Нестаціонарна задача для біматеріалу з тріщиною та прошарком
Розглянуто динамічну задачу взаємодії плоскої кругової тріщини з тонким пружним прошарком, що з’єднує два однакові пружні півпростори. Тріщина розташована в одному з півпросторів перпендикулярно до прошарку, а її поверхні зазнають дії розривних імпульсних зусиль. Тонкий прошарок моделюють умовами не...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2012
|
| Назва видання: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/138402 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нестаціонарна задача для біматеріалу з тріщиною та прошарком / І.Я. Жбадинський, В.З. Станкевич // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 1. — С. 47-53. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-138402 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1384022025-02-09T22:58:05Z Нестаціонарна задача для біматеріалу з тріщиною та прошарком Нестационарная задача для биматериала с трещиной и прослойкой Solving of nonstationary problem for bimaterial with a crack and an interlayer using by boundary integral equation method Жбадинський, І.Я. Станкевич, В.З. Розглянуто динамічну задачу взаємодії плоскої кругової тріщини з тонким пружним прошарком, що з’єднує два однакові пружні півпростори. Тріщина розташована в одному з півпросторів перпендикулярно до прошарку, а її поверхні зазнають дії розривних імпульсних зусиль. Тонкий прошарок моделюють умовами неідеального контакту півпросторів. У перетвореннях Фур’є за часом задача зведена до граничного інтегрального рівняння типу потенціалу Гельмгольца відносно функції динамічного розкриття тріщини. Шляхом його числового розв’язування та визначення оригіналів отримані часові залежності коефіцієнтів інтенсивності напружень розриву в околі тріщини від виду динамічних навантажень, співвідношень між пружними параметрами півпросторів і прошарку та відстані від тріщини до прошарку. Рассмотрено динамическую задачу взаимодействия плоской круговой трещины с тонкой упругой прослойкой, разделяющей два одинаковых упругих полупространства. Трещина расположена в одном из полупространств перпендикулярно к прослойке, а ее поверхности нагружены разрывными импульсными усилиями. Связующий тонкий элемент моделируется условиями неидеального контакта полупространств. В преобразованиях Фурье по времени задача сведена к граничному интегральному уравнению типа потенциала Гельмгольца относительно функции динамического раскрытия трещины. Посредством его численного решения и определения оригиналов получены временные зависимости коэффициентов интенсивности напряжений разрыва в окрестности трещины от видов динамических нагрузок, соотношений между упругими параметрами полупространств и прослойки, расстояния от трещины к прослойке. A dynamic problem on the interaction between a penny-shaped crack and a thin elastic interlayer, which divides two similar elastic half-spaces, is considered. A crack is embedded in one of the half-spaces perpendicular to the interlayer, tensile normal impact loadings are applied to the crack faces. Effective “spring-like” boundary conditions are applied to substitute the thin interlayer into mathematical model. In the Fourier time transform domain the problem is reduced to the Helmholtz potential type boundary integral equation relative to the crack opening function. By the numerical solution of equations and determination of originals the temporal dependencies of mode-I stress intensity factor in the vicinity of the penny-shaped crack, are obtained for the different types of normal dynamic loading, surrounding-interlayer material combinations and crack-interlayer distances. Робота виконана за підтримки Державного фонду фундаментальних досліджень України (проект Ф40.1/018). 2012 Article Нестаціонарна задача для біматеріалу з тріщиною та прошарком / І.Я. Жбадинський, В.З. Станкевич // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 1. — С. 47-53. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. 0430-6252 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/138402 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів application/pdf Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розглянуто динамічну задачу взаємодії плоскої кругової тріщини з тонким пружним прошарком, що з’єднує два однакові пружні півпростори. Тріщина розташована в одному з півпросторів перпендикулярно до прошарку, а її поверхні зазнають дії розривних імпульсних зусиль. Тонкий прошарок моделюють умовами неідеального контакту півпросторів. У перетвореннях Фур’є за часом задача зведена до граничного інтегрального рівняння типу потенціалу Гельмгольца відносно функції динамічного розкриття тріщини. Шляхом його числового розв’язування та визначення оригіналів отримані часові залежності коефіцієнтів інтенсивності напружень розриву в околі тріщини від виду динамічних навантажень, співвідношень між пружними параметрами півпросторів і прошарку та відстані від тріщини до прошарку. |
| format |
Article |
| author |
Жбадинський, І.Я. Станкевич, В.З. |
| spellingShingle |
Жбадинський, І.Я. Станкевич, В.З. Нестаціонарна задача для біматеріалу з тріщиною та прошарком Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Жбадинський, І.Я. Станкевич, В.З. |
| author_sort |
Жбадинський, І.Я. |
| title |
Нестаціонарна задача для біматеріалу з тріщиною та прошарком |
| title_short |
Нестаціонарна задача для біматеріалу з тріщиною та прошарком |
| title_full |
Нестаціонарна задача для біматеріалу з тріщиною та прошарком |
| title_fullStr |
Нестаціонарна задача для біматеріалу з тріщиною та прошарком |
| title_full_unstemmed |
Нестаціонарна задача для біматеріалу з тріщиною та прошарком |
| title_sort |
нестаціонарна задача для біматеріалу з тріщиною та прошарком |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/138402 |
| citation_txt |
Нестаціонарна задача для біматеріалу з тріщиною та прошарком / І.Я. Жбадинський, В.З. Станкевич // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 1. — С. 47-53. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT žbadinsʹkiiíâ nestacíonarnazadačadlâbímateríaluztríŝinoûtaprošarkom AT stankevičvz nestacíonarnazadačadlâbímateríaluztríŝinoûtaprošarkom AT žbadinsʹkiiíâ nestacionarnaâzadačadlâbimaterialastreŝinoiiprosloikoi AT stankevičvz nestacionarnaâzadačadlâbimaterialastreŝinoiiprosloikoi AT žbadinsʹkiiíâ solvingofnonstationaryproblemforbimaterialwithacrackandaninterlayerusingbyboundaryintegralequationmethod AT stankevičvz solvingofnonstationaryproblemforbimaterialwithacrackandaninterlayerusingbyboundaryintegralequationmethod |
| first_indexed |
2025-12-01T14:18:42Z |
| last_indexed |
2025-12-01T14:18:42Z |
| _version_ |
1850315871645335552 |
| fulltext |
47
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2012. – ¹ 1. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
НЕСТАЦІОНАРНА ЗАДАЧА ДЛЯ БІМАТЕРІАЛУ
З ТРІЩИНОЮ ТА ПРОШАРКОМ
І. Я. ЖБАДИНСЬКИЙ 1, В. З. СТАНКЕВИЧ 2
1 Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача
НАН України, Львів;
2 Львівська філія Дніпропетровського національного університету залізничного
транспорту ім. В. Лазаряна
Розглянуто динамічну задачу взаємодії плоскої кругової тріщини з тонким пружним
прошарком, що з’єднує два однакові пружні півпростори. Тріщина розташована в
одному з півпросторів перпендикулярно до прошарку, а її поверхні зазнають дії роз-
ривних імпульсних зусиль. Тонкий прошарок моделюють умовами неідеального
контакту півпросторів. У перетвореннях Фур’є за часом задача зведена до гранично-
го інтегрального рівняння типу потенціалу Гельмгольца відносно функції динаміч-
ного розкриття тріщини. Шляхом його числового розв’язування та визначення ори-
гіналів отримані часові залежності коефіцієнтів інтенсивності напружень розриву в
околі тріщини від виду динамічних навантажень, співвідношень між пружними па-
раметрами півпросторів і прошарку та відстані від тріщини до прошарку.
Ключові слова: тривимірний біматеріал, тонкий прошарок, плоска кругова тріщи-
на, імпульсні зусилля, динамічний коефіцієнт інтенсивності напружень, метод гра-
ничних інтегральних рівнянь.
Дослідження нестаціонарних процесів у шаруватих композитах типу бімате-
ріалу з тріщинами показало суттєві відмінності у поведінці динамічних коефіці-
єнтів інтенсивності напружень (КІН) [1–5] в околі тріщини як від статичних ана-
логів, так і динамічних для однорідних тіл з тріщинами типу безмежного тіла і
півпростору. Ці відмінності зумовлені інерційними ефектами від взаємодії дефек-
тів з міжфазною поверхнею, що необхідно враховувати, оцінюючи міцнісні ха-
рактеристики композитних структур. Результати відповідних задач отримані для
ідеального [6–9] та неідеального [10] з проковзуванням спряження пружних ком-
понент тіла. Нижче згадані ефекти досліджено за неідеального з’єднання однако-
вих пружних півпросторів, яке створює тонкий (відносно довжини збурювальної
хвилі) податливий (з малим відносно матричного матеріалу модулем зсуву) про-
шарок. Пошкодження ідеальних зв’язків у тривимірному тілі можливе в резуль-
таті адгезії, протікання міжфазних хімічних реакцій чи зміни механічних власти-
востей компонент у зоні контакту внаслідок втоми від змінних у часі наванта-
жень. Для розв’язування задачі використано метод граничних інтегральних рів-
нянь (ГІР), узагальнений на випадок ускладнених умов контакту на поверхні
спряження кусково-однорідного тіла з тріщиною.
Постава задачі. Розглянемо тривимірне кусково-однорідне тіло, яке склада-
ється з двох пружних півпросторів A і B з однаковими пружними характеристика-
ми матеріалів – густиною ρ, модулем зсуву G і Пуассоновим коефіцієнтом ν. Пів-
простори з’єднані тонким пружним податливим прошарком товщиною h і пара-
метрами ρ0, G0, ν0. Півпростір A містить плоску тріщину, яка займає кругову об-
ласть S радіуса a, розташовану перпендикулярно до серединної поверхні S0 про-
Контактна особа: І. Я. ЖБАДИНСЬКИЙ, e-mail: zhbadynskyi.igor@gmail.com
48
шарку. Протилежні поверхні S± трі-
щини зазнають дії самозрівноважених
розривних змінних у часі t зусиль
( , ) ( , ) ( , )t t t+ −=− =N x N x N x . Вважає-
мо, що під час навантаження контур
дефекту залишається нерухомим. Де-
картову систему координат 1 2 3O x x x
вибрано так, щоб поверхня S0 прошар-
ку містилась у площині 2 3x O x , а трі-
щина – в площині 3 0x = (рис. 1). Зада-
ча дослідження напружено-деформів-
ного стану тіла зводиться до розв’язу-
вання диференційних рівнянь руху Ла-
ме відносно компонент вектора пере-
міщень 1 2 3( , , )D D D Du u uu , які у перетво-
реннях Фур’є за часом з урахуванням умов причинності та нульових початкових
умов мають вигляд [11]
2 2
1 2ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 0, , .D D D D A B− −ω ∇⋅ ∇⋅ −ω ∇× ∇× + = =u u u (1)
Тут і надалі знак “тильда” означає Фур’є-трансформанту відповідної величини;
∇ − тривимірний Гамільтонів оператор; / , 1,2n nc nω =ω = ; ω − параметр пере-
творення Фур’є; с1, с2 − швидкості поширення у тілі поздовжньої і поперечної
пружних хвиль.
Виходячи з тонкості (ω2h < 1) і механічних властивостей прошарку (G0 << G),
скористаємось крайовими умовами стрибків переміщень ˆ ( , , 1,3)D
ju D A B j= = за
дотримання неперервності відповідних напружень 1ˆ D
jσ на серединній поверхні
0S для запису крайових умов у вигляді [12]
0 0 0
11 11 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 2 (1 ) (1 2 ) ( ) ( ) ,A BA B G u u h⎡ ⎤⎡ ⎤σ =σ = −ν − ν −⎣ ⎦ ⎣ ⎦x x x x
0 0
1 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) , 2,3, ( , ) ;A B A B
n n n nG u u h n x x S⎡ ⎤σ =σ = − = ∈⎣ ⎦x x x x x (2)
крайові умови на поверхнях тріщини
33 3
ˆˆ ˆ( ) ( , ) , ( ) 0, 1,2, ,A A
nN n Sσ =− ω σ = = ∈x x x x (3)
де ˆˆ ˆ, , ( , ; , 1,3)D D
j iju N D A B i jσ = = − відповідно Фур’є-зображення компонент век-
тора переміщень, тензора напружень і вектора заданих зусиль на тріщині.
Розв’язування задачі. Диференційне рівняння (1) та крайові умови (2), (3)
відповідають також задачі про усталене у часі навантаження тріщини у кусково-
однорідному тілі з прошарком, якщо трансформанти функцій замінити ампліту-
дами відповідних величин, а параметр перетворення ототожнити з циклічною
частотою коливань.
Суперпозиційну природу хвильового поля у розглянутому тілі подамо векто-
рами переміщень
(1)ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆψ , ψ ,A A A A B B B=∇ϕ +∇× + =∇ϕ +∇×u u u (4)
Рис. 1. Схема задачі.
Fig. 1. Scheme of the problem.
49
де (1)ˆ Au описує хвильове поле, зумовлене динамічним розкриттям тріщини. Ска-
лярні потенціали ˆ ( , )D D A Bϕ = поздовжніх і векторні 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆψ ( , , )D D D Dψ ψ ψ попереч-
них хвиль задовольняють рівняння Гельмгольца і відповідають за внесок у за-
гальне поле відбитих ˆ ˆ( ,ψ )A Aϕ та заломлених ˆ ˆ( ,ψ )B Bϕ на прошарку хвиль.
Інтегральні подання компонент (1)ˆ ( , ) , 1,3A
ju jω =x вибрані у вигляді [12]
2
(1) 1
1
exp( | |)
ˆ ˆ( , ) ( 1) ( , ) , 1,3 ,
| |
nA n x A
jnj
n S
i
u u dS j+
ξ
=
ω −ξ
ω = − ∆ ξ ω =
−ξ∑ ∫∫
x
x P
x
(5)
2 2
1 2 1 1 22 2 2
1 22 1 2
2 , 2 ,x x x
j j j j j
j j jx x x x xx x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + = + δ +δ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ω ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠
P P P
де | |−ξx – відстань між актуальною точкою x півпростору A і точкою інтегрування
ξ ; 3 3ˆ ˆ ˆ( , ) ( , ) ( , ) 4A AAu u u− +⎡ ⎤∆ ω = ω − ω π⎣ ⎦x x x (
3
3 3
0
ˆ ˆ, ( , ) lim ( , )A A
x
S u u±
→±
∈ ω = ωx x x ) –
функція динамічного розкриття тріщини у напрямку осі 3Ox ; ijδ – Кронекерів
символ.
Функції ˆ ˆ,ψ ( , )D D D A Bϕ = співвідношень (4) вибрали у вигляді потенціалів
Гельмгольца
0
0
1
1
1 4
2
1
1 4
exp( | |)
ˆ ( ) ( ) ,
| |
exp( | |)
ˆ ( ) ( ) ,
| |
A
B
S
A
B
n n
S n
i
dS
x
i
dS
x
⎧ ⎫
⎨ ⎬
⎩ ⎭
ξ⎧ ⎫
⎨ ⎬
⎩ ⎭
⎧ ⎫
⎨ ⎬
⎩ ⎭
ξ+⎧ ⎫
⎨ ⎬+⎩ ⎭
ω −ξ∂
ϕ = α ξ
∂ −ξ
ω −ξ∂
ψ = α ξ
∂ −ξ
∫∫
∫∫
x
x
x
x
x
x
3ˆ1,2, ( ) 0.
A
Bn
⎧ ⎫
⎨ ⎬
⎩ ⎭= ψ =x (6)
Задовольнивши крайові умови (2) за допомогою співвідношень (4)−(6), от-
римали систему інтегральних рівнянь другого роду відносно невідомих густин
потенціалів ( 1,6)j jα =
0
6 2
0
1 1
exp( | |)
Λ [ ( )] Φ ( ) ( ) , ,
| |
mx x
jn n jnm n j
n m S
i
dS p Sη
= =
⎧ ⎫⎡ ⎤ω −η⎪ ⎪⎢ ⎥α + α η = ∈⎨ ⎬
−η⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
∑ ∑ ∫∫
x
x x x
x
(7)
де
( 3)1
ˆ ( ) для 1,3 ,
( ) 1 ˆ ( ) для 4,6 ;
2
A
j
j A
j
u j
p
j
G −
⎧ =
⎪=⎨
σ =⎪
⎩
x
x
x
Λ , Φx x
jn jnm – диференціальні оператори, наведені в праці [12].
Густини αj визначають з рівнянь (7), застосовуючи до останніх двовимірне
інтегральне перетворення Фур’є за координатами x2, x3, з подальшим використан-
ням під час обернення теореми про згортку
50
0
6
0
02
1 21 0
1( ) ( ) [ ( | |)] , , 1,6.
( ) ( )4
j n jn
n S
p J d dS x S j
F F
∞
η
η
=
τ
α = η τ −η τ ∈ =
τ τπ
∑ ∫∫ ∫x U x (8)
У рівнянні (8) диференціальні оператори jn
ηU за змінними η1,η2, наведені у
праці [12]; Jn(z) – Бесселева функція першого роду n-го порядку дійсного аргументу
z; 2
1 2 2( ) ( ) 4 ( )F H R Vτ = τ − ω τ , 2
2 2 1( ) ( ) 4 ( )F K R Vτ = τ − ω τ – модифіковані функції Ре-
лея; 2 2 2 2
2 1 2( ) (2 ) 4 ( ) ( )R V Vτ = τ −ω − τ τ τ – функція Релея; 0 0(1 2 ) /(1 )K hG∗= − ν −ν ,
2H hG∗= , 0/G G G∗ = , 2 2( ) , 1,2j jV jτ = τ −ω = . Параметр ω в структурі функцій
F1(τ), F2(τ) свідчить про геометричну дисперсію згенерованих відбиттям та
заломленням на прошарку хвиль.
Скориставшись формулою (8), отримали подання для потенціалів (6) через
функцію ˆ Au∆ розкриття тріщини. Підставивши ці вирази у співвідношення (4)
та задовольнивши ними крайові умови (3) на поверхнях тріщини, отримали дво-
вимірне ГІР типу потенціалу Гельмгольца по обмеженій області S тріщини від-
носно функції ˆ Au∆ у вигляді
2
2 ˆˆ ( , ) (| |, ) (| |, ) ( , ) , .
4
A
S
u L L dS N S
Gξ
ω⎡ ⎤∆ ξ ω −ξ ω − −ξ ω = ω ∈⎣ ⎦∫∫ x x x x (9)
Ядро L ГІР (9) таке ж, як для тріщини в однорідному тілі
2
1
5
1
exp( )
( ) ( 1) ( ) ,nn
n
n
i r
L r M r
r
+
=
ω
= −∑ (10)
2 2 2 2 2 3 2 2 2 4
2 2 1 1 2( ) 9 9 ( 5 ) (2 ) (2 ) ,n n n n n nM r i r r i r r= − ω + ω − ω + ω ω −ω +δ ω −ω
а ядро L описує взаємодію тріщини з прошарком і має таку структуру
1
1 5
2
2 2 1 1
, 10
exp( | |)
( , ) ( , )
| |
2 (| |, )exp[ ( ) ( )] .nm m n
n m
i
L M
x x V V d
∞
=
ω −ξ
ξ = ξ +
−ξ
+ τ Ω −ξ τ − τ −ξ τ τ∑∫
x
x x
x
Тут точка 1 2( , )x x−x – симетричне відображення точки 1 2( , )x xx у півпростір B;
2 2 2
2 2 2
11
1 2
2 4 2 2
2 2
0 1 22 2
( ) ( )
( , ) 2
( ) ( )
3( ) ( ) ( ) ,
(1 )4(1 )
H V K V
r
F F
J r J r J r
r r
⎡ ⎤τ τ τ τ +ω
⎢ ⎥Ω τ = + ×
τ τ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ν ω νω τ τ
× τ + τ + τ⎢ ⎥
−ν−ν⎢ ⎥⎣ ⎦
2 22 2
2 1 22 2 1 22
22
1 2
22
2
2 1 22
( ) 2 ( ) ( ) 2 8 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 4
( , )
( ) ( )
3 ( ) ( ) / ( ) 4 ,
4 2
HV HV V V KV V HV
r
F F
HH J r J r HV
rr
⎡⎧ ⎡ ⎤τ τ τ + ω + τ ⎡ ⎤τ τ τ +⎪⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦Ω τ = + +⎨⎢ τ τ⎪⎢⎩⎣
⎤ωτ τ⎫ ⎡ ⎤+ × τ − τ τ +⎥⎬ ⎣ ⎦⎭ ⎥⎦
2 2
2 2 2
12 21 2 2 1 22
1 2
3( , ) ( , ) ( ) (2 ) ( ) ( ) .
( ) ( ) 2(1 )
H Kr r V J r J r
F F r r
⎡ ⎤ ⎡ ⎤νω τ τ
Ω τ =Ω τ = τ τ −ω + τ + τ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
τ τ −ν⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
51
Підінтегральний вираз ядра L має усувні особливості в точках, які співпа-
дають з дійсними коренями функцій F1(τ), F2(τ). Ці корені залежать від частоти ω
і визначаються числово.
Рівняння (9) є гіперсингулярне, що випливає із асимптотичного розвою ядра
(10) в околі полюса ξ
2 2
2 2
3
1(| |, ) (1) ,
4(1 ) | || |
AL O
⎡ ⎤ω ω
−ξ ω = + +⎢ ⎥
−ν −ξ−ξ⎢ ⎥⎣ ⎦
x
xx
де 2[7 12 8 ]/8(1 ) .A= − ν+ ν −ν
Подальша методика регуляризації ГІР (9) описана в праці [12]. При цьому
функція розкриття тріщини подана у виді
2 2 2
1 2 ˆˆ ( , ) ( ) ( , ) , ,Au a x d x S∆ ω = − − − α ω ∈x x x (11)
де α̂ – невідома функція, яка підлягає визначенню. Подання (11) узгоджується з
фізичним змістом функції ˆ Au∆ як стрибка нормальних переміщень на тріщині.
Під час розв’язування ГІР (9) проводили дискретизацію області тріщини в
полярній системі координат шляхом розбиття чотирикутними граничними елемен-
тами, в межах кожного з яких значення α̂ приймали сталими. При цьому вибира-
ли 11 точок розбиття за радіальною і 24 – за кутовою ϕ координатами. Півбез-
межний інтервал інтеграла ядра L розбивали на проміжки інтегрування 1[0, ] ,ω
1 2[ , ]ω ω і 2[ , ]ω ∞ з відповідним умовам випромінювання вибором гілок радика-
лів ( )jV τ . На перших двох інтервалах інтеграл обчислювали за допомогою квад-
ратур Ґауса, на третьому – квадратур Лагерра. Інтегральне рівняння задачі зводи-
ли до розв’язування системи лінійних алгебричних рівнянь відносно дискретних
значень α̂ . Функцію навантаження вибирали у виді 0 0( , ) ( ) , constN t N T t N= =x .
За допомогою значень функції α̂ в точках контуру тріщини та спектрально-
го синтезу визначали КІН відриву як функції кутової координати і часу
1
2
I cos
0 sin
4 ˆˆ( , ) Re ( , ) ( )exp( ) ,
1 x d a
x a
G aK t T i t d
∞
= − ϕ
= ϕ
⎡ ⎤
π ⎢ ⎥ϕ =− α ω ω − ω ω⎢ ⎥−ν
⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ x (12)
де функція α̂ – розв’язок рівняння (9) після підстановки в нього подання (11) та
з правою частиною 0
ˆ ( , )N Nω =x .
Числові результати. Коефіцієнти Пуассона компонент композита приймали
однаковими ν = ν0 = 0,3; товщина прошарку h = 0,01a.
За ударних зусиль на поверхнях тріщини у вигляді функції Гевісайда (рис. 2)
нормовані КІН IK розриву стрімко зростають до своїх пікових значень, а потім з
коливаннями в області великих часів прямують до статичних аналогів. Взаємодія
тріщини з прошарком починається з моменту часу, необхідного поздовжній хвилі
для пробігу подвоєної відстані між прошарком та найближчою до нього точкою
контуру дефекту (до цього часу криві співпадають). Збільшення параметра G*
призводить до зростання значень IK . КІН для тріщини поблизу прошарку більші
порівняно з тріщиною в однорідному тілі і менші, ніж у півпросторі з вільною
поверхнею (рис. 2a).
52
Рис. 2. Залежності відносного КІН розриву I I / stK K K= від безрозмірного часу 2 /t tc a=
в околі точок контуру кругової тріщини під нестаціонарним навантаженням
N(x, t) = N0H(t) (N0 = const, H(t) – функція Гевісайда, 02 /stK N a= π – статичний КІН
розриву для тріщини в безмежному однорідному тілі під навантаженням N0):
a – ϕ = 0°, d = 1,1a: 1 – G* = G/G0 = 200; 2 – G* = 100; 3 – 50; 4 – 20; – безмежне
однорідне тіло; – півпростір; b – G* = 200, d = 1,1a: 1 – ϕ = 0°; 2 – 90°; 3 – 180°.
Fig. 2. Dependences of the relative mode-I stress intensity factor (SIF) I I / stK K K=
versus dimensionless time 2 /t tc a= in the vicinity of a penny-shaped crack front point
under nonstationary loading N(x, t) = N0H(t) (N0 = const, H(t) – Heaviside function,
02 /stK N a= π – static mode-I SIF for the crack in a homogeneous solid under loading N0);
a – ϕ = 0°, d = 1,1a: 1 – G* = G/G0 = 200; 2 – G* = 100; 3 – 50; 4 – 20; – infinity
homogeneous solid; – halfspace; b – G* = 200, d = 1.1a: 1 – ϕ = 0°; 2 – 90°; 3 – 180°.
Рис. 3. Залежності відносного КІН розриву
I I / stK K K= від безрозмірного часу
2 /t tc a= в околі точки контуру кругової
тріщини з кутовою координатою ϕ = 0°
під нестаціонарним навантаженням
N(x, t) = N0T(t) (N0 = const, T(t) – часова
функція сходинкового профілю: T(t) = 1
для 20 /t ka c< ≤ ; T(t) = 0 для всіх решта t);
G* = 200, d = 1,1a: 1 – k = 0,5;
2 – 1; 3 – 1,5; 4 – 2.
Fig. 3. Dependences of the relative mode-I SIF
I I / stK K K= versus dimensionless time
2 /t tc a= in the vicinity of a penny-shaped crack front point with angular coordinate ϕ = 0°
under nonstationary loading N(x, t) = N0T(t) (N0 = const, T(t) – time step function,
T(t) = 1 for 20 /t ka c< ≤ ; T(t) = 0 for the other t); G* = 200, d = 1.1a:
1 – k = 0.5; 2 – 1.0; 3 – 1.5; 4 – 2.0.
У разі навантаження поверхонь тріщини імпульсними зусиллями сходинко-
вого профілю (рис. 3) значення IK зростають впродовж дії навантаження. Після
розвантаження КІН спадають, приймають від’ємних значень (відбувається зми-
кання поверхонь дефекту) і з часом виходять на нульові значення. Збільшення
тривалості імпульсу призводить до зростання пікових значень IK .
53
РЕЗЮМЕ. Рассмотрено динамическую задачу взаимодействия плоской круговой
трещины с тонкой упругой прослойкой, разделяющей два одинаковых упругих полупрост-
ранства. Трещина расположена в одном из полупространств перпендикулярно к прослой-
ке, а ее поверхности нагружены разрывными импульсными усилиями. Связующий тонкий
элемент моделируется условиями неидеального контакта полупространств. В преобразо-
ваниях Фурье по времени задача сведена к граничному интегральному уравнению типа
потенциала Гельмгольца относительно функции динамического раскрытия трещины. По-
средством его численного решения и определения оригиналов получены временные зави-
симости коэффициентов интенсивности напряжений разрыва в окрестности трещины от
видов динамических нагрузок, соотношений между упругими параметрами полупрост-
ранств и прослойки, расстояния от трещины к прослойке.
SUMMARY. A dynamic problem on the interaction between a penny-shaped crack and a
thin elastic interlayer, which divides two similar elastic half-spaces, is considered. A crack is
embedded in one of the half-spaces perpendicular to the interlayer, tensile normal impact
loadings are applied to the crack faces. Effective “spring-like” boundary conditions are applied
to substitute the thin interlayer into mathematical model. In the Fourier time transform domain
the problem is reduced to the Helmholtz potential type boundary integral equation relative to the
crack opening function. By the numerical solution of equations and determination of originals
the temporal dependencies of mode-I stress intensity factor in the vicinity of the penny-shaped
crack, are obtained for the different types of normal dynamic loading, surrounding-interlayer
material combinations and crack-interlayer distances.
Робота виконана за підтримки Державного фонду фундаментальних
досліджень України (проект Ф40.1/018).
1. Sih G. C. and Chen E. P. Normal and shear impact of layered composite with a crack:
dynamic stress intensification // Trans. ASME, J. Appl. Mech. – 1980. – 47. – P. 351–358.
2. Sih G. C. and Chen E. P. Axisymmetric elastodynamic response from normal and radial
impact of layered composites with embedded penny-shaped crack // Int. J. Solids and Struc-
tures. – 1980. – 16. – P. 1093–1107.
3. Lei J., Wang Y. S., and Gross D. Dynamic interaction between a sub-interface crack and the inter-
face in a bi-material time-domain BEM analysis // Arch. Appl. Mech. – 2003. – 73. – P. 225–240.
4. Kuo C. H. and Keer L. M. Three-dimensional analysis o cracking in a multi layered
composite // J. Appl. Mech. – 1995. – 62. – P. 273–281.
5. Noda N. A., Kouyama T., and Kinoshita Y. Stress intensity factors of an inclined elliptical
crack near a bimaterial interface // Engng. Fract. Mech. – 2006. – 73. – P. 1292–1320.
6. Stress intensity factors for penny-shaped cracks perpendicular to graded interfacial zone of bonded
bi-materials / H. T. Xiao, Z. Q. Yue, L. G. Tham, and Y. R. Chen // Ibid. – 2005. – 72. – P. 121–143.
7. Variation of the stress intensity factors for a planar crack parallel to a bimaterial interface /
C. Xu, T. Qin, L. Yuan, and N. A. Noda // Struct. Engng. Mech. – 2008. – 30. – P. 317–330.
8. Михаськів В. В., Жбадинський І. Я. Розв’язування нестаціонарних задач для складено-
го тіла з тріщиною методом інтегральних рівнянь // Фіз.-хім. механіка матеріалів.
– 2007. – 43, № 1. – С. 33–42.
(Mykhas’kiv V. V. and Zhbadyns’kyi I. Ya. Solution of Nonstationary Problems for
Composite Bodies with Cracks by the Method of Integral Equations // Materials Science.
– 2007. – 43, № 1. – P. 27–37.)
9. Станкевич В. З. Інтенсивність напружень біля тріщини в композиції півпростору і ша-
ру під гармонічним навантаженням // Там же. – 2008. – 51, № 2. – С. 27–32.
(Stankevych V. Z. Stress Intensity near a Crack in the Composition of a Half Space and a
Layer under Harmonic Loading // Ibid. – 2008. – 51, № 2. – P. 175–182.)
10. Динамічні напруження у складеному тілі з круговою тріщиною за ковзного контакту
його компонент / В. В. Михаськів, В. З. Станкевич, Є. В. Глушков, Н. В. Глушкова
// Мат. методи і фіз.-мех. поля. – 2010. – 53, № 1. – С. 80–87.
11. Pujol J. Elastic wave propagation and generation in seismology. – New York: Cambridge
University Press, 2003. – 444 p.
12. 3-D dynamic interaction between a penny-shaped crack and a thin interlayer joining two
elastic half-spaces / V. Mykhas’kiv, V. Stankevych, I. Zhbadynskyi, and Ch. Zhang // Int. J.
of Fracture. – 2009. – 159, № 2. – P. 137–149.
Одержано 27.11.2010
|