Оценка площади образа круга для классов Соболева
Для регулярных гомеоморфизмов класса Соболева, обладающих N-свойством Лузина, установлена оценка площади образа круга в терминах угловой дилатации. Как следствие, получен аналог известной леммы типа Икомы–Шварца для таких отображений....
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2016
|
| Series: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140852 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Оценка площади образа круга для классов Соболева / В.В. Билет, Р.Р. Салимов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 21-26. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-140852 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1408522025-02-09T21:17:02Z Оценка площади образа круга для классов Соболева Оцiнка площi образу кола для класiв Соболєва The estimation of the area of a disk image for Sobolev classes Билет, В.В. Салимов, Р.Р. Для регулярных гомеоморфизмов класса Соболева, обладающих N-свойством Лузина, установлена оценка площади образа круга в терминах угловой дилатации. Как следствие, получен аналог известной леммы типа Икомы–Шварца для таких отображений. Для регулярних гомеоморфiзмiв класу Соболєва, якi задовольняють N-властивостi Лузiна, встановлено оцiнку площi образу кола в термiнах кутової дилатацiї. Як наслiдок, отримано аналог вiдомої леми типу Iкоми–Шварца для таких вiдображень. For regular homeomorphisms of the Sobolev class having the Luzin N-property, it is established the estimation of the area of a disk image in terms of an angular dilatation. As a corollary, the analog of the well-known Ikoma–Schwartz type lemma for such mappings is obtained. Работа первого автора выполнена при частичной поддержке гранта 0115U000136 Министерства образования и науки Украины. 2016 Article Оценка площади образа круга для классов Соболева / В.В. Билет, Р.Р. Салимов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 21-26. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140852 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Для регулярных гомеоморфизмов класса Соболева, обладающих N-свойством Лузина, установлена оценка площади образа круга в терминах угловой дилатации. Как следствие, получен аналог известной леммы типа Икомы–Шварца для таких отображений. |
| format |
Article |
| author |
Билет, В.В. Салимов, Р.Р. |
| spellingShingle |
Билет, В.В. Салимов, Р.Р. Оценка площади образа круга для классов Соболева Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Билет, В.В. Салимов, Р.Р. |
| author_sort |
Билет, В.В. |
| title |
Оценка площади образа круга для классов Соболева |
| title_short |
Оценка площади образа круга для классов Соболева |
| title_full |
Оценка площади образа круга для классов Соболева |
| title_fullStr |
Оценка площади образа круга для классов Соболева |
| title_full_unstemmed |
Оценка площади образа круга для классов Соболева |
| title_sort |
оценка площади образа круга для классов соболева |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140852 |
| citation_txt |
Оценка площади образа круга для классов Соболева / В.В. Билет, Р.Р. Салимов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 21-26. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT biletvv ocenkaploŝadiobrazakrugadlâklassovsoboleva AT salimovrr ocenkaploŝadiobrazakrugadlâklassovsoboleva AT biletvv ocinkaploŝiobrazukoladlâklasivsobolêva AT salimovrr ocinkaploŝiobrazukoladlâklasivsobolêva AT biletvv theestimationoftheareaofadiskimageforsobolevclasses AT salimovrr theestimationoftheareaofadiskimageforsobolevclasses |
| first_indexed |
2025-11-30T22:02:45Z |
| last_indexed |
2025-11-30T22:02:45Z |
| _version_ |
1850254475613175808 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2016. Том 30
УДК 517.5
c⃝2016. В. В. Билет, Р. Р. Салимов
ОЦЕНКА ПЛОЩАДИ ОБРАЗА КРУГА ДЛЯ КЛАССОВ СОБОЛЕВА
Для регулярных гомеоморфизмов класса СоболеваW 1,1
loc , обладающих N -свойством Лузина, уста-
новлена оценка площади образа круга в терминах угловой дилатации. Как следствие, получен
аналог известной леммы типа Икомы–Шварца для таких отображений.
Ключевые слова: угловая дилатация, изопериметрическое неравенство, класс Соболева
Статья посвящена профессору В. Я. Гутлянскому
по случаю его 75-летнего юбилея.
1. Введение.
В данной статье получены точные оценки искажения площади образа круга
при регулярных гомеоморфизмах класса СоболеваW 1,1
loc , обладающихN -свойством
(Лузина).
Отметим, что впервые оценка площади образа круга при квазиконформных
отображениях встречается в монографии Лаврентьева М. А., см. [3]. В монографии
[1], см. предложение 3.7, получено уточнение неравенства Лаврентьева в терминах
угловой дилатации. Также ранее в работах [5] и [7] верхние оценки искажения
площади образа круга были получены методом модулей.
Пусть G — область в комплексной плоскости C, то есть связное, открытое
подмножество C. Напомним, что отображение f : G → C называется регулярным
в точке z0 ∈ G, если в этой точке f имеет полный дифференциал и его Якобиан
Jf = |fz|2−|fz̄|2 ̸= 0 (см., например, I. 1.6 в [4]). Гомеоморфизм f класса Соболева
W 1,1
loc называется регулярным, если Jf > 0 почти всюду (п.в.).
Говорят, что гомеоморфизм f : G → C обладает N -свойством (Лузина), если
для любого множества E ⊂ G из условия |E| = 0 следует, что |f(E)| = 0.
Пусть f — регулярный гомеоморфизм класса Соболева W 1,1
loc , p > 1. Будем
называть величину
Dp(z, z0) = Dp(z0 + reiθ, z0) =
|fθ(reiθ)|p
rpJf (reiθ)
(1)
p-угловой дилатацией отображения f относительно точки z0. Здесь z = z0 + reiθ,
0 6 θ < 2π, Jf – якобиан отображения f . При z0 = 0 будем полагать Dp(z) =
= Dp(re
iθ).
Работа первого автора выполнена при частичной поддержке гранта 0115U000136 Министер-
ства образования и науки Украины.
21
В. В. Билет, Р. Р. Салимов
2. Вспомогательные результаты.
Обозначим через L(r) длину кривой f(reiθ), 0 6 θ < 2π, и через S(r) = |f(Br)| –
площадь f(Br). Везде далее полагаем
Br = {z ∈ C : |z| 6 r}, B = {z ∈ C : |z| 6 1}. (2)
Лемма 1. Пусть f : B → B — регулярный гомеоморфизм класса Соболева
W 1,1
loc , обладающий N -свойством. Тогда при p > 2
Lp(r) 6 δp(r)S
′(r) (3)
для п.в. r ∈ [0, 1], где
δp(r) =
∫
γr
D
1
p−1
p (z) |dz|
p−1
, γr = {z ∈ C : |z| = r}. (4)
Доказательство. Для п.в. r ∈ [0, 1], имеем
L(r) =
2π∫
0
|fθ(reiθ)| dθ =
2π∫
0
D
1
p
p (re
iθ) J
1
p
f (re
iθ) r dθ, (5)
где Dp(re
iθ) – p-угловая дилатация, определенная в (1).
Применяя неравенство Гельдера, имеем
L(r) 6
2π∫
0
Jf (re
iθ) r dθ
1
p
2π∫
0
D
1
p−1
p (reiθ) r dθ
p−1
p
(6)
для п.в. r ∈ [0, 1]. Используя тот факт, что
S′(r) =
2π∫
0
Jf (re
iθ) r dθ, (7)
получаем
Lp(r) 6 δp(r)S
′(r) (8)
для п.в. r ∈ [0, 1]. Лемма 1 доказана. �
В следующей лемме получено дифференциальное неравенство для функции
S(r).
Лемма 2. Пусть f : B → B — регулярный гомеоморфизм класса Соболева
W 1,1
loc , обладающий N -свойством. Тогда при p > 2
S′(r) > (4π)
p
2 δ−1
p (r)S
p
2 (r) (9)
22
Оценка площади образа круга для классов Соболева
для п.в. r ∈ [0, 1], где δp(r) определено равенством (4).
Доказательство. Из неравенства (3) следует, что для п.в. r ∈ [0, 1]
S′(r) > δ−1
p (r)Lp(r). (10)
Используя далее известное изопериметрическое неравенство
L2(r) > 4πS(r), (11)
получаем дифференциальное неравенство (9). Лемма 2 доказана. �
Лемма 3. Пусть f : B → B — регулярный гомеоморфизм класса Соболева
W 1,1
loc , обладающий N -свойством. Тогда при p = 2 имеет место оценка
S(r1) 6 S(r2) exp
−4π
r2∫
r1
dr
δ2(r)
, (12)
а при p > 2 —
S
2−p
2 (r1)− S
2−p
2 (r2) 6 (4π)
p
2
p− 2
2
r2∫
r1
dr
δp(r)
, (13)
где 0 < r1 6 r2 < 1 и δp(r) определено равенством (4).
Доказательство. Воспользуемся дифференциальным неравенством (9). Тогда
для п.в. r ∈ [0, 1]
S′(r)
S
p
2 (r)
dr > (4π)
p
2
dr
δp(r)
. (14)
При p = 2, имеем
S′(r)
S(r)
dr > 4π
dr
δ2(r)
. (15)
Интегрируя обе части последнего неравенства по r ∈ [r1, r2], получаем
r2∫
r1
(lnS(r))
′
dr > 4π
r2∫
r1
dr
δ2(r)
. (16)
Заметим, что функция g(r) = lnS(r) является неубывающей, тогда
r2∫
r1
(lnS(r))
′
dr =
r2∫
r1
g′(r)dr 6 g(r2)− g(r1) = ln
S(r2)
S(r1)
(17)
(см., напр., теорему IV. 7.4 в [6]) и
ln
S(r2)
S(r1)
> 4π
r2∫
r1
dr
δ2(r)
, (18)
23
В. В. Билет, Р. Р. Салимов
откуда
S(r1) 6 S(r2) exp
−4π
r2∫
r1
dr
δ2(r)
. (19)
При p > 2, имеем
r2∫
r1
(
S
2−p
2 (r)
2−p
2
)′
dr > (4π)
p
2
r2∫
r1
dr
δp(r)
. (20)
Заметим, что функция gp(r) =
S
2−p
2 (r)
2−p
2
является неубывающей, тогда
r2∫
r1
(
S
2−p
2 (r)
2−p
2
)′
dr =
r2∫
r1
g′p(r) 6 gp(r2)− gp(r1) =
2
2− p
(
S
2−p
2 (r2)− S
2−p
2 (r1)
)
(21)
(см., теорему IV. 7.4 в [6]).
Таким образом, получаем
S
2−p
2 (r1)− S
2−p
2 (r2) 6 (4π)
p
2
p− 2
2
r2∫
r1
dr
δp(r)
. (22)
Лемма 3 доказана. �
3. Основные результаты.
Ниже приведена теорема об оценке площади образа круга.
Теорема 1. Пусть f : B → B — регулярный гомеоморфизм класса Соболева
W 1,1
loc , обладающий N -свойством. Тогда при p = 2 имеет место оценка
|f(Br)| 6 π exp
−4π
1∫
r
dt
δ2(t)
, (23)
а при p > 2 —
|f(Br)| 6 π
1 + (2π)p−1(p− 2)
1∫
r
dt
δp(t)
− 2
p−2
, (24)
где
δp(r) =
∫
γr
D
1
p−1
p (z) |dz|
p−1
, γr = {z ∈ C : |z| = r}. (25)
24
Оценка площади образа круга для классов Соболева
Доказательство. Теорема 1 следует из леммы 3 при условии, что S(1) 6
6 |f(B)| = π. �
Из теоремы 1 вытекает аналог известной леммы типа Икомы-Шварца (см. тео-
рему 2 в [2]).
Теорема 2. Пусть f : B → B — регулярный гомеоморфизм класса Соболева
W 1,1
loc , обладающий N -свойством, f(0) = 0. Тогда при p = 2 имеет место оценка
lim inf
z→0
|f(z)| exp
2π
1∫
|z|
dt
δ2(t)
6 1, (26)
а при p > 2 —
lim inf
z→0
|f(z)|
1 + (2π)p−1(p− 2)
1∫
|z|
dt
δp(t)
1
p−2
6 1. (27)
Следствие 1. В частности, если p > 2, то имеет место оценка
lim inf
z→0
|f(z)|
1∫
|z|
dt
δp(t)
1
p−2
6 (2π)1−p(p− 2)
1
2−p . (28)
Доказательство теоремы 2. Положим lf (r) = min
|z|=r
|f(z)|. Тогда, учитывая, что
f(0) = 0, получаем π l2f (r) 6 |f(Br)| и, следовательно,
lf (r) 6
√
|f(Br)|
π
. (29)
Таким образом, учитывая неравенства (23) и (24), имеем
lim inf
z→0
|f(z)|
Rp(|z|)
= lim inf
r→0
lf (r)
Rp(r)
6 lim inf
r→0
√
|f(Br)|
π
· 1
Rp(r)
6 1, (30)
где
Rp(r) =
1 + (2π)p−1(p− 2)
1∫
r
dt
δp(t)
− 1
p−2
(31)
25
В. В. Билет, Р. Р. Салимов
при p > 2 и
Rp(r) = exp
−2π
1∫
r
dt
δ2(t)
(32)
при p = 2. Теорема 2 доказана.2
1. Bojarski B., Gutlyanskii V., Martio O., Ryazanov V. Infinitesimal Geometry of Quasiconformal
and Bi-Lipschitz Mappings in the Plane. – Tracts in Mathematics 19, Warsaw - Donetsk - Helsinki,
2013, 216 p.
2. Ikoma K. On the distortion and correspondence under quasiconformal mappings in space //
Nagoya Math. J. – 1965. – V. 25. – P. 175–203.
3. Лаврентьев М. А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллипти-
ческого типа. – М: AН СССР, 1962, 136 с.
4. Lehto O., Virtanen K. Quasiconformal Mappings in the Plane. – New York: Springer–Verlag,
1973, 258 p.
5. Ломако Т. В., Салимов Р. Р. К теории экстремальных задач // Збiрник праць Iнституту
математики НАНУ. – 2010. – Т. 7, № 2. – С. 264–269.
6. Сакс С. Теория интеграла. — М.: ИЛ, 1949, 495 с.
7. Салимов Р. Р. Нижние оценки p-модуля и отображения класса Соболева // Алгебра и ана-
лиз. – 2014. – Т. 26, № 6. – С. 143–171.
V. V. Bilet, R. R. Salimov
The estimation of the area of a disk image for Sobolev classes.
For regular homeomorphisms of the Sobolev class W 1,1
loc having the Luzin N -property, it is established
the estimation of the area of a disk image in terms of an angular dilatation. As a corollary, the analog
of the well-known Ikoma–Schwartz type lemma for such mappings is obtained.
Keywords: angular dilatation, isoperimetric inequality, Sobolev class.
В. В. Бiлет, Р. Р. Салiмов
Оцiнка площi образу кола для класiв Соболєва.
Для регулярних гомеоморфiзмiв класу Соболєва W 1,1
loc , якi задовольняють N -властивостi Лузi-
на, встановлено оцiнку площi образу кола в термiнах кутової дилатацiї. Як наслiдок, отримано
аналог вiдомої леми типу Iкоми–Шварца для таких вiдображень.
Ключовi слова: кутова дилатацiя, iзопериметрична нерiвнiсть, клас Соболєва.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Славянск
Ин-т математики НАН Украины, Киев
biletvictoriya@mail.ru, ruslan623@yandex.ru
Получено 09.07.16
26
|