Методи визначення статичних і динамічних напружень у тілах з підповерхневими тріщинами

Проаналізовано аналітичні і числові методи розв’язування задач теорії тріщин, розташованих біля поверхні об’ємних і тонкостінних тіл за теплових і силових, статичних і динамічних навантажень. Описано ефекти впливу поверхні тіла чи поверхні поділу матеріалів на коефіцієнти інтенсивності статичних і д...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Кіт, Г.С., Кушнір, Р.М., Михаськів, В.В., Николишин, М.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України 2011
Schriftenreihe:	Фізико-хімічна механіка матеріалів
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/138995
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Методи визначення статичних і динамічних напружень у тілах з підповерхневими тріщинами / Г.С. Кіт, Р.М. Кушнір, В.В. Михаськів, М.М. Николишин // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 2. — С. 56-66. — Бібліогр.: 66 назв. — укp.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-138995
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1389952025-02-23T19:38:55Z Методи визначення статичних і динамічних напружень у тілах з підповерхневими тріщинами Методы определения статических и динамических напряжений в телах с подповерхностными трещинами Methods for determination of static and dynamic stresses in bodies with sub-surface cracks Кіт, Г.С. Кушнір, Р.М. Михаськів, В.В. Николишин, М.М. Проаналізовано аналітичні і числові методи розв’язування задач теорії тріщин, розташованих біля поверхні об’ємних і тонкостінних тіл за теплових і силових, статичних і динамічних навантажень. Описано ефекти впливу поверхні тіла чи поверхні поділу матеріалів на коефіцієнти інтенсивності статичних і динамічних напружень в околі дефектів. Сделан обзор аналитических и численных методов решения задач теории трещин, расположенных вблизи поверхности объемных и тонкостенных тел при тепловых и силовых, статических и динамических нагрузках. Описаны эффекты влияния поверхности тела или поверхности разделения материалов на коэффициенты интенсивности статических и динамических напряжений в окрестности дефектов. The review of the analytical and numerical methods for the solution of crack theory problems, when the cracks are situated near a surface of volumetric and thin-walled solids under thermal and force, static and dynamic loading, is given. The effects of the influence of solid surface and interface on the static and dynamic stress intensity factors in the crack vicinity are described. 2011 Article Методи визначення статичних і динамічних напружень у тілах з підповерхневими тріщинами / Г.С. Кіт, Р.М. Кушнір, В.В. Михаськів, М.М. Николишин // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 2. — С. 56-66. — Бібліогр.: 66 назв. — укp. 0430-6252 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/138995 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів application/pdf Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Проаналізовано аналітичні і числові методи розв’язування задач теорії тріщин, розташованих біля поверхні об’ємних і тонкостінних тіл за теплових і силових, статичних і динамічних навантажень. Описано ефекти впливу поверхні тіла чи поверхні поділу матеріалів на коефіцієнти інтенсивності статичних і динамічних напружень в околі дефектів.
format	Article
author	Кіт, Г.С. Кушнір, Р.М. Михаськів, В.В. Николишин, М.М.
spellingShingle	Кіт, Г.С. Кушнір, Р.М. Михаськів, В.В. Николишин, М.М. Методи визначення статичних і динамічних напружень у тілах з підповерхневими тріщинами Фізико-хімічна механіка матеріалів
author_facet	Кіт, Г.С. Кушнір, Р.М. Михаськів, В.В. Николишин, М.М.
author_sort	Кіт, Г.С.
title	Методи визначення статичних і динамічних напружень у тілах з підповерхневими тріщинами
title_short	Методи визначення статичних і динамічних напружень у тілах з підповерхневими тріщинами
title_full	Методи визначення статичних і динамічних напружень у тілах з підповерхневими тріщинами
title_fullStr	Методи визначення статичних і динамічних напружень у тілах з підповерхневими тріщинами
title_full_unstemmed	Методи визначення статичних і динамічних напружень у тілах з підповерхневими тріщинами
title_sort	методи визначення статичних і динамічних напружень у тілах з підповерхневими тріщинами
publisher	Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
publishDate	2011
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/138995
citation_txt	Методи визначення статичних і динамічних напружень у тілах з підповерхневими тріщинами / Г.С. Кіт, Р.М. Кушнір, В.В. Михаськів, М.М. Николишин // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 2. — С. 56-66. — Бібліогр.: 66 назв. — укp.
series	Фізико-хімічна механіка матеріалів
work_keys_str_mv	AT kítgs metodiviznačennâstatičnihídinamíčnihnapruženʹutílahzpídpoverhnevimitríŝinami AT kušnírrm metodiviznačennâstatičnihídinamíčnihnapruženʹutílahzpídpoverhnevimitríŝinami AT mihasʹkívvv metodiviznačennâstatičnihídinamíčnihnapruženʹutílahzpídpoverhnevimitríŝinami AT nikolišinmm metodiviznačennâstatičnihídinamíčnihnapruženʹutílahzpídpoverhnevimitríŝinami AT kítgs metodyopredeleniâstatičeskihidinamičeskihnaprâženijvtelahspodpoverhnostnymitreŝinami AT kušnírrm metodyopredeleniâstatičeskihidinamičeskihnaprâženijvtelahspodpoverhnostnymitreŝinami AT mihasʹkívvv metodyopredeleniâstatičeskihidinamičeskihnaprâženijvtelahspodpoverhnostnymitreŝinami AT nikolišinmm metodyopredeleniâstatičeskihidinamičeskihnaprâženijvtelahspodpoverhnostnymitreŝinami AT kítgs methodsfordeterminationofstaticanddynamicstressesinbodieswithsubsurfacecracks AT kušnírrm methodsfordeterminationofstaticanddynamicstressesinbodieswithsubsurfacecracks AT mihasʹkívvv methodsfordeterminationofstaticanddynamicstressesinbodieswithsubsurfacecracks AT nikolišinmm methodsfordeterminationofstaticanddynamicstressesinbodieswithsubsurfacecracks
first_indexed	2025-11-24T16:43:16Z
last_indexed	2025-11-24T16:43:16Z
_version_	1849690786777530368
fulltext	56 Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2011. – ¹ 2. – Physicochemical Mechanics of Materials УДК 539.3 МЕТОДИ ВИЗНАЧЕННЯ СТАТИЧНИХ І ДИНАМІЧНИХ НАПРУЖЕНЬ У ТІЛАХ З ПІДПОВЕРХНЕВИМИ ТРІЩИНАМИ Г. С. КІТ, Р. М. КУШНІР, В. В. МИХАСЬКІВ, М. М. НИКОЛИШИН Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів Проаналізовано аналітичні і числові методи розв’язування задач теорії тріщин, роз- ташованих біля поверхні об’ємних і тонкостінних тіл за теплових і силових, статич- них і динамічних навантажень. Описано ефекти впливу поверхні тіла чи поверхні поділу матеріалів на коефіцієнти інтенсивності статичних і динамічних напружень в околі дефектів. Ключові слова: пружно-пластична біматеріальна оболонка, пружний півпростір, пружний біматеріальний простір, підповерхнева тріщина, статичне, динамічне і температурне навантаження, коефіцієнт інтенсивності напружень, метод сингу- лярних інтегральних рівнянь. Строгі вимоги до міцності та надійності машин і споруд зумовлюють заці- кавленість науково-технічних кіл механікою руйнування матеріалів і проблемою забезпечення цілісності конструкцій. Практика експлуатації усіх типів споруд і конструкцій показала, що побудова адекватних математичних моделей для роз- в’язування відповідних задач механіки неможлива без урахування неодноріднос- ті будови та дефектності структури реальних конструкційних матеріалів і еле- ментів. В останні десятиріччя ця міждисциплінарна галузь знань невпинно розви- вається, поповнюючись новими даними з математики, матеріалознавства, фізики та механіки руйнування матеріалів. Практичне втілення результатів лінійної та нелінійної механіки руйнування ускладнено через побудову адекватних теоре- тичних моделей і методів розв’язування задач про вплив статичного і динамічно- го навантажень, анізотропії та механічної неоднорідності матеріалу, температури та зумовлених нею напружень на міцність і надійність тіл з різнотипними кон- центраторами напружень, зокрема дефектами типу тріщин. Загалом тут передба- чають розгляд три- і двовимірних задач для об’ємних структур, а також оболон- кових елементів конструкцій. Нижче наведено огляд результатів про розв’язуван- ня нових класів таких задач про статичне навантаження кусково-однорідної ци- ліндричної оболонки, термічне навантаження пружного півпростору та динамічне навантаження пружного біматеріального простору з підповерхневими тріщинами. Кусково-однорідна циліндрична оболонка з ненаскрізною тріщиною за статичних навантажень. Розробці теорії і методів розв’язування задач про на- пружено-деформований стан оболонок з наскрізними тріщинами присвячено чи- мало праць вітчизняних і зарубіжних авторів. Досить повний їх перелік наведено в монографіях [1–4] та в оглядових статтях [5, 6]. Слід відзначити, що тут, як правило, розглядають задачі про пружну рівновагу ізотропних оболонок, послаб- лених наскрізними тріщинами. Винятком є трансверсально-ізотропні [7], спеці- ально-ортотропні [8] та ортотропні оболонки [9, 10] з тріщинами. Однак, як відо- мо з практики експлуатації деталей конструкцій і машин зі сталей сучасних ма- рок, на поширення тріщин суттєво впливають пластичні деформації, що розвива- Контактна особа: В. В. МИХАСЬКІВ, e-mail: tex@iapmm.lviv.ua 57 ються біля їх вершин і передують руйнуванню [11]. Характерний лінійний розмір області біля тріщини, де розвиваються пластичні деформації, може бути су- мірний з розмірами тріщини або характерними розмірами тіла. Тоді концепція Ґріффітса–Ірвіна уже неправомірна [12, 13] і для оцінки опору матеріалу поши- ренню у ньому тріщин необхідно використовувати нелінійну механіку руйнуван- ня. Розв’язати пружно-пластичну задачу для оболонки з тріщиною складно. Тому М. Я. Леонов, В. В. Панасюк [14, 15] та Д. С. Дагдейл [16] для дослідження пруж- но-пластичних пластин запропонували δс-модель, а Ф. Ердоган [8] та E. С. Фоліас [17] – її аналог для вивчення тонких пружно-пластичних пологих оболонок. Суть аналога δс-моделі полягає у тому, що зони пластичних деформацій, як і в пласти- нах, моделюють поверхнями розриву узагальнених переміщень, а реакцію плас- тичних зон на пружний об’єм, на відміну від пластин, – невідомими сталими зу- силлями та моментами, які задовольняють відповідні умови пластичності тонких оболонок. Так розв’язано низку нових задач для пологих і непологих, ізотропних та анізотропних, однорідних і неоднорідних оболонок з наскрізними та поверхне- вими тріщинами. Досить повний аналіз цих розв’язків є в монографіях [18, 19]. Слід підкреслити, що досліджували оболонки, матеріали яких ідеально пружно- пластичні, тому що зусилля та моменти в пластичній зоні сталі. У працях [18, 20] для однорідних оболонок прийнято, що зусилля та моменти змінюються вздовж пластичної зони, відповідно, за квадратичним та кубічним законами, а нейтраль- на лінія – за лінійним. Це дає можливість досліджувати граничну рівновагу пруж- но-пластичних оболонок, яким притаманне зміцнення. Тут цю модель застосова- но до кусково-однорідної циліндричної оболонки з приповерхневою тріщиною. Розглянемо оболонку, що склада- ється з двох зістикованих напівнескін- ченних оболонок з різних матеріалів. Одна з них послаблена поздовжньою не- наскрізною тріщиною β = 0, 0α ≤ α = 0 /l R= , 2 12 2− + ≤ γ ≤ −h d h d (див. ри- сунок). Центр тріщини знаходиться на віддалі l1 від поверхні стику α = α1 = l1/R. Оболонка перебуває під дією си- метричних відносно тріщини зусиль і моментів. Згідно з аналогом δс-моделі замінимо смуги пластичних деформацій, що розвиваються біля тріщини, поверх- нями розриву узагальнених пружних переміщень, а дію матеріалу пластичної зо- ни на пружну – деякими зусиллями та моментами. Вважаємо, що в області β = 0, 0 0; ,α∈ − α α[ ] 2 1; 2 2 ;γ∈ − − + −∪h h d h d h[ ] [ ] діють сталі напруження 0σ = ( ) / 2= σ + σB T , де σB, σT – границі міцності та текучості матеріалу оболонки, в якій розміщена тріщина. У пластичних зонах біля тріщини pl та pl (див. рису- нок) діють невідомі зусилля та згинні моменти 1 2 1 2, , , N N M M , які змінюються вздовж пластичних зон за квадратичним та кубічним законами, і кожна пара з яких задовольняє умову пластичності Треска у вигляді пластичного шарніра 2 2 0 0/(2 ) /( ) 1, 1, 2σ + σ = =s sN h M h s[ ] . (1) Отже, в межах вибраної моделі тривимірна пружно-пластична задача для оболонки з внутрішньою тріщиною завдовжки 2l0 зведена до двовимірної про пружну рівновагу оболонки з наскрізною тріщиною розміром 02 2= + + p d pl l l l , на берегах якої виконуються умови Схема підповерхневої тріщини. Scheme of a sub-surface crack. 58 2 0 2 0 0 0 3 2 2 0 1 0 2 0 0 1 , ( ) , ( ) , , , ; p p N N N N N N N N ⎧ − − α + α ≤ α ≤ −α ⎪⎪α = − + α < α⎨ ⎪ − α ≤ α ≤ α + α < α⎪⎩ 2 0 2 0 0 0 3 2 2 0 1 0 2 0 0 1 , ( ) , ( ) , , , , ⎧ − − α + α ≤ α ≤ −α ⎪⎪α = − + α < α⎨ ⎪ − α ≤ α ≤ α + α < α⎪⎩ p p M M M M M M M M де 1 2 0 0 1 2 2 1/ ; / ; 2( ) ; 2 ( )( )p p l l p pl R l R N d d M h d d d dα = α = = + σ = σ − − − , 3N і 3M – зусилля і моменти, прикладені до берегів реальної тріщини; 0N і 0M – компоненти основного напруженого стану. На основі запропонованої раніше методики [6] розглядувану задачу зведем до системи шести сингулярних інтегральних рівнянь (СІР): 1 1 3 3( ) ( , ) ( ) ( , )K K α −α ′ ′Ψ ξ ξ α + Ψ ξ ξ α ξ +∫ d d i i d{ } 2 8 1 1 50 ( ) ( , ) 2 ( ) ( ), 1, 3K π − = + Ψ θ θ α θ = π α =∑∫ j ij i j d E h f i , 1 1 3 3( ) ( , ) ( ) ( , )K K α −α ′ ′Ψ ξ β ξ + Ψ ξ β ξ ξ +∫ d d i i d{ } 2 8 8 1 50 ( ) ( , ) , 5, 6, 7, 8,K π = + Ψ θ θ β θ = δ =∑∫ j ij i j d A i (2) де 01( , ) cth ( ) ( , ), , 1, 3 2 2 K K K∗⎛ ⎞ξ − α ξ α = + ξ − α + ξ α =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ij ij ij ija i j , 2 2 11 13 31 1 1 33 1 11, (1 ), (3 ) /(1 )= = = − ν = + ν + νa a a c a , ( )1 2 3 2 ( ,0), ( ) ( ,0)α = α α = αf N f M , /α =d dl R . Тут E1 та ν1 – модуль пружності та коефіцієнт Пуассона оболонки, яка містить тріщину; A1 – стала інтегрування; 0 ( )Kij z та ( )K∗ ij z – неперервні функції; Ψj ( 1, 2,..., 8)j = – шукані функції, які виражають через стрибки переміщень за пере- ходу через лінію тріщини та лінію поділу матеріалів. Перші два рівняння системи (2) сингулярні. У них, крім шуканих функцій Ψj, невідомі також межі інтегрування ( pl та pl ) і величини 1 2 1 2, , , N N M M . Тому доповнюємо її умовами (1) та умовами обмеженості зусиль і моментів біля вершин наскрізної тріщини. Для цього достатньо, щоб дорівнювали нулю коефі- цієнти інтенсивності нормального зусилля та згинного моменту: 0, 0, 1, 2= = =s s N MK K s . (3) Запропоновано алгоритм числового розв’язування системи СІР (2) разом з умовою пластичності (1) та умовами обмеженості напружень (3). Аналіз розра- хунків показав, що приповерхнева тріщина в різних матеріалах оболонки неодна- ково впливає на її міцність. Її розкриття в довільній точці фронту мало залежить 59 від вигляду функції (лінійна, квадратична чи кубічна) зміцнення, якщо d1 = d2. Ця залежність росте зі збільшенням різниці між d1 та d2. З допомогою δc-моделі досліджено ослаблені приповерхневими тріщинами неоднорідні по товщині оболонки, зокрема, виготовлені з функціонально граді- єнтних матеріалів [21, 22]. Показано [23, 24], що відношення модулів пружності вихідних матеріалів значно більше впливає на розкриття тріщини, ніж закон роз- поділу модуля пружності та коефіцієнта Пуассона по товщині оболонки. Термопружний стан півпростору з підповерхневими тріщинами. Стаціо- нарний термопружний стан півбезмежних і кусково-однорідних тіл з теплоізо- льованими тріщинами для плоскої деформації вивчали багато дослідників. При цьому з використанням інтегральних подань комплексних потенціалів температу- ри та напружень задачі стаціонарної теплопровідності та термопружності зводи- ли до СІР з ядром Коші та регулярним ядром, яке враховує взаємодію тріщини з межею півплощини або з включенням. СІР записували для замкнутих (межі включень) та розімкнутих (тріщини) контурів і розв’язували методом механічних квадратур [25]. Визначенню коефіцієнтів інтенсивності напружень (КІН) у пів- площині, зумовлених збуренням однорідного теплового потоку теплоізольова- ною прямолінійною тріщиною, присвячені праці [26, 27], а дослідженню плоско- го термопружного стану в околі внутрішніх і крайових тріщин у півпросторі під дією фрикційного нагрівання його межі – публікації [25, 28–30]. Значно менше інформації про просторові задачі термопружності для півбез- межних тіл з підповерхневими тріщинами. Це можна пояснити відсутністю єдино- го достатньо загального методу розв’язування мішаних тривимірних задач тепло- провідності та термопружності, зокрема такого, як метод комплексних потенціалів Колосова–Мусхелішвілі для плоскої задачі теорії пружності. Досліджуючи осеси- метричний напружений стан тіла з теплоактивною круговою тріщиною (на якій за- дані температура або тепловий потік), використовували метод інтегрального пере- творення Ганкеля і дуальних інтегральних рівнянь. Для півбезмежного тіла з паралель- ною до його межі круговою тріщиною, на якій задані стала температура або спря- мований у бік межі однорідний тепловий потік, задача розв’язана у працях [31, 32]. У монографії [33] під час розв’язування тривимірних задач стаціонарної теп- лопровідності та термопружності для тіл з тріщинами розробили метод двовимір- них СІР, використовуючи теорію ньютонівських потенціалів простого та подвій- ного шарів. При цьому густини потенціалів мають простий фізичний сенс: для задач теплопровідності – це потужність джерел і диполів тепла на місці розташу- вання тріщин, а для задачі термопружності – це стрибки переміщень протилеж- них поверхонь тріщин. Цим методом у три етапи розв’язали низку задач для півбезмежного тіла з перпендикулярною або паралельною до його межі тріщинами: визначали темпе- ратурне поле; встановлювали зумовлений цим полем напружений стан в суціль- ному тілі; обчислювали КІН в околі тріщин. Метод розв’язування стаціонарної задачі теплопровідності для півбезмежно- го тіла з паралельною або перпендикулярною до його межі дисковою теплоактив- ною областю S (в якій задано температуру або тепловий потік) наведено у праці [34]. На межі тіла підтримуємо нульову температуру або теплоізоляцію. Вибере- мо декартову систему координат Ox1x2x3 з початком у центрі круга S, спрямував- ши вісь Ox3 перпендикулярно до нього. Стаціонарне температурне поле подамо через гармонічний потенціал простого шару з густиною 1 2( , )kw x x , який описує потужність теплових джерел в області S: ( ) 1 2 11 1( ) ( ) , ( , ) 4 ( , ) ( , ) k k k iS T x w d S R x R x ∗ ξ∗ ∗ ⎡ ⎤− ⎢ ⎥= ξ + ξ = ξ ξ πλ ⎢ ⎥ξ ξ⎣ ⎦ ∫∫ , 60 ( )2 2 1 3( , ) ,R x x x∗ ξ = ω ξ + , ( ) ( )22 1 1 3( , ) , 2R x x x h∗ ξ = ω ξ + − , ( )2 2 2 2 3( , ) ,R x x x∗ ξ = ω ξ + , 2 2 2 1 1 1 2 2( ) ( )x xω = − ξ + − ξ , 2 2 2 2 1 1 2 2( ) ( 2 )x x hω = − ξ + + ξ − , 1 2 3( , , )x x x x∗ = , (4) де λ – коефіцієнт теплопровідності; h – віддаль центра області S від межі тіла; k = 1 відповідає нульовій температурі межі, а k = 2 – її теплоізоляції. Для пара- лельної області i = 1, а для перпендикулярної i = 2. При x3 = 0 із подання (4) одер- жали інтегральне рівняння для визначення потужності джерел тепла, коли в об- ласті S задана температура. Напружений стан у суцільному півпросторі, зумовлений температурним по- лем (4), визначали через потужність теплових джерел 1 2( , )kw x x у працях [35, 36]. За наявності у півпросторі тріщини для обчислення КІН розв’язуємо СІР [37–39] 3 3 333 ( ) 1( ) ( , ) ( ), ( , )S S d S x d S x x S GR x ξ ξ α ξ − ν − α ξ Ω ξ = σ ∈ ξ∫∫ ∫∫ , (5) де 3 3 34 ( ) ( ) ( )x u x u x− +πα = − – стрибок нормальних переміщень поверхонь тріщи- ни; ν – коефіцієнт Пуассона; G – модуль зсуву; 33( )xσ – нормальні до області S напруження у суцільному півпросторі на місці розташування тріщини, зумовлені температурним полем (4). Регулярне ядро ( , )xΩ ξ враховує взаємодію тріщини з межею півпростору. Для безмежного тіла з тріщиною, на якій задані тиск p(x) і температура T(x), задачу про визначення КІН з урахуванням СІР (5) при ( , ) 0xΩ ξ = зведено до роз- в’язування інтегрального рівняння ( ) 3 3 ( ) 1 ( ) (1 ) ( ) , t S d S p x T x GR x ξ α ξ − ν = − + ν α ξ∫∫ , (6) де αt – коефіцієнт лінійного теплового розширення. Для кругової тріщини за сталих 0( )p x p= і 0( )T x T= рівняння (6) має точний розв’язок і КІН визначає формула ( )1 0 0( ) 2 /K a p DT a= − π . З виразу (6) випливає, що дія заданої на тріщині у безмежному тілі темпера- тури рівносильна певному силовому навантаженню. Але для вільного півпросто- ру за силового і теплового навантажень напружений стан в околі перпендикуляр- ної до його межі тріщини якісно відрізняється. У першому випадку КІН є більші, ніж у безмежному тілі, і досягають максимуму від межі півпростору. У другому випадку вони максимальні в протилежній від межі точці тріщини і менші, ніж для безмежного тіла. У разі паралельної до межі півпростору теплоактивної тріщини на ній вини- кають нормальні і дотичні напруження. Тоді необхідно розв’язувати систему трьох взаємозв’язаних СІР, щоб знайти стрибки переміщень поверхонь тріщини ( )iα ξ (i = 1, 2, 3), через які визначають КІН [40, 41]. Тривимірне кусково-однорідне тіло з підповерхневими тріщинами за динамічних навантажень. Динамічне деформування складених тіл із тріщинами супроводжується розсіянням пружних хвиль на дефектах, їх відбиттям і залом- ленням на поверхні поділу матеріалів. Сумісно згенеровані хвилі проявляються в околі тріщин напруженнями, відмінними, ніж в однорідному тілі за аналогічних 61 динамічних збурень, що необхідно враховувати, оцінюючи міцнісні властивості композитних структур. Важливу роль тут відіграють часові профілі навантажен- ня, умови контакту та дисперсність пружних модулів фаз, форма дефектів та гли- бина їх залягання відносно поверхні поділу матеріалів. На прикладах тріщин в однорідному тілі [42–49] та міжфазних тріщин [50–52] показано, що дослідження їх поведінки за динамічного навантаження ефективне методом граничних інтегральних рівнянь (ГІР) у різних модифікаціях. З метою охоплення якнайширшого спектра частот коливань запропоновано аналітичні (асимптотичні) [48, 51] та числові (гранично-елементні) [42, 44, 49, 52] алгорит- ми розв’язання отриманих рівнянь та визначення коефіцієнтів інтенсивності ди- намічних напружень (КІДН) у таких тілах з узагальненням [42, 47] на нелінійні моделі динамічного контакту поверхонь тріщини від гармонічних навантажень. Щодо нестаціонарних задач, то ці підходи поєднували з покроковим творенням часових залежностей на основі рівномірних [44, 45] і нерівномірних [46] різнице- вих апроксимацій інерційних складників рівнянь або відновленням часових за- лежностей із розв’язків спектральних задач у просторі трансформант Фур’є чи Лапласа за часом [43, 50]. Перенесення методу ГІР на задачі теорії пружності для кусково-однорідних тіл з підповерхневими тріщинами пов’язане з необхідністю задоволення різно- типних крайових умов на декількох, у загальному випадку нахилених, поверхнях: контактних умов на поверхні поділу матеріалів і умов існування стрибків перемі- щень на поверхні розташування дефекту (розкриття тріщини). Уникнути цього можна, використовуючи у гранично-інтегральних формулюваннях функції Ґріна для пружних шаруватих тіл, за допомогою яких умови з’єднання матеріалів задо- вольняють тотожно. Так приходимо до ГІР, що відрізняються від таких для одно- рідного тіла з тріщиною лише регулярними ядрами впливу поверхні поділу мате- ріалів на дефект. Вказаним підходом досліджено коефіцієнти інтенсивності ста- тичних напружень у тривимірних пружних шаруватих тілах з підповерхневими тріщинами [53–56]. Аналіз поширено на двовимірні динамічні задачі для ізотроп- них і анізотропних кусково-однорідних тіл з тріщинами в умовах антиплоскої і плоскої деформацій [57, 58]. Для тривимірних динамічних задач результати вда- лось отримати завдяки запису ядер ГІР у придатній до числового розрахунку формі як для ідеального [59–62], так і неідеального [63, 64] динамічного контакту складників біматеріального тіла з підповерхневою тріщиною (тріщинами). Класично тривимірне кусково-однорідне тіло моделюють двома з’єднаними пружними півпросторами A і B, нехай також у півпросторі A по області S розта- шована внутрішня плоска тріщина. Позначимо через 1 Dc і 2 Dc швидкості поши- рення в матеріалі D (D = A, B) поздовжніх і поперечних хвиль; N і ω – амплітуду і циклічну частоту прикладених до поверхонь дефекту гармонічних навантажень (трансформанту і параметр перетворення Фур’є за часом нестаціонарних наван- тажень); ( 1, 2)D jD jc jω = ω = – хвильові числа. Надалі аналізуватимемо амплі- туди (Фур’є-трансформанти) показників усталеного (нестаціонарного) процесу. Для загальності розглянемо різні способи з’єднання півпросторів: за їх до- сконалого контакту (варіант 1) для компонент переміщень ( , )D ju D A B= і напру- жень D jkσ (D = A, B) на поверхні x3 = 0 поділу матеріалів матимемо ,A B j ju u= 3 3 A B j jσ = σ ( 1, 2, 3)j = ; за гладкого (ковзного) (варіант 2) − 3 3 ,A Bu u= 33 33 ,σ = σA B 3 3 0 ( 1, 2)σ = σ = =A B j j j ; за контакту через тонкий прошарок (варіант 3) − 3σ =A j 62 3 ( ) ( 1, 2, 3)= σ = − =B A B j j j jG u u h j , де Gj − відомі коефіцієнти жорсткості про- шарку у поперечному і поздовжньому напрямках, h − його товщина ( 2 1Dhω ). Гранично-інтегральне формулювання задач здійснили шляхом подань роз- в’язків у кожному з півпросторів комбінаціями потенціалів Гельмгольца, які у півпросторі A просумували також з відомими інтегральними поданнями, що від- повідають динамічному розкриттю тріщини в однорідному тілі. Введені потенці- али описують внесок у хвильове поле відбитих та заломлених на поверхні поділу матеріалів хвиль. Тоді через тотожне виконання умов ідеального (варіант 1) чи неідеального (варіанти 2 і 3) контактів півпросторів встановили зв’язок густин потенціалів Гельмгольца з функціями динамічного розкриття тріщини. Для ви- значення цих функцій отримали систему ГІР шляхом задоволення так сконстру- йованими поданнями розв’язків крайових умов дії динамічних зусиль на поверх- ні дефекту. Зокрема, за симетричної задачі для перпендикулярної до поверхні поділу матеріалів тріщини під нормальним навантаженням система ГІР вироджу- ється у рівняння ( ) ( ) ( )( ) , ,x x x xξξ ξ ξ S u R R dS N S⎡ ⎤∆ − − = ∈⎣ ⎦∫∫ , (7) де ∆u − стрибок нормальних переміщень поверхонь тріщини або її розкриття; N − компонента заданих нормальних зусиль на тріщині; ядро R з особливістю потен- ціалу Гельмгольца таке ж, як і для тріщини в однорідному тілі з пружними стали- ми матеріалу півпростору A [43, 49]; ядро R , що описує взаємодію тріщини з по- верхнею поділу матеріалів через відбиті від неї пружні хвилі, має вигляд ( ) 0 ( , ) ( , ) ( ) x x xξ ξ ξ, St R R P d F ∞ τ = − + τ τ τ∫ . (8) Тут точка x – симетричне відображення точки x у півпростір B; функцію P вира- жено через функції Бесселя різних порядків, радикали і експоненціальні функції просторових координат із загасанням з глибиною залягання дефекту; FSt − кла- сична для ідеально з’єднаних півпросторів і модифікована для неідеально з’єд- наних функція Стоунлі. Для кожного із описаних вище варіантів контактування півпросторів із тріщиною явні вирази цих функцій наведено у працях [59–64]. Додаткове ядро R у ГІР (7) не вимагає спеціальних процедур числових роз- рахунків через його регулярність та спадну поведінку підінтегрального виразу у співвідношенні (8) за зростання параметра інтегрування τ, що дає можливість об- межитись достатньо великою кінцевою межею інтегрування. Як результат маємо ефективну застосовність розроблених раніше гранично-елементних алгоритмів для визначення динамічного розкриття тріщини, а за ним – КІДН в околі дефек- ту, коли тріщина межує з поверхнею поділу матеріалів. Числовий аналіз виконано для кругової й еліптичної тріщин у пружному бі- матеріалі за гармонічних і нестаціонарних навантажень та для різних варіантів з’єднання складників тіла [59–61, 63, 64], результати узагальнено також на мно- жинні кругові тріщини, розташовані як по один, так і по обидва боки від поверхні поділу матеріалів (у другому випадку ГІР вміщують також ядра, що відповідають за взаємодію тріщини з цією поверхнею через заломлені на ній пружні хвилі) [62]. Отже, за низькочастотного гармонічного навантаження амплітудні значення КІДН відриву для тріщини у менш жорсткому (більш жорсткому) матеріалі кус- ково-однорідного тіла менші (більші), ніж для тріщини в однорідному тілі, тобто реалізується аналогічне до статичного зміцнення (послаблення) тріщини. Вказа- ний ефект виразніший для контрастніших модулів пружності біматеріалу та еліп- тичної тріщини з більшим ексцентриситетом. В області вищих хвильових чисел 63 виявлено діапазони з протилежними закономірностями як вздовж частини, так і всього контуру дефекту. Те ж саме зафіксовано і для певних профілів та часових діапазонів нестаціонарних навантажень тріщини у біматеріалі. Тому наповнення матеріалу жорсткими вставками не гарантує блокування розвитку тріщин у ньо- му за динамічного навантаження. Втрата ідеального з’єднання матеріалів також супроводжується неоднозначним динамічним впливом на тріщину: КІДН можуть як зменшуватись, так і збільшуватись залежно від частотного чи часового діапа- зонів. Описані підходи можна поширити для аналізу полів пружних хвиль у триви- мірних багатошарових композитах з тріщинами та оцінки цілісності таких струк- тур засобами ультразвукового діагностування [65] і акустичної емісії [66]. РЕЗЮМЕ. Сделан обзор аналитических и численных методов решения задач теории трещин, расположенных вблизи поверхности объемных и тонкостенных тел при тепловых и силовых, статических и динамических нагрузках. Описаны эффекты влияния поверх- ности тела или поверхности разделения материалов на коэффициенты интенсивности ста- тических и динамических напряжений в окрестности дефектов. SUMMARY. The review of the analytical and numerical methods for the solution of crack theory problems, when the cracks are situated near a surface of volumetric and thin-walled solids under thermal and force, static and dynamic loading, is given. The effects of the influence of solid surface and interface on the static and dynamic stress intensity factors in the crack vici- nity are described. 1. Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацышин А. П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. – К.: Наук. думка, 1976. – 444 с. 2. Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. – К.: Наук. думка, 1981. – 324 с. 3. Осадчук В. А. Напряженно-деформированное состояние и предельное равновесие обо- лочек с разрезами. – К.: Наук. думка, 1985. – 224 с. 4. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений: в 2-х т. Пер. с англ. / Под ред. Ю. Мураками. – М.: Мир, 1990. – 448 с. 5. Осадчук В. А., Подстригач Я. С. Напряженное состояние и предельное равновесие оболочек с трещинами // Итоги науки и техники. Сер. Механика деформируемого твердого тела. – 1986. – 18. – С. 3–52. 6. Кушнір Р. М., Николишин М. М. Напружений стан і гранична рівновага кусково-одно- рідних циліндричних оболонок з тріщинами // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2003. – 46, № 1. – С. 60–74. 7. Осадчук В. А., Николишин М. М. Напряженное состояние замкнутой трансверсально- изотропной цилиндрической оболочки и бесконечной пластины с трещинами // Там же. – 1976. – Вып. 3. – C. 30–36. 8. Erdogan F. E., Ratwani M., and Yuceoglu U. On the effect of orthotropy in a cracked cylin- drical shell // Int. J. Fract. – 1974. – 10, № 3. – P. 369–374. 9. Шевченко В. П., Довбня Е. Н. Метод граничних інтегральних рівнянь у задачах стати- ки пологих ортотропних оболонок з розрізами й отворами // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2003. – 46, № 1. – C. 47–59. 10. Фильштинский Л. А., Любчак В. А. Упругое поведение полубесконечных анизотроп- ных пластин и оболочек под действием сосредоточенных нагрузок // Динамика и прочность машин. – 1981. – Вып. 33. – С. 11–15. 11. Кирьян В. И. Методика оценки сопротивления конструкционных сталей вязким разру- шениям // Автомат. сварка. – 1984. – № 11. – С. 1–6. 12. Вычислительные методы в механике разрушения / Под ред. С. Алтури. – М.: Мир, 1990. – 391 с. 13. Николишин М. М., Швабюк В. И., Фещук Ю. П. Предельное равновесие замкнутой трансверсальной изотропной сферической оболочки с двумя поверхностными трещи- нами // Прикл. механика. – 2009. – 45, № 4. – С. 109–115. 64 14. Леонов М. Я., Панасюк В. В. Розвиток найдрібніших тріщин в твердому тілі // Там же. – 1959. – 5, № 4. – С. 391–401. 15. Панасюк В. В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. – К.: Наук. думка, 1968. – 246 с. 16. Dugdale D. S. Yelding of steel sheets containing slits // J. Mech. and Phys. Solids. – 1960. – 8, № 2. – P. 100–104. 17. Folias E. S. On the theory of fracture of curved sheets // Eng. Fract. Mech. – 1970. – 2, № 2. – P. 151–164. 18. Кушнір Р. М., Николишин М. М., Осадчук В. А. Пружний та пружно-пластичний гра- ничний стан оболонок з дефектами. – Львів: Сполом, 2003. – 320 с. 19. Кир’ян В. І., Осадчук В. А., Николишин М. М. Механіка руйнування зварних з’єднань металоконструкцій. – Львів: Сполом, 2007. – 318 с. 20. Осадчук В. А., Николишин Т. М. Математична модель внутрішньої тріщини в пружно- пластичній циліндричній оболонці // Мат. методи і фіз.-мех. поля. – 1998. – 41, № 2. – С. 111–116. (Osadchuk V. A. and Nykolyshyn T. M. Mathematical model of an internal crack in an elas- toplastic cylindrical shell // J. Math. Sci. – 2000. – 99, № 5. – P. 1648–1654.) 21. Kim K. C. and Noda N. A. Green’s function approach to the deflection of a FGM plate under transient thermal loading // Arch. Appl. Mech. – 2002. – 72. – P.127–137. 22. Shao Z. S., Fan L. F., and Wang T. J. Analytical solutions of stresses in functionally graded circular hollow cylinder with finite length // Key Eng. Mater. – 2004. – 76. – P. 261–263. 23. Кушнір Р. М., Николишин Т. М., Ростун М. Й. Гранична рівновага виготовленої з функціонально градієнтного матеріалу циліндричної оболонки з поверхневою тріщи- ною // Машинознавство. – 2006. – № 5. – С. 3–7. 24. Кушнір Р. М., Николишин Т. М., Ростун М. Й. Гранична рівновага неоднорідної за тов- щиною сферичної оболонки з поверхневою тріщиною // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2007. – 43, № 3. – С. 5–11. (Kushnir R. M., Nykolyshyn T. M., and Postun M. I. Limiting Equilibrium of a Spherical Shell Nonuniform Across the Thickness and Containing a Surface Crack // Materials Science. – 2007. – 43, № 3. – P. 291–299.) 25. Саврук М. П., Зеленяк В. М. Двовимірні задачі термопружності для кусково-однорід- них тіл з тріщинами. – Львів: Растр-7, 2009. – 212 с. 26. Sekine H. Thermal stresses near tips of an insulated line crack in a semi-infinite medium under uniform heat flow // Eng. Fract. Mесh. – 1977. – 9. – P. 499–507. 27. Tweed J. and Love S. The thermoelastic problem for a half-plane with an internal line crack // Int. J. Eng. Sci. – 1979. – 17. – P. 357–363. 28. Sekine H. Crack problem for a semi-infinite solid with heated bounding surface // Trans. ASME: J. Appl. Mech. – 1977. – 44, № 4. – P. 637–643. 29. Matysjak S., Yevtushenko A., and Zelenjak V. Frictional heating of a half-space with cracks. 1. Single or periodic system of subsurface cracks // Tribology Int. – 1999. – 32, № 5. – P. 237–243. 30. Матисяк С. Й., Євтушенко О. О., Зеленяк В. М. Нагрівання півпростору з включенням і тріщиною // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2004. – 40, № 4. – С. 34–40. (Matysiak S. I., Evtushenko O. O., and Zeleniak V. M. Heating of a Half Space Containing an Inclusion and a Crack // Materials Science. – 2004. – 40, № 4. – P. 466–474.) 31. Srivastava K. N. and Palaiya R. M. The distribution of thermal stress in a semy-infinite elas- tic solid containing a penny-shaped crack // Int. J. Eng. Sci. – 1969. – 7, № 7. – P. 647–666. 32. Srivastava K. N. and Singh K. The effect of penny-shaped crack on the distribution of stress in a semi-infinite solid // Ibid. – 1969. – 7, № 5. – P. 469–490. 33. Кит Г. С., Хай М. В. Метод потенциалов в трехмерных задачах термоупругости тел с трещинами. – К.: Наук. думка, 1989. – 283 с. 34. Кіт Г. С., Сушко О. П. Стаціонарне температурне поле у півбезмежному тілі з тепло- активним або теплоізольованим дисковим включенням // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. – 2011. – Вип. 13. – С. 67–80. 65 35. Кіт Г. С., Сушко О. П. Напружений стан півбезмежного тіла при тепловиділенні в перпендикулярній до його межі дисковій області // Прикл. проблеми механіки і мате- матики. – 2007. – Вип. 5. – С. 122–126. 36. Кит Г. С., Сушко О. П. Напряженное состояние полубесконечного тела при тепловы- делении в параллельной к его границе дисковой области // Теорет. и прикл. механика. – 2007. – Вип. 43. – С. 3–8. 37. Кіт Г. С., Сушко О. П. Термопружний стан півпростору з перпендикулярною до його краю теплоактивною круговою тріщиною // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2005. – 41, № 2. – С. 16–22. (Kit H. S. and Sushko O. P. Thermoelastic State of a Half Space Containing a Thermally Active Circular Crack Perpendicular to Its Edge // Materials Science. – 2005. – 41, № 2. – P. 150–157.) 38. Кіт Г. С., Сушко О. П. Термопружний стан півпростору з перпендикулярною до його межі теплоактивною еліптичною тріщиною // Там же. – 2006. – 42, № 2. – C. 45–52. (Kit H. S. and Sushko O. P. Thermoelastic state of a half space containing a thermally active elliptic crack perpendicular to its boundary // Materials Science. – 2006. – 42, № 2. – P. 189–199.) 39. Кит Г. С., Сушко О. П. Взаимодействие теплоактивной эллиптической трещины с гра- ницей полупространства // Теорет. и прикл. механика. – 2006. – Вип. 42. – С. 45–51. 40. Kit H. and Sushko O. The distribution of thermal stresses in a semi-infinite solid containing a thermally active crack // Materialy III Sympozjum Mechaniki Zniszczenia Materialow i Konstrukcji. – Bialystok, 2005. – P. 141–144. 41. Кит Г. С., Сушко О. П. Термоупругое состояние полупространства с параллельной к его границе теплоактивной трещиной // Прикл. механика. – 2007. – 43, № 4. – С. 46–54. (Kit H. S. and Sushko O. P. Thermoelastic state of a half-space having a thermally active crack parallel to its boundary // Int. Appl. Mech. – 2007. – 3, № 4. – P. 395–402.) 42. Гузь А. Н., Зозуля В. В. Хрупкое разрушение материалов при динамических нагрузках. – К.: Наук. думка, 1993. – 237 с. 43. Кіт Г. С., Михаськів В. В., Хай М. В. Метод потенціалів у тривимірних статичних і дина- мічних задачах теорії тріщин // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 1996. – 32, №1. – С. 22–32. (Kit H. S., Mykhas’kiv V. V., and Khaj M. V. Method of potentials in three-dimensional static and dynamical problems of the theory of cracks // Materials Science. – 1996. – 32, № 1. – P. 14–24.) 44. Zhang Ch. and Gross D. On Wave Propagation in Elastic Solids with Cracks. – Southamp- ton: Computational Mechanics Publication, 1998. – 248 p. 45. Application of mapping theory to boundary integral formulation of 3D dynamic crack prob- lems / J. Sladek, V. Sladek, V. V. Mykhas’kiv, and V. Z. Stankevych // Eng. Analysis with Boundary Elements. – 2003. – 27, № 3. – P. 203–213. 46. Саврук М. П. Новий метод розв’язування динамічних задач теорії пружності та меха- ніки руйнування // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2003. – 39, № 4. – C. 7–11. (Savruk M. P. New Method for the Solution of Dynamic Problems of the Theory of Elasti- city and Fracture Mechanics // Materials Science. – 2003. – 39, № 4. – P. 465–471.) 47. Гузь А. Н., Зозуля В. В., Меньшиков А. В. Пространственная контактная динамическая задача для эллиптической трещины при нормальном падении гармонической волны растяжения-сжатия // Прикл. механика. – 2003. – 39, № 12. – С. 74–77. 48. Михаськив В. В., Бутрак И. О. Концентрация напряжений в окрестности сфероидной трещины при произвольном направлении падения на нее гармонической волны // Прикл. механика. – 2006. – 42, № 1. – С. 70–77. (Mikhas’kiv V. V. and Butrak I. O. Stress concentration around a spheroidal crack caused by a harmonic wave incident at an arbitrary angle // Int. Appl. Mech. – 2006. – 42, № 1. – P. 61–66.) 49. A frequency domain BEM for 3-D non-synchronous crack interaction analysis in elastic solids / V. V. Mykhas’kiv, Ch. Zhang, J. Sladek, and V. Sladek // Eng. Analysis with Boundary Elements. – 2006. – 30, № 3. – P. 167–175. 50. Вайсфельд Н. Д. Нестационарные задачи дифракции упругих волн на дефектах в сфери- чески слоистых средах // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2005. – № 3. – C. 74–86. 66 51. Куриляк Д. Б., Назарчук З. Т., Войтко М. В. Поле напружень за опромінення плоскою SH-хвилею тріщини на межі поділу матеріалів // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2007. – 43, № 4. – С. 18–30. (Kurylyak D. В., Nazarchyk Z. T., and Voitko M. V. Stress Field in a Crack on the Interface of Materials Irradiated with SH-Waves // Materials Science. – 2003. – 39, № 4. – P. 464–478.) 52. Коэффициенты интенсивности напряжений для материалов с межслоевыми трещина- ми при гармоническом нагружении / А. Н. Гузь, И. А. Гузь, А. В. Меньшиков, В. А. Меньшиков // Прикл. механика. – 2010. – 46, № 10. – С. 3–13. 53. Kuo C. H. and Keer L. M. Three-dimensional analysis of cracking in a multilayered compo- site // Trans. ASME: J. Appl. Mech. – 1995. – 62, № 2. – P. 273–281. 54. Хай М. В., Степанюк О. І. Взаємодія паралельних тріщин через межу розділу матеріа- лів // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 1999. – 35, № 2. – С. 12–20. (Khai M. V. and Stepanyuk O. I. Interaction of Parallel Cracks across the Interface of Mate- rials // Materials Science. – 1999. – 35, № 2. – P. 157–165.) 55. Noda N. A., Ohzono R., and Chen M. C. Analysis of an elliptical crack parallel to a bimate- rial interface under tension // Mechanics of Materials. – 2003. – 35, № 11. – P. 1059–1076. 56. Stress intensity factors for penny-shaped cracks perpendicular to graded interfacial zone of bonded bi-materials / H. T. Xiao, Z. Q. Yue, L. G. Tham, and Y. R. Chen // Eng. Fract. Mech. – 2005. – 72, № 1. – P. 121–143. 57. Shul C. W. and Lee K. Y. Dynamic response of subsurface interface crack in multi-layered orthotropic half-space under anti-plane shear impact loading // Int. J. of Solids and Structure. – 2001. – 38, № 20. – P. 3563–3574. 58. Lei J., Wang Y. S., and Gross D. Dynamic interaction between a sub-interface crack and the interface in a bi-material: time-domain BEM analysis // Archive of Appl. Mech. – 2003. – 73, № 3–4. – P. 225–240. 59. Mykhas’kiv V. V. and Stepanyuk O. I. Boundary integral analysis of the symmetric dynamic problem for an infinite bimaterial solid with an embedded crack // Meccanica. – 2001. – 36, № 4. – P. 479–495. 60. О концентрации напряжений возле эллиптической трещины на границе раздела упру- гих тел при установившихся колебаниях / В. В. Михаськив, Я. Сладек, В. Сладек, А. И. Степанюк // Прикл. механика. – 2004. – 40, № 6. – С. 81–89. (Stress concentration near an elliptic crack in the interface between elastic bodies under steady-state oscillations / V. V. Mikhas’kiv, J. Sladek, V. Sladek, and O. I. Stepanyuk // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, № 6. – P. 664–671.) 61. Михаськів В. В., Жбадинський І. Я. Розв’язування нестаціонарних задач для складено- го тіла з тріщиною методом інтегральних рівнянь // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2007. – 43, № 1. – С. 33–42. (Mykhas’kiv V. V. and Zhbadynskyi I. Ya. Solution of nonstationary problems for composite bodies with cracks by the method of integral equations // Materials Science. – 2007. – 43, № 1. – P. 27–37.) 62. Mykhas’kiv V., Zhbadynskyi I., and Zhang Ch. Elastodynamic analysis of multiple crack problem in 3-D bi-materials by a BEM // Int. J. for Numerical Methods in Biomedical Eng. – 2010. – 26, № 12. – P. 1934–1946. 63. 3-D dynamic interaction between a penny-shaped crack and a thin interlayer joining two elastic half-spaces / V. Mykhas’kiv, V. Stankevych, I. Zhbadynskyi, and Ch. Zhang // Int. J. of Fract. – 2009. – 159, № 2. – P. 137–149. 64. Динамічні напруження у складеному тілі з круговою тріщиною за ковзного контакту його компонент / В. В. Михаськів, В. З. Станкевич, Є. В. Глушков, Н. В. Глушкова // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2010. – 53, № 1. – С. 80–87. 65. Механіка руйнування і міцність матеріалів: Довідн. пос. / Під заг. ред. В. В. Панасюка. Т. 5: Неруйнівний контроль і технічна діагностика / З. Т. Назарчук, В. В. Кошовий, В. Р. Скальський та ін. Під ред. З. Т. Назарчука. – Львів: Фіз.-мех. ін-т, 2001. – 1134 c. 66. Андрейків О. Є., Скальський В. Р., Сулим Г. Т. Теоретичні основи методу акустичної емісії в механіці руйнування. – Львів: Сполом, 2007. – 480 с. Одержано 06.04.2011

Методи визначення статичних і динамічних напружень у тілах з підповерхневими тріщинами

Institution

Ähnliche Einträge