язок між градієнтом колових
напружень та КІН у вершинах закругленого та гострого вирізів. Такий зв’язок по-
легшує знаходження КІН у тілах з кутовими вирізами за допомогою граничного
переходу від закруглених до гострих вирізів, оскільки колові напруження за ан-
тисиметричного їх розподілу досягають максимальних значень не у вершині ви-
різу, а на певній віддалі від неї, залежній від кута розхилу вирізу. Це особливо
характерне для мішаного навантаження, коли КІН V
IK та V
IIK відмінні від нуля.
Нехай пружна площина послаблена гострим кутовим вирізом з вершиною в
початку координат і кутом розхилу 2β (0 2)≤ β < π (рис. 2a). Вважатимемо, що
напружений її стан описують комплексні потенціали 0( )zΦ і 0( )zΨ (1), які за-
безпечують відсутність напружень на контурі вирізу L0. Розглянемо гладкий кон-
тур L, який складається з прямолінійних ділянок, паралельних до граней клина
L0, та дуги кола радіуса ρ з центром у його вершині. На цьому контурі знайдемо
вектор нормальних ( 0
nσ ) і дотичних ( 0
nsτ ) напружень:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
0 0 0 0 ,n ns
dti t t t t t p t t L
dt
⎡ ⎤′σ + τ = Φ +Φ + Φ + Ψ = − ∈⎣ ⎦ .
Рис. 2. Гострий (a) та закруглений (b) кутові вирізи у площині.
Fig. 2. Sharp (a) and rounded (b) V-shaped notches in the plane.
Тепер розглянемо у площині закруглений кутовий виріз такого ж кута роз-
хилу з контуром L, вільним від напружень (рис. 2b). Нехай на нескінченності за-
даний асимптотичний розподіл напружень, який визначають потенціали 0( )zΦ і
0( )zΨ (1). Крайову задачу для такої області розв’язуватимемо методом супер-
позиції. Подамо потенціали напружень задачі у вигляді
* 0 * 0( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )z z z z z zΦ =Φ +Φ Ψ = Ψ +Ψ ,
9
де ( )zΦ і ( )zΨ – функції Колосова–Мусхелішвілі, що описують збурений напру-
жений стан, викликаний зробленим у клині закругленим кутовим вирізом L.
Для знаходження збуреного напруженого стану необхідно розв’язати крайо-
ву задачу для пружної площини, що містить закруглений кутовий виріз, на кон-
турі L якого виконується крайова умова
( ) ,n nsi p t t Lσ + τ = ∈ ,
а на нескінченності напруження відсутні.
Оскільки напруження на нескін-
ченності зникають, то вказаний збу-
рений стан можна отримати також у
площині з гладкою симетричною
криволінійною тріщиною вздовж
контуру L (рис. 3), довжина якої
прямує до нескінченності, а її береги
завантажені самозрівноваженими
напруженнями
( ) ,n ns n nsi i p t t L+ + − −σ + τ = σ + τ = ∈ , (7)
де верхні індекси вказують на гранич-
ні значення на контурі L відповідних
величин за підходу до нього зліва (+)
або справа (–). Саме таким способом і
знайдемо розв’язок поставленої зада-
чі.
Задачу про розподіл напружень
у пружній площині з криволінійною
тріщиною розв’язуватимемо методом сингулярних інтегральних рівнянь [15].
Інтегральне зображення розв’язку візьмемо у вигляді
( ) 1 ( )
2 L
g tz dt
t z
′
Φ =
π −∫ , ( ) 2
1 ( ) ( )
2 ( )L
g t tg tz dt dt
t z t z
⎡ ⎤′ ′
Ψ = −⎢ ⎥π − −⎣ ⎦
∫ , (8)
де невідома функція ( )g t′ – похідна вектора стрибка переміщень на контурі трі-
щини.
Використовуючи потенціали (8) і задовольняючи крайові умови (7), отриму-
ємо сингулярне інтегральне рівняння задачі [15]
1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ),
L
K t t g t dt L t t g t dt p t t L⎡ ⎤′ ′ ′ ′ ′ ′+ = ∈⎣ ⎦π ∫ , (9)
де
1 1 1( , ) ,
2
dtK t t
t t dtt t
⎛ ⎞′
′ = +⎜ ⎟′ ′′− −⎝ ⎠
2
1 1( , ) .
2 ( )
t t dtL t t
dtt t t t
⎛ ⎞′ ′−′ = +⎜ ⎟⎜ ⎟′′− ′−⎝ ⎠
Єдиний його розв’язок у класі функцій з інтегровною особливістю на кінцях
контуру інтегрування існує за додаткової умови
( ) 0
L
g t dt′ =∫ , (10)
яка забезпечує однозначність переміщень за обходу контуру тріщини.
Запишемо параметричне рівняння контуру тріщини (у граничному випадку,
коли її довжина прямує до нескінченності) у вигляді
Рис. 3. Криволінійна тріщина в площині
вздовж контуру закругленого
кутового вирізу.
Fig. 3. A curvilinear crack in the plane along
the contour of а rounded V-notch.
10
( ), 1 1,t = ωρ ξ − < ξ < (11)
де ρ – радіус дугової ділянки;
[ ]
[ ]
sin ( )cos cos ( )sin , ,
( ) cos sin ,
sin ( )cos co
,
s ( )sin , ,
B B B
B B
B B B
i
i
i
⎧ β + ς + ς β − β − ς + ς β − ∞ < ς < −ς
⎪ω ξ = ς + ς −ς ≤ ς ≤ ς⎨
⎪ β − ς − ς β + β + ς − ς β ς < ς < ∞⎩
(12)
де 2(1 ) ; 2B
γς = ξ −ξ ς = π −β – кутова координата θ точки контуру L, в якій дуга
кола переходить у прямолінійну ділянку. Параметр γ – довільне додатне число.
Його значення вибирають на підставі
числових експериментів так, щоб діста-
ти якомога кращу збіжність розв’язку
(тут взято γ = 3/2).
Рис. 4. Порівняння конфігурацій контурів L1
(кутовий закруглений виріз) та L2
(гіперболічний) з однаковими кутами
розхилу 2β = π/6 та радіусами закруглення
вирізів у вершині вирізу ρ.
Fig. 4. Comparison of configurations of
contour L1 (rounded V-notch) and L2
(hyperbolic) with the same opening angles 2β
= π/6 and rounded vertex radiі ρ.
Паралельно розглянемо також ана-
логічну задачу для гіперболічного вирізу, яку раніше [9] вже розв’язували мето-
дом інтегральних рівнянь Шермана–Лаурічелли. Тут параметричне рівняння має
вигляд
( )t = ρω ξ , ( ) 2cos , ,
cos cos
1 cot
2 2
ie ξα α
ω ξ = + α = π −β
α −
α
αξ
11− < ξ < . (13)
Вершини обох вирізів лежать у точці z = ρ (рис. 4).
Використавши співвідношення (11) та заміну ( )t′ = ρω η , зведемо рівняння
(9) і (10) до канонічної форми:
1
1
1
1
1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ), 1 1,
1 ( ) ( ) 0,
M N d p
d
−
−
⎧ ⎡ ⎤ξ η ϕ ξ + ξ η ϕ ξ ξ = η − ≤ η≤⎪ ⎣ ⎦⎪π
⎨
⎪ ′ϕ ξ ω ξ ξ =
⎪π⎩
∫
∫
(14)
де
( ) ( ( )); ( , ) ( ) ( ( ), ( )); ( , ) ( ) ( ( ), ( )).g M K N L′ ′ ′ϕ ξ = ρω ξ ξ η = ρω ξ ρω ξ ρω η ξ η = ρω ξ ρω ξ ρω η
Невідому функцію ( )ϕ ξ шукатимемо у класі функцій, обмежених на кінцях
інтервалу інтегрування:
2( ) 1 ( )uϕ ξ = − ξ ξ .
Числовий розв’язок інтегрального рівняння (14) знайдемо методом квадра-
тур, використавши квадратурні формули Ґаусса–Чебишова (див. напр., [16, 17]).
11
У результаті приходимо до комплексної системи 2n лінійних алгебричних рів-
нянь відносно 2n невідомих ( ) ( 1,2 )ku k nξ = :
2
1
2
1
1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ), 1, ,2 1,
2 1
1 ( ) ( ) 0,
2 1
n
k k m k k m k m
k
n
k k k
k
w M u N u p m n
n
w u
n
=
=
⎧
⎡ ⎤ξ η ξ + ξ η ξ = η = … −⎪ ⎣ ⎦+⎪
⎨
⎪ ′ω ξ ξ =⎪ +⎩
∑
∑
(15)
де
2 2 (2 1)cos ; sin 1 ; cos .
2 1 2 1 2(2 1)k k k m
k k mw
n n n
π π π +
ξ = = = − ξ η =
+ + +
Врахувавши умову антисиметрії задачі
(( ) )uu ξ = ξ− , (16)
зменшимо в два рази порядок системи (15):
[ ]{
[ ] }
[ ]{
[ ] }
1
1
1
1 ( , ) ( , ) ( )
2 1
( , ) ( , ) ( ) ( ), 1, , 1,
1 Im ( ,0) ( ,0) ( )
2 1
( ,0) ( ,0) ( ) Im (0),
1 Im ( ) ( ) 0.
2 1
n
k k m k m k
k
k m k m k m
n
k k k k
k
k k k
n
k k k
k
w M N u
n
N M u p m n
w M N u
n
N M u p
w u
n
=
=
=
⎧
ξ η + −ξ η ξ +⎪ +⎪
⎪+ ξ η + −ξ η ξ = η = … −⎪
⎪⎪ ξ +
+
−ξ ξ +⎨ +⎪
⎪ ξ + −ξ ξ =⎪
⎪
⎪ ′ω ξ ξ =
⎪ +⎩
∑
∑
∑
Тут враховано рівності 2 1( ) ( ), n k k− +′ ′ω ξ = −ω −ξ ξ = −ξ , а також те, що на осі
Ox ( 0nη = ) внаслідок антисиметрії нормальні напруження відсутні ( Re (0) 0p = ).
Узявши до уваги той факт, що контур вирізу вільний від навантаження
( 0n nsσ = τ = ) і сума нормальних напружень є інваріантом, тобто n sσ + σ =
rr θθ= σ + σ , для напруження sσ отримуємо формулу
04 Re ( ) ( )s t t−
∗⎡ ⎤σ = Φ +Φ⎣ ⎦ ,
яка в нових змінних набуває вигляду
( )
( )
II
II
II
2
II II
21
I
V
II
V
I
1
I
I
sin 2
sin 2
2
sin 2
( ) 14( ) Re
( )( ( ))
1 ( )
( )
2
2
) 2
.
( ) (
s
K
K
iui
u
d R
−
λλ
− λ
⎡ η − η⎢σ η = − +
′λ λ ω η⎢ ω η⎣
⎤− ξ ξ ⎥+ ξ = η
π ω ξ − ω η ⎥
⎦
α
α − απρ
πρ
∫
За виконання умови антисиметрії (16) безрозмірне напруження II ( )mR η у
вузлах mη ( , 11, nm … −= ) знайдемо за формулою
II
2
II
II II
1
4( ) Re 2 1 ( )
( ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
si
.
2 1 ( ) ( ) ( )
n 2
sin 2 si
)
n 2
4
(
m m
n
k k k k
m
k
kk k
m
m m
iR i u
u uw
n
λ
=
⎧⎪η = − − η η +⎨ λ λω η⎪⎩
⎫⎡ ⎤′ ′ω ξ ξ ω ξ ξ ⎪+ − ⎬⎢ ⎥+ ω ξ − ω η ω ξ − ω η ⎪⎣ ⎦
α − α
⎭
α
∑
(17)
12
Значення функції )(u η у вузлах mη отримаємо з інтерполяційної формули
Лаґранжа, яку після врахування умови (16) можна записати у вигляді
2
2 1
( ) )) ( 1) (1 ()
(2 1) 1
1(
n
m k k k
m k
m k m kkm
u u
n
u +
=
⎧ ⎫⎡ ⎤ξ ξ⎪ ⎪η = − − ξ⎨ ⎬⎢ ⎥η + ξ η ξ⎪ ⎪⎣ ⎦
−
⎩ −+ − η ⎭
∑ .
Числові результати. Напруження на контурі вирізів sσ знайдено у вузлах
mη ( , ,1m n= … ). Перейшовши до полярних координат ,r θ з полюсом у точці z = 0,
отримуємо: ( ) ( )s m s mσ θ = σ η , arg( )m mtθ = , ( )m mt = ρω η . Залежності безрозмір-
ного напруження II II( ) ( )R Rθ = − −θ (17) на верхній половині межового контуру
від кутової координати θ ( *0 ≤ θ ≤ α ) для обох вирізів за різних значень їх кутів
розхилу 2β зображено на рис. 5. Зауважимо, що за антисиметричного розподілу
напружень форма околу вершини вирізу значно більше впливає на максимальні
напруження, ніж за симетричного [6, 19].
Рис. 5. Розподіл безрозмірних напружень RII(θ) вздовж кутового закругленого (a)
та гіперболічного (b) вирізів.
Fig. 5. Dimensionless stress, RII(θ), distribution along the rounded V-notch (a)
and hyperbolic notch (b).
Коли параметр II 0λ > , напруження sσ мають локальний екстремум в околі
вершини вирізу і прямують до нуля на нескінченності ( 1ξ→ ). У граничному ви-
падку, коли кут *β→β ( II 0λ → ), вони на нескінченності прямують до обмеже-
ного значення, яке збігається з напруженням *( )rrσ α (6):
* * *
* V V
II II* * * 2
3 sin 2 3( ) 1,203
2 sin 2 1 4( ) 1
rr K Kα α α
σ α = = − ≈ −
α − α + α +
.
Екстремальні значення безрозмірних напружень II II max( )R R= θ (рис. 6b) до-
сягаються в точках maxθ (рис. 6a) на деякій віддалі від вершини вирізу.
Для U-подібного вирізу ( 0β = ) екстремальне значення безрозмірного напру-
ження RII = –3,592 досягається, коли θ = 1,082. Отримані результати для гіпербо-
лічного вирізу добре узгоджуються для окремих значень кута розхилу 2β з відо-
мими [9]. Коли β = 0, гіперболічний виріз переходить у параболічний, для якого
відомий замкнений аналітичний розв’язок [8, 9, 18].
Аналогічно до співвідношення (5) можна отримати залежність між градієн-
том колового напруження у вершині вирізу та КІН V
IIK :
13
( ) ( )II II
II
II
00
V V
II II( )
2
( )
2
sd dR R
d d
K K
θ=θ=
λ λ
σ θ θ
πρ
′= =
θ πθ ρ
.
Рис. 6. Залежності кутової координати θmax (a) та відповідного безрозмірного
напруження RII = RII(θmax) (b) від кута розхилу вирізу 2β
(1 – кутовий закруглений виріз, 2 – гіперболічний).
Fig. 6. Dependences of angular coordinate, θmax, (a) and corresponding dimensionless stress,
RII = RII(θmax), (b) on the opening angle 2β (1 – rounded V-notch, 2 – hyperbolic notch).
Зауважимо, що на коловій ділянці контуру кутового закругленого вирізу (12)
кутова координата θ = ς , а для гіперболічного вирізу (13) θ = ξα . Для U-подібно-
го вирізу (β = 0) маємо: IIR′ = –5,186 (рис. 7).
Рис. 7. Залежності безрозмірного градієнта напружень IIR′ у вершинах кутового
закругленого (a) та гіперболічного (b) вирізів від кута розхилу вирізу 2β.
Fig. 7. Dependences of dimensionless stress gradient, IIR′ , at the vertex
of the rounded V-notch (a) and the hyperbolic notch (b) on the opening angle 2β.
Відношення кутової координати точки контуру, в якій досягаються екстре-
мальні напруження, до градієнта колового напруження у вершині вирізу
( max II/ R′θ ) залежить від кута розхилу 2β (рис. 8). Для U-подібного вирізу (β = 0)
маємо: max II 0 2/ , 09R = −′θ .
Для симетричної області з гострим кутовим вирізом за антисиметричного
навантаження КІН можна знайти за допомогою граничного переходу від відпо-
відного закругленого вирізу, радіус закруглення якого прямує до нуля, скори-
ставшись співвідношеннями для екстремальних значень безрозмірних напружень
RII (рис. 6b) або для їх градієнта IIR′ у закругленій вершині (рис. 7). Коли ж пруж-
на область не є симетрична щодо бісектриси кутового вирізу, то напруження на
межовому контурі можуть досягати екстремальних значень на різних віддалях
14
від вершини вирізу залежно від відношення КІН V
IK та V
IIK , що не дає змогу ви-
користати отриману залежність екстремальних напружень від радіуса закруглен-
ня ρ у вищезгаданих граничних переходах. З цією метою слід скористатися за-
лежностями максимальних напружень [1] (симетричний розподіл) та градієнтом
напружень (антисиметричний розподіл) у вершині вирізу від радіуса її закруглен-
ня. На підставі цих двох залежностей за допомогою граничного переходу, коли
радіус закруглення ρ прямує до нуля, можна отримати два КІН: V
IK та V
IIK .
Рис. 8. Залежність відношення max II/ R′θ
від кута розхилу вирізу 2β
(1 – кутовий закруглений виріз,
2 – гіперболічний).
Fig. 8. Dependence of ratio max II/ R′θ
on the opening angle 2β
(1 – rounded V-notch, 2 – hyperbolic).
ВИСНОВКИ
Методом сингулярних інтегральних рівнянь отримано розв’язок плоскої за-
дачі теорії пружності для площини з вільним від зусиль нескінченним кутовим
закругленим вирізом за антисиметричного навантаження на нескінченності. На
цій основі знайдено залежності між коефіцієнтом інтенсивності напружень у вер-
шині гострого вирізу, максимальним напруженням на межовому контурі або гра-
дієнтом напружень у вершині відповідного закругленого вирізу і радіусом її за-
круглення. Порівняння отриманого розв’язку з відповідними результатами для
гіперболічного вирізу показало, що така залежність неоднозначна: за однакової
кривини у вершині вирізу вона різна для різних форм її околу, причому ця різни-
ця значно суттєвіша, ніж за симетричного навантаження. Побудовані залежності
можна використати для наближеної оцінки узагальненого коефіцієнта інтенсив-
ності напружень у вершині гострого кутового вирізу на основі даних для макси-
мальних напружень на межовому контурі або градієнта напружень у вершині від-
повідного закругленого кутового вирізу за антисиметричного розподілу напру-
жень. Отримані тут результати та відповідні розв’язки для симетричного на-
вантаження дають змогу розробити єдиний підхід до розв’язування задач про
концентрацію напружень біля гострих та закруглених вирізів за складного напру-
женого стану, що буде проілюстровано в наступних публікаціях авторів.
РЕЗЮМЕ. Методом сингулярных интегральных уравнений получено решение плос-
кой задачи теории упругости для плоскости с бесконечным угловым закругленным выре-
зом при антисимметричной нагрузке. На этой основе найдены зависимости между коэф-
фициентом интенсивности напряжений в вершине острого углового выреза, максималь-
ным напряжением на граничном контуре или градиентом напряжений в вершине соответ-
ствующего углового закругленного выреза и радиусом ее закругления. Показано, что та-
кие зависимости неоднозначны: для одинаковой кривизны в вершине выреза они значи-
тельно отличаются для различных форм ее окрестности. Для конечных тел с угловыми
вырезами полученные решения являются асимптотическими зависимостями для малых
радиусов закругления их вершин. Такие соотношения можно использовать в граничных
переходах для получения коэффициентов интенсивности напряжений в острых вершинах
на основе решений для соответствующих закругленных вырезов.
SUMMARY. The solution of the elastostatic problem for an infinite plane with a rounded
V-notch under antisymmetric load is obtained by the singular integral equation method. On this
basis, the relationships between the stress intensity factor at the sharp notch vertex, the maximum
15
stress on the boundary contour or the stress gradient at the vertex of the corresponding rounded
V-notch and notch vertex radius are found. It is shown that such dependences are ambiguous:
for the same curvature at the notch vertex they are significantly different for the various forms of
its neighborhoods. For finite bodies with angular notches the obtained solutions are asymptotic
dependences for small radii of notch vertices that can be used when passing to the limit to deter-
mine the stress intensity factors at the sharp V-notches on the basis of the solutions for the cor-
responding rounded V-notches.
1. Саврук М. П., Казберук А. Зв’язок між коефіцієнтами інтенсивності та концентрації
напружень для гострих і закруглених кутових вирізів // Фіз.-хім. механіка матеріалів.
– 2006. – 42, № 6. – С. 17–26.
(Savruk M. P. and Kazberuk A. Relationship between the stress intensity and stress concentration
factors for sharp and rounded notches // Materials Science. – 2006. – 42, № 6. – P. 725–738.)
2. Саврук М. П., Казберук А. Единый подход к решению задач о концентрации напряже-
ний около острых и закругленных угловых вырезов // Прикл. механика. – 2007. – 43,
№ 2. – С. 70–87.
(Savruk M. P. and Kazberuk A. A unified approach to problems of stress concentration near V-
shaped notches with sharp and rounded tip // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, № 2. – P. 182–196.)
3. Саврук М. П., Казберук А. Плоска періодична крайова задача теорії пружності для півпло-
щини з криволінійним краєм // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2008. – 44, № 4. – С. 5–12.
(Savruk M. P. and Kazberuk A. A plane periodic boundary-value problem of elasticity theory
for a half-plane with curvilinear edge // Materials Science. – 2008. – 44, № 4. – P. 461–470.)
4. Саврук М. П., Казберук А. Проблеми механіки руйнування твердих тіл з кутовими
вирізами // Там же. – 2009. – 45, № 2. – С. 23–39.
(Savruk M. P. and Kazberuk A. Problems of fracture mechanics of solid bodies with
V-shaped notches // Materials Science. – 2009. – 45, № 2. – P. 162–180.)
5. Саврук М. П., Казберук А. Напруження у пружній площині з періодичною системою
близько розміщених отворів // Там же. – 2009. – 45, № 6. – С. 70–81.
(Savruk M. P. and Kazberuk A. Stresses in an elastic plane with periodic system of closely
located holes // Materials Science. – 2009. – 45, № 6. – P. 831–844.)
6. Savruk M. P. and Kazberuk A. Two-dimensional fracture mechanics problems for solids with
sharp and rounded V-notches // Int. J. Fract. – 2010. – 161, № 1. – P. 79–95.
7. Williams M. L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular
corners of plates in extension // J. Appl. Mech. – 1952. – 19, № 4. – P. 526–530.
8. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.
– М.: Наука, 1966. – 708 с.
9. Benthem J. P. Stresses in the region of rounded corners // Int. J. Solids Struct. – 1987. – 23,
№ 2. – P. 239–252.
10. Seweryn A. and Molski K. Elastic stress singularities and corresponding generalized stress
intensity factors for angular corners under various boundary conditions // Eng. Fract. Mech.
– 1996. – 55, № 4. – P. 529–556.
11. Seweryn A. Metody numeryczne w mechanice pękania. – Warszawa: IPPT PAN, 2003. – 361 s.
12. Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. – Л.: Наука,
1968. – 402 с.
13. Broberg K. B. Cracks and Fracture. – San Diego: Academic Press, 1999. – 752 p.
14. Barber J. R. Elasticity. – Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2004. – 410 p.
15. Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. – К.: Наук. думка,
1981. – 324 с.
16. Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацышин А. П. Распределение напряжений около трещин
в пластинах и оболочках. – К.: Наук. думка, 1976. – 444 с.
17. Саврук М. П., Осив П. Н., Прокопчук И. В. Численный анализ в плоских задачах тео-
рии трещин. – К.: Наук. думка, 1989. – 248 с.
18. Саврук М. П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами // Меха-
ника разрушения и прочность материалов: Справ. пос. под ред. В. В. Панасюка – К.:
Наук. думка, 1988. – 2. – 620 с.
19. Kazberuk A., Niedźwiedź M. Wpływ kształtu karbu na rozkład naprężeń na jego krawędzi
// Acta Mech. Autom. – 2009. – 3, № 1. – S. 38–41.
Одержано 22.06.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-138113 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0430-6252 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-02T06:17:42Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Саврук, М. П. Казберук, А. 2018-06-18T08:20:25Z 2018-06-18T08:20:25Z 2010 Антисиметричний розподіл напружень у пружному тілі з гострим або закругленим кутовим вирізом / М.П. Саврук, А. Казберук // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 6. — С. 5-15. — Бібліогр.: 19 назв. — укp. 0430-6252 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/138113 539.3 Методом сингулярних інтегральних рівнянь отримано розв’язок плоскої задачі теорії пружності для площини з напівнескінченним кутовим закругленим вирізом за антисиметричного навантаження. На цій основі знайдено залежності між коефіцієнтом інтенсивності напружень (КІН) у вершині гострого кутового вирізу, максимальними напруженнями на межовому контурі або градієнтом напружень у вершині відповідного кутового закругленого вирізу та радіусом її закруглення. Показано, що такі залежності неоднозначні: для однакової кривини у вершині вирізу вони значно відрізняються для різних форм її околу. Для скінченних тіл з кутовими вирізами отримані розв’язки є асимптотичними залежностями для малих радіусів закруглення їх вершин. Такі співвідношення можна використовувати в граничних переходах для знаходження КІН у вершинах гострих вирізів на основі розв’язків для відповідних закруглених концентраторів напружень. Методом сингулярных интегральных уравнений получено решение плоской задачи теории упругости для плоскости с бесконечным угловым закругленным вырезом при антисимметричной нагрузке. На этой основе найдены зависимости между коэффициентом интенсивности напряжений в вершине острого углового выреза, максимальным напряжением на граничном контуре или градиентом напряжений в вершине соответствующего углового закругленного выреза и радиусом ее закругления. Показано, что такие зависимости неоднозначны: для одинаковой кривизны в вершине выреза они значительно отличаются для различных форм ее окрестности. Для конечных тел с угловыми вырезами полученные решения являются асимптотическими зависимостями для малых радиусов закругления их вершин. Такие соотношения можно использовать в граничных переходах для получения коэффициентов интенсивности напряжений в острых вершинах на основе решений для соответствующих закругленных вырезов. The solution of the elastostatic problem for an infinite plane with a rounded V-notch under antisymmetric load is obtained by the singular integral equation method. On this basis, the relationships between the stress intensity factor at the sharp notch vertex, the maximum stress on the boundary contour or the stress gradient at the vertex of the corresponding rounded V-notch and notch vertex radius are found. It is shown that such dependences are ambiguous: for the same curvature at the notch vertex they are significantly different for the various forms of its neighborhoods. For finite bodies with angular notches the obtained solutions are asymptotic dependences for small radii of notch vertices that can be used when passing to the limit to determine the stress intensity factors at the sharp V-notches on the basis of the solutions for the corresponding rounded V-notches. uk Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України Фізико-хімічна механіка матеріалів Антисиметричний розподіл напружень у пружному тілі з гострим або закругленим кутовим вирізом Антисимметричное распределение напряжений в упругом теле с острым или закругленным угловым вырезом Antisymmetric stress distribution in an elastic solid with a sharp or rounded V-shaped notch Article published earlier |
| spellingShingle | Антисиметричний розподіл напружень у пружному тілі з гострим або закругленим кутовим вирізом Саврук, М. П. Казберук, А. |
| title | Антисиметричний розподіл напружень у пружному тілі з гострим або закругленим кутовим вирізом |
| title_alt | Антисимметричное распределение напряжений в упругом теле с острым или закругленным угловым вырезом Antisymmetric stress distribution in an elastic solid with a sharp or rounded V-shaped notch |
| title_full | Антисиметричний розподіл напружень у пружному тілі з гострим або закругленим кутовим вирізом |
| title_fullStr | Антисиметричний розподіл напружень у пружному тілі з гострим або закругленим кутовим вирізом |
| title_full_unstemmed | Антисиметричний розподіл напружень у пружному тілі з гострим або закругленим кутовим вирізом |
| title_short | Антисиметричний розподіл напружень у пружному тілі з гострим або закругленим кутовим вирізом |
| title_sort | антисиметричний розподіл напружень у пружному тілі з гострим або закругленим кутовим вирізом |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/138113 |
| work_keys_str_mv | AT savrukmp antisimetričniirozpodílnapruženʹupružnomutílízgostrimabozakruglenimkutovimvirízom AT kazberuka antisimetričniirozpodílnapruženʹupružnomutílízgostrimabozakruglenimkutovimvirízom AT savrukmp antisimmetričnoeraspredelenienaprâženiivuprugomtelesostrymilizakruglennymuglovymvyrezom AT kazberuka antisimmetričnoeraspredelenienaprâženiivuprugomtelesostrymilizakruglennymuglovymvyrezom AT savrukmp antisymmetricstressdistributioninanelasticsolidwithasharporroundedvshapednotch AT kazberuka antisymmetricstressdistributioninanelasticsolidwithasharporroundedvshapednotch |