Дослідження структури вібраційних сигналів механічних систем під час розвитку дефекту
Побудовано статистичну модель вібраційного відгуку від тонкої деталі з тріщиною. Досліджено динаміку зміни взаємокореляційних зв’язків між стаціонарними компонентами вібраційного сигналу. Показано, що розмір тріщини не впливає на форму та ширину центрального максимуму кореляційних функцій. Разработа...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2011
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/138122 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Дослідження структури вібраційних сигналів механічних систем під час розвитку дефекту / І.Й. Мацько, І.Б. Кравець, І.М. Яворський // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 1. — С. 29-36. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-138122 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Мацько, І.Й. Кравець, І.Б. Яворський, І.М. 2018-06-18T08:26:41Z 2018-06-18T08:26:41Z 2011 Дослідження структури вібраційних сигналів механічних систем під час розвитку дефекту / І.Й. Мацько, І.Б. Кравець, І.М. Яворський // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 1. — С. 29-36. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. 0430-6252 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/138122 621.319:519.22 Побудовано статистичну модель вібраційного відгуку від тонкої деталі з тріщиною. Досліджено динаміку зміни взаємокореляційних зв’язків між стаціонарними компонентами вібраційного сигналу. Показано, що розмір тріщини не впливає на форму та ширину центрального максимуму кореляційних функцій. Разработана статистическая модель вибрационного сигнала от тонкой детали с трещиной. Исследована динамика изменений взаимокорреляционных связей между стационарными компонентами вибрационного сигнала. Показано, что размер трещины не влияет на форму и ширину центрального максимума корреляционных функций. The statistical model of thin cracked detail vibration response is built. The dynamics of cross-correlation connections change between stationary components of a vibration signal is carried out. It is shown that the crack size does not effect the form and main extreme width of correlation functions. uk Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України Фізико-хімічна механіка матеріалів Дослідження структури вібраційних сигналів механічних систем під час розвитку дефекту Исследование структуры вибрационных сигналов механических систем при развитии дефекта The investigation of vibration signal structure of mechanical systems during defect growth Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Дослідження структури вібраційних сигналів механічних систем під час розвитку дефекту |
| spellingShingle |
Дослідження структури вібраційних сигналів механічних систем під час розвитку дефекту Мацько, І.Й. Кравець, І.Б. Яворський, І.М. |
| title_short |
Дослідження структури вібраційних сигналів механічних систем під час розвитку дефекту |
| title_full |
Дослідження структури вібраційних сигналів механічних систем під час розвитку дефекту |
| title_fullStr |
Дослідження структури вібраційних сигналів механічних систем під час розвитку дефекту |
| title_full_unstemmed |
Дослідження структури вібраційних сигналів механічних систем під час розвитку дефекту |
| title_sort |
дослідження структури вібраційних сигналів механічних систем під час розвитку дефекту |
| author |
Мацько, І.Й. Кравець, І.Б. Яворський, І.М. |
| author_facet |
Мацько, І.Й. Кравець, І.Б. Яворський, І.М. |
| publishDate |
2011 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Исследование структуры вибрационных сигналов механических систем при развитии дефекта The investigation of vibration signal structure of mechanical systems during defect growth |
| description |
Побудовано статистичну модель вібраційного відгуку від тонкої деталі з тріщиною. Досліджено динаміку зміни взаємокореляційних зв’язків між стаціонарними компонентами вібраційного сигналу. Показано, що розмір тріщини не впливає на форму та ширину центрального максимуму кореляційних функцій.
Разработана статистическая модель вибрационного сигнала от тонкой детали с трещиной. Исследована динамика изменений взаимокорреляционных связей между стационарными компонентами вибрационного сигнала. Показано, что размер трещины не влияет на форму и ширину центрального максимума корреляционных функций.
The statistical model of thin cracked detail vibration response is built. The dynamics of cross-correlation connections change between stationary components of a vibration signal is carried out. It is shown that the crack size does not effect the form and main extreme width of correlation functions.
|
| issn |
0430-6252 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/138122 |
| citation_txt |
Дослідження структури вібраційних сигналів механічних систем під час розвитку дефекту / І.Й. Мацько, І.Б. Кравець, І.М. Яворський // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 1. — С. 29-36. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT macʹkoíi doslídžennâstrukturivíbracíinihsignalívmehaníčnihsistempídčasrozvitkudefektu AT kravecʹíb doslídžennâstrukturivíbracíinihsignalívmehaníčnihsistempídčasrozvitkudefektu AT âvorsʹkiiím doslídžennâstrukturivíbracíinihsignalívmehaníčnihsistempídčasrozvitkudefektu AT macʹkoíi issledovaniestrukturyvibracionnyhsignalovmehaničeskihsistemprirazvitiidefekta AT kravecʹíb issledovaniestrukturyvibracionnyhsignalovmehaničeskihsistemprirazvitiidefekta AT âvorsʹkiiím issledovaniestrukturyvibracionnyhsignalovmehaničeskihsistemprirazvitiidefekta AT macʹkoíi theinvestigationofvibrationsignalstructureofmechanicalsystemsduringdefectgrowth AT kravecʹíb theinvestigationofvibrationsignalstructureofmechanicalsystemsduringdefectgrowth AT âvorsʹkiiím theinvestigationofvibrationsignalstructureofmechanicalsystemsduringdefectgrowth |
| first_indexed |
2025-11-25T22:43:43Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:43:43Z |
| _version_ |
1850570315412799488 |
| fulltext |
29
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2011. – ¹ 1. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 621.319:519.22
ДОСЛІДЖЕННЯ СТРУКТУРИ ВІБРАЦІЙНИХ СИГНАЛІВ
МЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ ПІД ЧАС РОЗВИТКУ ДЕФЕКТУ
І. Й. МАЦЬКО 1, І. Б. КРАВЕЦЬ 1, І. М. ЯВОРСЬКИЙ 1,2
1 Фізико-механічний інститут ім. Г. В. Карпенка НАН України, Львів;
2 Інститут телекомунікації Технологічно-природничого університету, Бидгощ, Польща
Побудовано статистичну модель вібраційного відгуку від тонкої деталі з тріщиною.
Досліджено динаміку зміни взаємокореляційних зв’язків між стаціонарними компо-
нентами вібраційного сигналу. Показано, що розмір тріщини не впливає на форму та
ширину центрального максимуму кореляційних функцій.
Ключові слова: вібраційний сигнал, періодично корельований випадковий процес,
взаємокореляційна функція.
Вібраційний сигнал, що випромінюється складними промисловими машин-
ними комплексами, несе інформацію про реальний стан вузлів цих комплексів.
Тому статистичний аналіз процесів вібрації механічної системи є потужним діаг-
ностичним інструментом для моніторингу стану системи методами неруйнівного
контролю. Дефекти механічних вузлів у вібраційному сигналі проявляються у
змінах його характеристик. Одні типи дефектів призводять до появи гармонічних
складових у вібросигналі, другі – до модуляцій, треті – до появи викидів ударних
імпульсів. Тому для виявлення дефектів на ранній стадії зародження слід аналізу-
вати всі можливі ймовірнісні характеристики вібраційного сигналу.
Як показано [1, 2], структура кореляційної функції вібраційного сигналу за-
лежить від довжини тріщини. З ростом тріщини в кореляційній структурі, окрім
нульового, появляється перший кореляційний компонент, потужність якого
збільшується з розвитком тріщини. Коефіцієнти заникання компонентів кореля-
ційної функції змінюються зі збільшенням відносної довжини тріщини. Оскільки
на практиці компоненти кореляційної функції дуже важко апроксимувати, бо їх
виражають через суми авто- та взаємокореляційних функцій формувальних пе-
ріодично корельованих випадкових процесів (ПКВП) стаціонарних компонентів
[4], то в подальших дослідженнях доцільніше використовувати такі методи об-
робки, які уможливлюють виділення власне цих компонентів.
Коливання тонкої деталі з тріщиною описують системою нелінійних дифе-
ренційних рівнянь другого порядку [7, 8]:
2
2
2 ( ), 0 ,
2 ( ), 0 .
c c
s s
X X X f t X
X X X f t X
⎧ ′′ ′+ β + ω = ≤⎪
⎨
′′ ′+ β + ω = >⎪⎩
(1)
Тут 2 /c ck mω = , 2 /s sk mω = , де 2
cω та 2
sω , ck та sk – власні частоти коливань та
жорсткості деталі в моменти часу, коли тріщина закрита та відкрита, відповідно;
m – зведена маса деталі. Як спонукальну силу вибрано:
2( ) cos ( )
100
tf t u tπ⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
Контактна особа: І. Й. МАЦЬКО, e-mail: ivanmatsko@ipm.lviv.ua
30
де u(t) – білий шум з дисперсією Du = 1. Для моделювання вібраційних відгуків
системи (1) вибрано параметри: kc = 0,9; m = 10; крок інтегрування рівний 0,5;
кількість кроків 105. Відносна довжина тріщини змінювалася в межах від 0,05 до
0,95 з кроком 0,05.
Поява тріщини в будь-якій механічній системі призводить до нестаціонар-
ності у вібраційному сигналі, і що більша тріщина, то нестаціонарніший сигнал
[3]. Показано [1], що вібраційним сигналом тонкої деталі з тріщиною є періодич-
но корельований випадковий процес.
Мета роботи – дослідити зміни взаємокореляційних функцій стаціонарних
компонентів ξk(t) вібраційного процесу від тонкої деталі з тріщиною. Виразимо
вібраційний відгук ξ(t) через стаціонарні компоненти
0( ) ( )
M
ik t
k
k M
t t e ω
=−
ξ = ξ∑ . (2)
Це подання, по суті, є узагальненням ряду Фур’є для періодичної функції в
тому сенсі, що коефіцієнти Фур’є в останньому замінені на стаціонарно зв’язані
випадкові процеси ξk(t). Усереднивши за ансамблем вираз (2), отримуємо форму-
лу для детермінованої складової вібраційного процесу:
0 0( ) ( ) ( )
M M
ik t ik t
k k
k M k M
m t E t e m t eω ω
=− =−
= ξ =∑ ∑ . (3)
Отже, коефіцієнти Фур’є математичного сподівання рівні середнім значенням
модулюючих процесів ξk(t).
Для знаходження кореляційної функції процесу ξ(t) слід помножити центро-
ване рівняння (2), яке визначає випадкова складова процесу ( ) ( ) ( )t t m tξ = ξ − , на
аналогічне, однак зміщене у часі на інтервал u , та усереднити за ансамблем:
0 0( )( , ) ( ) ( ) ( )
M M
ik u i k l t
lk
k M l M
b t u E t t u e R u eω − ω
ξ
=− =−
= ξ ξ + = ∑ ∑ .
Тут ( )*( ) ( )lk l lR u E t t u= ξ ξ + – взаємокореляційна
функція компонентів ξk(t), ξl(t), а * – знак спряжен-
ня. Введемо новий індекс сумування n = k – l та
змінимо його порядок (рис. 1). Тоді
0
2
2
( , ) ( )
M
in u
n
k M
b t u B u e ω
ξ
=−
= ∑ ,
де кореляційні компоненти ( )nB u визначаємо спів-
відношенням
0
0
,
,
( ) , 0,
( )
( ) , 0.
M
ik u
k n k
k n M
n n M
ik u
k n k
k M
R u e n
B u
R u e n
ω
−
= −
+
ω
−
=
⎧
≥⎪
⎪= ⎨
⎪ <⎪⎩
∑
∑
(4)
На основі (3) легко знаходимо формули для
спектральних компонентів fk(ω):
, 0
, 0
( ), 0,
1( ) ( )
2
( ), 0,
M
k n k
k n Mi u
k n n M
k n k
k M
f k n
f B u e du
f k n
−∞
= −− ω
+
−∞
−
=−
⎧
ω− ω ≥⎪
⎪ω = = ⎨
π ⎪ ω− ω <⎪⎩
∑
∫
∑
Рис. 1. Зміна порядку
сумування.
Fig. 1. Summation rearranging
31
де fl,k(ω) – взаємна спектральна густина стаціонарних компонентів ξk(t) і ξl(t):
1( ) ( )
2
i u
lk lkf R u e du
∞
ω
−∞
ω =
π ∫ . (5)
Нульовий кореляційний компонент визначають автокореляційними функція-
ми модулюючих процесів ξk(t), а кореляційні компоненти Bk(u) взаємокореляцій-
ними функціями процесів, номери яких відрізняються на число k. Тобто, коли
стаціонарні компоненти некорельовані, вібраційний процес стаціонарний. Фор-
мули (2)–(5) є основою для інтерпретації експериментальних результатів обробки
методами статистичного аналізу ПКВП реальних даних.
Для прикладу дослідимо вплив розміру тріщини на ймовірнісні характерис-
тики стаціонарних компонентів вібраційного процесу тонкої деталі. Насамперед
розкладемо вібросигнал на стаціонарні компоненти за допомогою методу перено-
су частот і низькочастотної фільтрації [5]. Далі, використовуючи методи теорії
стаціонарних процесів, оцінимо взаємокореляційні функції та спектральні густи-
ни потужності.
Метод переносу частот і низькочастотної фільтрації полягає в застосуванні
перетворення:
0( ) ( ) ( ) ik
k t h t e d
∞
− ω τ
−∞
η = − τ ξ τ τ∫ ,
де h(τ) – імпульсний відгук смугового фільтра, передавальна функція якого має вигляд
( ) 1,H ω = для [ ]0 0/ 2, / 2ω∈ −ω ω і ( ) 0,H ω = для [ ]0 0/ 2, / 2ω∉ −ω ω .
Очевидно, що
sin1 2( ) ( )
2
ih H e d
∞
ωτ
−∞
ωτ
τ = ω ω =
π πτ∫ .
Спектральні густини ( ) ( )klf η ω процесів ( )tη і спектральні густини ( ) ( )klf ξ ω
( )tξ пов’язані формулою [6]:
[ ]
[ ]
,
( )
0 0 0( )
0 0
( ( ) ), / 2, / 2 ,
( )
0, / 2, / 2 .
q k l qqkl
f l q
f + −
ξ
η ∈
⎧ ω+ − ω ω∈ −ω ω
⎪ω = ⎨
⎪ ω∉ −ω ω⎩
∑
Звідси випливає, що у випадку, коли спектральні густини процесів ( )k tξ відріз-
няються від нуля тільки в смузі [ ]0 0/ 2, / 2ω∈ −ω ω , то ( ) ( )( ) ( )kl klf fη ξω = ω . Такі
ПКВП вузькосмугові. Для широкосмугових ПКВП спектральні густини ( ) ( )klf η ω
визначатимуть сумою значень багатьох спектральних густин ( ) ( )klf ξ ω , зсунутих за
частотою на значення, що кратні основній частоті 0ω . Однак подання
0( ) ( ) ik t
k
k
t t e ω
∈
ξ = η∑ (6)
і (2) еквівалентні в тому сенсі, що ймовірнісні характеристики ПКВП (математичне
сподівання, кореляційна функція, спектральна густина, коефіцієнти Фур’є цих
величин), визначені як на основі процесів ηk(t), так і ξk(t), є однакові [6].
Ця еквівалентність є підставою для проведення на основі вищеописаного ме-
тоду статистичного аналізу реальних даних без попереднього дослідження їх
спектральних властивостей.
32
Оцінки математичного сподівання процесів ηk(t), які одночасно є коефіцієн-
тами Фур’є математичного сподівання ПКВП, мають вигляд
0
1ˆ ( )k km t dt
θ
= η
θ ∫ . (7)
Оскільки ˆ k kEm m= , то оцінка є незміщена, а її дисперсія має вигляд
[ ] [ ]2
0
1ˆ ˆ 1 ( ) ( ) ,k k k kk kk
uD m E m m R u R u du
θ⎛ ⎞= − = − − +⎜ ⎟θ θ⎝ ⎠
∫ (8)
де
*( ) ( ) ( ), ( ) ( ) .kk k k k kkR u E t t u t t m= η η + η = η −
Подамо виділені компоненти ηk(t) у вигляді
1( ) ( ) ( )
2
c s
k k kt t i t⎡ ⎤η = η − η⎣ ⎦ , (9)
* 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
4
c s cs sc
kl k l kl kl kl klR u E t t u R u R u i R u R u⎡ ⎤⎡ ⎤= η η + = + − −⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
(10)
де ( ) ( ) ( )c c c
kl k lR u E t t u= η η + ; ( ) ( ) ( )s s s
kl k lR u E t t u= η η + ; ( ) ( ) ( )cs c s
kl k lR u E t t u= η η + .
Після підстановки виразу (10) до (8) отримуємо:
0
1ˆ[ ] 1 ( ) ( )c s
k kk kk
uD m R u R u du
θ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦θ θ⎝ ⎠
∫ .
Спектральні густини процесів ( )c
k tη і ( )s
k tη зосереджені в смузі [ ]0 0/ 2; / 2−ω ω ,
тому кореляційні функції ( )c
kkR u і ( )s
kkR u заникають з ростом зсуву u , а це при-
зводить до того, що ˆ[ ] 0kD m → при θ→∞ . Отже, оцінка (7) є слушна.
Для оцінки авто- та взаємокореляційних функцій формуємо статистику
* *
0
1ˆ ˆ ˆ( ) [ ( )][ ( ) ]kl k k l lR u t m t u m dt
θ
= η − η + −
θ ∫ . (11)
Її математичне сподівання
1
1 1
0
| |1ˆ ( ) ( ) 1 ( )kl kl kl
uER u R u R u u du
θ⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟θ θ⎝ ⎠
∫
при θ→∞ збігається до Rkl(u). Отже, оцінка асимптотично незміщена. Вона також є
слушна, оскільки її дисперсія, яку в першому наближенні визначали за формулою
* *
0
1ˆ[ ] ( ) ( ) ( ) ( )k k l k lD m E t t u s s u dtds
θ
= η η + η η +
θ ∫ ∫ , (12)
за обмеженого четвертого моменту прямує до нуля при θ→∞. Для гаусових ви-
падкових процесів величину (11) можна виразити через кореляційні функції про-
цесів ηk(t) і ηl(t).
Подання (6) і (11) були використані для статистичної обробки даних ком-
п’ютерної симуляції.
Проаналізуємо коротко результати цього експерименту. За відносної довжини
тріщини деталі ∆l/l = 0,1 взаємокореляційні функції стаціонарних компонентів,
коли u = 0, подано на рис. 2a. Тоді переважальними є автокореляційні зв’язки, тоб-
33
то можна стверджувати, що сигнал стаціонарний. При цьому автокореляційні
зв’язки перших компонентів значно сильніші, ніж автокореляційні зв’язки других.
Рис. 2. Оцінка взаємокореляційних функцій
стаціонарних компонентів випадкової складо-
вої вібраційного сигналу за зсуву
u = 0 для відносної довжини тріщини:
a – ∆l/l = 0,1; b – 0,5; с – 0,7.
Fig. 2. The estimation of cross-correlation func-
tions for the stationary components of vibration
signal stochastic part for shear u=0 and relative
crack size: ∆l/l = 0.1; b – 0.5; с – 0.7.
На наступному кроці експерименту збільшуємо відносну довжину тріщини
до ∆l/l = 0,5. В результаті отримуємо зростання енергії автокореляційних зв’язків
(рис. 2b). Крім того, добре видно, що за такої довжини тріщини починають про-
являтися взаємокореляційні зв’язки між першим та другим стаціонарними ком-
понентами.
Коли довжина тріщини ∆l/l = 0,7, маємо зовсім іншу картину взаємокореля-
ційних зв’язків (рис. 2c). Як бачимо, за великих відносних довжин тріщини, крім
потужних автокореляційних зв’язків першого та другого стаціонарних компонен-
тів, значущими є також взаємні кореляції між ними.
Отже, з розвитком тріщини зростає міра нестаціонарності вібраційного сиг-
налу, яка пов’язана з виникненням взаємокореляційних зв’язків між стаціонарни-
ми компонентами вібраційного процесу. Виявили три стаціонарні компоненти.
Таким чином, отримали підтвердження того, що такий вібраційний процес можна
описати моделлю у вигляді гармонічного подання з трьома стаціонарними ком-
понентами [2], а саме:
0
2
2
( ) ( ) ik t
k
k
t t e− ω
=−
ξ = η∑ . (13)
Врахувавши (9), приходимо до тригонометричної форми подання (6):
0 1 0 1 0 2 0 2 0( ) ( ) ( )cos ( )sin ( )cos 2 ( )sin 2c s c st t t t t t t t t tξ = η + η ω + η ω + η ω + η ω ,
при цьому 0 ( ), ( ), ( )c s
k kt t tη η η є дійсними процесами, а також *( ) ( ) ( )c
k k kt t tη = η + η ,
*( ) [ ( ) ( )]s
k k kt i t tη = η − η . На основі (4) легко знаходимо:
1,1 0 1,1 0
0 0,0
2,2 0 2,2 0
Re{ ( )}cos Im{ ( )}sin
( ) ( ) 2
Re{ ( )}cos 2 Im{ ( )}sin 2
R u u R u u
B u R u
R u u R u u
ω + ω +⎡ ⎤
= + ⎢ ⎥
+ ω + ω⎢ ⎥⎣ ⎦
, (14)
де 1,1 1 1Re{ ( )} ( ) ( )c sR u R u R u= + , 1,1 1 1Im{ ( )} ( ) ( )sc csR u R u R u= − ; (15)
2,2 2 2Re{ ( )} ( ) ( )c sR u R u R u= + , 2,2 2 2Im{ ( )} ( ) ( )sc csR u R u R u= − . (16)
34
У виразі для першого кореляційного компонента виділимо дійсну і уявну
частини, подавши його у вигляді 1 1 1
1( ) [ ( ) ( )] :
2
c sB u B u iB u= −
1,0 0,1 2,1 0
1 0,1 2,1 0
1,2 0 1,2 0
Re{ ( )} (Re{ ( )} Re{ ( )})cos
( ) 2 (Im{ ( )} Im{ ( )})sin
Re{ ( )}cos 2 Im{ ( )}sin 2
c
R u R u R u u
B u R u R u u
R u u R u u
⎡ ⎤+ + ω +
⎢ ⎥
= + ω +⎢ ⎥
⎢ ⎥+ ω + ω⎣ ⎦
; (17)
1,0 0,1 2,1 0
1 2,1 0,1 0
1,2 0 1,2 0
Im{ ( )} (Im{ ( )} Im{ ( )})cos
( ) 2 (Re{ ( )} Re{ ( )})sin
Re{ ( )}sin 2 Im{ ( )}cos 2
s
R u R u R u u
B u R u R u u
R u u R u u
⎡ ⎤− + − ω +
⎢ ⎥
= − ω −⎢ ⎥
⎢ ⎥− ω + ω⎣ ⎦
, (18)
при цьому
1,0 1,0 1,0 0,1 0,1 0,1
1 1( ) [ ( ) ], ( ) [ ( ) ( )],
2 2
c s c sR u R u iR R u R u iR u= + = − (19)
1,2 1,2 1,2 1,2 1,2
1( ) [ ( ) { ( ) ( )}],
4
c s cs scR u R u R i R u R u= + − − (20)
2,1 2,1 2,1 2,1 2,1
1( ) [ ( ) ( ) { ( ) ( )}]
4
cs scR u R u R u i R u R u= + − − . (21)
Кореляційні функції, які входять у співвідношення (14)–(21) обчислені на
основі даних експерименту для різних значень відносної довжини тріщини. Наве-
дено (рис. 3) динаміку змін оцінок найбільш значущих взаємокореляційних
функцій компонентів процесу.
Рис. 3. Оцінки взаємокореляційних функ-
цій нульового компонента та косинусної
складової першого компонента (a), коси-
нусної та синусної (b), синусної та коси-
нусної (c) складових першого і другого
компонентів випадкової складової вібра-
ційного сигналу: 1 – відносна довжина
тріщини ∆l/l = 0,1; 2 – 0,5; 3 – 0,7.
Fig. 3. The estimates of inter-correlation functions of zero component and cosine component
of the first component (a), cosine and sine parts (b), sine and cosine parts of the first and second
components (c) of stochastic part of vibration signal:
1 – relative crack length, ∆l/l = 0.1; 2 – 0.5; 3 – 0.7.
Виявлено, що амплітуда взаємокореляційних зв’язків між компонентами
вібраційного процесу зростає з розвитком тріщини. Так, за малих розмірів тріщи-
ни амплітуда взаємокореляційних зв’язків змінюється незначно (коли ∆l/l < 0,3
взаємокореляційні зв’язки майже не проявляються), проте за великих – кардиналь-
но міняється. Для прикладу, збільшення розміру тріщини у півтора рази ∆l/l = 0,5...
35
0,7 призводить до зростання амплітуд взаємокореляційних зв’язків втричі. Слід
зауважити, що взаємокореляційні функції 1,0 ( );sR u 0,1( );sR u 1,2 ( );cR u 1,2 ( );sR u
2,1( )cR u та 2,1( )sR u є настільки малі, що під час моделювання ними можна знехту-
вати. Тоді вирази (19)–(21) набудуть вигляду
1,0 1,0 0,1 0,1
1 1( ) ( ), ( ) ( ),
2 2
c cR u R u R u R u= = (22)
1,2 1,2 1,2
1( ) { ( ) ( )} ,
4
cs scR u i R u R u= − − (23)
2,1 2,1 2,1
1( ) { ( ) ( )}
4
cs scR u i R u R u= − − . (24)
Підставивши формули для авто- та взаємокореляційних функцій стаціонар-
них компонентів у (14) та (17), (18), отримаємо математичні вирази для апрокси-
мації компонентів кореляційної функції моделі:
0 0,0 1 1 0 1 1 0
2 2 0 2 2 0
( ) ( ) 2{ ( ) ( )}cos 2{ ( ) ( )}sin
2{ ( ) ( )}cos 2 2{ ( ) ( )}sin 2 ,
c s sc cs
c s sc cs
B u R u R u R u u R u R u u
R u R u u R u R u u
= + + ω + − ω +
+ + ω + − ω
(25)
1 1,0 0,1 0 2,1 2,1 0
1,2 1,2 0
1( ) ( ) ( )cos { ( ) ( )}sin
2
1 { ( ) ( )}sin 2 ,
2
c c c cs sc
cs sc
B u R u R u u R u R u u
R u R u u
= + ω − − ω −
− − ω
(26)
1 2,1 2,1 0 0,1 0
1,2 1,2 0
1( ) { ( ) ( )}cos ( )sin
2
1 { ( ) ( )}cos 2 .
2
s cs sc c
cs sc
B u R u R u u R u u
R u R u u
= − − ω − ω −
− − ω
(27)
Рис. 4. Оцінки нульового компонента
кореляційної функції випадкової скла-
дової вібраційного сигналу (a),
косинусної (b) та синусної (c) складових
першого компонента:
1 – модель; 2 – експеримент.
Fig. 4. The estimates of zero component of correlation functions of vibration signal stochastic
part (a), cosine (b) and sine (c) first component part: 1 – model; 2 – experimental.
Використовуючи останні вирази, оцінили компоненти кореляційної функції
моделі вібраційного сигналу, коли ∆l/l = 0,7, та порівняли їх з отриманими експе-
36
риментально за допомогою компонентного методу [3] (рис. 4). Як бачимо, модель
(14) з похибкою менше 5% описує вібраційний відгук деталі з тріщиною (рис. 4).
Слід зауважити, що структура взаємокореляційних та автокореляційних
функцій не змінюється, а це означає, що модель вібраційного процесу не зале-
жить від розміру тріщини. З ростом тріщини міняються лише параметри моделі
такі, як амплітуди кореляційних зв’язків. Тому як діагностичні критерії наявності
тріщини в деталі доцільно використовувати критерії побудовані на компонентах
дисперсії випадкової складової вібраційного процесу.
ВИСНОВКИ
Вібраційний відгук від дефектної деталі, на яку діє змінна сила, можна опи-
сати моделлю у вигляді періодично корельованого випадкового процесу. Як ви-
пливає з проведеного аналізу, тріщина призводить до нелінійності в системі, яка
збільшується з її ростом. В результаті цього виникають взаємокореляційні зв’яз-
ки між стаціонарними компонентами вібраційного сигналу. Зі збільшенням від-
носної довжини тріщини амплітуда зв’язків зростає, що можна використати як
критерій дефектності елементів механічного вузла.
РЕЗЮМЕ. Разработана статистическая модель вибрационного сигнала от тонкой де-
тали с трещиной. Исследована динамика изменений взаимокорреляционных связей между
стационарными компонентами вибрационного сигнала. Показано, что размер трещины не
влияет на форму и ширину центрального максимума корреляционных функций.
SUMMARY. The statistical model of thin cracked detail vibration response is built. The
dynamics of cross-correlation connections change between stationary components of a vibration
signal is carried out. It is shown that the crack size does not effect the form and main extreme
width of correlation functions.
1. Модель вібраційного відгуку від тіла з тріщиною / І. Й. Мацько, І. Б. Кравець, І. М. Явор-
ський, В. М. Заяць // Відбір і обробка інформації. – 2009. – № 30 (106). – С. 12–22.
2. Вплив розміру тріщини на кореляційну структуру вібраційного сигналу / І. Й. Мацько,
І. Б. Кравець, Р. М. Юзефович, І. М. Яворський // Там же. – 2009. – № 31 (107). – С. 18–25.
3. Michael Norton and Denis Karczub. Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for
Engineers. – Cambridge University Press, 2003. – P. 631.
4. Драган Я. П., Рожков В. А., Яворский И. Н. Методы вероятностного анализа ритмики
океанологических процессов. – Л.: Гидрометеоиздат, 1987. – 319 с.
5. Яворский И. Н., Кравец И. Б., Исаев И. Ю. Параметрическое моделирование периоди-
чески коррелированных случайных процессов на основе их представления через ста-
ционарные случайные процессы // Изв. ВУЗов. Радиоэлектроника. – 2006. – 49, №11.
– С. 33–42.
6. Яворський І. М., Ісаєв І. Ю., Кравець І. Б. Лінійна смугова фільтрація при дослідженні
структури періодично нестаціонарних випадкових сигналів // Відбір і обробка інфор-
мації. – 2006. – № 26 (101). – С. 19–25.
7. Gelman L., Gorpinich S. Non-linear Vibroacoustical Free Oscillation Method For Crack
Detection And Evaluation // Mechanical Systems and Signal Processing. – 2000. – 14 (3).
– P. 343–351.
8. Гельман Л. М., Зиньковский Ю. Ф., Петрунин И. В. Эффективность использования
действительной и мнимой составляющих преобразования Фурье для диагностики ус-
талостных трещин // Техн. диагностика и неразр. контроль. – 2001. – № 3. – С. 21–23.
Одержано 09.06.2010
|