Функциональный закон повторного логарифма для процессов Бесселя и функционалов от них
В статье установливаются теоремы типа функционального закона повторного логарифма для бесселевских процессов и функционалов от них при больших и малых временах. Нормирующия функция является более общей, чем классическая нормировка корень квадратный из двойного логарифма. Доведенi теореми типу фун...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140835 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Функциональный закон повторного логарифма для процессов Бесселя и функционалов от них / Д.С. Будков, С.Я. Махно // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2015. — Т. 29. — С. 23-33. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859856135863926784 |
|---|---|
| author | Будков, Д.С. Махно, С.Я. |
| author_facet | Будков, Д.С. Махно, С.Я. |
| citation_txt | Функциональный закон повторного логарифма для процессов Бесселя и функционалов от них / Д.С. Будков, С.Я. Махно // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2015. — Т. 29. — С. 23-33. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики |
| description | В статье установливаются теоремы типа функционального закона повторного логарифма для бесселевских процессов и функционалов от них при больших и малых временах. Нормирующия функция является более общей, чем классическая нормировка корень квадратный из двойного логарифма.
Доведенi теореми типу функцiонального закону повторного логарифму для процесiв Бєсселя та функцiонвлiв вiд них при малих та великих промiжках часу. Нормующая функцiя є бiльш загальною, нiж класична функция квадратний корень iз повторного логарифму.
The function law of the iterated law for Bessel processes and functionals on them for small times and large times are considered. The normalizing function is more general than classical function square root of the double logarithm.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:43:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2015. Том 29
УДК 519.21
c©2015. Д. С. Будков, С. Я. Махно
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА ДЛЯ
ПРОЦЕССОВ БЕССЕЛЯ И ФУНКЦИОНАЛОВ ОТ НИХ
В статье установливаются теоремы типа функционального закона повторного логарифма для
бесселевских процессов и функционалов от них при больших и малых временах. Нормирующия
функция является более общей, чем классическая нормировка корень квадратный из двойного
логарифма.
Ключевые слова: процесс Бесселя, функционал от процесса Бесселя, функциональный закон
повторного логарифма.
1. Вступление.
Процессы Бесселя применяются при изучении асимптотических свойст локаль-
ных времен винеровского процесса Lw(t, y) по переменной y [6, параграф 2.8], [2,
теорема 3.1], [11, доказательство теоремы 1.1]. Известными являются закон повтор-
ного логарифма Хинчина для бесселевского процесса и гельдеровость его траек-
торий [6, параграф 2.7]. В последнее время интерес к процессам Бесселя возобно-
вился в связи с изучением геометрического броуновского движения, т.к. с распре-
делениями последнего связано изучение опционов Азиатского типа в актуарной
математике [7, 9].
В этой статье изучаются асимптотические свойства бесселевских процессов и
некоторых функционалов от них. Доказываются функциональные законы типа
повторного логарифма в форме Булинского [4]. В них нормирующая функция яв-
ляется более общей, чем классическая корень из двойного логарифма. Все рас-
сматриваемые в статье случайные процессы определены на стохастическом базисе(
Ω,F ,Ft, P
)
, t ≥ 0. Математическое ожидание обозначим символом E. Равен-
ство процессов ξ(t) и η(t) по распределению обозначим ξ(t)
d
= η(t).
Бесселевским процессом порядка α > 0 называется решение стохастического
уравнения [5, параграф IV.4.]
βα(t) = x+
α− 1
2
∫ t
0
1
βα(s)
ds+ w(t), x ≥ 0, t ≥ 0. (1)
Здесь w(t), t ≥ 0, одномерный винеровский прцесс. Будем считать α ≥ 2, тогда
точка ноль является недостижимой при всех t > 0 и с вероятностью единица
βα(t) > 0 при t > 0, [12, глава XI] , [5, стр. 227]. Обозначим Φ – класс возрастающих
функций ϕ(x), x ≥ 0, таких, что limx→∞ ϕ(x) =∞. Пусть число c > 1. Для любой
23
Д. С. Будков, С. Я. Махно
ϕ ∈ Φ определим R2(ϕ) по правилу
R2(ϕ) = inf
{
r > 0 :
∞∑
n=1
exp
{
−rϕ
2([cn])
2
}
<∞
}
, (2)
где [c] – целая часть числа c. Если не существует конечного r при котором ряд в
(2) сходится, то R2(ϕ) =∞. Заметим, что если ряд сходится для некоторого c > 1,
то он будет сходиться для любых c > 1. В [4, теорема 3] доказано, что R = 1
Q , где
Q = lim
x→∞
ϕ(x)√
2 ln lnx
.
Обозначим C([0, 1];Ed) пространство непрерывных d-мерных функций, заданных
на [0, 1], с равномерной метрикой. Для d-мерной абсолютно непрерывной функ-
ции f(t) обозначим ḟ(t) ее производную в смысле абсолютной непрерывности и
положим
I0(f) =
1
2
∫ 1
0
|ḟ(t)|2dt.
Введем классы функций
KR(d) = {f ∈ C([0, 1];Ed) : f(0) = 0, I0(f) ≤ R2/2},
HR(d) =
{∫ 1
0
f(t)dt, f ∈ KR(d)
}
, LR(d) =
{
|f(t)|, f ∈ KR(d)
}
,
MR(d) =
{
|f(t)|2, f ∈ KR(d)
}
.
2. Основные результаты.
Множество предельных точек в теоремах ниже определяются в метрике про-
странства C([0, 1];Ed).
Теорема 1. Пусть α ≥ 2 число целое. Тогда для ϕ ∈ Φ и n → ∞ с вероят-
ностью единица множество предельных точек последовательности
{
βα(tn)
ϕ(n)
√
n
}
,
t ∈ [0, 1], а при x = 0 и последовательности
{
βα(t/n)
ϕ(n)
√
n
}
, t ∈ [0, 1], есть LR(α).
Доказательство. При целом α ≥ 2 процесс βα(t) отождествляется с α-мерным
процессом, который определяется следующим образом [10, III.3.18–3.22]. Пусть
B(t) α-мерный винеровский процесс и вектор a ∈ Eα выбран так, что |a| = x .
Тогда βα(t)
d
= |a+B(t)|. Поэтому
βα(tn)
ϕ(n)
√
n
d
=
∣∣∣∣ a
ϕ(n)
√
n
+
B(tn)
ϕ(n)
√
n
∣∣∣∣.
В [4, теорема 1] доказано, что с вероятностью единица множество предельных то-
чек последовательности B(tn)
ϕ(n)
√
n
, t ∈ [0, 1], есть KR(α). Отсюда и непрерывности
24
Функциональный закон повторного логарифма для процессов Бесселя и функционалов от них
функционала F (x(·)) = |x(t)| следует первое утверждение теоремы. Второе утвер-
ждение теоремы доказывается аналогично. Нужно применить [3, теорема 2].
Теорема доказана. �
Следствие 1. В условиях теоремы 1 с вероятностью единица
lim sup
n→∞
βα(n)
ϕ(n)
√
n
= R, lim sup
n→∞
βα( 1
n)
√
n
ϕ(n)
= R.
Результат следствия 1 для ϕ(n) =
√
2 ln lnn есть закон повторного логарифма
Хинчина для бесселевских процессов [6, параграф 2.7 ], т.к. тогда R = 1.
Следствие 2. В условиях теоремы 1 с вероятностью единица множество
предельных точек последовательности
{
β2
α(tn)
nϕ2(n)
}
, t ∈ [0, 1], а при x = 0 и последо-
вательности
{
β2
α(t/n)
ϕ2(n)
n
}
, t ∈ [0, 1], естьMR(α).
Теорема 2. Пусть Z(t), t ≥ 0, – одномерный стандартный винеровский про-
цесс, независящий от решения уравнения (1), x = 0 и число α ≥ 2 целое. Тогда для
ϕ ∈ Φ с вероятностью единица множество предельных точек последовательно-
стей {
Z(tn) + βα(n)
ϕ(n)
√
n
}
и
Z(t/n) + βα(t/n)
ϕ(n)
√
n, t ∈ [0, 1],
есть множество{
f(t) + |g(t)| : (f(t), g1(t), . . . , gα(t)) ∈ KR(α+ 1)
}
.
Доказательство. Используем представлением процесса βα(t) из доказатель-
ства теоремы 1 и определим процессы
ξ(t) = Z(t) + βα(t)
d
= Z(t) + |B(t)|, ξn(t) =
Z(nt) + |B(nt)|
ϕ(n)
√
n
,
V (t) = (Z(t), B1(t), . . . , Bα(t)).
Процесс V (t) является (α+1)-мерным стандартным винеровским процессом. Мно-
жеством предельных точек последовательнлсти
{
vn(t) = V (nt)
ϕ(n)
√
n
}
является KR(α+
1) [4, теорема 1]. Воспользуемся тем, что для любого непрерывного функционала
F, заданного на C([0, 1];Eα+1), множество предельных точек последовательности
F (vn(·)) есть F (KR(α+ 1)). Выбрав
F (f(·)) = h(t) + |g(t)|
для f(t) = (h(t), g1(t), ..., gα(t)), получим утверждение теоремы для последователь-
ности ξn(t). Аналогично доказывается теорема для последовательности ξ̃n(t) =
25
Д. С. Будков, С. Я. Махно
Z(t/n)+βα(t/n)
ϕ(n)
√
n. Нужно рассмотреть последовательность
{
ṽn(t) = V (t/n)
ϕ(n)
√
n
}
и
воспользоваться [3, теорема 2].
Теорема доказана. �
Следствие 3. В условиях теоремы 2 с вероятностью единица
lim sup
n→∞
Z(n) + βα(n)
ϕ(n)
√
n
= R
√
2, lim inf
n→∞
Z(n) + βα(n)
ϕ(n)
√
n
= −R,
lim sup
n→∞
Z(1/n) + βα(1/n)
ϕ(n)
√
n = R
√
2, lim inf
n→∞
Z(1/n) + βα(1/n)
ϕ(n)
√
n = −R.
Доказательство. Воспользуемся тем, что для любого непрерывного функцио-
нала F, заданного на C([0, 1];Eα+1)
P
{
lim sup
n→∞
F (ξn) = sup
f∈KR(α+1)
F (f)
}
= 1.
Выберем F (f) = h(1) +
√∑α
i=1 g
2
i (1) для f(t) = (h(t), g1(t), . . . , gα(t)) и докажем,
что
sup
f∈KR(α+1)
F (f) =
√
2R. (3)
Заметим, что так как для абсолютно непрерывной функции r(t) для которой r(0) =
0, r(1) =
∫ 1
0 ṙ(t)dt, то r
2(1) ≤
∫ 1
0 ṙ
2(t)dt, а значит
F 2(f) ≤ 2
[
h2(1) +
α+1∑
i=2
g2i (1)
]
≤ 2
∫ 1
0
|ḟ(t)|2dt ≤ 2R2.
Следовательно, F (f) ≤ R
√
2. Очевидно, что значение R
√
2 достигается на функ-
ции f(t) ∈ KR(α+ 1), при h(t) = R√
2
t, gi(t) = R√
2α
t, i = 1, 2, . . . , α. Далее заметим,
что для любого непрерывного функционала F, заданного на C([0, 1];Eα+1),
P
{
lim inf
n→∞
F (ξn) = inf
f∈KR(α+1)
F (f)
}
= 1.
Для определенного выше функционала F (f) имеем
F (f) ≥ h(1) ≥ −
(∫ 1
0
ḣ2(t)dt
) 1
2
≥ −
(∫ 1
0
|ḟ |2(t)dt
) 1
2
≥ −R.
Т.о.
inf
f∈KR(α+1)
F (f) ≥ −R.
Знак равенства достигается на функции f(t) = (−Rt, 0, 0..., 0) ∈ KR(α+ 1).
26
Функциональный закон повторного логарифма для процессов Бесселя и функционалов от них
Следствие доказано. �
Для последовательности
{
Z(n)+βα(n)
ϕ(n)
√
n
}
и функции ϕ(n) =
√
2 ln lnn число R = 1
и результат следствия 3 обобщает теорему 1.1 работы [14].
Используем теорему 2 для исследования закона типа повторного логарифма
для броуновского движения, отраженного от независящего от него другого бро-
уновского движения [13]. Такой процесс называется броуновской паутиной [8]. В
работе [1, теорема 2.2] дано построение такого отраженного процесса. Пусть Z(t)-
одномерный стандартный винеровский процесс, а W (t) независимый от него одно-
мерный стандартный винеровский процесс. Процесс, который описывает отраже-
ние процесса W (t) от процесса Z(t), есть процесс
Y (t) = −W (t) + β3(t)√
2
, β3(0) = 0.
Из теоремы 2 и следствия 3 вытекает следующее утверждение.
Следствие 4. Для ϕ ∈ Φ при n→∞ множество предельных точек последо-
вательностей
{
− Y (tn)
ϕ(n)
√
n
√
2
}
и
{
− Y (t/n)
ϕ(n)
√
2n
}
, t ∈ [0, 1], с вероятностью единица
есть {
f(t) + |g(t)| : (f(t), g1(t), g2(t), g3(t)) ∈ KR(4)
}
.
В частности, с вероятностью единица
lim sup
n→∞
Y (n)
ϕ(n)
√
n
=
R√
2
, lim inf
n→∞
Y (n)
ϕ(n)
√
n
= −R,
lim sup
n→∞
Y (1/n)
ϕ(n)
√
n =
R√
2
, lim inf
n→∞
Y (1/n)
ϕ(n)
√
n = −R.
Исследуем теперь приращения бесселевских процессов.
Теорема 3. Для ϕ ∈ Φ при фиксированном t ≥ 0 и n → ∞ множество пре-
дельных точек последовательности{
βα(t+ v
n)− βα(t)
ϕ(n)
√
n
}
,
как функции v ∈ [0, 1] с вероятностью единица совпадает с KR(1).
Доказательство. Из (1) для v > 0 имеем
βα(t+ v/n)− βα(t)
ϕ(n)
√
n =
α− 1
2
1
ϕ(n)
√
n
n
∫ t+v/n
t
1
βα(s)
ds+
+
w(t+ v/n)− w(t)
ϕ(n)
√
n.
(4)
27
Д. С. Будков, С. Я. Махно
Для первого слагаемого в равенстве справа имеем
sup
v∈[0,1]
n
∫ t+v/n
t
1
βα(s)
ds ≤ n
∫ t+1/n
t
1
βα(s)
ds
Поэтому
lim
n→∞
sup
v∈[0,1]
n
∫ t+v/n
t
1
βα(s)
ds ≤ 1
βα(t)
.
Следовательно, равномерно по v ∈ [0, 1] предел первого слагаемого в (4) с вероят-
ностью единица равен нулю.
При фиксированном t процесс w̃(v) = w(t + v) − w(t) является винеровским
и множество предельных точек второго слагаемого в (4) совпадает с KR(1) [3,
теорема 2].
Теорема доказана. �
Следствие 5. Для ϕ ∈ Φ
P
{
lim sup
δ↓0
|βα(t+ δ)− βα(t)|
ϕ(1/δ)
√
δ
= R
}
= 1.
Для функции ϕ(n) =
√
2 ln lnn ( тогда R = 1) это есть известный результат о
гельдеровисти траекторий бесселевских процессов [6, параграф 2.7 ].
Следствие 6. Пусть F (·) - непрерывный на C([0, 1];E1) функционал. Тогда
при фиксированном t > 0 множество предельных точек для
F
(
βα(t+ (·)/n)− βα(t)
ϕ(n)
√
n
)
есть F (KR(1)) с вероятностью единица. В частности, множество предельных
точек последовательности{ √
n
ϕ(n)
∫ 1
0
[
βα(t+ v/n)− βα(t)
]
dv
}
с вероятностью единица есть HR(1).
Для доказательства второй части следствия 3 нужно выбрать функционал
F (f(·)) =
∫ 1
0 f(v)dv.
Следствие 7. При t ≥ 0 с вероятностью единица
lim
n→∞
√
n
ϕ(n)
∫ 1
0
[
βα(t+ v/n)− βα(t)
]
dv =
R√
3
,
lim
n→∞
√
n
ϕ(n)
∫ 1
0
[
βα(t+ v/n)− βα(t)
]
dv = − R√
3
.
28
Функциональный закон повторного логарифма для процессов Бесселя и функционалов от них
Доказательство. Для f ∈ KR(1)(∫ 1
0
f(v)dv
)2
=
(∫ 1
0
∫ t
0
ḟ(v)dvdt
)2
=
(∫ 1
0
(1− v)ḟ(v)dv
)2
≤
≤
∫ 1
0
(1− v)2dv
∫ 1
0
(ḟ(v))2dv =
1
3
∫ 1
0
(ḟ(v))2dv ≤ R2
3
.
Т.о.
− R√
3
≤
∫ 1
0
f(v)dv ≤ R√
3
.
Верхняя граница равенства достигается на функции f1(v) = R
√
3
(
v− v2
2
)
, а ниж-
няя – на функции f2(v) = −f1(v).
Следствие доказано. �
Теорема 4. Пусть ϕ ∈ Φ и число α ≥ 2 целое. При фиксированном t ≥ 0 и
n→∞ множество предельных точек последовательности{
β2α(t+ v
n)− β2α(t)
ϕ(n)
√
n
}
как функции v ∈ [0, 1] с вероятностью единица имеет вид{
2βα(t)f(v), f ∈ KR(1)
}
.
Доказательство. Имеем,
β2α(t+ v
n)− β2α(t)
ϕ(n)
√
n =
[
βα(t+
v
n
)− βα(t)
]2 √n
ϕ(n)
+
+ 2βα(t)
βα(t+ v
n)− βα(t)
ϕ(n)
√
n.
Множество предельных точек второго слагаемого правой части этого равенства
согласно теореме 3 совпадает совпадает с множеством, указанным в формулировке
теоремы. Докажем теперь, что с вероятностью единица
lim
n→∞
sup
v∈[0,1]
[
βα(t+ v
n)− βα(t)
]2
ϕ(n)
√
n = 0. (5)
Пусть ε > 0. Обозначим
Ak =
{
sup
n≥2k
sup
v∈[0,1]
[
βα(t+ v
n)− βα(t)
]2
ϕ(n)
√
n > ε
}
.
29
Д. С. Будков, С. Я. Махно
Покажем, что вероятность того, что происходит бесконечное число событие Ak,
равно нулю. Имеем,
P{Ak} ≤
∞∑
m=k
P
{
ε ≤ sup
2m≤n≤2m+1
sup
v∈[0,1]
[
βα(t+
v
n
)− βα(t)
]2 √n
ϕ(n)
}
. (6)
Далее,
P
{
ε ≤ sup
2m≤n≤2m+1
sup
v∈[0,1]
[
βα(t+
v
n
)− βα(t)
]2 √n
ϕ(n)
}
≤
≤ P
{
εϕ(2m)√
2m+1
≤ sup
2m≤n≤2m+1
sup
v∈[0,1]
[
βα(t+
v
n
)− βα(t)
]2}
≤
≤ P
{
εϕ(2m)√
2m+1
≤ sup
v∈[0,2−m]
[
βα(t+ v)− βα(t)
]2}
≤ 2m+1
ε2ϕ2(2m)
×
× E sup
v∈[0,2−m]
[
βα(t+ v)− βα(t)
]4
.
Используем представление процесса βα(t) из теоремы 1 и заменим βα(t) на
|a+B(t)|. Тогда∣∣∣∣βα(t+ v)− βα(t)
∣∣∣∣ d= ∣∣∣∣|a+B(t+ v)| − |a+B(t)|
∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣B(t+ v)−B(t)
∣∣∣∣.
Т.к. при фиксированном t процесс B(t+ v)−B(t) является мартингалом с харак-
теристикой v, то применяя неравенство Бурхольдера–Ганди, получим с некоторой
постоянной C
E sup
v∈[0,2−m]
[
βα(t+ v)− βα(t)
]4
≤ E sup
v∈[0,2−m]
∣∣∣∣B(t+ v)−B(t)
∣∣∣∣4 ≤ C
22m
.
Следовательно,
P
{
ε ≤ sup
2m≤n≤2m+1
sup
v∈[0,1]
[
βα(t+
v
n
)− βα(t)
]2 √n
ϕ(n)
}
≤ 2C
ϕ(2)ε2
1
2m
.
Из (6) P (Ak) ≤ 2C
ϕ(2)ε2
1
2k−1 и
∑∞
k=1 P (Ak) < ∞. По лемме Бореля–Кантелли для
каждого ε > 0 и для почти всех ω найдется номер N(ε, ω) такой, что для всех
n > N
sup
v∈[0,1]
[
βα(t+ v
n)− βα(t)
]2
ϕ(n)
√
n < ε.
Равенство (5) установлено.
Теорема доказана. �
30
Функциональный закон повторного логарифма для процессов Бесселя и функционалов от них
В следующей теореме не предполагается, что α число целое.
Теорема 5. Пусть α ≥ 2, ϕ ∈ Φ и limn→0
ϕ(n)√
n
= 0. Тогда справедливо утвер-
ждение теоремы 4.
Доказательство. Так как
β2α(t+ v
n)− β2α(t)
ϕ(n)
√
n =
[
βα(t+ v
n)− βα(t)
ϕ(n)
√
n
]2ϕ(n)√
n
+
+ 2βα(t)
βα(t+ v
n)− βα(t)
ϕ(n)
√
n,
то теорема следует из теоремы 4.
Теорема доказана. �
Аналогично следствиям 6 и 7 доказываются следующие утверждения.
Следствие 8. В условиях теорем 4, 5 множество предельных точек при фик-
сированном t ≥ 0 последовательности{ √
n
ϕ(n)
∫ 1
0
[
β2α(t+ v/n)− β2α(t)
]
dv
}
с вероятностью единица есть
{
2βα(t)
∫ 1
0 f(v)dv, f ∈ KR(1)
}
.
Следствие 9. В условиях теорем 4, 5 при t ≥ 0 с вероятностью единица
lim
n→∞
√
n
ϕ(n)
∫ 1
0
[
β2α(t+ v/n)− β2α(t)
]
dv = 2βα(t)
R√
3
,
lim
n→∞
√
n
ϕ(n)
∫ 1
0
[
β2α(t+ v/n)− β2α(t)
]
dv = −2βα(t)
R√
3
.
Результат [11, теорема 2.2] есть частный случай следствия 9 для классической
нормировки ϕ(n) =
√
2 ln lnn, т.к. R = 1.
Применим полученные результаты к исследованию локальных времен случай-
ных процессов. Пусть
ζ(t) = x+ w(t), x > 0, t ≥ 0.
Определим момент остановки τ = inf{t : ζ(t) = 0}. Пусть Lζ(t, y) – симметричное
локальное время процесса ζ(t) в момент времени t в точке y :
Lζ(t, y) = lim
δ↓0
∫ t
0
χ[y−δ,y+δ](ζ(s))ds.
Здесь χA(x) – индикатор множества A. Согласно теореме Рэя-Найта [10, VI.4,
теорема 4.7], [12, XI.3 теорема 2.2] при y ∈ [0, 1] случайные процессы Lζ(τ, y)
d
=
β22(y). Из теоремы 4 вытекает
31
Д. С. Будков, С. Я. Махно
Следствие 10. Для ϕ ∈ Φ, n → ∞ и v ∈ [0, 1] множество предельных
точек последовательности
{
Lζ(τ,v/n)−Lζ(τ,0)
ϕ(n)
√
n
}
с вероятностью единица есть{
2f(v)
√
Lζ(τ, 0), f ∈ KR(1)
}
. В частности, с вероятностью единица
lim sup
n→∞
Lζ(τ, 1/n)− Lζ(τ, 0)
ϕ(n)
√
n = 2R
√
Lζ(τ, 0),
lim inf
n→∞
Lζ(τ, 1/n)− Lζ(τ, 0)
ϕ(n)
√
n = −2R
√
Lζ(τ, 0).
Для классической нормировки корень квадратный из двойного логарифма от-
сюда следует известный закон повторного логарифма для локальных времен [6,
параграф 2.8].
Из следствий 8 и 9 получим
Следствие 11. Для ϕ ∈ Φ, n → ∞ множество предельных точек последова-
тельности { √
n
ϕ(n)
∫ 1
0
[
Lζ(τ, v/n)− Lζ(τ, 0)
]
dv
}
с вероятностью единица есть
{
2
√
Lζ(τ, 0)
∫ 1
0 f(v)dv, f ∈ KR(1)
}
. В частности,
с вероятностью единица
lim
n→∞
√
n
ϕ(n)
∫ 1
0
[
Lζ(τ, v/n)− Lζ(τ, 0)
]
dv = Lζ(τ, 0)
2R√
3
,
lim
n→∞
√
n
ϕ(n)
∫ 1
0
[
Lζ(τ, v/n)− Lζ(τ, 0)
]
dv = −Lζ(τ, 0)
2R√
3
.
1. Bardzy K., Nualart D. Brownian motion reflected Brownian motion // Annales de l’Institut Henri
Poincare – Probabilites et Statistiques. – 2000. – V. 36. – P. 509-545.
2. Бородин А.Н. Броуновское локальное время // Успехи матем. наук. – 1989. – T. 44, № 2. –
C. 7-48.
3. Budkov D.S., Makhno S.Ya. Functional iterated logarith law for wiener process // Theory of
Stochastic Processes. – 2007. – Vol. 13(29), № 3. – P. 23-28.
4. Булинский А.В. Новый вариантфункционального закона повторного логарифма // Теория
вероятностей и ее применение. – 1980. – T. 25, № 3. – C. 502-512.
5. Ватанабе С., Икеда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные про-
цессы. – М.: Наука, 1986.
6. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. – М.: Мир, 1968.
7. Fernholz E., Karatzas I. Relative arbitrage in volatility-stabilized markets // Annals of Finance.
– 2005. – Vol. 1. – P. 149-177.
8. Fontes L.R.G., Isopi M., Newman S.M., Ravishankar K. The Brownian web : characterization
and convergence // Annals of probability. – 2004. – Vol. 32. – P. 2857-2883.
9. German H., Yor M. Bessel processes, Asian options and pertuites // Mathematical Finance. –
1993. – Vol. 3, № 4. – P. 349-375.
32
Функциональный закон повторного логарифма для процессов Бесселя и функционалов от них
10. Karatzas I., Shreve S. Brownian motion and stochastic calkulus . – New-York inc, Springer-Verlag,
1988.
11. Khoshnevisan D. Exat rates of convergence to Brownian local time // The Annals of Probability.
– 1994. – Vol. 22(3). – P. 1295-1330.
12. Revuz D., Yor M. Continous martingale and brownian motion. Berlin, Springer-Verlag, 1999.
13. Soucaliuc F., Toth B., Werner W. Reflection and coalescence between independent one dimensional
Brownian paths // Annales de l’Institut Henri Poincare – Probabilites et Statistiques. – 2000. –
Vol. 36. – P. 509-545.
14. Chen X., Li W. Limiting behaviors motion reflected on Brownian motion // Applications of
Analisys. – 2002. – Vol. 9, № 3. – P. 377-392.
D. S. Budkov, S. Ya. Makhno
Functional iterated logarithm low for Bessel processes and for functionals on them.
The function law of the iterated law for Bessel processes and functionals on them for small times and
large times are considered. The normalizing function is more general than classical function square
root of the double logarithm.
Keywords: Bessel process, functional on Bessel process, function law of the iterated law.
Д. С. Будков, С. Я. Махно
Функцiональний закон повторного логарифму для процесiв Бесселя та функцiоналiв
вiд них.
Доведенi теореми типу функцiонального закону повторного логарифму для процесiв Бєсселя та
функцiонвлiв вiд них при малих та великих промiжках часу. Нормующая функцiя є бiльш за-
гальною, нiж класична функция квадратний корень iз повторного логарифму.
Ключовi слова: процес Бєсселя, функцiонал вiд процесу Бєсселя, функцiональний закон по-
вторного логарифму.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Славянск
smakhno@gmail.com
Получено 30.11.15
33
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-140835 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:43:43Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Будков, Д.С. Махно, С.Я. 2018-07-17T07:15:07Z 2018-07-17T07:15:07Z 2015 Функциональный закон повторного логарифма для процессов Бесселя и функционалов от них / Д.С. Будков, С.Я. Махно // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2015. — Т. 29. — С. 23-33. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140835 519.21 В статье установливаются теоремы типа функционального закона повторного логарифма для бесселевских процессов и функционалов от них при больших и малых временах. Нормирующия функция является более общей, чем классическая нормировка корень квадратный из двойного логарифма. Доведенi теореми типу функцiонального закону повторного логарифму для процесiв Бєсселя та функцiонвлiв вiд них при малих та великих промiжках часу. Нормующая функцiя є бiльш загальною, нiж класична функция квадратний корень iз повторного логарифму. The function law of the iterated law for Bessel processes and functionals on them for small times and large times are considered. The normalizing function is more general than classical function square root of the double logarithm. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Функциональный закон повторного логарифма для процессов Бесселя и функционалов от них Функцiональний закон повторного логарифму для процесiв Бесселя та функцiоналiв вiд них Functional iterated logarithm low for Bessel processes and for functionals on them Article published earlier |
| spellingShingle | Функциональный закон повторного логарифма для процессов Бесселя и функционалов от них Будков, Д.С. Махно, С.Я. |
| title | Функциональный закон повторного логарифма для процессов Бесселя и функционалов от них |
| title_alt | Функцiональний закон повторного логарифму для процесiв Бесселя та функцiоналiв вiд них Functional iterated logarithm low for Bessel processes and for functionals on them |
| title_full | Функциональный закон повторного логарифма для процессов Бесселя и функционалов от них |
| title_fullStr | Функциональный закон повторного логарифма для процессов Бесселя и функционалов от них |
| title_full_unstemmed | Функциональный закон повторного логарифма для процессов Бесселя и функционалов от них |
| title_short | Функциональный закон повторного логарифма для процессов Бесселя и функционалов от них |
| title_sort | функциональный закон повторного логарифма для процессов бесселя и функционалов от них |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140835 |
| work_keys_str_mv | AT budkovds funkcionalʹnyizakonpovtornogologarifmadlâprocessovbesselâifunkcionalovotnih AT mahnosâ funkcionalʹnyizakonpovtornogologarifmadlâprocessovbesselâifunkcionalovotnih AT budkovds funkcionalʹniizakonpovtornogologarifmudlâprocesivbesselâtafunkcionalivvidnih AT mahnosâ funkcionalʹniizakonpovtornogologarifmudlâprocesivbesselâtafunkcionalivvidnih AT budkovds functionaliteratedlogarithmlowforbesselprocessesandforfunctionalsonthem AT mahnosâ functionaliteratedlogarithmlowforbesselprocessesandforfunctionalsonthem |