Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі
Розглянуто обчислювальний метод розв’язування двовимірного квазілінійного рівняння теплопровідності з використанням змінної нерівномірної різницевої сітки. Наведено результати його застосування до задачі про розповсюдження теплової хвилі. Results of calculating two-dimensional pseudolinear equation...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2005
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/13864 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі / С.О. Лук’яненко, І.Б. Німчук // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2005. — № 3. — С. 88-99. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860236292958191616 |
|---|---|
| author | Лук’яненко, С.О. Німчук, І.Б. |
| author_facet | Лук’яненко, С.О. Німчук, І.Б. |
| citation_txt | Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі / С.О. Лук’яненко, І.Б. Німчук // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2005. — № 3. — С. 88-99. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Розглянуто обчислювальний метод розв’язування двовимірного квазілінійного рівняння теплопровідності з використанням змінної нерівномірної різницевої сітки. Наведено результати його застосування до задачі про розповсюдження теплової хвилі.
Results of calculating two-dimensional pseudolinear equation of heat conductivity by numerical method with variable nonuniform difference meshusage. There are results of using it to the task of the heat wave’s spreading.
Рассмотрен численный метод решения двумерного квазилинейного уравнения теплопроводности с использованием переменной неравномерной разностной сетки. Приведены результаты его применения к задаче о распространении тепловой волны.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:24:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
С.О. Лук’яненко, І.Б. Німчук, 2005
88 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 3
УДК: 519.6
АДАПТИВНІ РІЗНИЦЕВІ СІТКИ ПРИ МОДЕЛЮВАННІ
ДВОВИМІРНОЇ ТЕПЛОВОЇ ХВИЛІ
С.О. ЛУК’ЯНЕНКО, І.Б. НІМЧУК
Розглянуто обчислювальний метод розв’язування двовимірного квазілінійного
рівняння теплопровідності з використанням змінної нерівномірної різницевої
сітки. Наведено результати його застосування до задачі про розповсюдження
теплової хвилі.
ВСТУП
При дослідженні фізичних процесів горіння, високотемпературної плазми,
фільтрації рідини через пористе середовище використовують квазілінійне
рівняння теплопровідності, у якому коефіцієнти теплоємкості та
теплопровідності залежать від температури [1,2]. Розв’язування таких задач
за допомогою наближених методів істотно ускладнюється внаслідок
наявності нелінійностей та великих градієнтів шуканої функції. Для
одержання розв’язку у таких випадках доводиться використовувати
різницеву сітку з дуже малим кроком, що значно збільшує потрібний
машинний час, тому доцільно застосовувати адаптивну сітку, яка
змінюється у процесі обчислень у залежності від поведінки шуканої функції.
Існуючі методи побудови адаптивних сіток [3,4] передбачають розв’язання
на кожному часовому кроці деякої допоміжної задачі із суттєвими
відмінностями від основної. Це може бути, наприклад, мінімізація деякого
функціоналу, розв’язання додаткового рівняння Лапласа, що значною мірою
ускладнює програму та збільшує витрати машинного часу на перебудову
сітки. У даній роботі розглядається алгоритм, який будує змінну
нерівномірну сітку на основі додаткових розрахунків основної задачі, що
спрощує програмне забезпечення.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Розглянемо адаптивний алгоритм на прикладі двовимірної тестової задачі
розповсюдження теплової хвилі [1], яка описується квазілінійним рівнянням
теплопровідності
21, ,)( ,)()( 21 ==
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂ αχ ασ
αα uuk
y
uuk
yx
uuk
xt
u . (1)
При значеннях параметрів 0,25 2; 4; 4; 2211 ==== χσχσ одним з його
розв’язків є функція
Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 3 89
+≤
+≥−−++−
=
.2 при 0
,2 при )2(16115,0
),,(
yxt
yxtyxt
tyxu (2)
Цей точний розв’язок будемо використовувати для порівняння
наближених розв’язків, одержаних різними алгоритмами. З нього
випливають початкові та крайові умови задачі. Розв’язок являє собою
температурну хвилю, що переміщується зі сталою швидкістю (рис. 1).
Розглянемо, як зміняться різницеві рівняння при використанні
нерівномірної сітки, наведемо метод їх розв’язання, викладемо алгоритм
побудови адаптивної сітки та дослідимо його ефективність порівняно із
фіксованою рівномірною сіткою.
РІЗНИЦЕВІ РІВНЯННЯ ДЛЯ НЕРІВНОМІРНОЇ СІТКИ
Похідні розв’язку задачі (1), (2) у точках, розташованих на майже
вертикальному фронті, близькі до нескінченності. Тому для її розв’язання
доцільно використовувати неявні схеми. Вони є стійкими та монотонними
за будь-яких кроків, хоча і вимагають розв’язання на кожному часовому
кроці системи нелінійних алгебраїчних рівнянь (СНАР). Застосуємо для
дискретизації вихідної задачі метод балансу. Його рівняння з метою
забезпечення економічності алгоритму будемо розв’язувати методом
змінних напрямків. Для розв’язання СНАР, що при цьому виникають,
використаємо метод Ньютона (має високу швидкість збіжності), а для
систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), які утворюються на кожній
ітерації метода Ньютона, — модифікований для тридіагональних матриць
метод Гаусса.
t=0,5 t=1
y y
U(x,y,t) U(x,y,t)
Рис. 1. Графік розв’язку для моментів часу t=0,5 та t=1
Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 3 90
Введемо по координаті x нерівномірну сітку з вузлами ),...,1,0( nixi = та
кроками 1,1 −−= iii xxh , по координаті y — з вузлами ),...,1,0( mjy j = та
кроками 1,2 −−= jjj yyh , по часу t — з вузлами ...),1,0( =ktk та змінними
кроками τ . Позначимо k
jiu , величину, що відповідає наближеному
розв’язку в точці ),,( kji tyx , а k
ijUU = — точному. Нагадаємо, що у методі
змінних напрямків спочатку здійснюється перехід з шару kt на полуцілий
шар ,
2
2
1
τ
+=
+
kk
tt причому
2
2
x
U
∂
∂ апроксимується на шарі
2
1
+k
t , а 2
2
y
U
∂
∂
—
на шарі kt , тобто перший етап є неявним по змінній х. На другому етапі
виконується перехід із полуцілого шару
2
1
+k
t на шар τ+=+ kk tt 1 , а
апроксимація похідних здійснюється навпаки, явно по x на шарі
2
1
+k
t та
неявно по y на 1+kt . Позначимо c,2c,1 , hh середнє арифметичне двох
сусідніх кроків для вузла ),( ji yx :
2
1,1,1
c,1
++
= ii hh
h ,
2
1,2,2
c,2
++
= jj hh
h . Для
спрощення виразів значення функції на k -му часовому шарі позначимо
k
ijij uu = , на проміжному — iju , на )1( +k -му — ijû .
Різницеві рівняння першого півкроку, одержані на основі методу балансу,
мають вигляд
+
−
ℵ−
−
ℵ
=
−
−
−+
+
+
c,1
,1
,1
2
1,11,1
,1
2
1,1
)()(
2
h
h
uu
h
uu
uu i
jiij
ii
ijji
iijij
τ
1,1,..., ,1,...,1,
)()(
c,2
,2
1,
2
1,21,2
1,
2
1,2
−=−=
−
ℵ−
−
ℵ
+
−
−+
+
+
mjni
h
h
uu
h
uu
j
jiij
jj
ijji
j
де
[ ])()(
2
1
1,11
2
11, jiiji
ukuk +
+
+=ℵ ; [ ])()(
2
1
11,1
2
11, ijjii
ukuk +=ℵ −
−
;
[ ])()(
2
1
1,22
2
12, +
+
+=ℵ jiijj
ukuk ; [ ])()(
2
1
21-,2
2
12, ijjij
ukuk +=ℵ
−
.
Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 3 91
Для спрощення цього рівняння помножимо його на
2
τ
та, позначивши
1,1,1c,1
1 2 +
=σ
ii hhh
τ ,
1,2,2c,2
2 2 +
=
jj hhh
τσ , одержимо
−
−ℵ−−ℵ−−≡ +−
−
+
+
1,1,1
2
1,1,1,1
2
1,11 )()( ijiijiiijjiiijijij huuhuuuuf σ
0)()( 1,21,
2
1,2,21,
2
1,22 =
−ℵ−−ℵ− +−
−
+
+
jjiijjjijjij
huuhuuσ . (3)
Ця рівність повинна виконуватися для усіх внутрішніх вузлів
( ))1(,...,1 ),1(,..,1 −=−= mjni , тому породжується система з ( )( )11 −− mn
нелінійних алгебраїчних рівнянь. Оскільки значення невідомої функції в
граничних вузлах відомі з граничних умов 1-го роду, то кількість невідомих
у цій системі співпадає з кількістю рівнянь. У кожному рівнянні фігурують
на шарі з номером
+
2
1k три сусідніх точки у напрямку OX, тому систему
можна розділити на )1( −m незалежних систем, кожна з яких відповідає
ряду точок xi j для фіксованого :
=
=
− .0
...
,0
,1
1
jn
j
f
f
(4)
Кожне з рівнянь j -ї системи, крім першого та останнього, містить три
невідомих величини: jiijji uuu ,1,1 ,, +− . Застосуємо для її розв’язання метод
Ньютона. На s-й ітераціїї цього методу необхідно розв’язати СЛАР відносно
приристів )1()()( −−=∆ s
ij
s
ij
s
ij uuu невідомих
=
∆
∆
∆
∆
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−−−
−−
)(
,1
)(
,2
)(
2
)(
1
,1
)1(
,1
,2
)1(
,1
,1
)1(
,2
,2
)1(
,2
,3
)1(
,2
3
)1(
2
2
)1(
2
1
)1(
2
2
)1(
1
1
)1(
1
......
s
jn
s
jn
s
j
s
j
jn
s
jn
jn
s
jn
jn
s
jn
jn
s
jn
jn
s
jn
j
s
j
j
s
j
j
s
j
j
s
j
j
s
j
u
u
u
u
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 3 92
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
)1(
,1
)1(
,2
)1(
2
)1(
1
...
s
jn
s
jn
s
j
s
j
f
f
f
f
. (5)
Отже, i -е рівняння СЛАР для j -ї системи має структуру
.
Перше та останнє рівняння СЛАР (5) містять по дві невідомі. Матриця цієї
СЛАР є тридіагональною, а кількість рядків якобіану визначається кількістю
внутрішніх точок по просторовій змінній x . Частинні похідні
ji
ij
u
f
,1−∂
∂
,
ij
ij
u
f
∂
∂
,
ji
ij
u
f
,1+∂
∂
, необхідні для формування матриці Якобі, одержимо з (3).
−
∂
ℵ∂
−ℵ−=
∂
∂
−
−
−
−+
−
)( ,1
,1
2/1,1
2/1,11,11
,1
jiij
ji
i
ii
ji
ij uu
u
h
u
f
σ ,
+−
∂
ℵ∂
−ℵ+ℵ+=
∂
∂
+
+
+−+ iijji
ij
i
iiii
ij
ij huu
u
hh
u
f
,1,1
2/1,1
1,12/1,1,12/1,11 )(1 σ
−
∂
ℵ∂
+ +−
−
1,1,1
2/1,1 )( ijiij
ij
i huu
u
,
−
∂
ℵ∂
+ℵ−=
∂
∂
+
+
+
+
+
)( ,1
,1
2/1,1
2/1,1,11
,1
ijji
ji
i
ii
ji
ij uu
u
h
u
f
σ .
На першій ітерації методу Ньютона як початкове наближення до iju
береться значення з попереднього, к-го часового кроку.
Різницеві рівняння другого півкроку методу змінних напрямків одержимо
аналогічно. Вони мають вигляд
+
−
ℵ−
−
ℵ
=
−
−
−+
+
+
c,1
,1
,1
2
1,11,1
,1
2
1,1
)()(
2
ˆ
h
h
uu
h
uu
uu i
jiij
ii
ijji
iijij
τ
2,...,2 , Δ Δ Δ )1()(
,1
,1
)1(
)(
)1(
)(
,1
,1
)1(
−=−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ −
+
+
−−
−
−
−
nifu
u
f
u
u
f
u
u
f s
ij
s
ji
ji
s
ijs
ij
i,j
s
ijs
ji
ji
s
ij
Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 3 93
11,..., ,1,..,1,
)ˆˆ(ˆ)ˆˆ(ˆ
c,2
,2
1,
2
1,21,2
1,
2
1,2
−=−=
−
ℵ−
−
ℵ
+
−
−+
+
+
mjn i
h
h
uu
h
uu
j
jiij
jj
ijji
j
або
−−ℵ−−ℵ−−≡ +−
−
+
+
])()([ˆ 1,1,1
2
1,1,1,1
2
1,11 ijiijiiijjiiijijij huuhuuuuf σ
0])ˆˆ(ˆ)ˆˆ(ˆ[ 1,21,
2
1,2,21,
2
1,22 =−ℵ−−ℵ− +−
−
+
+
jjiijjjijjij
huuhuuσ . (6)
Ця рівність повинна виконуватися для всіх внутрішніх вузлів
( ))1(,...,1 ),1(,...,1 −=−= mjni , тому знову породжується система з ( )×−1n
( )1−× m нелінійних алгебраїчних рівнянь. У кожному рівнянні фігурують на
( )1+k -му шарі три сусідніх точки у напрямку OY , тому систему можна
розділити на )1( −n незалежних систем, кожна з яких відповідає ряду точок
iy для фіксованого i
=
=
− .0
...
,0
1,
1
mi
i
f
f
(7)
Кожне з рівнянь i -ї системи, крім першого та останнього, містить три
невідомих величини 1,1, ˆ,ˆ,ˆ +− jiijji uuu . Знову застосуємо для розв’язання СНАР
метод Ньютона. На s-й ітерації цього методу необхідно розв’язати СЛАР
відносно приристів )1()()( ˆˆˆ −−=∆ s
ij
s
ij
s
ij uuu невідомих. Отже, j -е рівняння СЛАР
матиме структуру
22ˆΔ
ˆ
ˆΔ
ˆ
ˆΔ
ˆ
1
1
1
11
1
1
1
−=−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
+
,...,m, jfu
u
f
u
u
f
u
u
f )(s-
ij
(s)
i,j
i,j
)(s-
ij(s)
ij
ij
)(s-
ij(s)
i,j-
-i,j
)(s-
ij . (8)
Матриця СЛАР є тридіагональною, кількість рядків якобіану визначається
кількістю внутрішніх точок по просторовій змінній y . Використовуючи (6),
знайдемо частинні похідні
−
∂
ℵ∂
−ℵ−=
∂
∂
−
−
−
−+
−
)ˆˆ(
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ 1,
1,
2/1,2
2/1,21,22
1,
jiij
ji
j
jj
ji
ij uu
u
h
u
f
σ ,
+−
∂
ℵ∂
−ℵ+ℵ+=
∂
∂
+
+
+−+ jijji
ij
j
jjjj
ij
ij huu
u
hh
u
f
,21,
2/1,2
1,22/1,2,22/1,22 )ˆˆ(
ˆ
ˆ
ˆˆ1
ˆ
σ
Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 3 94
−
∂
ℵ∂
+ +−
−
1,21,
2/1,2 )ˆˆ(
ˆ
ˆ
jjiij
ij
j huu
u
,
−
∂
ℵ∂
+ℵ−=
∂
∂
+
+
+
+
+
)ˆˆ(
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ 1,
1,
2/1,2
2/1,2,22
1,
ijji
ji
j
jj
ji
ij uu
u
h
u
f
σ ,
що дозволить сформувати СЛАР для ітерацій Ньютона.
АДАПТИВНИЙ АЛГОРИТМ
При збільшенні кількості вузлів різницевої сітки підвищується точність, але
зростає розмірність алгебраїчних систем та, відповідно, час обчислень. Тому
кількість вузлів повинна бути мінімальною для скорочення затрат
машинного часу, але забезпечувати наперед задану точність. Очевидно, що
точність різницевого розв’язку для рівномірної сітки залежить від поведінки
шуканої функції, а саме, зменшується у зонах великих її градієнтів, тому
застосовують скупчування вузлів у таких зонах. Але побудова нерівномірної
сітки до початку розрахунків, коли враховуються можливі зони великих
градієнтів, є непридатною у випадках, коли ці зони з часом змінюють свое
положення у просторі. Тут доцільно застосовувати адаптивні алгоритми, які
у процесі розв’язування задачі аналізують поведінку функції, контролюють
похибку та будують змінну за часом та нерівномірну різницеву сітку. Такі
алгоритми скупчують вузли сітки у зонах різкої зміни шуканої функції та
розташовують їх рідко там, де функція змінюється плавно. Вони
автоматично пересувають скупчення вузлів одночасно зі зміною положення
у просторі зони великих градієнтів. Це дозволяє скоротити розмірність
систем алгебраїчних рівнянь без погіршення точності та час обчислень.
Для адаптивності методу необхідно на кожному часовому кроці для
кожного вузла ),( ji yx оцінювати точність одержаних результатів,
наприклад, порівнювати локальну похибку ije з допустимою допe , та на
основі цього змінювати величини кроків в околі даної точки, а
також величину кроку за часом τ .
Покажемо, як можна визначити локальну похибку ije . Обраний метод
змінних напрямків має похибку апроксимації )( 2
2
2
1
2 hhO ++τ , тобто
різницю між точним та наближеним розв’язками на )1( +k -му часовому
шарі за умови, що значення для k -го шару обчислено точно, можна
представити для кожного вузла у вигляді
)( 2
23
2
12
2
1
11 hChCCue k
ij
k
ijij U ++=−= ++ ττ .
ji hh ,2,1 ,
Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 3 95
Для визначення коефіцієнтів 321 ,, CCC скористаємося методом Рунге
(подвійного перерахунку), тобто перехід з k -го на -й часовий шар
виконаємо декілька разів з різними величинами кроків, а саме: 1) τ,, 21 hh ;
2) τ,,
2 2
1 h
h
; 3) τ,
2
, 2
1
h
h ; 4)
2
,, 21
τhh . Одержимо систему чотирьох рівнянь
з чотирма невідомими 321 ,,, CCCU .
ττττ
2
23
2
12
3
1,, 21
hChCCuU hh ++=− ,
τττ
τ
2
23
2
1
2
3
1,,
2
42
1
hC
h
CCuU
hh ++=− ,
τττ
τ 4
2
2
3
2
12
3
1,
2
, 2
1
h
ChCCuU hh
++=− ,
τττ
τ
2
23
2
12
3
1
2
,, 421
hChCuU C
hh
++=− .
Її розв’язок дає можливість оцінити локальну похибку, уточнити результат та
визначити нові кроки сітки. Дійсно, якщо ми виберемо нові кроки за
формулами стар,2нов,2стар,1нов,1старнов , , hhhh γβαττ === , то одержимо
результат з похибкою новe , яка не повинна перевищувати .
[ ]=++= 2
23
2
12
2
1нов )()()()( hChCCe γβαττα
.
З цієї рівності можна одержати коефіцієнти ijij γβα ,, зміни кроків та
побудувати нову сітку, яка враховує особливості поведінки функції [5].
Наведемо алгоритм даного адаптивного методу. Нехай відомі значення
функції ),,( tyxU при ktt = . Для переходу на наступний часовий шар
τ+=+ kk tt 1 необхідно виконати такі дії:
1. Обчислити по обраній різницевій схемі з кроками , τ
значення τ,, 21 hhu для кожного вузла -го шару.
2. Обчислити з кроками значення
τhhu
,,
2 2
1
. Щоб одержати
на k -му шарі значення опорної функції з кроками j
i h
h
,2
,1 ,
2
, застосувати
інтерполяцію по відомим значенням функції у вузлах з кроками
або початкову умову у випадку першого кроку.
)1( +k
допe
доп
2
23
2
12
3
1 )()()()()( еhChCC ≤++= ατγταβατ
ji hh ,2,1 ,
)1( +k
τ,,
2 ,2
,1
j
i h
h
ji hh ,2,1 ,
Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 3 96
3. Обчислити з кроками ,
2
, ,2
,1
j
i
h
h τ значення
τhh
u
,
2
, 2
1
.
4. Обчислити з кроками ,
2
τ значення
2
,, 21
τhh
u , застосувавши
різницевий метод двічі.
5. Для кожного вузла за формулою +=−= ++ 2
1
11 ( ττ CuUe k
ij
k
ijij
)2
23
2
12 hChC ++ обчислити похибку ije та вибрати найбільшу з них — e .
6. За формулами )(
3
4
,,
2
,,31 21
21
ττ −
τ
= hhhh
uuC , 33,0=τk , 3 3
1 τ
α τ
С
ek доп
ij = ,
ijji
αα
,
min= обчислити коефіцієнт α зміни часового кроку.
7. За формулами
−= τττ
,,,,
2
2
1
2 21
2
13
4
hhhh uu
h
С , ,5,0=βk −=
ατ
доп
1
e
e
( )21 ατС− ,
2
1
1
1
C
ek
hij
ββ = для кожного вузла обчислити коефіцієнт
зміни просторового кроку. Якщо та min,1 hh i > або min1,1 hh i >+ , то
зменшити вдвічі та сформувати прикмету відмови. Знайти для кожного
вузла ix мінімальне значення .
8. Сформувати нову нерівномірну сітку у напрямку OX на -му
шарі.
9. Для кожного вузла обчислити коефіцієнт ijγ за формулами =3C
−= τhhhh
uu
h
,,,
2
,2
2
212
13
4
ττ
, ( ) ( )212
2
1
доп
2 hСС
e
e βτα
τα
−−= ,
32
21
С
e
hij =γ
та сформувати нову нерівномірну сітку у напрямку OY .
10. Якщо допee ≤ або при мінімальних значеннях кроків, крок
приймається. За формулою
2
,,,
2
,,,
2
,,
21
2
12
121 3
4
3
4
3
43 τhhhhhhhh uuuuU +++−=
τττ
уточнити результат. Збільшити час, запам’ятати результати, одержані для
-го часового шару. На -му шарі створюється опорна функція
для нової сітки. Прийняти 1+= kk .
11. Якщо та кроки не мінімальні, результати анулюються, крок
τ зменшується вдвічі, на k -му шарі створюється нова опорна функція з
ущільненою сіткою.
12. Якщо модельний час не перевищує кінцевого значення, перейти до п.1.
ji hh ,2,1 ,
ijβ
допeeij >
ijβ
ijβ
)1( +k
допee >
)1( +k )1( +k
допee >
Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 3 97
РЕЗУЛЬТАТИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТЕСТОВОЇ ЗАДАЧІ
Для експериментальної перевірки алгоритму було взято такі значення
параметрів методу: початковий, мінімальний, максимальний кроки по часу
01,0поч =τ , 001,0min =τ , 01,0max =τ ; початкова, максимальна, мінімальна
кількість просторових вузлів 20поч =n , 50max =n , 5min =n . Розв’язок
відшукувався в області ]5,0;0[ ],1,0[, ∈∈ tyx з допустимою похибкою
1,0доп =e . На початку розрахунків вузли адаптивної сітки розташовані
рівномірно.
Аналіз процесу обчислень показує, що з ростом модельного часу t вузли
сітки скупчуються у зоні фронту теплової хвилі, і це скупчення пересувається
поступово разом із фронтом (рис. 2).
Кількість просторових вузлів змінюється у процесі розрахунків та по
кожній координаті у 4...5 разів менше, ніж у випадку рівномірної сітки при
однаковій точності результату. Максимальна абсолютна похибка звичайно
не перевищує допустимого значення допe . Її графік внаслідок перебудови
сітки на кожному кроці носить коливальний характер (рис. 3 ,а
XOY
). Найбільше
відрізняються графіки точного та наближеного розв’язків у вузлах,
розташованих на фронті біля його стику з площиною (рис. 3 ,б ), де
має місце розрив похідних точного розв’язку. Наближений розв’язок
згладжує поверхню у зоні її стику з цією площиною, тому стає значною
похибка (рис. 3,в).
Y Y
x x
0 0
Рис. 2. Розташування вузлів різницевої сітки для t=0,3 та t=0,5
Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 3 98
Порівняння результатів розв’язання цієї задачі за допомогою алгоритмів з
рівномірною фіксованою та нерівномірною змінною різницевими сітками
свідчить про перевагу адаптивного алгоритму, а саме скорочення витрат
машинного часу у 1,5…2 рази.
ВИСНОВКИ
Адаптивні алгоритми мають істотні переваги перед алгоритмами з
фіксованими сітками, оскільки при однаковій точності результату кількість
просторових вузлів зменшується у декілька разів, що призводить до такого
ж зменшення розмірності систем алгебраїчних рівнянь. Але загальний
виграш машинного часу значно менший внаслідок необхідності додаткових
витрат на обчислення похибки та нової різницевої сітки. Важливою
перевагою адаптивних методів є також можливість одержання результату з
наперед заданою точністю. У подальшому доцільно докласти зусиль до
розробки економічних алгоритмів обчислення функції у вузлах нової сітки,
що знизить витрати машинного часу.
Максимальна
абсолютна похибка
а
б
y
x
U(x,y)
в y
Рис. 3. Графіки максимальної абсолютної похибки (а), абсолютної похибки при
t=0,5 (б) , перерізів точного та наближеного розв’язків при t=0,5, y=0,1 (в)
Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 3 99
ЛІТЕРАТУРА
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.:
Наука, 1977. — 736с.
2. Самарский А.А., Соболь И.М. Примеры численного расчета температурных
волн // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1963. — 3, № 4. — C. 702–719.
3. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и
теплообмен. — В 2 т. Т.2-й. Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. — 392 с.
4. Азаренок Б.Н., Иваненко С.А. О применении адаптивных сеток для численного
решения нестационарных задач газовой динамики // Журн. вычисл. матем.
и матем. физ. — 2000. — 40, № 9. — С. 1386–1407.
5. Лук’яненко С.О. Адаптивні обчислювальні методи моделювання об’єктів з
розподіленими параметрами. — Київ: Політехніка, 2004. — 236 с.
Надійшла 10.11.2004
АДАПТИВНІ РІЗНИЦЕВІ СІТКИ ПРИ МОДЕЛЮВАННІ ДВОВИМІРНОЇ ТЕПЛОВОЇ ХВИЛІ
С.О. ЛУК’ЯНЕНКО, І.Б. НІМЧУК
ВСТУП
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
РІЗНИЦЕВІ РІВНЯННЯ ДЛЯ НЕРІВНОМІРНОЇ СІТКИ
АДАПТИВНИЙ АЛГОРИТМ
РЕЗУЛЬТАТИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТЕСТОВОЇ ЗАДАЧІ
ВИСНОВКИ
Рис. 1. Графік розв’язку для моментів часу t=0,5 та t=1
Рис. 2. Розташування вузлів різницевої сітки для t=0,3 та t=0,5
Рис. 3. Графіки максимальної абсолютної похибки (а), абсолютної похибки при t=0,5 (б) , перерізів точного та наближеного розв’язків при t=0,5, y=0,1 (в)
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-13864 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1681–6048 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:24:23Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лук’яненко, С.О. Німчук, І.Б. 2010-12-06T10:23:34Z 2010-12-06T10:23:34Z 2005 Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі / С.О. Лук’яненко, І.Б. Німчук // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2005. — № 3. — С. 88-99. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/13864 519.6 Розглянуто обчислювальний метод розв’язування двовимірного квазілінійного рівняння теплопровідності з використанням змінної нерівномірної різницевої сітки. Наведено результати його застосування до задачі про розповсюдження теплової хвилі. Results of calculating two-dimensional pseudolinear equation of heat conductivity by numerical method with variable nonuniform difference meshusage. There are results of using it to the task of the heat wave’s spreading. Рассмотрен численный метод решения двумерного квазилинейного уравнения теплопроводности с использованием переменной неравномерной разностной сетки. Приведены результаты его применения к задаче о распространении тепловой волны. uk Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі Using adaptive difference meshes at modeling two-dimensional thermal wave Адаптивные разностные сетки при моделировании двумерной тепловой волны Article published earlier |
| spellingShingle | Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі Лук’яненко, С.О. Німчук, І.Б. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| title | Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі |
| title_alt | Using adaptive difference meshes at modeling two-dimensional thermal wave Адаптивные разностные сетки при моделировании двумерной тепловой волны |
| title_full | Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі |
| title_fullStr | Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі |
| title_full_unstemmed | Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі |
| title_short | Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі |
| title_sort | адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі |
| topic | Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| topic_facet | Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/13864 |
| work_keys_str_mv | AT lukânenkoso adaptivníríznicevísítkiprimodelûvannídvovimírnoíteplovoíhvilí AT nímčukíb adaptivníríznicevísítkiprimodelûvannídvovimírnoíteplovoíhvilí AT lukânenkoso usingadaptivedifferencemeshesatmodelingtwodimensionalthermalwave AT nímčukíb usingadaptivedifferencemeshesatmodelingtwodimensionalthermalwave AT lukânenkoso adaptivnyeraznostnyesetkiprimodelirovaniidvumernoiteplovoivolny AT nímčukíb adaptivnyeraznostnyesetkiprimodelirovaniidvumernoiteplovoivolny |