Устойчивость, неравномерная по запаздыванию, одной слаболинейной системы с последствием
Рассматривается система дифференциальных уравнений с асимптотически устойчивой диагональной частью и нелинейностью, представляющей сумму нелинейных функций одного аргумента, удовлетворяющих условиям Липшица. Система имеет положение равновесия в первом квадранте. Исследование устойчивости положения р...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Datum: | 2015 |
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140845 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Устойчивость, неравномерная по запаздыванию, одной слаболинейной системы с последствием / Д.Я. Хусаинов, Й. Диблик, Я. Баштинец, А.С. Сиренко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2015. — Т. 29. — С. 129-146. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-140845 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Хусаинов, Д.Я. Диблик, Й. Баштинец, Я. Сиренко, А.С. 2018-07-17T07:33:08Z 2018-07-17T07:33:08Z 2015 Устойчивость, неравномерная по запаздыванию, одной слаболинейной системы с последствием / Д.Я. Хусаинов, Й. Диблик, Я. Баштинец, А.С. Сиренко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2015. — Т. 29. — С. 129-146. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140845 517.929 Рассматривается система дифференциальных уравнений с асимптотически устойчивой диагональной частью и нелинейностью, представляющей сумму нелинейных функций одного аргумента, удовлетворяющих условиям Липшица. Система имеет положение равновесия в первом квадранте. Исследование устойчивости положения равновесия проводится с использованием метода функций Ляпунова. Функция Ляпунова строится в виде суммы квадратов фазовых переменных. Получены конструктивные условия устойчивости. Рассматриваются системы с запаздыванием. Получены достаточные условия устойчивости, зависящие от величины запаздывания. Розглядається система диференцiальних рiвнянь з асимптотично стiйкою дiагональною частиною та нелiнiйнiстю, що являє собою суму нелiнiйних функцiй одного аргументу, якi задовольняють умовам Лiпшиця. Система має стан рiвноваги в першому квадрантi. Дослiдження стiйкостi стану рiвноваги проводиться з використанням методу функцiй Ляпунова. Функцiя Ляпунова будується у виглядi суми квадратiв фазових змiнних. Отриманi конструктивнi умови стiйкостi. Розглядаються системи iз запiзненням. Отриманi достатнi умови стiйкостi, що залежать вiд величини запiзнення. We consider system of differential equations with asymptotically stable diagonal part and the nonlinearity, representing the sum of non-linear functions one of the variable, which satisfying Lipschitz conditions. The system has a position of equilibrium in the first quadrant. Studying of the stability of the equilibrium position is conducted with using the method of Lyapunov functions. The Lyapunov function is building as sum of the squares of the phase variables. We get constructive conditions of stability. We considering systems with delay. We obtain sufficient conditions of stability, which depends on the magnitude of the delay. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Устойчивость, неравномерная по запаздыванию, одной слаболинейной системы с последствием Стiйкiсть, нерiвномiрна за запiзненням, однiєї слабколiнiйної системи з пiслядiєю Stability, unevenly with delay, one of weak linear system with an aftereffect Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Устойчивость, неравномерная по запаздыванию, одной слаболинейной системы с последствием |
| spellingShingle |
Устойчивость, неравномерная по запаздыванию, одной слаболинейной системы с последствием Хусаинов, Д.Я. Диблик, Й. Баштинец, Я. Сиренко, А.С. |
| title_short |
Устойчивость, неравномерная по запаздыванию, одной слаболинейной системы с последствием |
| title_full |
Устойчивость, неравномерная по запаздыванию, одной слаболинейной системы с последствием |
| title_fullStr |
Устойчивость, неравномерная по запаздыванию, одной слаболинейной системы с последствием |
| title_full_unstemmed |
Устойчивость, неравномерная по запаздыванию, одной слаболинейной системы с последствием |
| title_sort |
устойчивость, неравномерная по запаздыванию, одной слаболинейной системы с последствием |
| author |
Хусаинов, Д.Я. Диблик, Й. Баштинец, Я. Сиренко, А.С. |
| author_facet |
Хусаинов, Д.Я. Диблик, Й. Баштинец, Я. Сиренко, А.С. |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Стiйкiсть, нерiвномiрна за запiзненням, однiєї слабколiнiйної системи з пiслядiєю Stability, unevenly with delay, one of weak linear system with an aftereffect |
| description |
Рассматривается система дифференциальных уравнений с асимптотически устойчивой диагональной частью и нелинейностью, представляющей сумму нелинейных функций одного аргумента, удовлетворяющих условиям Липшица. Система имеет положение равновесия в первом квадранте. Исследование устойчивости положения равновесия проводится с использованием метода функций Ляпунова. Функция Ляпунова строится в виде суммы квадратов фазовых переменных. Получены конструктивные условия устойчивости. Рассматриваются системы с запаздыванием. Получены достаточные условия устойчивости, зависящие от величины запаздывания.
Розглядається система диференцiальних рiвнянь з асимптотично стiйкою дiагональною частиною та нелiнiйнiстю, що являє собою суму нелiнiйних функцiй одного аргументу, якi задовольняють умовам Лiпшиця. Система має стан рiвноваги в першому квадрантi. Дослiдження стiйкостi стану рiвноваги проводиться з використанням методу функцiй Ляпунова. Функцiя Ляпунова будується у виглядi суми квадратiв фазових змiнних. Отриманi конструктивнi умови стiйкостi. Розглядаються системи iз запiзненням. Отриманi достатнi умови стiйкостi, що залежать вiд величини запiзнення.
We consider system of differential equations with asymptotically stable diagonal part and the nonlinearity, representing the sum of non-linear functions one of the variable, which satisfying Lipschitz conditions. The system has a position of equilibrium in the first quadrant. Studying of the stability of the equilibrium position is conducted with using the method of Lyapunov functions. The Lyapunov function is building as sum of the squares of the phase variables. We get constructive conditions of stability. We considering systems with delay. We obtain sufficient conditions of stability, which depends on the magnitude of the delay.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140845 |
| citation_txt |
Устойчивость, неравномерная по запаздыванию, одной слаболинейной системы с последствием / Д.Я. Хусаинов, Й. Диблик, Я. Баштинец, А.С. Сиренко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2015. — Т. 29. — С. 129-146. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT husainovdâ ustoičivostʹneravnomernaâpozapazdyvaniûodnoislabolineinoisistemysposledstviem AT dibliki ustoičivostʹneravnomernaâpozapazdyvaniûodnoislabolineinoisistemysposledstviem AT baštinecâ ustoičivostʹneravnomernaâpozapazdyvaniûodnoislabolineinoisistemysposledstviem AT sirenkoas ustoičivostʹneravnomernaâpozapazdyvaniûodnoislabolineinoisistemysposledstviem AT husainovdâ stiikistʹnerivnomirnazazapiznennâmodniêíslabkoliniinoísistemizpislâdiêû AT dibliki stiikistʹnerivnomirnazazapiznennâmodniêíslabkoliniinoísistemizpislâdiêû AT baštinecâ stiikistʹnerivnomirnazazapiznennâmodniêíslabkoliniinoísistemizpislâdiêû AT sirenkoas stiikistʹnerivnomirnazazapiznennâmodniêíslabkoliniinoísistemizpislâdiêû AT husainovdâ stabilityunevenlywithdelayoneofweaklinearsystemwithanaftereffect AT dibliki stabilityunevenlywithdelayoneofweaklinearsystemwithanaftereffect AT baštinecâ stabilityunevenlywithdelayoneofweaklinearsystemwithanaftereffect AT sirenkoas stabilityunevenlywithdelayoneofweaklinearsystemwithanaftereffect |
| first_indexed |
2025-11-25T21:22:33Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:22:33Z |
| _version_ |
1850551156151943168 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2015. Том 29
УДК 517.929
c©2015. Д. Я. Хусаинов, Й. Диблик, Я. Баштинец, А. С. Сиренко
УСТОЙЧИВОСТЬ, НЕРАВНОМЕРНАЯ ПО ЗАПАЗДЫВАНИЮ,
ОДНОЙ СЛАБОЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ
Рассматривается система дифференциальных уравнений с асимптотически устойчивой диаго-
нальной частью и нелинейностью, представляющей сумму нелинейных функций одного аргумен-
та, удовлетворяющих условиям Липшица. Система имеет положение равновесия в первом квад-
ранте. Исследование устойчивости положения равновесия проводится с использованием метода
функций Ляпунова. Функция Ляпунова строится в виде суммы квадратов фазовых переменных.
Получены конструктивные условия устойчивости. Рассматриваются системы с запаздыванием.
Получены достаточные условия устойчивости, зависящие от величины запаздывания.
Ключевые слова: нелинейные системы, устойчивость, положение равновесия, метод функ-
ций Ляпунова, системы с запаздыванием, условие Б.С. Разумихина.
1. Система на плоскости без запаздывания.
Рассматривается следующая модель, описываемая системой двух нелинейных
дифференциальных уравнений.
ẏ1 (t) = −a11y1 (t) + f11 (y1 (t)) + f12 (y2 (t)) + b1,
ẏ2 (t) = −a22y2 (t) + f21 (y1 (t)) + f22 (y2 (t)) + b2. (1.1)
Здесь a11 > 0, a22 > 0 постоянные, функции fij (y), i, j = 1, 2 удовлетворяют
условию Липшица, т.е.
|fij (y + ∆y)− fij (y)| ≤ Lij |∆| , i, j = 1, 2.
Предположим, что система уравнений
−a11y1 + f11 (y1) + f12 (y2) + b1 = 0,
−a22y2 + f21 (y1) + f22 (y2) + b2 = 0. (1.2)
имеет решением точку M0
(
y01, y
0
2
)
, y01 > 0, y02 > 0. Произведем замену
y1 (t) = x1 (t) + y01, y2 (t) = x2 (t) + y02.
После подстановки в систему (1.1) получаем
ẋ1 (t) = −a11
(
x1 (t) + y01
)
+ f11
(
x1 (t) + y01
)
+ f12
(
x2 (t) + y02
)
+ b1,
ẋ2 (t) = −a22
(
x2 (t) + y02
)
+ f21 (x1 (t) + yo1) + f22
(
x2 (t) + y02
)
+ b2.
The second and the third authors has been supported by the Grant FEKT-S-14-2200 of Faculty
of Electrical Engineering and Communication, Brno University of Technology.
129
Д. Я. Хусаинов, Й. Диблик, Я. Баштинец, А. С. Сиренко
Перепишем полученную систему в виде
ẋ1 (t) = −a11x1 (t) + f11
(
x1 (t) + y01
)
− f11
(
y01
)
+ f12
(
x2 (t) + y02
)
− f12
(
y02
)
,
ẋ2 (t) = −a22x2 (t) + f21 (x1 (t) + yo1)− f21
(
y01
)
+ f22
(
x2 (t) + y02
)
− f22
(
y02
)
.
Обозначим
F11 (x1 (t)) = f11
(
x1 (t) + y01
)
− f11
(
y01
)
, F12 (x2 (t)) = f12
(
x2 (t) + y02
)
− f12
(
y02
)
,
F21 (x1 (t)) = f21 (x1 (t) + yo1)− f21
(
y01
)
, F22 (x2 (t)) = f22
(
x2 (t) + y02
)
− f22
(
y02
)
.
Тогда система примет вид
ẋ1 (t) = −a11x1 (t) + F11 (x1 (t)) + F12 (x2 (t)) ,
ẋ2 (t) = −a22x2 (t) + F21 (x1 (t)) + F22 (x2 (t)) . (1.3)
После этой замены исследование устойчивости положения равновесия M0
(
y01, y
0
2
)
системы (1.1) свелось к исследованию устойчивости нулевого положения равнове-
сия системы (1.3). Имеют место следующие условия асимптотической устойчиво-
сти.
Теорема 1.1. Пусть система уравнений (1.2) имеет решение M0
(
y01, y
0
2
)
,
y01 > 0, y02 > 0 и существуют h11 > 0, h22 > 0, при которых выполняются
неравенства
2a11 > 2L11 + L12 + L21
h22
h11
, 2a22 > 2L22 + L21 + L12
h11
h22
. (1.4)
Тогда положение равновесия M0
(
y01, y
0
2
)
является асимптотически устойчивым.
Доказательство. Для исследования устойчивости положения равновесия
M0
(
y01, y
0
2
)
воспользуемся функцией Ляпунова квадратичного вида
V (x1, x2) = h11x
2
1 + h22x
2
2.
Ее полная производная в силу системы (1.3) имеет вид
d
dt
V (x1 (t) , x2 (t)) = −2
[
a11h11x
2
1 (t) + a22h22x
2
2 (t)
]
+
+2h11x1 (t) [F11 (x1 (t)) + F22 (x2 (t))] + 2h22x2 (t) [F21 (x1 (t)) + F22 (x2 (t))] .
Используя условия Липшица, получаем
d
dt
V (x1 (t) , x2 (t)) ≤ −2
[
a11h11x
2
1 (t) + a22h22x
2
2 (t)
]
+
+2h11x1 (t) {L11 |x1 (t)|+ L12 |x2 (t)|}+ 2h22x2 (t) {L21 |x1 (t)|+ L22 |x2 (t)|} .
130
Устойчивость, неравномерная по запаздыванию, одной слаболинейной системы с последствием
Перепишем полученное выражение в виде
d
dt
V (x1 (t) , x2 (t)) ≤ −2
{
(a11 − L11)h11x
2
1 (t)−
− (L12h11x1 (t) |x2 (t)|+ L21h22 |x1 (t)|x2 (t)) + (a22 − L22)h22x
2
2 (t)
}
.
Используя неравенство
2AB ≤
(
A2 +B2
)
,
получаем
d
dt
V (x1 (t) , x2 (t)) ≤ − [2 (a11 − L11)h11 − L12h11 − L21h22]x
2
1 (t)−
− [2 (a22 − L22)h22 − L12h11 − L21h22]x
2
2 (t) .
И условие отрицательной определенности функции Ляпунова, т.е. условие асимп-
тотической устойчивости положения равновесия имеет вид (1.4). �
Замечание 1.1. Учитывая однородность неравенства (1.4) и положительность
величин h11, h22, условия асимптотической устойчивости можно переписать в виде
2a11 − 2L11 − L12 > 0, 2a22 − 2L22 − L21 > 0.
Действительно, перепишем неравенства (1.4) в виде
h11
h22
>
L21
2a11 − 2L11 − L12
,
2a22 − 2L22 − L21
L12
>
h11
h22
.
Если будут выполнены неравенства
2a22 − 2L22 − L21
L12
>
L21
2a11 − 2L11 − L12
,
то величины h11, h22 будем выбирать из условия
2a22 − 2L22 − L21
L12
>
h11
h22
>
L21
2a11 − 2L11 − L12
Если будет выполняться
2a22 − 2L22 − L21
L12
<
L21
2a11 − 2L11 − L12
,
то величины h11, h22 будем выбирать из условия
2a22 − 2L22 − L21
L12
<
h22
h11
<
L21
2a11 − 2L11 − L12
.
131
Д. Я. Хусаинов, Й. Диблик, Я. Баштинец, А. С. Сиренко
Получим условия устойчивости, основанные на ином подходе к оценке квадра-
тичных форм.
Теорема 1.2. Пусть система (1.2) имеет решение M0
(
y01, y
0
2
)
, y01 > 0, y02 > 0
и существуют постоянные h11 > 0, h22 > 0, при которых выполняются условия
(a11 − L11)h11 > 0, 4 (a11 − L11) (a22 − L22)h11h22 − (L12h11 + L21h22)
2 > 0. (1.5)
Тогда положение равновесия M0
(
y01, y
0
2
)
является асимптотически устойчивым.
Доказательство. Для исследования устойчивости положения равновесия
M0
(
y01, y
0
2
)
воспользуемся функцией Ляпунова квадратичного вида
V (x1, x2) = h11x
2
1 + h22x
2
2.
Ее полная производная в силу системы (1.3) имеет вид
d
dt
V (x1 (t) , x2 (t)) = −2
[
a11h11x
2
1 (t) + a22h22x
2
2 (t)
]
+
+2h11x1 (t) {F11 (x1 (t)) + F12 (x2 (t))}+ 2h22x2 (t) {F21 (x1 (t)) + F22 (x2 (t))} .
Используя условия Липшица, получаем
d
dt
V (x1 (t) , x2 (t)) ≤ −2
[
a11h11x
2
1 (t) + a22h22x
2
2 (t)
]
+
+2h11x1 (t) {L11 |x1 (t)|+ L12 |x2 (t)|}+ 2h22x2 (t) {L21 |x1 (t)|+ L22 |x2 (t)|} .
Перепишем полученное выражение в виде
d
dt
V (x1 (t) , x2 (t)) ≤ −2
[
(a11 − L11)h11x
2
1 (t)− (L12h11 + L21h22) |x1 (t)| |x2 (t)|+
+ (a22 − L22)h22x
2
2 (t)
]
Как следует из критерия Сильвестра [3], условием отрицательной определенности
полной производной является выполнение неравенств
(a11 − L11)h11 > 0, (a11 − L11) (a22 − L22)h11h22 −
1
4
(L12h11 + L21h22)
2 > 0,
т.е. получаем условия (1.5). �
Замечание 1.2. Второе из неравенств (1.5), обеспечивающее асимптотическую
устойчивость положения равновесия, можно уточнить и переписать в виде
(a11 − L11) (a22 − L22)− L12L21 > 0.
132
Устойчивость, неравномерная по запаздыванию, одной слаболинейной системы с последствием
Действительно, второе неравенство является однородным по элементам h11 >
0, h22 > 0. Разделив его на h22 > 0, получим
g (h) = (a11 − L11) (a22 − L22)h−
1
4
(L12h+ L21)
2 > 0, h =
h11
h22
> 0.
Взяв производную по переменной h > 0 функции g (h), получим
g′ (h) = (a11 − L11) (a22 − L22)−
1
2
(L12h+ L21)L12.
Экстремум функции g (h) будет выполняться при
h = h0 =
2 (a11 − L11) (a22 − L22)− L12L21
L2
12
.
Таким образом, если g (h0) > 0, то положение равновесия M0
(
y01, y
0
2
)
будет
асимптотически устойчивым. Подставив полученное значение h0 в функцию g (h),
получим условие замечания.
2. Система на плоскости с запаздыванием.
В этом разделе будем рассматривать системы со слабой нелинейностью с за-
паздыванием. Условия устойчивости будут зависеть от величины запаздывания.
Рассмотрим систему с запаздыванием на плоскости
ẏ1 (t) = −a11y1 (t) + f11 (y1 (t− τ11)) + f12 (y2 (t− τ12)) + b1.
ẏ2 (t) = −a22y2 (t) + f21 (y1 (t− τ21)) + f22 (y2 (t− τ22)) + b2. (2.1)
Считаем, что τij > 0, i, j = 1, 2, a11 > 0, a22 > 0, а функции fij (y), i, j = 1, 2
удовлетворяют условию Липшица. Произведем замену y1 (t) = x1 (t) + y01, y2 (t) =
x2 (t) + y02. Система (2.1) сведется к системе
ẋ1 (t) = −a11x1 (t) + F11 (x1 (t− τ11)) + F12 (x2 (t− τ12)) ,
ẋ2 (t) = −a22x2 (t) + F21 (x1 (t− τ21)) + F22 (x2 (t− τ22)) , (2.2)
где
F11 (x1 (t− τ11)) = f11
(
x1 (t− τ11) + y01
)
− f11
(
y01
)
,
F12 (x2 (t− τ12)) = f12
(
x2 (t− τ12) + y02
)
− f12
(
y02
)
,
F21 (x1 (t− τ21)) = f21 (x1 (t− τ21) + yo1)− f21
(
y01
)
,
F22 (x2 (t− τ22)) = f22
(
x2 (t− τ22) + y02
)
− f22
(
y02
)
.
И исследование устойчивости положения равновесия M0
(
y01, y
0
2
)
системы (2.1)
сведется к исследованию устойчивости нулевого положения равновесия системы
133
Д. Я. Хусаинов, Й. Диблик, Я. Баштинец, А. С. Сиренко
(2.2). Исследование будем также проводить методом функций Ляпунова квадра-
тичного вида V (x1, x2) = h1x
2
1 + h2x
2
2. Обозначим поверхность уровня функции
Ляпунова V (x1, x2) = α и область, которую она содержит, через
V α = {(x1, x2) : V (x1, x2) < α} , ∂V α = {(x1, x2) : V (x1, x2) = α} .
hmin = min {h11, h22} , hmax = max {h11, h22} , ϕ (h) = hmax/hmin.
Предварительно докажем несколько вспомогательных утверждений.
Лемма 2.1. Пусть при s = t решение (x1 (t) , x2 (t)) системы (2.2) находится
на поверхности уровня функции Ляпунова, а при t − 2τ ≤ s < t внутри ее, т.е.
(x1 (t) , x2 (t)) ∈ ∂V α, а при t− 2τ ≤ s < t: (x1 (s) , x2 (s)) ∈ V α. Тогда справедливы
неравенства
|x1 (t)− x1 (t− τ)| ≤ [|a11|+ L11 + L12]
√
ϕ (h)τ ‖x (t)‖ .
|x2 (t)− x2 (t− τ)| ≤ [|a22|+ L21 + L22]
√
ϕ (h)τ ‖x (t)‖ , ‖x (t)‖ =
{
x21 (t) + x22 (t)
}1/2
.
(2.3)
Доказательство. Как следует из условий леммы 2,1, и вида функции Ляпуно-
ва, справедливы неравенства
hmin
[
x21 (s) + x22 (s)
]
≤ h1x21 (s) + h2x
2
2 (s) = V (x1 (s) , x2 (s)) <
< V (x1 (t) , x2 (t)) = h1x
2
1 (t) + h2x
2
2 (t) ≤ hmax
[
x21 (t) + x22 (t)
]
.
Поэтому, при s < t будет, выполняться
|x1 (s)| ≤
√
ϕ (h)
[
x21 (t) + x22 (t)
]1/2
, |x2 (s)| ≤
√
ϕ (h)
[
x21 (t) + x22 (t)
]1/2
. (2.4)
Перепишем первое из уравнений (2.2) в интегральном виде
x1 (t) = x1 (t− τ) +
∫ t
t−τ
[−a11x1 (s) + F11 (x1 (s− τ11)) + F12 (x2 (s− τ12))] ds.
Используя ограничения, накладываемые на функции F11 (x1), F12 (x2), получаем
следующее соотношение
|x1 (t)− x1 (t− τ)| ≤
∫ t
t−τ
[|a11| |x1 (s)|+ L11 |x1 (s− τ11)|+ L12 |x2 (s− τ12)|] ds.
Учитывая предположения леммы 2.1. о нахождении в момент t решения
(x1 (t) , x2 (t)) на поверхности ∂V α, а при t − 2τ ≤ s < t внутри, и, исходя из
(2.4), получаем следующее неравенство
|x1 (t)− x1 (t− τ)| ≤
∫ t
t−τ
[|a11| |x1 (s)|+ L11 |x1 (s− τ11)|+ L12 |x2 (s− τ12)|] ds ≤
134
Устойчивость, неравномерная по запаздыванию, одной слаболинейной системы с последствием
≤ [|a11|+ L11 + L12]
√
ϕ (h)τ
[
x21 (t) + x22 (t)
]1/2
.
Для второго уравнения аналогично имеем
|x2 (t)− x2 (t− τ)| ≤
∫ t
t−τ
[|a22| |x2 (s)|+ L21 |x1 (s− τ12)|+ L22 |x2 (s− τ22)|] ds ≤
≤ [|a22|+ L21 + L22]
√
ϕ (h)τ
[
x21 (t) + x22 (t)
]1/2
.
Таким образом, получаем утверждение (2.3) леммы 2.1. �
Введем следующие обозначения τ0 = min
i,j=1,2
{τij}, τi = min
i=1,2
{τij}, Ni = [τi/τ0]+1,
i = 1, 2, [•] — функция целой части числа. Имеет место следующее утверждение.
Лемма 2.2. Пусть при −τi ≤ t ≤ 0, i = 1, 2 для решений x1 (t), x2 (t) системы
(2.3) выполняется |x1 (t)| < δ0, |x2 (t)| < δ0. Тогда при 0 ≤ t ≤ Niτ0, i = 1, 2 будет
справедливым
|x1 (t)| ≤ δN1
1 , δ1N1
= [1 + (L11 + L12) τ ]N1 δ0e
N1|a11|τ , N1 = [τ1/τ0] + 1,
|x2 (t)| ≤ δ2N2
, δ2N2
= [1 + (L21 + L22) τ ]N2 δ0e
N2|a22|τ0 , N2 = [τ2/τ0] + 1. (2.5)
Доказательство. Запишем первое уравнение системы в интегральном виде
x1 (t) = x1 (0) +
∫ t
0
[−a11x1 (s) + F11 (x1 (s− τ11)) + F12 (x2 (s− τ12))] ds.
Отсюда получаем следующее соотношение
|x1 (t)| < δ0 +
∫ t
0
[|a11| |x1 (s)|+ |F11 (x1 (s− τ11))|+ |F12 (x2 (s− τ12))|] ds ≤
≤ δ0 +
∫ t
0
|a11| |x1 (s)| ds+ L11
∫ t
0
|x1 (s− τ11)| ds+ L12
∫ t
0
|x2 (s− τ12)| ds.
Для промежутка 0 ≤ t ≤ τ0 получаем
|x1 (t)| ≤ δ0 + |a11|
∫ t
0
|x1 (s)| ds+ (L11 + L12) δ0τ0 =
= [1 + (L11 + L12) τ0] δ0 + |a11|
∫ t
0
|x1 (s)| ds.
Используя неравенство Гронуола–Беллмана, для промежутка 0 ≤ t ≤ τ0 получаем
неравенство
|x1 (t)| ≤ [1 + (L11 + L12) τ ] δ0e
|a11|τ0 .
Обозначив
δ11 = [1 + (L11 + L12) τ ] δ0e
|a11|τ0 ,
135
Д. Я. Хусаинов, Й. Диблик, Я. Баштинец, А. С. Сиренко
получим
|x1 (t)| ≤ δ11 , 0 ≤ t ≤ τ0.
Рассмотрим следующий промежуток τ0 ≤ t ≤ 2τ0. Для него аналогично полу-
чим неравенство
|x1 (t)| ≤ δ21 , τ0 ≤ t ≤ 2τ0, δ
2
2 = [1 + (L11 + L12) τ ] δ11e
|a11|τ0 =
= [1 + (L11 + L12) τ ]2 δ0e
2|a11|τ0 .
Проделав процедуру N1 раз, получим
|x1 (t)| ≤ δN1
1 , δ1N1
= [1 + (L11 + L12) τ ]N1 δ0e
N1|a11|τ .
Для второго уравнения получаем соотношение
|x2 (t)| < δ0 +
∫ t
0
[|a22| |x2 (s)|+ |F21 (x1 (s− τ21))|+ |F22 (x2 (s− τ22))|] ds ≤
≤ δ0 +
∫ t
0
|a22| |x2 (s)| ds+ L21
∫ t
0
|x1 (s− τ21)| ds+ L22
∫ τ
0
|x2 (s− τ22)| ds.
Для промежутка 0 ≤ t ≤ τ0 получаем
|x2 (t)| ≤ δ0 + |a22|
∫ t
0
|x2 (s)| ds+ (L21 + L22) δτ =
= [1 + (L21 + L22) τ0] δ0 + |a22|
∫ t
0
|x2 (s)| ds.
Используя неравенство Гронуола–Беллмана, получаем
|x2 (t)| ≤ δ22 , τ0 ≤ t ≤ 2τ0, δ
2
2 = [1 + (L21 + L22) τ ] δ21e
|a22|τ0 =
= [1 + (L21 + L22) τ ]2 δ0e
2|a22|τ0 .
Повторяя процесс дальше, будем иметь
|x2 (t)| ≤ δ2N2
, 0 ≤ t ≤ N2τ0, δ
2
N2
= [1 + (L21 + L22) τ ]N2 δ0e
N2|a22|τ0 .
Таким образом, получаем утверждение (2.5). Обозначим
C2 =
[
2h11 (a11 − L11) −h11L12 − h22L21
−h11L12 − h22L21 2h22 (a22 − L22)
]
. (2.6)
�
Имеют место следующие условия асимптотической устойчивости.
136
Устойчивость, неравномерная по запаздыванию, одной слаболинейной системы с последствием
Теорема 2.1. Пусть существуют постоянные h11 > 0, h22 > 0, при которых
матрица C0 (2.6) является положительно определенной. Тогда при τ < τ0,
τ0 =
λmin (C2)
2
√
(h11K1)
2 + (h22K2)
2 ×
√
ϕ (h)
(2.7)
положение равновесия M0
(
y01, y
0
2
)
является асимптотически устойчивым. При-
чем для произвольного решения (x1 (t) , x2 (t)) системы с запаздыванием (2.2) при
t > 0, будет выполняться |x (t)| < ε, лишь только
|x1 (t)| < 1√
ϕ (h)
[1 + (L11 + L12) τ ]−N1 δ0e
−N1|a11|τ ,
|x2 (t)| < 1√
ϕ (h)
[1 + (L21 + L22) τ ]−N2 δ0e
−N2|a22|τ0 . (2.8)
Доказательство. Как следует из неравенств (2.5) леммы 2.1, если для решения
(x1 (t) , x2 (t)) системы (2.2) выполняется |x1 (t)| < δ0, |x2 (t)| < δ0, то при 0 ≤ t ≤ τi,
i = 1, 2 будет справедливым
|x1 (t)| < [1 + (L11 + L12) τ ]N1 δ0e
N1|a11|τ , |x2 (t)| < [1 + (L21 + L22) τ ]N2 δ0e
N2|a22|τ0 .
Поэтому, для произвольного ε > 0 положим
δ0 = min
{
e−N1|a11|τ
[1 + (L11 + L12) τ ]N1
,
e−N2|a22|τ
[1 + (L21 + L22) τ ]N2
}
ε√
ϕ (h)
.
Отсюда следует следующее. Если |x1 (t)| < δ0 |x2 (t)| < δ0, −τ0 ≤ s ≤ 0 то при
0 ≤ s ≤ τi, i = 1, 2 решение (x1 (s) , x2 (s)) системы (2.2) находится внутри области,
ограниченной поверхностью уровня функции Ляпунова т.е. (x1 (s) , x2 (s)) ∈ V α,
α = ε/ϕ (h). Покажем, что это сохранится и при s > τi, i = 1, 2.
Пусть, от противного, решение (x1 (t) , x2 (t)) вышло на границу поверхности
уровня, т.е. (x1 (t) , x2 (t)) ∈ ∂V α. Тогда будут справедливыми неравенства (2.3)
леммы 2.1.
Вычислим полную производную квадратичной функции V (x1, x2) в силу си-
стемы без запаздывания. Имеет место соотношение
d
dt
V (x1 (t) , x2 (t)) = 2h11x1 (t) {−a11x1 (t) + F11 (x1 (t)) + F (x2 (t))}+
+2h22x2 (t) {−a22x2 (t) + F21 (x1 (t)) + F22 (x2 (t))} .
Используя условия Липшица, получаем
d
dt
V (x1 (t) , x2 (t)) ≤ −2
[
h11a11x
2
1 (t) + h22a22x
2
2 (t)
]
+
137
Д. Я. Хусаинов, Й. Диблик, Я. Баштинец, А. С. Сиренко
+2h11 |x1 (t)| {L11 |x1 (t)|+ L12 |x2 (t)|}+ 2h22 |x2 (t)| {L21 |x1 (t)|+ L22 |x2 (t)|} =
= − (|x1 (t)| , |x2 (t)|)
[
2h11 (a11 − L11) −h11L12 − h22L21
−h11L12 − h22L21 2h22 (a22 − L22)
](
|x1 (t)|
|x2 (t)|
)
.
Поскольку, по условию теоремы, матрица
C2 =
[
2h11 (a11 − L11) −h11L12 − h22L21
−h11L12 − h22L21 2h22 (a22 − L22)
]
является положительно определенной, то
d
dt
V (x1 (t) , x2 (t)) ≤ −λmin (C2) ‖x (t)‖2 , ‖x (t)‖2 = x21 (t) + x22 (t) .
Таким образом, нулевое решение системы без запаздывания асимптотически
устойчиво. И, в силу непрерывности, асимптотическая устойчивость сохранится
и при достаточно малых запаздываниях τij , i, j = 1, 2. Для получения условий
устойчивости нулевого решения системы с запаздыванием вычислим полную про-
изводную функции Ляпунова V (x1, x2) в силу системы с запаздыванием (2.2). Она
имеет вид
d
dt
V (x1 (t) , x2 (t)) = 2h11x1 (t) {−a11x1 (t) + F11 (x1 (t− τ11)) + F12 (x2 (t− τ12))}+
+2h22x2 (t) {−a22x2 (t) + F21 (x1 (t− τ21)) + F22 (x2 (t− τ22))} .
Перепишем ее в виде
d
dt
V (x1 (t) , x2 (t)) = 2h11x1 (t) {−a11x1 (t) + F11 (x1 (t)) + F12 (x2 (t))}+
+2h22x2 (t) {−a22x2 (t) + F21 (x1 (t)) + F22 (x2 (t))}+
+2h11x1 (t) [F11 (x1 (t− τ11))− F11 (x1 (t))] +
+2h11x1 (t) [F12 (x2 (t− τ12))− F12 (x2 (t))] +
+2h22x2 (t) [F21 (x1 (t− τ21))− F21 (x1 (t))] +
+2h22x2 (t) [F22 (x2 (t− τ22))− F22 (x2 (t))] +
Учитывая условия Липшица, получаем
d
dt
V (x1 (t) , x2 (t)) ≤ −2
[
a11h11x
2
1 (t) + a22h22x
2
2 (t)
]
+
+2h11x1 (t) {L11 |x1 (t)|+ L12 |x2 (t)|}+ 2h22x2 (t) {L21 |x1 (t)|+ L22 |x2 (t)|}+
+2h11 |x1 (t)|L11 |x1 (t)− x1 (t− τ11)|+ 2h11 |x1 (t)|L12 |x2 (t)− x2 (t− τ12)|+
+2h22 |x2 (t)|L21 |x1 (t)− x1 (t− τ21)|+ 2h22 |x2 (t)|L22 |x2 (t)− x2 (t− τ22)|+
138
Устойчивость, неравномерная по запаздыванию, одной слаболинейной системы с последствием
Или
d
dt
V (x1 (t) , x2 (t)) ≤
≤ − (|x1 (t)| , |x2 (t)|)
[
2h11 (a11 − L11) −h11L12 − h22L21
−h11L12 − h22L21 2h22 (a22 − L22)
](
|x1 (t)|
|x2 (t)|
)
+
+2h11 |x1 (t)|L11 |x1 (t)− x1 (t− τ11)|+ 2h11 |x1 (t)|L12 |x2 (t)− x2 (t− τ12)|+
+2h22 |x2 (t)|L21 |x1 (t)− x1 (t− τ21)|+ 2h22 |x2 (t)|L22 |x2 (t)− x2 (t− τ22)|+
Используя результаты леммы 2.1., запишем
d
dt
V (x1 (t) , x2 (t)) ≤
≤ − (|x1 (t)| , |x2 (t)|)
[
2h11 (a11 − L11) −h11L12 − h22L21
−h11L12 − h22L21 2h22 (a22 − L22)
](
|x1 (t)|
|x2 (t)|
)
+
+2h11 |x1 (t)|L11 [|a11 + L11 + L12|]
√
ϕ (H)τ ‖x (t)‖+
+2h11 |x1 (t)|L12 [|a22|+ L21 + L22]
√
ϕ (H)τ ‖x (t)‖+
+2h22 |x2 (t)|L21 [|a11|+ L11 + L12]
√
ϕ (H)τ ‖x (t)‖+
+2h22 |x2 (t)|L22 [|a22|+ L21 + L22]
√
ϕ (H)τ ‖x (t)‖ . (2.9)
Поскольку по условию матрица C2 положительно определенная, то перепишем
выражение (2.9) в виде
d
dt
V (x1 (t) , x2 (t)) ≤ −λmin (C2) ‖x (t)‖2 +
+2h11 ‖x (t)‖ |x1 (t)|
√
ϕ (H)τ [L11 (|a11|+ L11 + L12) + L12 (|a22|+ L21 + L22)] +
+2h22 ‖x (t)‖ |x2 (t)|
√
ϕ (H)τ [L21 (|a11|+ L11 + L12) + L22 (|a22|+ L21 + L22)]
Обозначим
K1 = [L11 (|a11|+ L11 + L12) + L12 (|a22|+ L21 + L22)] ,
K2 = [L21 (|a11|+ L11 + L12) + L22 (|a22|+ L21 + L22)] .
Тогда
d
dt
V (x1 (t) , x2 (t)) ≤
≤ −λmin (C2) ‖x (t)‖2 + 2 (h11K1 |x1 (t)|+ h22K2 |x2 (t)|) ‖x (t)‖
√
ϕ (H)τ.
Используя неравенство
a |x1 (t)|+ b |x2 (t)| ≤
√
a2 + b2 ×
√
x21 (t) + x22 (t),
139
Д. Я. Хусаинов, Й. Диблик, Я. Баштинец, А. С. Сиренко
получаем
d
dt
V (x1 (t) , x2 (t)) ≤ −λmin (C2) ‖x (t)‖2 + 2
√
(h11K1)
2 + (h22K2) 2 ‖x (t)‖2
√
ϕ (H)τ.
И при τ < τ0, где τ0 определено в (2.7), полная производная функции Ляпуно-
ва на поверхности ее уровня является отрицательно определенной, что доказыва-
ет противоречивость предположения о достижении решением поверхности уров-
ня. Таким образом, предположение неверно и решение находится внутри области,
ограниченной поверхностью уровня функции Ляпунова. �
3. Системы с запаздыванием в Rn.
Рассмотрим систему с запаздыванием в n−мерном пространстве. Получим ана-
логичные условия равномерной устойчивости. Система имеет вид
ẏi (t) = −aiiyi (t) +
n∑
j=1
fij (yj (t− τij)) + bi. (3.1)
Как и ранее, считаем, что τij > 0, aii > 0, i, j = 1, n, а функции fij (y), i, j = 1, n
удовлетворяют условию Липшица с показателями Lij , i, j = 1, n. Предполагаем,
что система уравнений
−aiiyi +
n∑
j=1
fij (yj) + bi = 0, i = 1, n
имеет решением точку M0
(
y01, y
0
2, . . . , y
o
n
)
. Произведем замену yi (t) = xi (t) + y01, и
система (3.1) сведется к системе
ẋi (t) = −aiixi (t) +
n∑
j=1
Fij (xij (t− τij)) , Fij (xij (t− τij)) =
= fij
(
xij (t− τij) + y0j
)
− fij
(
y0j
)
. (3.2)
Таким образом, исследование устойчивости положения равновесияM0
(
y01, y
0
2, . . . , y
o
n
)
свелось к исследованию устойчивости нулевого положения равновесия системы
(3.2).
Как и для системы на плоскости, приведем следующие вспомогательные утвер-
ждения. Обозначим поверхность уровня функции Ляпунова V (x1, x2, . . . , xn) = α
и область, которую она содержит,
V α = {(x1, x2, . . . , xn) : V (x1, x2, . . . , xn) < α} , ∂V α =
= {(x1, x2, . . . , xn) : V (x1, x2, . . . , xn) = α} .
Обозначим
hmin = min {h11, h22, . . . , hnn} , hmax = max {h11, h22, . . . , hnn} , ϕ (h) = hmax/hmin,
140
Устойчивость, неравномерная по запаздыванию, одной слаболинейной системы с последствием
‖x (t)‖ =
{
n∑
i=1
x2i (t)
}1/2
, τ0 = min
i,j=1,2
{τij} , τi = min
i=1,2
{τij} ,
Ni = [τi/τ0] + 1, i = 1, 2, . . . , n,
[•] — функция целой части числа. Имеет место следующее утверждение.
Лемма 3.1. Пусть в момент времени t решение (x1 (t) , x2 (t) , . . . , xn (t)) си-
стемы (3.1) находится на поверхности уровня функции Ляпунова, а при t−2τ ≤
s < t внутри ее, т.е. (x1 (t) , x2 (t) , . . . , xn (t)) ∈ ∂V α, а при t − 2τ ≤ s < t:
(x1 (s) , x2 (s) , . . . , xn (s)) ∈ V α. Тогда справедливы неравенства
|xi (t)− xi (t− τ)| ≤
|aii|+ n∑
j=1
Lij
√ϕ (h)τ ‖x (t)‖ . (3.3)
Доказательство. Как следует из условий леммы 3,1, для произвольного i =
1, n справедливы неравенства
hiix
2
i (s) ≤
n∑
k=1
hkkx
2
k (s) = V (x1 (s) , x2 (s) , ..., xn (s)) <
< V (x1 (t) , x2 (t) , ..., xn (t)) =
n∑
k=1
hkkx
2
k (t) , s < t.
Отсюда следует, что
|xi (s)| <
√√√√ 1
hii
n∑
k=1
hkkx
2
k (t), s < t, i = 1, n. (3.4)
Перепишем каждое из уравнений системы (3.4) в интегральном виде
xi (t) = xi (t− τ) +
∫ t
t−τ
−aii (s) +
n∑
j=1
Fij (xj (t− τij))
ds.
Используя ограничения, накладываемые на функции Fij (x1), i, j = 1, n, получаем
следующее соотношение
|xi (t)− xi (t− τ)| ≤
∫ t
t−τ
|aii| |x1 (s)|+
n∑
j=1
Lij |xj (t− τij)|
ds ≤
≤
|aii|+ n∑
j=1
Lij
√ϕ (H)τ ‖x (t)‖ .
141
Д. Я. Хусаинов, Й. Диблик, Я. Баштинец, А. С. Сиренко
Таким образом, получаем утверждение леммы 3.1. �
Лемма 3.2. Пусть при −τi ≤ t ≤ 0, i = 1, n для решения (x1 (t) , x2 (t) , . . . , xn (t))
системы (3.4) выполняется |xi (t)| < δ0, i = 1, n. Тогда при 0 ≤ t ≤ Niτ0, i = 1, n
будет справедливым
|xi (t)| ≤ δNi
1 , δ1Ni =
1 + τ
n∑
j=1
Lij
Ni
δ0e
Ni1|aii|τi , i = 1, n. (3.5)
Доказательство. Запишем первое уравнение системы (3.2) в интегральном ви-
де
x1 (t) = x1 (0) +
∫ t
0
−a11x1 (s) +
n∑
j=1
F1j (xj (t− τ1j))
ds.
Отсюда получаем следующее соотношение
|x1 (t)| < δ0 +
∫ t
0
|a11| |x1 (s)|+
n∑
j=1
|F1j (xj (s− τ1j))|
ds ≤
≤ δ0 +
∫ t
0
|a11| |x1 (s)|+
n∑
j=1
L1j |xj (s− τ1j)|
ds.
Для промежутка 0 ≤ t ≤ τ0 получаем
|x1 (t)| ≤ δ0+|a11|
∫ t
0
|x1 (s)| ds+τ0
n∑
j=1
L1jδ0 =
1 + τ0
n∑
j=1
L1j
δ0+|a11| ∫ t
0
|x1 (s)| ds.
Используя неравенство Гронуола–Беллмана, для промежутка 0 ≤ t ≤ τ0 получаем
неравенство
|x1 (t)| ≤
1 + τ0
n∑
j=1
Lij
δ0e|a11|τ0 .
Обозначив
δ11 =
1 + τ0
n∑
j=1
Lij
δ0e|a11|τ0 ,
получим
|x1 (t)| ≤ δ11 , 0 ≤ t ≤ τ0.
Рассмотрим следующий промежуток τ0 ≤ t ≤ 2τ0. Для него аналогично полу-
чим неравенство
|x1 (t)| ≤ δ21 , τ0 ≤ t ≤ 2τ0, δ
2
2 =
1 + τ0
n∑
j=1
L1j
δ11e|a11|τ0 =
1 + τ0
n∑
j=1
Lij
2
δ0e
2|a11|τ0 .
142
Устойчивость, неравномерная по запаздыванию, одной слаболинейной системы с последствием
Проделав процедуру N1 раз, получим
|x1 (t)| ≤ δN1
1 , δ1N1
=
1 + τ0
n∑
j=1
L1j
N1
δ0e
N1|a11|τ .
Для остальных уравнений получаем аналогичные соотношения
|xi (t)| ≤ δNi
i , δ1N1
=
1 + τ0
n∑
j=1
Lij
Ni
δ0e
Ni|aii|τ , i = 2, n.
Обозначим
Cn =
2h11 (a11 − L11) −h11L12 − h22L21 . . . −h11L1n − hnnLn1
−h11L12 − h22L21 2 (h22 − L22) . . . −h22L2n − hnnLn2
. . . . . .
−h11L1n − hnnLn1 −h22L2n − hnnLn2 . . . 2 (hnn − Lnn)
. (3.6)
�
Теорема 3.1. Пусть существуют постоянные hii > 0, i = 1, n, при которых
матрица C является положительно определенной. Тогда при τ < τ0, где
τ0 =
λmin (Cn)
2
√∑n
i−1 (hiiKi)
2 ϕ (h)
, Ki =
n∑
j−1
Lij
(
|ajj |+
n∑
s=1
Ljs
)
, (3.7)
положение равновесия M0
(
y01, y
0
2, . . . , y
0
n
)
является асимптотически устойчивым.
Причем для произвольного решения (x1 (t) , x2 (t) , . . . , x (t)) системы (3.2) при t >
0, будет выполняться |x (t)| < ε, лишь только ‖x (0)‖τ < δ (ε, τ), где
δ (ε, τ) = min
i=1,n
exp {−Ni |aii| τ}[
1 + τ
∑n
j=1 Lij
]Ni
ε√
ϕ (h)
, ‖x (0)‖τ = max
−τ≤s≤0
{‖x (s)‖} . (3.8)
Доказательство. Для исследования устойчивости положения равновесия
M0
(
y01, y
0
2, . . . , y
0
n
)
будем использовать функцию Ляпунова
V (x1, x2, . . . , xn) =
n∑
n=1
hiix
2
i . (3.9)
При вычислении полной производной функции Ляпунова в силу системы с за-
паздыванием (3.2) будем использовать условие Б.С. Разумихина. Для функции
Ляпунова (3.9) оно имеет вид
143
Д. Я. Хусаинов, Й. Диблик, Я. Баштинец, А. С. Сиренко
n∑
i=1
hiix
2
ii (s) = V (x1 (s) , x2 (s) , . . . , xn (s)) < V (x1 (t) , x2 (t) , ..., xn (t)) =
=
n∑
i=1
hiix
2
i (t) , s < t.
Отсюда следует, что
|xi (s)| <
√√√√ 1
hii
n∑
k=1
hkkx
2
k (t), s < t, i = 1, n.
Полная производная функции Ляпунова (3.9) в силу системы с запаздыванием
(3.2) имеет вид
d
dt
V (x1 (t) , x2 (t) , . . . , xn (t)) =
n∑
i=1
2hiixi (t)
−aiixi (t) +
n∑
j=1
Fij (x (t− τij))
.
Перепишем ее в виде
d
dt
V (x1 (t) , x2 (t) , . . . , xn (t)) = −2
n∑
i=1
aiihiix
2
i (t) + 2
n∑
i=1
hiixi (t)
n∑
j=1
Fij (xj (t))
+
+2
n∑
i=1
hiixi (t)
n∑
j=1
Fij (xj (t− τij))− Fij (xj (t))
.
Используя условия Липшица, получаем
d
dt
V (x1 (t) , x2 (t) , . . . , xn (t)) ≤ −2
n∑
i=1
aiihiix
2
i (t) + 2
n∑
i=1
hiixi (t)
n∑
j=1
Lij |xj (t)|+
+2
n∑
i=1
hiixi (t)
n∑
j=1
Lij |xj (t)− xj (t− τij)|
= S1 [x (t)] + S2 [x (t)] + S3 [x (t)] .
Рассмотрим каждую из сумм в отдельности. Запишем вторую сумму следую-
щим образом
144
Устойчивость, неравномерная по запаздыванию, одной слаболинейной системы с последствием
S2 ≤ 2
n∑
i=1
hiixi (t)
n∑
j=1
Lij |xj (t)| =
= 2h11 |x1 (t)| [L11 |x1 (t)|+ L12 |x2 (t)|+ . . .+ L1n |xn (t)|] +
+2h22 |x2 (t)| [L21 |x1 (t)|+ L22 |x2 (t)|+ . . .+ L2n |xn (t)|] + . . .
+2hnn |xn (t)| [Ln1 |x1 (t)|+ Ln2 |x2 (t)|+ . . .+ Lnn |xn (t)|] =
= 2h11L11 |x1 (t)|2 + 2 (h11L12 + h22L21) |x1 (t)| |x2 (t)|+ . . .+
+2 (h11L1n + hnnLn1) |x1 (t)| |xn (t)|+
+2h22L22 |x2 (t)|2 + 2 (h22L23 + h33L32) |x2 (t)| |x3 (t)|+ . . .+
+2 (h22L2n + hnnLn2) |x2 (t)| |xn (t)|+ . . .+ 2hnnLnn |xn (t)|2 .
Поэтому можно записать
S1 [x (t)] + S2 [x (t)] = − (|x1 (t)| , |x2 (t)| , . . . , |xn (t)|)×
×
2h11 (a11 − L11) −h11L12 − h22L21 . . . −h11L1n − hnnLn1
−h11L12 − h22L21 2 (h22 − L22) . . . −h22L2n − hnnLn2
. . . . . .
−h11L1n − hnnLn1 −h22L2n − hnnLn2 . . . 2hnn (ann − Lnn)
|x1 (t)|
|x2 (t)|
. . .
|xn (t)|
≤
−λmin (C2) ‖x (t)‖2 .
Рассмотрим третью сумму. Используя неравенство (3.3) леммы 3.1, получаем
S3 = 2
n∑
i=1
hiixi (t)
n∑
j=1
Lij |xj (t)− xj (t− τij)|
≤
≤ 2
n∑
i=1
hii
n∑
j=1
Lij
(
|ajj |+
n∑
s=1
Ljs
) |xi (t)| ‖x (t)‖
√
ϕ (h)τ.
Обозначим
Ki =
n∑
j−1
Lij
(
|ajj |+
n∑
s=1
Ljs
)
.
Тогда для полной производной функции Ляпунова получаем
d
dt
V (x1 (t) , x2 (t) , . . . , xn (t)) ≤ −λmin (Cn) ‖x (t)‖2 + 2
n∑
i=1
{hiiKi |xi (t)|}
√
ϕ (h)τ.
И при τ < τ0 полная производная функции Ляпунова будет отрицательно опреде-
ленной, что доказывает асимптотическую устойчивость положения равновесия.
Оценка величины начального возмущения устанавливается, как и для системы
на плоскости. �
145
Д. Я. Хусаинов, Й. Диблик, Я. Баштинец, А. С. Сиренко
1. Хайкин С. Нейронные сети: полный курс. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2006. – 1104 с.
2. Gopalsamy K. Leakage Delays in BAM // Journal of Mathematical Analysis and Applications. –
2007. – Vol. 325. – P. 1117–1132.
3. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости движения. – М.: Наука,
1967. – 472 с.
4. Разумихин Б. С. Устойчивость эридитарных систем. – М.: Наука, 1988. – 112 с.
5. Хусаинов Д. Я., Шатырко А. В. Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости
дифференциально-функциональных систем. – К.: Изд.-во Киевского университета, 1997. –
236 с.
D. Ya. Khusainov, J. Diblik, J. Bashtinec, A. S. Sirenko
Stability, unevenly with delay, one of weak linear system with an aftereffect.
We consider system of differential equations with asymptotically stable diagonal part and the non-
linearity, representing the sum of non-linear functions one of the variable, which satisfying Lipschitz
conditions. The system has a position of equilibrium in the first quadrant. Studying of the stability
of the equilibrium position is conducted with using the method of Lyapunov functions. The Lyapunov
function is building as sum of the squares of the phase variables. We get constructive conditions of
stability. We considering systems with delay. We obtain sufficient conditions of stability, which depends
on the magnitude of the delay.
Keywords: nonlinear systems, stability, the equilibrium position, the method of Lyapunov functions,
system with delay, condition B. S. Razumikhin.
Д. Я. Хусаiнов, Й. Дiблiк, Я. Баштинець, А. С. Сiренко
Стiйкiсть, нерiвномiрна за запiзненням, однiєї слабколiнiйної системи з пiслядiєю.
Розглядається система диференцiальних рiвнянь з асимптотично стiйкою дiагональною частиною
та нелiнiйнiстю, що являє собою суму нелiнiйних функцiй одного аргументу, якi задовольняють
умовам Лiпшиця. Система має стан рiвноваги в першому квадрантi. Дослiдження стiйкостi стану
рiвноваги проводиться з використанням методу функцiй Ляпунова. Функцiя Ляпунова будується
у виглядi суми квадратiв фазових змiнних. Отриманi конструктивнi умови стiйкостi. Розгляда-
ються системи iз запiзненням. Отриманi достатнi умови стiйкостi, що залежать вiд величини
запiзнення.
Ключовi слова: нелiнiйнi системи, стiйкiсть, стан рiвноваги, метод функцiй Ляпунова, си-
стеми iз запiзненням, умова Б.С. Разумiхiна.
Киевский национальный университета имени Тараса Щевченко,
Киев,
Брненский технологический университет,
Brno
dkh@unicyv.kiev.ua, diblik@feec.vutbr.cz,
bastinec@feec.vutbr.cz, sandew@online.ua
Получено 26.11.15
146
|