Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині у жорсткому з’єднанні шару з інтерфейсом

Розв’язано задачу дифракції нормальної хвилі, яка поширюється у пружному шарі, з’єднаному жорстко з інтерфейсом, на міжфазній тріщині за антиплоского динамічного навантаження. Методом Вінера–Хопфа задачу зведено до розв’язання нескінченної системи лінійних алгебричних рівнянь. Досліджено власні знач...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Фізико-хімічна механіка матеріалів
Date:	2011
Main Authors:	Назарчук, З.Т., Куриляк, Д.Б., Войтко, М.В., Кулинич, Я.П.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України 2011
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/138350
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині у жорсткому з’єднанні шару з інтерфейсом / З.Т. Назарчук, Д.Б. Куриляк, М.В. Войтко, Я.П. Кулинич // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 6. — С. 115-121. — Бібліогр.: 11 назв. — укp.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-138350
record_format	dspace
spelling	Назарчук, З.Т. Куриляк, Д.Б. Войтко, М.В. Кулинич, Я.П. 2018-06-18T16:10:01Z 2018-06-18T16:10:01Z 2011 Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині у жорсткому з’єднанні шару з інтерфейсом / З.Т. Назарчук, Д.Б. Куриляк, М.В. Войтко, Я.П. Кулинич // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 6. — С. 115-121. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. 0430-6252 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/138350 517.9;537.8;538.566 Розв’язано задачу дифракції нормальної хвилі, яка поширюється у пружному шарі, з’єднаному жорстко з інтерфейсом, на міжфазній тріщині за антиплоского динамічного навантаження. Методом Вінера–Хопфа задачу зведено до розв’язання нескінченної системи лінійних алгебричних рівнянь. Досліджено власні значення оператора задачі, які відповідають резонансним коливанням динамічної системи на основній моді. Наведено приклади резонансних частот структур з міжфазними дефектами. Решена задача дифракции на межфазной трещине нормальной волны, распространяющейся в упругом слое, соединенном жестко с интерфейсом, при антиплоском динамическом нагружении. Методом Винера–Хопфа задача сведена к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Исследованы собственные значения оператора задачи, отвечающие резонансным колебаниям динамической системы на основной моде. Приведены примеры резонансных частот структур с межфазными дефектами. The problem of diffraction at the normal wave, which propagates in the elastic layer that is rigidly connected to the interface, by the interface crack under antiplane dynamic load, is solved. The problem is reduced to the solution of the infinite system of the linear algebraic equations by the Whiner-Hope technique. The eigenvalues of the problem operator, which correspond to the resonance oscillations of the dynamic system on the main mode, are investigated. The examples of the resonance frequencies for the structures with interface defects are provided. uk Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України Фізико-хімічна механіка матеріалів Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині у жорсткому з’єднанні шару з інтерфейсом Дифракция упругой SH-волны на межфазной трещине в жестком соединении слоя с интерфейсом Diffraction of an elastic SH-wave at the interface crack in a rigid junction of the layer and an interface Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині у жорсткому з’єднанні шару з інтерфейсом
spellingShingle	Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині у жорсткому з’єднанні шару з інтерфейсом Назарчук, З.Т. Куриляк, Д.Б. Войтко, М.В. Кулинич, Я.П.
title_short	Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині у жорсткому з’єднанні шару з інтерфейсом
title_full	Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині у жорсткому з’єднанні шару з інтерфейсом
title_fullStr	Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині у жорсткому з’єднанні шару з інтерфейсом
title_full_unstemmed	Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині у жорсткому з’єднанні шару з інтерфейсом
title_sort	дифракція пружної sh-хвилі на міжфазній тріщині у жорсткому з’єднанні шару з інтерфейсом
author	Назарчук, З.Т. Куриляк, Д.Б. Войтко, М.В. Кулинич, Я.П.
author_facet	Назарчук, З.Т. Куриляк, Д.Б. Войтко, М.В. Кулинич, Я.П.
publishDate	2011
language	Ukrainian
container_title	Фізико-хімічна механіка матеріалів
publisher	Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
format	Article
title_alt	Дифракция упругой SH-волны на межфазной трещине в жестком соединении слоя с интерфейсом Diffraction of an elastic SH-wave at the interface crack in a rigid junction of the layer and an interface
description	Розв’язано задачу дифракції нормальної хвилі, яка поширюється у пружному шарі, з’єднаному жорстко з інтерфейсом, на міжфазній тріщині за антиплоского динамічного навантаження. Методом Вінера–Хопфа задачу зведено до розв’язання нескінченної системи лінійних алгебричних рівнянь. Досліджено власні значення оператора задачі, які відповідають резонансним коливанням динамічної системи на основній моді. Наведено приклади резонансних частот структур з міжфазними дефектами. Решена задача дифракции на межфазной трещине нормальной волны, распространяющейся в упругом слое, соединенном жестко с интерфейсом, при антиплоском динамическом нагружении. Методом Винера–Хопфа задача сведена к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Исследованы собственные значения оператора задачи, отвечающие резонансным колебаниям динамической системы на основной моде. Приведены примеры резонансных частот структур с межфазными дефектами. The problem of diffraction at the normal wave, which propagates in the elastic layer that is rigidly connected to the interface, by the interface crack under antiplane dynamic load, is solved. The problem is reduced to the solution of the infinite system of the linear algebraic equations by the Whiner-Hope technique. The eigenvalues of the problem operator, which correspond to the resonance oscillations of the dynamic system on the main mode, are investigated. The examples of the resonance frequencies for the structures with interface defects are provided.
issn	0430-6252
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/138350
citation_txt	Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині у жорсткому з’єднанні шару з інтерфейсом / З.Т. Назарчук, Д.Б. Куриляк, М.В. Войтко, Я.П. Кулинич // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 6. — С. 115-121. — Бібліогр.: 11 назв. — укp.
work_keys_str_mv	AT nazarčukzt difrakcíâpružnoíshhvilínamížfazníitríŝiníužorstkomuzêdnanníšaruzínterfeisom AT kurilâkdb difrakcíâpružnoíshhvilínamížfazníitríŝiníužorstkomuzêdnanníšaruzínterfeisom AT voitkomv difrakcíâpružnoíshhvilínamížfazníitríŝiníužorstkomuzêdnanníšaruzínterfeisom AT kuliničâp difrakcíâpružnoíshhvilínamížfazníitríŝiníužorstkomuzêdnanníšaruzínterfeisom AT nazarčukzt difrakciâuprugoishvolnynamežfaznoitreŝinevžestkomsoedineniisloâsinterfeisom AT kurilâkdb difrakciâuprugoishvolnynamežfaznoitreŝinevžestkomsoedineniisloâsinterfeisom AT voitkomv difrakciâuprugoishvolnynamežfaznoitreŝinevžestkomsoedineniisloâsinterfeisom AT kuliničâp difrakciâuprugoishvolnynamežfaznoitreŝinevžestkomsoedineniisloâsinterfeisom AT nazarčukzt diffractionofanelasticshwaveattheinterfacecrackinarigidjunctionofthelayerandaninterface AT kurilâkdb diffractionofanelasticshwaveattheinterfacecrackinarigidjunctionofthelayerandaninterface AT voitkomv diffractionofanelasticshwaveattheinterfacecrackinarigidjunctionofthelayerandaninterface AT kuliničâp diffractionofanelasticshwaveattheinterfacecrackinarigidjunctionofthelayerandaninterface
first_indexed	2025-11-27T01:35:31Z
last_indexed	2025-11-27T01:35:31Z
_version_	1850791269714886656
fulltext	115 Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2011. – ¹ 6. – Physicochemical Mechanics of Materials УДК 517.9;537.8;538.566 ДИФРАКЦІЯ ПРУЖНОЇ SH-ХВИЛІ НА МІЖФАЗНІЙ ТРІЩИНІ У ЖОРСТКОМУ З’ЄДНАННІ ШАРУ З ІНТЕРФЕЙСОМ З. Т. НАЗАРЧУК, Д. Б. КУРИЛЯК, М. В. ВОЙТКО, Я. П. КУЛИНИЧ Фізико-механічний інститут ім. Г. В. Карпенка НАН України, Львів Розв’язано задачу дифракції нормальної хвилі, яка поширюється у пружному шарі, з’єднаному жорстко з інтерфейсом, на міжфазній тріщині за антиплоского динаміч- ного навантаження. Методом Вінера–Хопфа задачу зведено до розв’язання нескін- ченної системи лінійних алгебричних рівнянь. Досліджено власні значення операто- ра задачі, які відповідають резонансним коливанням динамічної системи на основ- ній моді. Наведено приклади резонансних частот структур з міжфазними дефектами. Ключові слова: метод Вінера–Хопфа, міжфазна тріщина, пружний шар, дифрак- ція, резонанс. Для розвитку сучасних технологій візуалізації динамічних полів зміщень не- обхідно вивчати особливості їх розподілу на поверхні зразка та вибрати опти- мальні частоти зондування. Такі дослідження потрібні, щоб розробити методики діагностування дефектів матеріалів та конструкцій. Нижче методом Вінера–Хоп- фа розв’язано задачу дифракції пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині, яка ут- ворилася на межі жорсткого з’єднання шару з інтерфейсом. Задачі дифракції пружних хвиль на дефектах у шарах та міжфазних тріщи- нах у з’єднаннях досліджували раніше [1–3]. Методом Вінера–Хопфа розв’язано [4] задачу дифракції SH-хвилі на міжфазній тріщині, яка виникає на межі ідеаль- ного з’єднання пластини з півпростором. Його застосовували також для розв’я- зання задачі дифракції пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині у з’єднанні двох півпросторів [5, 6] та задачі дифракції хвилеводної моди в пластині на межі зміни крайових умов [7, 8]. Вивчали [9] спектральні властивості динамічних систем у вигляді пластин з внутрішніми тріщинами. Розглянемо міжфазну тріщину на плоскій межі жорсткого з’єднання шару :{ ( , ), ( ,0), ( , )}P x y d z∈ −∞ ∞ ∈ − ∈ −∞ ∞ з плоским інтерфейсом :{ ( , ),S x∈ −∞ ∞ 0, ( , )}y z= ∈ −∞ ∞ , де Oxyz – декартова система координат. Нехай тріщина на ме- жі з’єднання шару з інтерфейсом займає область :{ ( ,0), 0, ( , )}x L y zΓ ∈ − = ∈ −∞ ∞ (рис. 1). Таку структуру опромінює одна з незгасальних нормальних SH-хвиль, що можуть поширюватись у шарі, з’єднаному з інтерфейсом за відсутності де- фекту. Залежність поля зміщень SH-хвилі від часу t беремо у вигляді i te− ω (цей множник надалі опускаємо). Дифракційні процеси у такій системі опишемо за допомогою однієї скалярної функції ( , )u u x y= , яка визначає поле зміщень ( ( ( , ))ze u x y≡u . Тоді відповідну крайову задачу дифракції формулюємо так: 2 0,u k u∆ + = (1) ( ) 0, ; ( , ) inc zy u u y d x y ∂ + τ = µ = = − ∈ −∞ ∞ ∂ , (2) Контактна особа: М. П. ВОЙТКО, e-mail: voytko@ipm.lviv.ua 116 ( ) 0, 0; ( ,0) inc zy u u y x L y ∂ + τ = µ = = ∈ − ∂ , (3) 0, 0; ( , ) (0, )t incu u u y x L= + = = ∈ −∞ − ∞∪ . (4) Тут ( , ) sin( )j xinc ju x y e yγ= β – збуджувальна хвиля, яка поширюється у від’єм- ному напрямі осі x ; (2 1) / 2j j dβ = π − , 1,2,3...j = ; 2 2 j j kγ = β − , Re 0jγ > ; ik k k′ ′′= + – хвильове число ( , 0,k k′ ′′ > k k′ ′′>> ). Рис. 1. Міжфазна тріщина на межі з’єднання пружного шару з інтерфейсом. Fig. 1.An interface crack at the elastic layer and interface junction. Розв’язок крайової задачі (1)–(4) необхідно знайти у класі функцій, які забез- печують виконання умови граничного поглинання, коли ρ→∞ , а також на вер- шинах тріщини: 1/ 2u ρ∼ , 1/ 2/u y −∂ ∂ ρ∼ , коли 2 2 1/ 2[ ] 0x yρ = + → і 2 2 1/ 2[( ) ] 0x L yρ = + + → . (5) Розглянемо трансформанту Фур’є дифрагованого поля ( , )u x y : i1( , ) ( , ) 2 xU y u x y e dx ∞ α −∞ α = π ∫ , (6) де Re iIm ( i )α = α + α ≡ σ + τ . Застосовуючи перетворення Фур’є до рівняння (1), подамо трансформанту (6) у вигляді ( , ) ( ) ( )y yU y B e C eγ −γα = α + α . (7) Тут ( ), ( )B Cα α – невідомі функції; 2 2kγ = α − , Re γ>0; функція U(α y) регу- лярна у смузі 0 0:{ }α∈Π −τ < τ < τ , де 0 1min(Im ,Re )kτ ≤ γ , 1Re Re jγ < γ , коли j > 1. Запишемо інтеграли Фур’є i ( )1( ,0) ( ,0) 2 L x L yU u x e dx − − α + −∞ ′ ′α = π ∫ , i 0 1( ,0) ( ,0) 2 x yU u x e dx ∞ + α′ ′α = π ∫ , (8) 0 i1( ,0) ( ,0) 2 x y L u x e dxα − ′ ′Φ α = π ∫ . (9) Тут ( ,0)U −′ α , ( ,0)U +′ α – регулярні функції параметра α відповідно у півпло- щинах 0τ < τ і 0τ > −τ , які мають спільну смугу регулярності Π ; ( ,0)′Φ α – ціла функція. Продиференціювавши вираз (7) за змінною y і застосувавши інтегральне перетворення Фур’є до крайової умови (2), знаходимо: 117 2( ) ( ) dC B e− γα = α . (10) Для умови 0y → , врахувавши позначення (6)–(10), отримаємо: iα 2γ(α,0) (α,0) (α,0) γ (α)[1 ]L de U U B e− − + −′ ′ ′+ Φ + = − . (11) Із крайової умови (3) знаходимо: γ iαiβ (α,0) 1 2π (α iγ ) jLj L j e e− −⎡ ⎤′Φ = −⎢ ⎥⎣ ⎦− . (12) Беручи до уваги вирази (10), (11), рівняння (7) перепишемо так: iα ch ( )( , ) [ (α,0) (α,0) (α,0)] γsh ( ) L y dU y e U U d − − + γ +′ ′ ′α = +Φ + γ . (13) Використовуючи подання (13) і Фур’є перетворення крайової умови (4), приходимо до рівняння Вінера–Хопфа ( ) iα 1[ (α) (α)] ( ) ( ) 0Le M J+ − −Ψ + Ψ α + α = , α∈Π . (14) Тут (α)−Ψ , ( ) (α)+Ψ , 1(α)J – невідомі функції з відомими властивостями регу- лярності: (α)−Ψ – регулярна у комплексній півплощині 0τ < τ , ( ) (α)+Ψ – у пів- площині 0τ > −τ , за винятком точки α iγ j= ( 0Reγ τj > ), де вона має простий по- люс, 1(α)J – ціла функція, виражена інтегралом у скінченних межах, а відома функція ( )M α регулярна у смузі α∈Π , а за її межами допускає прості нулі і полюси; γiβ (α) (α,0) 2π (α iγ ) jL j j e U − − −′Ψ = − − , (15) ( ) iβ (α) (α,0) 2π (α iγ ) j j U+ +′Ψ = + − , (16) 0 iα 1 1(α) ( ,0) 2π x L J U x e dx − = ∫ , (17) ch( )( ) γsh( ) dM d γ α = γ . (18) Функція (18) допускає факторизацію методом нескінченних добутків і її можна подати у вигляді ( ) ( ) ( )M M M+ −α = α α . (19) Тут ( ) ( )M M− +α = −α , i 1 i 0 1 cos( ) 1 i ( ) i sin( ) 1 1 i i d n ncn d n s nsn kd e M k kd e ∞ α π = + ∞ α π = ⎡ ⎤α+⎢ ⎥γ⎣ ⎦α = ⎛ ⎞ ⎡ ⎤α α + +⎜ ⎟ ⎢ ⎥γ γ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∏ ∏ , (20) де 2 2 2 2(2 1) /(4 )nc n d kγ = π − − , 2 2( / )ns n d kγ = π − , 0 is kγ = − . 118 У формулах (19), (20) функції ( )M± α регулярні і не мають нулів відповідно у півплощинах 0τ> −τ , 0τ< τ , а якщо \| \|α →∞ , в областях регулярності справед- лива асимптотична оцінка 1/ 2( ) ( )M O − ± α = α . За межами області регулярності ці функції мають прості нулі і полюси у точках i ncα = γ∓ і i nsα = γ∓ ( 1, 2, 3,...n = ), а також простий полюс, коли kα = ∓ . Асимптотична поведінка функцій (15), (16) в областях регулярності, коли \| \|α →∞ , така: ( ) 1/ 2( ) ( )O+ −Ψ α = α , 1/ 2( ) ( )O− −Ψ α = α . Ціла функція (17) в облас- ті 0τ< τ для \| \|α →∞ спадає до нуля, 3 / 2 1(α) (α )J O −= , а в області 0τ> −τ для \| \|α →∞ спадає до нуля добуток iα 3/ 2 1(α) (α )Le J O −= . Далі функціональне рівняння (14) переписуємо у вигляді ( ) iα 1( )( ) (α) ( ) (α) 0 ( ) L JM e M M + − − + + − α α Ψ + α Ψ + = α , α∈Π , (21) iα iα ( ) 1( )( ) (α) ( ) (α) 0 ( ) L L e JM e M M + − − − + α α Ψ + α Ψ + = α , α∈Π . (22) Факторизуючи рівняння (21), (22), приходимо до системи інтегральних рів- нянь другого роду, які після заміни інтегралів рядами лишків зводимо до таких співвідношень: γ1 ( ) 0 iβ (iγ )ε ( iγ ) (α) (α) iγ (iγ )(iγ α) α iγ2π nsL j jn ns ns ns ns jn Md e M M −− −∞ ++ + += Ψ − Ψ − = + − ∑ , (23) γ ( ) 0 (iγ ) (α) (α) ε 0 iγ (iγ )(α iγ ) nsL ns n ns ns nsn e M dM − +∞ − − += Ψ Ψ + = −∑ , (24) де 1/ 2nε = , коли 0n = , і 1nε = , коли 0n > . Покладаючи у першому рівнянні α iγrs= , а у другому α iγrs= − , 0, 1, 2,...r = , із функціональних співвідношень (23), (24) отримуємо нескінченні системи ліній- них алгебричних рівнянь (НСЛАР), які врешті-решт запишемо так: [ ]I A X F+ = . (25) Тут 0{ }n nX x ∞ == , ( )(iγ ) (iγ )n ns nsx M + += Ψ , 1( )nx O n−= , коли n →∞ ; І – одинич- на матриця, , 0:{ }rn n rA a ∞ = , 0{ }r rF f ∞ == ; γ γ2 2 2 0 ε ε = γ [ (iγ )] [ (iγ )] γ (γ γ )(γ γ ) ns msL L n m rn mns ns ms ms rs ms ms ns d e e a M M − −− ∞ =+ + − + + ∑ ; (26) β (iγ ) γ γ2π j j r rs j M f += − . (27) Для матричних елементів (26), якщо ,n r→∞ , виконується оцінка π / \| \| nL d rn ea C rn − ≤ , (28) де С – відома стала. Отже, 2 2 , \|\| \|\| \| \|rnl r n A a= < ∞∑ і НСЛАР (25) має єдиний розв’язок, за винятком дискретних значень хвильового параметра, для яких відповідне однорідне рів- няння (25) допускає ненульовий розв’язок. 119 Якщо тепер формулу (13) переписати, використовуючи співвідношення (15), (16), а пізніше отримати обернене перетворення Фур’є від виразу (6), то поле зміщень iα ( ) i1 ch ( )( , ) [ (α) (α)] γ sh(γ )2 L xy du x y e e dx d ∞ − − + − α −∞ γ + = Ψ + Ψ π ∫ . (29) Тут функції Ψ–(α), Ψ(+)(α) визначають формули (23), (24), де значення ( iγ )ns −Ψ − і ( ) (iγ )ns +Ψ відомі з розв’язку рівняння (25). Інтеграл (29) можна замінити рядами лишків підінтегральної функції. Для цього замикаємо контур у верхню або нижню півплощини комплексної площини α залежно від області, де необхідно визначити поле зміщень. Наприклад, якщо в області { , : 0, 0}x y L x d y− < < − < < , то під час обчислення інтеграла від першого доданка контур інтегрування замикаємо у нижню півплощину, а від другого – у верхню. Остаточний вираз для поля зміщення у цій області подамо так: γ γ ( + )( ) ( ) 0 cos ( ) ( , ) 2 [ (iγ ) ( iγ ) ] γ cos qs qsx x Lt q qs qs qsq q y d du x y e e d q ∞ −+ − = π + = π ε Ψ −Ψ − π ∑ . (30) Розглянемо характеристичне рівняння для визначення спектра вихідної диф- ракційної задачі det[ ( )] 0I A+ Ω = . (31) Тут елементи матриці ( )A A= Ω , де kdΩ = , нелінійно залежать від частоти і як функції цього параметра мають точки галуження. Тому, досліджуючи розв’язки рівняння (31), розглядаємо його на відповідній рімановій поверхні. Необхідні роз- різи комплексної площини Ω вибираємо з умови, яка забезпечує формування на першому листі ріманової поверхні загасальних з часом власних коливань [10, 11]. Корені рівняння (31) є комплексні. Для їх знаходження дослідили функцію ( ) \| det[ ( )] \|f I AΩ = + Ω за дійсних значень хвильового числа (рис. 2). Криві тут досягають локальних мінімумів, якщо / 0,1; 0,5 і 1,0p L d= = , а ReΩ = 1,57077; 1,55566 і 1,42873. Локальні мінімуми функції ( )f Ω вибирали за початкове наближення дійс- ної частини розв’язків рівняння (31), а далі уточнювали ці значення, забезпечую- чи прямування до нуля дійсної і уявної частин визначника (31). Наприклад, ло- кальний мінімум кривої 3 у точці 1, 428732Ω = (рис. 2) забезпечує виконання рівняння (31) з абсолютною похибкою <0,013%, а уточнене значення цього коре- ня 1,428732 i0,000015Ω = − задовольняє це рівняння з точністю, вищою за 0,002%. За параметра Ω, рівного значенням локальних мінімумів кривих 1 і 2, абсолютна похибка визначення коренів рівняння (31) не перевищувала 0,015%. Дослідили залежності ( ) \| (iγ ) \|qs + −Ψ , де 0, 1, 2...q = , від Re( )kL за вказаних вище значень параметрів p і Re( )Ω . Резонансні піки на цих залежностях спо- стерігали для ( ) 0\| (iγ ) \|s +Ψ і 0\| ( iγ ) \|s −Ψ − , що вказує на збудження резонансних коливань на основних модах в області ( , ) :{ 0;x y L x− < < 0}d y− < < . Характер залежності ( ) 0\| (iγ ) \|s +Ψ від Re( )kL ілюструє рис. 3, де зафіксовано резонансне зростання цієї моди для різних значень параметра Re( )kL . 120 Рис. 2. Fig. 2. Рис. 3. Fig. 3. Рис. 2. Залежність модуля визначника (31) від параметра ReΩ: 1 – p = 0,1; 2 – 0,5; 3 – 1,0. Fig. 2. Dependence of the determinant modulus (31) on the parameter ReΩ: 1 – p = 0.1; 2 – 0.5; 3 – 1.0. Рис. 3. Залежність модуля основної моди від величини Re(kL) для ReΩ = 1,428732 і p = 1,0. Fig. 3. Dependence of the main mode modulus on Re(kL) on ReΩ = 1.428732 and p = 1.0. Побудовано (рис. 4) залежності дійсної ( 1(2)Re 0Ω > ) і уявної ( 1(2)Im 0Ω < ) частин коренів цього рівняння від р (перші два корені). На відповідних комплекс- них частотах спостерігаємо резонанс основної моди ( 0( , ) ~ s xu x y e±γ ) у хвилевод- ній області 1D { , : 0, 0}x y L x d y− < < − < < . Рис. 4. Залежність дійсної (а) і уявної (b) частин комплексних коренів рівняння (31) від параметра p: 1, 2 – вітки коренів. Fig. 4. Dependence of the real (а) and imaginary (b) part of complex roots of equation (31) on the parameter p: 1, 2 – branch of roots. Отримані значення резонансних параметрів можна використати для вибору частот зондування міжфазних дефектів. Зокрема, якщо пружний шар виготовле- ний із заліза і з’єднаний з інтерфейсом, то для довжин 1; 5; 10 mm резонансні частоти основної моди набуватимуть значень Reω = 507361; 502480; 461480 rad/s. ВИСНОВКИ Показано можливість збудження резонансних поперечних коливань на ос- новній моді в жорсткому з’єднанні шару з інтерфейсом за наявності міжфазної тріщини, що можна використати для вибору оптимальної частоти зондування, орієнтованої на виявлення дефектів фіксованих розмірів. 121 РЕЗЮМЕ. Решена задача дифракции на межфазной трещине нормальной волны, распространяющейся в упругом слое, соединенном жестко с интерфейсом, при антиплос- ком динамическом нагружении. Методом Винера–Хопфа задача сведена к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Исследованы собственные значения опера- тора задачи, отвечающие резонансным колебаниям динамической системы на основной моде. Приведены примеры резонансных частот структур с межфазными дефектами. SUMMARY. The problem of diffraction at the normal wave, which propagates in the elas- tic layer that is rigidly connected to the interface, by the interface crack under antiplane dynamic load, is solved. The problem is reduced to the solution of the infinite system of the linear alge- braic equations by the Whiner-Hope technique. The eigenvalues of the problem operator, which correspond to the resonance oscillations of the dynamic system on the main mode, are investi- gated. The examples of the resonance frequencies for the structures with interface defects are provided. 1. Кирпичникова Н. Я., Свиркина Л. А., Филиппов В. Б. Рассеяние плоских упругих волн от малой неоднородности, помещенной в упругий слой // Записки науч. семинаров ПОМИ. – 2001. – 275.– С. 72–84. 2. Кирпичникова Н. Я., Свиркина Л. А., Филиппов В. Б. Дифракция плоских упругих волн вертикальной поляризации от малой неоднородности в слое // Там же. – 2002. – 285. – С. 88–108. 3. Wang Y. S. and Gross D. Transfer matrix method of wave propagation in a layered medium with multiple interface cracks: anti-plane case // J. Appl. Mech. – 2001. – 68. – P. 499–503. 4. Kuryliak D. B. and Voytko M. V. Wiener-Hopf analysis of the elastic wave diffraction by the finite crack located at the plane interface between the elastic isotropic slab and half-space medium, direct and inverse problems of electromagnetic and acoustic wave theory (DIPED). – Lviv–Tbilisi, October 11–14, 2004. – P. 22–25. 5. Pal S. C. and Chosh M. L. High frequency scattering of antiplane shear waves by interface crack // Indian J. Pure Appl. Math. – 1990. – 21, № 12. – P. 1107–1124. 6. Куриляк Д. Б., Назарчук З. Т., Войтко М. В. Аналіз поля плоскої SH-хвилі, розсіяної скінченною тріщиною на межі поділу матеріалів // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2006. – 42, № 6. – С. 5–16. (Kurylyak (Kuryliak) D. B., Nazarchuk Z. T., and Voitko (Voytko) M. V. Analysis of the Field of a Plane SH-Wave Scattered by a Finite Crack on the Interface of Materials // Materials Science. – 2006. – 42, № 6. – P. 711–724.) 7. Zaman F. D. Diffraction of SH-waves across a mixed boundary in a plate // Mech. Res. Communication. – 2001. – 28, №2. – P. 171–178. 8. Asghar S. and Zaman F. D. Diffraction of SH-waves by a finite crack in a layer overlying a half space // Boll. Di Geofisica Teorica Ed Applicata. – 1987. – 19, № 113. – P. 43–50. 9. Natural resonance frequencies, wave blocking, and energy localization in an elastic half- space and waveguide with a crack / E. Glushkov, N. Glushkova, M. Golub, and A. Boström // J. Acoust. Soc. Am. – 2006. – 119, № 6. – P. 3589–3598. 10. Шестопалов В. П. Спектральная теория и возбуждение открытых структур. – К.: Наук. думка, 1987. – 288 с. 11. Фундаментальные и прикладные задачи теории рассеяния электромагнитных волн / Ю. К. Сиренко, И. В. Сухаревский, О. И. Сухаревский, Н. П. Яшина – Харьков: Крок, 2000. – 346 с. Одержано 21.04.2011

Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині у жорсткому з’єднанні шару з інтерфейсом

Institution

Similar Items