О задачах Неймана и Пуанкаре для A-гармонических функций

Доказано существование неклассических решений задачи Неймана и задачи о косой производной для обобщений уравнения Лапласа в анизотропных неоднородных средах в почти гладких жордановых областях с произвольными граничными данными измеримыми относительно логарифмической ёмкости. Показано, что простран...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Труды Института прикладной математики и механики
Дата:	2015
Автор:	Ефимушкин, А.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2015
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140838
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О задачах Неймана и Пуанкаре для A-гармонических функций / А.С. Ефимушкин // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2015. — Т. 29. — С. 59-68. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-140838
record_format	dspace
spelling	Ефимушкин, А.С. 2018-07-17T07:20:20Z 2018-07-17T07:20:20Z 2015 О задачах Неймана и Пуанкаре для A-гармонических функций / А.С. Ефимушкин // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2015. — Т. 29. — С. 59-68. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140838 517.5 Доказано существование неклассических решений задачи Неймана и задачи о косой производной для обобщений уравнения Лапласа в анизотропных неоднородных средах в почти гладких жордановых областях с произвольными граничными данными измеримыми относительно логарифмической ёмкости. Показано, что пространства таких решений всегда имеют бесконечную размерность. Доведено iснування некласичних розв язкiв задачi Неймана та задачi про похилу похiдну для узагальнень рiвняння Лапласа в анiзотропних неоднорiдних середовинах в майже гладких жорданових областях iз довiльними граничиними даними, що є вимiрюваними вiдносно логарифмiчної ємностi. Показано що простори таких розв язкiв завжди мають нескiнчену розмiрнiсть. It is proved the existence of nonclassical solutions of the Neumann and Poincare problems for generalizations of the Laplace equation in anisotropic and nonhomogeneous media in almost smooth domains with arbitrary boundary data that are measureable with respect to logarithmic capacity. Moreover, it is shown that the spaces of these solutions have the infinite dimension. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики О задачах Неймана и Пуанкаре для A-гармонических функций Про задачi Неймана та Пуанкаре для A-гармонiчних функцiй On the Neumann and Poincare problems for A-harmonic functions Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	О задачах Неймана и Пуанкаре для A-гармонических функций
spellingShingle	О задачах Неймана и Пуанкаре для A-гармонических функций Ефимушкин, А.С.
title_short	О задачах Неймана и Пуанкаре для A-гармонических функций
title_full	О задачах Неймана и Пуанкаре для A-гармонических функций
title_fullStr	О задачах Неймана и Пуанкаре для A-гармонических функций
title_full_unstemmed	О задачах Неймана и Пуанкаре для A-гармонических функций
title_sort	о задачах неймана и пуанкаре для a-гармонических функций
author	Ефимушкин, А.С.
author_facet	Ефимушкин, А.С.
publishDate	2015
language	Russian
container_title	Труды Института прикладной математики и механики
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
format	Article
title_alt	Про задачi Неймана та Пуанкаре для A-гармонiчних функцiй On the Neumann and Poincare problems for A-harmonic functions
description	Доказано существование неклассических решений задачи Неймана и задачи о косой производной для обобщений уравнения Лапласа в анизотропных неоднородных средах в почти гладких жордановых областях с произвольными граничными данными измеримыми относительно логарифмической ёмкости. Показано, что пространства таких решений всегда имеют бесконечную размерность. Доведено iснування некласичних розв язкiв задачi Неймана та задачi про похилу похiдну для узагальнень рiвняння Лапласа в анiзотропних неоднорiдних середовинах в майже гладких жорданових областях iз довiльними граничиними даними, що є вимiрюваними вiдносно логарифмiчної ємностi. Показано що простори таких розв язкiв завжди мають нескiнчену розмiрнiсть. It is proved the existence of nonclassical solutions of the Neumann and Poincare problems for generalizations of the Laplace equation in anisotropic and nonhomogeneous media in almost smooth domains with arbitrary boundary data that are measureable with respect to logarithmic capacity. Moreover, it is shown that the spaces of these solutions have the infinite dimension.
issn	1683-4720
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140838
citation_txt	О задачах Неймана и Пуанкаре для A-гармонических функций / А.С. Ефимушкин // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2015. — Т. 29. — С. 59-68. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT efimuškinas ozadačahneimanaipuankaredlâagarmoničeskihfunkcii AT efimuškinas prozadačineimanatapuankaredlâagarmoničnihfunkcii AT efimuškinas ontheneumannandpoincareproblemsforaharmonicfunctions
first_indexed	2025-11-25T21:04:08Z
last_indexed	2025-11-25T21:04:08Z
_version_	1850545782468378624
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2015. Том 29 УДК 517.5 c©2015. А. С. Ефимушкин О ЗАДАЧАХ НЕЙМАНА И ПУАНКАРЕ ДЛЯ A-ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Доказано существование неклассических решений задачи Неймана и задачи о косой производ- ной для обобщений уравнения Лапласа в анизотропных неоднородных средах в почти гладких жордановых областях с произвольными граничными данными измеримыми относительно лога- рифмической ёмкости. Показано, что пространства таких решений всегда имеют бесконечную размерность. Ключевые слова: задача Неймана, задача о косой производной, задача Пуанкаре, A-гармони- ческие функции, логарифмическая ёмкость, анизотропные неоднородные среды 1. Введение. Классические граничные задачи в теории гармонических и аналитических функ- ций и их обобщений, такие как задачи Дирихле, Римана, Гильберта, Неймана и Пу- анкаре, играют важную роль в современном анализе и его приложениях ко многим задачам математической физики, см., например, [1]–[6]. В этой статье мы продол- жаем развитие теории указанных граничных задач для гармонических функций и их обобщений в жордановых областях с измеримыми граничными данными. Хорошо известно, что задача Неймана для уравнения Лапласа не имеет клас- сических решений, вообще говоря даже для некоторых непрерывных граничных данных, см., например, [7]. Основная цель данной статьи – показать, что зада- ча Неймана имеет неклассические решения при произвольных граничных данных измеримых относительно логарифмической емкости как для уравнения Лапласа, так и его обобщений. Результат основывается на ее редукции к соответствующей задаче Римана-Гильберта, решения которой были недавно получены в [3]. Прежде всего, напомним более общую задачу о косой производной для гармо- нических функций в единичном круге D = {z ∈ C : \|z\| < 1}, z = x+ iy. В класси- ческой постановке этой задачи ставится вопрос о нахождении функции u : D→ R, которая является дважды непрерывно дифференцируемой и допускает непрерыв- ное продолжение на границу D вместе со своими частными производными первого порядка, удовлетворяет уравнению Лапласа ∆u := ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 = 0 ∀z ∈ D и граничному условию с предписанной непрерывной функцией ϕ : ∂D→ R: ∂u ∂ν (ζ) = ϕ(ζ) ∀ζ ∈ ∂D 59 А. С. Ефимушкин где ∂u ∂ν (ζ) обозначает производную по направлению ν = ν(ζ) функции u в точке ζ, \|ν(ζ)\| ≡ 1: ∂u ∂ν (ζ) := lim t→0 u(ζ + t · ν)− u(ζ) t . Задача Неймана является специальным случаем указанной задачи о косой про- изводной с граничным условием ∂u ∂n (ζ) = ϕ(ζ) ∀ζ ∈ ∂D где n = n(ζ) обозначает единичную внутреннюю нормаль к ∂D в точке ζ. В свою очередь, задача о косой производной является частным случаем задачи Пуанкаре с граничным условием a(ζ) · u(ζ) + b(ζ) · ∂u ∂ν (ζ) = ϕ(ζ) ∀ζ ∈ ∂D где a и b – вещественнозначные функции, заданные на ∂D. Напомним также, что дважды непрерывно дифференцируемое решение урав- нения Лапласа называется гармонической функцией. Как известно, такие функции являются бесконечно дифференцируемыми, а также они являются действительной и мнимой частями аналитических функций. 2. Определения и предварительные замечания. Дифференциальные уравнения в частных производных в дивергентной форме играют важную роль во многих задачах математической физики, в частности, в анизотропных неоднородных средах. Эти уравнения тесно связаны с уравнением Бельтрами, см., например, [1]. Пусть D – область в комплексной плоскости C и µ : D → C – измеримая функ- ция с \|µ(z)\| < 1 п.в. Уравнением Бельтрами в D с коэффициентом µ называется уравнение вида fz̄ = µ(z) · fz (1) где fz̄ = ∂f = (fx+ ify)/2, fz = ∂f = (fx− ify)/2, z = x+ iy, fx и fy – частные про- изводные функции f : D → C по x и y, соответственно. Уравнение (1) называется невырожденным, если \|\|µ\|\|∞ < 1. Если f – решение невырожденного уравнения Бельтрами (1) класса W 1,1 loc , то u := Ref – A-гармоническая функция, т.е. непрерывное обобщенное решение ди- вергентного уравнения divA(z)∇u = 0, (2) где A(z) – матричная функция: A = ( \|1−µ\|2 1−\|µ\|2 −2Imµ 1−\|µ\|2 −2Imµ 1−\|µ\|2 \|1+µ\|2 1−\|µ\|2 ) . (3) 60 О задачах Неймана и Пуанкаре для A-гармонических функций Другими словами u ∈ C ∩W 1,1 и∫ D 〈A(z)∇u,∇ϕ〉 = 0 ∀ϕ ∈ C∞0 (D) . Как это видно из (3), матрица A(z) является симметричной, detA = 1, и ее элементы aij = aij(z) мажорируются величиной Kµ(z) := 1 + \|µ(z)\| 1− \|µ(z)\| , т.е. они ограничены, если уравнение Бельтрами (1) является невырожденным. Обратно, равномерно эллиптическому уравнению (2) с симметрическими мат- рицами A(z) и detA(z) ≡ 1 соответствует невырожденное уравнение Бельтрами (1) с коэффициентом µ = 1 det (I +A) (a22 − a11 − 2ia21) = a22 − a11 − 2ia21 1 + TrA + detA , (4) где I обозначает единичную 2× 2 матрицу TrA = a22 + a11, см., например, теоре- му 16.1.6 в [1]. Следуя [2], называем такие матричные функции A(z) функциями класса B. Напомним, что уравнение (2) называется равномерно эллиптическим, если aij ∈ L∞ и 〈A(z)η, η〉 ≥ ε\|η\|2 для некоторого ε > 0 и всех η ∈ R2. Наконец, напомним, что гомеоморфные решения класса W 1,1 loc невырожденных уравнений Бельтрами (1) называются квазиконформными отображениями, см., например, [8] и [9]. Квазидисками именуются образы единичного круга D = {z ∈ C : \|z\| < 1} при квазиконформных отображениях C на себя, а их границы – ква- зиокружностями или квазиконформными кривыми. Напомним, что жордановой кривой называется взаимнооднозначный непрерывный образ окружности в C. Из- вестно, что любая гладкая (или липшицева) жорданова кривая является квази- конформной кривой, см., например, пункт II.8.10 в [9]. 3. Еще раз о Неймане и Пуанкаре для гармонических функций. Начнем с единичного круга, поскольку в этом случае доказательства являются гораздо более прямыми и прозрачными. Теорема 1. Пусть функция ν : ∂D → C, \|ν(ζ)\| ≡ 1, – ограниченной вариа- ции, а функция ϕ : ∂D → R измерима относительно логарифмической ёмкости. Тогда существует гармоническая функция u : D → R такая, что вдоль любых некасательных путей lim z→ζ ∂u ∂ν = ϕ(ζ) (5) для п.в. ζ ∈ ∂D относительно логарифмической ёмкости. 61 А. С. Ефимушкин Доказательство. Действительно, по предложению 6.1 в [3] существует анали- тическая функция f : D → C такая, что вдоль любых некасательных путей lim z→ζ Re ν(ζ) · f(z) = lim z→ζ Re ν(ζ) · f(z) = ϕ(z) (6) для п.в. ζ ∈ ∂D относительно логарифмической ёмкости. Тогда неопределенный интеграл F функции f в D также является аналитической функцией, и гармо- нические функции u = ReF и v = ImF удовлетворяют системе Коши-Римана vx = −uy и vy = ux. Следовательно, f = F ′ = Fx = ux + i · vx = ux − i · uy = ∇u , где∇u = ux+i·uy - градиент функции u, записанный в комплексной форме. Таким образом, (5) следует из (6), т.е. u – искомая гармоническая функция, поскольку производная по направлению ∂u ∂ν равна проекции градиента ∇u на направление ν, т.е. ∂u ∂ν = Re ν · ∇u = Re ν · ∇u = 〈ν,∇u〉 где в последнем равенстве ν и ∇u уже интерпретируются как векторы в R2 и, как и выше, 〈a, b〉 обозначает скалярное произведение векторов a и b в R2. � Замечание 1. Мы можем сказать больше в случае, когда Re n · ν > 0, где n = n(ζ) – единичная внутренняя нормаль в точке ζ ∈ ∂D к границе. В силу условия (4), поскольку предел ϕ(ζ) конечен, существует конечный предел u(ζ) функции u(z) при z → ζ в D вдоль прямой, проходящей через точку ζ и параллельной вектору ν(ζ), т.к. вдоль этой прямой, для точек z и z0 достаточно близких к ζ, u(z) = u(z0)− 1∫ 0 ∂u ∂ν (z0 + τ(z − z0)) dτ. Таким образом, в каждой точке ζ ∈ ∂D с условием (4), существует производная ∂u ∂ν (ζ) := lim t→0 u(ζ + t · ν)− u(ζ) t = ϕ(ζ). В частности, на основе теоремы 1 и замечания 1, получаем следующий резуль- тат для задачи Неймана. Теорема 2. Пусть функция ϕ : ∂D→ R измерима относительно логарифми- ческой ёмкости. Тогда найдется гармоническая функция u : D → C такая, что для п.в. ζ ∈ ∂D относительно логарифмической емкости существует: 1. конечный радиальный предел u(ζ) := lim r→1 u(rζ) 62 О задачах Неймана и Пуанкаре для A-гармонических функций 2. нормальная производная ∂u ∂n (ζ) := lim t→0 u(ζ + t · n)− u(ζ) t = ϕ(ζ) 3. некасательный предел lim z→ζ ∂u ∂n (z) = ∂u ∂n (ζ) . Доказательство аналогичных результатов для случая произвольных гладких жордановых областей, хотя и является достаточно простым, однако, требует бо- лее изощренных рассуждений и привлечения целого ряда глубоких результатов геометрической теории функций. Напомним, что жорданова область называется липшицевой, если ее граница является билипшицевым образом окружности. Понятно, что такая кривая спрям- ляема, а спрямляемые кривые имеют касательные почти во всех точках относи- тельно меры длины. Будем говорить, что жорданова область является почти глад- кой, если она липшицева и имеет касательную почти во всех точках относительно логарифмической емкости. Теорема 3. Пусть D – почти гладкая жорданова область в C, ν : ∂D → C, \|ν(ζ)\| ≡ 1, – функция ограниченной вариации и ϕ : ∂D → R – функция, измери- мая относительно логарифмической ёмкости. Тогда существует гармоническая функция u : D → R такая, что вдоль любых некасательных путей lim z→ζ ∂u ∂ν = ϕ(ζ) (7) для п.в. ζ ∈ ∂D относительно логарифмической ёмкости. Доказательство. Случай гладких жордановых областейD редуцируется к слу- чаю единичного круга D следующим образом. Во-1-х, по теореме Римана найдется конформное отображение ω области D на D, см., например, теорему II.2.1 в [10]. Далее, по тереме Каратеодори ω продолжается до гомеоморфизма D на D, см. например, теорему II.C.1 в [11]. Как уже отмечалось в секции 2, границы липшицевых областей являются ква- зиконформными кривыми. Таким образом, по принципу отражения для квази- конформных отображений, привлекая конформное отражение (инверсию) относи- тельно единичной окружности ∂D в образе и квазиконформное отражение отно- сительно ∂D в прообразе, можно продолжить ω до квазиконформного отображе- ния Ω : C → C, см., например, I.8.4, II.8.2 и II.8.3 в [9]. При этом очевидно, что N := ν ◦ Ω−1\|∂D является функцией ограниченной вариации, VN (∂D) = Vν(∂D). Логарифмическая ёмкость множества совпадает с его трансфинитным диамет- ром, см., например, [12] или пункт 110 в [13]. Кроме того, квазиконформные отоб- ражения являются непрерывными по Гёльдеру на компактах, см., например, тео- рему II.4.3 в [9]. Таким образом, при отображениях Ω и Ω−1 множества логариф- мической ёмкости нуль на ∂D переходят в множества логарифмической ёмкости нуль на ∂D и обратно. 63 А. С. Ефимушкин Поэтому функция Φ := ϕ ◦Ω−1\|∂D является измеримой относительно логариф- мической ёмкости. Действительно, при указанных отображениях любые множе- ства, измеримые относительно логарифмической ёмкости, переходят в множества, измеримые относительно логарифмической ёмкости, поскольку любое такое мно- жество представимо в виде объединения сигма-компакта и множества логариф- мической ёмкости нуль, а компакты при непрерывных отображениях переходят в компакты и являются измеримыми множествами относительно логарифмической ёмкости. Теперь, по теореме Линделёфа arg [ω(ζ) − ω(z)] − arg [ζ − z] → const при z → ζ для любой точки ζ ∈ ∂D, в которой ∂D имеет касательную, см. например, теорему II.C.2 в [11]. Таким образом, некасательные пути в D к точке ζ ∈ ∂D при отображении ω преобразуются в некасательные пути в D к точке ξ = ω(ζ) ∈ ∂D для п.в. ζ ∈ ∂D относительно логарифмической емкости. И обратно, при отображении ω−1 некасательные пути в D к точке ξ ∈ ∂D преобразуются в некасательные пути в D к точке ζ = ω−1(ξ) ∈ ∂D для п.в. ξ ∈ ∂D относительно логарифмической емкости. По теореме 1 найдется гармоническая функция U : D → R такая, что вдоль любых некасательных путей lim w→ξ ∂U ∂N (w) = Φ(ξ) (8) для п.в. ξ ∈ ∂D относительно логарифмической ёмкости. Далее, в односвязной области D найдется гармоническая функция V : D → R такая, что g := U + i · V является (однозначной) аналитической функцией в D. Пусть F - неопределенный интеграл аналитической функции g′ · (ω−1)′ в D и пусть f := F ◦ ω. Тогда F и f также являются (однозначными) аналитическими функциями в D и D, соответственно, и элементарные вычисления показывают, что f ′ = F ′ ◦ ω · ω′ = F ′ ◦ ω · (ω′ ◦ ω−1) ◦ ω = [F ′/(ω−1)′] ◦ ω = g′ ◦ ω . Таким образом, ∂f ∂ν = ν · f ′ = ν · g′ ◦ ω = ∂g ∂N ◦ ω , где ν = ν(ζ), ζ ∈ ∂D, и N = N (ξ), ξ = ω(ζ) ∈ ∂D. Следовательно, для u := Re f мы имеем равенство ∂u ∂ν = ∂U ∂N ◦ ω и поэтому u является искомой гармонической функцией. � Из теоремы 3, рассуждая как в замечании 1, получаем следующий результат для задачи Неймана. Теорема 4. Пусть D – почти гладкая жорданова область в C и функция ϕ : ∂D → R измерима относительно логарифмической ёмкости. Тогда найдется гармоническая функция u : D → C такая, что для п.в. ζ ∈ ∂D относительно логарифмической емкости существует: 64 О задачах Неймана и Пуанкаре для A-гармонических функций 1. конечный предел по нормали u(ζ) := lim z→ζ u(z) 2. нормальная производная ∂u ∂n (ζ) := lim t→0 u(ζ + t · n) − u(ζ) t = ϕ(ζ) 3. некасательный предел lim z→ζ ∂u ∂n (z) = ∂u ∂n (ζ) . 4. О задачах Неймана и Пуанкаре для A-гармонических функций. Теорема 5. Пусть D – почти гладкая жорданова область в C, A(z), z ∈ D, – матричная функция класса B ∩ Cα, α ∈ (0, 1), ν : ∂D → C, \|ν(ζ)\| ≡ 1, – функция ограниченной вариации и ϕ : ∂D → R – функция, измеримая относительно лога- рифмической ёмкости. Тогда существует A-гармоническая функция u : D → R класса C1+α такая, что вдоль любых некасательных путей lim z→ζ ∂u ∂ν = ϕ(ζ) (9) для п.в. ζ ∈ ∂D относительно логарифмической ёмкости. Доказательство. Согласно замечаний секции 2, искомая функция u должна являться вещественной частью решения f класса W 1,1 loc соответствующего уравне- ния Бельтрами с µ ∈ Cα, см. теорему 16.1.6 в [1]. По лемме 1 в [2] функция µ продолжима до функции µ∗ : C→ C класса Cα. Заметим поэтому, что для любого k∗ ∈ (k, 1) найдется окрестность U замыкания области D такая, что \|µ(z)\| < k∗. Пусть D∗ – компонента связности U , содержащая D. Тогда существует квазиконформное отображение h : D∗ → C, удовлетворяю- щее уравнению (1) с комплексным коэффициентом µ∗ = µ∗\|D∗ в D∗, см., например, теорему V.B.3 в [2]. При этом, отображение h имеет непрерывные по Гёльдеру пер- вые частные производные в D∗ с тем же показателем α, что и µ, см., например, [14] и [15]. Кроме того, отображение h регулярно, т.е. его якобиан Jh(z) 6= 0 ∀ z ∈ D∗ , (10) см., например, теорему V.7.1 в [9]. Таким образом, производная по направлению hω(z) = ∂h ∂ω (z) := lim t→0 h(z + t · ω) − h(z) t 6= 0 ∀ z ∈ D∗ ∀ ω ∈ ∂D 65 А. С. Ефимушкин и является непрерывной по совокупности переменных ω ∈ ∂D и z ∈ D∗, т.е. тем более удовлетворяет условиям Каратеодори. Поэтому функции ν∗(ζ) := \|hν(ζ)(ζ)\| hν(ζ)(ζ) и ϕ∗(ζ) := ϕ(ζ) \|hν(ζ)(ζ)\| измеримы относительно логарифмической ёмкости, ср., например, 17.1 в [19]. Логарифмическая ёмкость множества совпадает с его трансфинитным диамет- ром, см., например, [12] или пункт 110 в [13]. Кроме того, квазиконформные отоб- ражения являются непрерывными по Гёльдеру на компактах, см., например, тео- рему II.4.3 в [9]. Таким образом, при отображениях h и h−1 множества логариф- мической ёмкости нуль на ∂D переходят в множества логарифмической ёмкости нуль на ∂D∗, где D∗ := h(D), и обратно. Тогда функции N := ν∗ ◦h−1\|∂D∗ и Φ := ϕ∗ ◦h−1\|∂D∗ являются измеримыми от- носительно логарифмической ёмкости. Действительно, при отображениях h и h−1 любые множества, измеримые относительно логарифмической ёмкости переходят в множества, измеримые относительно логарифмической ёмкости, поскольку лю- бое такое множество представимо в виде объединения сигма-компакта и множе- ства логарифмической ёмкости нуль, а компакты при непрерывных отображениях переходят в компакты и, при этом, являются измеримыми относительно логариф- мической ёмкости. Напомним, что при квазиконформных отображенияз h и h−1 искажение углов ограничено, см., например, [16]–[18], и потому некасательные пути к ∂D перехо- дят в некасательные пути к ∂D∗ для п.в. ζ ∈ ∂D относительно логарифмической емкости, и обратно, некасательные пути к ∂D∗ переходят в некасательные пути к ∂D для п.в. ξ ∈ ∂D∗ относительно логарифмической емкости. По теореме 3 найдется гармоническая функция U : D∗ → R такая, что вдоль любых некасательных путей lim w→ξ ∂U ∂N (w) = Φ(ξ) (11) для п.в. ξ ∈ ∂D∗ относительно логарифмической ёмкости. В односвязной области D∗ найдется гармоническая функция V такая, что F = U + iV является аналитической функцией и, следовательно, u := Re f = U ◦h, где f := F ◦ h, является искомой A−гармонической функцией, поскольку f является регулярным решением соответствующего уравнения Бельтрами (1) и, кроме того, uν = 〈 ∇U◦h , hν 〉 = 〈 ν∗ ·∇U◦h , ν∗ · hν 〉 = 〈 ∂U ∂N ◦h , ν∗ · hν 〉 = ∂U ∂N ◦h · Re (ν∗hν), т.е. условие (9) выполнено для п.в. ζ ∈ ∂D относительно логарифмической ёмкости вдоль любых некасательных путей. � Следующий результат, касательно задачи Неймана дляA-гармонических функ- ций, является специальным случаем теоремы 5. 66 О задачах Неймана и Пуанкаре для A-гармонических функций Теорема 6. Пусть D – почти гладкая жорданова область в C, для которой единичная внутренняя нормаль n = n(ζ) к ∂D имеет ограниченную вариацию, A(z), z ∈ D, – матричная функция класса B ∩ Cα, α ∈ (0, 1), и ϕ : ∂D → R – функция, измеримая относительно логарифмической ёмкости. Тогда существу- ет A-гармоническая функция u : D → R класса C1+α такая, что для п.в. ζ ∈ ∂D относительно логарифмической емкости существует: 1. конечный предел по нормали u(ζ) := lim z→ζ u(z) 2. нормальная производная ∂u ∂n (ζ) := lim t→0 u(ζ + t · n) − u(ζ) t = ϕ(ζ) 3. некасательный предел lim z→ζ ∂u ∂n (z) = ∂u ∂n (ζ) . В частности, в единичном круге D единичная внутренняя нормаль n = n(ζ) к ∂D имеет ограниченную вариацию и заключения 1–3 теоремы 6 имеют место. 5. О размерности пространства решений. Теорема 7. В теоремах 1–6 все пространства решений имеют бесконечную размерность. Доказательство. Ввиду эквивалентности задачи о косой производной и соот- ветствующей задачи Римана–Гильберта, установленной в теореме 1, заключение теоремы 7 следует из работы [5]. � 1. Astala K., Iwaniec T., Martin G. Elliptic partial differential equations and quasiconformal mappings in the plane // Princeton Math. Ser. – 48. – Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2009. 2. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Yefimushkin A. On the boundary value problems for quasiconformal functions in the plane // Укр. мат. вестник. – 2015. – T. 12, №3. – С. 363-389. 3. Ефимушкин А.С., Рязанов В.И. О задаче Римана–Гильберта для уравнений Бельтрами в квазидисках // Укр. мат. вестник. – 2015. – T. 12, №2. – С.190-209. 4. Ryazanov V. On the Riemann-Hilbert Problem without Index // Ann. Univ. Bucharest, Ser. Math. – 2014. – V. 5 (LXIII), no. 1. – P. 169-178. 5. Ryazanov V. Infinite dimension of solutions of the Dirichlet problem // Open Math. (the former Central European J. Math.). – 2015. – V. 13, no. 1. – P. 348-350. 6. Ryazanov V. On Neumann and Poincare problems for Laplace equation // arXiv.org: 1510.00733v5 [math.CV] 26 Oct 2015, 1–5. 7. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. – М.:Высшая школа, 1977. 8. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. – М.: Мир, 1969. 9. Lehto O., Virtanen K.J. Quasiconformal mappings in the plane. – Berlin, Heidelberg: Springer- Verlag, 1973. 10. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1966. 67 А. С. Ефимушкин 11. Кусис П. Введение в теорию пространств Hp. – М.: Мир, 1984. 12. Fékete M. Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten // Math. Z. – 1923. – V. 17. – P. 228-249. 13. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. - М.:ОГИЗ, 1941. 14. Iwaniec T. Regularity of solutions of certain degenerate elliptic systems of equations that realize quasiconformal mappings in n-dimensional space // Differential and integral equations. Boundary value problems. – Tbilisi: Tbilis. Gos. Univ., 1979. – P. 97-111. 15. Iwaniec T. Regularity theorems for solutions of partial differential equations for quasiconformal mappings in several dimensions // Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.) – 1982. – V. 198. – 45 p. 16. Agard S. Angles and quasiconformal mappings in space // J. Anal. Math. – 1969. – V. 22. – P. 177–200. 17. Agard S.B., Gehring F.W. Angles and quasiconformal mappings // Proc. London Math. Soc. (3) – 1965. – V. 14a. – P. 1-21. 18. Taari O. Charakterisierung der Quasikonformität mit Hilfe der Winkelverzerrung // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I. – 1966. – V. 390. – P. 1-43. 19. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. – М.: Наука, 1966. A. S. Yefimushkin On the Neumann and Poincare problems for A-harmonic functions.. It is proved the existence of nonclassical solutions of the Neumann and Poincare problems for generaliza- tions of the Laplace equation in anisotropic and nonhomogeneous media in almost smooth domains with arbitrary boundary data that are measureable with respect to logarithmic capacity. Moreover, it is shown that the spaces of these solutions have the infinite dimension. Keywords: Neumann problem, Poincare problem, A-harmonic functions, logarithmic capacity, aniso- tropic and nonhomogeneous media. А. С. Єфiмушкiн Про задачi Неймана та Пуанкаре для A-гармонiчних функцiй.. Доведено iснування некласичних розв’язкiв задачi Неймана та задачi про похилу похiдну для узагальнень рiвняння Лапласа в анiзотропних неоднорiдних середовинах в майже гладких жор- данових областях iз довiльними граничиними даними, що є вимiрюваними вiдносно логарифмiч- ної ємностi. Показано що простори таких розв’язкiв завжди мають нескiнчену розмiрнiсть. Ключовi слова: задача Неймана, задача Пуанкаре, A-гармонiчнi функцiї, логарифмiчна єм- нiсть, анiзотропнi неоднороднi середовища. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Славянск a.yefimushkin@gmail.com Получено 21.11.15 68

О задачах Неймана и Пуанкаре для A-гармонических функций

Репозитарії

Схожі ресурси