Автономная периодическая задача для уравнения типа Хилла в частном критическом случае
Исследована задача о нахождении условий существования и построении решений автономной периодической задачи для слабонелинейного уравнения типа Хилла. Нами изучен случай наличия кратных корней уравнения для порождающих амплитуд. Для нахождения решений поставленной задачи в частном критическом случае...
Saved in:
| Published in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2016
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140865 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Автономная периодическая задача для уравнения типа Хилла в частном критическом случае / С.М. Чуйко, О.В. Несмелова (Старкова), Д.В. Сысоев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 133-142. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859669132387024896 |
|---|---|
| author | Чуйко, С.М. Несмелова (Старкова), О.В. Сысоев, Д.В. |
| author_facet | Чуйко, С.М. Несмелова (Старкова), О.В. Сысоев, Д.В. |
| citation_txt | Автономная периодическая задача для уравнения типа Хилла в частном критическом случае / С.М. Чуйко, О.В. Несмелова (Старкова), Д.В. Сысоев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 133-142. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики |
| description | Исследована задача о нахождении условий существования и построении решений автономной периодической задачи для слабонелинейного уравнения типа Хилла. Нами изучен случай наличия кратных корней уравнения для порождающих амплитуд. Для нахождения решений поставленной задачи в частном критическом случае получены конструктивные необходимые и достаточные условия существования, а также построена сходящаяся итерационная схема. Предложенная итерационная техника определяет приближения к решениям автономной периодической задачи для уравнения типа Хилла, являющиеся периодическими функциями. В качестве примера исследована задача о нахождении периодических решений слабонелинейного уравнения Дюффинга.
Досліджено задачу про знаходження умов існування і побудову розв’язків автономної періодичної задачі для слабконелінійного рівняння типу Хілла. Нами розглянуто випадок наявності кратних коренів рівняння для породжуючих амплітуд. Для знаходження розв’язків поставленої задачі у частинному критичному випадку отримані конструктивні необхідні і достатні умови існування, а також побудована збіжна ітераційна схема. Запропонована ітераційна техніка дозволяє знаходження розв’язків автономної періодичної задачі для рівняння типу Хілла, які є періодичними функціями. Як приклад, досліджено задачу про знаходження періодичних розв’язків слабко-нелінійного рівняння Дюффінга.
We studied the problem of finding the conditions of existence and the construction of an autonomous periodic boundary value problem for the weakly nonlinear equations such as Hill. We studied the case of the presence of multiple roots of an equation for generating the amplitude. To find the solutions of the problem in the particular case of the critical design obtained the necessary and sufficient conditions of existence, as well as built converging iterative scheme. The proposed iterative technique determines the autonomous decisions of the periodic problem for an equation of the Hill, is a periodic function. As an example, we studied the problem of finding periodic solutions of weakly nonlinear Duffing equation.
|
| first_indexed | 2025-11-30T12:55:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2016. Том 30
УДК 517.9
c⃝2016. С. М. Чуйко, О. В. Несмелова (Старкова), Д. В. Сысоев
АВТОНОМНАЯ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ТИПА ХИЛЛА В ЧАСТНОМ КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ
Исследована задача о нахождении условий существования и построении решений автономной пе-
риодической задачи для слабонелинейного уравнения типа Хилла. Нами изучен случай наличия
кратных корней уравнения для порождающих амплитуд. Для нахождения решений поставлен-
ной задачи в частном критическом случае получены конструктивные необходимые и достаточные
условия существования, а также построена сходящаяся итерационная схема. Предложенная ите-
рационная техника определяет приближения к решениям автономной периодической задачи для
уравнения типа Хилла, являющиеся периодическими функциями. В качестве примера исследо-
вана задача о нахождении периодических решений слабонелинейного уравнения Дюффинга.
Ключевые слова: автономная периодическая задача, критический случай, уравнение Хилла,
уравнение Дюффинга.
1. Постановка задачи.
Исследована задача о построении решений [15]
y(t, ε) : y(·, ε) ∈ C2[0, T1(ε)], T1(0) = 2π, y(t, ·) ∈ C[0, ε0]
автономной периодической задачи для уравнения типа Хилла [3], [14, c. 315]
d2y(t, ε)
dt2
+ y(t, ε) = ε · Y (y(t, ε), ε). (1)
Решение периодической задачи для уравнения (1) ищем в малой окрестности пе-
риодического решения y0(t) ∈ C2[0, 2π] порождающей периодической задачи для
уравнения
d2y0(t)
dt2
+ y0(t) = 0. (2)
Здесь Y (y, ε) – нелинейная скалярная функция, представляющая собой полином
от неизвестной y и малого параметра ε, определенного на отрезке [0, ε0]. Отли-
чием поставленной задачи от аналогичной неавтономной периодической задачи
является также тот факт, что период искомого решения уравнения (1)
T (ε) := 2π
(
1 + εβ(ε)
)
, β(ε) ∈ C[0, ε0], β(0) := β∗
неизвестен [5]. Величина β(ε) подлежит определению в процессе нахождения реше-
ния поставленной задачи для уравнения (1). Существенным отличием автономной
Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного Фонда фундаментальных
исследований Украины (номер государственной регистрации 0115U003182).
133
С. М. Чуйко, О. В. Несмелова (Старкова), Д. В. Сысоев
периодической задачи для уравнения типа Хилла (1) от аналогичной неавтономной
периодической задачи также является тот факт, что любое решение y(t, ε) авто-
номной периодической задачи для уравнения типа Хилла (1) существует наряду
с целой серией решений y(t + h, ε), отличающихся от исходного сдвигом по неза-
висимой переменной. Это позволяет зафиксировать начало отсчета независимой
переменной таким образом, чтобы решение порождающей задачи для уравнения
(2) стало однопараметрическим, например y0(t) = c0·cos t, c0 ∈ R1, при этом перио-
дические решения задачи (1), соответствующие синусам в порождающем решении
могут быть получены смещением начального момента времени [5, c. 148].
Использованная ранее в монографиях [2, 15] и статьях [1, 9] итерационная тех-
ника, основанная на методе простых итераций, в процессе построения периодичес-
кого решения уравнения (1) приводила к появлению вековых членов в разложении
решения, являющихся непериодическими функциями, поэтому основной задачей,
решению которой посвящена данная статья, является построение гарантированно
сходящейся итерационной техники, не приводящей к появлению вековых членов в
разложении искомого решения периодической задачи для уравнения (1). Кроме то-
го, автономная периодическая задача в монографиях [2, 15] и статьях [1, 9] , была
исследована для простых корней уравнения для порождающих амплитуд, поэтому
основным отличием задачи, решению которой посвящена данная статья, является
предположение о кратности корней уравнения для порождающих амплитуд.
Согласно традиционной классификации периодических краевых задач постав-
ленная задача для уравнения (1) является критической [2, 5]. Для произвольной
функции f(t) ∈ C[0, 2π] периодическая задача для уравнения
d2y0
dt2
+ y0 = f(t) (3)
разрешима тогда и только тогда, когда∫ 2π
0
Hr(s)f(s) ds = 0, Hr(t) :=
[
sin t
− cos t
]
;
в этом случае при соответствующей фиксации начала отсчета независимой пере-
менной общее решение периодической задачи для уравнения (3) имеет вид
y0(t, c0) = c0 · cos t+G
[
f(s)
]
(t), c0 ∈ R1;
здесь
G
[
f(s)
]
(t) =
∫ t
0
sin(t− s)f(s) ds
— оператор Грина периодической задачи для уравнения (3). Совершая в уравнении
(1) замену независимой переменной [5]
t = τ
(
1 + εβ(ε)
)
,
134
Автономная периодическая задача для уравнения типа Хилла в частном критическом случае
приходим к задаче об отыскании решения
y(τ, ε) : y(·, ε) ∈ C2[0, 2π], y(τ, ·) ∈ C[0, ε0]
2π – периодической задачи для уравнения
d2y(τ, ε)
dτ2
+ y(τ, ε) = εZ(y(τ, ε), β(ε), ε), (4)
где
Z(y(τ, ε), β(ε), ε) :=
(
1 + εβ(ε)
)2
Y (y(τ, ε), ε)− β(ε)
(
2 + εβ(ε)
)
· y(τ, ε).
2. Необходимое условие существования решения.
Условие разрешимости периодической задачи для уравнения (4)∫ 2π
0
Hr(s)Z(y(s, ε), β(ε), ε) ds = 0 (5)
в малой окрестности порождающего решения y0(τ, c) приводит к уравнению для
порождающих амплитуд периодической задачи для уравнения (1)
F (c, β) :=
∫ 2π
0
Hr(s)
[
Y (y0(s, c), ε)− 2 · β · y0(s, c)
]
ds = 0. (6)
Лемма. Если автономная периодическая задача для уравнения (1) имеет ре-
шение, при ε = 0 обращающееся в порождающее y0(τ, c0) = c0 · cos τ, то вектор č0
удовлетворяет уравнению
F (č0) = 0, č0 = col
(
c0, β0
)
∈ R2.
Предположим, что уравнение для порождающих амплитуд (6) имеет действи-
тельные корни. Фиксируя одно из решений č0 уравнения (6), приходим к задаче
об отыскании решения периодической задачи для уравнения (1)
y(τ, ε) = y0(τ, c0) + x(τ, ε)
в окрестности порождающего решения y0(τ, c0) = c0 · cos τ. Обозначим матрицу
B0(ε) :=
∂F (č)
∂(č)
∣∣∣∣ č = č0
∈ R2×2, č(ε) = col
(
c(ε), β(ε)
)
∈ R2, B0 := B0(0).
В случае простых (detB0 ̸= 0) корней уравнения для порождающих амплитуд (6)
автономная периодическая задача для уравнения (1) имеет единственное решение,
при ε = 0 обращающееся в порождающее
y0(t, c
∗
0) = c∗0 · cos t, c∗0 := c0(0).
135
С. М. Чуйко, О. В. Несмелова (Старкова), Д. В. Сысоев
Данный критический случай назван критическим случаем первого порядка [5, 9,
15]. Менее изученным является случай [4, 10, 16] кратных корней (detB0 = 0)
уравнения (6); при этом согласно традиционной классификации краевых задач
поставленная задача для уравнения (1) не может быть отнесена к критическому
случаю второго или более высокого порядка [4, 15] , а также к особому критическо-
му случаю, поскольку уравнение для порождающих амплитуд (6) не обращается
в тождество [6, 8]. При наличии кратных корней уравнения для порождающих
амплитуд (6), оставляя только одну линейно-независимую строку уравнения (6),
получаем эквивалентное условие разрешимости [11] исходной задачи (1)
Fρ(č) :=
∫ 2π
0
Hρ(s)
[
Y (y0(s, c), ε)− 2 · β · y0(s, c)
]
ds = 0; (7)
здесьHρ(τ) = cos τ в силу выбора порождающего решения y0(τ) = c0·cos τ системы
(2). Предположим, что матрица B0 имеет ненулевые элементы: B0 ̸= 0. Основным
отличием частного критического случая от критического случая второго или бо-
лее высокого порядка [4, 10, 16] является невозможность выделения единственного
периодического решения даже при выполнении условий существования этого ре-
шения.
Пример 1. Частный критический случай имеет место в задаче о нахождении
периодического решения уравнения Дюффинга [5]
y′′ + y = ε · y3. (8)
Действительно, уравнение для порождающих амплитуд (6) в случае задачи о
нахождении периодического решения уравнения (8) принимает вид∫ 2π
0
Hr(s)Z(y(s, ε), β(ε), ε) ds = −πc
4
(
0
−4β (2 + βε) + 3 (c+ cβε)2
)
= 0.
Ему соответствует уравнение для порождающих амплитуд вида (7):
Fρ(č0) :=
πc0
4
(
3 c20 − 8β0
)
= 0.
Корень č0 = 0 соответствует тривиальному порождающему решению y0(τ, c0) ≡ 0,
в малой окрестности которого расположено лишь положение равновесия уравне-
ния Дюффинга (8). Серия корней
β∗0 =
3 c∗
2
0
8
, c∗0 ̸= 0, c∗0 ∈ R1
обеспечивает вырожденность (detB0 = 0) матрицы B0 :
B0 =
πc∗0
2
[
0 0
3 c∗0 −4
]
̸= 0;
136
Автономная периодическая задача для уравнения типа Хилла в частном критическом случае
таким образом, задача о нахождении периодического решения уравнения (8) при
c∗0 ̸= 0 представляет частный критический случай. Заметим, что уравнение для по-
рождающих амплитуд (6) в случае задачи о нахождении периодического решения
уравнения (8) допускает более тонкий анализ. При условии ε ̸= 0 и фиксированном
c(ε) ̸= 0 находим два корня
βα,β(ε) =
4− 3 εc2 ± 2
√
4− 3 εc2
−4 ε+ 3 ε2c2
,
первый из которых определяет функцию
βα(ε) =
4− 3 εc2 + 2
√
4− 3 εc2
−4 ε+ 3 ε2c2
= −2
ε
− 3 c2
8
− 27 εc4
128
− 135 ε2c6
1024
+ ... ,
не ограниченную на отрезке [0, ε0]; второй определяет функцию
ββ(ε) =
4− 3 εc2 − 2
√
4− 3 εc2
−4 ε+ 3 ε2c2
=
3 c2
8
+
27 εc4
128
+
135 ε2c6
1024
+ ... ,
ограниченную на отрезке [0, ε0], в частности,
ββ(0) = β∗0 =
3 c∗
2
0
8
.
3. Достаточные условия существования решения.
При наличии кратных корней (detB0 = 0) уравнения для порождающих ам-
плитуд (7) зафиксируем один из корней č0(ε) ∈ R2. Искомое решение автономной
периодической задачи для уравнения (4) ищем в виде
y(τ, ε) = y0(τ, c0(ε)) + x(τ, ε), c0(ε) ∈ C[0, ε0].
Для нахождения возмущения
x(·, ε) ∈ C2[0, 2π], x(τ, ·) ∈ C[0, ε0]
исследуем периодическую задачу для уравнения
d2x(τ, ε)
dτ2
+ x(τ, ε) = εZ(y0(τ, c0(ε)) + x(τ, ε), β(ε), ε). (9)
Решение автономной периодической задачи для уравнения (9)
x(τ, ε) = ν(ε) cos τ + x(1)(τ, ε), ν(ε) ∈ C[0, ε0]
зависит от выбора корня č0(ε) ∈ R2; здесь
x(1)(τ, ε) := εG
[
Z(y0(s, c0(ε)) + x(s, ε), β(ε), ε)
]
(τ).
137
С. М. Чуйко, О. В. Несмелова (Старкова), Д. В. Сысоев
Предположим, что порождающее решение y0(τ, c0(ε)) не является искомым реше-
нием автономной периодической задачи для уравнения (1). Оставляя только одну
линейно-независимую строку в условии разрешимости (5) периодической задачи
для уравнения (1), получаем эквивалентное условие разрешимости
Fρ(ĉ(ε)) :=
∫ 2π
0
Hρ(s)Z(y0(s, c0) + ν(ε) cos s+ x(1)(s, ε), β0 + ζ(ε), ε) ds = 0; (10)
здесь
ĉ(ε) := (ν(ε), ζ(ε))∗ ∈ C[0, ε0].
Обозначая
a(ε) :=
∫ 2π
0
Hρ(s)
{
ε2 Y (y(s, ε), ε)− ε
[
(c0 + ν) cos s+ x(1)(s, ε)
]}
ds,
b(ε) :=
∫ 2π
0
Hρ(s)
{
2 (1 + εβ0)
[
ε Y (y(s, ε), ε)− (c0 + ν) cos s− x(1)(s, ε)
]}
ds
и
c(ε) :=
∫ 2π
0
Hρ(s)
{(
1 + εβ0(ε)
)2
Y (y(s, ε), ε)+
+β0(ε)
(
2 + εβ0(ε)
)
·
[
(c0 + ν) cos s+ x(1)(s, ε)
]}
ds,
получаем квадратное уравнение
a(ε) ζ2(ε) + b(ε) ζ(ε) + c(ε) = 0, (11)
равносильное условию разрешимости (10). При условии
D(ε) := b2(ε)− 4a(ε) c(ε) ≥ 0 (12)
уравнение (11) имеет действительные корни
ζ(ε) =
−b(ε)−
√
D(ε)
2 a(ε)
, c0 > 0,
либо
ζ(ε) =
−b(ε) +
√
D(ε)
2 a(ε)
, c0 < 0.
Таким образом, при наличии кратных корней (detB0 = 0) уравнения для порож-
дающих амплитуд (7) в случае (12) искомое решение автономной периодической
задачи для уравнения (4) определяет операторная система
x(τ, ε) = ν(ε) cos τ + x(1)(τ, ε), ζ(ε) =
−b(ε)±
√
D(ε)
2 a(ε)
, (13)
138
Автономная периодическая задача для уравнения типа Хилла в частном критическом случае
x(1)(τ, ε) = εG
[
Z(y0(s, c0) + x(s, ε), β(ε), ε)
]
(τ), β(ε) = β0 + ζ(ε).
Для решения операторной системы (13) в случае (12) применим метод простых
итераций [2, 16].
Теорема. При наличии кратных (detB0 = 0) корней уравнения для порожда-
ющих амплитуд (7) автономная периодическая задача для уравнения (4) в кри-
тическом (PQ∗ ̸= 0) случае при условии (12) имеет по меньшей мере одно реше-
ние, при ε = 0 обращающееся в тривиальное x(τ, 0) ≡ 0. Решение автономной
периодической задачи для уравнения (4) определяет операторная система (13).
Автономная периодическая задача для уравнения (1) в критическом (PQ∗ ̸= 0)
случае при условии (12) имеет по меньшей мере одно решение, при ε = 0 обраща-
ющееся в порождающее y(τ, 0) = y0(τ, c
∗
0). Для построения решения автономной
периодической задачи для уравнения (4) применима итерационная схема
xk+1(τ, ε) = νk+1(ε) cos τ + x
(1)
k+1(τ, ε), βk+1(ε) = β0(ε) + ζk+1(ε),
ζk+1(ε) =
−bk(ε)±
√
Dk(ε)
2 ak(ε)
, (14)
x
(1)
k+1(τ, ε) := εG
[
Z(y0(s, c0(ε)) + xk(s, ε), βk(ε), ε)
]
(τ), ... , k = 0, 1, 2, ... .
Таким образом, в частном критическом случае при выполнении условий дока-
занной теоремы в окрестности любого порождающего решения y0(τ, c0) автоном-
ная периодическая задача для уравнения (4) имеет по меньшей мере одно реше-
ние. Другими словами, каждому из кратных корней уравнения для порождающих
амплитуд (7) при выполнении условий теоремы соответствует по меньшей мере
одно решение автономной периодической задачи для уравнения (4), следователь-
но, в частном критическом случае при выполнении условий теоремы установлено
наличие бесконечного множества решений автономной периодической задачи для
уравнения (1), порождаемого бесконечной серией решений y0(τ, c0) задачи (2).
Заметим, что в отличие от итерационных схем, построенных ранее в моно-
графиях [2, 15] и статьях [1, 9], итерационная техника (14) определяет решения
автономной периодической задачи для уравнения (4), являющиеся периодически-
ми функциями. Длина отрезка [0, ε∗], на котором применима итерационная схема
(14), может быть оценена, как посредством мажорирующих уравнений Ляпунова
[2, 15], так и непосредственно из условия сжимаемости оператора, определяемого
системой (13) аналогично [7].
Пример 2. Исследуем задачу о построении периодического решения уравнения
Дюффинга (8)
y′′ + y = ε · y3.
139
С. М. Чуйко, О. В. Несмелова (Старкова), Д. В. Сысоев
Выше было установлено, что уравнение для порождающих амплитуд (7) в слу-
чае задачи о нахождении периодического решения уравнения (8) имеет серию кор-
ней, для которых задача о нахождении периодического решения уравнения (8)
представляет частный критический случай. Положим c0 := 0, 1; в этом случае
β0(ε) =
10
(
40− 3 c0
2 − 2
√
10(40− 3c02)
)
3 c02 − 40
≈ 0, 00 375 211,
при этом
x
(1)
1 (τ, ε) =
ε (cos τ − cos 3τ)
31 976
.
Положим ε := 0, 1 и ν1 := 0; в этом случае
β1(ε) =
15 337 448 310
2 043 395 407 169 + 639 520
√
10 216 977 035 845
≈ 0, 00 375 223,
Таким образом, найдено T1(ε) = 2π(1 + εβ1(ε))− периодическое первое приближе-
ние к решению уравнения Дюффинга
y1(τ, ε) =
31 977 cos τ − cos 3τ
31 760
.
Положим ν2 := 0; в этом случае
β2(ε) ≈ 0, 00 375 222 228 101 744,
Таким образом, найдено T1(ε) = 2π(1 + εβ2(ε))− периодическое второе приближе-
ние к решению уравнения Дюффинга
y2(τ, ε) ≈
61 957 374 cos τ
61 955 436
− 372 313 cos 3τ
119 050 802 784
+
128 cos 5τ
1 308 713 698 559
−
− cos 7τ
653 866 081 642 540
+
cos 9τ
104 543 378 463 417 521 317
.
Для оценки точности найденных приближений к периодическому решению урав-
нения Дюффинга определим невязки нулевого
∆0(ε) :=
∣∣∣∣∣∣∣∣y′′0(τ, c∗0) + y0(τ, c
∗
0)− ε · y30(τ, c∗0)
∣∣∣∣∣∣∣∣
C[0;2π]
и первых двух приближений (i = 1, 2)
∆i(ε) :=
∣∣∣∣∣∣∣∣y′′i (τ, ε) + (1 + εβi(ε)
)2
· yi(τ, ε)− ε ·
(
1 + εβi(ε)
)2
· y3i (τ, ε)
∣∣∣∣∣∣∣∣
C[0;2π]
.
Положив ε = 0, 1, убеждаемся в уменьшении нулевой и первых трех невязок от
итерации к итерации
∆0(0, 1) ≈ 0, 0000 250 188 , ∆1(0, 1) ≈ 2, 34 776× 10−9,
140
Автономная периодическая задача для уравнения типа Хилла в частном критическом случае
∆2(0, 1) ≈ 1.46 778× 10−13.
Заметим, что найденные три приближения к периодическому решению уравнения
Дюффинга имеют невязки значительно меньшие, чем соответствующие приближе-
ния, найденные при помощи метода Ляпунова–Пуанкаре. Кроме того, найденные
приближения к периодическому решению уравнения Дюффинга периодичны.
Предложенная в статье схема исследования автономной периодической задачи
для уравнения типа Хилла (1) аналогично [15, 17] может быть перенесена на авто-
номные матричные краевые задачи, а также аналогично [13, 14] — на матричные
краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений в случае
параметрического резонанса. С другой стороны, полученные в статье результаты
могут быть аналогично [18] перенесены на матричные краевые задачи для систем
интегро-дифференциальных уравнений, а также, аналогично [19] использованы
для нахождения условий существования ограниченных на всей оси решений мат-
ричных слабовозмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
В заключение, считаем своим долгом от всего сердца поблагодарить члена-
корреспондента НАН Украины Владимира Яковлевича Гутлянского за постоян-
ное внимание и поддержку, а также поздравить его с замечательным юбилеем и
пожелать плодотворной работы, новых творческих идей, осуществления всех за-
мыслов, душевной гармонии и оптимизма. Пусть накопленный жизненный опыт и
мудрость поможет Вам достичь новых высот.
1. БойчукА. А., ЧуйкоС. М. Автономные слабонелинейные краевые задачи // Дифференц.
уравнения. – 1992. – T. 28, № 10. – С. 1668–1674.
2. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. – М.:
Наука, 1979. – 432 с.
3. Каудерер Г. Нелинейная механика. – М.: Изд-во иностр. лит., 1961. – 778 с.
4. Лыкова О. Б., Бойчук А. А. Построение периодических решений нелинейных систем в кри-
тических случаях // Укр. мат. журн. – 1988. – T. 40, № 1. – С. 62–69.
5. МалкинИ. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. – М.: Гостехиздат, 1956. –
491 с.
6. Чуйко С. М. Нетерова краевая задача в особом критическом случае // Доп. НАН України.
– 2007. – № 2. – С. 26–30.
7. ЧуйкоС. М. Область сходимости итерационной процедуры для автономной краевой зада-
чи // Нелiнiйнi коливання. – 2006. – T. 9, № 3. – C. 416–432.
8. Чуйко С. М. Слабонелинейная краевая задача в особом критическом случае // Укр. мат.
журн. – 2009. – Т. 61, № 4. – С. 548–562.
9. Чуйко С. М., Бойчук И. А. Автономная нетерова краевая задача в критическом случае //
Нелiнiйнi коливання. – 2009. – T. 12, № 3. – C. 405–416.
10. Чуйко С. М., Бойчук И. А. Нелинейные нетеровы краевые задачи в критическом случае //
Нелинейные колебания. – 2010. – T. 13, № 1. – C 115–132.
11. Чуйко С. М., Старкова О. В. Автономные краевые задачи в частном критическом случае
// Динамические системы. – 2009. – Т. 27. – С. 127–142.
12. ЧуйкоС. М., ЧуйкоАн. С. Периодическая задача для уравнения типа Хилла // Вiсник
Слов’янського державного педагогiчного унiверситету. Математика. – 2010. – T. 4. – C. 141–
181.
13. ЧуйкоС. М., ЧуйкоА. С., Сысоев Д. В. Cлабонелинейная матричная краевая задача в
141
С. М. Чуйко, О. В. Несмелова (Старкова), Д. В. Сысоев
случае параметрического резонанса // Нелiнiйнi коливання. – 2016. – T. 19, № 2. – C. 276–
289.
14. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периоди-
ческими коэффициентами и их приложения. – М.: Наука, 1972. – 720 с.
15. BoichukA. A., SamoilenkoA. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value
problems (2-th edition). – Berlin; Boston: De Gruyter, 2016. – 298 p.
16. Boichuk I. А., Starkova O. V., Chuiko S. М. Weakly perturbed nonlinear boundary-value problem
in critical case // Studies of the University of Žilina. Math. series. – 2009. – V. 23, № 1. – P. 1–8.
17. Chuiko S. Weakly nonlinear boundary value problem for a matrix differential equation // Miskolc
Mathematical Notes. – 2016. – V. 17, № 1. – P. 139–150.
18. SamoilenkoA. M., BoichukA. A., Krivosheya S. A. Boundary value problems for systems of
integro-differential equations with Degenerate Kernel // Ukrainian Mathematical Journal. – 1996.
– V. 48, № 11. – P. 1785–1789.
19. Samoilenko A. M., Boichuk A. A., Boichuk An. A. Solutions, bounded on the whole axis, of
linear weakly perturbed systems // Ukrainian Mathematical Journal. – 2002. – V. 54, № 11. –
P. 1517–1530.
S. M. Chuiko, O. V. Nesmelova (Starkova), D. V. Sysoev
Autonomous periodic value problem for an equation of Hill’s in particular critical case.
We studied the problem of finding the conditions of existence and the construction of an autonomous
periodic boundary value problem for the weakly nonlinear equations such as Hill. We studied the case
of the presence of multiple roots of an equation for generating the amplitude. To find the solutions of
the problem in the particular case of the critical design obtained the necessary and sufficient conditions
of existence, as well as built converging iterative scheme. The proposed iterative technique determines
the autonomous decisions of the periodic problem for an equation of the Hill, is a periodic function. As
an example, we studied the problem of finding periodic solutions of weakly nonlinear Duffing equation.
Keywords: autonomous periodic value problem, critical case, the Hill equation, Duffing equation.
С. М. Чуйко, О. В. Нєсмєлова (Старкова), Д. В. Сисоєв
Автономна перiодична задача для рiвняння типу Хiлла у частинному критичному
випадку.
Дослiджено задачу про знаходження умов iснування i побудову розв’язкiв автономної перiодичної
задачi для слабконелiнiйного рiвняння типу Хiлла. Нами розглянуто випадок наявностi кратних
коренiв рiвняння для породжуючих амплiтуд. Для знаходження розв’язкiв поставленої задачi у
частинному критичному випадку отриманi конструктивнi необхiднi i достатнi умови iснування,
а також побудована збiжна iтерацiйна схема. Запропонована iтерацiйна технiка дозволяє знаход-
ження розв’язкiв автономної перiодичної задачi для рiвняння типу Хiлла, якi є перiодичними
функцiями. Як приклад, дослiджено задачу про знаходження перiодичних розв’язкiв слабко-
нелiнiйного рiвняння Дюффiнга.
Ключовi слова: автономна перiодична задача, критичний випадок, рiвняння Хiлла, рiвняння
Дюффiнга.
Донбасский государственный педагогический университет,
Славянск
chujko-slav@inbox.ru
Получено 30.10.16
142
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-140865 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T12:55:39Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чуйко, С.М. Несмелова (Старкова), О.В. Сысоев, Д.В. 2018-07-17T11:39:44Z 2018-07-17T11:39:44Z 2016 Автономная периодическая задача для уравнения типа Хилла в частном критическом случае / С.М. Чуйко, О.В. Несмелова (Старкова), Д.В. Сысоев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 133-142. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140865 517.9 Исследована задача о нахождении условий существования и построении решений автономной периодической задачи для слабонелинейного уравнения типа Хилла. Нами изучен случай наличия кратных корней уравнения для порождающих амплитуд. Для нахождения решений поставленной задачи в частном критическом случае получены конструктивные необходимые и достаточные условия существования, а также построена сходящаяся итерационная схема. Предложенная итерационная техника определяет приближения к решениям автономной периодической задачи для уравнения типа Хилла, являющиеся периодическими функциями. В качестве примера исследована задача о нахождении периодических решений слабонелинейного уравнения Дюффинга. Досліджено задачу про знаходження умов існування і побудову розв’язків автономної періодичної задачі для слабконелінійного рівняння типу Хілла. Нами розглянуто випадок наявності кратних коренів рівняння для породжуючих амплітуд. Для знаходження розв’язків поставленої задачі у частинному критичному випадку отримані конструктивні необхідні і достатні умови існування, а також побудована збіжна ітераційна схема. Запропонована ітераційна техніка дозволяє знаходження розв’язків автономної періодичної задачі для рівняння типу Хілла, які є періодичними функціями. Як приклад, досліджено задачу про знаходження періодичних розв’язків слабко-нелінійного рівняння Дюффінга. We studied the problem of finding the conditions of existence and the construction of an autonomous periodic boundary value problem for the weakly nonlinear equations such as Hill. We studied the case of the presence of multiple roots of an equation for generating the amplitude. To find the solutions of the problem in the particular case of the critical design obtained the necessary and sufficient conditions of existence, as well as built converging iterative scheme. The proposed iterative technique determines the autonomous decisions of the periodic problem for an equation of the Hill, is a periodic function. As an example, we studied the problem of finding periodic solutions of weakly nonlinear Duffing equation. Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного Фонда фундаментальных исследований Украины (номер государственной регистрации 0115U003182). Считаем своим долгом от всего сердца поблагодарить членакорреспондента НАН Украины Владимира Яковлевича Гутлянского за постоянное внимание и поддержку, а также поздравить его с замечательным юбилеем и пожелать плодотворной работы, новых творческих идей, осуществления всех замыслов, душевной гармонии и оптимизма. Пусть накопленный жизненный опыт и мудрость поможет Вам достичь новых высот. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Автономная периодическая задача для уравнения типа Хилла в частном критическом случае Автономна перiодична задача для рівняння типу Хілла у частинному критичному випадку Autonomous periodic value problem for an equation of Hill’s in particular critical case Article published earlier |
| spellingShingle | Автономная периодическая задача для уравнения типа Хилла в частном критическом случае Чуйко, С.М. Несмелова (Старкова), О.В. Сысоев, Д.В. |
| title | Автономная периодическая задача для уравнения типа Хилла в частном критическом случае |
| title_alt | Автономна перiодична задача для рівняння типу Хілла у частинному критичному випадку Autonomous periodic value problem for an equation of Hill’s in particular critical case |
| title_full | Автономная периодическая задача для уравнения типа Хилла в частном критическом случае |
| title_fullStr | Автономная периодическая задача для уравнения типа Хилла в частном критическом случае |
| title_full_unstemmed | Автономная периодическая задача для уравнения типа Хилла в частном критическом случае |
| title_short | Автономная периодическая задача для уравнения типа Хилла в частном критическом случае |
| title_sort | автономная периодическая задача для уравнения типа хилла в частном критическом случае |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140865 |
| work_keys_str_mv | AT čuikosm avtonomnaâperiodičeskaâzadačadlâuravneniâtipahillavčastnomkritičeskomslučae AT nesmelovastarkovaov avtonomnaâperiodičeskaâzadačadlâuravneniâtipahillavčastnomkritičeskomslučae AT sysoevdv avtonomnaâperiodičeskaâzadačadlâuravneniâtipahillavčastnomkritičeskomslučae AT čuikosm avtonomnaperiodičnazadačadlârívnânnâtipuhíllaučastinnomukritičnomuvipadku AT nesmelovastarkovaov avtonomnaperiodičnazadačadlârívnânnâtipuhíllaučastinnomukritičnomuvipadku AT sysoevdv avtonomnaperiodičnazadačadlârívnânnâtipuhíllaučastinnomukritičnomuvipadku AT čuikosm autonomousperiodicvalueproblemforanequationofhillsinparticularcriticalcase AT nesmelovastarkovaov autonomousperiodicvalueproblemforanequationofhillsinparticularcriticalcase AT sysoevdv autonomousperiodicvalueproblemforanequationofhillsinparticularcriticalcase |