Об одном частном случае известной проблемы В. Н. Дубинина
В данной работе рассматривается известная гипотеза В. Н. Дубинина о неналегающих областях на комплексной плоскости и найдено ее решение при n = 5 и 1 < γ ≤ 2.32. В данiй роботi розглядається вiдома проблема В. М. Дубiнiна про неперетиннi областi комплексної площини i знайдено її розв язок для n...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Datum: | 2015 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140834 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об одном частном случае известной проблемы В. Н. Дубинина / А.К. Бахтин, Я.В. Заболотный // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2015. — Т. 29. — С. 17-22. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-140834 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бахтин, А.К. Заболотный, Я.В. 2018-07-16T19:20:44Z 2018-07-16T19:20:44Z 2015 Об одном частном случае известной проблемы В. Н. Дубинина / А.К. Бахтин, Я.В. Заболотный // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2015. — Т. 29. — С. 17-22. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140834 517.5 В данной работе рассматривается известная гипотеза В. Н. Дубинина о неналегающих областях на комплексной плоскости и найдено ее решение при n = 5 и 1 < γ ≤ 2.32. В данiй роботi розглядається вiдома проблема В. М. Дубiнiна про неперетиннi областi комплексної площини i знайдено її розв язок для n = 5 і 1 < γ ≤ 2.32. In this paper we consider the well-known problem of V.N. Dubinin on non-overlapping domains and find its solution for n = 5 and 1 < γ ≤ 2.32. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Об одном частном случае известной проблемы В. Н. Дубинина Про один частковий випадок вiдомої проблеми В.М. Дубiнiна On a particular case of the well-known problem of V.N. Dubinin Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об одном частном случае известной проблемы В. Н. Дубинина |
| spellingShingle |
Об одном частном случае известной проблемы В. Н. Дубинина Бахтин, А.К. Заболотный, Я.В. |
| title_short |
Об одном частном случае известной проблемы В. Н. Дубинина |
| title_full |
Об одном частном случае известной проблемы В. Н. Дубинина |
| title_fullStr |
Об одном частном случае известной проблемы В. Н. Дубинина |
| title_full_unstemmed |
Об одном частном случае известной проблемы В. Н. Дубинина |
| title_sort |
об одном частном случае известной проблемы в. н. дубинина |
| author |
Бахтин, А.К. Заболотный, Я.В. |
| author_facet |
Бахтин, А.К. Заболотный, Я.В. |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про один частковий випадок вiдомої проблеми В.М. Дубiнiна On a particular case of the well-known problem of V.N. Dubinin |
| description |
В данной работе рассматривается известная гипотеза В. Н. Дубинина о неналегающих областях на комплексной плоскости и найдено ее решение при n = 5 и 1 < γ ≤ 2.32.
В данiй роботi розглядається вiдома проблема В. М. Дубiнiна про неперетиннi областi комплексної площини i знайдено її розв язок для n = 5 і 1 < γ ≤ 2.32.
In this paper we consider the well-known problem of V.N. Dubinin on non-overlapping domains and find its solution for n = 5 and 1 < γ ≤ 2.32.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140834 |
| citation_txt |
Об одном частном случае известной проблемы В. Н. Дубинина / А.К. Бахтин, Я.В. Заболотный // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2015. — Т. 29. — С. 17-22. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT bahtinak obodnomčastnomslučaeizvestnoiproblemyvndubinina AT zabolotnyiâv obodnomčastnomslučaeizvestnoiproblemyvndubinina AT bahtinak proodinčastkoviivipadokvidomoíproblemivmdubinina AT zabolotnyiâv proodinčastkoviivipadokvidomoíproblemivmdubinina AT bahtinak onaparticularcaseofthewellknownproblemofvndubinin AT zabolotnyiâv onaparticularcaseofthewellknownproblemofvndubinin |
| first_indexed |
2025-11-25T01:42:36Z |
| last_indexed |
2025-11-25T01:42:36Z |
| _version_ |
1850503962187268096 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2015. Том 29
УДК 517.5
c©2015. А. К. Бахтин, Я. В. Заболотный
ОБ ОДНОМ ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ ИЗВЕСТНОЙ
ПРОБЛЕМЫ В. Н. ДУБИНИНА
В данной работе рассматривается известная гипотеза В. Н. Дубинина о неналегающих обла-
стях на комплексной плоскости и найдено ее решение при n = 5 и 1 < γ ≤ 2.32.
Ключевые слова: неналегающие области, внутренний радиус, квадратичный дифференциал.
1. Введение.
В геометрической теории функций комплексного переменного экстремальные
задачи о неналегающих областях являются хорошо известным классическим на-
правлением. Первоначальным толчком к возникновению данного направления по-
служила фундаментальная работа [1], в которой, в частности, была впервые по-
ставлена и решена задача о максимуме произведения конформных радиусов двух
непересекающихся односвязных областей. Г. М. Голузин в работе [2] обобщил дан-
ную задачу на случай произвольного конечного числа взаимно непересекающихся
областей и получил ее полное решение для случая трех областей. Среди дальней-
ших работ по данной тематике отметим, например, [3-8].
Задача, которую мы рассматриваем в данной работе, была сформулирована в
работе [5].
Пусть N, C – множества натуральных и комплексных чисел соответствено, B
– область в C, a ∈ B – точка области B, r(B, a) – внутренний радиус области B в
точке a (см., напр. [5-8]).
Задача 1. Доказать, что максимум функционала
In(γ) = rγ(B0, a0) ·
n∏
k=1
r(Bk, ak) (1)
где B0, B1, B2, . . . , Bn, (n ≥ 2) – попарно неналегающие области в C, a0 = 0,
|ak| = 1, k = 1, n и γ ≤ n, достигается для некоторой конфигурации областей,
обладающей n-кратной симетрией.
На данный момент задача 1 полностью не решена, известно только ее решения
для некоторых частных случаев. Так, решение задачи 1 при произвольном нату-
ральном n ≥ 2, но при условии γ = 1 было получено в работе [6]. В работе [9] был
изучен случай n ≥ 2 и 0 < γ < 1. При произвольном n ≥ 5 и при существенном
ограничении на расположение точек ak, а именно, что максимальный угол с вер-
шинами ak; a0; ak+1, k = 1, n, an+1 = a1, не превосходит 2π√
γ , задача 1 была решена
в работе [8]. В работе [7] задача 1 была впервые решена при всех γ > 1 и без до-
17
А. К. Бахтин, Я. В. Заболотный
полнительных ограничений геометрического характера, но начиная с некоторого,
заранее неизвестного номера n.
В данной работе мы исследуем случай n = 5. Отметим, что в [10] задача 1 была
решена при 1 < γ ≤ 5
1
4 . Случаи γ ≤ 5
1
3 и γ ≤ 50.38 исследованы соответственно в
работах [11] и [12].
2. Теоремы.
В данной работе получен следующий результат:
Теорема 1. При n = 5 и 1 < γ ≤ 2.32 справедливо неравенство
rγ(B0, a0) ·
5∏
k=1
r(Bk, ak) ≤ rγ(D0, d0) ·
5∏
k=1
r(Dk, dk), (2)
где B0, B1, B2,...,B5 - попарно неналегающие области в C, a0 = 0, |ak| = 1,
a1 = 1, k = 1, 5, причем равенство достигается, например, при ak = dk, Bk = Dk,
k = 0, 5, где dk, Dk, - соответственно полюса и круговые области квадратичного
дифференциала
Q(w)dw2 = −(25− γ)wn + γ
w2(wn − 1)2
dw2. (3)
Доказательство. Заметим, что, учитывая результаты работы [12], нам доста-
точно доказать теорему при 50.38 < γ ≤ 2.32.
Докажем сначала, что утверждение теоремы справедливо при γ = 2.32.
Найдем значение выражения
I05 (γ) = rγ(D0, d0) ·
5∏
k=1
r(Dk, dk),
где dk, Dk, k = 0, 5 – соответственно полюса и круговые области квадратично-
го дифференциала (3) при γ = 2.32. При доказательстве теоремы 5.2.3 [7] было
получено следующее выражение:
I0n(γ) =
(
4
n
)n
·
( 4γ
n2 )
γ
n
(1− γ
n2 )
n+ γ
n
·
(
1−
√
γ
n
1 +
√
γ
n
)2
√
γ
.
При n = 5 получим:
I05 (γ) =
(
4
5
)5
·
(4γ25 )
γ
n
(1− γ
25)
5+ γ
5
·
(
1−
√
γ
5
1 +
√
γ
5
)2
√
γ
. (4)
Непосредственным вычислением убеждаемся, что I05 (2.32) > 0.051806.
Найдем теперь некоторые ограничения на функционал (1) при n = 5, тоесть
на I5(γ).
Согласно условию задачи, a0 = 0, |ak| = 1, k = 1, 5. Допустим, не уменьшая
общности, что
18
Об одном частном случае известной проблемы В. Н. Дубинина
0 = arg a1 < arg a2 < . . . < arg a5 < 2π
Далее, определим числа αk следующим образом:
α1 :=
1
π · (arg a2 − arg a1),α2 :=
1
π · (arg a3 − arg a2) . . . α5 :=
1
π · (2π − arg a5)
Как мы отмечали выше, в работе [8] задача 1 была решена при условиях, что
n ≥ 5 и αk
√
γ ≤ 2. При n = 5 нам остается рассмотреть задачу 1 при условии
α0
√
γ > 2, где α0 = max
k
αk. Все дальнейшие рассуждения будем проводить именно
при α0 >
2√
γ .
Выполним следующие преобразования:
I5(γ) = rγ(B0, a0) ·
5∏
k=1
r(Bk, ak) =
=
(
5∏
k=1
(r(B0, a0) · r(Bk, ak) · r(Bk+1, ak+1)
) γ
5
·
(
5∏
k=1
r(Bk, ak)
)1− 2γ
5
,
где B6 := B1, a6 := a1 и, соответственно, r(B6, a6) = r(B1, a1).
Согласно теореме Голузина [2, с. 165]
r(B0, a0) · r(Bk, ak) · r(Bk+1, ak+1) ≤
64
81
√
3
· |ak − a0| · |ak+1 − a0| · |ak+1 − ak| =
=
64
81
√
3
· |ak+1 − ak|.
Таким образом,(
5∏
k=1
(r(B0, a0) · r(Bk, ak) · r(Bk+1, ak+1)
) γ
5
≤
(
64
81
√
3
)γ ( 5∏
k=1
|ak+1 − ak|
) γ
5
.
Максимум данного выражения по всевозможным конфигурациям точек ak,
k = 1; 5, которые удовлетворяют условиям теоремы 1 не будет превышать сле-
дующего выражения:(
5∏
k=1
(r(B0, a0) · r(Bk, ak) · r(Bk+1, ak+1)
) γ
5
≤
≤
(
64
81
√
3
)γ (
2 sin
(
π
4
(
1− 1
√
γ
))) 4γ
5
(
2 sinπ
(
1− 1
√
γ
)) γ
5
, (5)
которое соответствует случаю α0 = 2√
γ , а все остальные αk равны между собой и
равны 1
2
(
1− 1√
γ
)
.
19
А. К. Бахтин, Я. В. Заболотный
Оценим теперь выражение
(
5∏
k=1
r(Bk, ak)
)1− 2γ
5
. Учитывая результат теоремы
5.1.1 [7], получим следующую цепочку неравенств:(
5∏
k=1
r(Bk, ak)
)1− 2γ
5
6
[
25
5∏
k=1
αk
]1− 2γ
5
6
[
25α0
(
2− α0
4
)4
]1− 2γ
5
=
=
[
1
8
α0(2− α0)
4
]1− 2γ
5
.
А поскольку α0 >
2√
γ , то(
5∏
k=1
r(Bk, ak)
)1− 2γ
5
<
[
1
4
√
γ
·
(
2− 2
√
γ
)4
]1− 2γ
5
. (6)
Учитывая (5) и (6), получим следующее неравенство:
I5(γ) <
(
64
81
√
3
)γ (
2 sin
(
π
4
(
1− 1
√
γ
))) 4γ
5
×
×
(
2 sinπ
(
1− 1
√
γ
)) γ
5
·
[
1
4
√
γ
·
(
2− 2
√
γ
)4
]1− 2γ
5
= J5(γ).
При γ = 2.32 выражение J5(γ) ≤ 0.051562.
Таким образом, для произвольной конфигурации областей Bk и точек ak,
k = 0; 5, для которых выполняются все условия теоремы 1 и условие α0 >
2√
γ ,
имеют место неравенства:
I5(2.32) < 0.051562 < 0.051806 < I05 (2.32).
А это значит, что при γ = 2.32 и для произвольной конфигурации областей Bk
и точек ak, k = 0; 5, для которых выполняются все условия теоремы 1, выполняется
неравенство (2).
Для γ = 2.32 теорема доказана.
Пусть теперь 1 < γ < 2.32.
Заметим, что функция J5(γ) монотонно возростает по γ на промежутке (1; 2.32].
Таким образом, для произвольного γ ∈ (1; 2.32) выполняется неравенство:
I5(γ) < J5(γ) < J5(2.32).
20
Об одном частном случае известной проблемы В. Н. Дубинина
Исследуем функцию I05 (γ) (4).
(I05 (γ))
′ = I05 (γ)
(
1
5
ln
(
4γ
25− γ
)
+
1
√
γ
ln
(
5−√γ
5 +
√
γ
))
.
При γ ∈ (1; 2.32) оба слагаемых в скобках отрицательны, а значит (I05 (γ))
′ < 0.
Таким образом, для произвольного γ ∈ (1; 2.32) выполняется неравенство:
I05 (γ) > I05 (2.32).
А значит при γ ∈ (1; 2.32) выполняется неравенство I5(γ) < I05 (γ) для произ-
вольной конфигурации областей Bk и точек ak, k = 0; 5, для которых выполняются
все условия теоремы 1.
Теорема доказана полностью. �
1. Лаврентьев М. А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР. –
1934.– T. 5.– С. 159-245.
2. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – М: Наука, 1966.
– 628 с.
3. Колбина Л. И. Конформное отображение единичного круга на неналегающие области //
Вестник Ленинградского ун-та. – 1955. – T. 5. – С. 37-43.
4. Бахтина Г. П. Вариационные методы и квадратичные дифференциалы в задачах о ненале-
гающих областях: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. – Киев, 1975. – 11 с.
5. Дубинин В. Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного пе-
ременною // Успехи мат. наук. – 1994. – T. 49, № 1 (295). – С. 3-76.
6. Дубинин В. Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбие-
нии // Зап. науч. сем. Ленингр. отд-ния Мат. ин-та АН СССР. – 1988. – T. 168. – С. 48-66.
7. Бахтин А. К., Бахтина Г. П., Зелинский Ю. Б. Тополого-алгебраические структуры и
геометрические методы в комплексном анализе // Працi iн-ту мат-ки НАН Укр. – 2008. –
Т. 73. – 308 с.
8. Ковалев Л. В. К задаче об экстремальном разбиении со свободными полюсами на окружно-
сти // Дальневосточный матем. сборник. – 1996. – T. 2. – С. 96-98.
9. Кузьмина Г. В.Метод экстремальной метрики в задачах о максимуме произведения степеней
конформных радиусов неналегающих областей при наличии свободных параметров // Зап.
науч. сем. ПОМИ. – 2003. – T. 302. – С. 52-67.
10. Заболотний Я.В. Деякi екстремальнi задачi геометричної теорiї функцiй // Зб. праць Iн-ту
матем. НАН України. - К.: Iн-т матем. НАН України, 2011. – Т. 8, № 1. – C. 88-97.
11. Денега И.В. Квадратичные дифференциалы и разделяющее преобразование в экстремаль-
ных задачах о неналегающих областях // Доп. НАН України. – 2012. – № 4. – С. 15-19.
12. Бахтин А.К., Денега И.В. Об одной проблеме В.Н. Дубинина. Комплексний аналiз, теорiя
потенцiалу i застосування // Зб. праць Iн-ту матем. НАН України. – К.: Iн-т матем. НАН
України, 2013. – Т.10, № 4-5. – C. 401-411.
A. K. Bakhtin, Ya. V. Zabolotniy
On a particular case of the well-known problem of V.N. Dubinin.
In this paper we consider the well-known problem of V.N. Dubinin on non-overlapping domains and
find its solution for n = 5 and 1 < γ ≤ 2.32.
Keywords: non-overlapping domains, inner radius, quadratic differential.
21
А. К. Бахтин, Я. В. Заболотный
О. К. Бахтiн, Я. В. Заболотний
Про один частковий випадок вiдомої проблеми В.М. Дубiнiна.
В данiй роботi розглядається вiдома проблема В. М. Дубiнiна про неперетиннi областi комплекс-
ної площини i знайдено її розв’язок для n = 5 i 1 < γ ≤ 2.32.
Ключовi слова: неперетиннi областi, внутрiшнiй радiус, квадратичний диференцiал.
Ин-т математики НАН Украины, Киев
alexander.bahtin@yandex.ua, yaroslavzabolotnii@mail.ru
Получено 30.11.15
22
|