Об отображениях в евклидовом пространствах с альтернативными метриками
Развивая технику p-модулей применительно к семействам кривых в евклидовом пространстве (Rⁿ, μ, d) с локально конечной борелевой мерой μ и метрикой d, авторы устанавливают конечную липшивость и гельдеровость Q-гомеоморфизмов, действующих из (Rⁿ, μ, d) в евклидово пространство Rⁿ со стандартной ме...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140833 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об отображениях в евклидовом пространствах с альтернативными метриками / Е.С. Афанасьева, Р.Р. Салимов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2015. — Т. 29. — С. 10-16. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-140833 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Афанасьева, Е.С. Салимов, Р.Р. 2018-07-16T19:05:24Z 2018-07-16T19:05:24Z 2015 Об отображениях в евклидовом пространствах с альтернативными метриками / Е.С. Афанасьева, Р.Р. Салимов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2015. — Т. 29. — С. 10-16. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140833 517.5 Развивая технику p-модулей применительно к семействам кривых в евклидовом пространстве (Rⁿ, μ, d) с локально конечной борелевой мерой μ и метрикой d, авторы устанавливают конечную липшивость и гельдеровость Q-гомеоморфизмов, действующих из (Rⁿ, μ, d) в евклидово пространство Rⁿ со стандартной метрикой и мерой Лебега. Розвиваючи технiку p-модулiв, p (0, ∞), стосовно сiмей кривих в евклiдовому просторi з локально скiнченою борелевою мiрою μ i метрикою d (Rⁿ, μ, d), автори отримують результати про кiнцеву лiпшицевiсть та гьольдеровiсть Q-гомеоморфiзмiв, що дiють iз (Rⁿ, μ, d) в евклiдiв простiр Rⁿ iз стандартними метриками та мiрою Лебега. Developing a technique modules applied to a family of curves in Euclidean space with a locally finite Borel measure and metric, the authors establish a finite Lipschitz and Holder homeomorphisms acting Euclidean space into Euclidean space of the standard metric and Lebesgue measure. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Об отображениях в евклидовом пространствах с альтернативными метриками Про вiдображеннях в евклiдових просторах з альтернативними метриками On mappings of euclidean spaces with alternative metrics Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об отображениях в евклидовом пространствах с альтернативными метриками |
| spellingShingle |
Об отображениях в евклидовом пространствах с альтернативными метриками Афанасьева, Е.С. Салимов, Р.Р. |
| title_short |
Об отображениях в евклидовом пространствах с альтернативными метриками |
| title_full |
Об отображениях в евклидовом пространствах с альтернативными метриками |
| title_fullStr |
Об отображениях в евклидовом пространствах с альтернативными метриками |
| title_full_unstemmed |
Об отображениях в евклидовом пространствах с альтернативными метриками |
| title_sort |
об отображениях в евклидовом пространствах с альтернативными метриками |
| author |
Афанасьева, Е.С. Салимов, Р.Р. |
| author_facet |
Афанасьева, Е.С. Салимов, Р.Р. |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про вiдображеннях в евклiдових просторах з альтернативними метриками On mappings of euclidean spaces with alternative metrics |
| description |
Развивая технику p-модулей применительно к семействам кривых в евклидовом пространстве (Rⁿ, μ, d) с локально конечной борелевой мерой μ и метрикой d, авторы устанавливают конечную липшивость и гельдеровость Q-гомеоморфизмов, действующих из (Rⁿ, μ, d) в евклидово пространство Rⁿ со стандартной метрикой и мерой Лебега.
Розвиваючи технiку p-модулiв, p (0, ∞), стосовно сiмей кривих в евклiдовому просторi з локально скiнченою борелевою мiрою μ i метрикою d (Rⁿ, μ, d), автори отримують результати про кiнцеву лiпшицевiсть та гьольдеровiсть Q-гомеоморфiзмiв, що дiють iз (Rⁿ, μ, d) в евклiдiв простiр Rⁿ iз стандартними метриками та мiрою Лебега.
Developing a technique modules applied to a family of curves in Euclidean space with a locally finite Borel measure and metric, the authors establish a finite Lipschitz and Holder homeomorphisms acting Euclidean space into Euclidean space of the standard metric and Lebesgue measure.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140833 |
| citation_txt |
Об отображениях в евклидовом пространствах с альтернативными метриками / Е.С. Афанасьева, Р.Р. Салимов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2015. — Т. 29. — С. 10-16. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT afanasʹevaes obotobraženiâhvevklidovomprostranstvahsalʹternativnymimetrikami AT salimovrr obotobraženiâhvevklidovomprostranstvahsalʹternativnymimetrikami AT afanasʹevaes providobražennâhvevklidovihprostorahzalʹternativnimimetrikami AT salimovrr providobražennâhvevklidovihprostorahzalʹternativnimimetrikami AT afanasʹevaes onmappingsofeuclideanspaceswithalternativemetrics AT salimovrr onmappingsofeuclideanspaceswithalternativemetrics |
| first_indexed |
2025-11-25T07:07:44Z |
| last_indexed |
2025-11-25T07:07:44Z |
| _version_ |
1850506624299433984 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2015. Том 29
УДК 517.5
c©2015. Е. С. Афанасьева, Р. Р. Салимов
ОБ ОТОБРАЖЕНИЯХ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
С АЛЬТЕРНАТИВНЫМИ МЕТРИКАМИ
Развивая технику p-модулей применительно к семействам кривых в евклидовом пространстве
(Rn, µ, d) с локально конечной борелевой мерой µ и метрикой d, авторы устанавливают конечную
липшивость и гельдеровость Q-гомеоморфизмов, действующих из (Rn, µ, d) в евклидово про-
странство Rn со стандартной метрикой и мерой Лебега.
Ключевые слова: евклидовы простанства с мерами, Q-гомеоморфизмы, p-модули.
1. Введение.
В последнее время активно развивается теория так называемых Q-гомеомор-
физмов. В препринте [1], а затем в статье [2], для квазиконформных отображе-
ний было получено модульное неравенство, которое впоследствии и легло в осно-
ву определения Q-гомеоморфизмов, введенных О. Мартио. Основной целью тео-
рии Q-гомеоморфизмов является изучение взаимосвязей свойств отображения f и
свойств функции Q(x) в модульном неравенстве. Развитие этой теории начиналось
в работах [13, 14]. Высокий уровень абстракции теории Q-отображений позволяет
применять эту теорию ко всем современным классам отображений, где удается
установить оценку модуля с подходящей функцией Q(x), связанной с теми или
иными характеристиками (дилатациями) отображений, в том числе, к отображе-
ниям с конечным искажением по Иванцу и отображениям с конечным искажением
длины, см., напр., [9] и [12].
Напомним некоторые определения, которые можно найти в [12], [19]. Пусть
(X, d, µ) – метрическое пространство X с метрикой d и локально конечной боре-
левской мерой µ. Борелеву функцию ρ : X → [0,∞], называем допустимой для
семейства кривых Γ в X, пишем ρ ∈ admΓ, если∫
γ
ρ ds > 1 ∀ γ ∈ Γ. (1)
Тогда p-модулем семейства кривых Γ, p ∈ (0,∞), в пространстве (X, d, µ) называ-
ется величина
Mp(Γ) = inf
ρ∈adm Γ
∫
D
ρp(x) dµ(x), (2)
где D – область в X.
Пространство (X, d, µ) называется α-регулярным по Альфорсу, если существует
постоянная C > 1, такая что
C−1rα 6 µ(Br) 6 Crα (3)
10
Об отображениях в евклидовых пространствах с альтернативными метриками
для всех шаров Br вX радиуса r < diamX. Как известно, α-регулярные простран-
ства имеют хаусдорфову размерность α, см., напр., [7], c. 61. Пространство (X, d, µ)
называется регулярным по Альфорсу, если оно α-регулярно для некоторого α ∈
(1,∞).
Говорят также, что пространство (X, d, µ) α-регулярно сверху в точке x0 ∈ X,
если существует постоянная C > 0 такая, что
µ(B(x0, r)) 6 Crα (4)
для всех шаров B(x0, r) с центром в точке x0 ∈ X радиуса r < r0. Простран-
ство (X, d, µ) регулярно сверху, если условие (4) выполнено в каждой точке x для
некоторого α ∈ (1,∞).
Предположим, что при p ∈ (n− 1, n) и
Mp(fΓ) 6 KMp(Γ) (5)
для произвольного семейства Γ кривых γ в области D. При предположении, что f
в (5) является гомеоморфизмом, Герингом было установлено, что отображение f
является локально квазиизометричным, другими словами, при некоторой посто-
янной C > 0 и всех x0 ∈ D справедлива оценка
lim sup
x→x0
|f(x)− f(x0)|
|x− x0|
6 K
1
n−p , (6)
см., напр., теорему 2 в [3].
Пусть всюду далее D – область в (Rn, µ, d), где (Rn, µ, d) – евклидово простран-
ство с локально конечной борелевой мерой µ и метрикой d, n > 2, D′ – область в
евклидовом пространстве Rn со стандартной метрикой и мерой Лебега.
Аналогично [12] говорим, что f : D → D′ – Q-гомеоморфизм относительно
p-модуля (n− 1 < p < n), если
Mp(fΓ) 6
∫
D
Q(x) · ρp(x) dµ(x) (7)
выполнено для любого семейства кривых Γ в D и любой допустимой функции ρ
для Γ.
При p = n проблема локального поведения Q-гомеоморфизмов изучалась в
случае Q ∈ BMO (ограниченного среднего колебания), в случае Q ∈ FMO (конеч-
ного среднего колебания) и в других случаях, см. монографию [12]. В работе [17]
было показано, что Q-гомеоморфизмы в случае Q ∈ L1
loc(D) принадлежат классу
Соболева W 1,1
loc и дифференцируемы почти всюду. Определение Q-гомеоморфизма
относительно p-модуля при p 6= n впервые встречается в работе [6]. В работе [5]
неравенство вида (7) уставлено для отображений квазиконформных в среднем при
p 6= n.
11
Е. С. Афанасьева, Р. Р. Салимов
2. Определения и предварительные результаты.
Следуя работе [15], пару E = (A,C), где A ⊂ Rn – открытое множество и C
– непустое компактное множество, содержащееся в A, называем конденсатором.
Конденсатор E называется кольцевым конденсатором, если B = A \ C – кольцо,
т.е., если B – область, дополнение которой Rn \B состоит в точности из двух ком-
понент. Конденсатор E называется ограниченным конденсатором, если множество
A является ограниченным. Говорят также, что конденсатор E = (A,C) лежит в
области D, если A ⊂ D. Очевидно, что если f : D → D′ – непрерывное, открытое
отображение и E = (A,C) – конденсатор в D, то (fA, fC) также конденсатор в D′.
Далее fE = (fA, fC).
Обозначим через C0(A) множество непрерывных функций u : A → R1 с ком-
пактным носителем. W0(E) = W0(A,C) – семейство неотрицательных функций
u : A → R1 таких, что 1) u ∈ C0(A), 2) u(x) > 1 для x ∈ C и 3) u принадлежит
классу ACL и пусть
|∇u| =
√√√√ n∑
i=1
(
∂u
∂xi
)2
. (8)
При p > 1 величину
capp E = capp (A,C) = inf
u∈W0(E)
∫
A
|∇u|p dm(x) (9)
называют p-ёмкостью конденсатора E . В дальнейшем при p > 1 мы будем исполь-
зовать равенство
capp E = Mp(∆(∂A, ∂C;A \ C)), (10)
см. [4], [8] и [18].
Известно, что при 1 6 p < n
capp E > nν
p
n
n
(
n− p
p− 1
)p−1
[m(C)]
n−p
n (11)
где νn – объем единичного шара в Rn, см., напр., неравенство (8.9) в [16].
При n− 1 < p 6 n имеет место оценка(
capp E
)n−1
> γ
d(C)p
m(A)1−n+p
, (12)
где d(C) – диаметр компакта C, γ – положительная константа, зависящая только
от размерности n и p , см. предложение 6 в [10].
3. Гельдеровость и конечная липшицевость.
Пусть x, y ∈ D. Будем говорить, что гомеоморфизм f : D → D′ называется
конечно липшицевым, если
lim sup
y→x
|f(y)− f(x)|
d(y, x)
<∞. (13)
12
Об отображениях в евклидовых пространствах с альтернативными метриками
для всех x ∈ D. Ниже приведена теорема о достаточном условии гельдеровости в
точке для Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля.
Теорема 1. Пусть мера µ является α-регулярной сверху и f : D → D′ –
Q-гомеоморфизм относительно p-модуля. Если
Q0 = lim sup
ε→0
1
µ (B(x0, ε))
∫
B(x0,ε)
Q(x)dµ(x) <∞ . (14)
Тогда при n− 1 < p < α 6 n
lim sup
x→x0
|f(x)− f(x0)|
[d(x, x0)]γ
6 Cn,pQ
1/(n−p)
0 , (15)
где γ = α−p
n−p ∈ (0, 1) и Cn,p – положительная константа, зависящая только от
размерности пространства n и p.
Доказательство. Рассмотрим сферическое кольцо A = A(x0, ε1, ε2) = {x ∈
Rn : ε1 < d(x, x0) < ε2} с 0 < ε1 < ε2 такое, что A(x0, ε1, ε2) ⊂ D. Тогда(
fB (x0, ε2) , fB (x0, ε1)
)
– кольцевой конденсатор в D′ и, согласно (10), имеем
равенство
capp
(
fB(x0, ε2), fB(x0, ε1)
)
= Mp (4(∂fB(x0, ε2), ∂fB(x0, ε1); fA) (16)
а ввиду гомеоморфности f, равенство
4 (∂fB (x0, ε2) , ∂fB (x0, ε1) ; fA) = f (4 (∂B(x0, ε2), ∂B(x0, ε1);A)) . (17)
Очевидно, что функция
ρ(x) =
{ 1
ε2−ε1 , x ∈ A(x0, ε1, ε2)
0, x ∈ Rn \A(x0, ε1, ε2).
(18)
является допустимой для семейства (4 (∂B(x0, ε2), ∂B(x0, ε1);A)).
В силу определения Q-гомеоморфизма относительно p-модуля замечаем, что
capp
(
fB(x0, ε2), fB(x0, ε1)
)
6
1
(ε2 − ε1)p
∫
A(x0,ε1,ε2)
Q(x) dµ(x) . (19)
Далее, выбирая ε1 = 2ε и ε2 = 4ε, получим
capp
(
fB(x0, 4ε), fB(x0, 2ε)
)
6
1
(2ε)p
∫
B(x0,4ε)
Q(x) dµ(x) (20)
С другой стороны, в силу неравенства (11) вытекает оценка
13
Е. С. Афанасьева, Р. Р. Салимов
capp
(
fB(x0, 4ε), fB(x0, 2ε)
)
> C1 [m(fB(x0, 2ε))]
n−p
n (21)
где C1 – положительная константа, зависящая только от размерности простран-
ства n и p.
Комбинируя (20) c (21) и используя α-регулярность меры µ, получаем, что
m(fB(x0, 2ε)) 6 C2 ε
n(α−p)
n−p
1
µ (B(x0, 4ε))
∫
B(x0,4ε)
Q(x) dµ(x)
n
n−p
, (22)
где C2 – положительная постоянная зависящая только от n и p.
Далее, выбирая в (19) ε1 = ε и ε2 = 2ε, получим
capp
(
fB(x0, 2ε), fB(x0, ε)
)
6
µ(B(x0, 2ε))
εp
∫
B(x0,2ε)
Q(x) dµ(x) (23)
и учитывая α-регулярность меры
capp
(
fB(x0, 2ε), fB(x0, ε)
)
6
C3ε
α−p
µ (B(x0, 2ε))
∫
B(x0,2ε)
Q(x) dµ(x), (24)
где C3 – положительная постоянная зависящая только от n и p.
С другой стороны, в силу неравенства (12), получаем
capp
(
fB(x0, 2ε), fB(x0, ε)
)
>
(
C4
dp(fB(x0, ε))
m1−n+p(fB(x0, 2ε))
) 1
n−1
(25)
где C4 – положительная константа, зависящая только от размерности простран-
ства n и p.
Комбинируя (23) и (25), получаем, что
dp(fB(x0, ε))
m1−n+p(fB(x0, 2ε))
6 C5ε
(α−p)(n−1)
1
µ (B(x0, 2ε))
∫
B(x0,2ε)
Q(x) dµ(x)
n−1
, (26)
где C5 – положительная константа, зависящая только от размерности простран-
ства n и p.
Эта оценка вместе с (22) дает неравенство
d(fB(x0, ε)) 6 C6
1
µ (B(x0, 4ε))
∫
B(x0,2ε)
Q(x) dµ(x)
1
n−p
· ε
α−p
n−p , (27)
14
Об отображениях в евклидовых пространствах с альтернативными метриками
где C6 – положительная константа, зависящая только от размерности простран-
ства n и p. Переходя к верхнему пределу при x→ x0 немедленно вытекает заклю-
чение теоремы.
Следствие 1. Пусть мера µ является n-регулярной и f : D → D′ – Q-
гомеоморфизм относительно p-модуля при p ∈ (n− 1, n). Если
lim sup
ε→0
1
µ (B(x0, ε))
∫
B(x0,ε)
Q(x)dµ(x) <∞ ∀ x0 ∈ D. (28)
Тогда f является конечно липшицевым в D.
Замечание. В соответствии с леммой 10.6 в [12] конечно липшицевые отобра-
жения обладают N -свойством относительно хаусдорфовых мер и, таким образом,
являются абсолютно непрерывными на кривых и поверхностях.
Следствие 2. Пусть мера µ является n-регулярной сверху, f : D → D′ –
Q-гомеоморфизм относительно p-модуля при p ∈ (n− 1, n), Q(x) ≤ K п.в. Тогда
f является липшицевым в D.
1. Bishop C.J., Gutlyanskii V.Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space //
Preprint, Department of Mathematics, University of Helsinki. – 2000. – No. 256. – 22 p.
2. Bishop C.J., Gutlyanskii V.Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int.
J. Math. Math. Sci. – 2003. – Vol. 22. – P. 1397-1420.
3. Gehring F.W. Lipschitz mappings and the p-capacity of ring in n-space // Advances in the
theory of Riemann surfaces (Proc. Conf. Stonybrook, N.Y., 1969), Ann. of Math. Studies. – 1971.
– Vol. 66. – P. 175–193.
4. Gehring F.W. Quasiconformal mappings in Complex Analysis and its Applications, V. 2. – Inter-
national Atomic Energy Agency, Vienna, 1976.
5. Golberg A. Integrally quasiconformal mappings in space // Збiрник праць Iн-ту математики
НАН України. – 2010. – Vol. 7, no. 2. – P. 53-64.
6. Golberg A. Differential properties of (α,Q)-homeomorphisms // Further Progress in Analysis,
World Scientific Publ. – 2009. – P. 218-228.
7. Heinonen J. Lectures on Analysis on Metric Spaces. — New York: Springer, 2001.
8. Hesse J. A p-extremal length and p-capacity equality // Arc. Mat. – 1975. – Vol. 13. – P. 131-144.
9. Iwaniec T., Martin G. Geometrical Function Theory and Non–Linear Analysis. – Oxford: Claren-
don Press, 2001.
10. Кругликов В.И. Ёмкости конденсаторов и пространственные отображения, квазиконформные
в среднем // Матем. сборник. – 1986. – Vol. 130, no. 2. – C. 185-206.
11. Martio O., Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. Moduli in Modern Mapping Theory //
Springer Monographs in Mathematics. – New York: Springer, 2009. – 367 p.
12. Martio O., Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. On Q-homeomorphisms // Ann. Acad. Sci.
Fenn. Ser. A1. – 2005. – Vol. 30, no. 1. – P. 49-69.
13. Martio O., Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. Q-homeomorphisms // Contemporary Math.
– 2004. – Vol. 364. – P. 193-203.
14. Martio O., Rickman S., Vaisala J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn.
Ser. A1. Math. – 1969. – Vol. 448. – P. 1-40.
15. Maz’ya V. Lectures on isoperimetric and isocapacitary inequalities in the theory of Sobolev
spaces // Contemp. Math. – 2003. – Vol. 338. – P. 307-340.
16. Салимов Р.Р. Абсолютная непрерывность на линиях и дифференцируемость одного обоб-
щения квазиконформных отображений // Изв. РАН. Сер. матем. – 2008. – T. 72, №. 5. –
C. 141–148.
15
Е. С. Афанасьева, Р. Р. Салимов
17. Shlyk V.A. On the equality between p-capacity and p-modulus // Sibirsk. Mat. Zh. – 1993. –
Vol. 34, no. 6. – P. 216-221.
18. Väisälä J. Lectures on n−Dimensional Quasiconformal Mappings // Lecture Notes in Math. 229.
– Berlin etc., Springer–Verlag, 1971. – 144 p.
O. S. Afanas’eva, R. R. Salimov
On mappings of euclidean spaces with alternative metrics.
Developing a technique modules applied to a family of curves in Euclidean space with a locally finite
Borel measure and metric, the authors establish a finite Lipschitz and Holder homeomorphisms acting
Euclidean space into Euclidean space of the standard metric and Lebesgue measure.
Keywords: euclidian spaces with measures, Q-homeomorphisms, p-moduli.
О. С. Афанасьєва, Р. Р. Салiмов
Про вiдображеннях в евклiдових просторах з альтернативними метриками.
Розвиваючи технiку p-модулiв, p ∈ (0,∞), стосовно сiмей кривих в евклiдовому просторi з ло-
кально скiнченою борелевою мiрою µ i метрикою d (Rn, µ, d), автори отримують результати про
кiнцеву лiпшицевiсть та гьольдеровiсть Q-гомеоморфiзмiв, що дiють iз (Rn, µ, d) в евклiдiв про-
стiр Rn iз стандартними метриками та мiрою Лебега.
Ключовi слова: евклiдовi простори з мiрами, Q-гомеоморфiзми, p-модулi.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Славянск
Ин-т математики НАН Украины, Киев
es.afanasjeva@yandex.ru, ruslan623@yandex.ru
Получено 01.04.14
16
|